RASGELE SÜREÇLER Eğer bir büyülüğün her t anında alacağı değeri te bir şeilde belirleyen matematisel bir ifade verilebilirse bu büyülüğün deterministi bir büyülü olduğu söylenebilir. Haberleşmeden habere arşı gelen (veya haberi taşıyan) işaretler deterministi işaretler olara yorumlanamazlar. Zira işaretin gelece bir t anında alacağı değeri veren bir ifade varsa, bu gelecetei değerlerin de bilinmesi demetir. Dolayısıyla daha önceden sahip olunan bir bilgi haber değeri taşımaz. İletilen bilgiyi taşıyan işaretin gelecetei değerleri bilinmediği gibi, bu işaret üzerine zamanla değişimi rasgele olan gürültü de binmiştir. Gürültü rasgele olmala birlite eğer doğal aynalar tarafından yaratılmışsa belli bir aratere sahiptir. Gelece bir andai değerinin ne olacağı söylenemese de, örneğin gelecetei değerinin belli bir aralıta bulunma olasılığından söz edilebilir. Rasgele büyülülerin davranışlarını betimleme için de olasılı uramından faydalanılır. 3.. Tedüze Dağılımlı Sinyal Üretimi Bir X rasgele değişenin, a ve b arasında tedüze dağılımlı olabilmesi için olasılı yoğunlu fonsiyonu aşağıdai gibi olmalıdır. a x b f ( x) = b a 0 x, [ ab] (3.) Yuarıdai olasılı yoğunlu fonsiyonuna sahip dağılıma Tedüze Dağılım denir. ( ) ( ) = var x = μ = E x = ( b a) ( a+ b) (3.) 0 ile arasında değişen te düze dağılıma sahip n adet sayı üretme için rand omutu ullanılır. >> x=rand(,0000) Olasılı yoğunlu işlevini ullanara x değişeninin ortalamasını ve varyansını (değişinti) bulalım: 8
+ x Ex ( ) = xfdx= = 0.5 x 0 + + x x x E(( x m ) ) = ( x 0.5) f dx= x x+ 0.5 f dx (3.3) (3.4) 3 x x = + = + = 3 0.5 x (/ 3) (/ ) (0.5) 0.0833 0 mean omutuyla üretilen rasgele dizinin ortalaması var omutuyla da varyansı bulunabilir. >> mean(x) % integral (x fx dx) >> var(x) % integral ((x-mx)^ fx dx) norm omutuyla da x değişeninin varyansı bulunabilir. >> norm(x-mean(x))^/length(x) hist histogram şelinde grafi çizme için ullanılır. Histogram belli aralılılarda olan değerlerden, bir grubun içerisinde aç adet olduğunu bulur. Örne olara sınıftai öğrencilerin notları bir A vetörüne yazılsın, daha sonra sınıfın çan eğrisi çizilme istenirse aşağıdai od yazılabilir. Burada grafi varsayılan olara 0 eşit parçaya bölünmüştür. Eğer istenirse fonsiyon hist(a,n) selinde yazılara n sütuna da bölünebilir. Böylelile verilen bir sayı dizisi içerisindei sayıların dağılımını eranda görüntülenir. Şeil 3.: Histogram Hesaplanıren 0 ile arası 0 eşit parçaya bölünmüştür. 9
NOT: Toplam 0000 adet rasgele sayı üretildiğinde ve histogram 0 eşit parçaya böldüğünde her aralıta ortalama 000 adet veri olmalıydı. Anca şeilden de görüleceği üzere bu sayı her bir aralı için farlılı göstermetedir. Alınan örne sayısı arttıça dağılım daha düz bir hale gelecetir. Şeil 3.: Histogram Hesaplanıren 0 ile arası 0 eşit parçaya bölünmüştür. randint, tedüze dağılımlı rasgele tamsayı üretir. Komutta herhangi bir aralı belirtilmezse varsayılan olara 0 veya üretilir. >> n=0000; %örne sayisi >> iili_uret=randint(,n); >> mean(iili_uret) % toplam(x pi) >> var(iili_uret) % toplam((x-mx)^pi) >> std(iili_uret) >> norm(iili_uret-mean(iili_uret))^/0000 Ex ( ) = xp i i = (0) + () = 0.5 i (3.5) var( x) = ( x m ) p = (0 0.5) + ( 0.5) i = + = i x i 3 3 0.5 0.5 0.5 = 0.5 = 0.5 30
3.. Normal (Gauss) Dağılımlı Sinyal Üretimi X, süreli bir rasgele değişen ien, X' in yoğunlu fonsiyonu, f ( x) = e π ( x μ) (3.6) ise f ( x ) e normal dağılım, X' e de normal dağılmış rasgele değişen denir. Dağılımın μ ortalama ve varyans olma üzere ii parametresi vardır. X, normal dağılmış bir rasgele değişen ise ısaca X N( μ, ) ile gösterilir. Normal dağılımın bazı özellileri aşağıdai gibi sıralanabilir:. Eğrinin tepe notası ortalamaya arşılı gelir. Bu dağılımda ortalama, medyan (ortanca) ve mod (tepe değer) aynıdır.. Normal dağılım eğrisi ortalamaya göre simetritir. 3. Standart sapma eğrinin genişliğini belirler, yani standart sapma büyüdüçe değişenin alacağı en üçü değer ile en büyü değer arasındai açılı büyür. 4. Eğrinin altında alan alanın tamamı birimdir. 5. Normal dağılıma ilişin olasılılar normal dağılım olasılı yoğunlu fonsiyonunun belirlediği eğrinin altında alan alanlar olara hesaplanır. randn normal dağılımlı (Gauss) rasgele sayılar üretir. Varsayılan olara ifadenin ortalaması 0 varyansı ise dir. >> n=00000; %orne sayısı >> x=randn(,n); >> mean(x) %integral (x fx dx) >> var(x) % integral ((x-mx)^ fx dx) >> norm(x)^/n >> hist(x,00) 3
Şeil 3.3: Normal (Gauss) Dağılımlı Rasgele Değişen Rasgele Gauss Dağılımlı x değişeninin ortalaması ve varyansını değiştirme işlemi: (, ) N μ bir rasgele değişen oluşturma isteyelim. y = x+ c x değişeninin ortalaması 0 ise y nin ortalaması? ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) + ( ) = E x = E y = E x + E c = c var y var x var c (3.7) >> y=*x+3; >> mean(y) % ortalaması 3 >> var(y) % varyansı =4 >> hist(y,00) 3
Şeil 3.4: N (, 4) Gauss Dağılımlı Rasgele Değişen Q Fonsiyonu x Q( x) = e dx x π (3.8) Q fonsiyonu monoton azalan bir fonsiyondur. Bazı özellileri aşağıda sıralanmıştır: ) Q( ) Q( ) Q( ) ) Q( x) = Q( x) =, 0 = /, = 0 x 3) Q( x) = erf x μ 4) X N( μ, ) ien Pr ( X > x) = Q a 5) Pr{ X > ( μ+ a) } = Pr{ X < ( μ a) } = Q MATLAB da Q fonsiyonu işlemi qfunc omutuyla gerçeleştirilir. Örne 3.: N(0,) olasılı yoğunlu işlevine bir x değişenin 3 değerinden büyü gelme olasılığını Q işlevi yöntemi ve x değişeninden yararlanara bulunuz. >> [d]=find(x>3); >> length(d)/n; >> qfunc(3) 33
Örne 3.: N(0,) olasılı yoğunlu işlevine bir x değişenin den büyü 3 ten üçü değerler alma olma olasılığını Q işlevi yöntemi ve x değişeninden yararlanara bulunuz. % P(<X 3) >> [d3]=find(x>3); >> [d]=find(x>); >> (length(d)-length(d3))/n >> qfunc()-qfunc(3) b a ( x μ ) x μ = t e dx değişen dönüşümü π dt = dx ( ) (3.9) b μ t t t e dt = e dt e dt integral parçalandı π π π a μ a μ b μ ( ) b a ( x μ ) a μ b μ e dx Q( ) Q( ) π Toplanır Beyaz Gauss Gürültüsü: Toplanır Beyaz Gauss Gürültülü (AWGN) anal modeli, radyo analının lasi bir modelidir. Bu model, alınan işareti bozma yönünde elenmiş istatistisel olara bağımsız gürültü örnelerinden oluşur. Gürültü örnelerinin genliği bir Gauss olasılı yoğunlu işlevine sahiptir. Bu gürültü örneleri, birbirlerinden bağımsız olduları için, endi öz ilinti fonsiyonları ideal olara bir darbedir. Buna göre, AWGN analın güç spetral yoğunluğu tüm freanslar için düzdür. Bu yüzden bütün işaret freansları, AWGN analı vasıtasıyla özdeş olara üçültülmüştür. Aynı zamanda, AWGN analın genellile durağan olduğu ve davranışının zamanla değişmediği abul edilir. Bu abuller nedeniyle bir AWGN analı, gezgin radyo anal davranışını uygun şeilde modelleyemez. Gerçe dünyadai gezgin hücresel radyo ağlarında arşılaşılan radyo analı, ço sayıda yayılım yolunun birleşimidir. Bu davranış, ço yollu yayılım olara adlandırılır. Haberleşme sistemleri için ço yollu anal modeli, ullanımı AWGN anal modelinden daha zor olan bir anal modelidir. MATLAB da AWGN Gürültü Oluşturulması Ns x bilgi işaretinin uzunluğu olma üzere bu işaret etiyece ne gürültüsü ii şeilde ürebilebilir ve elenir. >> n=/sqrt()*(randn(ns,)+j*randn(ns,)); >>y=x+n; 34
y = awgn(x,snr) omutu da x bilgi işareti dizisine beyaz Gauss gürültüsü eler. snr sabiti db cinsiden sinyal/gürültü oranıdır. Eğer x armaşısa awgn armaşı gürültü eler. Bu ullanımda x in gücünün 0 db olduğu abul edilir. 3.3. Rayleigh Dağılımlı Sinyal Üretimi: Şeil 3.5: Ço Yollu Alıcı Verici Yapısı Şeilde görüldüğü gibi verici antenden çıan sinyal anal üzerinde birço yoldan alıcı antene ulaşabilir. Antenlerin dire birbirini gördüğü yol haricinde binalardan, ağaçlardan vs. başa yerlerden yansımalarla birlite sinyalin gecimiş alımları gelebilir. Anten arasındai her bir yola çolu yol bileşeni denir ve her yolun farlı bir zayıflatması ve zaman gecimesi vardır. Bunların alıcı antene toplamı ise alınan sinyali bozabilir bu olaya sönümleme denir. Böyle bir analı modelleme için zamanla değişen dürtü cevabı sahip bir model ele alır. İletilen sinyalin armaşı zarfı g s ise alınan sinyal modeli aşağıdai şeilde verilebilir. jθ gr() t = ρe gs( t τ) + n() t (3.0) Burada ρ. Yolun zayıflaması, θ. Yolun faz ayması veτ da. yolun gecimesidir. İi önemli (güçlü) yolun arasındai en büyü zaman farına τ m olara tanımlarsa, τ m ifadesine gecime yayılması denir. τ m ifadesi yalaşı T s eşit olursa gecimeli yollar semboller arası gecime oluşturur (ISI). Eğer τ m << Ts olursa çolu yol dağıtıcı değildir. Yani anal freans seçici değildir. Bu durumda analda eğer diret görüşün olmadığı ve vericiden çıan sinyalin birço yoldan alıcıya ulaştığı (her yolun yalaşı aynı zayıflatmaya sahip olduğu) varsayılırsa anal modeli g ( t τ ) g ( t) ise s s s 35
jθ g () t = g () t ρ e + n() t r s jθ h= x+ jy = ae, x= ρ cos( θ ) y = ρ sin( θ ) (3.) Alınan Sinyal g () t = hg () t + n(), t r s (3.) jφ h x jy ae sıfır ortalamalı Karmaşı Gauss rasgele değişeni = + = Merezi limit teoremine göre x ve y değişeni Gauss rasgele değişenine yalaşır. Bu durumda olasılı dağılım işlevi: x + y ( ) fxy, ( x, y) = e, π (3.3) a ( ) a fa ( a) = e U ( a) Rayleigh f φ =,0 φ < π, tedüze ( Uniform ) π Not: Ayrıca eğer Dire Görüş (LOS Line of Side) varsa anal Rician Dağılımına sahip olara modellenir. Eğer Baştai varsayım yapılmazsa gs( t τ s) gs( t) yani anal semboller arasında arışım meydana getiriyorsa bu durumda anala freans seçici anal denir. Bu tür anallar için çeşitli (OFDM gibi) yöntemler mevcuttur. 36
Rayleigh Benzetimi: clear all,clc,close all N=0000 A=randn(,N)/sqrt(); A=randn(,N)/sqrt(); mean(a) mean(a) var(a) var(a) h=a+a*i; figure tp=angle(h); hist(tp,0); %...Faz -pi ile +pi arasinda degismesi lazim title('faz Degisiminin Histogrami') tm=abs(h); mean(abs(tm)) var(abs(tm)) figure hist(tm,0) title('zarfin Genliginin Olasili Dagilim Islevi') text(,800,'rayleigh Dagilimi') Şeil 3.6: Rayleigh Dağılımın Faz Değişiminin Histogramı 37
Şeil 3.7: Rayleigh Dağılımın Zarfının Genliğinin Olasılı Dağılım İşlevi 38