Genel olarak matematikte, özel olarak da matematiksel iktisatta, fonksionlar üzerine konulan en önemli kısıtlama sürekliliktir. Kabaca, bir fonksion tanımlı olduğu bir o noktasında sürekli ise, o a akın değerler aldığında f() de f( o ) a akın değerler alır demektir. Başka bir anlatımla f() o cıvarında sıçrama apmaz, davranışı öngörülebilirdir. Bu bölümde bu kavramı formel hale getirip, sürekli fonksionların özelliklerine bakacağız. Sürekliliği tanımlamak için önce akınlık kavramını tanımlamak gerekmektedir. Tanım 3.1. Uzaklık fonksionu ve açık komşuluk. i. (uzaklık fonksionu) Her, R için ile arasındaki uzaklık d(, ) = olmak üzere reel değerli bir fonksiondur ve a., R için d(, ) 0 ve d(, ) = 0 ancak ve ancak =, b., R için d(, ) = d(, ), c.,, z R için d(, z) d(, ) + d(, z) (üçgen eşitsizliği). özelliklerini sağlar. ii. (açık komşuluk) B( o, ε) = { R d(, o ) < ε} = ( o ε, o + ε), ani bir o R saısına ε dan daha akın olan noktalar, kümesine o ın ε açık komşuluğu denir. Uzaklık fonksionunun özellikleri mutlak değer fonksionunun özelliklerinden kanaklanır. Bilindiği gibi, 0, 0 olarak tanımlanır ve, 0 0 0, = 0 ancak ve ancak =, = z + z özelliklerini sağlar. Dolaısı ile reel saılar için iki saı arasındaki uzaklık iki saının farkının mutlak değeri olarak tanımlanır ama biz d(, ) notasonunu kullanacağız. Bölece, d( 3, 3) = 3 3 = 6, d(0, 1) = 1, d(0, 1) = 1, d(, 5) = 3 = d(5, ) olacaktır. Her R için d(, 0) = olduğuna dikkat ediniz.
Öte andan B( o, ε) kümesi reel saılarda o merkezli, ε çaplı açık aralıktır. Yani B( o, ε) = ( o ε, o + ε) dır, o o ε o o + ε o ve B( o, ε), o ε saısından büük, o + ε saısından küçük reel saılar kümesidir. Örneğin, B(5, 0.5) = (5 0.5, 5 + 0.5) = (4.5, 5.5) olur. Dolaısı ile B(5, 0.5), 4.5 den büük 5.5 den küçük reel saılar kümesidir ve her B(5, 0.5) için d(, 5) < 0.5 olacağı açıktır. Tanım 3.. Sürekli fonksionlar. f: D R R ve o D olsun. Eğer, her ε > 0 için B( o, δ) f() B(f( o ), ε) a da özdeş olarak d( o, ) < δ d(f( o ), f()) < ε olacak şekilde bir δ > 0 saısı varsa f() o noktasında süreklidir denir. Eğer fonksion D nin her noktasında sürekli ise D üzerinde süreklidir denir. f() o noktasında sürekli değilse, o noktada süreksizdir denir. o B( o, ε) o o o o o B( o, ) Şekil 3.1. Sürekli Fonksion Tanım Şekil 3.1. ardımıla açıklanabilir. = f() ve o = f( o ) olsun. B( o, ε) = ( o ε, o + ε), o merkezli herhangi bir açık aralık olsun. Şekilde ugun bir > 0 seçimile oluşturulan bir B( o, ) gösterilmiştir. Her B( o, ) için bir = f() B( o, ε) olur. Şimdi Şekil 3. i inceleelim. Buradaki f() fonksionu < 1 için = 3 + 1 için = olmak üzere iki parçalıdır ve o = 1 olduğunda o = f( o ) = 1 = 1 olur. ε = 0.4 olmak üzere o merkezli açık aralığı, ani B( o, 0.4) = (0.6, 1.4) u, ele alalım.
(1, 1+ ) o ama f() (0.6, 1.4) f() = 3 + 1.4 o o 0.6 o o o o 1 1 1+ = Şekil 3.. Bir Noktada Süreksiz Fonksion Fonksion o = 1 noktasında sürekli değildir. Çünkü, her > 0 için B( o, ) = ( o, o + ) = (1, 1 + ) görüntüsü (0.6, 1.4) aralığında olmaan noktalar içerecektir. Örneğin, = 0.1 için 0.95 B( o, ) = (0.9, 1.1) olur ve f(0.95) = 3 + 0.95 = 3.95 (0.6, 1.4) dır. Dolaısı ile sürekliliğin tanımı gereği her ε > 0 için B( o, δ) f() B(f( o ), ε) olacak şekilde bir > 0 bulamıoruz. Burada açık olduğu üzere fonksion o = 1 noktasında sıçrama apmaktadır: o = 1 noktasının hemen solundaki noktalarda fonksion değeri = 3 + olmak üzere 4 e aklaşırken, o noktasında = = 1 olmaktadır. Örnek 3.1. i. f: R R, = f() = a + b olsun. Bu fonksion her R noktasında süreklidir. Şöle ki, herhangi bir o R noktasında o = f( o ) = a + b o olduğuna göre her B( o, ε) için d(, o ) = a + b (a + b o ) = b o = b d(, o ) olduğuna göre her ε > 0 için = ε/ b koarsak olur. d( o, ) < δ d( o, ) < ε ii. 3-, 1 fonksionu her noktada süreklidir. Burada sorunlu olan o = 1 noktası-, 1 dır. Diğer noktalarda (i) örneğinden bildiğimiz üzere fonksion süreklidir. Fonksionun o = 1
noktasındaki değeri o = (1) = 1 dir. Her ε > 0 için B( o, ε) = (1 ε, 1 + ε) olur. Bu kümenin ters görüntüsü (1 ε/, 1 + ε) aralığıdır (aşağıdaki şekli inceleiniz). O halde δ = ε/ koarsak B( o δ, o + δ) = (1 ε/, 1 + ε/) f() B( o, ε) olur. Yani fonksion = 1 noktasında da süreklidir. = 3 1 + ε = o = 1 o o 1 ε/ 1 1 + ε İktisadi ugulamalarda karşımıza çıkabilecek fonksionların hemen hepsi süreklidir ve biz her seferinde fonksionların sürekliliğini göstermek durumunda değiliz. Aşağıdaki tabloda standart bazı sürekli fonksionlar gösterilmiştir. Tablo 3.1. Bazı Sürekli Fonksionlar Tanım Aralığı R, a, b R, t 1 R 0 R, a, b R, t = 1 > 0 = f() = a + b t = ln R, a R (e =.71881... irrasonel saısı) = ae R, a, b R = ba R = sin R = cos Bu tablodaki fonksionlar bir sonraki teoremle birlikte ele alındığında birçok fonksionun sürekli olduğunu gösterebiliriz.
Teorem 3.1. f: D R R sürekli fonksionların kümesine C dielim. Bütün f, g C ve α, R için: i. αf süreklidir (αf C dir). ii. (αf + g) C dir. iii. f.g C dir. iv. g() 0 olmak üzere f/g C dir. v. (g o f) C dir. Uarı: (αf + g) C olduğuna göre α = 1, = 1 koarsak f g C, ani sürekli olmalıdır. Buna göre sürekli fonksionların skalar katları, toplamları ve farkları, çarpımları, bölümler (tanımlı olmak koşulula) ve bileşimleri sürekli fonksionlardır. Örnek 3.. i. = a + b t fonksionu sürekli olduğuna göre b = 0 koarsak = a sabit fonksionu da süreklidir demektir. = a fonksionunun sürekli olduğunu doğrudan ispat ediniz. ii. = 3 3 5 + fonksionu süreklidir. Çünkü, 3, 3, 5 ve = sabit fonksionları sürekli fonksionlardır ve bu sürekli fonksionların toplam ve farklarından oluşur. ii. = ( 1)( 3 + +1) fonksionu süreklidir. Çünkü, f() = ( 1) ve g() = ( 3 + +1) fonksionları süreklidir ve = f()g() iki sürekli fonksionun çarpımından oluşmaktadır. iii. = ( 3 + +1)/( 1) fonksionu o = 1 noktası dışında her noktada süreklidir. Çünkü, o dışındaki her noktada g() = ( 1) 0 dır ve = f()/g() fonksionu sürekli fonksionların bölümü olduğu için süreklidir. iv. = ( 3 + +1) fonksionu süreklidir. g() = ( 3 + +1), f() = dersek, = (fog)() = ((g()) bileşik fonksionudur ve süreklidir. v. = ln(( 3 +1)) fonksionu sürekli fonksionların bileşiğidir ve süreklidir. vi. tan = sin/cos fonksionu, cos fonksionunun sıfırdan farklı değerler aldığı her noktada tanımlı ve süreklidir. vii. = ln(a ) fonksionu sürekli fonksionların bileşiğidir ve süreklidir. viii. = a ise ln = lna ve = e ln(/a) olur. Bu ters fonksion da = e u, u = ln(/a) olmak üzere sürekli fonksionların bileşiği olarak süreklidir. Sürekliliğin tam olarak ne anlama geldiğini sonraki iki teoremden görüoruz:
R fonksionu sürekli ise görüntü kümesi f([a, b]) de kapalı bir ara- Teorem 3.. f: [a, b] lıktır. Teorem şunu demektedir: a ve b saılarını birleştiren doğrunun sürekli bir fonksion altındaki görüntüsü (başka) iki saıı birleştiren bir doğrudur. Sürekli bir fonksion arada boşluk bırakmaz. Örneğin, = + fonksionunu ele alalım. Bu fonksion sürekli fonksionların toplamıdır ve süreklidir. Bu fonksion altında [0, ] aralığının görüntüsü [0, 1] aralığıdır (aşağıdaki şekli inceleiniz). 1 = + 0 Dolaısı ile teorem [a, b] aralığının görüntüsü [f(a), f(b)] aralığıdır dememektedir. Bu örnekte f(a) = 0 = f(b) dir ama f([a, b]) = [0, 1] dir. f(b) f() f(a) a c c b Teorem 3.3. (Ara değer teoremi) f: [a, b] R fonksionu sürekli ve f(a) f(b) olsun. O halde, f(a) ile f(b) arasındaki her için, f(c) = olacak şekilde bir c [a, b] vardır (ani sürekli bir fonksion birbirinden farklı iki değer alıorsa, bunların arasındaki her değeri alır). Buna göre sürekli bir fonksion iki farklı değer alıorsa bu değerler arasında kalan her değeri alır, arada boşluk bırakmaz. Yukarıdaki şekilden görüldüğü gibi bu değeri birden fazla değeri için alabilir, ama mutlaka bir defa alır.
Ara değer teoreminin aşağıdaki özel hali iktisatta çok kullanılır: Teorem 3.4. f: [a, b] R fonksionu sürekli ve f(a) < 0, f(b) > 0 olsun. O halde, f(c) = 0 olacak şekilde bir c [a, b] vardır. Buna göre, f(a) < 0, f(b) > 0 olduğunda sürekli bir fonksion arada sıfır değeri almadan işaret değiştiremez. Bu bölümde tek değişkenli fonksionlarda türev konusunu ele alacağız. İktisatta en çok ugulama alanı bulan konu istisnasız türevdir. Türevlenebilir fonksionlar sürekli olmaa ek olarak düzgün a da pürüzsüz fonksionlardır. Bir f() fonksionunun sürekli olduğu bir o noktasında öngörülebilir olduğunu bilioruz: o a akın kalarak değiştiğinde f() de f( o ) a akın kalır. Bir f() fonksionun o noktasında türevi varsa ve biz bunu biliorsak, f() fonksionunun o noktasının akınlarında nasıl değiştiğini de bilioruz demektir. 3..1 BİR DOĞRUNUN EĞİMİ = a + m a Şekil 3.3 Bir doğrunun eğimi f: R R, = f() = a + m fonksionunun bir doğrunun denklemini tanımladığını ve sürekli olduğunu bilioruz. Bilindiği gibi buradaki m saısı doğrunun eğimidir. Bunun anlamını görmek için önce sıklıkla kullanacağımız fark operatörünü,, tanımlaalım: Şimdi, herhangi bir z R için z = z deki değişme olarak orumlanır: z > 0 ise z değişkeni artmaktadır, z < 0 ise z değişkeni azalmaktadır. 1 = f( 1 ) = a + m 1 ve o = f( 1 ) = a + m o olduğuna göre:
= 1 o = [(a + m 1 ) (a + b o )] = m( 1 o ) = m ve / = m olur. O halde m = / = ( deki değişme)/( deki değişme) demektir ve bu anlamda = f() = a + m fonksionunun eğimidir. Bize değiştiğinde = f() in ne kadar değişeceğini gösteir. Buna göre = m olur ve m > 0 ise > 0 için > 0 ( artar); m < 0 ise > 0 için < 0 ( azalır). Burada dikkat edileceği gibi in ne kadar büük a da küçük olduğu, a da hesaplamanın hangi noktada apıldığı, eğimin hesaplanmasını etkilemeecektir. Başka bir anlatımla = a + m fonksionu sabit eğimlidir. Bir doğrunun anlamı da zaten budur: doğrunun geçtiği bir (, ) noktasını ve eğimini a da doğrunun geçtiği iki noktaı biliorsak, doğrunun denklemini bulabiliriz. Şöle ki, 1. ( o, o ) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi: o = a + m o a = ( o m o ) ve = ( o m o ) + m olur.. ( o, o ) ve ( 1, 1 ) noktalarından geçen doğrunun denklemi: m = / = ( 1 o )/( 1 o ), a = ( o m o ) = ( 1 m 1 ) ve = a + m olur. Örnek 3. i. (1, 3) noktasından geçen ve eğimi olan doğrunun denklemini bulalım. = a + m olacağına ve f(1) = 3 şartını sağlaması gerektiğine göre: 3 = a + (1) a = 1 ve aradığımız doğrunun denklemi = 1 + dir. ii. ( o, o ) = (1, 3) ve ( 1, 1 ) = (, 5) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulalım. Burada, = 1 o = 1 = 1 ve = 1 o = 5 3 = olduğuna göre m = / = /1 = olur. Öte andan, = a + m olacaksa o = 3 = a + m o = a + m ve 1 = 5 = a + m 1 = a + m ve a = 3 m o = 3 = 5 m 1 = 5 () = 1 olur. O halde aradığımız denklem = 1 + dir. Dolaısı ile a saısını hangi noktaı gözönüne alarak hesapladığımız fark etmeecektir. Burada eğim pozitiftir. Buna göre = dir ve > 0 ise ( artarsa), ( kadar) artar. iii. ( o, o ) = (1, 3) ve ( 1, 1 ) = (, 1) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulalım. Burada, = 1 o = 1 = 1 ve = 1 o = 1 3 = olduğuna göre m = / = /1 = olur.
Öte andan, = a + m olacaksa o = 3 = a + m o = a + m a = 3 ( ) = 5. O halde aradığımız denklem = 5 dir. Burada eğim negatiftir: > 0 ise ( artarsa), ( kadar) azalır. Aşağıdaki doğruların denklemlerini bulunuz, grafiklerini şekil üzerinde gösteriniz: i. (1, 1) noktasından geçen ve eğimi m = 1 olan, ii. (1, 1) noktasından geçen ve eğimi m = 1 olan, iii. (, 3) ve (3, ) noktalarından geçen, iv. (, 3) ve (3, ) noktalarından geçen, v. (, 3) ve (3, 4) noktalarından geçen. 3.. BİR FONKSİYONUN EĞİMİ VE TÜREV Şimdi türev konusunun problemini ortaa koabiliriz: Bir doğruu tanımlaan fonksionun eğimini bildiğimizde fonksionun nasıl değişeceğini bildiğimiz gibi, genel bir f() için de benzer şekilde orumlaabileceğimiz bir eğim tanımlaıp bunu hesaplaabilir miiz? f( o + 1 ) = a 1 + m 1 = a + m f( o + ) = f() Şekil 3.4 Bir Fonksionun Eğimi o o + 1 o + Şekil 3.4 de genel bir = f() fonksionu üzerinde ( o, o ) noktasında eğim hesaplamaa çalışalım. Bu noktadan başlaarak in değerini 1 kadar arttırırsak, 1 = + olmak üzere 1 = f( 1 ) = f( o + ) olur. Burada = f( o + ) f( o ) olmak üzere, eğimi m 1 = f ( o ) f ( o) olarak hesaplarsak aslında fonksion üzerinde belirtilen iki noktadan geçen doğrunun eğimini bulmuş oluruz (Şekil 3.4 de = a 1 + m 1 doğrusu).
Öte andan = koarsak, m f ( o ) f ( o) olmak üzere Şekil 3.4 de = a + m doğrunun eğimini hesaplamış oluruz. O halde, i nasıl seçtiğimize bağlı olarak ( o, f( o )) noktasından geçen farklı doğruların eğimlerini bulmuş olacağız. Şöle düşünelim: ( o, f( o )) den geçen hangi doğruu seçersem, f() değerlerini o noktasının akınlarında o doğru üzerinde daha az hatala hesaplamak mümkün olur? Örneğin, = f() = fonksionunu ele alalım ve o = 1 noktasında eğimini ukarıdaki öntemle farklı değerleri için hesaplaalım. f( o ) = 1 olduğuna ve her durumda doğru (1, 1) noktasından geçeceğine göre: = ( o + ) 1 m = / = a + m 1 3 3 + 3 0.5 1.5.5 1.5 +.5 0.1 0.1.1 1.1 +.1 0.01 0.001.01 1.01 +.01 0.001 0.00001,001 1.001 +.001 0 0 1 + olacaktır. Burada = 0 koulduğunda / = 0/0 olmaktadır ama biz m = / = aldık. Şu nedenle ki, / değerlerine bakıldığında küçüldükçe / = değerine limit olarak aklaşmaktadır. Yani küçüldükçe kiriş doğru = 1 + teğet doğrusuna limit olarak aklaşır. Şimdi, = 1.015 in için = ki bunun 1.0305 olduğunu bilioruz değerini tablodaki doğrular üzerinde hesaplaalım: = a + m f(1.015) a + m(1.015) + 3 1.045 1.5 +.5 1.0375 1.1 +.1 1.0315 1.01 +.01 1.03015 1.001 +.001 1.030015 1 + 1.03 Tahminlerin m = değerine aklaştıkça iileştiğine dikkat ediniz. Öte andan = 1 noktasına daha akın olan = 1.0015 değeri için = 1.003005 değerini anı doğrular üzerinde tahmin etsedik:
= a + m f(1.015) a + m(1.0015) + 3 1.0045 1.5 +.5 1.00375 1.1 +.1 1.00315 1.01 +.01 1.003015 1.001 +.001 1.0030015 1 + 1.003 olurdu, ve m = değerine aklaştıkça tahminler daha ii olmaktadır. Buradan çıkan sonuç o = 1 noktasının akın civarında, ani eterince küçük ε > 0ve B( o, ε) için, = nin değerini = 1 + teğet oğrusu üzerinde en ii şekilde tahmin edebilioruz. = f() = a o + m o o B( o, ε) Şekil 3.5 Bir Fonksionun Eğimi o İşte bir f() fonksionunun eğiminin anlamı budur: bir fonksionun bir o noktasındaki eğimi, fonksiona o noktada teğet olan doğrunun eğimidir. o noktasının bir (eterince küçük) ε komşuluğunda (Şekil 3.5 de B( o, ε)), B( o, ε) için f() a o + m o değeri fonksionun en ii doğrusal aklaşık değerini verir. Ve biz f() in o noktasındaki eğimine fonksionun o noktadaki türevi dioruz. Bu tanımı formel olarak vermeden önce iç nokta kavramını vermemiz gerekir. Tanım 3.3 İç nokta A R ve o A olsun. Eğer, B( o, ε) A olacak şekilde en az bir ε > 0 varsa o A nın iç noktasıdır denir. A nın bütün iç noktalarının kümesine iça = { A A nın iç noktasıdır} dieceğiz.
Örneğin, A = {1,, 3} kümesinin iç noktası oktur: iça = dır. Çünkü her A ve her ε > 0 için B(, ε) = ( ε, + ε) aralığı A da olmaan reel saılar içerecektir. A = [a, b] kümesini alırsak, a A bir iç nokta değildir: B(a, ε) o a o b Burada B(a, ε) aralığı her ε > 0 için < a, ani A, noktalar içerir. Yani, B(a, ε) [a, b] olacak şekilde bir ε > 0 oktur. Benzer şekilde b A noktası da A nın iç noktası değildir (şekil üzerinde gösteriniz). Ama, her a < < b, A, A nın bir iç noktasıdır. ε < min(d(, a), d(, b)) olan her ε > 0 için B(, ε) [a, b] dir: o o a b B(, ε) [a, b] O halde iç[a, b] = (a, b) olur: her (a, b) için B(, ε) [a, b] olacak şekilde bir ε > 0 vardır. Buradan hareketle A = (a, b) için iça = A olduğunu görüoruz: (a, b) aralığındaki her için (a, b) aralığında kalacak şekilde merkezli bir açık aralık bulabiliriz (şekil üzerinde gösteriniz). Zaten (a, b) aralığına açık aralık denmesinin nedeni de budur: A = iça olan kümeler açık kümelerdir. Buna göre [a, b] açık küme değildir, çünkü [a, b] iç[a, b] = (a, b) dir. Doğal olarak her R, R nin bir iç noktasıdır. Tanım 3.4 Türev f: D R R, o içd, ve f() o noktasında sürekli olsun. Fonksionun o noktasındaki türevi fonksiona o noktasında teğet olan doğrunun eğimidir ve 0 olmak üzere f ( o ) f ( o) lim lim 0 0 (eğer bu limit varsa) olarak hesaplanır. Buna göre fonksionun o noktasındaki türevi o noktasına tekabül ettirilen bir reel saıdır ve bu saı df f'( o) vea Df( o) vea ( o) d şeklinde gösterilir. Eğer fonksionun içd üzerinde her noktada türevi varsa f() içd üzerinde her noktada türevlenebilir denir. Bu durumda her içd için bir saı elde edecek şekilde bir df türev fonksionu vardır ve bu fonksion f'() vea Df vea şeklinde gösterilir. d Uarı: 1. Dolaısı ile türev fonksionun sürekli olduğu noktalarda tanımlıdır. Çoğunlukla türev süreklilik koşulu komadan tanımlanır ve daha sonra fonksionun türevi olan noktalarda sürekli
olduğu bir teorem olarak ispatlanır: süreklilik türev için gereklidir. Burada bu gereklilik tanıma dahil edilmiştir. Ama her sürekli fonksionun türevi olması gerekmez.. Türevin içd olan noktalarda tanımlanmasının nedeni limit alma işlemi için noktasına hem sağdan hem soldan aklaşabilme gerekliliğidir. Örnek 3.3 i. f 1 -, < 1 ise ( ) + 1, 1 ise fonksionu = 1 noktasında sürekli değildir ve bu noktada türevi oktur: bu fonksiona = 1 noktasında teğet olan doğru oktur. Fonksionun grafiğini çizerek inceleiniz. ii. f() = a sabit fonksionu olsun. Bu fonksionun türevi her noktada sıfır, ani Df() = 0 sabit fonksion, olur. Çünkü türev eğimi, dolaısı ile değişimi ölçer ve bu fonksion değişmediğine göre türevi sıfır olmalıdır. Gerçekten de türevin tanımından: = f( + ) f() = a a = 0 ve olur. 0 için 0 lim lim lim 0 0 0 0 0 iii. = f() = a + b fonksionunun türevi b olmalıdır: bu doğrua teğet olan doğru kendisidir ve eğimi de b dir. Türevin tanımından hesaplama aparsak: = a + b( + ) (a + b) = b, ve b lim lim lim b 0 0 0 olur. b 0 için iv. f( ) 1 -, < 1 ise -1 +, 1 ise fonksionu her noktada süreklidir ama = 1 noktasında türevi oktur. = 1 = 1 + 1
Fonksionun grafiği incelendiğinde görüleceği gibi = 1 noktasında fonksiona teğettir diebileceğimiz tek bir doğru oktur: şekilde kırık çizgile gösterilen bütün doğrular fonksiona = 1 noktasında teğettir. Dolaısı ile fonksionun = 1 noktasında eğimi tanımlı değildir ve türevi oktur. Bu örnek bize türevlenebilir fonksionların ne anlamda düzgün olduğunu göstermektedir. Bu fonksion o = 1 noktasında süreklidir: fonksion = 1 noktasında davranış değiştirmekte ( = 1 doğrusundan = 1 + doğrusuna geçmekte) ve bunu kopma aratmadan apmaktadır. Ama biz = 1 noktası civarında fonksionun değerlerini bir teğet = a + m doğrusu üzerinde tahmin edemeiz. Türevi olan bir fonksion o noktasında kopma aratmadığı gibi, birdenbire davranış da değiştirmez. Bu da tam olarak o noktasında üzerinde o a akın için f() değerlerini hesaplaabileceğimiz tek bir teğet doğru olduğu anlamına gelir. Türevin hesabı limit hesabına daanmaktadır ve bu da her zaman kola bir iş değildir. Örneğin, = sin fonksionunun türevi lim 0 [sin( + ) sin]/ olarak hesaplanmalıdır ve bu limitin var olduğunu gösterip bulmak epei çaba gerektirir. Ama türev kavramının en büük mezieti belirli temel fonksionların türevleri bilinince, aşağıdaki teoremle birlikte, bizim karşılaşacağımız (türevi olan) her fonksionun türevini bulmanın, her seferinde limit hesaplamadan, mümkün olmasıdır. Teorem 4.1. X R, f ve g X üzerinde türevlenebilir fonksionlar; α, R olmak üzere i. Türev fonksionu doğrusaldır: D(αf + g) = αdf + Dg dir. (toplam fark kuralı: türevlenebilir fonksionların toplam ve farklarının ( = 1) türevi, türevlerin toplam ve farkına eşittir). ii. D(fg) = (Df)g + f(dg) dir. (çarpım kuralı: türevlenebilir fonksionların çarpımının türevi, birincinin türevi çarpı ikinci + ikincinin türevi çarpı birinci olarak hesaplanır). ( Df ) g f ( Dg) iii. g() 0 olmak üzere D( f / g) dir. ( g) (bölüm kuralı: türevlenebilir fonksionların bölümünün türevi, (paın türevi çarpı pada padanın türevi çarpı pa) bölü padanın karesi olarak hesaplanır). df d d dz iv. D(fog) = (Df)(Dg) a da = f(z), z = g() olmak üzere ( f ')( g') dür. d d dz d (zincir kuralı: türevlenebilir fonksionların bileşiğinin (fog) türevi, (f nin g e göre türevi çarpı g nin e göre türevi olarak hesaplanır).
v. f 1 1 1 1 1 1 (ters) fonksionu varsa Df a da f ( ), f ( ) olmak üzere df Df d df d olur. (ters fonksion kuralı: türevlenebilir bir fonksionun tersinin türevi, fonksionun türevinin tersidir). Uarı: Bu kurallar ikiden fazla fonksiona da uarlanabilir. f, g, h anı küme üzerinde türevlenebilir fonksionlar; a, b, c R olmak üzere: D(af + bg + ch) = adf + bdg + cdh, D(fgh) = (Df)gh + f(dgh) = (Df)gh + f(hdg + gdh) = (Df)gh + (Dg)fh + (Dh)fg, D(fo(goh)) = DfDgDh, ani = f(z), z = g(u), u = h() ise df d dz du d dz du d ( f ')( g ')( u ') olur. Teorem 3.5 (Bazı temel fonksionların türevleri) = f() Df q Q, = a q Df = aq q 1 α R, = a α Df = aα α 1 = ln Df = 1/ = ae Df = ae = ca Df = (clna)a = sin Df = cos = cos Df = sin. Bu iki teorem birlikte bizim karşılaşabileceğimiz bütün fonksionların türevini almamızı sağlar. Aşağıdaki örnekleri dikkatle inceleiniz. Örnek 3.4 i. = 4 + 3 3 + 5 türevini hesaplaalım. Burada, koarsak g() = 4, h() = 3, u() = 3, z() =, v() = 5
= g() + h() + u() + z() + v() olur. O halde, Teorem 4.1. uarınca D = Dg + Dh + Du + Dz + Dv olur. Teorem 4.. e göre de f() = a q olduğunda Df() = aq q 1 olduğuna göre: Dg =.4. 4 1 = 8 3, Dh = 3 3 1 = 3, Du = 3.. 1 = 6, Dz = 1 1 =, Dv = 0. O halde, = 4 + 3 3 + 5 için D = 8 3 + 3 6 olur. Doğal olarak bu tür fonksionların türevini bulurken her seferinde g() vb. fonksionlar azıp uzun oldan gitmee gerek oktur. = 4 + 3 3 + 5 verilince her bir ifadenin türevini alıp (işaretlere dikkat ederek) toplamını azarız. Örneğin, = 3 5 4 3 + 5 5 + 7 ise D = 15 4 1 + 10 5, = 3 + 0.5 0.3 ise D = 6 + 0.5 0.5 0.6 0.7 olur. ii. = 1/ olsun. Bunun türevini iki oldan bulabiliriz: 1. ol: = 1/ = 1 olduğuna göre D = 1 1 1 = = 1/,. ol: bölüm kuralından = 1/ ise D = [(D1) 1D]/() = [0. 1.1]/ = 1/. Burada birinci olu daha verimli olduğu açıktır. Örneğin, = 1/ ise = ve D = 1 = 3, = 1/ /3 ise = /3 ve D = ( /3) /3 1 = (/3) 5/3 olur. iii. = 1/(1 ) ise D i iki oldan bulabiliriz: -1-1 1. ol: = (1 - ) = u, u = 1 - dersek, zincir kuralından D = d du - - = (-1u )(-1) = u = 1/(1 - ) olur. du d f() 1. ol: = olduğundan, bölüm kuralını ugulaarak g() 1 - gdf - fdg D = g 1 = elde ederiz. (1 - )
Çünkü, f = 1 sabit fonksionu olduğundan Df = 0, g = 1 olduğundan Dg = 1 olmaktadır. iv. - 5 + = - 3 + + 3 fonksionunun türevi en kola bölüm kuralından hesaplanır. 3 f() = 5 + ve g() = 3 3 + + 3 olmak üzere = f()/g() dir. Burada, Df = 5 ve Dg = 3 6 + olduğuna göre (g() 0 olduğu noktalarda): D D olur. gdf fdg 3 g ( 3 3) 4 3 3 ( 3 3)( 5) ( 5 )(3 6 ) 10 19 38 19 3 ( 3 3) v. = ( + 1) olsun. Bu fonksionun türevi zincir kuralından kolalıkla hesaplanır. O halde = u u() = + 1 dersek Du = + olur. ve D = (u)du = ( + 1)( + ) olur. Bu tür ifadelerin türevleri hesaplanırken parantez içindeki ifadei bir değişken gibi düşünüp nin paranteze göre türevi = ( + 1) çarpı içinin türevi = + biçiminde daha hızlı hesaplama apılır. Örneğin, = ( 3 5 + ) /3 Dolaısı ile, ise D = [/3( 3 5 + ) /3 1 ](3 10 + ) ani paranteze göre türev D = /3( 3 5 + ) 1/3 (3 10 + ) olur. içininin türevi vi. = ln(1 + ) olsun. Burada u() = 1 + koarsak Du =, = lnu ve zincir kuralından D = (1/u)Du = ()/(1 + ) olur. vii. tan = sin/cos olduğuna göre bölüm kuralından D(tan) = D(f/g) = [gdf fdg]/g = [cos(cos) sin( sin)]/(cos) = [(cos) + (sin) ]/ (cos) = 1/(cos) olur ((sin) + (cos) = 1 olduğunu hatırlaınız). viii. z = ln ise z = dz d = 1/ dir. Ama z = ln ise = ez dir ve = d dz = ez = olmaktadır. Buradan sık kullanılan fadalı bir sonuç çıkar:
d d. dz d ln Bu aslında ters fonksion kuralının sonucudur. z = f() ve = f 1 (z) olduğundan d 1 1 olmaktadır. dz dz d 1 i. = ca fonksionunun türevi Teorem 4.. de D = (clna)a olarak verilmektedir. D(ln) = 1/ olduğunu kabul edersek bunu ispatlaabiliriz. = ca olduğuna göre ln = lnc + lna dır. d(ln ) O halde, ln a olur (c sabit olduğundan Dlnc = 0 dir) ve zincir kuralından, d d d d(ln ) ln a ca ln a ( c ln a) a olur (Örnek (viii) deki sonucun kullanıldığına dikkat ediniz d d(ln ) d. = a u(), u() = + verildiğinde zincir kuralı ile = (lna)a u u = (lna)a u ( + 1) olarak dln bulunur. Burada da logaritmik türev oluna gidebilirdik: ln = ulna olduğuna göre d (lna)u = (lna)( + 1) ve Örnek (viii) deki sonucu kullanarak: d d d ln (ln a)( 1) bulunur. d d ln d i. ( 1) ( ) ise bulmanın en kola olu logaritmik türev oluna gitmektir. Burada, ln = ( + 1)ln( d ln 1 + ) ve olur. Bir önceki örnekte olduğu ln( ) ( 1) d d d d ln d ln gibi, = d d ln d d ln( ) ( 1) 1 olarak bulunur. ii. ( 1) e fonksionu verildiğinde u = + 1 koarsak = e u, ve zincir kuralından D = D(e u )Du = e u () = e u olur. Başka bir ol logaritmik türev oludur. Burada, ln = dln + 1 olduğuna göre olmaktadır. Örnek (viii) deki sonucu kullanarak: d d d d ln = bulunur. d d ln d iii. ln 3 - fonksionu verildiğinde = ln( + ) ln( 3 + ) azarsak, D = Dln( + ) Dln( 3 + ) = elde edilir. Burada her terim için ukarıdaki (vi) örneğindeki ol izlenmiştir. 3 4 3 -
iv. q = 10/p olmak üzere bir talep fonksionu ise Dq = 10/p olur. Çünkü, q = 10p 1 olduğundan Dq = 1(10p 1 1 ) = 10p = 10/p dir. v. = ( + 1)( )( 3 + 3 ) ise D = ( )( 3 + 3 )D( + 1) + ( + 1) ( 3 + 3 )D( ) + ( + 1)( )D( 3 + 3 ) = ( )( 3 + 3 ) + ( + 1) ( 3 + 3 )[] +( + 1)( )[3 + 6] olur. vi. = [( )( 3 + 3 )] 0.5 ise D = 0.5[( )( 3 + 3 )] 0.5 {( 3 + 3 )D( ) + ( )D( 3 + 3 )} = 0.5[( )( 3 + 3 )] 0.5 {( 3 + 3 ) + ( )(3 + 6)} olur. vii. c = c( d ): tüketim harcanabilir gelirin fonksionudur, d = t: harcanabilir gelir = gelir vergilerdir, t = t(): vergiler gelirin fonksionudur, ilişkileri verilsin ve bu fonksionların türevlenebilir olduğunu varsaalım. Buna göre c = dc tüketim fonksionunun d değişkenine göre türevidir. Buradan dc i, ani tüketimin d d d gelire göre türevini hesaplaalım. Burada iki ol izleebiliriz: a. Önce d d d dt = t() koarsak 1 1 t ' elde ederiz. Ölese, zincir kuralından d d dc dc d d d d d d c'(1 t') olur. b. c = c( d ) = c( t()) azarsak c nin paranteze göre türevi çarpı parantezin e göre türevi kuralıla (ki bu aslında zincir kuralının ifadesidir) doğrudan c'(1 - t') elde edilir. Her iki olla da elde edilen türev şunu ifade eder: gelir değiştiğinde vergiler t kadar, harcanabilir gelir (1 t ) kadar ve tüketim c (çarpı) harcanabilirdeki değişme kadar değişir, çünkü harcanabilir gelirdeki değişmeler tüketimde c' kadar değişim aratmaktadır. viii. T = X(q) qm(q) olsun. Burada dt dx dx dm D( qm ( q)) M q X ' M qm ' dq dq dq dq olacaktır. qm(q) ifadesine çarpım kuralının ugulandığına dikkat ediniz.
Türevin tanımına giden açıklamalarda bir doğru tanımlaan fonksionun eğimini bildiğimizde fonksionun nasıl değişeceğini bildiğimiz gibi, genel bir f() içinde benzer şekilde orumlaabileceğimiz bir eğim tanımlaıp bunu hesaplaabilir miiz? demiştik. Diferansiel kavramını kullanarak burada benzer şekilde ifadesine anlam vereceğiz. Tanım 3.5 Diferansiel f: D R R içd üzerinde türevlenebilir bir fonksion olsun. Herhangi bir d R için d = df = D()d = f ()d ifadesine f nin diferansieli denir. Uarı: Burada d herhangi bir saıdır ama in diferansieli olarak adlandırılır. Buna göre bir fonksionun türevini biliorsak diferansielini de hemen azabiliriz. Diferansiel türevle anı kurallara uar. Buna göre, f(), g() ve u() diferansieli olan fonksionlar olmak üzere: Örnek 3.5 d(αf() + g()) = αdf() + dg() = αf d + g d (α, R) d(f()g()) = d(f)g + f(dg) = f gd + fg d (çarpım kuralı) d(f()/g()) = [(df)g f(dg)]/g (g() 0) (bölüm kuralı) df(u()) = (df)(du) = f du = f u d (zincir kuralı) i. = fonksionunun türevi = olduğuna göre d = d = d olur. ii. = ( ) 3 ise = 3( ) ( ) olduğuna göre d = 3( ) ( )d olur. iii. = ln ise = 1/ d = d/ dir. 3 3 1 ( ) ( 1)(3 1) 3 1 iv. ise D 3 3 3 ( ) ( ) d = 3 3 1 ( ) 3 d olur. ve v. = ( ) 1/3 ise u = ( ) için du = ( 1)d olur. Öte andan, d = (1/3)u /3 du olduğuna göre, d = (/3)u /3 ( 1)d dir. Şimdi, f: D R R türevlenebilir bir fonksion ve o içd ise, fonksiona o noktasındaki teğetin denklemi, ( o, o = f( o )) noktasından geçen ve eğimi f ( o ) olan doğrunun denklemidir ve = ( o f ( o ) o ) + f ( o ) olarak bulunur. Bunu düzenlersek: o = f ( o )( o ) (3.1)
elde ederiz. Dolaısı ile, d = ( o ) koarsak d = f ( o )d = o olur. Başka bir ifade ile bir fonksionun diferansieli, fonksionun en ii doğrusal aklaşık değerini, ani teğet doğru üzerinde tahmininin, ifadesidir. Ölese, diferansieli (d) fonksionun değerinde teğet doğru üzerindeki değişme olarak orumlaabiliriz. Kefi olarak konulan bir d değeri için fonksionun değerindeki gerçek değişmee nispetle apılan hata büük olur. = f() f( o + d) = o + f ( o )( o ) hata f( o + d) f( o ) d = f ( o )d f( o ) d o = o + d Şekil 3.6 Diferansiel Şekil 3.6 da görüldüğü gibi o noktasından d kadar bir artışla = o + d noktasına geldiğimizde fonksionun değeri gerçekte f( o + d) f( o ) kadar artarken, teğet doğru üzerinde hesaplanan diferansiel (bu durumda) daha düşük bir değer tahmin etmektedir. Açık olduğu üzere d değerleri azaldıkça ( o noktasına aklaştıkça) hata miktarları da azalacaktır ve f( o + d) f( o ) değeri d değerine aklaşacaktır. Bu önemli tespiti aşağıdaki teoremle ifade edilir. Teorem 3.6 f: D R R bir o içd noktasında türevlenebilir bir fonksion olsun. O halde, her ε > 0 ve o B( o, ) için d = d(, o ) ve = f( o + d) f( o ) olmak üzere d(, d) < εd(, o ) olacak şekilde bir > 0 vardır. Bu teorem şunu demektedir: herhangi bir ε > 0 verildiğinde o noktasına ε na bağlı bir dan daha akın değerleri için = f( o + d) f( o ) ile d arasındaki fark, ani d(, d) olarak ölçülen hata, εd(, o ) değerinden daha küçük olur. Dolaısı ile en fazla εd(, o ) kadar hata apmış oluruz ve çok küçük d( o, ) değerleri seçerek (ani o noktasına çok akın kalarak) hataı istediğimiz kadar küçültebiliriz. Bu da bize, d diferansielini çok küçük bir saı olarak düşünmek üzere, f( o + d) f( o ) + d = f( o ) + f ( o )d (3.) ifadesini verir. Buna göre, türeve eğim ve değişme kavramlarını atfedebiliriz: değişkeni d kadar arttığında değişkeni d = f ()d kadar artar. İşte bu orumla türevin bir fonksionun eğimi olduğu fikri daha kesinlik kazanır ve diferansiel iktisatta çok kullanılır.
Örnek 3.6 i. 4.0001 saısının karekökünü diferansiel ardımıla hesaplaalım. = f() = 0.5 fonksionunun diferansieli d = 0.5 0.5 d olduğuna göre o = 4 noktasında d = 0.5d olur. O halde, f( o + d) f( o ) + d = f(4) + 0.5d ifadesi d = 0.0001 için f(4.0001) = f(4) + d = + 0.5(0.0001) olur. Buradan da (4.0001) 0.5 = + 0.00005 =.00005 olarak hesaplanır ki hesap makineleri (4.0001) 0.5 için.000049998 vermektedir. ii. ln(1.03) saısını hesaplamak için dln = d/ diferansielini o = 1 noktasında kullanırsak ln1 = 0 olduğuna göre dln(1 + d) = ln1 + d/1 = d elde ederiz. Burada, d = 0.03 olduğuna göre ln(1.03) = 0.03 olur ki hesap makinesi bu saı için 0.0955 vermektedir. Dolaısı ile ln(1 + g) g küçük g değerleri için kabul edilebilir bir aklaşık değerdir. iii. (Marjinal kavramı) İktisatta çok sık karşılaşılan marjinal kavramı aslında türev ve diferansiele iktisatçıların verdiği isimdir. Tüketim fonksionu: Tüketim harcamalarını milli gelirin c = c() gibi türevlenebilir bir fonksionu olarak kabul edersek, tüketimin diferansieli dc = c d olur. Bu da ( küçük değişimler için) gelir d kadar değiştiğinde tüketim c d kadar değişir demektir. Burada gelir artışının arattığı tüketim artışı c kadardır ve c = MPC = milli gelire göre marjinal tüketim eğilimi olarak bilinir. Burada marjinal küçük değişimler için anlamına gelmektedir. Çünkü, ancak marjinal değişiklikler için diferansiel bize tüketimi teğet doğru üzerinde ii tahmin etme olanağı verir. Dolaısı ile c > 0 ise d > 0 dc > 0, ani gelirde marjinal bir artış tüketim de c kadar marjinal artış aratır. Dolaısı ile iktisaden anlamlı varsaım c > 0 varsamaktır. Buna ek olarak tüketim artışının (dc) gelir artışından fazla olamaacağı da varsaılır. Bu da c < 1 olması demektir: 0 < c < 1 ise d > 0 için dc = c d d > dc > 0 olur: gelir arttığında tüketim artar ama gelirden az artar. Dolaısı ile, tüketim fonksionu genellikle, (milli gelirin fonksionu olarak) c = c(), 0 < c < 1 biçiminde verilir. Vergi Fonksionu: Kamunun vergi gelirleri t = t(), 0 < t < 1 biçiminde bir fonksion olarak verildiğinde, biz t = MVO = marjinal vergi oranı dierek, dt = t d diferansielinden, milli gelirde marjinal bir artış olduğunda (d > 0 ise), vergilerde d > dt > 0 olacak şekilde marjinal bir artış olacağı sonucuna varırız. Dolaısı ile
gelir arttığında vergiler artar ama gelirden az artar ve doğal olan da budur. Gelir artışının tamamı vergilendirilmez, ama gelir artarsa vergiler artar. Tekrar tüketim fonksionuna dönersek, daha ii bir modelleme tüketimin harcanabilir gelirin fonksionu olduğunu varsamaktır: c = c( d ), 0 < c < 1. Bu durumda c = harcanabilir gelire göre marjinal tüketim eğilimi, ani harcanabilir gelirde marjinal bir artışın ol açacağı tüketim artışı olarak orumlanır. Eğer, buna ek olarak d = t() bilgisi de verilmişse, d d = d t d = (1 t )d olur (gelir artınca harcanabilir gelir (1 t )d kadar artar, çünkü t d kadarı vergi artışı olmaktadır). Bunu tüketimin diferansielinde erine koarsak: dc = c d d = c (1 t )d elde ederiz ve burada c (1 t ) = milli gelire göre marjinal tüketim eğilimi olur: milli gelirde marjinal bir artış d d = (1 t )d kadar harcanabilir gelir artışı, oradan da c (1 t )d kadar tüketim artışı aratır. İthalat Fonksionu: Bir ekonominin aptığı toplam ithalat m = t(), 0 < m < 1 biçiminde bir fonksion olarak verildiğinde, biz m = MİE = marjinal ithalat eğilimi dierek, bunu tüketim ile benzer şekilde orumluoruz. dm = m d diferansielinden, milli gelirde marjinal bir artışın (d > 0 ise), ithalatta d > dm > 0 olacak şekilde marjinal bir artışa ol açacağı sonucuna varırız. Dolaısı ile gelir arttığında ithalat artar ama gelirden az artar: ekonomideki birimler gelir artışının tamamını ithal mallara harcamazlar, ama bir kısmını ithal mallara harcarlar. Marjinal Üretkenlik: Etkin tekniklerin bir fonksion olarak ifadesine = f(l) üretim fonksionu demiştik. Şimdi bu fonksionun türevlenebilir olduğunu varsaalım. O halde, d = f (L)dL diferansieli bize girdi kullanımında marjinal bir artışın (dl) ne kadar üretim artışı (d) aratacağını gösterir. İşte bu nedenle, f (L) = L girdisinin marjinal üretkenliği olarak bilinir. Şimdi, f (L) nin işaretinin ne olması gerektiğini araştıralım. f (L) < 0 ise, L girdisinde (marjinal) bir artış üretimde (marjinal) bir düşüşe ol açacak, ani daha fazla girdi ile daha az üretim apılıor olacaktır. Bu da üretim fonksionunun etkin tekniklerin ifadesi olduğu kurgusula çelişir. O halde, türevlenebilir bir üretim fonksionu, = f(l), f (L) > 0 şartını sağlamalıdır ve L girdisinin marjinal üretkenliği pozitif olmalıdır. v. (logarimik diferansiel, büüme oranları ve esneklik)
Bir X değişkeni X o, X 1 değerleri alıor olsun. X1 Xo X Xo Xo oranı bize X değişkeninin başlangıç değerine nispetle değişmesinin (kesir) olarak ifadesidir ve genellikle 100 ile çarpılarak üzde değişme olarak değerlendirilir. Örneğin, X milli gelir (fiat endeksi) ise oran milli gelirin büüme (enflason) oranı olur. Şimdi, bu oranda dx = X koarsak, küçük dx değerleri için, (kesir olarak ifade edilmek üzere) dx elde ederiz. Ama bu X ifade lnx fonksionunun diferansielidir. O halde, X sürekli bir değişken olmak üzere dlnx = f (X)dX = 1 dx X bize X in değişme (büüme) oranını verir. Örneğin, X = X o (1 + g) t uarınca belirlenen bir dln X değişken ise lnx = lnx o + tln(1+g), dlnx = gdt a da g olur ki bu da bize X in t dt (= zaman) içinde büüme oranını verir (ln(1 + g) = g aklaşık değerini kullandığımıza dikkat ediniz). Şimdi, bir = f() fonksionu üzerinde iki nokta ( o, o ve 1, 1 ) biliorsak, ( 1 ) / / ( ) / / 1 o o o o o o o o oranı bize deki üzde değişme nin deki üzde değişme e oranını verir. Dolaısı ile oran, dielim 0.7 ise, de %1 lik bir artış, de %0.7 lik bir azalışa ol açar biçiminde orumlanır ve iktisatta esneklik olarak bilinen şedir. Tahmin edileceği gibi seçilen iki nokta biri birine uzaksa bu olla elde edilen esneklik daha fazla hata içerecektir. ( o / o ) bir saı olduğuna göre, ukarıdaki ifadenin 0 için limiti lim lim f '( ) 0 0 olur ve bu da bize seçilen bir noktada fonksionun nokta esnekliğini (ε) verir. Dolaısı ile, küçük olmak üzere önceki formül nokta esnekliğinin aklaşık değerini vermektedir. Esneklik için daha fadalı bir formül bulmak mümkündür. Şimdi, = d, = d koarsak, d/ = dln, d/ = dln olduğuna göre: d / d ln d / d ln elde edilir ve bu ε = f ()/ ifadesine özdeştir. Bunu görmek için zincir kuralıla d ln d ln d d 1 ( f ') f '( ) d ln d d d ln buluruz. Bu da esnekliğin hesaplanmasında kolalık sağlar. Örneğin, q(p) = 10/p talep fonksionu ise lnq = ln10 lnp ve ε = d(lnq)/d(lnp) = 1 olarak hemen bulunur. Anı hesaplamaı p 10 p uzun oldan apsadık: q' 1 bulunurdu. q p 10 / p
Teorem 3.7 (Ortalama Değer Teoremi) f: [a, b] R üzerinde sürekli ve (a, b) üzerinde türevlenebilir bir fonksion olsun. O halde, f ( b) f ( a) f '( c) b a a da f(b) = f(a) + f (c)(b a) olacak şekilde bir c (a, b) vardır. f() eğim = /(b a) f(b) f(a) = eğim = f (c) a c b Şekil 4.4. Ortalama Değer Teoremi Ortalama değer teoreminin geometrik anlamı gaet basittir. Şekil 4.4. de görüldüğü gibi [f(b) f(a)]/(b a) fonksionun grafiği üzerinde (a, f(a)), (b, f(b)) noktalarını birleştiren kirişin eğimidir. Teoreme göre bir c (a, b) için fonksionun eğimi, ani f (c), bu kirişin eğimine eşit olmalıdır. Teoremin şartları sağlandığında f(b) = f(a) + f (c)(b a) olur. Yani f(b) değerini f(a) dan başlaarak = (b a) için eğimin bilmediğimiz bir c noktasındaki değerini kullanarak tam olarak bulabiliriz. Genel olarak o [a, b] için o [a, b] olduğunda teoremi [, o ] aralığına ugularsak, bir c [, o ] için f() = f( o ) + f (c)( o ) olmalıdır. Dikkat edilirse bu eğimi f (c) olan ve ( o, f( o )) noktasından geçen doğru üzerinde apılan hesaplamadır. Bildiğimiz gibi o a akın değerleri için eğimi f ( o ) olan ve ( o, f( o )) noktasından geçen doğru üzerinde f() f( o ) + f ( o )( o ) olmaktadır. Ortalama değer teoremi şunu demektedir: bir o noktasından başlaarak herhangi bir için f() in değerini o ile arasında bir c noktasındaki türevi kullanarak tam olarak ifade edebiliriz
Tanım 3.6 Yüksek Mertebeden Türev i. (C 1 fonksionlar) f: (a, b) R türevlenebilir bir fonksion olsun. Eğer, f () C ise (C ile sürekli fonksionlar kümesini gösterdiğimizi hatırlaınız) f C 1 dir dieceğiz. Dolaısı ile C 1 fonksionlar türevi sürekli olan fonksionlardır. ii. (İkinci türev ve C fonksionlar) f: (a, b) R C 1 bir fonksion olsun. Eğer, f : (a, b) d df d f R fonksionu türevlenebilir bir fonksion ise (f ) = f, D(Df) = D f a da ( ) d d d olarak gösterilir ve f() fonksionun ikinci türevidir denir. Eğer, f C ise, f C azacağız: C fonksionlar iki türevinin ikisi de sürekli olan fonksionlardır. iii. (n.ci mertebeden türev ve C n fonksionlar) f: (a, b) R C n bir fonksion ise n.ci türevi f (n), D n f a da n d f d n olarak gösterilir. C n ilk n türevi sürekli olan fonksionlardır. Buna göre f() = C dir. f() = e C dur. f() = 3 ise f = 3, f = 6, f = 6 olur ve f() C 3 tür. Öte andan, Aşağıdaki fonksionların ilk üç türevini bulunuz: i. = ln ii. = + + 3 iii. = 4 3 + iv. = 1/(1 ) Şimdi, f() C bir fonksion olsun. Bir a noktasından başlaarak f() f(a) + d = f(a) + f (a)( a) doğrusal aklaşık değer hesaplamasının hata içereceğini bilioruz. Öte andan, ortalama değer teoreminden f() = f(a) + f (c)( a) olacak şekilde bir a < c < olduğunu bilioruz, ama c nin değerini bilmioruz. Varsaım gereği f sürekli türevi haiz olduğuna göre, ortalama değer teoremini f () fonksionuna [a, c] aralığında ugularsak olacak şekilde bir α f (c) = f (a) + f (α)(c a) (a, c) olduğu sonucuna varırız. O halde, [a, ] aralığında f() = f(a) + f (a)( a) + f (α)( a)(c a) olacak şekilde a < c <, ve a < α < c vardır. Bölece birinci türevin a noktasındaki değerini kullanabiliriz, ama burada bilmediğimiz iki saı oluşmaktadır: c ve α. Bu bilmediğimiz saılar erine bildiğimiz saılar koarsak, hataı ikinci türevi içeren terime kadırmış oluruz. Burada dikkat edilirse α saısı a saısına c den daha akındır. Eğer, α = a, c = (a + )/ koarsak, c a = a/ + / a = ( a)/ olacağı için: f() f(a) + f (a)( a) + 1 f (a)( a)
elde ederiz. Bu da bize ikinci dereceden aklaşık değer verir ve f() doğrusal aklaşık değerine nispetle daha iidir. f(a) + f (a)( a), Örneğin, f() = 3, a = 1 olsun ve = 1.1 için f() in değerini iki aklaşımla hesaplaalım. Burada, f(1) = 1, f (1) = 3, f (1) = 6, ( a) = 0.1 olduğuna göre doğrusal aklaşık değer: f(1.1) = 1 + 3(0.1) = 1.3 ikinci dereceden aklaşık değer: f(1.1) = 1.3 + (1/)6(0.1) = 1.33 elde edilir ve 1.331 gerçek değerine göre, ilkinde hata = 0.031, ikincide hata = 0.001 olmaktadır. Burada 3 fonksionunun üçüncü türevi ( = 6) sıfırdan farklı olduğu için, ikinci dereceden aklaşık değer de hata içermektedir, ama daha aklaşık bir değer vermektedir. Eğer n > için f (n) = 0, ani f C ise, f() = f(a) + f (a)( a) + 1 f (a)( a) olur, ani ikinci dereceden aklaşık değer tam değeri verir. Buradan anlaşılacağı üzere bir f() fonksionunun üksek mertebeden türevleri varsa bunları kullanarak apılan hataı daha üksek mertebeden türevi içeren terimlere aktararak giderek daha ii aklaşık değerler bulabiliriz. Bu fikir genel olarak Talor teoreminde ifade edilir. Bir noktada türevi pozitif (negatif) olan bir fonksionun o noktada diferansieli d = f ( o )d de pozitif (negatif) olur orumula d > 0 ise d > 0 (< 0) olur sonucuna ulaştık. Şimdi, bir aralık üzerinde türevi pozitif, negatif a da sıfır olan fonksionlarla ilgili genel bir sınıflandırma apmak istioruz. Tanım 3.7 Monoton fonksionlar f: D R R bir fonksion olmak üzere: i. (monoton artan fonksion) Her 1, D için 1 > f( 1 ) > f( ) oluorsa f D üzerinde monoton artan (a da sadece artan) bir fonksiondur denir. ii. (monoton azalan fonksion) Her 1, D için 1 > f( 1 ) < f( ) oluorsa f D üzerinde monoton azalan (a da sadece azalan) bir fonksiondur denir. D için f( 1 ) = f( ) oluorsa f D üzerinde sabit bir fonksi- Uarı: Doğal olarak her 1, ondur denir. Ortalama değer teoremi kullanılarak aşağıdaki önemli sonuç ispatlanabilir:
Teorem 4.8. f: [a, b] R üzerinde sürekli iç[a, b] = (a, b) üzerinde türevlenebilir bir fonksion olsun. O halde, i. Her (a, b) için f () = 0 oluorsa f() [a, b] üzerinde sabit bir fonksiondur. ii. Her iii. Her iv. g: [a, b] ise ve her (a, b) için f () > 0 oluorsa f() [a, b] üzerinde artan bir fonksiondur. (a, b) için f () < 0 oluorsa f() [a, b] üzerinde azalan bir fonksiondur. R üzerinde sürekli iç[a, b] = (a, b) üzerinde türevlenebilir başka bir fonksion (a, b) için f () = g () oluorsa f() g() sabit bir fonksiondur (ani bir aralık üzerinde türevleri eşit olan iki fonksion bir sabit farkıla eşittir). (a) (b) Şekil 4.5. Artan ve Azalan Fonksionlar Buna göre Şekil 4.5. (a) panelindeki her üç fonksion da artandır ve türevleri (eğimleri) pozitiftir. Şekil 4.5. (b) panelindeki her üç fonksion da azalandır ve türevleri (eğimleri) negatiftir. Dikkat edileceği gibi türevin işareti bize fonksionun artan a da azalan olacağını sölemekte ama şekildeki üç durum arasında arım apmamıza olanak vermemektedir. Örnek 4.8. i. = e fonksionu R üzerinde artan bir fonksiondur, çünkü her R için = e > 0 dir. ii. R için f () = ve g () = olsun. Bildiğimiz gibi türevi olan fonksion fonksionudur. O halde, f() = ise g() = c + = c + f() olmalıdır (c R herhangi bir sabit olmak üzere). iii. İktisadi modellerde bir fonksion tanımlandığında genellikle türevinin işareti ile birlikte verilir. Örneğin, X = X(q), X > 0
denklemi verildiğinde, biz X değişkeninin bir q değişkeninin artan bir fonksionu olduğunu bilioruz. Daha bildik bir örnek ise basit piasa modelidir: q d = f(p), f < 0, (talep fonksionu) q s = g(p), g > 0, (arz fonksionu) q d = q s (denge koşulu) modelinde, talep p = fiat değişkeninin azalan, arz p nin artan fonksionlarıdır. Buradan. talep fazlası fonksionu tanımlarsak: h(p) = f(p) g(p) (talep fazlası fonksionu) ukarıdaki varsaımlar altında h (p) = f (p) g (p) < 0 olması gerektiğini buluruz. Buna göre, talep fazlası fonksionu fiatın azalan bir fonksionudur: fiat arttıkça talep fazlası azalır. iv. Basit bir makroekonomik model: c = c( d ), 0 < c < 1 d = t t = t(), 0 < c < 1 (tüketim fonksionu) (harcanabilir gelir tanımı, = milli gelir) (vergi fonksionu) verilmiş olsun. Burada, MPC = harcanabilir gelire göre marjinal tüketim eğilimi = c, varsaım gereği pozitif olduğuna göre tüketim harcanabilir gelirin artan bir fonksionudur. Ama MPC < 1 olduğundan, tüketim fonksionunun eğimi her noktada eğimi bir olan doğrudan daha azdır (aşağıdaki şekli inceleiniz). c eğim = 1 eğim = c < 1 c( d ) Dolaısı ile gibi tüketim artışı harcanabilir gelir artışından azdır. Anı sonuç vergi fonksionu için de geçerlidir. t() fonksionunu d tanımında erine kounca d = t(), buradan da c = c( t()) elde edilir ve zincir kuralıla dc d( t( )) c ' c '(1 t ') d d d
elde edileceğini daha önce de görüştük. Modelin varsaımlardan 0 < c < 1 ve 0 < (1 t ) < 1 olduğuna göre 0 < dc/d < 1 olmalıdır: milli gelire göre marjinal tüketim eğilimi de (0, 1) aralığındadır. 1. Aşağıdaki fonksionların artan/azalan oldukları aralıkları bulunuz: i. = ii. = 3 iii. = 3 + iv. = 0.5. q d = 1/p (talep fonksionu) q s = p/ (arz fonksionu) modelinde talep fazlası fonksionunu bulunuz ve artan/azalan olduğunu belirleiniz. Birinci türevin işaretine bakarak bir fonksionun artan/azalan a da sabit olduğunu anlıoruz. Benzer şekilde ikinci türeve bakarak f () türev fonksionunun artan/azalan a da sabit olduğunu anlarız. Ölese, f > 0 ise, f () artan bir fonksiondur, f = 0 ise f () sabit bir fonksiondur, f < 0 ise f () azalan bir fonksiondur. Burada apmak istediğimiz f () türev fonksionunun artan/azalan a da sabit olmasının f() için ne anlama geldiğini araştırmaktır. 1. f = 0 durumu: Önce, daha kola olan f = 0 durumunu ele alalım. Bu durumda f = c gibi sabit bir fonksion olmalıdır. Burada üç durum söz konusu olabilir: i. Eğer, f () = c = 0 ise f() = c gibi sabit bir fonksiondur. f() = c f () = 0 = f () ii. Eğer, f () = m > 0 ise, f() sabit eğimli artan bir fonksiondur, ani pozitif eğimli bir doğrudur: f() = a + m dir.
f() = a + m f () = m > 0 f() = a + α f () = 0 f () = α < 0 iii. Eğer, f () = α < 0 ise f() sabit eğimli azalan bir fonksiondur: f() = a + α dir. Örneğin, f() = + 3 ise, f () = 3, f () = 0 dır. f() = ise, f () = 1, f = 0 dır.. f 0 durumu: Şimdi, f(): D R R fonksionun bir o içd noktası etrafında ikinci mertebeden Talor açılımını aparsak o ve arasında kalan bir c için f() = f( o ) + f ( o ) ( o ) + 1 f (c)( o) = A + 1 f (c)( o) elde ederiz. Burada A = f( o ) + f ( o ) ( o ) o noktasında fonksiona teğet olan doğru üzerindeki değerdir. Buna göre, ( o ) > 0 olduğu için, f() değeri f (c) > 0 ise o daki teğet doğrusunun üstünde [f() > A] f (c) < 0 ise o daki teğet doğrusunun altında [f() < A] kalır. Dolaısı ile bir ε > 0 için B( o, ε), ani o ve akın cıvarında, f () > 0 oluorsa fonksion değerleri o cıvarda teğet doğrunun üstünde; f () < 0 oluorsa fonksion değerleri o cıvarda teğet doğrunun altında kalır. Dikkat edilirse f () in işaretinden bağımsız olarak, ani fonksion artan da, azalan da olsa, bu sonuç geçerlidir. Aşağıdaki şekilleri inceleiniz. f() f() f () > 0 f () > 0 = A f() artan oranlarda artıor o
= A f() f() f() azalan oranlarda artıor f () > 0 f () < 0 o Yukarıdaki şekiller her için f () > 0 ve f () in anı işaretli (pozitif a da negatif) olduğu varsaımıla çizilmiştir. Dolaısı ile artan bir fonksion için pozitif ikinci türev fonksion değerlerinin artan oranlarda arttığı anlamına gelir. Çünkü, artışlar teğet doğru üzerinde olsadı sabit olurdu, ama hep teğet doğru üstünde kalındığına göre, arttığında f() in değeri daha fazla artmaktadır. Benzer şekilde, artan bir fonksion için negatif ikinci türev fonksion değerlerinin azalan oranlarda arttığı anlamına gelir. Çünkü, hep teğet doğrunun altında kalınarak sabit artışa göre daha az artış olur. = A f() azalan oranlarda azalıor f () > 0 f () > 0 f() f() o = A f() f() artan oranlarda azalıor f () > 0 f () < 0 f() o
Yukarıdaki şekiller her için f () < 0 ve f () in anı işaretli (pozitif a da negatif) olduğu varsaımıla çizilmiştir. Dolaısı ile azalan bir fonksion için pozitif ikinci türev fonksion değerlerinin azalan oranlarda azaldığı anlamına gelir. Çünkü, azalmalar teğet doğru üzerinde olsadı sabit olurdu, ama hep teğet doğru üstünde kalındığına göre, arttığında f() in değeri daha az azalmaktadır. Benzer şekilde, azalan bir fonksion için negatif ikinci türev fonksion değerlerinin artan oranlarda azaldığı anlamına gelir. Çünkü, hep teğet doğrunun altında kalınarak sabit artışa göre daha fazla azalış olur. Dolaısı ile ikinci türev bize Şekil 4.5 te gösterilen fonksionları aırt etme olanağı vermektedir. Tanım 4.6. İçbüke ve Dışbüke Fonksionlar i. (İçbüke (concave) fonksionlar) f(): [a, b] R, f C ve her [a, b] için f () < 0 ise f() içbüke bir fonksiondur denir. g(), g < 0 f(), f < 0 Şekil 4.6. İçbüke Fonksionlar: g() ve f() içbükedir. i. (Dışbüke (conve) fonksionlar) f(): [a, b] R, f C ve her [a, b] için f () > 0 ise f() dışbüke bir fonksiondur denir. g(), g > 0 f(), f () > 0 Şekil 4.7. Dışbüke Fonksionlar: g() ve f() dışbükedir.
Uarı: Görüldüğü gibi içbüke ve dışbükelik tamamen ikinci türevle nitelenen özelliklerdir. Birinci türevinin işareti ne olursa olsun bir fonksionun ikinci türevi negatifse fonksion içbüke, pozitifse fonksion dışbükedir. İkinci türevin sıfır olduğu durumda fonksionun = a + m biçiminde olduğunu bilioruz ve fonksion hem dışbüke hem de içbüke olarak addedilir. Örnek 4.9. i. f() = fonksionu dışbükedir, çünkü f = ve f = > 0 dır. ii. > 0 için = 1/ = 1 fonksionu dışbükedir, çünkü =, = 3 > 0 dır. Fonksionun grafiği Şekil 4.7. deki f() in grafiği gibidir. iii. > 0 için tanımlanan = ln içbüke bir fonksiondur, çünkü = 1/ ve = 1/ < 0 dır. iv. 0 için = içbükedir, çünkü = 0.5 0.5 ve = 0.5 1.5 < 0 dır. v. = 3 ise = 3 ve = 6 olur. Dolaısı ile < 0 için < 0 (fonksion içbüke), > 0 için > 0 (fonksion dışbüke) olur. Fonksionun grafiği aşağıdaki gibidir: 3 İkinci türevin sıfır olduğu noktada fonksionun içbükelikten dışbükeliğe geçtiğine dikkat ediniz. v. (Azalan Getiriler) Daha önce türevlenebilir bir üretim fonksionu için = f(l), f (L) > 0 olması gerektiğini gördük. Ama, üretim fonksionu tanımlanırken genellikle = f(l), f (L) > 0, f (L) < 0 bilgisi verilir. Buna göre üretim fonksionu içbüke olmalıdır. Bunun anlamı da girdinin (emeğin) marjinal üretkenliği pozitiftir, L arttığında üretim artar, ama f < 0 olduğundan azalan oranlarda artar. Bu da iktisatta azalan getiriler olarak bilinen durumun ifadesidir. Üretim teorisinde içbükelik azalan getiriler demektir. Bunu şöle ifade edebiliriz: marjinal ürün
pozitiftir (üretim fonksionu artan bir fonksiondur), ve azalan oranlarda artar (marjinal ürün (MP) azalan bir fonksiondur). MP f(l) f < 0 f > 0 L f (L) L vi. = f(l), f > 0 içbüke bir üretim fonksionu olsun. Fonksion monoton artan olduğu için ters fonksionu vardır: L = f 1 () azabiliriz. f(l) bize her L için ne kadar üretim apılabileceğini, f 1 () ise bir üretim miktarını apabilmek için gereken girdi miktarını gösterir. Şimdi, w = bir birim girdinin fiatı (ücret) olmak üzere C() = wl = wf 1 () bize maliet fonksionunu verir: bir üretim düzei için C() kadar ücret ödenmelidir ki i üretmek için gerekli girdi sağlanabilsin. Ters fonksion kuralından (w > 0 bir sabittir): 1 df 1 w C ' w w d df f ' dl elde edilir. dc = C d azarsak, buradan C nün bize üretim miktarında küçük bir artışın ne kadar maliet artışı aratacağını gösterdiğini görürüz ve bu nedenle C marjinal maliet olarak bilinir. Varsaım gereği f > 0 olduğuna göre, C > 0 dır, ani, üretim artarsa maliet artar. Şimdi, bölüm kuralından (w = sabit olduğunu unutmadan) wf '' C '' ( f ') elde edilir. Üretim fonksionu içbüke varsaıldığına göre f < 0, dolaısı ile C > 0 olmalıdır. Üretim fonksionun (girdide) içbüke olmasının maliet fonksionu üzerinden ifadesi maliet fonksionun (çıktıda) dışbüke olmasıdır. Buna göre marjinal maliet pozitiftir (maliet artan bir fonksiondur), ve artan oranlarda artar (marjinal maliet (MC) artan bir fonksiondur). C MC C() C () C > 0 C > 0 Bu şekilleri bir önceki örnekteki şekillerle karşılaştırınız. Örneğin, = f(l) = L, f > 0, f < 0 şartlarını sağlaan (içbüke) bir üretim fonksionudur. Burada, girdi gereksinim fonksionu L = f 1 () = ters fonksionudur. O halde, (w = ücret olmak üzere) C = wl = w