ÖÜ ÜV eğişim ranı, rtalama ve nlık Hız...7 ürev lma uralları... Parçalı ve utlak eğer Fonksionların ürevi...9 ürev ve üreklilik... gulama estleri...7 ÖÜ ÜVİ G - rtan ve zalan Fonksionlar...6 kstremum oktalar...6 irinci ürevin Grafi k orumu...7 Polinom Fonksionların Grafi kleri...7 gulama estleri...79 ÖÜ ÜVİ G - eğet ve ormalin ğimi...97 eğet ve ormal enklemleri...99 aksimum ve inimum Problemleri...08 gulama estleri... 7 ÖÜ 4 İZ İ naliz estleri...4
V uvvet Fonksionun ürevi İGİ uvvet Fonksionun ürevi anımlı olduğu aralıkta n m f ( ) = fonksionun türevi bulunurken f() önce üslü ifade biçimine getirilir. onra kuvvet fonksionun türevi alınır. ani n m f ( ) = fonksionunu üstel fonksion biçiminde azarsak f ( ) = olur. hâlde m m f ( ) - l = n olur. n n m Ö f ( ) = + + + + olduğuna göre, fl ( ) Ö Ö f ( ) =.. olduğuna göre, fl ( 6) + f:, { 0 } " ve fl : " olmak üzere, f ( ) = ise fl ( ) = + Ö. f ( ) = olduğuna göre, fl ( ) Ö 4 f ( ) = 4 + olmak üzere, f ( ) + fl ( ) = 0 olduğuna göre, in alabileceği değerler toplamı ) - ) 7 6 ) 8 6 4) 6 ÜV
V İ Polinom Fonksionların ürevi GİİŞ Vİ Vİ Vİ. f ( ) = olduğuna göre, fl ( 4) ) ) ) ) 4 ) 8. f ( ) = + + olduğuna göre, fl ( 4) ) 7 ) ) 7 ) 9 ) 8. f ( ) =.. olduğuna göre, fl ( ) ) 4 ) ) 6 ) 6 ) 8 7. f ( ) = olduğuna göre, fl ( 8) ) - ) 6 ) - ) 8 - ) - 4 4. f ( ) = + + + + olduğuna göre, fl ( ) ) ) ) ) 7 ) 4. 6. f ( ) = olduğuna göre, fl ( ) 4 ) ) ) 6 7 ) ) 8 6... 4.. 6. 4 ÜV
V ir Fonksionun uvvetinin ürevi İGİ ir Fonksionun uvvetinin ürevi n! ve f() türevlenebilir bir fonksion ise [()] f n fonksionu da türevlenebilir bir fonksiondur. Ö f ( ) = ( - + 4) olduğuna göre, fl ( ) Ö Ö f ( ) = + 4+ + olduğuna göre, fl ( 46) = 7f( ) n n- ise l= n. 7f ( ). fl( ) u kural kareköklü ifadee ugulanırsa f ( ) _ f ( ) il l = f ( ) elde edilir. Ö f ( ) = - + - olduğuna göre, fl ( ) Ö 4 ürevlenebilir f ve g fonksionları için, f ( + ) = g ( + ) g( ) = gl ( ) = olduğuna göre, fl ( ) ) ) 0 ) 4 4) ÜV
V İ ir Fonksionun uvvetinin ürevi GİİŞ Vİ Vİ Vİ. f() = ( ) 4 olduğuna göre, fl ( 4) ) ) 4 ) 8 ) ) 6. f() = ( ) olduğuna göre, fl ( ) ) 4 ) 6 ) 8 ) 0 ). f ( ) = + + olduğuna göre, fl ( ) ) 6 ) ) 4 ) 4 7 ). f ( ) = + - + olduğuna göre, fl ( ) ) 6 ) 6 ) ) ) 4. f ( ) = ( - ) olduğuna göre, fl ( ) ) ) 0 ) ) ) 6. f() = ( + ). ( ) olduğuna göre, fl ( ) ) 4 ) 9 ) 4 ) 7 ) 08... 4.. 6. 4 ÜV
V üksek ertebeden ürev İGİ üksek ertebeden ürev = f( ) n defa türevlenebilir bir fonksion olmak üzere, = f( ) fonksionunun; d df( ). türevi l= = = fl( ) d d Ö = + d olduğuna göre, d ifadesinin eşitini bulunuz. Ö Ö 7 6 = + + +... + olduğuna göre, d ifadesinin eşitini bulunuz. d 6 6 d d d d f( ). türevi m = f p= = = fm( ) d d d d d. türevi n = = fn ( ) ve benzer man- d tıkla n. türevi biçiminde gösterilir. n n ( n) ( n) d d f( ) = n = = f d d ( ) n n d d arı: d n! f p olduğuna dikkat ediniz. d Ö d ( - + + ) f ( ) = d olduğuna göre, fl ( ) Ö 4 = - d 0 olduğuna göre, d ifadesinin eşitini bulunuz. 0 ÜV ) 0 ) 60 7 0. 0! ) 7! + 6! 4) ( - )
V İ üksek ertebeden ürev GİİŞ Vİ Vİ Vİ. f ( ) = - + - olduğuna göre, = için d f( ) değe- d ri ) ) ) 4 ) ) 6. f ( ) = + ( ) olduğuna göre, f ( ) aşağıdakilerden hangisine eşittir?!! ) ) - ) 4 4! 4! ) - ) -! 4 d. ( + ). d d n + ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ) + ) ( + ) ) ( + ) ) ( + ) 4. f ( ) = + - + 4- d f( ) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisine d eşittir? ) ) 0 ) + ) + 6 ) 4 + 6 + 4. f ( ) = - ( 99) olduğuna göre, f ( ) aşağıdakilerden hangisine eşittir? 99! ) ( - ) 0! ) ( - ) 0 00 99! ) ( - ) 00 0! ) - ( - ) 99! ) - ( - ) 00 00 6. f ( ) = ( ) olduğuna göre, f ( ) aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) 7....... ) 7........ 7....... ). - ) 7........ 7....... ). -... 4.. 6. 8 ÜV
V ürev - üreklilik İlişkisi İGİ ürev - üreklilik İlişkisi f: " ve a! olmak üzere, = f( ) fonksionu = a apsisli noktasında türevli ise bu noktada kesinlikle. üreklidir.. ağdan ve soldan türevleri birbirine eşittir. Ö f: - { } " tanımlı f() fonksionunun grafiği verilmiştir. 4 4 4 f() Ö Ö +, f ( ) = * a + b, < fonksionu = apsisli noktasında türevli olduğuna göre, a- b farkı f() fonksionu = a apsisli noktasında. ürekli değilse bu noktada türevli de değildir.. ürekli olduğu hâlde türevli olmaabilir. una göre, f() fonksionu tanımlı olduğu aralıkta kaç farklı noktada türevsizdir? f() a b c d e f g Örnek olarak ukarıda grafiği verilen f() fonksionunun = a ve = g apsisli noktalarda türevi vardır. = b, c, d, e, f apsisli noktalarda ise türevi oktur. Ö f: [-, ] " olmak üzere, tanımlı olduğu aralıkta f ( ) = 9 - fonksionunu türevsiz apan değerlerini bulunuz. Ö 4 f ( ) = - + + - - +. fonksionunun türevsiz olduğu farklı değerlerinin çarpımı ÜV ) 6 ) {, } ) 7 4)
G İ - ürev lma uralları GİİŞ Vİ -. a reel saı olmak üzere, f() = a fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?. f() = ( ). ( ) df( ) olduğuna göre, aşağıdakilerden d hangisine eşittir?. f ( ) = + 4 olduğuna göre, f (4) ) 8 ) 4 ) 8 ) a ) a ) ) ) 0 ) + ) 4 ) + 4 ) 4 + ) ) ). f() = + olduğuna göre, fl_ i ) ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 4. f ( ) + = + olduğuna göre, fl ( ) ) 4 ) ) ) ) 4 8 6. ir P() polinomu için, P ( ) + Pl( ) = - 4+ 6 olduğuna göre, P() ) ) 4 ) ) 6 ) 7... 4.. 6. ÜV 7
G İ - ürev lma uralları - +, < 0 7. f ( ) = * a + b, 0 fonksionu her reel saısı için türevli olduğuna göre, a.b çarpımı ) 4 ) ) ) ) Vİ - - 9. f ( ) = * - 4,, > fonksionunun türevli olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? ) ) {} ) {4} ) (, 4) ) {, 4}. f ( ) = + m+ 6 fonksionunun =- için türevi olmadığına göre, fl ( ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 8. f() = + 6 olduğuna göre, fl() + fl(4) + fl(7) toplamı ) 4 ) ) 6 ) 7 ) 8 0. f ( ) = - + - olduğuna göre, =- için değeri d f( ) d ) 6 ) ) 4 Z - +, <. f ( ) = ] [ ] \, olduğuna göre, ( fl of)( ) değeri ) ) 0 ) ) ) ) ) 7. 8. 9. 0... 40 ÜV
G İ - 9 ürev lma uralları 7. f() = 4 a fonksionu verilior. fl() = 6 denklemini sağlaan iki farklı değeri olduğuna göre, a kaç farklı tam saı değeri alır? ) 8 ) 0 ) ) ) Vİ - Z ] + +, < ] 9. f ( ) = [, = ] 4 - \, > olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi anlıştır? ) f ( ) = ) f ( + ) = 8 ) f (0) = ) f () = 6 ) f () = 0. erecesi 0 dan büük olan P() polinomu tek fonksiondur. una göre, ( 0) P( ) P' ( ) P'' ( ) 0. P ( 0) + + +... + P( -) P' (-) P'' (-) ( 0) P (-0) işleminin sonucu ) 0 ) ) 0 ) ) 0 8. u = f( ) = t t = v- du olmak üzere, d v ifadesinin v = için değeri 60 dır. una göre, fl ( 4) ) ) ) 4 ) ) 6 0. 4 4 f() ukarıda f() fonksionunun grafiği verilmiştir. [ 4, ] aralığında f() in kaç farklı noktada türevi oktur? ) ) 4 ) Z ] -, ] -,. f ( ) = [ ], ] + +, \ olmak üzere,. fl( + ) =. fl( ) =. fl() = < - - < = > ifadelerinden hangileri doğrudur? ) alnız ) alnız ) ve ) ve ) ve ) 6 ) 7 7. 8. 9. 0... 4 ÜV
G İ - 0 ürev lma uralları İİ Vİ -. n! + olmak üzere, f() = ( + ) n fonksionu verilior. una göre, ( ) ( n) f ( 0) f ( 0) f( 0) + f' ( 0) + +... +! n! işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?. f() = a 4 + b + c + d fonksionunun e göre türevi tek fonksion olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? ) a + b = 0 ) a + c = 0 ) c + d = 0 ) c = 0 ) d = 0. fl ( ) = - kaç- olduğuna göre, = için tır? df( ) d ) ) ) ) ) 4 ) n ) n ) n ) ) 0. f ( ) = ( + ) + ( + )( + ) +... + ( + 0)( + ) fl( a) = 09 olduğuna göre, a 4. ürevlenebilir f fonksionu için f( ) + f() = + + olduğuna göre, f (4) 6. f ( ) = + - - + olduğuna göre, fl ( ) ) ) ) 4 ) 0 ) ) ) ) 4 ) 0 ) ) ) ) 4 ) )... 4.. 6. ÜV
V Grafiği Verilen Fonksionu orumlamak İGİ Grafiği Verilen Fonksionu orumlamak Ö Ö Ö f() f() 4 4 6 6 a b c d 4 e ukarıda f() fonksionunun [ 4, 6] aralığında grafiği verilmiştir. una göre, ukarıda (, 6 ] aralığındaki grafiği verilen f() fonksionunun kaç tane ekstremum noktası vardır? a) f() in artan olduğu aralıkları f() fonksionunun [a, b] aralığındaki grafiği ukarıdaki gibi olsun. b) f() in azalan olduğu aralıkları c) f() in ekstremum noktalarının apsislerini una göre, d) f ( ). fl ( ) > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini ) f(), [a, b] ve [c, d] aralığında artandır. u nedenle fl( ) > 0, fl ( ) > 0 olur. ) f(), [b, c] ve [d, e] aralığında azalandır. u nedenle fl( ) < 0, fl ( ) < 0 olur. 4 ) f() in = b ve = d apsisli noktalarda erel maksimumu vardır. fl( b) = fl( d) = 0 bulunuz. Ö f() 4) f() in = c apsisli noktasında erel minimumu vardır. u nedenle fl ( c) = 0 olur. ) f() in = a apsisli noktasında erel minimumu vardır. 6) f() in = b apsisli noktasında mutlak maksimumu vardır ama f(), = e apsisli noktada tanımlı olmadığından f() in mutlak minimumu oktur. 7) f() in = a, = b, = c ve = d apsisli noktalarında ekstremum değerleri vardır. ÜV ) a) [ 6, ] b) [- 4, ] c) -4,-,, 6 d) (-,- ),(, ),( 46, ) 69 ukarıda f() fonksionunun (, ) aralığındaki grafiği verilmiştir. una göre,. f() in mutlak minimumu vardır.. f() in mutlak maksimumu vardır.. fl( 0) = 0 V. fl( ). fld n<0 V. fl( - ) > fld n ifadelerinden kaçı doğrudur? ) 4 )
V İ Grafiği Verilen Fonksionu orumlamak GİİŞ Vİ Vİ Vİ.. f(). f() 4 4 4 f() ukarıda f() fonksionunun grafiği çizilmiştir. una göre, f() fonksionunun daima artan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir? ) (, ] ) [, ] ) [, ] ) [, ] ) [, ) ukarıda f() fonksionunun grafiği verilmiştir. una göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) fl( 6). fl() < 0 ) fl( ). fl() > 0 ) fl( ). fl(6) > 0 ) fl( ). fl() > 0 ) fl(0). fl() = 0 ukarıda f() fonksionunun grafiği verilmiştir. una göre, f() fonksionunun ekstremum noktalarının apsisler toplamı ) 7 ) 9 ) ) ) 4. f() 4. a f() b 6. 4 f() ukarıda f() fonksionunun grafiği verilmiştir. una göre,. (, ) aralığında f () > 0. (, ) aralığında f () < 0. f(4) < f() ifadelerinden hangileri doğrudur? ) alnız ) ve ) ve ) ve ), ve ukarıda f() fonksionunun [a,b] aralığındaki grafiği verilmiştir. una göre, f() in kaç tane ekstremum noktası vardır? ) 6 ) ) 4 ) ) ukarıda f() fonksionunun grafiği verilmiştir. una göre, f() fonksionunun erel maksimum noktalarının apsisler toplamı ) 6 ) ) 0 ) )... 4.. 6. 70 ÜV
G İ - ürevin gulamaları - 7. f ( ) ln e - = 4 + fonksionunun azalan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? ) (-, ] ) (-, 0] ) (-, 0) ) ( 0, ] ) (-, ) Vİ - 9. f() = fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) ). f ( ) = + m + m + fonksionunun ekstremum noktası olmadığına göre, m aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) - ) - ) ) ) ) 8. f ( ) 8 = - + fonksionunun dönüm noktasının ordinatı ) 0 ) ) ) ) 4 0. t sanie olmak üzere konum - zaman fonksionu (t) = (t t t ) metre olan bir hareketlinin. saniedeki anlık hızı kaç m/sn dir? ) ) ) 4 ) ) 6. fl() ukarıda türevinin grafiği verilen f() fonksionun dönüm noktalarının apsisler toplamı ) 4 ) ) ) ) 7. 8. 9. 0... 8 ÜV
G İ - ürevin gulamaları - Vİ -. f() fonksionu (a, b) aralığında pozitif değerli ve azalan olduğuna göre, aşağıdaki fonksionlardan hangisi anı aralıkta daima artandır? ) f() ) f () ) f ( ) ) f () ) f() + fl(). 4 fl() ukarıda f() fonksionunun birinci türevinin grafiği verilmiştir. una göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?. f ( ) = * - < + k fonksionunun = apsisli noktasında erel minimumu olduğuna göre, k nin en geniş tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ) (-. ] ) [-, ] ) [-, ] ) ( 0, ) ) = de f() in erel ekstremumu vardır. ) [, ] ) = te f() in erel maksimumu vardır. ) = de f() in erel minimumu vardır. ) = 4 te f() in erel maksimumu vardır. ) f() in tane erel ekstremum noktası vardır.. f() ukarıda f() fonksionunun grafiği verilmiştir. una göre, 4. f: [ 0, ] " olmak üzere, f ( ) = + + 6+ fonksionunun görüntü kümesinde kaç farkı tam saı değeri vardır? ) 0 ) ) ) ) 4 4 6. f ( ) = - - 0 + fonksionunun erel ekstremum noktalarının apsisler toplamı ) ) ) ) 4 ). (, ] aralığında f() artandır.. fl() = 0. = te fl() in erel maksimumu vardır. ifadelerinden hangileri doğrudur? ) alnız ) alnız ) alnız ) ve ) ve... 4.. 6. ÜV 87
G İ - 8 ürevin gulamaları -.! + olmak üzere, - f ( ) = fonksionunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? ) (0, ] ) (0, 4] ) [, 4] ) (0, ) ) [4, ). f ( ) İİ Vİ - a- = * + - > - fonksionunun = apsisli noktasında erel minimumu olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) ) 0 ) ) ). f() = + a fonksionunun birbirinden farklı iki tane erel ekstremumu olduğuna göre, a nın alabileceği en büük tam saı değeri ) ) ) ) 0 ). f() = + fonksionunun kaç tane ekstremum noktası vardır? ) ) 4 ) ) ) 4. f() ukarıdaki şekilde f() eğrisinin grafiği verilmiştir. f ( )- 0 f' ( ) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ] ) [, 4) ) (, ), (, ] 6. f() ukarıdaki f() fonksionunun grafiği verilmiştir. una göre, f() fonksionunun birinci türevinin grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) ) ) ) )... 4.. 6. ÜV 9
V İ aksimum - inimum Problemleri İGİ Ö şağıdaki durumlarda türev almak erine ilgili pratikler kullanılabilir. ) P = ) = k cm G F ir üçgenin içine çizilebilecek dikdörtgenin alanının maksimum değeri, üçgenin alanının arısıdır. ) öşeleri daire üzerinde olmak şartıla bir dairenin içine çizilen çokgen, düzgün çokgen olduğunda alanı maksimum olur. k = eğrisinin orijine en akın olduğu k nokta, = eğrisi ile = doğrusunun kesim noktasıdır. 4),, m, n, c! + ve + = c (sabit) m olmak üzere,. n çarpımının maksimum olması için m = olmalıdır. n Şekildeki [] çaplı arım çember, = cm ukarıdaki verilere göre, amuğunun alanı en çok kaç cm dir? u nedenle a) b), eşkenar üçgen olduğunda alanı maksimum olur., kare olduğunda alanı maksimum olur. (ört eş kare olmalı) Ö Ö G F H Ö merkezli çerek dairede = cm olduğuna göre, dikdörtgeninin alanı en çok kaç cm dir? c) üçgeninde, 7H= 7, = cm, H = 6 cm olduğuna göre, FG dikdörtgeninin alanı en çok kaç cm dir? d) enzer mantık, arım daire ve çerek daire için de geçerlidir. Ö 4 oplamları olan iki doğal saının birinin küpü ile diğerinin çarpımı en çok 60 60 0 amuğu, taban açıları 60 olan ikizkenar bir amuk olduğunda alanı maksimum olur. Üç tane eşkenar üçgen oluşur. ) 8 ) 7 ) 7 4) 0 0 ÜV
V İ aksimum - inimum Problemleri GİİŞ Vİ Vİ Vİ.. = 6. G F P H G F bir üçgen, [H] [], = 0 br, H = 8 br una göre, FG dikdörtgeninin alanı en çok kaç br dir? ) 0 ) 4 ) 0 ) ) 40 6 = eğrisinin başlangıç noktasına en akın olduğu nokta P olduğuna göre, P kaç birimdir? ) ) 6 ) ) 7 ) 4 merkezli çerek daire üzerinde bir noktası alınıp, üçgeni ve FG dikdörtgeni çizilior. = 4 cm olduğuna göre, FG dikdörtgeninin alanı en çok kaç cm olur? ) 8 ) r ) 6 ) 4 ) r. F Şekilde merkezli arım daire ve F dikdörtgeni verilmiştir. 4. + 4 = 48 6. 6 = cm olduğuna göre, F dikdörtgeninin alanı en çok kaç cm olabilir? ) 8 ) 8 ) 4 ) 4 ) nalitik düzlemde + 4 = 48 doğrusu ve dikdörtgeni verilmiştir. una göre, dikdörtgeninin alanının en büük değeri kaç br dir? ) 4 ) 48 ) 4 ) 40 ) 6 ukarıdaki şekilde merkezli çerek daire ve dik üçgeni verilmiştir. [] [] ve = 6 cm olduğuna göre, dik üçgeninin alanı maksimum olduğunda noktasının apsisi ) ) ) ) 4 )... 4.. 6. ÜV
V İ Grafik Üzerindeki aksimum inimum Problemleri İGİ Grafik Üzerindeki aksimum inimum Problemleri Ö Ö Ö = 4 - Grafik sorularında maksimum - minimum hesaplanırken önce, eğri üzerinde bir nokta seçilir. u noktanın koordinatları eğri denklemi kullanılarak azılır ve maksimum - minimum olması istenilen ifade bu noktanın koordinatları cinsinden azılır. ( 4, 0) H = f() Şekilde = + + 6 eğrisi ile dikdörtgeni verilmiştir. ikdörtgenin köşesi grafiğin sağ kolu üzerinde olduğuna göre, dikdörtgenin alanı en fazla kaç birimkare olur? Şekilde noktası = 4 - eğrisinin. bölgesinde kalan parçasının üzerinde herhangi bir nokta olduğuna göre, H dik üçgeninin alanı en büük olduğunda noktasının apsisi kaç olur? = a ir f() fonksionu, dikdörtgeni ve = a doğrusu verilmiş olsun. (, f( )) f( ) = a 44444444444444 a f() Önce dikdörtgeninin eğri üzerindeki köşesini isimlendirelim. (, f ( )) olsun. u durumda =, = f ( ) ve = - = a- olur. lan( ) =. Ö = 9 = Şekilde = - 9 eğrisi ile dikdörtgeni verilmiştir. ikdörtgenin ve köşeleri eğri üzerinde, ve köşeleri = doğrusu üzerinde olduğuna göre, dikdörtgenin alanı en çok kaç birimkaredir? Ö 4 (4, 0) (4, 0) noktasından geçen bir d doğrusu verilior. oğru ile koordinat eksenleri arasında kalan alanın en küçük olması için doğrunun eğimi kaç olmalıdır? d = f ( )( a- ) olur. rtık bu ifadenin türevi alınıp, ekstremum değerleri bulunur. ) ) ) 4 4) - ÜV
V İ Grafik Üzerindeki aksimum inimum Problemleri GİİŞ Vİ Vİ Vİ. =. = = +. = doğrusunun (0, 0) noktasına en akın olduğu noktanın koordinatları toplamı ) 4 ) 6 ) 8 ) 9 ) 0 ukarıdaki = - parabolü ve dikdörtgeninin köşesi parabol üzerinde. bölgede bir noktadır. una göre, dikdörtgeninin alanı en çok kaç br dir? ) ) ) ) ) Şekilde = ve = + doğruları ile dikdörtgeni verilmiştir. una göre, dikdörtgeninin alanı en büük olduğunda noktasının apsisi ) ) ) ) ). = = 4 4. = = 6 6. = 7 = nalitik düzlemde = parabolü, = 4 doğrusu, (, ) noktası ve eksenine paralel [] doğru parçası verilior. una göre, doğru parçasının uzunluğu en fazla kaç br olabilir? (0 4 olmak şartıla) ) ) 4 ) 6 ) 8 ) 0 nalitik düzlemde = eğrisi, = 6 doğrusu ve dikdörtgeni verilmiştir. una göre, dikdörtgeninin alanının maksimum olması için noktasının apsisi kaç olmalıdır? ) ) ) ) ) ukarıda = 7 parabolünün ve = doğrusunun grafikleri verilmiştir. una göre, dikdörtgeninin alanı en çok kaç br dir? ) 8 ) 0 ) ) 4 ) 6 ÜV... 4.. 6.
V İ aksimum - inimum Problemleri GİİŞ Vİ Vİ Vİ.. r. lanı 48 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir levhanın tamamı kullanılarak tabanı kare olacak şekilde en büük hacimli üstü açık bir kare dik prizma apılıor. Şekildeki gibi, dik üçgen biçiminde bir bahçenin bir kenarında duvar vardır. u bahçenin dik kenarları bir sıra tel ile çevrilecektir. elin uzunluğu 6 m olduğuna göre bu bahçenin alanı en fazla kaç m olabilir? Şekildeki merkezli r arıçaplı daire diliminin alanı 6 br dir. una göre, daire diliminin çevresinin en küçük olması için r kaç br olmalıdır? ) ) ) 6 una göre, bu prizmanın üksekliği kaç cm olur? ) ) ) 4 ) 6 ) 8 ) 64 ) 8 ) ) 6 ) ) 4 ) 6. 4. F 6. zunluğu a br olan bir ip iki parçaa bölünüor ve her parçanın uçları birleştirilerek birisinden kare, diğerinden bir daire apılıor. are ile dairenin alanları toplamının en küçük olması için karenin bir kenarı ne olmalıdır? ir dik üçgeni ve doğrusu çizilior. dik üçgeni doğrusu bounca katlandığında noktası [] kenarı üzerindeki noktasına gelior. = cm olduğuna göre, l üçgeninin alanı en büük değerini aldığında kaç cm olur? bir dikdörtgen [F] [F] = 6 cm = 8 cm olduğuna göre, uzunluğunun alabileceği en büük değer kaç cm dir? a ) r a ) r + ) a r + 4 ) a r a ) r + ) ) 4 ) 6 ) 8 ) 0 ) 4 ) ) ) )... 4.. 6. 4 ÜV
G İ - 7 ürevin gulamaları - 7. f() = a + b + c fonksionunun = apsisli noktasında dönüm noktası ve = apsisli noktasında da erel ekstremumu olduğuna göre, oranı b+ c a ) ) ) 0 ) 8 ) 6 Vİ - 4-9. f ( ) = + fonksionunun alabileceği en küçük değer ) ) ) ) 0 ). ir dairenin arıçapı saniede 0, cm hızla artmaktadır. una göre, dairenin arıçapı 0 cm olduğunda, dairenin alanının değişim hızı kaç cm /sn olur? ) r ) 4r ) r ) 6r ) 8r 8. a 0 olmak üzere, (a 6a ) + a = 0 denkleminin kökleri ve olduğuna göre, + toplamı en küçük değerini aldığında a 0. üze alanı sabit olan bir dik silindirin hacmi maksimum olduğunda, silindirin üksekliğinin, silindirin taban çapına oranı ) ) ) ) ). nalitik düzlemde P(, ) noktasından çizilen doğrunun. bölgede eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanının en küçük değeri kaç br dir? ) 0 ) 8 ) 6 ) 4 ) ) ) ) ) ) 7. 8. 9. 0... 0 ÜV
G İ - 8 ürevin gulamaları - İİ Vİ -. P. f() d (, 7). = + a (, ) a f() ukarıda f() parabolünün grafiği verilmiştir. f() parabolünün P(, ) noktasındaki teğeti orijinden geçtiğine göre, a ) ) ) 7 ) 4 ) 9 (, ) Şekildeki d doğrusu f() eğrisine sırasıla (, ) ve (, 7) noktalarında teğettir. g() = f( ) + f ( +4) olduğuna göre, g () ) 4 ) ) 6 ) 7 ) 8 d a > 0 olmak üzere = + a eğrisinin (, ) noktasındaki teğeti çizilmiştir. = olduğuna göre, oranı ) ) ) ) 4 ). d d 4. f() = + 4 + fonksionunun = 6 + doğrusuna en akın noktasının ordinatı ) ) 4 ) 6 ) 8 ) 0 6. f ( ) = - + 0 g() = + + eğrileri. bölgede birbirine teğettir. una göre, bu eğrilerin teğet oldukları noktanın apsisi ) ) ) 4 ) ) 6 = + a =- + a parabolünün eksenini kestiği ve apsisli noktalarındaki teğetleri sırasıla d ve d doğrularıdır. d = d olduğuna göre, a ) ) ) ) ) 4... 4.. 6. ÜV
G İ - 8 ürevin gulamaları - İİ Vİ - 7. f() = + 9 + eğrisinin hangi apsisli noktasındaki teğetinin eğimi en küçüktür? ) ) ) ) 0 ) 9. 4 km/sa 0 km km/sa. 6 km oprak ol sfalt ol ir bisikletlinin hızı toprak olda saatte 9 km asfalt olda ise 8 km'dir. Şekildeki noktasında bulunan hareketli 4 km/sa hızla noktasına doğru, noktasında bulunan hareketli de km/sa hızla noktasına doğru anı anda harekete başlıor. [] [] ve = 0 km olduğuna göre, harekete başladıktan kaç saat sonra iki hareketli arasındaki uzaklık minimum olur? vi asfalt ola 6 km uzaktaki noktasında olan bu bisikletli noktasındaki köüne en kısa sürede gitmek için asfalt ola noktasından girior. = 6 km olduğuna göre, kaç km'dir? ) ) ) 4 ) ) ) 4 ) ) 6 ) 7 ) 8 8. 0 cm uzunluğundaki bir telin tamamı kullanılarak bir düzgün altıgen ve bir eşkenar üçgen apılmak istenior. u çokgenlerin alanları toplamının en küçük olması için düzgün altıgenin bir kenar uzunluğu kaç cm olmalıdır? 0. F 4 9 a. km/sa = ) ) ) ) ) 6 bir dikdörtgen, [F] [F], mf ( % ) = a, F = 9 cm, F = 4 cm osa nın hangi değeri için + F toplamı en küçük olur? 4 ) ) ) 9 ) ) 4 nalitik düzlemde ve hareketlileri başlangıç noktasında bulunmaktadır. nı anda harekete başlaan bu iki hareketliden, pozitif ekseni bounca km/sa hızla hareketlisi de = eğrisi üzerinde gitmektedir. saat sonra bu iki hareketli arasındaki mesafe minimum olduğuna göre, bu andaki hareketlisinin koordinatları toplamı kaç olur? ) 6 ) ) 0 ) 8 ) 8 7. 8. 9. 0... ÜV
G İ - 0 ürevin gulamaları -. f() = + 4 eğrisinin erel maksimum noktasından çizilen teğetinin eğrii kestiği diğer noktanın koordinatları toplamı ) 4 ) ) 6 ) 7 ) 8 İİ Vİ -. = m + n doğrusu. = eğrisinin bir normali olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? ) m = n ) m. n = ) m. n = ) m < 0 ) m > 0. "İki eğrinin kesim noktalarındaki teğetleri birbirine dik ise bu eğrilere dik kesişen eğriler denir." = ve. = c eğrileri dik kesiştiğine göre, c ) 8 ) 4 ) ) ). f() = ve g() = + 6 6 parabollerinin kesim noktalarından birinden her iki parabole çizilen teğetler arasındaki dar açı kaç derecedir? ) 7 ) 60 ) 4 ) 0 ) 4. = + 7 d 6. f() = eğrisine dışındaki (, 0) noktasından çizilen teğetlerden birinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) = 4 ) = 6 ) = 4 8 ) = 6 ) = 8 6 = 4 ukarıdaki grafikte = + 7 parabolüne noktasında teğet olan d doğrusu ile = 4 doğrusu verilmiştir. = olduğuna göre, noktasının ordinatı ) 6 ) ) 4 ) )... 4.. 6. ÜV
İZ İ - 9 ürev Genel ekrar. f ( ) = + + + +... + 9 olduğuna göre f () ) ) ) 40 ) 44 ) 4 Vİ -. f() = fonksionu kaç noktada türevsizdir? ) ) 4 ) ) ). = eğrisi üzerinde koordinatları sıfırdan farklı olan bir P(, ) noktası alınıor. ğrinin P noktasındaki teğetinin eğimi, bu noktadaki değerine eşit olduğuna göre, + toplamı ) ) 0 ) 0 ) 68 ) 0. ürevlenebilir f, g ve F fonksionları için F() = (fog)() f(). g() = g() =, fl() = ve fl() = olduğuna göre, F () ) ) ) 6 ) 9 ) 4. f() = + k parabolüne başlangıç noktasından çizilen teğetler birbirine dik olduğuna göre, k ) - 4 ) - ) ) - 4 ) - 4 6. "İki eğrinin kesim noktalarındaki teğetleri birbirine dik ise bu eğrilere dik kesişen eğriler denir." f() = ile g() = a parabolleri dik kesiştiğine göre, a ) 4 ) ) ) )... 4.. 6. ÜV 7
İZ İ - 9 ürev Genel ekrar Vİ - 7. a 9. ir hareketlinin t saatte aldığı ol t - 6t st () = ( ln e + t ) km denklemi ile verilior. una göre, bu hareketlinin. saatteki anlık hızı kaç km/sa olur?. = a parabolüne dışındaki (, ) noktasından çizilen teğetler birbirine dik olduğuna göre, a ) 8 ) 6 ) 4 4 ) e ) 6 ) 7 ) 6 ) 9 bir dik üçgen ) 8 ) e []=[] = 4 cm = cm % m ( ) = a olduğuna göre tana değeri maksimum olduğunda kaç cm olur? ) 4 ) ) 6 ) 9 ) 8. = + 4 = 0. 4 f(). f() = + 4 fonksionunun [,] aralığında kaç farklı kökü vardır? ) ) ) ) 4 ) ukarıdaki şekilde = + 4 parabolü, = doğrusu ve [] kenarı eksenine paralel olan karesi verilmiştir. una göre, karesinin alanı minimum olduğunda noktasının apsisi kaç olur? f() = m + n + k + p fonksionunun dönüm noktasının apsisi ) ) ) 0 ) ) ) 8 ) ) 8 ) 4 ) 8 7. 8. 9. 0... 8 ÜV
İZ İ - 0 ürev Genel ekrar İİ Vİ - 7. f ( )- fa ( ) lim = f' ( a) " a - a olduğuna göre, f ( ) - f ( ) lim " - 9. f (). 4 P() limiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ). fl() ) f(). fl() ). f(). fl() ) f() + fl() Şekilde f() fonksionunun. türevinin grafiği verilmiştir. una göre,. f fonksionunun erel minimumu vardır.. f fonksionu daima konkavdır.. f fonksionu daima azalandır. ifadelerinden hangileri doğrudur? ) alnız ) alnız ) ve ) ve ukarıda üçüncü dereceden bir polinom olan P() fonksionu ve P() in = 0 apsisli noktasındaki teğeti verilmiştir. eğet eksenile pozitif önde 4 aptığına göre, P() polinomunun baş katsaısı ) 6 ) ) ) ) 4 ), ve 8. abanı kare olan, bir dik kare prizma şeklindeki bir odanın tüm üzeleri boanacaktır. Her bir üzein boa malieti, metre kare başına şu şekildedir: 0. = +. f () aban için 0, tavan için ve an duvarlar için dir. P danın hacmi 00 m olduğuna göre, boa malietinin minimum olması için odanın üksekliği kaç m olmalıdır? = 4 ukarıda tüm reel saılarda sürekli olan bir f fonksionunun birinci türevinin grafiği verilmiştir. ) ) ) 6 ) 8 ) 0 ukarıdaki şekilde = + parabolü = 4 doğrusu ve P noktasında = + parabolüne teğet olan dik amuğu verilmiştir. una göre dik amuğunun alanı maksimum olduğunda P noktasının apsisi kaç olur? ) ) ) ) ) una göre,. f(), [, ) aralığında artandır.. f() in erel maksimum noktası vardır.. f(0) = 0 ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur? ) alnız ) alnız ) alnız ) ve ) ve 7. 8. 9. 0... 60 ÜV
İZ İ - ürev Genel ekrar İİ Vİ -. f() = m + + fonksionunun eksenine paralel iki teğeti olduğuna göre, m nin alabileceği en büük tam saı değeri ) ) ) ) 4 ). = + ukarıdaki grafikte = + eğrisi ve dikdörtgeni verilmiştir.. 4 fl() una göre dikdörtgeninin alanı en az kaç br dir? ) 8 ) 6 ) 4 ukarıda gerçel saılarda tanımlı ve sürekli bir f() fonksionunun türevinin grafiği verilmiştir. ) ) una göre,. f() < f(). f() fonksionunun = 4 apsisli noktasında erel maksimumu vardır.. = 4 = 4. f (). f() fonksionu (-, - ] aralığında azalandır. ifadelerinden hangileri daima doğrudur? ) alnız ) alnız ) ve ) ve 6. f ( ) ), ve = - + 4+ eğrisinin = doğrusuna paralel teğetlerinin f() eğrisile kesim noktalarının apsisleri toplamı ukarıda = ve = 4 eğrileri ve eksenine paralel olan [] doğru parçası verilmiştir. Şekilde gerçel saılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksionunun. türevinin grafiği verilmiştir. una göre,. f() f() = 4. f fonksionu (0, 8) aralığında artandır. ) ) ) ) ) 4 üçgeninin alanı maksimum olduğunda noktasının apsisi kaç olur?. f fonksionunun = 0 da erel minimumu vardır. ) 6 ) ) 4 ) ) V. = 0 için f tanımlıdır. ifadelerinden kaç tanesi doğrudur? ) 0 ) ) ) ) 4... 4.. 6. ÜV 6
İZ İ - ürev Genel ekrar 7. F 4 bir dik üçgen F bir dikdörtgen []! [], = 4 cm, = cm olduğuna göre, dik üçgeninin alanının en küçük değeri kaç cm dir? ) ) ) 6 ) 8 ) 4 İİ Vİ - 9. f() = min {, } olarak tanımlanıor. una göre;. 6! - için f(). f() in = 0 da türevi oktur.. f() tüm reel saılarda türevlidir. ifadelerinden hangileri doğrudur? ) alnız ) alnız ) alnız ) ve ) ve - 4. f ( ) = * - 4 = fonksionu için. = de süreklidir.. = de tanımsızdır.. = de türevi vardır. ifadelerinden hangileri doğrudur? ) alnız ) alnız ) alnız ) ve ) ve 8. a b 0. eel saılarda tanımlı f ( ) = - fonksionula ilgili,. (, 0] aralığında azalandır.. = + bir dikdörtgen = a br. = 0 noktasında türevi vardır.. = noktasında türevi vardır. ifadelerinden hangileri doğrudur? = + 4 = b br kenarları,, ve noktalarından geçen en büük alanlı dikdörtgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir? ) ab ) 4ab ) (a + b) ) (a + b) ) ( a + b) ) alnız ) alnız ) alnız ) ve ) ve ukarıdaki şekilde = + = + 4 parabolleri ve bu parabollere sırasıla (, ) ve (, ) noktalarında teğet olan merkezli arım çember verilmiştir. una göre, çemberin arıçapı kaç br dir? ) ) 6 ) ) ) 7. 8. 9. 0... 64 ÜV