İKİ RANKLI SERBEST NILPOTENT LIE CEBİRLERİNDE İÇ-OTO-DENKLİK * İnner-Auto-Equivalene for Free Nilpotent Lie Algebras of Rank Two Cennet ESKAL Matematik Anabilim Dalı Ahmet TEMİZYÜREK Matematik Anabilim Dalı ÖZET K karakteristiği sıfır olan ebirsel kapalı yapısal bir isim ve L de K ismi üzerinde iki ranklı serbest nilpotent Lie ebiri olsun. Bu çalışmada 4 olmak üzere L Lie ebirinde verilen herhangi iki elemanının L nin bir iç otomorfizmi altında denk olup omadığına karar veren algoritma verdik. Anahtar Kelimeler : Serbest nilpotent Lie ebirleri, otomorfizmler ABSTRACT Let K be a algebraially losed onstrutive field of harateristi zero and L be free nilpotent Lie algebra over K of rank two. In this study we have L for 4 are given an algorithm whih deide whether or not two elements in inner-auto-equivalent. Key Words : Free nilpotent Lie algebras, automorphisms Giriş xy,, karmaşık sayılar ismi üzerindeki iki ranklı polinomlar ebiri olsun. Abhyankar ve Moh (97), Suzuki gömme Teoreminin ispatında p x, y x x, y için otomorfik denklik algoritmasını kapalı olarak kullanmışlardır. Daha sonra Shpilrain ve Yu tarafından (997) de açık bir algoritma xy, de iki polinom verildiğinde bunların verilmiştir. Wightwik (00) de otomorfik denk olup olmadığına karar veren bir algoritmayı üst Newton çokgenlerini kullanarak vermiştir. Makar-Limanov, Shpilrain ve Yu (007) de K ebirsel kapalı bir isim olmak üzere K x, y polinomlar ebirindeki iki polinomun otomorfik denkliği için daha basit bir algoritma verdiler. Makar-Limanov, Shpilrain ve Yu 'nun verdikleri algoritma peak redution metoduna dayalıydı. Drensky ve Yu, K x, y iki ranklı serbest asosyatif ebirindeki iki elemanın otomorfik denk olup olmadığına karar veren bir algoritmayı 007 de yayımladılar. Drensky ve Yu, iki ranklı serbest asosyatif ebirdeki otomorfik denklik problemini denklem sisteminin çözümünü bulma problemine indirgeyerek verilen iki eleman arasındaki otomorfizmi bu denklem sisteminin çözümleri insinden yazılabileeğini göstermişlerdir. * Doktora Tezi-Ph.D. Thesis - 40 -
Başta Drensky ve Yu'nın çalışması olmak üzere otomorfik denklik ile ilgili diğer çalışmalardan esinlenerek bu problemi otomorfizmleri iç otomorfizm alarak 4 olmak üzere L iki ranklı serbest nilpotent Lie ebirleri için düşündük. Temel Sonuçlar K karakteristiği sıfır olan ebirsel kapalı yapısal bir isim, F üreteç kümesi, x F y F xy olan serbest Lie ebiri ve L F üreteç kümesi, olan yini sınıftan nilpotent Lie ebiri olsun. serbest üreteç kümesini kısaa xy, ile göstereeğiz. Tanım Her w L için u L L tanımlanan : olduğundan ad w 0 olup nilpotenttir. e F olmak üzere u w, u L nin olarak L lineer dönüşümü düşünelim. L 0 ad w ad w ad w!!!!! lineer dönüşümü iyi tanımlı olup iç otomorfizmi denir. Tanım L bir Lie ebiri olsun. u, v olaak şekilde bir L nin bir otomorfizmidir. Bu otomorfizme L nin L elemanları verildiğinde u v Inn L otomorfizmi bulunabiliyorsa u ile v iç-oto-denktir denir. Bu çalışmada 4 olmak üzere L de verilen herhangi iki elemanının içoto-denk olup olmadığına karar veren bir algoritma vereeğiz. L Lie ebirinde herhangi iki elemanın iç denk olup olmadığını gösterirken verilen bu elemanların dereelerinin bir iç otomorfizm altında azaltılıp azaltılamaması bizim vereeğimiz algoritmanın temelini teşkil edeektir. L birini sınıftan rankı iki olan serbest nilpotent Lie ebiri olsun., u ax by şeklindeki her u L elemanı iç otomorfizmler altında invaryanttır. Bu nedenle iç-oto-denkliği ve için ineleyeeğiz. için elemanların dereelerinin bir iç otomorfizm tarafından indirgenmesini ineleyelim. L, iki ranklı ikini sınıftan serbest nilpotent Lie ebiri w a x a y a x, y, u L olsun. ve - 4 -
, e u u u w u u ax a y, u a x, y, u 0 mod F u a x a y, u e ad a xa y u olduğundan L birim olmayan iç otomorfizmleri e şeklindedir. Teorem,, K w a x a y olmak üzere olmak üzere, u x y x y L olsun. Eğer deg u ve veya sıfırdan faklı ise u nun dereesi bir iç otomorfizm tarafından indirgenebilir. u x y x y L olsun. deg u ise 0 dır. İspat:, w ax by olmak üzere e u yu hesaplanırsa e u x y a b x y olup degu nun indirgenmesi için, ab 0 olmalıdır. Eğer 0 ise denkleminin bir kökü a0, b olup w y alınırsa Eğer 0 alınırsa tamamlar. e u x y olup u nun dereesi indirgenmiş olur. ise denkleminin bir kökü e u x y a, b 0 olup w y olup u nun dereesi indirgenmiş olur. Bu da ispatı için elemanların dereelerinin bir iç otomorfizm tarafından indirgenmesini ineleyelim. L üçünü sınıftan serbest nilpotent Lie ebiri olsun. O zaman L ün bir u elemanı i,,,4, için i K olmak üzere,,,,, u x y x y x y x x y y 4-4 -
L ün birim olmayan iç otomorfizmleri w a x a y a x y şeklindedir. olmak üzere e ad w! şeklindedir. Şimdi degu nun hangi koşullarda bir iç otomorfizm tarafından indirgendiğini ineleyelim. Lemma 4 L üçünü sınıftan serbest nilpotent Lie ebiri ve u L elemanı da şeklinde olsun., a) 0 ve deg u ise degu bir iç otomorfizm tarafından indirgenemez. b) deg u ise iç otomorfizmler dereeyi azaltamaz. İspat: a, a, a K olmak üzere, ise u x, y, x x, y, y a) 0 w a x a y a x y L olsun. 4 şeklindedir. e u ad wu u w, u w, w, u u!! 0 0 olduğundan sonuç açıktır. b) deg u olsun. deg u ise degu nun indirgenemeyeeği açıktır. olmak üzere u x y x, y olmak üzere e deg u ise 0 w a x a y a x y,, e u x y a a x y şeklindedir. Öne u yu hesaplanırsa a a a a a,, x y x a a a a a x, y, y elde edilir. degu nun indirgenmesi için a a 0 a a a a a 0 a a a a a 0 denklem sisteminin sıfırdan farklı bir çözümünün olması gerekir. Fakat - 4 -
a a 0 a a a a a a a 0 a a 0 a a a a a a a 0 a a 0 a a olup buradan a a a a 0 çelişkisi elde edilir. Böylee ispat tamamlanmış olur. Teorem u L elemanı, deg u olmak üzere şeklinde yazılmış olsun. Eğer, ve den en az biri sıfırdan farklı ise degu bir iç otomorfizm tarafından indirgenebilir. İspat: u L olsun. O zaman i,, için i K olmak üzere u x y x, y 4 x, y, x x, y, y şeklindedir. deg u sıfırdan farklıdır. Genelliği kaybetmeksizin 4 0 olduğunu ise 4 veya kabul edelim. Durum. 0 ve 0 olsun. Bu durumda u x, y4 x, y, x x, y, y şeklindedir. 4 w x y olmak üzere degu, e iç otomorfizmi tarafından indirgenir. Durum 0-44 - ve 4 0 olsun. Bu durumda u x y 4 x, y, x x, y, y sıfırdan farklıdır. 0 ise a K varsayımından dolayı veya şeklindedir. Teoremin 4 w ax ay x, y olmak üzere degu, 0 ise b K için w bx by x, y olmak üzere degu, otomorfizmi tarafından indirgenir. Durum 0 için e iç otomorfizmi tarafından; e iç veya 4 0 olsun. Bu durumda u x y x, y 4 x, y, x x, y, y şeklindedir. Öne
olmak üzere e e u x y a b x, y w ax by u yu hesaplanırsa a b a a 4 x, y, x a bb b x, y, y elde edilir. degu nun indirgenmesi için a ve b bilinmeyenlerine bağlı a b a a 0 4 a b b b 0 denklem sisteminin sıfırdan farklı bir çözümünün olması gerekir. b / a b a a 0 elde edilir. 4 0 olduğundan yazılırsa 4 a / a b b b 0 b a0 b 4 a olup bu 4 denklem sisteminde yerine 4 a 4a 4 0 4 4 a 4a 4 0 denklem sistemi elde edilir. Bu 4 sisteminden 4 a 4a 4 0 denklemi elde edilir. 0 veya 4 0 ve K bir ebirsel kapalı isim olduğundan 4..4 denkleminin sıfırdan farklı bir çözümü vardır. Bu çözümlerden biri a 0 ise b0 a0 olup deg u, w a0x b0y olmak üzere 4 otomorfizmi tarafından indirgenir. Böylee ispat tamamlanmış olur. Algoritmalar Bu kısımda 4 olmak üzere, e iç L rankı iki olan yini sınıftan nilpotent Lie ebirinde verilen herhangi iki elemanın iç-oto-denk olup omadığına karar veren algoritmalar vereeğiz. - 4 -
olsun. 4 olmak üzere L, rankı iki olan yini sınıftan nilpotent Lie ebiri w L olmak üzere şeklindedir. Buradan L nin iç otomorfizmleri L nin bir u elemanının - 46 - e ad w e iç otomorfizmi altındaki görüntüsü e u ad wu u w, u w, w, u olup u nun lineer kısmı L nin iç otomorfizmleri altında invaryant kalır. deg u deg u u ile v, L nin dereeleri indirgenemeyen iki elemanı ve deg v olsun. deg u deg v olduğundan genelliği kaybetmeksizin deg v olduğunu kabul edelim. Eğer u ile v iç-oto-denk olsaydı bir otomorfizmi için u Inn L v olurdu. Bu da degu nun bir iç otomorfizm tarafından indirgenmediği kabulü ile çelişir. O halde L nin dereeleri indirgenemeyen ve dereeleri farklı iki elemanı iç-oto-denk olamaz. Lemma 6 u, v L olsun. u ile v, iç otomorfizmler tarafından sırasıyla u ile v elemanlarına indirgensin. Eğer u ile v iç-oto-denk değilse u ile v de içoto-denk değildir. u v L olsun. u ile v, iç otomorfizmler tarafından sırasıyla u ile v İspat:, elemanlarına indirgensin. O zaman, Inn L u u ve v v zaman u v olaak şekilde bir Inn L u u v v otomorfizmleri için olur. u ile v nin iç-oto-denk olduğunu varsayalım. O otomorfizmi vardır. Buradan olup u ile v nın iç-oto-denk olduğu çelişkisi elde edilir. O halde u ile v, iç-otodenk değildir. Yukarıda verdiğimiz Teorem, Lemma 4, Teorem ve Lemma 6 dan L ve L ebirlerinde verilen iki elemanın iç-oto-denkliği için algoritmalarımızı verelim. Algoritma, L, Lie ebiri olsun. L nin xy kümesi tarafından üretilen ikini sınıftan serbest nilpotent u x y x, y v x y x, y
elemanları verilsin. Şimdi adım adım bu algoritmanın nasıl işlediğini görelim: Adım veya ise u ile v iç-oto-denk değildir. Aksi durumda yani ve ise Adım ye geçilir. Adım deg u deg u ve degu indirgenmeyeek şekilde u yu u ya dönüştüren bir iç otomorfizmi bulunur. Adım deg v deg v ve degv indirgenmeyeek şekilde v yi v ya dönüştüren bir iç otomorfizmi bulunur. Adım 4 deg u deg v ise u ile v iç-oto-denk değildir. Aksi durumda yani deg u deg v ise Adım e geçilir. Adım u v ise u ile v, Adım ve Adım te elde edilen otomorfizmler kullanılarak elde edilen iç otomorfizmi altında denk olur. Aksi durumda yani u v ise Adım 6 ya geçilir. Adım 6 u v ise deg udeg v olur. Eğer deg udeg v ise u ile v iç-oto-denk değildir. Burada algoritma sona erer. L, Algotitma, nilpotent Lie ebiri olsun. L ün xy kümesi tarafından üretilen üçünü sınıftan serbest u x y x, y 4 x, y, x x, y, y v x y x, y 4 x, y, x x, y, y elemanları verilsin. Şimdi adım adım bu algoritmanın nasıl işlediğini görelim: Adım veya ise u ile v iç-oto-denk değildir. Aksi durumda yani ve ise Adım ye geçilir. Adım deg u deg u ve degu indirgenmeyeek şekilde u yu u ya dönüştüren bir iç otomorfizmi bulunur. Adım deg v deg v ve degv indirgenmeyeek şekilde v yi v ya dönüştüren bir iç otomorfizmi bulunur. Adım 4 deg u deg v ise u ile v iç-oto-denk değildir. Aksi durumda yani deg u deg v ise Adım e geçilir. Adım u v ise u ile v, Adım ve Adım te bulunan otomorfizmler kullanılarak elde edilen u v ise Adım 6 ya geçilir. iç otomorfizmi altında denk olur. Aksi durumda yani - 47 -
Adım 6 u v ise deg udeg v olur. Eğer deg udeg v ise ve v x y x y u x y x y, olup eğer 0 ise, u ile v, bir iç otomorfizmi altında denktir. Buradan da u ile v, Adım, Adım ve bu adımda bulunan otomorfizmler kullanılarak elde edilen otomorfizmi altında denktir. Eğer 0 u ile v de iç denk değildir. deg udeg v ise Adım 7 ye geçilir. ise u ile v iç denk olmadığından Adım 7 deg udeg v ise u ile v iç-oto-denk değildir. Burada algoritma sona erer. Örnek 9 L Lie ebirinde verilen u x y x, y 4,, 7,, x y x x y y v x y x, y x, y, x 0 x, y, y elemanlarının iç-oto-denk olduğunu Algoritma yi kullanarak gösterelim.. Adım ve Adım, tarafından u x y x, y olduğundan Adım ye geçilir. u w 4x 7y olmak üzere e iç otomorfizmi elemanına indirgenir. 0 0 Adım Teorem ten v, 7 w x y olmak üzere e v x y x, y elemanına indirgenir. Adım 4 deg udeg v olduğundan Adım e geçilir. Adım u v olduğundan Adım 6 ya geçilir. otomorfizmi tarafından u ile v, Adım 6 u v, deg udeg v ve 0 w y y iç iç olduğundan olmak üzere e iç otomorfizmi altında denktir. O halde u ile v, Adım, Adım ve bu adımda bulunan otomorfizmler kullanılarak elde edilen e e e iç otomorfizmi altında denktir. - 48 -
KAYNAKLAR ABHYANKAR, S.S., MOH, T.T., 97. Embeddings of the line in the plane. J. Reine Angew. Math. 76, 48-66. DRENSKY, V., YU, J.T., 007. Automorphi equivalene problem for free assoiative algebras of rank two. International J. Algebra And Comp. 7,, -4. MAKAR-LIMANOV, L. SHPILRAIN, V., YU, J.T., 007. Equivalene of polynomials K x, y. Journal of Pure and Applied Algebra. under automorphisms of 09, 7-78 SHPILRAIN, V., YU, J.T., 997. Polynomial automorphisms and Gröbner redutions. Jornal Algebra. 97, 46-8. WIGHTWICK, P.G., 00. Equivalene of polynomials under Automorphisms of. Journal of Pure and Applied Algebra. 7, 4-67. - 49 -