Dağıılmış Gecikme ve Ooregresiv Modeller Mehme Veda PAZARLIOĞLU
Saik Model Nedir? Saik Model, Y ve X arasında aynı dönemde yani döneminde oraya çıkan ilişkiden gelmekedir. Y = b 0 + b 1 X + u, (=1,2,,n.) Saik Model, zamanında X e meydana gelen değişikliğin yine aynı dönemde Y de meydana geireceği ekiyi oraya koymakadır. DY = b 1 DX 2
Dinamik Model Nedir? Bağımlı değişkeninin (Y) geçmiş dönemlere ai değerleri Y -1, Y -2, modelde bağımsız değişken olarak yer içeriyorsa bu ür modellere dinamik model denilmekedir. Y b X b X b X b Y b Y u o 1 1 2 2 3 1 4 2 3 Dinamik Model Ooregresiv Model Devingen Model
Gecikme Nedir? Bağımlı değişkeninin (Y) zamanındaki değeri, bağımsız değişkenlerin geçmiş zaman dilimlerindeki (-1,-2, gibi) değeri ile ayin edilebilir: X Y -1 Y değişkeni, X e belli bir zaman boşluğundan sonra cevap verdiğinde bu zaman boşluğuna GECİKME denilmekedir. 4
Dağıılmış Gecikme Modeli Nedir? Zaman serisi modellerinde, bağımlı değişken Y nin zamanındaki değerleri, bağımsız X değişkenlerinin zamanındaki cari değerleri X, daha önceki dönemlerdeki gecikmeli değerleri X -1, X -2, ye bağlı olabilir. Y b X b X b X b X u o 1 1 2 2 3 3 Dağıılmış Gecikme Modeli 5
Miras Örneği Bir kişiye 2009 de 200 000 TL miras kalsın (Y:ükeim X: Gelir) Eski yaşam arzından yeni yaşam arzına geçiş için bir boşluk vardır. Kişi gelir arışının amamını hemen o yıl harcamaz, belli bir zaman sonra bu paranın amamını harcamış olur. 2009 4/8=0.5 2010 3/8=0.375 100 000 TL 75 000 TL 2011 1/8=0.125 25 000 TL 6
Miras Örneği Dağıılmış gecikmeli ükeim fonksiyon: Y a b 0 X b X 1-1 b 2 X -2 u Y a 0.125 X 0.375 X 0.50X 2011 2011 2010 2009 200 000TL üç döneme yayılır. Bu fonksiyona genel olarak dağıılmış gecikme modelleri denir. Bir sebebin(gelir arışının) ükeime (Y) ekisi belli döneme (3 yıl) dağılmakadır. 7
Dağıılmış Gecikme Modelleri Y b X b X b X b X... u o 1 1 2 2 3 3 Sınırsız Gecikmeli Model Y b X b X b X b X... b X u o 1 1 2 2 3 3 k k Sonlu (Sınırlı) Gecikmeli Model 8
Sonlu Dağıılmış Gecikme Modelleri Genel Model; Y = + b 0 X + b 1 X -1 + b 2 X -2 + + b k X -k +u, (=1,2,,n.) k-gecikmeli sonlu dağıılmış gecikme modeli b 0 Kısa dönem yada eki çarpanı b 0 + b 1 b 0 + b 1 + b 2 b 0 + b 1 + b 2 + + b k-1 Ara dönem çarpanları Sb i b 0 + b 1 + b 2 + + b k Uzun dönem çarpanı ( ya da oplam veya dağıılmış gecikme) 9 * bi bi b sandarlaşırılmış b i i b b i
Miras Örneği Y a 0.125 X 0.375 X 0.50X 2011 2011 2010 2009 k2 b0 b1 b2 0.125 0.375 0.50 1 b i0 Uzun dönemde gelirdeki bir birimlik arış ükeimi bir birim arırmakadır. Yani ükeici uzun dönemde hiç asarruf yapmamaka gelirdeki arışların amamını ükemekedir. 10
Gecikmenin Nedenleri 1. Psikolojik nedenler 2. Teknolojik nedenler 3. Kurumsal nedenler 11
Dağıılmış Gecikme Modellerinin EKKY ile Tahmini Y b X b X b X b X... u o 1 1 2 2 3 3 EKKY İLE TAHMİNLENEBİLİR. 12
Dağıılmış Gecikme Modellerinin EKKY ile Tahmin Edilmesinin sakıncaları Gecikme sayısı k nın maksimum değerinin önceden belli olmamasıdır. Birbirini akip eden gecikmelerin sayısının çok olması ve gözlem sayısının az olması halinde serbeslik derecesinin küçülüp, isaisiksel es ve güven aralıklarının sağlıksız olması X -1, X -2, X -3, gecikmeleri arasında çoklu doğrusal bağlanı probleminin oraya çıkmasıdır. 13
Dağıılmış Gecikme Modellerinin Tahmin Edilmesi İçin Gelişirilen Yönemler Almon Polinomial Gecikme Modeli Koyck Modeli Cagan ın Uyumcu Bekleni Modeli Nerlove Kısmi Düzelme Modeli 14
Almon Gecikme Modeli Almon, b i bilinmeyen paramerelerinin zamanla ikinci veya üçüncü derece eğrisi şeklinde değişiğini varsayarak dağıılmış gecikme modellerini ahmin emişir. Y = + b 0 X + b 1 X -1 + b 2 X -2 + + b k X -k +u, (=1,2,,n.) Y k i0 b X i i u (i=1,2,,k.) 15
Almon Polinomial Gecikme Yapısı Almon b i nin i gecikme uzunluğunun uygun dereceden bir polinom şeklinde ifade edileceğini varsayar. b i * b i * * * * * * 1 2 3 7 i * * * * * * * 1 2 3 7 i b i = a 0 + a 1 i + a 2 i 2 b i = a 0 + a 1 i + a 2 i 2 + a 3 i 3 16
Almon Polinomial Gecikme Yapısı Genel olarak r inci dereceden bir polinomial gecikme şöyle yazılabilir: b i = a 0 + a 1 i + a 2 i 2 + a 3 i 3 + + ai r Polinomun derecesi < Gecikme sayısı (r < k) 17
Almon Polinomial Modeli Tahmin Aşamaları 1.Adım: b ler için belli bir polinom derecesi r ve uygun bir gecikme sayısı k seçilir. 2.Adım: r nin derecesine göre polinom b i Y k i0 b X i i u denkleminde yerine konur. 18
i k 0 i 2 2 1 0 u )X i a i a (a Y k 0 i i 2 2 k 0 i i 1 k 0 i i 0 u X i a ix a X a Y 2 2 1 1 0 0 u Z a Z a Z a Y Z 0 Z 1 Z 2 b i = a 0 + a 1 i + a 2 i 2 i k i i u b X Y 0 19 Örneğin b lerin ikinci dereceden parabol gecikmeli olduğunu farz edersek: Almon Polinomial Modeli Tahmin Aşamaları
Almon Polinomial Modeli Uygulaması Tükeim fonksiyonunda cari ükeimin (Y ), geçmiş ükeim seviyeleri Y -1, Y -2, ; cari gelir X ve geçmiş gelir seviyeleri (X -1, X -2, ) ne bağlıdır. Y b X b X b X u 0 1 1 2 2 Gecikmeli Tükeim Fonksiyonu 1976-1990 dönemi ükeim (Y ) ve gelir (X ) verilerini kullanarak Almon ekniği ile dağıılmış gecikme modelini ahmin ediniz. 20
Almon Polinomial Modeli Uygulaması 21 Yıl Y X I =X -Y 1976 2 3 3-2=1 1977 3 4 4-3=1 1978 4 5 1 1979 6 7 1 1980 7 11 4 1981 8 12 4 1982 10 15 5 1983 13 18 5 1984 14 22 8 1985 16 26 10 1986 19 29 10 1987 20 32 12 1988 21 35 14 1989 23 42 19 1990 25 50 25
Almon Polinomial Modeli Uygulaması 22 Yıl Y Y -1 1976 2-1977 3 2 1978 4 3 1979 6 4 1980 7 6 1981 8 7 1982 10 8 1983 13 10 1984 14 13 1985 16 14 1986 19 16 1987 20 19 1988 21 20 1989 23 21 1990 25 23
Almon Polinomial Modeli Uygulaması 23 Yıl Y Y -1 Y -2 1976 2 - - 1977 3 2-1978 4 3 2 1979 6 4 3 1980 7 6 4 1981 8 7 6 1982 10 8 7 1983 13 10 8 1984 14 13 10 1985 16 14 13 1986 19 16 14 1987 20 19 16 1988 21 20 19 1989 23 21 20 1990 25 23 21
Almon Polinomial Modeli Uygulaması 24 Yıl Y Y -1 Y -2 X 1976 2 - - 3 1977 3 2-4 1978 4 3 2 5 1979 6 4 3 7 1980 7 6 4 11 1981 8 7 6 12 1982 10 8 7 15 1983 13 10 8 18 1984 14 13 10 22 1985 16 14 13 26 1986 19 16 14 29 1987 20 19 16 32 1988 21 20 19 35 1989 23 21 20 42 1990 25 23 21 50
Almon Polinomial Modeli Uygulaması 25 Yıl Y Y -1 Y -2 X X -1 1976 2 - - 3-1977 3 2-4 3 1978 4 3 2 5 4 1979 6 4 3 7 5 1980 7 6 4 11 7 1981 8 7 6 12 11 1982 10 8 7 15 12 1983 13 10 8 18 15 1984 14 13 10 22 18 1985 16 14 13 26 22 1986 19 16 14 29 26 1987 20 19 16 32 29 1988 21 20 19 35 32 1989 23 21 20 42 35 1990 25 23 21 50 42
Almon Polinomial Modeli Uygulaması 26 Yıl Y Y -1 Y -2 X X -1 X -2 1976 2 - - 3 - - 1977 3 2-4 3-1978 4 3 2 5 4 3 1979 6 4 3 7 5 4 1980 7 6 4 11 7 5 1981 8 7 6 12 11 7 1982 10 8 7 15 12 11 1983 13 10 8 18 15 12 1984 14 13 10 22 18 15 1985 16 14 13 26 22 18 1986 19 16 14 29 26 22 1987 20 19 16 32 29 26 1988 21 20 19 35 32 29 1989 23 21 20 42 35 32 1990 25 23 21 50 42 35
Almon Polinomial Modeli Tahmin Aşamaları: 1.Adım: ükeim cari yılı ve ondan sonraki b ler için belli bir gecikme sayısı r seçilir. 2.Adım: r nin derecesine göre polinom i k i i u b X Y 0 denkleminde yerine konur. i i u X i a i a a Y 2 0 2 2 1 0 ) ( 27 Almon Polinomial Modeli Uygulaması
Almon Polinomial Modeli Uygulaması 2 2 0 1 2 i i0 Y a a i a i X u 2 2 2 2 0 i 1 i 2 i i0 i0 i0 Y a X a ix a i X u Y a Z a Z a Z u 0 0 1 1 2 2 2 Z X X X X 0 i 1 2 i0 2 Z ix X 2X 1 i 1 2 i0 28 2 2 2 i 1 2 i0 Z i X X 4X
Almon Polinomial Modeli Uygulaması 29 Yıl Y X Z 0 Z 1 Z 2 1976 2 3 - - - 1977 3 4 - - - 1978 4 5 12 10 16 1979 6 7 16 13 21 1980 7 11 23 17 27 1981 8 12 30 25 39 1982 10 15 38 34 56 1983 13 18 45 39 63 1984 14 22 55 48 78 1985 16 26 66 58 94 1986 19 29 77 70 114 1987 20 32 87 81 133 1988 21 35 96 90 148 1989 23 42 109 99 163 1990 25 50 127 112 182 Z 0 =X +X -1 +X -2 = 5+4+3=12 Z 1 =X -1 +2X -2 =11+2(7)=25 Z 2 =X -1 +4X -2 =22+4(18)=94
Almon Polinomial Modeli Gecikme Uygulaması Modeli Y a Z a Z a Z u 0 0 1 1 2 2 Dependen Variable: Y Mehod: Leas Squares Sample (adjused): 1978 1990 Included observaions: 13 afer adjusmens Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C 3.489 0.684 5.099 0.001 Z0-0.053 0.231-0.230 0.823 Z1 0.674 1.140 0.591 0.569 Z2-0.253 0.575-0.440 0.671 R-squared 0.982 Mean dependen var 14.308 Adjused R-squared 0.977 S.D. dependen var 6.957 S.E. of regression 1.066 Akaike info crierion 3.214 Sum squared resid 10.235 Schwarz crierion 3.388 F-saisic 167.223 Hannan-Quinn crier. 3.178 Prob(F-saisic) 0.000 Durbin-Wason sa 1.029 30 a 0 a 1 a 2
Almon Polinomial Modeli Uygulaması Orijinal b i kasayılarının ahmini için aşamalar; Y=3.489-0.053Z 0 +0.674Z 1-0.253Z 2 b i = a 0 + a 1 i + a 2 i 2 b a 0.053 0 0 a 0 a 1 a 2 b1 a0 a1 a2 0.053 0.674 0.253 0.368 31 b 2 a0 2a1 4a 2 0.053 2 0.674 4 0.253 0.283
Almon Polinomial Modeli Uygulaması Orijinal Dağıılmış Gecikme Modeli; Y 3.4894 0.0532X 0.368X 0.283X 1 2 32
Koyck Modeli b paramerelerine sınırlama koyan ekniklerden biri de Koyck b i lerin geomerik olarak azaldığını varsayar: b k = b 0 l k, k=0,1,. = Geomerik Gecikmeli Kasayılar l: Dağıılmış gecikmenin azalma oranı 0 < l < 1 1-l: uyum hızı yada inibak hızı Koyck ekniğidir. Koyck, sonsuz sayıda gecikme modelindeki b gecikme kasayılarının geomerik bir dizi şeklinde azaldığını kabul ederek gecikmeli modelini oluşurmuşur. 33 Y b X b X b X... u o 1 1 2 2
Koyck Modeli Dağıılmış gecikme modeli Koyck Modeli varsayımı ile şu şekilde yazılabilir: k=0,1 ve 2 değerleri verilerek aşağıdaki sonuçlar elde edilir. b 0 0 b0l b0 b k 0 Y b X b X b X... u o 1 1 2 2 modelinde b lar yerine eşileri konursa Y b X b lx b l X... u (1) 34 b 2 0 0 1 0 2 Koyck modeli elde edilir. k k b l 0 b b l 1 0 k b l b 2 b l 2 0
Koyck Model Dönüşümü Y b X b lx b l X... u (1) 2 0 0 1 0 2 (1) No lu model bir dönem gecikirilerek yazılır: Y b X b lx b l X... u (2) 2 1 0 1 0 2 0 3 1 (2) no lu modelin her iki arafı l ile çarpılır: ly l lb X b l X b l X... lu (3) 2 3 1 0 1 0 2 0 3 1 (1 ) nolu modelden (3) nolu model çıkarılır: 35
Koyck Model Dönüşümü Y ly b X b lx b l X... u 2 1 0 0 1 0 2 l lb X b l X b l X... lu (4) 2 3 0 1 0 2 0 3 1 Y l Y b X u 1 0 1 l l u Y 1 l b0x ly 1+v (5) = Dönüşümlü Koyck Modeli v u l u 1 36
Koyck Modelin Özellikleri 1. Koyck dönüşümü ile ooregresiv model ahmin edilmekedir. 2.Koyck modelinin çözümü kolay olmakla beraber önemli bir sakıncası vardır: Y -1 bağımsız değişkeni sokasikir, halbuki EKKY varsayımlarından biri de bağımsız değişkenin sokasik olmamasıdır. 3. Dönüşümlü Koyck modelinin ikinci sakınca da; v haa eriminin ookorelasyonlu olmasıdır. 37
Koyck Modelin Özellikleri 4. (5) nolu ooregresiv modelinde Y -1 değişkeninin varlığı Durbin-Wason d ookorelasyon esinin yapılmasını önlediğinden ookorelasyon için ayrı bir es olan Durbin s h esi uygulanmakadır. 5.Koyck Modelinde oralama gecikmesi = l/(1-l 6.Koyck modelinde Medyan Gecikme= -log2/logl Medyan Gecikme, X deki bir birimlik değişmenin Y de yapacağı oplam değişmenin yarısının kaç dönem sonra gerçekleşeceğini gösermekedir. 38
Koyck Model Uygulaması 1 Using Economerics, A.H.Sudenmund, p.415-416 CO = f(yd, YD -1, YD -2, ec.) + u CO = 0 + b 0 YD + lco -1 + u Yukarıdaki denklemlerden birincisi dağıılmış gecikmeli model, ikincisi dönüşümlü Koyck modelidir. Buna göre aşağıda verilen dönüşümlü Koyck modelinden harekele dağıılmış gecikme modelini ahmin ediniz. Aşağıdaki eşilik yalnızca oplam ükeim fonksiyonuna uymanın yanında Milon Frieadman arafından önerilen daimi gelir hipoezidir. 1964-1994 CO = -38.11+ 0.52 YD + 0.46 CO -1 39 c 4.44 3.74 Düz-R 2 =0.998
Koyck Model Uygulaması1 Using Economerics, A.H.Sudenmund, p.415-416 1964-1994 CO = 0 + b 0 YD + lco -1 + u CO = -38.11+ 0.52 YD + 0.46 CO -1 c 4.44 3.74 Düz-R 2 =0.998 CO = + b 0 YD + b 1 YD -1 + b 2 YD -2 + + b k YD -k 0 (1-l) 38.11 (1-0.46) = -70.57 b k = b 0 l k k=0 b 0 = 0.52 k=1 k=2 b = (0.52)(0.46) 1 1 = b 0 l 1 = 0.24 b = (0.52)(0.46) 2 2 = b 0 l 2 = 0.11 CO = 70.57 + 0.52 YD + 0.24 YD -1 + 0.11 YD -2 + 0.05 YD -3 + 40 l= 0.46
Koyck Model Uygulaması 2 Aşağıda verilen dönüşümlü Koyck modelinden harekele uyum hızını elde ediniz. PPCE = -841.86 + 0.71 PDPI + 0.2954 PPCE -1 (-2.41) (5.46) (2.37) R 2 =0.9912 d=1.014 PPCE: kişi başına ükeim harcaması PDPI: kişi başına gelir 41
Koyck Model Uygulaması 2 Y 1l b X ly +v 0 1 PPCE = -841.86 + 0.71 PDPI + 0.2954 PPCE -1 l 0.2954 Oralama gecikme;y nin X e bağlılığının zaman içindeki hızını verir. Koyck modelinde oralama gecikme = l/(1-l) 1yıl 12 ay 0.4192 yıl x = 0.2954 / (1-0.2954) =0.4192 Kişi başına ükeim harcamasındaki değişmenin %30 u yaklaşık 5 ay içerisinde meydana gelmekedir. 42 1l 10.2954 0.7046
Cagan nın Uyumcu Bekleni Modeli Y = b 0 + b 1 X * + u Bağımlı değişken Y sadece X bağımsız değişkeninin gerçekleşen değerlerine değil, dönemindeki beklenen değerleri X * a bağlıdır. b 1, X * deki bir birimlik değişmenin Y de meydana geireceği oralama ekiyi ölçer. UBM ile ekonomerik modellerde gelecekeki bekleniler dikkae alınabilir. 43
Uyumcu Bekleni Modelinin Elde Edilişi Bekleni değişkenleri X * lar doğrudan gözlenemediğinden, bu değişken hakkındaki bekleniler için varsayım şu şekilde yapılmakadır: * * * 1 1 X X g(x X ) ( 0 g 1) Bugünün beklenisindeki değişme Burada Y = Bir maldan alep edilen mikar X * = Beklenen fiya seviyesi Bu varsayımla gerçekleşen veya beklenen fiyalar, gerçekleşen ve beklenen gelirler arasındaki fark bir uyum işlemi ile kapaılmaya çalışılmakadır. 44
Uyumcu Bekleni Modelinin Elde Edilişi Bugünün beklenileri X *, kısmen eski bekleniler X -1 *, kısmen de bugünkü değer X nin ışığında belirlenir. * * 1 X gx (1 g)x g: bekleni kasayısı X X * * g =0 1 g =1 X * X Beklenen fiyalar ile geçmiş yılların beklenen fiyaları veya gelirleri aynı kalmaka, değişmemekedir. Bekleniler % 100 gerçekleşmişir. 45
Uyumcu Bekleni Modelinin Elde Edilişi Y = b 0 + b 1 X * + u (1) X gx (1 g)x (2) * * 1 (2) Nolu eşilik (1) nolu modelde X * de yerine konursa b b[ (1 ) * ] 0 1 1 Y gx g X u Y b b gx b 1 g X u (3) * 1 0 1 1 Y b b gx b X gb X u * * 0 1 1 1 1 1 46
Uyumcu Bekleni Modelinin Elde Edilişi Y = b 0 + b 1 X * + u (1) (1) No lu model önce bir dönem gecikirilip daha sonra da her iki arafı (1-g) ile çarpılır; Y = b + bx * +u -1 0 1-1 1 * 1-g Y = 1-g b + 1-g bx + 1-g u -1 0 1-1 1 Y b g b + bx -gb X gy 1-g u (4) * * -1 0 0 1-1 1-1 -1 1 47
Uyumcu Bekleni Modelinin Elde Edilişi (3) nolu modelden (4) nolu model çıkarılırsa; - Y b b gx b X gb X u (3) * * 0 1 1 1 1 1 Y b gb + bx gb X gy 1-g u (4) * * -1 0 0 1-1 1-1 -1 1 Y Y gb gb X gy u ( 1 g) u 1 0 1 1 1 Y g g X 1g Y v (5) b b 0 1 1 v u 1 g u 1 48 Uyumcu Bekleni Modeli
Uyumcu Bekleni Yaklaşımında Kısa ve Uzun Dönem Modelleri Kısa Dönem Modeli Y g g X 1 g Y v (5) b b 0 1 1 =Uyumcu Bekleni Modeli β 1 (uyumcu bekleni modeli); X deki bir birimlik değişmenin Y de meydana geireceği oralama ekiyi ölçer. (kısa dönem modeli) Uzun Dönem Modeli Y = b 0 + b 1 X * + u (1) 49 β 1 ; uzun dönem ekiyi gösermekedir.
Uyumcu Bekleni Modelinin Özellikleri 1. Bekleni modeli ooregresiv bir modeldir yani Y -1 bağımsız değişkenini içermekedir. 2.Cagan ın bekleni modelinin haa erimi v ookorelasyonludur. 50
Uyumcu Bekleni Modeli Uygulaması 1946-1972 dönemi dör aylık verilere dayanarak ABD için C = a 1 + a 2 X + a 3 C -1 + u modeli aşağıdaki gibi ahmin edilmişir. C 2.361 0.2959X 0.6755C 1 C : Toplam Tükeim X : Toplam Gelir * 1 2 C b b X u ilişkisinden yola çıkarak elde edilen kısa dönem modelinden uzun dönem modelini elde ediniz. 51
Uyumcu Bekleni Modeli Uygulaması C a 1 a 2 X a 3 C -1 u C 2.361 0.2959X 0.6755C 1 a 2 = gb 2 a 3 =(1-g) 0.6755=(1-g) g = 0.3245 a gb b a / g 2 2 0.2959 / 0.3245 2 2 C b b X u * 1 2 0.91 52 a 2 :kısa dönem eki a 2 =0.2959 b 2 :Uzun dönem eki b 2 =0.91
Uyumcu Bekleni Modeli Uygulaması a 2 ; kısa dönem eki=0.30 b 2 ; uzun dönem eki=0.91 Cari veya gözlenen gelirdeki bir birimlik arış ükeimi yaklaşık 0.30 birim arırırken; gelirdeki bu arış devam eiğinde ükeimi 0.91 birim arırır. 53
Nerlove nin Kısmi İyileşirme Modeli Y * bir şirkein arzu eiği sok mal düzeyi, Y gerçek sok mal düzeyi X saış mikarı olsun. Arzu edilen sok mal düzeyinin saışlara bağlı olduğunu varsayarsak: Y * = + bx 54
Nerlove nin Kısmi İyileşirme Modeli Pazardaki belirsizliklerden dolayı, arzu edilen ve gerçek sok mal düzeyleri arasındaki açık, bir anda kapaılamaz. Ancak her dönemde açığın belli bir kısmı kapaılabilir. Bu durumda zamanındaki sok mal düzeyi; -1 zamanındaki sok mal düzeyine, düzelme fakörü ve haa eriminin eklenmesine eşi olacakır: ( 0 1) Y = Y -1 + (Y * - Y -1 ) + u, 55 Bu model, kısmî iyileşirme modeli olarak bilinir.
Nerlove nin Kısmi İyileşirme Modeli parameresi, kısmî düzelme kasayısı; 1/ : düzelme hızıdır. Düzelme kasayısı(), açığın bir dönemde kapaılacak oransal mikarını; Düzelme hızı (1/ )ise, açığın amamen kapaılabilmesi için geçmesi gereken dönem sayısını verir. Örneğin; = 0.25 ise, bir dönemde açığın %25'i kapaılabilecekir; açığın amamen kapanması için geçecek süre ise, 1/ =1/0.25=4 yıldır. 56
Nerlove nin Kısmi İyileşirme Hipoezi Kısmi iyileşirme modelinde Y bağımlı değişkeninin isenen bir seviyesi Y * alınarak, Y = b + b X + u (1) * 0 1 doğrusal ilişkisi araşırılmakadır. Y nin gözlenen değerleri Y yerine isenen değerleri Y * lar alınarak, dönemindeki gözlenen X ye dayandırılmakadır. Y * doğrudan gözlenememekedir. 57
Nerlove nin Kısmi İyileşirme Hipoezi Y -Y = (Y - Y ) (2) * -1-1 ( 0 1) :iyileşirme kasayısı Son yıldaki gerçekleşen değişme Son yıldaki isenen değişme (arış veya azalış) (2) No lu modelde Y yalnız bırakılırsa; Y = Y +(1- )Y (3) * -1 58
Nerlove nin Kısmi İyileşirme Hipoezi Y = Y +(1- )Y (3) * -1 * Y (1- )Y -1 Y (3) Y = b + b X + u (1) * 0 1 (3) nolu eşilik (1) nolu modelde yerine konursa 59 Y (1- )Y 1 = b0 + b1 X + u
Nerlove nin Kısmi İyileşirme Hipoezi Y (1- )Y 1 = b0 + b1 X + u Y (1- )Y = b + b X + u 1 0 1 Y 1 Y = b b X u 1 0 1 60 Y = b + b X +(1- )Y + u (4) 0 1-1 = Kısmi İyileşirme Modeli = Kısa Dönem Modeli
Nerlove nin Kısmi İyileşirme Modeli Özellikleri 1. Kısmi İyileşirme modeli de ooregresiv bir modeldir.yani Y -1 bağımsız değişkenini içermekedir. 2.Haa erimi u ookorelasyonlu değildir. 61
Kısmi İyileşirme Modeli Uygulaması 1 1946-1972 dönemi dör aylık verilere dayanarak ABD için C = a 1 + a 2 X + a 3 C -1 + u modeli aşağıdaki gibi ahmin edilmişir. C : Toplam Tükeim X : Toplam Gelir C 2.361 0.2959X 0.6755C 1 C b b X u * 1 2 ilişkisinden yola çıkarak elde edilen kısa dönem modelinden uzun dönem modelini kısmi iyileşirme modeliyle elde ediniz. 62
Kısmi İyileşirme Modeli Uygulaması 1 C b 1 b2x (1 ) C 1 u C a a X a C u 1 2 3 1 Kısmi İyileşirme Modeli C 2.361 0.2959X 0.6755C 1 C b b X u Uzun dönem modeli * 1 2 b 2 uzun dönem marjinal ükeim eğilimi iken a 2 kısa dönem marjinal ükeim eğilimidir. a 3 =1- =1-a 3 =1-0.6755 =0.3245 63 açığın bir dönemde kapaılacak oransal mikarını verir
Kısmi İyileşirme Modeli Uygulaması 1 a b 2 2 a 2 =0.2959 kısa dönem eki b 2 =Uzun dönem MTE=0.2959/0.3245=0.91 Uzun dönemde verilen bir zaman diliminde ükeiciler (sadece ükeimlerinin üçe birini düzelmekedir (ayarlamakadır) 64
Uyumcu Bekleni ve Kısmi İyileşirme Modelleri Karşılaşırması Görünüşe uyumcu bekleni ve kısmi iyileşirme modeli (ve Koyck modeli) ahmin edilen regresyon açısından bakıldığında benzerdir: Tükeicilerin davranışlarını alışkanlıklar belirliyorsa kısmi iyileşirme modeli; Tükeici davranışı ileriye yönelik gelecekeki ümi edilen gelire bağlıysa en iyi model uyumcu bekleni modelidir. Kısmi iyileşirme modelinde EKKY uarlı ahmincileri verir. EKKY varsayımları sağlanır. Uyumcu bekleni modelinde uarlı ahminciler elde edilmeyebilir. 65
Kısmi İyileşirme Modeli Uygulaması Modern Economerics R.L.Thomas (p.319-320) Değişkenler Q= 1980 fiyalarıyla gıda harcamaları, X= Cari fiyalarla oplam harcamalar, P= Gıda fiya indeksi, G= Genel fiya indeksi. Uzun dönem modeli ln(q * ) =b 0 + b 1 ln(x/g) + b 2 ln(p/g) + u varsayım ln(q) - ln(q) = [ln(q ) - ln(q) ] * -1-1 Kısa dönem modeli ln(q) =b 0 + b 1 ln(x/g) + b 2 ln(p/g) + (1- ) ln(q) -1 + u 66
Kısmi İyileşirme Modeli Uygulaması Modern Economerics R.L.Thomas (p.319-320) ln(q) =b 0 + b 1 ln(x/g) + b 2 ln(p/g) + (1- ) ln(q) -1 + u (kısa dönem modeli) Dependen Variable: LOG(Q) Mehod: Leas Squares Sample: 1965 1989 Included observaions: 25 b 0 b 1 b 2 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C 4.337799 1.007119 4.307135 0.0003 LOG(X/G) 0.141664 0.051548 2.748213 0.0120 LOG(P/G) -0.197040 0.090504-2.177145 0.0410 LOG(Q(-1)) 0.478323 0.137783 3.471566 0.0023 R-squared 0.956197 Mean dependen var 12.19364 Adjused R-squared 0.949940 S.D. dependen var 0.071161 S.E. of regression 0.015922 Akaike info crierion -5.296628 Sum squared resid 0.005323 Schwarz crierion -5.101608 Log likelihood 70.20785 F-saisic 152.8076 Durbin-Wason sa 1.145060 Prob(F-saisic) 0.000000 67 (1-)
Kısmi İyileşirme Modeli Uygulaması Modern Economerics R.L.Thomas (p.319-320) (1-) = 1-0.478323 = 0.521677 b 0 = 4.3377 (0.521677) b 0 = 4.3377 b 0 = 8.3149 b 1 = 0.141664 a 1 (0.521677) b 1 = 0.141664 b 1 = 0.27155 Uzun dönemde ükeiciler gıda harcamalarının yarısını düzelmekedir (iyileşirmekedir). a 1 : kısa dönem eki b 1: uzun dönem eki b 2 = -0.197040 (0.521677) b 2 = -0.197040 68 b 2 = - 0.37770
Kısmi İyileşirme Modeli Uygulaması Modern Economerics R.L.Thomas (p.319-320) Uzun dönem modeli ln(q*) = b 0 + b 1 ln(x/g) + b 2 ln(p/g) + u = 0.521677 b 0 = 8.3149 b 1 = 0.27155 b 2 = - 0.37770 ln Q 8.3149 0.2715ln(X / G) 0.3777ln(P / G) * a 1 =b 1 =0.14 b 1 = 0.27155 Kısa dönem eki Uzun dönem eki Cari veya gözlenen oplam harcamadaki bir birimlik arış gıda harcamasını yaklaşık 0.14 birim arırırken ;oplam harcamadaki bu arış devam eiğinde uzun dönemde gıda harcamasını 0.27 birim arırır. 69
Uygulama 1 Aşağıdaki abloda İngilere nin 1995-2002 dönemindeki şarap ükeimi ve harcanabilir geliri ile ilgili verileri göserilmişir. Yıllar Şarap ükeimi Gelir 1995 25 47 1996 17 38 1997 22 50 1998 27 55 1999 14 45 2000 19 52 2001 22 65 2002 27 72 Aşağıda şarap ükeiminin Almon polinomial modeli verilmişir. Y = 21.635 + 0.429 Z o - 0.755 Z 1 + 0.182 Z 2 s(b i ) (17.35) (0.227) (0.812) (0.394) 70 Buna göre orijinal modeli ahmin ediniz
Uygulama 1 Y = 21.635 + 0.429 Z o - 0.755 Z 1 + 0.182 Z 2 s(b i ) (17.35) (0.227) (0.812) (0.394) b i = a 0 + a 1 i + a 2 i 2 b a 0.429 0 0 b1 a0 a1 a2 0.429 0.755 0.182 0.144 b2 a0 2a1 4a 2 0.429 2 0.755 4 0.182 0.353 71 Y 21.635 0.429X 0.144X 0.353X 1 2
Uygulama 2 Modern Economerics R.L.Thomas(p.320) r=2 ; k=6 6 0 i i 2 2 6 0 i i 1 6 0 i i 0 u X i a ix a X a Y 6 0 i i X 6 0 i i ix 6 0 i i i 2 X = X +X -1 +X -2 +X -3 +X -4 +X -5 +X -6 = X -1 + 2X -2 + 3X -3 + 4X -4 + 5X -5 + 6X -6 = X -1 + 4X -2 + 9X -3 + 16X -4 + 25X -5 + 36X -6 Y= Sabi fiyalarla ükeim harcamaları X = Sabi fiyalarla kullanılabilir gelir 72
Ooregresiv Modellerin Tahmin Yönemleri Koyck Modeli Uyumcu Bekleni Modeli Kısmi İyileşirme Modeli Dağıılmış Gecikme Modelini ahmin için kullanılmaka olan bu modeller aslında ooregresiv modeller olup Y nin gecikmeli değerlerinden oluşan Y -1 değişkenini içermekedir. Y -1 değişkenli ooregresiv model : Y a0 a1 X a2y 1 v Genel Ooregresiv Model 73 Y -1 modelde bağımsız bir değişken olarak yer almaka ve v haa erimi ookorelasyonludur. Bu nedenle EKKY ile doğrudan çözülememekedir.
Ooregresiv Modellerin Tahmin Yönemleri Koyck Modeli Uyumcu Bekleni Modeli Sokasik Y -1 bağımsız değişkeni, v haa erimi ile ilişkilidir. Bu nedenle EKK ahmincileri sapmalı ve uarsız olur. Örnek büyüklüğü sonsuza gise de ahminciler gerçek anaküle değerlerine yaklaşmazlar. Kısmi İyileşirme Modeli v =u olduğundan u haa erimi EKK varsayımlarını sağladığında v de sağlar. Bu nedenle kısmi iyileşirme modeli EKKY ahmincileri uarlı ahminler verir. Ancak küçük örneklerde bu ahminler sapmalıdır. 74
Ooregresiv Modellerin EKKY ile Tahmini Y = b + b X +(1- )Y + u 0 1-1 = Kısmi İyileşirme Modeli v = u EKKY ile ahminlenirse; Tuarlı ahminler verir Küçük örneklemlerde bu ahminler sapmalıdır. 75
Ale Değişken Yönemi ile Ooregresiv Modellerin Tahminleri Haa erimi v nin ookorelasyonlu olması durumunda ADY ahmincileri Haa erimi v nin ookorelasyonlu olmaması durumunda ADY ahmincileri Küçük örnekler için sapmalı, büyük örnekler için asimoik olarak ekin olmayan ahminler elde edilir. Küçük örnekler için sapmalı, büyük örnekler için asimoik olarak ekin ve uarlı ahminler elde edilir. 76
Ale Değişken Yönemi ile Ooregresiv Modellerin Tahminleri ADY de, problem çıkaran Y -1 değişkeni yerine geçecek bir vekil değişken bulunur. Vekil değişkene Ale Değişken de denir. 77
Ale Değişken Yönemi ile Ooregresiv Modellerin Tahminleri Y a a X a Y v (1) Genel ooregresiv 0 1 2 1 modele ADY şu iki adımda uygulanır: Adım 1: Y ile X nin gecikmeli değerleri arasındaki regresyon denklemi ahminlenir: Y c c X c X (2) 1 2 1 3 2 X e her defasında yeni bir gecikmeli X -i değişkeni eklenerek en iyi model elde edilmeye çalışılır. Böylece gecikme sayısı belirlenir. 78
Ale Değişken Yönemi ile Ooregresiv Modellerin Tahminleri Y Adım 2: (2) nolu denklemden değerleri bulunur ve bir dönem gecikirilerek Y ler elde edilir. Daha sonra (1) nolu regresyon ˆ 1 denklemindeki Y -1 yerine ale değişken olarak alınarak aşağıdaki model ahminlenir: Y a a X a Y v (1) 0 1 2 1 ˆ 0 1 2 1 Y a a X a Y v 2) ADY 79 Bu modelden kasayı ahminleri ahmin edilir.
No 1 Yukarıdaki denklemde ale değişken Yˆ 1 ADIM 1. ADIM 2. Y b X b X b Y v belirlenmekedir. 1 1 2 2 3 1 Y ile X 1 ve X 2 arasındaki ilişki araşırılır. Y c c X c X 0 1 1 2 2 Adım 1 deki denklemden Yˆ bazen şöyle de ler ilgili X değerleri yerine Yˆ Yˆ 1 konarak hesaplanır. lerin bir dönem gecikmeli değerleri ler alınarak aşağıdaki model ahmin edilir. 80 Y b X b X b Yˆ v 1 1 2 2 3 1
.Liviaan, ahmin edilen a ların uarlı olduğunu, EKKY 81 ahminlerininse uarsız olduğunu gösermişir. NOT 2. Y a a X a Y v (1) 0 1 2 1 Y -1 değişkeni yerine vekil değişken olarak X -1 in alınmasına Liviaan yaklaşımı denir. Liviaan, ooregresiv modelin paramereleri a 0, a 1 ve a 2 nin ahmini için aşağıdaki normal denklemlerin çözümünü önermekedir. Y na a X a Y 0 1 2 1 Y X a X a X a Y X 2 0 1 2 1 Y X a X a X X a Y X 1 0 1 1 1 2 1 1 İkinci denklemin her iki arafını önce X, üçüncü denklemin her iki arafını da X -1 ile çarpık.
Çünkü Y -1 Y -1, v u l u 1 veya v u 1 g u 1 ile ilişkili olduğu halde; X ve X -1 v ile ilişkili değildir. Bu yaklaşım ile haa erimi ve bağımsız değişken arasındaki ilişki oradan kaldırılır ancak bu kez X ile X -1 arasında çoklu doğrusal bağlanı olma olasılığı yükselir ve ahminler ekin olmaz. 82
Ooregresiv Modellerin Genelleşirilmiş EKKY (GEKKY) ile Tahmini Ooregresiv modellerde ookorelasyon olması durumunda GEKKY kullanımı: Y a a X a Y v (1) 0 1 2 1 (1) nolu model bir dönem gecikirilip p ookorelasyon kasayısı ile çarpılır py a p pa X pa Y pv (2) 1 0 1 1 2 2 1 83
Daha sonra (1) nolu modelden (2) nolu model çıkarılarak GEKK ooregresiv modeli elde edilir Y a a X a Y v (1) 0 1 2 1 py a p pa X pa Y pv (2) 1 0 1 1 2 2 1 Y py a 1 p a X px a Y py v pv (3) 1 0 1 1 2 1 2 1 = Ooregresiv model GEKKY denklemi 84 Küçük örnekler için sapmalı, faka uarlı ve asimoik ekin ahminler elde edilir.
Ookorelasyon kasayısı p nin doğrudan ahmini için (3) nolu modelde Y yi yalnız bırakıp, düzenlemeler yapıldıkan sonra şu model elde edilir: Y a 1 p a X a p X a p Y a p Y v pv (4) 0 1 1 1 2 1 2 2 1 Y c c X c X c Y c Y 0 1 2 1 3 1 4 2 c a 2 1 c 1 1 c2 a1p c3 a2p 0 a0 1p 4 2 v pv 1 c a p 85
Y c c X c X c Y c Y 0 1 2 1 3 1 4 2 Denkleminde 1 1 c a ve c a p 2 1 den p bulunur pˆ c c p 1 2 X X 1 in kasayısı nin kasayısı nin doğrudan ahmini 86
p nin Wallis Yönemiyle Tahmini : Adım 1. Y -1 yerine X -1 değişkeni ale değişkeni olarak alınır. Y a a X a Y v (1) 0 1 2 1 Y a a X a X v 0 1 2 1 87
Adım 2. v haa eriminin örnek ahmini değerleri leri hesaplanır ve lerin birbirini akip eden değerleri arasındaki ilişki hesaplanır v ˆ vˆ 88 r vv ˆˆ 1 n 2 1 vv ˆˆ 1 1 k n pˆ n n vˆ 2 n Wallis yönemi ile p hesabı k=ahmin edilen a sayısı (burada k=3) k düzelme erimi (sapmayı düzelmek için) n
Adım 3. r vv ˆˆ 1 değerini Y py a 1 p a X px a Y py v pv 1 0 1 1 2 1 2 1 modelinde p yerine koyup EKKY ile model ahminlenir. Böylece Wallis yönemi ile p ahmin edilip GEEKY uygulanır. 89
Ooregresiv Modellerde Ookorelasyonun Belirlenmesi : Durbin in h Tesi Y a a X a Y v (1) 0 1 2 1 Genel ooregresiv modeli için Durbin h esi dör adımda yapılmakadır. Adım 1. Y a a X a Y v 0 1 2 1 modeli EKKY ile ahmin edilerek Y -1 in kasayısı olan a 2 nin varyansı var(a 2 ) hesaplanır. 90
Ooregresiv Modellerde Ookorelasyonun Tespii : Durbin in h Tesi Adım 2. Ookorelasyon kasayısı 1 pˆ (1 d) d 2 Durbin-Wason isaisiği Adım 3. h kriik oranı hesaplanır: hesaplanır: ˆp h 1 n 1 d 2 1 n [var( a )] 2 91 n: örnek hacmi Var(a 2 )= Y -1 gecikmeli değişkeni kasayısının varyansı d= Durbin-Wason d isaisiği
Ooregresiv Modellerde Ookorelasyonun Tespii : Durbin in h Tesi Büyük örnekler p=0 iken h isaisiği sandar normal dağılımlıdır(oralaması sıfır, varyansı bir olan dağılım). Bu nedenle gözlenen bir h değerinin isaisiksel olarak anlamlılığı Normal Eğri Alanları Tablosundan belirlenir. Adım 4. Normal dağılımda P( 1.96 h1.96) 0.95 olduğundan sandar normal değişken h nin esinde karar şöyle verilir : 92
h > 1.96 ise poziif ookorelasyon olmadığına dair H 0 hipoezi reddedilir. h < -1.96 ise negaif ookorelasyon olmadığına dair H 0 hipoezi reddedilir. -1.96 < h < 1.96 ise poziif veya negaif ookorelasyon olmadığı H 0 hipoezi reddedilemez, kabul edilir. h esi büyük örnekler ( n >=30) için kurulmuş olup, küçük örneklere uygulanabileceği kesin olarak göserilememiş ve küçük örnek özellikleri henüz oraya konulmamışır. 93
Örnek: Hindisan para alebi fonksiyonu aşağıdadır: ln M 1.6027 0.102ln R 0.6869ln Y 0.5284ln M 1 s(b i ) (1.2404) (0.3678) (0.3427) (0.2007) (1.3066) (-0.2784) (2.0108) (2.6328) R 2 =0.9227 d=1.8624 1 16 h [1 (1.8624)] 0.4617 2 2 116(0.2007) h=0.4617-1.96 ile 1.96 arasındadır. Ookorelasyon olmadığı yönündeki H 0 hipoezi kabul edilir. 94
Bir Ooregresiv Model Çözümü Uygulaması Örnek 1976-1990 dönemi ükeim (Y ) ve gelir (X ) verilerini kullanarak ooregresiv modeli ahmin ediniz. Y a a X a Y v 0 1 2 1 Bu modelin çözümü için Liviaan ın normal denklemlerinden a ları hesaplayınız. Bu modelin EKK çözümünü bulunuz. 95
Bir Ooregresiv Model Çözümü Uygulaması Yıl Y Y -1 X Y X X 2 Y -1 X Y X -1 X -1 X X -1 Y -1 X -1 1976 2-3 6 9 - - - - - 96 1977 3 2 4 12 16 8 9 3 12 6 1978 4 3 5 20 25 15 16 4 20 12 1979 6 4 7 42 49 28 30 5 35 20 1980 7 6 11 77 121 66 49 7 77 42 1981 8 7 12 96 144 84 88 11 132 77 1982 10 8 15 150 225 120 120 12 180 96 1983 13 10 18 234 324 180 195 15 270 150 1984 14 13 22 308 484 286 252 18 396 234 1985 16 14 26 416 676 364 352 22 572 308 1986 19 16 29 551 841 464 494 26 754 416 1987 20 19 32 640 1024 608 580 29 928 551 1988 21 20 35 735 1225 700 672 32 1120 640 1989 23 21 42 966 1764 882 805 35 1470 735 1990 25 23 50 1250 2500 1150 1050 42 2100 966
Bir Ooregresiv Model Çözümü Uygulaması Y 191 Y X 5503 Y X 4712 1 Y 166 X 9427 X 261 2 1 1 X 311 Y X 4955 X X 5966 Y 1 1 X 1 1 4253 191 15 311 166 a0 a1 a2 a0 7a1 4955a2 a0 a1 3a 2 5503 311 942 4712 261 5966 425 Ooregresiv model Liviaan Normal Denklemleri 97 a 1.4510 a 0.00129 a 1. 0170 0 1 2 Y 1.4510 0.00129X 1. 0170Y 1
Bir Ooregresiv Model Çözümü Uygulaması Modelin EKKY ahminleri ise şöyledir: Y 1.4733 0.0774X 0.8707Y 1 sb ( i ) (0.0874) (0.1746) (0.886) (4.986) Kısmi r s 2 (0.0666) (0. 6932) 2 0.763 R 0.9908, R 0.9954, F 595 Liviaan yönemi ile bulunan sonuç: 98 Y 1.4510 0.00129 X 1.0170Y 1
Dağıılmış Gecikme ve Ooregresiv Modellerin Tahmin Yönemlerinin Karşılaşırılması(Öze) Gecikmeli değişkenli modeller, sadece bağımsız değişkenin gecikmeli değerlerini içeren modeller (dağıılmış gecikmeli modeller) ile bağımlı değişkenin gecikmeli değerlerini içeren modeller(ooregressiv modeller) ve her iki grup gecikmeli değişkenleri içeren modeller olarak üçe ayrılır: Sadece bağımsız değişkenin gecikmeli değerlerini içeren modeller(=dağıılmış gecikme modelleri) Gecikmeli değişkenli modeller Bağımlı değişkenin gecikmeli değerlerini içeren modeller (=ooregresiv modeller) 99 Dağıılmış gecikme modellerinin ahmini için kullanılan modeller (Koyck, Uyumcu Bekleni, Kısmi İyileşirme Modeli)
Dağıılmış Gecikme ve Ooregresiv Modellerin Tahmin Yönemlerinin Karşılaşırılması(Öze) Gecikmeli modeller sayesinde, bağımsız değişkenin bir birim armasının bağımlı değişken üzerindeki kısa ve uzun dönemde yapacağı arışı (veya azalış) ayırdemek mümkündür. Gecikmesi dağıılmış modeller prensip olarak EKKY ile ahmin edilebilmekedir ancak bağımsız değişken sayısının fazla olması sebebiyle serbeslik derecesi azalmaka ve çoklu doğrusal bağlanı oraya çıkmakadır. Çok sayıda gecikmeli değişkenli modellerde gecikmeli değişkenlerin kasayılarına a priori ön sınamalar konulması gerekir. Bunlar: Almon Koyck Uyumcu bekleni Kısmi iyileşirme modelleridir. 100