1 İkiden fazla grubun ortalamalarını karşılaştırma TEK YÖNLÜ VARYANS ANALİZİ ve ardından yapılan ÇOKLU KARŞILAŞTIRMA TESTLERİ Parametrik test koşulları sağlanmadığında İkiden fazla bağımsız grubun ortalamalarını karşılaştırma KRUSKAL-WALLIS Testi
2 Bir Mühendislik Fakültesinde, 1 inci sınıfların temel matematik dersine giren bir öğretim üyesi, 4 ayrı Fen Lisesinden gelen öğrencilerin problem çözme becerilerine bakarak, bu liselerdeki matematik öğretiminin niteliği hakkında fikir sahibi olmak istemektedir. Bütün öğrencilere ortak bir test vererek, test sonunda 4 ayrı Fen Lisesinden gelen öğrencilerin puanlarını PUAN değişkeni olarak, geldikleri Fen Lisesini de LISE değişkeni olarak SPSS e girmiştir. Öğrencilerin geldikleri Fen Lisesinin matematik başarıları üzerinde anlamlı bir etkisi var mıdır? ya da (Farklı Fen Liselerinden gelen öğrencilerin matematik puan ortalamaları arasında fark var mıdır?)
3 İki farklı gruba ait ortalamaların arasında anlamlı fark olup olmadığı: İLİŞKİSİZ ÖRNEKLEMLER İÇİN T-TESTİ İkiden fazla grubun ortalamaları arasındaki farkların kontrolü için, olası ikili grupların tümüyle, [n(n-1)/2] ayrı t testi yapmak? Örneğin 5 grup için ON t testi yapmak gerekir.
4 Ancak ikiden fazla grubun karşılaştırılmasında her bir hipotez testine karışan 1.Tip hata oranı yükselir; TİP 1 HATA: Sıfır hipotezi doğru olduğu halde (gruplar arasında fark olmadığı halde) reddedilmesidir. Fark olmadığı halde VARMIŞ gibi görünmesidir 5 grupla 10 test için elde edilen oran deneysel hata oranı olarak adlandırılır p<0.4 fark varmiş gibi
İkiden fazla bağımsız grubun ortalamaları arasındaki farkları sorgulamak için tercih edilen parametrik test İlişkisiz (bağımsız) Örneklemler için Tek Faktörlü (yönlü) Varyans (değişke) Analizi kısaca, olarak adlandırılır. Tek Yönlü ANOVA [ANalysis-Of-VAriance] İlişkisiz örneklemler için tek yönlü ANOVA, ikiden fazla bağımsız (en az 3 farklı) gruba ilişkin ortalamaların en az ikisi arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olup olmadığını, ortalamalar arasında anlamlı bir fark yoktur şeklindeki yokluk hipoteziyle test eder ve F değerinin anlamlılığı için hesaplanan p değeri 0,05 in üzerinde çıktığında bu hipotez kabul edilmiş olur. 5
İlişkisiz örneklemler için tek yönlü varyans analizinin hipotez testi, grupların en az ikisinin ortalaması arasında anlamlı fark olduğunu gösterir. Diğer gruplar arasında da fark olup olmadığını, ya da aralarında fark olan grupların hangi ikili ya da ikililer olduğunu belirlemek için ayrıca ÇOKLU KARŞILAŞTIRMA TESTLERİNİN yapılması gerekir. Çoklu karşılaştırmalar, SPSS in İlişkisiz örneklemler için tek yönlü varyans analizi testinin içinde tümleşik olarak yer alır ve test esnasında bir işlem adımı olarak, çoklu karşılaştırma testlerin yapılması için seçimler yapılır. 6
7 İlişkisiz örneklemler için tek yönlü varyans analizinin güvenilir sonuçlar verebilmesi için şu koşulların sağlanmış olması gerekir: 1-Ortalaması kıyaslanacak (en az aralık ölçeğinde olan) verilerin dağılımı, ortalamaları kıyaslanacak her bir grup içinde, normal dağılım özelliklerini taşımalıdır 2-Ortalamaları kıyaslanacak grupların varyansları eşittir. (Mevcut grupların varyansları arasında istatistiksel olarak anlamlı fark yoktur) 3-Her bir veri diğerinden bağımsızdır (ve bir örneklem grubu varsa, bunlar evrenden rastgele seçilmişlerdir) (Bir veri, sadece o grupta yer alan ve ait olduğu bir veri kaynağından elde edilmiştir ve başka birisinden elde edilen verilerden etkilenmemektedir.)
8
9
10
11
12
13
14
15 Grup varyanslarının eşit olduğu varsayımı karşılandığında, Grup sayısı fazla ise Tukey, gruplardaki örneklem sayıları arasında fark varsa Scheffe Liberal (hataya tolerans gösteren) bir yaklaşımınız varsa LSD Grup varyanslarının eşit olmadığı durumlarda da Dunnett s C
16
17
18
19 Tek yönlü ANOVA, gruplar arası ortalamanın iki nedenle farklılaşabileceğini varsayar. 1-GRUPLAR ARASI FARKLILIKLAR (Bir fen lisesinden gelmiş olma gibi) Between Groups ifadesi= Gruplar arası farklılıklardan kaynaklanan farklılaşma 2- GRUP İÇİ FARKLILIKLAR (Bir gruptan gelmiş olmanın dışında kalan bireysel özellikler ya da örneklem seçimindeki hatalar gibi) Within Groups ifadesi= Grup içi farklılıklardan kaynaklanan farklılaşma
20
21 F değerinin anlamlılık test sonucuna göre, p değeri (p=0,030) 0,05 ten küçük olduğu için, grupların ortalamaları arasında anlamlı fark yoktur şeklindeki yokluk hipotezi reddedilmiştir. Yani, ortalamaları kıyaslanan 4 gruptan en az ikisinin ortalamaları arasında anlamlı fark vardır. Aralarında anlamlı fark olan grupları görmek için de seçilen çoklu karşılaştırma testinin sonuç tablosuna bakmak gerekir. Bu uygulamada Tukey Testi seçilmişti.
Sadece A ve C Fen Liselerinden gelen öğrencilerin puan ortalamaları arasında anlamlı fark vardır 22
Çoklu karşılaştırmaya ilişkin bir başka sonuç tablosu da, HOMOJEN ALT GRUPLAR TABLOSUDUR. Bu tabloda ortalamaları içeren her sütun, aralarında fark olmayan benzeşik grupları gösterir. Yandaki tabloya göre, 1. Sütunda ortalamaları yer alan C,B,D Fen liseleri aralarında fark olmayan bir alt grubu, 2. Sütundaki B,D,A Fen liseleri de başka bir grubu oluşturmaktadır. Bu tablodan C ve A nın farklı gruplarda yer aldığı dolayısıyla aralarında fark olduğu sonucu çıkarılır. 23
ETKİ BÜYÜKLÜĞÜ Yapılan tek yönlü varyans analizi testi, karşılaştırılan ortalamalar arasında anlamlı bir fark olup olmadığını ortaya koyar ancak bu farkın büyüklüğü hakkında bilgi vermez. Bu nedenle, istatistiksel anlamlılığın yanı sıra etki büyüklüğünün de bilinmesi önemlidir. Tek yönlü varyans analizinde etki büyüklüğü ETA-KARE ( 2 )olarak adlandırılan bir ilişki katsayısıdır. Bu katsayı, ANOVA tablosundaki, GRUPLAR ARASI VARYANSIN, TOPLAM VARYANSA BÖLÜNMESİYLE BULUNUR ve 0 (sıfır) ila 1 arasında bir değer alabilir. Eta karenin alacağı 0.01 değeri küçük, 0,06 değeri orta ve 0,14 değeri geniş etki büyüklüğü olarak yorumlanır Değişimin ne kadarının farklı gruplara ait olma ile açıklanabildiğinin göstergesidir. 24
TEST SONUCUNUN İFADESİ 25
26 Parametrik test koşulları sağlanmadığında İkiden fazla bağımsız grubun ortalamalarını karşılaştırma KRUSKAL-WALLIS Testi
27 İkisinde 8 er, diğer ikisinde 10 ar daire bulunan 4 blokluk bir sitenin yöneticisi, blokların ortalama su tüketimleri arasında fark olup olmadığını merak etmiştir. Bunun için A, B, C ve D Bloklarındaki her hanenin bir aylık su tüketimlerini sayaçlara bakarak metreküp olarak kaydetmiş, bunu TUKETIM değişkeni olarak, ardından, her dairenin ait olduğu bloğu da GRUP değişkeni olarak SPSS e girmiştir. Blokların ortalama aylık su tüketimleri arasında fark var mıdır?
28 Ortalamaları karşılaştırılacak gruplarda, veri sayısının az olması, veri sayısı yeterli olsa bile verilerin dağılımındaki anormallikler yüzünden testin koşullarının sağlanamaması gibi nedenlerle ilişkisiz örneklemler için tek yönlü varyans analizi yapılamayabilir. Bu durumda, parametrik bir test olan varyans analizinin alternatifi sayılabilecek, parametrik olmayan bir karşılaştırma testi olan Kruskal-Wallis testiyle, grupların arasında fark olup olmadığı sınanabilir.
29 Kruskal-Wallis testinde de, bütün veriler, Önce grup ayrımı yapılmaksızın küçükten büyüğe doğru SIRALAMA ÖLÇEĞİ PUANINA dönüştürülürler Ardından, sıralama ölçeğine dönüştürülmüş bu puanlar, kendi gruplarına ayrıldıktan sonra GRUP İÇİ SIRALAMA ÖLÇEĞİ PUAN ORTALAMALARI HESAPLANIR.
30 KRUSKAL-WALLİS TESTİNDE VERİ DÜZENİ
KRUSKAL-WALLIS TESTİNİN YAPILIŞI 31
32
p değeri, 0,05 ten BÜYÜK OLMADIĞI İÇİN, grupların ortalamaları arasında anlamlı fark yoktur hipotezi kabul edilemediğinden, grupların an az ikisinin ortalamaları arasında fark vardır sonucuna varılmıştır 33
34 ETKİ BÜYÜKLÜĞÜ η 2 χ 2 N -1
ÇOKLU KARŞILAŞTIRMALAR İkiden fazla grubun aralarındaki farkın kontrol edildiği testlerde, test sonucu, en az iki grup arası anlamlı fark olup olmadığını gösterdiğinden, bu farkın hangi gruplar arasında olduğunun bulunması için ayrıca çoklu karşılaştırma testlerinin yapılması gerekir. SPSS teki Kruskal-Wallis testi AYRICA ÇOKLU KARŞILAŞTIRMA SEÇENEĞİ İÇERMEMEKTEDİR. Bu durumda, SPSS kullanılacaksa, tüm grupların olası ikililerinin Mann-Whitney U testi ile kıyaslanması bir çözüm olabilir. Bu örnekte A,B,C ve D olmak üzere 4 grup olduğuna göre, A-B, A-C, A-D, B-C, B-D ve C-D şeklindeki gruplar birbirleriyle kıyaslanmıştır. 35
A-B, A-C, A-D, 36
37 B-C, B-D ve C-D
38