LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Bu bölümde bir integral dönüşümü olan Laplace dönüşümünü ele alacağız. Daha sonra başlangıç değer problemlerinin ( BDP) çözümlerini Laplace dönüşümü yöntemi ile elde edeceğiz. TANIM. f(t), [0, ) aralığında tanımlı bir fonksiyon olsun. f nin Laplace dönüşümü F (s) = 0 e st f(t)dt (1) integrali ile tanımlanan F fonksiyonu olup; L{f(t)} = F (S) ile gösterilir. İntegralin mevcut olduğu bütün s değerleri F nin tanım kümesini oluşturur. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 1/ 37
ÖRNEK 1. f(t) = 1, t 0 fonksiyonun Laplace dönüşümünü bulunuz. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 2/ 37
ÖRNEK 2. a bir reel sabit olmak üzere, f(t) = e at, t 0 fonksiyonun Laplace dönüşümünü bulunuz. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 3/ 37
ÖRNEK 3. a bir reel sabit olmak üzere, f(t) = sin(at), t 0 fonksiyonun Laplace dönüşümünü bulunuz. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 4/ 37
1, 0 t < 2, ÖRNEK 4. f(t) = 3, x = 2, 1, t > 2 Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 5/ 37
ÖDEVLER. 1. L{t} = 1, s > 0 olduğunu gösteriniz. s2 2. a bir reel sabit olmak üzere, L{cos(at)} = olduğunu gösteriniz. s s 2 + a 2, s > 0 Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 6/ 37
LAPLACE DÖNÜŞÜMÜN VARLIĞI f(t) = e t2 ve f(t) = 1 t fonksiyonlarının Laplace dönüşümleri mevcut değildir. Bir fonksiyonun Laplace dönüşümü var olması için hangi koşullar olmalıdır? sorusunu cevaplayan varlık teoremini ifade edeceğiz. Varlık teoreminin ifadesinde yer alacak olan parçalı süreklilik ve üstel mertebeden fonksiyon kavramlarını hatırlatalım. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 7/ 37
TANIM. f(t), fonksiyonu [a, b] kapalı aralığındaki sonlu sayıdaki sıçrama süreksizliği olduğu noktalar hariç her noktada sürekli ise, f(t) fonksiyonu [a, b] aralığında parçalı süreklidir denir. t, 0 t < 1, ÖRNEK f(t) = 2, 1 < t < 2, fonksiyonu [0,3] (t 2) 2, 2 < t 3 aralığında parçalı süreklidir. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 8/ 37
TANIM. f(t), fonksiyonu [a, ) aralığında tanımlı olsun, t > T için f(t) Me αt olacak şekilde T, M ve α pozitif sabitleri mevcut ise f(t) fonksiyonuna α üstel mertebedendir denir. ÖRNEK.f(t) = t, f(t) = e t ve f(t) = e t cos(2t) fonksiyonları t > 0, α = 1 üstel mertebedendirler. ÖRNEK.f(t) = e t2 fonksiyonu üstel mertebeden değildir. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 9/ 37
TEOREM. f(t), fonksiyonu [0, ) aralığında parçalı sürekli ve t > T için üstel mertebeden bir fonksiyon ise, s > α için f(t) fonksiyonunun Laplace dönüşümü vardır. UYARI. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 10/ 37
Varlık teoreminden şu sonucu elde edebiliriz. ÖZELLİK. f(t), fonksiyonu [0, ) aralığında parçalı sürekli ve α üstel mertebeden bir fonksiyon ve Laplace dönüşümü F (s) ise, lim F (s) = 0. s Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 11/ 37
LAPLACE DÖNÜŞÜMÜN ÖZELLİKLERİ LİNEERLİK ÖZELLİĞİ. Laplace dönüşümü lineer bir dönüşümdür. c bir sabit olmak üzere f ve g fonksiyonlarının Laplace dönüşümü mevcut olsun. L{f(t) + g(t)} = L{f(t)} + L{g(t)} L{cf(t)} = cl{f(t)} Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 12/ 37
ÖRNEK. L{3 e 2 t + 3 sin 2t}=? ÖRNEK. L{cos 2 t}=? Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 13/ 37
LAPLACE DÖNÜŞÜMÜN ÖZELLİKLERİ ÖTELEME ÖZELLİĞİ. f(t) fonksiyonun Laplace dönüşümü F (s) olsun. a bir sabit olmak üzere L{e at f(t)} = F (s a). Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 14/ 37
ÖRNEK. L{e t sin 2t} =? Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 15/ 37
LAPLACE DÖNÜŞÜMÜN ÖZELLİKLERİ ÖZELLİK. f(t) fonksiyonun Laplace dönüşümü F (s) olsun. L{t n f(t)} = ( 1) n dn F (s) ds n Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 16/ 37
ÖRNEK. L{t 2 } =? L{t n } = n! s n+1 ÖRNEK. L{t 2 sin 2t} =? Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 17/ 37
TÜREVİN LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Bir fonksiyonun türevinin Laplace dönüşümü ile kendisi arasındaki ilişki: f(t), fonksiyonu [0, ) aralığında sürekli, f (t), [0, ) aralığında parçalı sürekli ve her ikiside α üstel mertebeden olsun. Bu durumda s > α için olur. L{f (t)} = sl{f(t)} f(0) Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 18/ 37
TÜREVİN LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Bir fonksiyonun n. mertebeden türevinin Laplace dönüşümü : f(t), f (t),..., f (n 1) (t), fonksiyonları [0, ) aralığında sürekli, f (n) (t), [0, ) aralığında parçalı sürekli ve bu fonksiyonların tümü α üstel mertebeden olsunlar. Bu durumda s > α için L{f (n) (t)} = s n L{f(t)} s n 1 f(0) s n 2 f (0)... f (n 1) (0) olur. özel olarak n = 2 olması durumunda ise bağıntısı kolayca elde edilir. L{f (t)} = s 2 L{f(t)} sf(0) f (0) Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 19/ 37
TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Laplace dönüşümü f(t) fonksiyonunu F (s) fonksiyonuna dönüştüren bir integral dönüşümü olarak tanımlamıştık. Şimdi ise F (s) verildiğinde bu hangi fonksiyonun Laplace dönüşümüdür sorusunu cevaplayacağımız ters problemi ele alacağız. Laplace dönüşümü bire bir dönüşüm müdür? f(t) = 1, t 0 fonskiyonunun Laplace dönüşümü L{f(t)} = 1 s 1, 0 t < 2, g(t) = 3, x = 2, fonksiyonun da Laplace dönüşümü 1, t > 2 L{g(t)} = 1 s olduklarını göstermiştik ( örnek 1 ve örnek 4 bakınız). Bu verilen örnekten Laplace dönüşümün bire bir dönüşüm olmadığı açıkça görülür. Ters problem verildiğinde yani 1 s hangi fonksiyonun Laplace dönüşümü olmalı sorusununun cevabını netleştirmemiz gerekiyor. Bundan sonra ters problemleri cevaplarken Aynı Laplace dönüşümüne sahip farklı iki fonksiyondan en fazla birisi sürekli olabilir. ifadesini göz önünde bulunduracağız. Bu ifadeden yola Öğr.Gör. çıkarak Dr. Aliters Sevimlican Laplace dönüşümün tanımı verelim. 20/ 37
TANIM. f(t), [0, ) aralığında sürekli ve L{f(t)} = F (s) olsun. f(t) fonksiyonuna F (s) nin ters laplace dönüşümü denir L 1 {F (s)} = f(t) ile gösterilir. ÖRNEK. L 1 { 1 s } = 1 ÖRNEK. L 1 { 1 s 2 +1 } = sin t Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 21/ 37
TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜN ÖZELLİKLERİ LİNEERLİK ÖZELLİĞİ. Laplace dönüşümü lineer bir dönüşümdür. c bir sabit olmak üzere f ve g fonksiyonlarının sırasıyla Laplace dönüşümüleri F (s) ve G(s) olsun. L 1 {F (s) + G(s)} = L 1 {F (s)} + L 1 {G(s)} L 1 {cf (s)} = cl 1 {F (s)} ÖRNEK. L 1 { 1 s + 2 s+1 } = L 1 { 1 s } 2L 1 { 1 s+1 } = 1 2e t Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 22/ 37
Laplace dönüşümün öteleme özelliğini kullanarak f(t) fonsiyonun Laplace dönüşümü F (s) olsun. a bir sabit olmak üzere L{e at f(t)} = F (s a) L 1 {F (s a)} = e at L 1 {F (s)} = e at f(t) olacağı açıktır. ÖRNEK.L 1 { 3 s 2 2s+5 } =? Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 23/ 37
s 1 ÖRNEK.L 1 { s 2 5s+6 } =? ÖRNEK.L 1 { 1 s 2 +9 } =? ÖRNEK.L 1 5 { } =? (s+2) 4 ÖRNEK.L 1 { 3s+2 s 2 s+10 } =? Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 24/ 37
BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜLMESİ Bu bölümde lineer diferansiyel denklemler için başlangıç değer probleminin çözümünde Laplace dönüşümü nasıl kullanacağımızı ele alacağız. Yöntemi uygularken aşağıdaki adımları uygularız: 1. Verilen diferansiyel denkleme Laplace dönüşümü uygulanır 2. Başlangıç şartları ve Laplace dönüşümün özellikleri kullanılarak, BDP cebirsel bir denkleme dönüştürülür. 3. Elde edilen cebirsel denklemi çözüp ters Laplace dönüşümü uygulanarak BDP nin çözümü elde edilir. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 25/ 37
ÖRNEK. y (t) y (t) 2y(t) = 0, y(0) = 1, y (0) = 0 başlangıç değer problemini Laplace yöntemini kullanarak çözünüz. cevap: y(t) = 2 3 e t + 1 3 e2t Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 26/ 37
ÖRNEK. dy dt 3y = e2t, y(0) = 1 başlangıç değer problemini Laplace yöntemini kullanarak çözünüz. cevap: y(t) = e 2t + 2e 3t Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 27/ 37
ÖRNEK. y 6y + 9y = t 2 e 3t, y(0) = 2, y (0) = 6 başlangıç değer problemini Laplace yöntemini kullanarak çözünüz. cevap: y(t) = 2e 3t + 1 12 t4 e 3t Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 28/ 37
KONVOLÜSYON ÇARPIM TANIM. f(t) ve g(t), [0, ) aralığında parçalı sürekli olsun, f(t) ve g(t) fonksiyonlarının konvolüsyonu f g ile gösterilir ve (f g)(t) = t integrali ile tanımlanır. KONVOLÜSYON ÖZELLİKLERİ. 1. f g=g f 2. f (g + h) = (f g) + (f h) 3. (f g) h = f (g h) 4. f 0 = 0 5. f 1 f 0 f(t τ)g(τ)dτ Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 29/ 37
ÖRNEK. sin t 1 =? Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 30/ 37
KONVOLÜSYON ÇARPIM TANIM. f(t) ve g(t), [0, ) aralığında parçalı sürekli olsun, f(t) ve g(t) fonksiyonlarının konvolüsyonu f g ile gösterilir ve (f g)(t) = t integrali ile tanımlanır. KONVOLÜSYON ÖZELLİKLERİ. 1. f g=g f 2. f (g + h) = (f g) + (f h) 3. (f g) h = f (g h) 4. f 0 = 0 5. f 1 f 0 f(t τ)g(τ)dτ Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 31/ 37
KONVOLÜSYON TEOREMİ TEOREM. f(t) ve g(t), [0, ) aralığında parçalı sürekli ve α üstel mertebeden fonksiyonlar olsunlar. f(t) ve g(t) fonksiyonlarının Laplace dönüşümleri sırası ile F (s) ve G(s) ise veya olur. L{(f g)} = F (s)g(s) L 1 {F (s)g(s)} = (f g)(t) Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 32/ 37
ÖRNEK. y (t) + 4y(t) = g(t), y(0) = 3, y (0) = 1 başlangıç değer problemini Laplace yöntemini kullanarak çözünüz. cevap: y(t) = 3 cos(2t) 1 2 sin(2t) + 1 2 sin 2(t τ)g(τ)dτ t 0 Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 33/ 37
PARÇALI SÜREKLİ FONKSİYONLARIN LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ { 0, 0 t < a, TANIM. U(t a) = 1, t a şeklinde tanımlanan fonksiyona BİRİM BASAMAK FONKSİYONU denir. { 5, 0 t < 8, ÖRNEK. f(t) = 0, t 8 fonksiyonunu f(t) = 5 5U(t 8) şeklinde ifade edilebilir. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 34/ 37
ÖRNEK. f(t) = U(t 2) U(t 3) fonksiyonunun parçalı fonksiyon olarak ifade ediniz.(grafiğini çiziniz) 0 0 t < 1, ÖRNEK. f(t) = t, 1 < t < 5, fonksiyonunu birim basamak 1, t > 5 fonksiyonu şeklinde ifade edin. ÖRNEK. f(t) = sin tu(t 2π) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 35/ 37
LAPLACE DÖNÜŞÜMÜN İKİNCİ ÖTELEME ÖZELLİĞİ ÖTELEME ÖZELLİĞİ. f(t) fonksiyonun Laplace dönüşümü F (s) olsun. a bir sabit olmak üzere L{f(t a)u(t a)} = e as F (s) ÖRNEK1. L{U(t 2)} =? ÖRNEK2. L{(t 5) 3 U(t 5)} =? ÖRNEK3. L{tU(t 2)} =? ÖRNEK4. L{cos tu(t 2π)} =? ÖRNEK5. L 1 { 1 e 2s s 2 } =? Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 36/ 37
ÖRNEK. y (t) + y(t) = f(t), y(0) = 0 { 0, 0 t < 1, başlangıç değer problemini f(t) = 5, t 1 cevap: y(t) = [5 5e (t 1) ]U(t 1) için çözünüz. Öğr.Gör. Dr. Ali Sevimlican 37/ 37