Fonksiyonların Grafikleri

Transkript

1 f() a a TÜREV KAVRAMI Türev ile Hız Arasındaki İlişki...5 Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki Diferansiel Kavramı... 6 Türevin Tanımı...6 Türev Alma Kuralları... 7 Sabitin Türevi... 7 Toplam vea Farkın Türevi... 7 Çarpımın Türevi... 7 Bir Fonksionun Kuvvetinin Türevi... 7 Bölümün Türevi... 8 Parametrik Fonksionların Türevi... 8 Kapalı İfadelerin Türevleri... 8 Trigonometrik Fonksionların Türevleri... 8 Logaritma Fonksionunun Türevi Üstel Fonksionun Türevi Bileşke Fonksionun Türevi... 9 Ters Fonksionun Türevi... 9 Ardışık Türev (Yüksek Sıradan Türev) Ters Trigonometrik Fonksionların Türevi Mutlak Değerli Fonksionların Türevi Parametrik Denklemlerde İkinci Mertebe Türevi... Türevin Limit Hesabında Kullanılması... L'Hospital Kuralı... Türevin Geometrik Anlamı... 7 Teğet Denklemi... 8 Normal Denklemi... 8 Artan ve Azalan Fonksionlar... 7 Ekstremum Noktaları... 9 Türevin Anlamı... 9 Dönüm Noktası... İkinci Türev ve Yerel Ekstremum Noktası... 5 Mutlak Maksimum Mutlak Minimum... 5 Polinom Fonksionlarının Grafikleri Asimptotlar... 7 Kesirli Fonksionların Grafikleri... 7 Üstel Fonksionların Grafikleri Logaritmalı Fonksionların Grafikleri c 5 c c f(ah) c c f(a) a a a 5 p a ah q A(a, f(a))

2 KAVRAMSAL ADIM. BÖLÜM ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK Bir doğru bounca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu S(metre), zamanın t(sanie) bir fonksionu olarak S S(t) t t ile verilsin. a) Bu cisim ilk sn'de kaç m ol alır? Matematiğin en önemli konularından biri türev kavramıdır. Bu kavramı birçok şekilde açıklamak mümkündür. Bu kitapta türev konusu öğrencinin hislerine en çok hitap edecek bir öntemle açıklanmıştır. Türev tanımına geçmeden önce bazı kavramları hatırlaıp bu kavramlara daanan tanımlar vereceğiz.. Türev ile Hız Arasındaki ilişki Bir doğru üzerinde f() denklemine göre hareket eden bir hareketlinin anındaki hızını tanımlaalım. f( ) f() b) Bu cisim ilk 6 sn'de kaç m ol alır? anının akınlarında bir alınırsa hareketlinin ortalama hızı, alınan ol f() f( ) ve geçen süre olduğundan V ort f ^ h - f ^ h - dır. c) Bu cisim. sn ile 6. sn arasında kaç m ol alır? ın akınlarında seçilen her için bu olla değişik ortalama hızlar elde edilebilir. Biz anındaki hızı aradığımız için olmak üzere elde edilen tüm ortalama hızların limiti olarak d) Bu cismin. sn ile 6. sn arasındaki ortalama hızı kaç m/sn dir? f ^ h - f ^ h lim " - limiti varsa, bu limite anındaki anlık hız denir. ÖRNEK e) Bu hareketlinin.sn deki anlık hızı kaç m/sn dir? Bir hareketlinin t saatte aldığı ol S(t) t t fonksionu ile verilsin. Yukarıdaki tanıma göre bu hareketlinin [t, t ] aralığındaki ortalama hızı V ort S^t S t h- ^ h t - t dir. Bu hareketlinin [,6] aralığındaki ortalama hızını bulalım. 5

3 KAVRAMSAL ADIM ÜNİTE ETKİNLİK Kan Şekeri Konsantrasonu: Nisan 988'de insan gücüle çalışan Daedalus uçağı Yunanistan'ın günedoğusunda Ege Denizi'ndeki Girit'ten adasından Santorini'e 9 km'lik rekor bir uçuş aptı. Uçuştan önceki 6 saatlik daanıklılık testlerinde araştırmacılar pilot adalarının kan şekeri konsantrasonlarını ölçtü. Atlet pilotlardan birinin konstantrason grafiği şekil a da görülüor. Konsantrason miligram/desilitre ve zaman saat olarak verilmiştir. E im A E im B E im C 5 D E im f() E im 8 birim/ birim E 8 -birim -birim 5 5 (a) E im V ort S^6h- S^h ^6. 6h- ^. h V ort 8 km/sa olur. Hareketlinin [,6] aralığındaki ortalama hızını bulalım. V ort S^6h- S^h ^6. 6h- ^. h V ort km/sa olur. Hareketlinin [5,6] aralığındaki ortalama hızı V ort S^6h- S^5h ^6. 6h- ^5. 5h 6-5 V ort km/sa olur. Hareketlinin [5.9, 6] aralığındaki ortalama hızı V ort S^6h- S^5, 9h 6-5, 9 ^6. 6h - 6 ^5, 9h. ^5, 9h@, 66 (, 8 59),,9 km/sa olur. A' (a)'daki f() grafiğinin eğimlerini işaretleerek (b)'deki f'()'in grafiğini çizdik. Mesela, B'nin dike koordinatı B'deki eğimdir. f' nün grafiği f'nin eğiminin ile nasıl değiştiğinin görsel bir kadıdır. D' f'() E' 5 5 B' C' Dike koordinat (b) Hareketlinin [6, 6.] aralığındaki ortalama hızı V ort S^6, h- S^6h 6 ^6, h. - ^6. 6h 6, - 6, ^7, 6h -^66h, 67, 66,, km/sa olur. Hareketlinin [6, 7] aralığındaki ortalama hızı V ort S^7h- S^6h ^7. 7h- ^6. 6h km/sa olur. Bu sonuçları bir tabloda gösterelim. [t,t ] [, 6] [, 6] [5, 6] [5.9, 6] [6, 6.] [6, 7] V ort 9,9, 5

4 KAVRAMSAL ADIM Grafik veri noktalarını birleştiren doğru parçalarından apılmıştır. Her parçanın sabit eğimi ölçümler arasındaki konsantrasonu verir. Her parçanın eğimi hesaplanarak şekil b deki grafik çizilmiştir. Örneğin, ilk saat için çizim apılırken konsantrasonun 79 mg/dl den 9 mg/dl e arttığı gözlemlenior. (Şekil c) Net artma Δ 9 79 mg/dl dir. Bunu Δt saat ile bölerek, ortalama değişim oranını buluruz. Δ mg/dl/saat Δt Konsantrasonun bir köşesinin bulunduğu ve eğiminin olmadığı t,,...,5 zamanlarında konsantrasonun değişim oranı hakkında bir tahminde bulunamaız. Türev fonksionu (şekil d) bu zamanlarda tanımlı değildir. 9 8 konsantrason mg/dl Bu hareketlinin 6. saatte hız sınırını geçtiğini varsaalım. Bu hareketlinin 6. saatteki hızı (anlık hızı) h R olmak üzere, h için [6, 6 h] vea [6 h, 6] aralığında ortalama ardımıla bulunur. Anl k h z lim h " ^6 hh. ^6 hh- ^6. 6h lim h h " lim h " lim h " lim h " km/sa vea Anl k h z lim h " S^6 hh -S^6h 6 h -6 6 h h 6 h-66 h h h h ^h h lim^ - hh km/sa bulunur. S^6h -S^6-hh 6-^6-hh ^6. 6h -6^6 - hh ^6 -hh@ lim h h " h h 6 -h@ lim h h " h- h lim h h " h " ÜNİTE 5 6 (c) sa [6, 6h] aralığında hesaplanan anlık hız t 6 noktasındaki sağdan türevi, [6 h, 6] aralığında hesaplanan anlık hız t 6 noktasındaki soldan türevi ifade eder. Anlık hız için sağdan türevin, soldan türeve eşit olduğuna dikkat ediniz. konsantrason de iflim oranı mg/dl/saat 5 Düzlemde Doğrunun Denklemi ve Doğrunun Eğimi sa Koordinat düzleminde P (a, b ), P (a, b ) noktalarını alalım. P ve P den geçen doğrunun denklemini B B Y P P P bulmak için bu doğrua ait ve koordinatları (d) (, ) olan bir P noktasını gözönüne alalım. X A A 55

5 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM P, P ve P noktalarının eksenler üzerindeki dik izdüşümleri sırasıla X, A, A ve Y, B, B olsun. Tales teoremi ardımıla BY A X BB A A azılabilir. Bu aşamada koordinatlara geçerek - b b - b - a a - a şeklinde azılabilir. b a d: a b d n n m d: m n d Bu eşitlikten çekilerek, b a - b a b a b ^h - a a - a elde edilir. () deki bağıntıa P ve P noktalarından geçen doğrunun denklemi denir. Doğrua bir fonksion gözüle bakılırsa () denklemi b f ^ h a - b - a a b $ a - a b - a şeklindedir. Bu son azılıştan f(a ) b, f(a ) b olur. O halde doğrunun denklemi Bağımsız (Serbest) Değişkenin Artış Miktarı, Fonksionun Artış Miktarı f() fonksionunda ʼe bağımsız değişken, ʼe bağımlı değişken denir. Eğer ve, değişkeninin iki değeri ve f() ve f( ) bu değerlere karşılık fonksionun aldığı değerler ise bu durumda Δ değerine (, ) aralığı üzerinde değişkeninin artış miktarı ve Δ vea Δ f( ) f() f( Δ) f() fa ^ fa a f a a f a h- ^ h $ ^ h- $ ^ h ( ) a - a a - a şeklini alır. değerine de anı aralıkta fonksionunun artış miktarı denir. b a - b - a fa ^ fa h ^ h a - a saısına doğrunun eğimi denir. Bu saı doğrunun O ekseni ile pozitif önde oluşturduğu α açısının tanjantına eşittir. Yani Değişim Oranı oranına, değişkeni ten Δ e kadar değiştiğinde nin ʼe göre ortalama değişim oranı denir. b tan a a O halde, - b - a m ( ) a $ f a a f a ^ h- $ ^ h n a - a denilirse () denklemi azılabilir. Bir Fonksionun Grafiğinin Teğeti f bir fonksion olsun. f nin tanımlı olduğu (p, q) aralığını gözönüne alalım. Aralığa ait herhangi bir a değeri seçildikten sonra f fonksionunun grafiği üzerinde bulunan (a, f(a)) noktasına A dielim. p q m n () şeklini alır. 56

6 KAVRAMSAL ADIM f(a) A p a q Merkezi A(a, f(a)) olan doğru demetine ait doğrulardan bazıları f fonksionunun grafiğini oluşturan eğri parçasını A noktası dışında ikinci bir noktada keser. Bu tür doğrulara eğrinin A noktasından geçen kesen vea kirişleri denir. Şimdi a değerini h kadar arttıralım. a h noktasına grafik üzerinde (a h, f(a h)) noktası karşılık gelir. (a, f(a)) ve (a h, f(a h)) noktalarından geçen doğrunun denklemi () denkleminde olduğu gibi azılabilir ve bu doğrunun eğimi () bağıntısına göre; ifadesinin limiti alınabilir. Bu limitin sonucu olarak elde edilen saıı eğim olarak kabul eder ve A noktasından geçen doğrunun eğimini azma olanağı, fonksionlar için limit kavramının varlığından dolaı vardır. Ölese f fonksionunun grafiğinin A noktasındaki teğet, fonksionlardaki limit kavramını ugulamak suretile bulunabilir. Teğet Çiziminde Ortaa Çıkabilecek Zorluklar fa ( h) fa ( ) Teğet problemlerinde ortaa çıkan oranının limitini h bulmak her zaman mümkün olmaabilir. Değişkenin a değeri için fonksion sürekli değilse böle bir teğet çizmek mümkün olmaacaktır. ÜNİTE p f(ah) f(a) A(a, f(a)) a ah q ÖRNEK, < ise f ( ) *, ise fonksionunun grafiğine noktasında teğet çizmek mümkün değildir. (,) mh ( ) f^a hh -f^ah f^a hh -f^ah a h-a h Fonksionun sürekli olması halinde bile sürekli olduğu her noktada teğetinin olması mümkün olmaabilir. şeklindedir. a ve a h noktaları arasındaki artma miktarı (h) küçültülürse, ani h ile gösterilen büüklük sıfıra aklaştırılacak olursa (a, f(a)) ve (ah, f(ah)) noktaları birbirine aklaşır. Geometrik olarak (ah, f(ah)) noktasının (a, f(a)) noktasına aklaşarak çakışması halinde kesen doğrunun limit durumuna, f fonksionunun grafiğinin A noktasındaki teğet doğrusu denir. Teğet doğruu elde etme işlemini fonksionlara indirgeerek, A noktasından geçen doğrunun denklemi () bağıntısına göre, f^a hh f^ah ^a h $ f a a$ f a h $ h ^ h - ^ h h h ÖRNEK f() fonksionunu gözönüne alalım. f() fonksionu noktasında sürekli olduğu halde bu noktada bir teğet çizmek mümkün değildir. A k A f^a hh - f^ah f a h -f a. ^ h ^ h - $ a f^ah h h şeklinde azılır. O halde (a h, f(a h)) noktasının (a, f(a)) noktasına aklaşması halinde kesen doğrular için aranan limit erine h saısının sıfıra aklaşması halinde kesen doğrunun eğimi olan, fa ( h) fa ( ) h A A' ve A'' noktaları k doğrusu kendine paralel kalacak şekilde A noktasına aklaştırılabilir. Buna göre, başlangıçtan geçen ve k gibi her doğrua paralel kalan doğru noktası için teğet kabul edilebilir. Şu halde verilen fonksionun noktasındaki teğetleri merkezi O noktası olan ve fonksionu belirtilen iki doğru ile sınırlanmış 9 lik açıı dolduran doğru demetini oluştururlar. 57

7 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM. Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki f() fonksionunun grafiğine A(, ) noktasında çizilen teğetin eğimini araştıralım. A(, ) eğrisi üzerinde A noktasına akın E(, ) noktası için m AE Δ deki de iflim Δ deki de iflim bulunur. - Elde edilen bu sonuçları tabloda gösterelim. Nokta (, ) (.9,(.9) ) (.,(.) ) (, ) E im 5 5,9 6, 7 Düzlemde A(, ) ve B(, ) noktalarından geçen doğrunun eğiminin - m AB - olduğunu biliorsunuz. eğrisi üzerindeki A(, ) noktasına akın B(, ) noktası için, m m Şimdi eğrisi üzerinde A(, ) noktasına akın (.9, (.9) ) noktası için m AB AB AC Δ deki de iflim Δ deki de iflim bulunur. - Δ deki de iflim Δ deki de iflim f() fonksionunun grafiğine A(, ) noktasında çizilen teğetin eğimini bulalım. h R olmak üzere, h için A ve B ( h, f( h)) B ( h, ( h) ) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım. lim m AB h " " ^ hh - lim h ^ hh - 6h h lim h " h lim ^6 hh 6 d r. h " (h) A B (h,(h) ) h ^9, h - 8, , bulunur. 9, - -, Bu değer f() türevidir. fonksionunun noktasındaki sağdan eğrisi üzerinde A noktasına akın D(., (.) ) noktası için, m AD Δ deki de iflim Δ deki de iflim ^, h - 96, - 9 6, bulunur., -, C (( h), f( h)) C ( h, ( h) ) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım. lim m AC h " " ^-hh - lim h ^-hh - - 6h h lim h " -h lim ^6 - hh 6 h " ( h) A h C ( h,( h) ) 58

8 KAVRAMSAL ADIM Bu değer f() fonksionunun noktasındaki soldan türevidir. Bir fonksionun bir noktadaki türevi, fonksionun o noktadaki teğetinin eğimidir. f() fonksionun grafiğine A(, ) noktasında çizilen teğetin eğimi 6 dır. NOT Bir fonksionun grafiğine ait bir noktadaki teğetin eğimi için o noktadaki sağdan ve soldan türevin eşit olduğuna dikkat ediniz. ETKİNLİK a) f() fonksionunun noktasındaki soldan ve sağdan türevini bulunuz. ÜNİTE UYARI Bir fonksionun grafiğine a noktasında çizilen teğetin eğimi (sıfır) ise teğet doğru eksenine paraleldir. Eğim m tanα eşitliğinde α açısı teğet doğrunun ekseninin pozitif önüle aptığı açıdır. < α < 9 ise m tanα > 9 < α < 8 ise m tanα < Yani f fonksionunun noktasındaki türevinin değeri noktasındaki teğetinin eğimi m f'( ) tan α > ise α dar açı, m f'( ) tan α < ise α geniş açıdır. b) f() fonksionunun noktasındaki soldan ve sağdan türevini bulunuz. c) f() fonksionunun noktasındaki soldan ve sağdan türevini bulunuz. f' ( ) E im s f r < a < 9, f' ( ) > (E im pozitif) 9 < a < 8, f' ( ) < (E im negatif) 59

9 ÜNİTE. Bir hareketlinin t saatte aldığı ol S(t) t 5t fonksionu ile verilsin. Bu hareketlinin [,] aralığındaki ortalama hızını bulunuz. S^h- S^h V ort - ^ 5. h- ^ 5. h km / sa olur fonksionu verilior. değişkeninin aşağıdaki değerlerine karşılık gelen Δ ve Δ değerlerini bulunuz. a) den,ʼ e b) ten e a) Δ,, Δ f( ) f( ) f(,) f() [(,) 5(,)6] [ 5.6],9 b) Δ Δ f( ) f( ) f() f() ( 5. 6) ( 5. 6) UYGULAMA ADIMI. f() fonksionu verilior. değişkeninin aşağıdaki değerlerine karşılık gelen Δ ve Δ değerlerini bulunuz. a) den ʼ e b) den, e a) Δ Δ f( ) f( ) f() f() (. ) (. ) ( 7) 6 b) Δ,, Δ f( ) f( ) f(,) f() (.(,) ) (. ) [.(,)] ( ),, bulunur. 5. f() fonksionunun grafiği ve apsisli noktasındaki teğeti verilior. Buna göre f'() kaçtır? f'(), d doğrusunun eğimidir. m olup, f tü r. d l^ h f() d bulunur.. f ^ h hiperbolünün Af, p ve Bf, p noktalarından geçen keseninin (kirişinin) eğimini bulunuz., Δ 7 Δ f( ) f( ) m AB Δ deki de iflim Δ teki de iflim 7 - m - dur. AB olup eğim, 6. Şekilde f() eğrisinin grafiği ve apsisli noktadaki teğeti verilior. fl^h- ve B(9,) olduğuna göre, A noktasının ordinatı kaçtır? d doğrusunun eğimi OA fl^h m - d OB (eğim açısı geniş açı) OA 6 dır. O halde, A noktasının ordinatı 6 dır. OA 9 A T f() B 9 d 6

10 KAVRAMSAL ADIM. Diferansiel Kavramı f, noktasında türevli bir fonksion olsun. d f^h& fl^h& d fl^hd d Burada d e f nin noktasındaki diferansieli denir. Yaklaşık Değer Hesabında Diferansielin Kullanılması ETKİNLİK f: R R, f() fonksionu verilior. a) için aşağıdaki tablou tamamlaınız. Δ b) Herhangi bir için lim limitini hesaplaınız. Δ $ Δ f( ) f() ÜNİTE f( ) d,, f() P,, Δ, d doğrusu f nin grafiğine P noktasında teğettir. Şekilden Δ f(δ) f() ve Δ için, Δ d (Δ d) Δ, d olduğundan,, Δ d,,, d, f( Δ) f() olur. O halde, f( Δ), f() d diferansiel elde edilir. Bu ifade aklaşık değer hesaplamasında kulanılır. ÖRNEK ÖRNEK 6 saısının aklaşık değerini hesaplaalım. 5, 8 saısının aklaşık değerini bulalım. f() alalım. f ^ Δh, f ^ h d d Δ, 5 ve Δ d, 8 alınırsa, 8, 5, 8 5, 8, , 8, 5 5, 8dr. i f^h alalım. f ^ Δh, f ^ h d Δ, d^ h d Δ,. 6, Δ d alınır. ^-h 6 -, 6. ^6h 6, ,, 979 olur. 8 6

11 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK tan 8 nin aklaşık değerini bulalım. f() tan f( Δ), f() d f( Δ), f() f'() d tan( Δ), tan (tan X). d 5 ve Δ d π 6 alınır. tan^5 h, tan 5 ^ tan 5 h π tan 8, ^ h $ 6 π tan 8, olur. ETKİNLİK 5 $ saısını aklaşık olarak hesaplaınız. π 6. Türevin Tanımı (Bir Noktada Türev) A R ve f: A R fonksionu verilmiş olsun. A olmak üzere; f ^ h - f ^ h lim " ifadesi bir reel saı ise, bu limite, f fonksionunun noktasındaki türevi denir ve ile gösterilir. Bu durumda f fonksionu noktasında türevlenebilir denir. f fonksionu A kümesinin her noktasında türevlenebiliorsa, f fonksionuna A kümesinde türevlenebilir denir. f' : A R fonksionuna f fonksionunun A tanım kümesindeki türev fonksionu denir. f fonksionunun noktasındaki türevi f l^ df,, simgelerinden biri ile gösterilir. h d ^ h ^ h a h olsun, a h olup f fonksionunun a noktasındaki türevi biçiminde de azılabilir. - fl^ h f ^ h - f ^ h lim " - fa ^ hh-fa ^ h fl^ah lim h h" ETKİNLİK ln(e e ) nin aklaşık değerini bulalım. f() ln, e, Δ d e alalım. f( Δ), f() d f( Δ), f() f'()d ln^ Δh, ln d ln^e e h, ln e $ e e ln^e e h,. e dir ETKİNLİK f() a b fonksionunun R noktasındaki türevini bulunuz. fl^ h f l^ h f ^ h - f ^ h lim " - ^a bh - ^a b h lim " - a ^ - h lim a " - fl^h a bulunur. 6

12 . f: R R, f() biçiminde tanımlı f fonksionunun a noktasındaki türevi nedir? f ^ h- fa ^ h - a fl^ah lim lim " a a " a - a. f ^ h fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. ^- ah^ ah lim " a ^- ah lim^ ah " a a bulunur. UYGULAMA ADIMI. f: R R, f() fonksionunun noktasındaki türevi nedir? f ^ h- f^h ^ -h-^ -h fl^h lim lim - - " " - lim - " ^- h^ h lim " ^ - h lim^ h ". π f: R R, f() sin fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. bulunur. ÜNİTE bulunur. flf p lim " lim " lim lim f ^ h - ff p lim " - f - p f p lim. " - f " " ile genifllettikp - f- pf p Trigonometrik fonksionların türevini bulmak için, π π fc hm-fc m π flc m lim olunu kullanmak kolalık sağlar. h" h Türev alırken p q p-q sin p- sin q cos $ sin eşitliğini kullanacağız. π π sinc hm sin π flc m lim h h ". cos lim h " π π π h h π p f $ sin h π h h. cosf p$ sin lim h " h h sin π h lim cos f p$ lim h" h" h π cos $ f bulunur. p 6

13 ÜNİTE. Hareket fonksionu S S(t) t t 5 olan bir hareketlinin [,5] aralığındaki ortalama hızı kaçtır? (t sanie, S cm) PEKİŞTİRME ADIMI. f() fonksionunda neden sadece Δ 5 verildiğinde Δ bulunabilior da bu durum f() fonksionunda geçerli olmuor? 5 cm / sn. f() fonksionunun den e kadar Δ ve Δ değerlerini bulunuz. a için f() a b lineer fonksion olduğundan bu durum geçerli,. ve daha üksek dereceli polinom fonksionlarda gerçeli değildir. Δ 5. Aşağıdaki fonksionlar için Δ artış miktarını ve değişim oranını bulunuz. Δ a), ve Δ, için ^ - h b), ve Δ, c) log, 6, Δ 9. 5 Δ Δ a) 6 ; 56 b), ; c) ;,. f() fonksionu için aşağıdaki değerlere göre Δ i hesaplaınız. a), Δ, b) 8, Δ 9 c) a, Δ h 6. parabolünün kesim noktalarının ve apsisleri aşağıda verilmiş olan kesenlerinin (kirişlerinin) eğimlerini bulunuz. a), b),,9 c), h a), b) - c) a h - a a) b), c) h 6

14 PEKİŞTİRME ADIMI 7. Δ. Bir nokta vea eksen etrafında dönmenin t anındaki, eğrisinin [,5] kapalı aralığındaki oranını bulunuz. b) ani hızı Δ a) ortalama hızı nee eşittir? (t anındaki dönme açısı: α) ÜNİTE 7, 5 a) b) Δa Δt lim Δt " Δa Δt 8. fonksionunun kapalı aralığındaki değişiminin ortalama hızı nedir?. Isıtılmış bir cisim ısısı daha az olan bir ortamda eniden soğuacaktır. (ısı kabedecektir) Aşağıdaki ifadelerden ne anlaşılır? a) Ortalama soğuma hızı b) Verilen bir andaki soğuma hızı (t anındaki ısı I) ΔI a) Δt ΔI b) lim Δt Δt " Δ 9. f() eğrisi için [, Δ] kapalı aralığında oranının değeri Δ nedir?. Kimasal reaksion halindeki bir maddenin reaksion hızından ne anlaşılır? (Q, t anındaki madde miktarı) f ^ Δh -f ^ h Δ lim Δt " ΔQ Δ t 65

15 ÜNİTE. f: R R, f() fonksionunun a) noktasındaki türevini bulunuz. b) noktasındaki türevini bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI π 6. f() cos fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. a) 6 b). f: R R, f() fonksionunun a), b), c) noktalarındaki türevini bulunuz. 7. f ^ h fonksionunun a), b), c) noktalarındaki türevini bulunuz. a) b) 7 c) a) 5 b) 7 c) 7 5. f: R R, f() fonksionunun a), b), c) noktalarındaki türevini bulunuz. 8. f ^ h fonksionunun 8 noktasındaki türevini bulunuz. a) - b) - c) - 66

16 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK Grafikten ararlanarak 5. Türevin Tanımı () (Soldan ve Sağdan Türev) A R ve f : A R fonksionu verilsin. a A ve p R olmak üzere, ÜNİTE f() a a a c 5 c c c c a a 5 f ^ h- fa ^ h lim p a " a - limitine, f fonksionunun a noktasındaki soldan türevi denir ve f'(a ) ile gösterilir. q R olmak üzere, a) f fonksionunun limitinin olmadığı noktaları bulunuz. f ^ h- fa ^ h lim q " a a - limitine de fonksionun a noktasındaki sağdan türevi denir ve f'(a ) ile gösterilir. b) f fonksionunun süreksiz olduğu noktaları bulunuz. UYARI. Bir f fonksionunun a noktasında türevinin olması için gerek ve eter koşul f nin a noktasında sürekli ve f nin a noktasında soldan ve sağdan türevlerinin eşit olmasıdır. c) f fonksionu hangi noktalarda türevli değildir?. Bir f fonksionu a noktasında türevli ise f, bu noktada süreklidir. Ya da buna denk olarak, f fonksionu a noktasında sürekli değil ise f bu noktada türevli değildir. f() f() d) f fonksionunun sürekli olup türevli olmadığı nokta var mıdır? de f() süreksiz de türevi ok. de f() süreksiz de türevi ok. e) lim f( )?, f( a )? a $ f'(a )? 67

17 ÜNİTE. f: R R, f() fonksionu verilior. a) f'( ) b) f'( ) c) f'() değerlerini (varsa) bulunuz. a) fl^ - h lim " lim " - lim lim - " " " f ^ h- f^h lim - ^ h - " - -^- h. ^ h lim UYGULAMA ADIMI b) fl^ lim - - fl^ h lim - fl^ - h h lim lim f ^ h- f^h - lim - " " " f ^ h- f^h - lim - " " " f'( ) f'( ) olduğundan f nin noktasında türevi oktur. b) fl^ h lim " f ^ h- f^h - Şekli inceleiniz. da fonksionun belirli bir teğetinin olmadığına dikkat ediniz. c) f'( ) f'( ) olduğundan f'() oktur.. f: R R, f() fonksionu verilior. a) f, da sürekli midir? b) f, da türevli midir? lim " lim " - ^- h. ^ h lim - " lim ^ h " a) f nin sürekli olması için noktasındaki soldan ve sağdan limitlerinin f()ʼa eşit olması gerekir. fonksionu da süreklidir lim f ^ h lim lim ^- h " " " lim f^h lim f( ) f^holupf^h " ". f: R R Z -, < ise ] f ^ h [, ise ] -, > ise \ ile tanımlı fonksionun noktasındaki a) sürekliliğini inceleiniz. b) türevini (varsa) bulunuz. a) lim f ^ h lim ^- h - " " lim f^h lim ^- h. - " " ve f() olduğundan lim f^h f^h olup " f, de süreklidir. 68

18 b) fl^ - f ^ h- f^h - - h lim lim " " -^ -h lim - - " f ^ h- f^h ^ -h- f l^ h lim lim - - " " ^ - h lim - " dir. f'( ) f'( ) olduğundan f fonksionunun noktasında türevi oktur. UYGULAMA ADIMI a) > olduğundan f'() için f() 6 dır. f ^ h- f^h ^ -h-^. -6h fl^h lim lim - - " " ^ - 9h lim - " ^- h^ h lim " ( - ). ^ h 8 b) kritik nokta olduğundan sağdan ve soldan türevleri bulunmalıdır. ÜNİTE., # fr : " R, f ^ h * - -, fonksionunun noktasındaki türevini (varsa) bulunuz. f ^ h- f^h - - fl^ h lim lim - - " " ^- h^ h lim " ^ - h lim - ^ h - " f ^ h- f^h - - f l^ h lim lim - - " " -^ -h lim - - " olup f'( ) f'( ) olduğundan noktasında fonksion türevlidir ve türevi f'() dir. fl^ fl^ - ^ h lim " " - ^- h^ h lim - " ( ) f'( ) f'( ) olduğundan f'() oktur. 6. f() 6 fonksionu için eğer varsa, a) f'() türevini bulalım. b) f'() türevini bulalım. - - lim - " " h- ^ h ^ -6h-^. -6h h lim - ^ - h^ h lim - $ ^ h 5. Z, ise ] fr : " R, f ^ h [ 6, ise ] \ - 6, ise fonksionu için eğer varsa a) f'() değerini bulalım. b) f'() değerini bulalım. a), f() 6 fonksionu için bir kritik nokta olmadığından ^6 - h -^6-9h fl^h lim - " ^ h^ h lim lim - ( - ) " " -6 d r. 69

19 ÜNİTE b) noktası f() 6 fonksionunun bir kritik noktasıdır. Bu nedenle sağdan ve soldan türevlere bakılır. UYGULAMA ADIMI 8. f() ise, f'() kaçtır? fl^ fl^ - h f ^ h- f^h ^ -6h-^ -6h lim lim - - " " ^- h^ h lim ( - ) " 8 f ^ h- f^h ^6 - h-^6 - h h lim lim - - " " kritik nokta olduğundan sağdan ve soldan türevlere bakılır. fl^ h ^$ ^h h - ^ h lim - " - lim lim " " -( - )( ) lim -8 - ( - ) " f'( ) f'( ) olduğundan f'() oktur. dir. - f l^ h ^^- h h- ^$ h lim - " - - lim lim (- ) " " f'( ) f'( ) olup, f'() dır. 7. R de tanımlı f() fonksionunun deki türevi kaçtır? 9. f: R R, f(), < *, fonksionunun deki türevini bulunuz. Polinom fonksionlar her erde sürekli olduğundan de f fonksionu süreklidir. noktası fonksion için bir kritik nokta olmadığından sol sağ türevi bulmaa gerek oktur. Doğrudan türevi bulabiliriz. f ( ) f( ) f'( ) lim $ noktası bu fonksion için kritik nokta değildir. in komşuluğunda fonksion f() ile ifade edilmektedir. f() sürekli olduğundan hemen türevini hesaplaabiliriz. f ( ) f( ) f'( ) lim $ ( ) ( ) lim $ ( ) ( 6) lim $ lim $ lim $ ( )( ) lim $ ( ).( ) lim $ lim $ ( ) bulunur. lim ( ) dir. $ 7

20 . f() fonksionunun noktasında türevini (varsa) bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI. a b, # f ^ h * a, fonksionunun noktasında türevli olması için a ve b değerleri ne olmalıdır? ÜNİTE 5 a, b., # f ^ h *, şeklinde tanımlanan f fonksionu için f'() değerini (varsa) bulunuz. 5. f() fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz f ( ) fonksionunun noktasında türevini (varsa) bulunuz. 6. Z a b, ] f ^ h [ c, # ] d, $ \ fonksionu ve de türevli olduğuna göre, a, b, c, d değerlerini bulunuz. Türev oktur. a, b 7 c 6, d 9 7

21 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM 6. Türev Alma Kuralları D R ve f, g, h fonksionları D kümesinde türevli olsunlar.. Sabitin Türevi c R ve f() c & f'() dır. (Sabit fonksionun türevi sıfırdır.) ETKİNLİK Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) 6 ÖRNEK f() 5, f(), f() fonksionlarının türevi nedir? b) 6 7/ 5/ f() 5 & f'() f() & f'() f() & f'() dır. c) ( ).( ). n Q, c R olmak üzere, f() c. n f'() c.n. n dir. ÖRNEK f() 5, f() d) ( ) f ^ h, f ^ h fonksionlarının türevini bulunuz. f() 5 & f'() e) f() & f'() f f ^ h & l^ h $ f() & f'(). ( ) 8 olur. 7

22 KAVRAMSAL ADIM. Toplam vea Farkın Türevi F() f() ± g() & F'() f'() ± g'() tir. ÖRNEK f() 5 fonksionunun türevini bulalım. II. Yol: Çarpımın türevinde verilen kural ugulanırsa, f'()..()..() 6 bulunur. ÖRNEK ÜNİTE a, b olmak üzere; f() 5 & & f'() ( 5 )' f'() ( )' ( )' (5 )' f() ( a) ( b) fonksionu verilior. f'() denkleminin çözüm kümesini bulunuz. & f'() 9 olur. f() ( a) ( b) & f'() ( a)'( b) ( a)( b)'. Çarpımın Türevi. F() f(). g() ise F'() f'(). g() f(). g'(). F() f().g(). h() ise F'() f'().g(). h() f(). g'(). h() f(). g(). h'() tir..( b) ( a). (ab) f'() & (ab) & a b a b & dir. ÖRNEK f(). () fonksionu verildiğine göre, f'() ifadesini bulunuz. I. Yol: f() () ise f() olup f'().. 6 olur. ÖRNEK m, n Z olmak üzere; f() m n ise, f'() f'( ) toplamı nedir? f() m n & f'() m m n n olur. f'() m n f'( ) m( ) m n( ) n m( ) n( ) (mn) ve f'() f'( ) m n (m n) bulunur. 7

23 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM 5. Bir Fonksionun Kuvvetinin Türevi n Q ve F() [f()] n & F'() n.[f()] n. f'() tir. ÖRNEK f() ( ) fonksionunun türevi nedir? 6. Bölümün Türevi g() olmak üzere, f ^ h fl( ). g( ) - f^h. gl^h F ^ h & Fl ( ) g ^ h 6 g ^ h@ ÖRNEK f() ( ) & f'().( ) 9.( )'.( ) 9...( ) 9 olur. f ^ h olduğuna göre, f'() ifadesini bulunuz. ^ hl. ^ h- ^ h. ^ hl fl^h ^ h ^ h ^ h ^ h ^ h bulunur. ÖRNEK f ( ) ^ h fonksionu için f'( ) nedir? f ^ h ^ h & f ^ h ^ f'().( ). ( )' h ÖRNEK f ^ h ise, f'( ) cosi pozitif i açısı kaç derecedir? eşitliğini sağlaan en küçük. ( ). X. olup ^ h. ^ h f'( ) ^^- h h 6 bulunur. f ^ h ise. ^ h. ^h f l^h ^ h ^ h. ^ h fl^ h cos i ^ ^ h h i 6 dir. ise 7

24 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK f() ( ) ise, f'() nedir? f'() ( ).( ) Vea ( ) te u olsun. u d & u du du d KOLAYLIK a, b, c, d R olmak üzere, olur. d d du. ( ).( ) d du d bulunur. a b ad - bc f ^ h ise f l^ h dir. c d ^c dh ETKİNLİK f ( ) düzenlenirse UYARI fonksionunun türevini bulalım. ( )( ) ( )( ) f'( ) ( ) 6 f'( ) ( ) f ( ) türevi f'( ) a b c m n p a m a m b n c p bulunur. ise katsaıları azılarak b n a c m p ( m n p) a b ; an bm dir. E m n bulunur. Buna göre bir önceki örneği çözelim. Katsaıları b n c p ÜNİTE ÖRNEK f'( ) ( ) 5 f ^ h - fonksionunun türevini bulalım 6 f'( ) ( ) olur. ETKİNLİK 5. ^-h -5. f ^ h & fl^h - ^ - h --5 ^ - h f ( ) 5 fonksionunun deki türevini bulunuz. -9 ^ - h dir. 75

25 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK a f ^ h ve fl^h ^ h ^ h f ^ h ^ h ise ise, a kaçtır? ÖRNEK f ^ h ise, fl^h nedir? ^ hl f ^ h & fl^h. ^ h -. ^ h fl^h ^ h ^ h6 ^ h-@ ^ h^ h - a ^ h ^ h ise a - dir. ÖRNEK f ^ h isef ^ h. fl^h nedir? dir. ÖRNEK Her iki tarafın karesini alalım. m m R olmak üzere f ^ h m kaçtır? fonksionunun türevi sıfır ise, f ^ h & f^h olur. Şimdi de her iki tarafın türevini alalım.. f^h. fl^h & f^h. fl^h dir. m m ^ h ^m h f ^ h & fl^h ^ h ve m - fl^h & & m - ^ h & m & m " dir. ÖRNEK f ^ h - ise, f'() kaçtır? 7. Köklü İfadelerin Türevi gl ^h a) f ^ h g ^ h & fl^h g ^ h n b) f ^ h g ^ h & fl^h n. n gl ^h 6 g^h@ n - dir. f ^ h - - & fl^h - fl^h - - & fl^h - -. tü. r 76

26 KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK a, b, c R f ^ h a b c, f^h ve f().f'() ise, f'() kaçtır? f^h a b c ise f ^h a b c ETKİNLİK f ( ) fonksionunun türevi Bu tip fonksionlarda türev alınırken önceden sadeleştirme apılırsa f() /6 X / X / 76 / / / f'( ) 6 biçiminde bulunur. ÜNİTE b f ^ h. fl^h a b& f ^ h. fl^h a ve b f ^ h. fl^h & a b & a, & b 6 d r. f^h & f^h c & c ve f ^ h 6 dir. f^h. 6. f ^ h. fl^h & f^h. fl^h. ETKİNLİK. a) f ( ) fonksionunun türevini bulunuz. &. fl^h 7 7 & fl^h dir. ÖRNEK f(). ise, f'() değerini bulunuz. b) f() ise, f'() değerini bulunuz. f ( ) f'( ) f'( ). olur. 77

27 ÜNİTE UYGULAMA ADIMI. f(). f() m ve f'() 6 olduğuna göre, 6 fonksionu için, flf p değeri kaçtır? m kaçtır? f ^ h 6 isefl^h 6 & flf p. 6 7 dir. f() m ise f'() m & f'(). m & m 5 & m - bulunur.. f(). g() fonksionu için g( ), g'( ) olduğuna göre, f'( ) kaçtır? f().g() & f (). g(). g'() için, f'( ) ( ). g( ) ( ). g'( ) f'( ). bulunur. 5. f ^ h ise, f'() değeri kaçtır? ^ h. ^ h- ^ h. ^ h fl^h ^ h ^. h^. h- ^. h. ^. h f l^h ^. h bulunur.. Ugun koşullarda f ^ h. f ^ h koşulunu sağlaan f fonksionu için f() ise f'() değeri kaçtır? f ^ h. f ^ h ise fl^h fl ^h 6. f^h. f ^ h iç in, fl^h fl ^h 6.. f^h.. f^h. fl^h f l^h 6 fl^h $ fl^h & fl^h- fl^h fl^h & fl^h 5 bulunur. 6. f ^ h fonksionuna apsisi olan noktadan - çizilen teğetin eğimi kaçtır? f'() istenmektedir. ^ hl. ^ -h- ^ h. ^ -hl fl ( ) ^ -h ^ h. ^ -h- ^ h. ^ h f l^h ^ -h ^ h. ^ -h- ^ h. ^ h f l^h ^ -h 5-8 fl^h - bulunur. 78

28 a 7. f ^ h fonksionu için, fl^h olduğuna göre, a kaçtır? a a. ^ h- $ ^a h f ^ h & fl^h ^ h a$ - $ ^a h & fl^h ^$ h UYGULAMA ADIMI. f() a fonksionunun grafiğine apsisli noktada çizilen teğetin eğimi 6 olduğuna göre, a kaçtır? f'() 6 olmalıdır. f'() a olup f'(). a 6 & 6 a & a dir. ÜNİTE a - 6 & a & a 9 bulunur.. f() ( ) ise, f'() nedir? 8. f().g() f'(), g'() olduğuna göre, g() kaçtır? f() ( ) & f'() ( ). ( )' f'(). ( ). f(). g() f'() 6. ( ) bulunur. f'(). g(). g'() 6 & f'().. g().. g'(). 6. f'() ve g'() olduğundan. g(). 9.g() g() bulunur.. f( 5) olduğuna göre, f'() f() kaçtır? f( 5) & f'( 5). 9. f() (6 ) fonksionu için f'( ) değeri kaçtır? f() (6 ) & f'() (6 ).(6 )' (6 ). ( ) için; f'( ) (6. ( ).( ) ). (( )). 5. ( ) 75 bulunur. & f'(. 5).. & f'(). 9 & f'() f( 5) & f(. 5). & f() 9 O halde, f'() f() 9 bulunur. 79

29 ÜNİTE. f() 5 ise, f'() i bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI 5. f(). () fonksionu için f'( ) değeri kaçtır?. f() ise, f'( ) değeri kaçtır? 6. - f ^ h fonksionunun - noktasında (varsa) türevini bulunuz.. f().g() ve g( ), g'( ) olduğuna göre, f'( ) değeri kaçtır? 7. f ^ h fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. oktur 7. f ^ h fonksionu için flf p değeri kaçtır? 8. ^ - h f ^ h fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. 5 8

30 KAVRAMSAL ADIM 8. Parametrik Fonksionların Türevi D f R ve f: D R fonksionu (bağıntısı) f() kuralıla verildi ği gibi, t ortak değişkenine bağlı olarak f(t) ve g(t) kuralıla da verilebilir. Burada t e parametre, f(t) ve g(t) ifadesine parametrik fonksion denir. f(t) ve g(t) fonksionları t e göre türevli olmak üzere, nin değişkenine göre türevi: d d dt $ d dt d d dt d dt dir. l t Bu türev kısaca l biçiminde gösterilir. l t d d dt t - d d t - t dt d d t Kapalı İfadelerin Türevleri F(,) denkleminden, f() gibi nin e bağlı fonksionu elde edilebiliorsa türev d fl^h tir. d bulunur. ÜNİTE ÖRNEK t, t t ise, d t & t dt ÖRNEK d d d t t & t olup dt d d d dt dt t $ d dt d d t dt ifadesi nedir? dir. Ancak çoğu kez, f(,) denkleminde f() gibi bir fonksion bulmak olanaksızdır. Bu durumda verilen denklemin her teriminin e göre türevi alınarak türevi bulunur. d d ÖRNEK ise, d d ifadesi nedir? t t ve t d t ise, türevinin t noktasındaki d değeri nedir? d t - t & t -t dt d t - t & t- ve dt eşitliğinde her terimin 'e göre türevi alınırsa, &.. ' &.' &.' & ' - & d d - bulunur. 8

31 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK d 5 ise, d d Önce i bulalım: d Her terimin ʼe göre türevi alınırsa: değeri kaçtır? F(,) F' (,) 6 F' (,) olup d Fl ^, h 6 - d Fl ^, h - dir.. X..'..' '( ) ETKİNLİK d l - d sin (π) cos ( ) & '? d d ve d d. bulunur.. KOLAYLIK F(,) denkleminin l d türevi şöle de bulunabilir. d sabit düşünülerek değişkenine göre F' (,), sabit düşünülerek değişkenine göre F' (,) bulunarak d Fl ^, h l - azılır. d Fl ^, h. Trigonometrik Fonksionların Türevleri:. a) f() sin & f'() cos b) f() sing() & f'() g'(). cosg() c) f() sin n & f'() n.sin n. (sin)' n.sin n.cos ÖRNEK f() sin ise, f'() nedir? ÖRNEK ise, d d ifadesini bulunuz. f() sin ise, f'() ()'. cos & f'().cos tir. 8

32 KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK f() sin ise, π flc m kaçtır? f() sin ise, f'() sin. (sin)' sin. cos sin ve π flc m sin. π sin π dir. f() sin sin ise f'()..sin.(cos)..sin.(cos)...sin.cos..sin.cos. (sin6 sin8) olup π π π f' c m. csin 6 $ sin 8 $ m π π. csin sin m $ f p ÜNİTE ÖRNEK. a) f() cos & f'() sin 6^ h tü. r f() a.sin b.sin ve fl ( ). cos. cos ise π fc m kaçtır? b) f() cosg() & f'() g'().sing() c) f() cos n & f'() n.cos n.(cos)' n.cos n.sin f() a.sin b.sin ise ÖRNEK f'() a.cos b.cos cos cos olup bu eşitlikten cos f ^ h ise, f l^ h nedir? a, b & b bulunur. O halde, f() sin sin olup, π π π fc m sin sin. - bulunur. cos f ^ h ise. sin. sin fl^h ^hl sin olur. ÖRNEK ÖRNEK f().sin.sin ise, π flc m nedir? f() cos π cos türevinin 6 noktasındaki değeri nedir? 8

33 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM f() cos cos ise f'().cos.sin sin sin sin sin π π π flc m. sin $ - $ sin $ dir. ÖRNEK f() tan ise, f' () ifadesinin eşiti nedir? f() tan ise f'().(tan X) 6(tan ) 6sec vea 6 cos tir. ÖRNEK ÖRNEK f() tan cos ise, π flc m değeri nedir? f() sin π cos π. olduğuna göre, f'( ) kaçtır? f() tan cos ise fl ^h $ tan $ f p$ -cos $ sin cos π. f ^ h sin π cos ise r r r f'() π.sinπ.cosπ. cos. sin π π fl^- h.π. sin^-π h. cos^-πh-π. cosc- m. sinc- m olur. π π π π flc m $ ftan p $ cos $ sin π fcos p $ ^ h $ - $ $ f- p 6 $ - dir.. a) f ^ h tan & fl^h tan cos sec b) f ^ h tan g ^ h& fl^h ^ tan g ^ hh. gl^h $ gl ^h cos g ^ h sec g^h. gl ^h n n- c) f ^ h tan & fl^h n$ tan $ ^ tan h n - n$ tan $ cos 8 n - n$ tan $ sec. a) b) c) f ^ h cot & fl^h- ^ cot h - -cosec sin f ^ h cot g ^ h& fl^h gl^h^ cot g ^ hh gl^h - sin g ^ h -gl^h$ cosec n n- f ^ h cot & fl^h- n. cot $ ^ cot h n - -n$ cot $ sin g^h n - -n$ cot $ cosec

34 KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK f() cot cot ise, f'() ifadesini bulunuz. f() cot cot ise f'() cot.( cot ). ( cot X) 8cotX 8cot X cot X olur. f ^ h- f^h f ^ h- f^h lim lim " - " ^- h^ h f ^ h- f^h lim $ lim - " " fl^h$ fl^h ve π π π fl^h tan $ c tan m $ oldu undan π π π tan tan f l^ h ; c $ m$ c me π π bulunur. ÜNİTE ÖRNEK ÖRNEK π f ^ h tan cot ise, flc m kaçtır? tan t ve cot t ise, d d türevi nedir? ^ tan h- ^ cot h f' ^h tan cot π c tan m- c cot π f lc m π π tan cot. π m ^ h- ^ h d tan t & tan t dt cos t d cot t & - ^ cot th- olup dt sin t d d dt cos t sin t -tan t bulunur. d d cos t dt sin t. Logaritma Fonksionunun Türevi 7 7 dir. fl^h a. F() ln(f()) & F'() tir. f ^ h ÖRNEK π f ^ h- f^h f ^ h tan ise, lim " - ifadesinin değeri nedir? b. F() log a (f()) & F'() (a R {}) dir. fl^h $ f ^ h ln a fl^h log f ^ h a e 85

35 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulalım. a) f() ln d) g() log b) g() ln e) h() log 5 (sin) c) h() ln f) k() log (ln) ETKİNLİK f(), n u, n(, n) u' f'() u dersek f'( )., n & u' ise türevini bulalım. olur. tir. O halde ^hl a) fl^h b) g'() ()'. ln. (ln)' ln. c) h(), n,n, n ^ hl d) g'() alog l $ log e k ^sin hl e) hl ^h alog ^sin l $ log e 5 hk sin 5 ^, nhl f) kl^h alog, n l $ log e ^ hk, n ^hl hl ( ) $. tir ETKİNLİK log e $ $ ln cos $ log e cot $ sin 5 ln 5 $ log e $ dir., n n,, n f(), n( sin ) için f' a r k? 6, n. Üstel Fonksionun Türevi a ifadesinin her iki anının doğal logaritmasını alalım: a & ln lna & ln lna olur. Her iki anının türevi alınırsa l. lna & l. lna & l a. lna bulunur. O halde a) a & ' a.lna b) a f() & ' a f().f'().lna dır. ÖRNEK f() log ( ) ise türevini bulalım. f'() loge. tür., n f(),n( sin ) Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulalım. a) f() d) f ^ h ise türevini bulalım.. cos f'().cot olur. sin b) g ^ h a e) g() sin c) h ^ h - f) h ^ h 5 86

36 KAVRAMSAL ADIM a) f() & f'(). ()'. ln. ln b) g ^ h a & gl^h a $ ^ hl $, na $ a., na - - c) h ^ h & hl^h $ ^-hl $, n $ $, n -$ $ $, n - -$ $, n d) f ^ h ise fl - - ^h ^- hl $, n $ ^ h, n -$ $, n e) g() sin & g'() sin. (sin)'ln cos. sin. ln f) h ^ h 5 & hl^h 5 ^ hl $, n5 ETKİNLİK f ( ) e ise, f'() i bulalım. f'( ). e olur. UYARI a fonksionunda a e(e,788...) alınırsa e olur. e ' e.lne e. e tir. O halde e f() ' e f().f'() olur. ÜNİTE 5 $ $,n5 tir. ÖRNEK ETKİNLİK a) f ( ) sin( e ) ise, f'( )? Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulalım. a) f() e d) f() e sin b) g() e e) g() e c) h() e f) h() e e a) f'() e.()' e b) g'() ()'.e. (e )'.e.e.( )' e e e (-) b) f ( ) e cos ise, f'( )? c) h'() ( )'e (e )' e e e ( ) d) f'() (e sin )' e sin.(sin)' cos.e sin e) gl e e. e ^ h ^ hl $ ^ hl $ tir f) h'() (e e )' (e )' (e )' e e.( )' e e tir. 87

37 ÜNİTE. Parametrik denklemi t t t t olan f() fonksionu için değeri kaçtır? d d dt t t d d 9t dt t d d UYGULAMA ADIMI türevinin t noktasındaki bulunur.. f() sin π fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. f ^ h sin & fl^h. sin $ cos π π π & flc m. sin $ cos.. bulunur. 5. f() cos π cot fonksionunun - apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?. eşitliğile verilen f() fonksionunun ' türevini bulunuz. F l - F l - dir. f() cos. cot f'().. cos. ( sin) cot. [ (cot )] π π π flc- m-6. cosc- m$ sinc- m π π π cotc- m $ c- m$ ;- c cot c- mme π -6$ $ f- p- $ - π. bağıntısıla verilen f() fonksionunun apsisli noktasındaki türevini bulunuz. bağıntısında için.( ) ( ). ( ). olup, A(, ) noktasındaki türev soruluor. 6 ', azılırsa ifadesinde 6$ ^ h $ ^-h$ ^- h ^-h$ l - ^- h ^-h bulunur sin - cos π f ^ h fonksionunun sin cos apsisli noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. sin - cos f^h sin cos π bulunur. ^cos sin h$ ^sin cos h-^sin - cos h$ ^cos - sin h & fl^h ^sin cos h π π ccos sin m - & fl^r/ h bulunur. π π csin cos m O halde, m T dir. 88

38 7. sin f ^ h - cos fonksionunun noktasındaki türevinin değeri kaçtır? sin f ^ h - cos ^ cos h$ ^-cos h- ^ sin h$ ^ sin h f l^h ^- cos h ^ cos h$ ^-cos h- ^ sin h$ ^ sin h f l^h ^- cos h ^ h^-h-$ - - bulunur. ^-h UYGULAMA ADIMI. f ^ h log ise, f 9 kaçtır? 5 f p l^ h f p ' f ^ h log & f $ log e 5f p l^ h 5 f p $ ^ h- ^ h$ ^ h & fl^h $ log e 5 f p & fl^h $ f p$ ^ h ln 5 ÜNİTE l f l^h $ ^ h^ h ln 5 8. f().tan π fonksionunun noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. f ^ h. tan & fl^h. tan $ $ tan $ ^ tan h π π π π π fl tan tan tan c m $ $ $ c m π ^ h π bulunur.. f() log( ) ise, f'() kaçtır? f() log( ) ise ^ fl^h hl $ log f l^h $ ln l fl^9h $ tir.. ln 5 ln 5 e fl^h $ dur. ln ln ln 9. f() ln( ) ise, f'() kaçtır? ^ hl f ^ h ln^ h & fl^h $ ln e f l^h. fl^h dir.. f() ln(tan) ise, f'() nedir? ^tan hl f ^ h ln^tan h isefl^h tan tan fl^h tan tan tan fl^h cot tan olur. 89

39 ÜNİTE. f() ln(ln) ise, flf p kaçtır? e ^, nhl f ^ h, n^, nh & fl^h, n & fl^h, n n, e e & flf p - e dir. e e n, ne - $, e. ise,, ' nedir? &, n, n &, n, n l & ^, nhl l &,n $ & l $ ^n, h & l ^n, h. & ' (, n ) 5. cos ise, ' nedir? cos & ln ln & ln cos $ ln l & ^cos $ ln hl l & - sin $ ln cos f p & l $ f- sin ln cos p cos UYGULAMA ADIMI 6. f() ln( sin ) ise, f'() nedir? ^sin hl cos^ h. ^ hl f ^ h ln^sin h & fl^h sin sin 7. (ln) ln ise, ' nedir?, n, ^, nh &, n, n6^, nh &, n, n., n(, n) ' ' ( ) n n n ^, nh,,,, n & ' ;, n(, n) E, n ' (, n). 6, ( ) n, 8. ln ise, f'(e) nedir? f^h $ cos f l^h sin cot fl^h tir. n l,, n f^h & fl^h f p $ $, n, n 6 ^, l$ - fl^h -^, nh $ $ fl ( e) -^, neh - $ e $, n, n., n ln, ne $ $ $, n e $, n cos & l $ f- sin $ ln cos p olur. -, n e dir. 9

40 PEKİŞTİRME ADIMI π. f() sin tan fonksionunun r apsisli noktasındaki. f() cos fonksionunun apsisli noktasındaki türevini bulunuz. türevini bulunuz. ÜNİTE π - π sin. f() fonksionunun apsisli noktasındaki cos türevini bulunuz. 5. eşitliğile verilen f() fonksionu için d d türevini bulunuz. d - l - d - -. Parametrik denklemi t 5t t t olan f() fonksionu için, d d türevini bulunuz. π 6. f() sin sin fonksionu için flc m değeri kaçtır? 6t t - 5 9

41 ÜNİTE PEKİŞTİRME ADIMI 7. f() sin(cos) ise, f' () fonksionunu bulunuz.. f ^ h olduğuna göre, flf p değerini bulunuz., n e sin. cos(cos) 8. f() sin (sin) fonksionunun türevini bulunuz.. f() e sin π olduğuna göre, flc m değeri kaçtır? sin (sin).cos(sin).cos 9. f().ln ise, f'(e) değeri kaçtır?. f().e fonksionu için f'() değeri kaçtır? e 8e 9

42 e. f ^ h fonksionu için f'() değeri kaçtır? - e PEKİŞTİRME ADIMI, n 6. f ^ h fonksionunun apsisli noktasındaki türevini bulunuz. ÜNİTE 7ln. f() e tan π fonksionu için flc m değeri kaçtır? 7. f().5 fonksionu için f'() değeri kaçtır?, n^5eh 5 π e ( ) cos sin π 5. f ^ h - fonksionunun apsisli noktadaki türevini bulunuz. 8. f(). olduğuna göre, f'( ) değeri kaçtır? -.,n ^, n h- 9

43 ÜNİTE. Bileşke Fonksionun Türevi (Zincir Kuralı): D R, E R olmak üzere; f: D E fonksionu a D noktasında, g: E R fonksionu f(a) E noktasında türevlenebiliorsa; gof: D R fonksionu da a noktasında türevlenebilirdir ve (gof)' (a) g'(f(a)). f'(a) dır. f(), z g() alınırsa z g(f()) (gof)() olur. dz dz d ^gofhl^ h $ ani zl zl $ l d d d (gof)'() g'(f()). f'() olur. ÖRNEK f: R R, f() g: R R, g() ise, (gof)'() nedir? I. Yol: KAVRAMSAL ADIM (gof)'() g'(f()). f'() olduğundan g() & g'() f() & f'(), f() ve f'(). ise g'(f()) g'() 8 olduğundan (gof)'() 8. 6 dır. II. Yol: (gof) () g(f()) ( ) ( ) (gof)'() ( ) olup (gof)'() (..).8 6 dır. ÖRNEK f, g ve fog fonksionları türevlenebilir fonksionlardır. g( ), g'( ) ve f'() olduğuna göre, (fog)'( ) kaçtır? (fog)'( ) f'(g( )).g'( ) f'().. dir. ETKİNLİK. Ters Fonksionun Türevi: A R, B R olmak üzere; f: A B bire bir ve örten fonksionunun ters fonksionu f : B A olsun. A için f() B ise ters fonksion tanımından B için f () A dır. f () eşitliğinin her iki anının ʼe göre türevi alınırsa; ^ f hl ^h$ l vea ( f ) l^h tir. l l fl^h fl^f ^hh oldu undan ^f ^f hl^ h a da fl ^f ( ) h f ( ), n, g ( ) ise ÖRNEK f:(,) R, f() fonksionu verilior. (f )' () nedir? I. Yol: (fog)() fonksionunun türevini bulalım. ( fog)( ), n( ) olur. ( fog)'( ) n ' a, k hl^ h olur. fl^f ( ) h f fonksionu (,) aralığında bire bir ve örten olduğundan ters fonksionu vardır. & & ( ) ( ) & bulunur. ve (,) olduğundan > dir. 9

44 KAVRAMSAL ADIM - - ise ve f ( ) dir. Ohalde, f ^h dir. ^ f hl ^h & ^f hl^ h olur. II. Yol: ETKİNLİK f() 5 eşitliği ile tanımlanan f : R R fonksionu verilior. (f )'()? ÜNİTE f() ise f ^h ( bulundu.) ^ f hl^ h fl^h ^ - hl - ^f III. Yol: ^ -h hl^ h. f() (f & )' () olduğunu görmüştünüz. (f )'() için fl^h e karşılık gelen değerini bulmalıız. f() & & & ( ) ( ) olur. ve tür. z (,) ve (,) olup için tür. O halde, 5. Ardışık Türev (Yüksek Sıradan Türev): D R ve f: D R fonksionu D kümesinde türevli ise; ifadesine f fonksionunun. sıradan türevi denir. Eğer f' türev fonksionu da, E D olmak üzere E kümesinde türevli ise dl d m fm^h ^fl^hhl d d. sıradan türevi denir. Benzer düşünüşle d l fl^h d dm d n fn^h ^fm^hhl d d ifadesine f fonksionunun ifadesine f fonksionunun. sıradan türevi denir. Genel olarak n N ve n > için ^n - h ^nh ^nh d d f ^h d n d ifadesine f fonksionunun n. sıradan türevi denir. n ^f h^h & ^f hl^ h fl^h fl^h ve f() & f'() olduğundan fl ^h. - ve^f hl^h fl^h bulunur. ÖRNEK f() fonksionunun. sıradan türevini bulalım. 95

45 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ise ' 6 " (')' 6 6 dır. ÖRNEK f() sin sin fonksionunun. sıradan türevini bulalım. sin sin ise ' sin. cos sin. cos sin sin. cos " (')' cos.(sin. cos). cos sin. ( sin) cos sin. cos sin bulunur. n sıradan türev sorulduğunda önce, verilen fonksionun birkaç sıradan türevi bulunur. Bu türevlerden ararlanarak n. sıradan türev bulunur. ' n. n " n.(n ) n "' n.(n ). (n ). n... (n) n.(n ). (n )..[n (n )] n n (n) n.(n ). (n ). (n )... (n) n! bulunur. ÖRNEK fonksionunun n. sıradan türevi nedir? ÖRNEK f() 5 fonksionunun. sıradan türevini bulalım. 5 ise ' 5 " (')' '" tür. UYARI f(), n. dereceden polinom fonksion ise, f fonksionunun n. sıradan türevi sabit, daha üksek türevleri sıfırdır. & l dir. ' ( ). '' ( ) ( )... '''..( ).... (n) ( ) n... n. (n) (n) ( ) n n!. n bulunur. ETKİNLİK f() Arccosa k fonksionunun türevini bulalım. f ( ) Arccos & f'( ) 9 ÖRNEK n N olmak üzere f() n fonksionunun n. sıradan türevi nedir? f'( ) 9 9 bulunur. 96

46 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK ) f : R R, e) f ^ h arctan & fl^h ÜNİTE f() ise, f () ()? ve f () ()? f) g) gl ^h f ^ h arctan g ^ h& fl^h 6 g ^ h@ - f ^ h arccot & fl^h h) gl ^h f ^ h arccot g ^ h& fl^h- 6 g ^ h@ ETKİNLİK ) sin, cos fonksionlarının n. sıradan türevlerini, n doğal saısına bağlı olarak veren formüller bulunuz. r 5 f() sin c Arc tan m 'nin saısal değerini bulalım. cos tan 5 c m 5 cos & cos r sina ak cos a tür. olduğundan f ( ) bulunur. 6. Ters Trigonometrik Fonksionların Türevi a) f ^ h arcsin & fl^h - NOT: cos tan ve olduğunu hatırlaınız. r sina ak cos a b) f ^ h arcsin g ^ h& fl^h gl ^h - 6 g ^ h@ ETKİNLİK f() Arccos fonksionu için f'() ın değerini c) d) f ^ h arccos & fl^h- f ^ h arccos g ^ h& f' ^h- - gl^h - 6 g ^ h@ bulalım. f'( ). f'() bulunur. 97

47 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK ÖRNEK f ^ h arcsin ise, f'() nedir? ( > ) fl^h l f p - f p f ^ h arctan f ^ h arctan ise ^ hl fl^h ^ h ise, f'() kaçtır? fl^h bulunur. - - olur. ETKİNLİK f() Arcsin(π/) fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. ÖRNEK f() arccos bulunuz. fonksionunun türevsiz olduğu en geniş kümei r f() Arcsin a k & f'( ) f'( ). dir. f ^ h arccos ise, fl^h- - olup f'( ) bulunur. için tanımsızdır. & ± dir. - f' nün tanımlı olmadığı erlerde f' süreksiz olduğundan türevsizdir. O halde (, ], [, ) kümesinde f() arccos fonksionu türevsizdir. ETKİNLİK f() Arccot fonksionu verilior. Buna göre, f'() in değerini bulalım. f ( ) Arccot f'( ). f'( ) bulunur. 98

48 KAVRAMSAL ADIM 7. Mutlak Değerli Fonksionların Türevi D R ve f, D kümesinde türevli bir fonksion olsun. F() f() ise fl^h. f^h fl^h, f^h ise Fl^h * f ^ h -fl^h, f^h ise dir. ÖRNEK f() 8 fonksionunun türevi nedir? UYARI Mutlak değerin içini pozitif apan değerler için, doğrudan içinin tü-revi alınır. Negatif apan değerler için, içinin türevi ile çarpılır. ETKİNLİK f : R R f() olduğuna göre, f() f'() ün değerini bulalım. f() & f() f'().( ) & f'() f() f'() bulunur. ÜNİTE 8 & dir. ^- 8hl. 8! için fl^h ^ - h - dir. ETKİNLİK f() fonksionu için f'(), f'( ) ve f'(5) değerlerini bulalım. ÖRNEK ( ) f() fonksionunun noktasındaki türevi nedir? Buna göre f(), f( ) olduğundan f'( ) ve f'() oktur. f(5) > & f() & f'() f'(5) olur. & ( ) ( ) & ve ʼtür. f() ( ) < olup f() & f'() ve f'(). olur. ÖRNEK f: R $ [,] f() cos fonksionu verilor. π π π π a) flc m b) flc m c) flf p d) f' c m 6 ifadelerini hesaplaınız. 99

49 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM π π a) cos oldu undan flc m oktur. π b) cos > oldu undan π π flc m - sin - dir. 8. Parametrik Denklemlerde İkinci Mertebe Türevlerin Hesaplanması g() t parametrik denklemlerinden h() t türevini hesaplaalım. d d d' d d d d' dt d c m ve l d d d d d d dt ikinci mertebe d dt d dt olduğundan π c) cos - oldu undan π π flf p. f sin p dir. dl dt d d d d $ - $ dt dt dt dt d f p dt dir. d) π cos oldu undan 6 π π flc m - sin dir. Yerine azılırsa d d d d l d $ - $ d dt dt dt dt dt d d d d dt f p $ f p dt dt ÖRNEK d d d d $ - $ d dt dt dt dt d d f p dt bulunur. f() 5 k ve f'() ise, k nedir? a da d ". ' ' " d ^' h bulunur. 5 &, 5 tir. ETKİNLİK t [, π] parametresine bağlı olarak 5 5 cost sin t için 5X < olduğundan f() 5 k & f() 5 k ile verilen fonksion için d d r t? f'() 5 k & f'(). 5 k & 5 k & k dir.

50 UYGULAMA ADIMI. f() ve g() ise, II. Yol: a) (fog)'() nedir? b) (gof)'() nedir? Fonksionun tersini bulmadan f () a & f(a) & a 5 a a) I. Yol: (fog)() f(g()) () a dir. f() 5 & f'() (fog)() f'( ). ( ) olur. (fog)'() ( f )'( ) fl^ h olur. II. Yol: (fog)'() f'(g()). g'() ÜNİTE. b) I. Yol: (gof)() g(f()) ( ). f: [, ] [ 9, ) f() 5 ise, (f )'( 5) kaçtır? II. Yol: (gof)'() (gof)'() g'(f()). f'(). ^f hl^ 5h fl^f ^ 5hh f ( 5) a & f(a) 5 tir. olur. a a 5 5 & a V a f [, ) olduğundan a tür. ( [, )). f: R R, f() 5 ise, (f )'() değeri kaçtır? f'() & f'(). tür. ^f hl^ - 5h fl^f ^ 5hh fl^h olur. I. Yol: f () ʻ i bulup türev alalım. 5 & 5 & -5 & f ^h -5 & ^f hl^h. ^ - 5h & ^f hl^ h. ^- 5h dür.. f() 5 ise, f''() nedir? f() 5 ise f'() f''() 6 dur.

51 ÜNİTE 5. f() 5 ise, f (5) () nedir? f'() 5 f''() 5.. f'''() 5... f () () 5... f (5) () ! olur. UYGULAMA ADIMI 8. $ sin t d cos t d I. Yol: nin efliti nedir? d d dt sin t. sin t. cos t - - d d cos t. cos t dt d - sin t d 6. f ( ) e ise, ^h f ^h nedir? df- sin tp -. cos t d - d d. cos t 9 dt dur. fl^h e e e fm^h $ $ e fn^h $ $ $ e e... f^ h^h f $ $ p$ e $ e dir. II. Yol: d ''' ''' d ^' h _ ' cos t b b '' - sin t b d cos t$ ^-cos th-^-$ sin th$ ^-sin th ` ' -sin t b d ^ cos th b '' -. cos tb a - $ cos t$ cos t-6 sin t$ sin t 7. cos t 7. d ^e h e $ f p d ifadesinin eşiti nedir? d ^$ e h d d ^ $ e f d d d d e ^ e d h p h - e e e -. cos t$ cos t-6 sin t$ sin t$ cos t 7. cos t$ cos t - $ ^cos t -cos th 9 $ cos t ^cos t- sin t -cos th - $ 9 cos t bulunur. 9 e - e e d ^ e h $ e $ ^- e e d - tir. h

52 9. sin t cost cos t sint d π olmak üzere, nin t için değeri kaçtır? d d d dt cos t$ ^- sin th cos t - sin t cos t d d sin t$ cos t- sin t sin t- sin t dt d d d d - sin t cos t c m c m d d d d sin t- sin t UYGULAMA ADIMI. (a b) n fonksionunda n bir tam saı olmak üzere, n nin eşiti nedir? ' n.(a b) n.a '' n(n ).(a b) n.a ''' n(n )(n ).(a b) n.a... (n) n. (n )(n ) [n (n )]. (a b) n n. a n n n!. a n dir. ÜNİTE d - sin t cos t f p dt sin t- sin t d dt d - sin t cos t f p dt sin t- sin t sin t$ cos t- sin t ^-cos t - sin th$ ^sin t - sin th-^- sin t cos th$ ^cos t - cos th ^sin t - sin th $ ^sin t - sin th d d π t..e ise (n) nin eşitini bulalım. ' e e e () '' e. () e. e () ''' e. () e. e ()... (n) e. (n) dir. π r π π π π π π - $ cos $ sin $ sin - sin - - sin cos $ cos $ - cos π π π π csin $ - sin m $ csin $ - sin m c m c m c m c m ^^-h$ ^-h-h$ ^-h- ^ h$ ^.( ) h ^-h $ ^-h $ ^-h - ^-h - - dir.. e ise, e d d f - p ifadesinin eşiti nedir? d d d e & l e. e e ^ h d d. ' e e e ' ^ lhl ^ h ^ h ^. e hl d e l e e. e e ^ h dir.

53 ÜNİTE. Ölese, e - d d - f - p e 6e ^ h- e ^ h@ d d - e 6e ^ --h@ bulunur.. sin i d ile verilen f() fonksionu için 5. cos i d bulalım. d d di 5 sin i $ tan i d d cos i di dl - 5 $ ^ tan ih di dir. ve UYGULAMA ADIMI türevini 5. t e ile verilen f() fonksionu için t t bulalım. d d dt t d d t e dt t dl t $ e - ^t h $ e dt t ^e h t dl t e - ^t he d t dt e d d t e dt t d e ^t t h t d e t t d d türevini d' 5 - $ ^ tan ih d di d d.cosi di - 5 $ 9 cos i bulunur. 6. e t (t t ) bulunur. t t ile verilen f() fonksionu için t t bulalım. d d türevini. t t ile verilen f() fonksionu için t - t bulalım. d d türevini d d dt 9t d d t dt dl 8t$ ^t h - ^9t h $ 8t 8t-8 dt ^t h ^t h d d dt t - ^t - h d d t dt dl dt ve dl d dt d d t ^t h dt bulunur. dl 8t 8t-8 d dt ^t h 8t 8t-8 tür. d d ^t h ^t h dt Diğer taraftan, dm d d d d dt f p m d d d d d dt olup,

54 dm ^6t 8h$ ^t h - ^8t 8t- 8h $ ^t h $ dt 6 ^t h ^t h 68.( t ) $ ^t h- ^8t 8t-8h $ 6@ 6 ^t h dm d dm dt d d d dt d d 8( t ) - ^8t 8t-8h ^t h ^t h UYGULAMA ADIMI 8. f,. sıradan türevlenebilir bir fonksion, a R ve f'(a) ise, fl^h fl^ah lim " a f ^ h- fa ^ h lim f' ^h- f' ^ah lim f ^ h- fa ^ h " a " a ifadesinin eşiti nedir? f''( a) f'( a) f' ^h- f' ^ah - a f ^ h- fa ^ h - a dır. ÜNİTE d 6t 6t 9 5 d ^t h bulunur. 9. f() arctan ise, f'() kaçtır? $ ln f ( ) arctan & fl^h 7. sin t cos t bulalım. ile verilen f() fonksionu için d d türevini $ ln & fl^h. ln d d dt sin t l - -tan t d d cos t dt ln bulunur. dl d dm dt - ^ tan th - d d d cos t cos t dt dm d d d dm dt f p d d d d d dt dm - sin t $ cos t $ ^-sin th - dt cos t. f() arctan ise, f'( ) kaçtır? l f p f ^ h arctan & fl^h f p - dm - sin t d dt cos t sin t - d d cos t 5 cos t dt bulunur. & f l^-h - - f l^h - dir. 5

55 ÜNİTE. f() arccot( sin ) ise, π. f() arccot ise f' ( ) kaçtır? flc m kaçtır? arccot arccot f ^ h & fl^h ^arccot hl $ $ ln ^ sin h' f ( ) arccot^ sin h & fl^h - ^ sin h sin $ cos & fl^h ^ sin h sin & fl^h ^ sin h UYGULAMA ADIMI arccot & fl^h f- p$ $ ln arccot - & fl ( ) - $ ^ h > $.ln H ^ h π & fl^ h - $ $ ln π sinc $ m π & flc m π c sin m π - - $ ln bulunur. f p. f'().arcsin ise, f'( ) kaçtır? tü r. f'().arcsin. π f'() arcsin f'( ) arcsin( ) dir. π. < < olmak üzere, arcsin değeri kaçtır? fonksionunun noktasındaki türevinin 5. f() a a Arcsin (a > ) fonksionunun türevini a bulunuz. arcsin & ' f'( ) & f'( ).( ). ( ) b l.( ).. ( ) b l dır. a. a f'( ) a a f'( ) a a a a a. a a f'( ) a a a a bulunur. 6

56 . f, g ve gof fonksionları türevlenebilir fonksionlardır. f(), f'() 5 ve g'() olduğuna göre, (gof)'() ifadesinin değeri kaçtır? PEKİŞTİRME ADIMI. f: R (, ), f() olduğuna göre, (f )'() fonksionunu bulunuz. ÜNİTE. f: R R, f() g: R R, u g() fonksionları verilior. du d ifadesini bulunuz. 5. f: (, 7] R, f() fonksionu verilior. (f )'() değerini bulunuz. 6.( ).( ). f: R R, f() 5 olduğuna göre, f () ters fonksionunun türevini bulunuz. 6. f() fonksionunun. sıradan türevini bulunuz. 7

57 ÜNİTE PEKİŞTİRME ADIMI. ise () türevini bulunuz. 7. fonksionunun n. sıradan türevini bulunuz. ^-h. n! n n! 8. f() e fonksionu için f''( ) değerini bulunuz.. fonksionu için (5) () değeri kaçtır? - 5! f p 6 9. t t olduğuna göre, t için t -t değerini bulunuz. d d ikinci türevinin..e fonksionu için () türevini bulunuz. 8.e 8

58 . f() arcsin olduğuna göre, f'() türev fonksionunu bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI 6. f() e arcsin olduğuna göre, flf p değerini bulunuz. ÜNİTE - 9 e π 6. f ^ h arccos olduğuna göre, f'() türev fonksionunu bulunuz. 7. f() fonksionu için, a) f'() b) f'() c) f'( ) değerlerini bulunuz a) b) Yoktur c) 6 5. f(). arctan ise, f'( )değerini bulunuz. 8. f: R [, ], f() sin fonksionu için, π 7π a) flc m b) f'(π) c) flf p 6 değerlerini bulunuz. a) b) Yoktur π - f p c) 9

59 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK f() e tan olduğuna göre, π f ( ) fa k lim π " r limitinin değerini bulalım. π f ( ) fa k π lim f' π " r a k tür. f() e tan & f'() (tan)'.e tan f'( ). cos e tan π π r iç in fa k. etan cos π.e e bulunur. c m TÜREVİN LİMİT HESABINDA KULLANILMASI L HOSPİTAL KURALI Limit problemlerinde birçok kez Bu tür durumlarda LʼHospital kuralı kolalık sağlar. f ve g türevlenebilir fonksionlar olsunlar. lim f ^ h g h a da " a ^ f ^ h fl^h lim lim " a g ^ h " a gl^h lim f' ^h " g ' ^ h ugulanır. a da oluorsa ve tir. a a da belirsizliklerile karşılaşılır. fl^h lim limiti (sonlu ve sonsuz) varsa " a g l^ h belirsizliği devam ediorsa LʼHospital kuralı ine fl^h Eğer lim limiti oksa bu kural ugulanamaz. " a g l^ h ETKİNLİK Gerçel saılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksionu için f( ) f() f() ve fh ( ) lim h" h olduğuna göre, f'()'i bulunuz.,, BELİRSİZLİKLERİ [f()] [g()] biçimindeki ifadelerin limitleri bulunurken bu tür belirsizliklerle karşılaşılır. Bu tür belirsizlikleri kaldırmak için e ln eşitliğinden ararlanılır. Yani [f()] g() e ln f() g() e g()ln[f()] ve lim 6 f ^ h@ g ^ h lim e " a $ a g ( ), nf ( ) lim e $ a, nf( ) g ( ) olur. Bu son limitte vea belirsizliği vardır.

60 . lim limitinin değeri nedir? "- - 5 azılırsa 5 $ ^ h $ ^- h - ^-h - - LʼHospital kuralı ugulanırsa lim 5 5 lim 9 - " - "- 9 5 $ ^ h. ^-h 9 $ ^-h 9 olur. UYGULAMA ADIMI - cos a. lim limitinin değeri nedir? " için belirsizliği vardır. Kurala göre, - cos a a$ lim lim sin a a. lim sin a " " " a. lim sin a a a $ a $ $ a dir. a n " n - a 5. lim limitinin değeri nedir? " a n a n - ÜNİTE olur. aiçin belirsizliği vardır. Kurala göre. lim limitini hesaplaınız. " - lim n n - a n lim - a n. -n n " a n n " a n - için lim belirsizliği var. LʼHospital Kuralına göre, lim " " olur. -n a n $ $ n a n a n - n - -n - n n n a n - a n $ $ n n olur. - e 6. lim limitinin değeri nedir? ". lim limitinin değeri nedir? " - " için belirsizliği vardır. Kural gereğince, $ ln lim lim bulunur. - " - " - $ ln " için lim e d r. belirsizliği vardır. Kurala göre, e lim " "

61 ÜNİTE π - arctan 7. lim limitinin değeri nedir? " " için π - arctan lim lim " " belirsizliği vardır. Buna göre, - lim bulunur. " UYGULAMA ADIMI m. lim. sin limitinin değeri ise, m kaçtır? " m " iç in. sin. sin. m sin m lim. sin lim " " O halde, azılırsa -m m $ cos m lim lim m. cos " " - belirsizliği vardır. biçimine dönüşür. a - b 8. lim limitinin değeri nedir? " (a >, b > ) m. cos & m. & m dir. " için belirsizliği vardır. Kurala göre, h. lim limitinin değeri nedir? h " h lim a - b a $ ln a- b ln b lim " " a ln a- ln b ln dir. b h lim f'( ) dir. h " h f() & f'()., n olur. arcsin 9. lim limitinin değeri nedir? arcsin 8 ". lim " limitinin değeri nedir? için belirsizliği vardır. lim " dır. Pa ve padaı çarpanlarına aıralım. arcsin lim lim arcsin 8 " " dir. ( )( ) lim ( )( ) " bulunur.

62 . lim c m limitinin değeri kaçtır? " belirsizliği vardır. lim c m e $ e, n lim $ olduğundan LʼHospital Kuralı ugulanırsa;. ^ h. ^ h lim $ ^ h$ " e ^ h UYGULAMA ADIMI sin - a. limf p limitinin değeri kaçtır? " a sin a sin lim ve " a sin a lim " a - a sin limf p " a sin a - a e olup lim sin > - H " a - a sina ÜNİTE lim - " e e bulunur. e sin- sina lim $ > H " a sin a - a. lim $ limitinin değeri kaçtır? belirsizliği vardır. lim $, n lim " e limitinde LʼHospital kuralı ugulanırsa;, n olduğundan e sin- sina $ lim $ > H sina " a - a olur. lim sin - sin a cos a oldu undan " a - a sin limf p " a sin a cosa - a sina e e cota d r. lim " e e dir. UYARI g ^ h lim6f ^ h@ ifadesin de lim f ( ), " a " a lim g ^ h ise " a g ^ h lim6f ^ h@ lim" 6f ^ h-@, " a " a lim' 6 ^f ^ hh@ " a e limg ^ h. 6f ^ " a f ^ h- dir. ( f ( ) ). g ( ) g ^ h - -. limf p limitinin değeri kaçtır? - " -. - lim -. - " lim " - olduğundan belirsizliği vardır. lim - lim " f p e - " - $ > - H ^ -h lim $ f p lim $ e e e $ $ lim $ - - e dir.

63 ÜNİTE -. lim k ise, k R saısı kaçtır? - " PEKİŞTİRME ADIMI e cos. lim limitinin değeri kaçtır? " -. limf limitinin değeri kaçtır? - - p " - 5. lim cos limitinin değeri kaçtır? $ - sin. lim limitinin değeri kaçtır? π cos " 6. lim f. sin limitinin değeri kaçtır? " p

64 sin - 7. lim limitinin değeri kaçtır? cos - " PEKİŞTİRME ADIMI a - a 5. lim mvem mt t eşitliklerini - " - a sağlaan m ve t değerleri için t m farkı kaçtır? ÜNİTE sin^π. sin h 6. lim limitinin değeri kaçtır? π sin " tan -. lim limitinin değeri kaçtır? sin " e e - 9. lim f p limitinin değeri kaçtır? " e e -. lim ^sec i- tan ih limitinin değeri kaçtır? π i $ 5

65 ÜNİTE PEKİŞTİRME ADIMI sin a- sin.! için lim ise, kaçtır? 6. a" - a lim ^ sin h " limitinin değeri kaçtır? π e cos i- sin i. lim limitinin değeri kaçtır? π cot i i " 7. lim limitinin değeri kaçtır? $ e - 5. lim f p limitinin değeri kaçtır? " 8. lim > - limitinin değeri kaçtır? H $ e - e 6 6

66 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK ) eğrisine, apsisli noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz. Normalin denklemini bulunuz. TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI D R ve D olmak üzere; f: D R, f() fonksionu noktasında türevli olsun. f() f( ) M N Te et f() f( ) f H f( ) α β T ÜNİTE ) sin eğrisine r a) apsisli noktasından çizilen teğet ve 6 normalin denklemini f fonksionunun grafiği üzerinde M(, f( )) ve N(, f()) noktalarını alalım. MN doğrusunun eğimi, f ( ) f ( ) mmn tan b tan_ % NMHi d r. ( aklaşırken) N noktası M noktasına β açısı α açısına ve MN doğrusu MT teğetine aklaşır. O halde NT teğeri için MN kirişinin limit durumu olup MT teğetinin eğimi, MN doğrusunun eğiminin için limitidir. Ölese MT teğetinin eğimi f ( ) f ( ) mte et tan a lim tan b lim " " olur. r b) apsisli noktasından çizilen teğet ve normalin denklemini azınız. SONUÇ noktasında türevli f fonksionunun M(, f( )) noktasındaki teğetinin eğimi, fonksionunun noktasındaki türevine eşittir. Yani m t f'( ) dır. ÖRNEK f ( ) fonksionunun noktasındaki teğetinin eğim açısı kaç derecedir? ) cos ve sin eğrileri kaç derecelik açı altında kesişirler? ( )'( ) ( )' f'( ) ( ).( ) ( ) ( ) f'( ) ( ) olup tanα & α 5 tir. 7

67 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK f() fonksionu verilior. f' fonksionunun noktasındaki teğetinin eğimi nedir? fʼ() olup f' nün noktasındaki teğetinin eğimi f"( ) tü r. f"() 6 & "( ). f 6 olur. F(, ) ise d F (, ) d F (, ) d.. (, ) & m d.. O halde teğetin denklemi dir. m( ) & ( ) & dir. TEĞET DENKLEMİ f() fonksionunun M(, f( )) noktasındaki teğetinin denklemi UYARI f fonksionu noktasında sürekli değilse bu noktada teğetten söz edilemez. Ancak, f nin sürekli olması teğetin varlığını garanti etmez. f( ) f'( ).( ) dır. NORMAL DENKLEMİ ÖRNEK f() eğrisinin noktasındaki teğetinin denklemi nedir? f() fonksionunun M(, f( )) noktasındaki normal doğrusunun eğimi MN dır. f '( ) O halde M(, f( )) noktasındaki normalinin denklemi f( ). ( ) dır. f'( ) f() ise f'() f'(). dir. f(). olup teğet denklemi f() f'().( ) &.( ) & dir. ÖRNEK eğrisinin M(, ) noktasındaki teğet denklemi nedir? ÖRNEK k eğrisinin apsisli noktasındaki normali 6 5 doğrusuna paralel olduğuna göre, k kaçtır? 6 5 doğrusunun eğimi 6 dır. Normal ile bu doğru paralel olduklarından eğimleri eşittir. Normalin eğimi m N 6 ve teğetin eğimi m dır. T m 6 ' k N ve m T '() k dır. Buradan k & k 6 8 bulunur. 8

68 . f() sin eğrisinin r apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? r f() sin eğrisinin r eğimi f'( ) tür. f() sin & f'() cos ve r r f'( ) cos dir. apsisli noktasındaki teğetinin UYGULAMA ADIMI r. f ( ) fonksionunun grafiğine apsisli noktasından çizilen teğetin eğim açısı kaç sin derecedir?. sin. cos f ( ) & f'( ) sin sin r r r r sin. cos tan a f'( ) sin r tanα & α 5 dir. ÜNİTE 5. f() A(, ). f ( ) fonksionunun grafiğine apsisli noktada çizilen teğetin eğimi kaçtır? α f'( ) soruluor. ( )( ).( ) f ( ) & f'( ) ( ) (.( ) )( ) [( ).( )] f'( ) ( ) f'( ) bulunur.. f().cos fonksionunun grafiğine π apsisli noktasından çizilen teğetin ekseninin pozitif önüle aptığı açı α ise, tanα kaçtır? tanα f'(π) dir. f().cos & f'().cos.( sin) f'(π) π.cosπ π.sinπ π( ) π. π bulunur. Şekilde f() eğrisinin A(, ) noktasındaki teğeti verilior. g ( ) f( ) şeklinde tanımlanan g fonksionu için, f ( ) g'() değeri kaçtır? g fonksionunun apsisli noktasındaki teğetinin eğimi soruluor. g ( ) f( ) f ( ).() f f.'() & g'( ).().'() f f f ( ) azılırsa f( ) f'( ) g'( ).( f ).'( f ) f ( ) Şekilden f(), f'() tanα azılırsa g'( ).. bulunur α A(, ) olup erlerine f() 9

69 ÜNİTE 6. f() k 6 fonksionu verilior. f'() fonksionunun grafiğine apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi olduğuna göre, k reel saısı kaçtır? f() k 6 fonksionu verilmiş. f'() in grafiğine apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi olduğuna göre, f''( ) tür. O halde f'() k f''() 6 k f"( ) 6.( ) k & k 6 UYGULAMA ADIMI 9. Teğetin eğimi sıfırdır. Teğetin denklemi: f( ) f'( ) ( ) ( ).( ( )) tür. f'( ) olduğundan bulunan teğetin eksenine paralel olduğuna dikkat ediniz. k bulunur. f() A 7. g() k Şekilde f() ile f e A(, ) noktasında teğet olan 5 O A f() g() k doğrusu verilior. h().f ().g() şeklinde tanımlı h fonksionuna apsisli noktadan çizilen teğetin denklemi nedir? Şekilde grafiği verilen f() fonksionuna üzerindeki A(, ) noktasından çizilen teğeti ekseni ile 5 lik açı aptığına göre, teğetin eğimi kaçtır? Teğetin ekseninin pozitif önüle aptığı açı 8 5 dir. Teğetin eğimi tan olur. A(, ) noktası g() k doğrusu üzerinde olduğundan g() & k & k dir. h().f ().g() f ().( ) h'()..f().f'().( ).f (). h'().f().f'().( ).f () g() ve f() in A noktasındaki teğeti g() olduğundan f'() dir. (g() in eğimi dir.) 8. f() fonksionuna apsisli noktasından çizilen teğetinin denklemi nedir? f( ) ( ).( ) olup, A(, ) noktasından çizilen teğetin denklemi istenior. Teğetin eğimi f'( ) dir. f() & f'() & f'( ).( ) dır. Şekilden f() olup erine azılırsa h'() h().f ().g().. 5 olup h() fonksionunun apsisli noktasındaki teğetinin denklemi h() h'().( ) 5 5.( ) 5 5 bulunur.

70 . f: R { } R m f ( ) fonksionunun, apsisi olan noktasındaki teğeti, denklemi olan doğrua para- lel ise, m kaçtır? doğrusunun eğimi m d Bu doğrua paralel olan teğetin eğimi de tür. m t (Paralel doğruların eğimleri eşittir.) Teğetin eğimi o noktadaki türevin değeri olduğundan ( m)( ) ( m ). f'( ) ( ) ( m)( ) ( m ) f'( ) ( ) 6 m m 9 m 8 9 UYGULAMA ADIMI olur.. f() eğrisinin hangi noktalarındaki teğetleri doğrusuna paraleldir? İstenen noktanın apsisi olsun. Paralel doğruların eğimleri eşit olacağından istenen teğetlerin eğimi 5 olmalıdır. O halde f'( ) 5 eşitliğini sağlaan değerlerini bulmalıız. f() & f'() & f'( ) & 5 & 7& 9 & vea & f( ) f(). 8 olur. & f( ) f( ) ( ).( ) olup istenen noktalar (, 8) ve (, ) dur. ÜNİTE & 6m 8 & 6 m 6 & m dir.. f() 6 eğrisinin hangi noktasındaki teğeti 8 doğrusuna paraleldir? İstenen noktanın apsisi olsun. Paralel doğruların eğimleri eşit olacağından istenen teğetin eğimi 8 olmalıdır. ( m n doğrusunun eğimi m dir.) O halde f'( ) 8 denklemini sağlaan değeri istenior. f() 6 f'() 6 & f'( ) olup için f( ) 6 olur. O halde istenen nokta (, ) olur.. f() eğrisinin orijinden geçen teğetlerinin denklemlerini bulunuz. f() eğrisinin orijinden geçen teğetleri eğrie T ve T noktalarında teğet olsun. T (, ) ise T (, ( ) ) T (, ) olur. T noktasındaki teğetin eğimi f'( ) olduğundan f() & f'() & f'( ) dır. T noktasındaki teğetin denklemi f( ) f'( ) ( ) ( ).( ). olup T teğeti O(, ) noktasından geçtiğinden ve azılırsa T T f()

71 ÜNİTE.. & vea bulunur. & f( ) f() 8 & T (, 8) & f( ) f( ) ( ) 8 & T (, 8) dir. T noktasındaki teğetin eğimi mt. T noktasındaki teğetin denklemi f() mt.( ) UYGULAMA ADIMI ve azılırsa. & vea olur. & f( ) & T (, ) & f( ) & T (, 9) bulunur. 8 ( ) T noktasındaki teğetin eğimi mt.( ) T noktasındaki teğetin denklemi f( ) mt [ ( )] 8 ( ) bulunur. 5. f() e eğrisinin orijinden geçen teğetinin denklemini bulunuz. f() e fonksionunun eğrisine apsisli noktadan çizilen teğeti orijinden geçsin. f() e T(,e ). f() eğrisine A(, ) noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarını bulunuz. f() eğrisine A(, ) noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları T ve T olsun. T ve T nin koordinatları istenior. İstenen noktanın apsisi olsun. T (, ) dir. f() & f'() olduğundan T noktasındaki teğetin eğimi T noktasındaki teğetin denklemi f( ) f'( ).( ).( ). mt dır. olup T den geçen teğet A(, ) noktasından da geçtiğinden T T A(,) T(, e ) dır. f() e & f'() e & f'( ) e dır. Teğetin eğimi m T f'( ) dır. T(, e ) noktasındaki teğetin denklemi f( ) f'( ).( ) e e ( )... ( ) ve teğet orijinden geçtiğinden ve değerleri ( ) da erine azılırsa e e ( ) e e. e olduğundan dir. O halde Teğetin değme noktası T(, e) Teğetin eğimi m T e olup istenen denklem e e( ) e. bulunur. e

72 6. f() a b eğrisi noktasında eksenine teğet ise (a, b) ikilisi nedir? Eğri noktasında eksenine teğet ise fonksionun bu noktadaki teğetinin eğimi sıfırdır. Çünkü ekseni üzerindeki bir noktanın ordinatı ve ekseninin eğimi sıfırdır. O halde f() ve f'() olacağından f() a. b & a b... () f'() a & f'() a. & a & a... () () de a azılırsa b & b ve ( ab, ) b, l olur. UYGULAMA ADIMI 8. çemberine A(, ) noktasından çizilen normalin denklemini bulunuz. F(, ) dielim. F F olduğundan F F'(, )... ( ) F olup teğetin eğimi Normalin eğimi mt F'(, ) O halde normalin denklemi mn( ) olur. mn m T F '(, ) ( ) bulunur. olur. ÜNİTE 7. f() eğrisine apsisli noktada çizilen normalin denklemini bulunuz. Teğetin eğimi m T ve normalin eğimi m N ise, m T.m N dir. f() & f'() ve apsisli noktadaki teğetin eğimi m T f'(). 6 olup 6.m N & m N dır. 6 f(). 8 olup normalin denklemi f() m.( ) T 8 ( ) 6 ( 9) bulunur f() eğrisinin doğrusuna dik teğetlerinin denklemleri nedir? d: olsun. f() ise f'() olup P(, ) noktasındaki teğetinin eğimi m p ve diklik koşulundan m m p dir. d d: olduğundan m d ve mp dir. O halde & & &, dir. için f(). ve m p olduğundan. teğet denklemi: ( ).( ) & 5 için f( ) ( ).( ) 5 ve m p olduğundan. teğet denklemi: 5.( ( )) & 7 bulunur.

73 ÜNİTE a b. f ( ) eğrisinin noktasındaki teğeti eksenine paralel ise, a ile b arasında hangi bağıntı vardır? noktasındaki teğetin eksenine paralel olması için eğimi sıfır olmalıdır. ise a b a b a ( ) ( a b) f ( ) & f'( ) ( ) & a b olur. a b ( ) UYGULAMA ADIMI f'() a ve f'() a m m m f'() a m olur. tanα m. m a a tanα ise ( a ). a a a & a a olup (a ).(a ) & a, a dir. m m tanα m. m oktur. eşitliğini sağlaan a reel saısı. f() b c fonksionuna noktasında teğeti çizilior. (, ) f ise, b kaçtır? Eğrinin noktasındaki teğeti ise doğrusunun eğimi ile fonksionun noktasındaki türevinin değeri eşittir. d: ise m d dir. f'() b c ise f'( ).( ).b.( ) c c b... () ve (, ) f ise f() olur. f() b c ise b c... () dir. () ve () den b & b bulunur. UYARI f() fonksionunun noktasındaki teğetinin eğimi m, noktasındaki teğetinin eğimi m ve bu teğetler arasındaki m m açılardan biri α ise, tan a dir. m. m. f() a eğrisinin ve apsisli noktalardaki teğetlerinin oluşturduğu açının tanjantı ise, a kaçtır? f() a eğrisinin ve noktalarındaki teğetlerinin eğimi bu noktalarda türev fonksionunun aldığı değerdir.. f() 6 fonksionunun noktasındaki normal doğrusunun denklemi nedir? f() 6 ise f'() 8 6 dır. f'() f() 6 dır. O halde normalin denklemi f( ).( ) f '( ) ( ) ( & ) tir Denklemi olan eğrinin M(, ) noktasındaki normal doğrusunun denklemi nedir? F(, ) Normal denklemi olsun. d F (, ) ' d F (, ) d ( ) (, ) & M d. N ( ( )) M N ( ) ve & tir.

74 . f() eğrisine apsisli noktasından çizilen teğetin eğimini bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI 5. f ( ) fonksionunun grafiğine apsisli noktasından çizilen teğetin denklemi nedir? ÜNİTE. f() eğrisine apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi kaçtır? 6. f(), n eğrisinin orijinden geçen teğetinin denklemini bulunuz. e. f() eğrisine apsisi olan noktasından çizilen teğetin denklemi nedir? 7. e eğrisinin apsisli noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz. ( ) e 6. f() eğrisine apsisli noktasından çizilen teğetin eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır? 8. eğrisine apsisli noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz. 5

75 ÜNİTE PEKİŞTİRME ADIMI 9. f(), n eğrisine e apsisli noktasından çizilen. f ( ) eğrisine A(, ) noktasından çizilen teğetin normalinin eğimi nedir? denklemini bulunuz. e. f() eğrisine apsisli noktasından çizilen normalin denklemi nedir? a. f ( ) fonksionunun apsisli noktasındaki teğetinin eğimi olduğuna göre, a kaçtır? ( ). f() e eğrisine apsisli noktasından çizilen normalinin eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır? 5. f ( ). g ( ) şeklinde tanımlanıor. g() in apsisli noktasındaki teğetinin ekseninin pozitif önüle aptığı açı 5 ve g() 8 olduğuna göre, f() in apsisli noktadaki teğetinin denklemi nedir? e e 9. Şekilde f() eğrisinin A(, ) noktasındaki teğeti verilior. h().f() şeklinde tanımlanan h fonksionunun apsisli noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. A 5 f() 6. Şekilde f() eğrisinin T(, ) noktasındaki teğeti ekseni ile 5 lik açı apıor. g().f () şeklinde tanımlı g() fonksionu için, g'() kaçtır? f() 5 T(,) 6

76 KAVRAMSAL ADIM ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR c) h() 6 5 & h'() ÜNİTE. ARTAN FONKSİYON TANIM f() fonksionu [a, b] aralığında sürekli ve her, [a, b] için < iken f( ) < f( ) vea > iken f( ) > f( ) ise f fonksionuna [a, b] aralığında artan fonksion denir. & ( ), h'() h() 5 h() h() dir. Bir fonksion hangi aralıkta artan ise, fonksi-onun birinci türevi o aralıkta pozitiftir. Bunun karşıtı da doğrudur. Yani, bir fonksionun birinci türevi bir aralıkta pozitif ise fonksion bu aralıkta artandır. f( ) f( ) f() h fonksionu (, ) ve (, ) aralıklarında artandır. ETKİNLİK f() fonksionunun artan azalan olduğu aralıkları bulunuz. ÖRNEK Aşağıdaki fonksionların artan oldukları küme nedir? a) f() 5 b) g() 5 6 c) h() 6 5 a) f() 5 & f'() 5 > olduğundan f, R de artandır. b) g() & g'() 5 ise dir. 5 g'() g() g fonksionu gb l b l b, l aralığında artandır. olup. AZALAN FONKSİYON TANIM f() fonksionu [a, b] aralığında sürekli ve her, [a, b] için < iken f( ) > f( ) vea > iken f( ) < f( ) ise f fonksionuna [a, b] aralığında azalan fonksion denir. 7

77 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM Bir fonksion hangi aralıkta azalan ise fonksi-onun birinci türevi, o aralıkta negatiftir. Bunun karşıtı da doğrudur. Yani bir fonksionun birinci türevi bir aralıkta negatif ise fonksion bu aralıkta azalandır. ÖRNEK Aşağıdaki fonksionların azalan oldukları küme nedir? a) f() b) f() 6 9 c) f() 5 f( ) f( ) f() a) f() & f'() < olduğundan f fonksionu R de azalandır. ÖRNEK f: R {k} R ve a olmak üzere; a b f ( ) fonksionunun daima azalan olması için k hangi k koşulu sağlamalıdır? 6! R { k} Sabit Fonksion için f'() < olmalıdır. a.( k) ( a b). f ( ) < ( k) ak b & ( k) < & ak b < ak < b ak > b b k > a olmal d r. k b) f() 6 9 & f'() 6 a b 6 & f fonksionu (, ) kümesinde azalandır. c) f() 5 ise f'() 8 5 & ( )( 5) &, f'() f() 5 tür. 5 f'() f() f, [a, b] aralığında sürekli olsun. Her, [a, b] ve < için f( ) f( ) k ise f fonksionuna [a, b] aralığında sabit fonksion denir. f() fonksionunun [a, b] aralığında sabit olması için gerek ve eter koşul her [a, b] için f'() olmasıdır. Örneğin, f() fonksionu için f'() olduğundan f() sabit fonksiondur. f(), f() π, f() e fonksionları sabit fonksionlardır. 5 f fonksionu (, ) ve (, ) kümelerinde azalandır. 8

78 KAVRAMSAL ADIM Bir Fonksionun Yerel Maksimum ve Yerel Noktaları Ekstremum (Ektremum Noktaları). Maksimum Noktası M C B A D O h h ÖRNEK f() 5 6 fonksionunun erel maksimum noktasını (varsa) bulalım. f'() 5 f'() & 5 & 5 Tablo: 5 f'() ÜNİTE f() fonksionunda için alınan f( ) değeri, ın solundaki h noktası için f( h) ve ın sağındaki h için f( h) değerinden büükse f( ) değerine için fonksionun erel maksimum değeri, M(, f( )) noktasına da fonksionun erel maksimum noktası denir. 5 h iç in f'( ) > 5 iç in f'( ) Şekilde f( ) > f( h) ve f( ) > f( h) olduğundan f( ), için fonksionun erel maksimum değeridir. noktasında fonksi- 5 5 h iç in f'( ) < olduğundan on erel maksimum değerine ulaşır. için fonksionun erel maksimumu varsa ın solundaki h için fonksion artan ve f'() >, ın sağında h için fonksion azalan ve f'() < dır. için ise f'( ) dır. Bunun karşıtı da doğrudur. Yani, bir fonksionun birinci türevi h için f'( h) > 5 f( ) 9 olup ( 5 M, 9 ). Minimum Noktası noktası erel maksimum noktasıdır. için f'( ) A D h için f'( ) < koşullarını sağlıorsa için fonksionun erel maksimumu vardır. O B h M C h UYARI Yerel maksimum noktasındaki teğet eksenine paralel olur. M nın ordinatı f( ) B nin ordinatı f( h) C nin ordinatı f( h) 9

79 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM f() fonksionunda için alınan f( ) değeri, ın solundaki h noktası için f( h) ve ın sağındaki h için f( h) değerinden küçükse f( ) değerine için f fonksionunun erel minimum değeri, M(, f( )) noktasına da fonksionun erel minimum noktası denir. Şekilde f( ) < f( h) ve f( ) < f( h) olduğundan f( ), için fonksionun bir erel minimum değeridir. için fonksionun erel minimumu varsa ın solundaki h için fonksion azalan ve f'() < ın sağındaki h için fonksion artan ve f'() > ve için f'() dır. Bunun karşıtı da doğrudur. Yani, bir fonksionun birinci türevi h için f'( h) < için f'( ) h için f'( h) > 8 fonksionun Bu değer O halde ETKİNLİK için f'() türev fonksionu den a geçtiğinden 8 için bir erel minimumu vardır fb l b l. b l ( ) Bb, l 7 dır. noktası erel minimum noktasıdır. koşullarını sağlıorsa vardır. için fonksionun erel minimumu ) f() fonksionunun erel ekstremum noktasını bulunuz. ÖRNEK f: R R, f() fonksionunun erel ekstremum noktalarını bulalım. f'() 8 ve f'() & 8 ) f() n fonksionunun de erel ekstremumu olduğuna göre, n kaçtır? 8 8 & ( ) &, olur. 8 f'() 56 7 noktasında f'() türev fonksionu dan e geçtiğinden için fonksionun bir erel maksimumu vardır. Bu değer f() dır. O halde A(, ) noktası f nin maksimum noktasıdır.

80 . f() fonksionunun artan vea azalan olduğu kümeleri bulunuz. f() & f'() Tablo apılırsa; f'() & f'() f() artan azalan artan ( )( ) vea UYGULAMA ADIMI C f'( ) V. g'() olduğundan V teki fonksion azalan- f < ( ) Y dır. O halde I II III V te verilenler doğrudur.. f ( ) fonksionunun artan vea azalan olduğu kümeleri bulalım. ÜNİTE 6! b, l,, için f'() > olduğundan f fonksionu b, l,, kümesinde artandır. ^ h ^ h 6! b, l için f'() < olduğundan f fonksionu b, l kümesinde azalandır.. f() fonksionu (a, b) aralığında pozitif ve artan olduğuna göre aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. g().f() anı aralıkta artandır. ( ) ( ) f ( ) f'( ) & ( ) ( ) & f'() f() azalan artan (, ) aralığında f azalan (, ) aralığında f artandır. II. g() f () anı aralıkta azalandır. III. g() f () anı aralıkta artandır. IV. g() f () anı aralıkta azalandır. V. g() anı aralıkta azalandır. f ( ) I. g'() f'( ) > olduğundan I deki fonksion artandır. X II. g'() f ( ). f'( ) < olduğundan II deki fonksion azalandır. W U III. g'() f( ). f'( ) > olduğundan III teki fonksion artandır. Y X IV. g'() f ( ). f'( ) > olduğundan IV teki fonksion W X artandır.. f() ( )e fonksionunun artan vea azalan olduğu kümeleri bulunuz. f'() ( ).e ( ).e 6! R e ( ) için e > olduğundan e.( ) & Δ 6 8 8

81 ÜNİTE f'() f() artan 6! ^, h, ^, h f() ( ) e artan, azalan artan için 6! ^, h iç in f( ) ^ he fonksiondur. UYGULAMA ADIMI azalan bir O halde 6! b, e l için f'() < olduğundan b, f(), n fonksionu azalandır. e l aralığında aralı- 6! b e, l için f'() > olduğundan b e, l ğında f(), n fonksionu artandır. 6. f() ( ) ( ) ( ) fonksionunun artan vea azalan olduğu aralıkları bulunuz. 5. f()., n fonksionunun artan vea azalan olduğu kümeleri bulunuz. f(), n & f'(), n e dir. Tablo apılırsa; f'() &, n e f'(), n olup f'() ( ) ( ) ( ) 6 f'' (, ) için f'() < olduğundan (, ) de f azalandır. (, ) için f'() > olduğundan f, (, ) de artandır. f() azalan artan f'(), n türev fonksionunun kökü e e den büük değerler için örneğin, e için '( ) f e, n e, n, ne, n> e için '( ) f e, n e, n, ne, n> e den küçük değerler için Örneğin, iç in f'( ) n n ne e e, e,, < iç in f'( ) n n ne e e, e,, < olduğundan 7. f() ( a) ( a) fonksionunun artan vea azalan olduğu aralıkları bulunuz. f'() ( a) ( a) a a 6 & f'() (, ) aralığında f azalan, (, ) aralığında f artandır.

82 8. f() fonksionunun erel maksimum değeri kaçtır? f'() ve f'() & vea tür. f'() h maks için f'() > için f() min & ( )( ) h için f'() < olup için fonksion maksimum değerini alır. Ölese için maksimum değer fb l b l b l UYGULAMA ADIMI. Şekilde verilen f fonksionunun türevinin grafiğine göre, f()'in maksimum ve minimum noktasının apsisi nedir? a m b f() in maksimum değer alması için f'()'in pozitif değerden, negatif değere geçmesi gerekir. Buna göre b'de f() in maksimum değeri vardır. f() in minimum değeri için, türev negatif değerden pozitif değere geçmelidir. O halde a ve c noktalarında f()'in minimum değerleri vardır. n c f'() f'() a n m b c ÜNİTE olur. 7. f() fonksionunun de bir ekstremumu m varsa, m kaçtır? 9. a, b R ve f: R R f() a b fonksionu için ve erel ekstremum noktalarının apsisleri ise, (a, b) ilikisini bulalım. f'() a b f'( ) a b... f'() a b... ve den a, b bulunur. (a, b) (, ) tür. f() fonksionunun de bir ekstremumu varsa f'( ) olmalıdır. ise m m ( ) m ( ) m m m ' ( m ) ( m ) f'( ) & & m 6 bulunur. 8m m m ( m )

83 ÜNİTE. UYGULAMA ADIMI Verilen grafik incelendiğinde f() A (, ) için f() azalan, ani f'() < ve f'( ) ; a b O c (, ) aralığında f() artan, ani f'() > ve f'() dır. B (, ) aralığında f() azalan, ani; f'() < ; (, ) aralığında f() artan ani, f'() > olduğundan bu koşulları f() 9 fonksionunun grafiği verildiğine göre, sağlaan grafik (B) seçeneğindedir. AB kaç birimdir? A noktası erel maksimum noktasının ordinatı, B noktası da erel minimum noktasının ordinatıdır. f'() 9 9 & f'() &!. O halde a ; b olur. f( ) ( ) 9( ) 9 6 f() dır. Buna göre AB 6 ( 6) bulunur. O f() Şekilde f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f() fonksionu için aşağıdakilerden hangisi anlıştır?. f() A) Yerel minimum değerlerinden biri sıfırdır. B) Yerel maksimum değerlerinden biri dir. C) Yerel maksimum değerlerinden biri dir. Şekilde verilen f() fonksionunun grafiği için, f'() türev fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) D) Yerel minimum değerlerinden biri dir. E) tane maksimum değeri vardır. Grafik incelenirse f() fonksionunun ve apsisli noktalarda erel minimumu, ve apsisli noktalarda erel maksimumu vardır. Bu nedenle A, B, C ve D seçenekleri doğru E seçeneği anlıştır. C) D) 5. f() 6 fonksionunun erel minimum ve erel maksimum değerlerini bulalım. E) f() 6 ise f'() &,

84 Tablo apılırsa: f'() f() Türev fonksionunun işareti incelenirse f fonksionu (, ) aralığında 'e kadar türev fonksionunun işareti incelenirse f fonksionu (, ) aralığında e kadar pozitif ve f'( ) olduğundan f() in maksimum değeri f( ) 6 8 dir. (, ) aralığında e kadar negatif ve f'() olduğundan f() in minimum değeri f() 6 tür. 6. f() fonksionunun [, ] aralığındaki erel ekstremum değerlerinin toplamı kaçtır? erel maks. erel min. f() & f'() olup [, ] olduğundan bir kritik noktadır. f'() f() erel maks. erel min. erel min. için f(). (Yerel maksimum) için f(). (Yerel minimum) için f(). (Yerel minimum) O halde, erel ekstremum değerlerinin toplamı ( ) ( ) olur. 7. Aşağıdaki fonksionların verilen aralıklardaki en küçük ve en büük değerlerini bulalım. a) f() 5 [, ] b) f(),n [, e) c) f() e [, ] d) f() ( )( ) [, ] UYGULAMA ADIMI a) Önce f'() in kritik noktaları bulunur. f'() & 6 6 & 5 ve, [, ] dir. 5 [a, b] [, ] olup f(a), f(b), f( ), f( ) bulunur. f( ), _ b f( ) 8, b f() 9 ` b 5 f( ) 6 b a b) f'() n &,. (, n ), 5 f nin [, ] aralığındaki en küçük değeri 9, en büük değeri 8 dir., n & e g [, e] e olduğundan sadece f() ve f(e) e bakılır. f() ve f(e) e f() en küçük değer, f(e) e en büük değerdir. c) f'() & e e e ( ), e, [, ) f() e, f() f( ) e lim lim " " e L' Hospital kuralı ugulanırsa ( )' lim lim $ ( e ) $ e " En küçük değer : En büük değer : e dir. d).( ) ( ). f'() ( ).( ) 8 & ( ),,,, [, ] dir. f( ), f( ), f( ) En küçük değer:, f( ), f( ) En büük değer: dir. ÜNİTE 5

85 ÜNİTE. f() 6 fonksionunun artan vea azalan oldukları kümeleri bulunuz. a, PEKİŞTİRME ADIMI k da artan. f() 6 fonksionu verilior. f'() türev fonksionunun artan vea azalan olduğu kümeleri bulunuz. a, k da arzalan ^, h de artan ^, h da azalan. f() fonksionunun artan vea azalan olduğu kümeleri bulunuz. 5. f() k fonksionunun R de artan olması için k hangi koşulu sağlamalıdır? b, l,, ^ h da artan b, l de azalan 6. (a, b) aralığında şekildeki gibi tanımlı f fonksionu verilior. Buna göre, aşağıda tanımlanan fonksionların hangilerinin artan, hangilerinin azalan olduklarını belirtiniz. a f b. f(), n fonksionunun artan vea azalan olduğu kümeleri bulunuz. a) g( ) f ( ) ct ) ( ) f( ) b) h( ) f( ) d) R( ) f( ) (, ) (, ) da azalan (, ) te artan a) g azalan b) h azalan c) T artan d) R artan 6

86 7. f() fonksionunun [, ] aralığındaki erel ekstremum değerlerinin toplamı kaçtır? PEKİŞTİRME ADIMI. f() a fonksionunun apsisli noktasında erel minimumu olduğuna göre, a nın değeri kaçtır? ÜNİTE 8. f: [, ] R, f() 6 fonksionunun erel ekstremum değerlerinin toplamını bulunuz.. f'() a b c d 9. Şekilde f() fonksionunun f'() türevinin grafiği verilmiştir. f() in erel maksimum ve erel minimum noktalarının apsislerini bulunuz. f() a, c de erel maksimum; b, d de erel minimum var. Şekilde f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, bu fonksion için aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) 5 te erel minimum değeri vardır. B) de erel minimum değeri vardır. C) tane erel maksimum değeri vardır. D) te erel maksimum değeri vardır. E) 5 te erel minimum değeri vardır.. f() a b fonksionunun apsisi olan noktası erel minimum noktasıdır. Bu noktadaki minimum değeri olduğuna göre, a.b kaçtır? E 7

87 ÜNİTE. f'() f() fonksionunun türevinin grafiği çizilmiştir. f() fonksionunun hangi değeri için minimumu vardır? PEKİŞTİRME ADIMI 5. f'() Şekilde türevinin grafiği verilmiş olan f() fonksionunun erel maksimum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır? f() f'() a c d b f: [a, b] R; f() ile tanımlı fonksionun grafiği şekildeki gibidir. f'() fonksionuna ait grafik aşağıdakilerden hangisi olabilir? Şekilde türevinin grafiği verilmiş olan f() fonksionunun erel minimum noktalarının apsislerinin toplamının erel maksimum noktalarının apsislerinin toplamına oranı kaçtır? A) B) C) D) a c d b E) a c d b a c d b a c d b a c d b ( k ) 7. f ( ) fonksionunun noktasında bir erel ekstremumunun olması için, k kaç olmalıdır? C 8

88 KAVRAMSAL ADIM TÜREVİN ANLAMI Hareketli bir cismin t zamanda aldığı S olunu t zamanının bir fonksionu olarak S f(t) ile gösterelim. Cismin t t anında aldığı ol S f(t ) t t anında aldığı ol S f(t ) olur. S S ft ( ) ft ( ) t < t ise t t oranına cismin [t, t ] aralığındaki ortalama hızı denir ve V ort ile gösterilir. t t Yani V f(t ) f(t ) ort t t dir. f'(t ) değeri varsa bu değere cismin t t anındaki anlık (anı) hızı denir. Cismin hız fonksionu V(t) ile gösterilirse V(t) f'(t) olur. Başka bir deişle olun zamana göre türevi hızı verir. Cismin ivmesi a ise ivme zamanın bir fonksionudur. Yani a(t) V'(t) dir. Bu hızın zamana göre türevi ivmei verir şeklinde orumlanır. V(t) f'(t) t a(t) V'(t) (t )' 6t olup a() 6. m/sn bulunur. ÖRNEK f(t) t 9t t denklemile bir doğru üzerinde hareket eden bir cismin hızı hangi zaman aralığında azalır? V(t) f'(t) t 8t f'(t) & t 8t t 6t 8 (t )(t ) V(t) Tablodan görüldüğü gibi cismin hızı (, ) aralığında azalır ÜNİTE ÖRNEK Hareket denklemi f(t) t t olan bir cismin t ve t sanieleri arasındaki ortalama hızı kaç m/sn dir? ft ( ) ft ( ) Vort t idi. t t için f(). 9 t için f() vort m/ sn dir. 7 ÖRNEK Hareket denklemi f(t) t olan hareketlinin t 'nci saniedeki ivmesi kaç m/sn dir? ETKİNLİK Hareket denklemleri S t ve S t k olan iki cisim buluştukları anda hızları anıdır. S ve S cisimlerin erden üksekliğini gösterdiğine göre, k kaçtır? Cisimlerin hız fonksionları V (t) t V (t) tür. Hızlar eşit olacağından t & t olur. Buluştukları anda iki cisim de erden anı ükseklikte olacağından S S olmalıdır. O zaman t için S 5 S k bulunur. k 5 & k 9

89 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK Hareket denklemi S t t olan cismin t.nci saniedeki anlık hızını bulunuz. V(t) S'(t) 6t olduğundan t deki anlık hız V() m/sn dir. ETKİNLİK e denklemile verilen aralığı bulalım. ' e & " e tir. 6! R için " e > olduğundan her erde eğri konkavdır. KONVEKSLİK VE TÜREV İLİŞKİSİ f: A R fonksionu verilsin. f nin grafiği üzerinde a < b olmak üzere a ve b noktaları alınsın. f '( a ) tan b < olup a < b f'( b) tan a > iken f'(a) < f'(b) ani f' artandır. f'() artan olduğundan f'' > dır. f ( h) f ( ) Arıca f'() lim olduğundan erine a azılırsa, h" h fa ( h) fa ( ) f'(a) lim h" h f nin a noktasındaki türevi idi. Burada a h denirse h a dır. h için a olur. ( ) ( ) f'( a) f fa lim olur. " a a Grafikten a < b iken f'(a) < f'(b) idi f'( b) f'( a) > f'( b) f'( a) lim > b a> b" a b a f''( a ) > d r. a β α b f e O halde, f iki kez türevlenebilen bir fonksion olsun. (a, b) & f''() > ise f konveks (çukur) bir fonksiondur. f() konveks ise, e f() konvekstir. UYARI f iki kez türevlenebilen bir fonksion olsun. f() bir polinom olsun. ) m Z olmak üzere f(), ( a) m ile bölünebiliorsa, f'(), ( a) m ile bölünebilir. β a b f α ) Eğer f'(), ( a) m ile bölünebilorsa ve f(a) ise, f(), ( a) m ile bölünebilir. ) f(), ( a) m ile bölünebiliorsa f (m ) (a) dır. a < b olsun f'(a) tanβ > f'(b) tanα < a < b iken (a, b) de f'(a) > f'(b) dir. Yani (a, b) de f' azalandır. f' azalan ise, f''() < dır.

90 KAVRAMSAL ADIM Diğer bir ifadele Aşağıdaki şekilleri inceleiniz. ÜNİTE a < b iken f'(a) > f'(b) olduğundan f'(b) f'(a) < b a > f'( b) f'( a) < b a f'( b) f'( a) lim < b " a b a f''( a) < O halde, 6! ( a, b) için f''() < & f konkavdır. (tümsek) f()a < a < f() a konveks f konveks & f konkavdır. f()a Sonuçlar. f: [a, b] R fonksionu, [a, b] aralığında sürekli ve (a, b) aralığında. ve. türevleri alınabilsin. (a, b) aralığında, f() fonksionunun eğrisi tüm teğetlerinin üstünde kalıorsa, f fonksionunun eğrisinin çukurluğu ukarı (konveks) denir. Bu durumda 6! ( a, b) iç in f''( ) > Bunun karşıtı da doğrudur. Yani 6 (a, b) için f''() f() > ise f fonksionunun eğrisinin çukurluğu (a, b) aralığında ukarı doğrudur. a b < a < f() a konveks f() n konkav f() n. f: [a, b] R fonksionu [a, b] aralığında sürekli ve (a, b) aralığında. ve. türevleri var olsun. (a, b) aralığında f() fonksionunun eğrisi tüm teğetlerinin altında kalıorsa f fonksionunun eğrisinin çukurluğu aşağı (konkav) denir. Bu durumda 6! ( a, b) için f''() < dır. Bunun karşıtı da doğrudur. Yani 6! ( a, b) için f''() < ise, f fonksionunun eğrisinin çukurluğu aşağı doğrudur. f() f() fonksionu (, ) aralı ında konveks, (, ) aralı ında konkav. a b f()

91 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK denklemile tanımlanan eğrinin konveksliğini inceleelim. ' & " 6 tir. "6 konveks konkav Dönüm Noktası Bir eğrinin çukurluğunun ön değiştirdiği noktaa eğrinin dönüm noktası denir. D R ve f: D R fonksionu verilsin. D olmak üzere M(, f( )) noktasında f tanımlı, sürekli ve f' türevli olsun. f''( ) ve ın solunda ve sağında f'' türev fonksionu zıt işaretli ise M(, f( )) noktası f nin bir dönüm noktasıdır. ''> < için " <, > için " > dır. < için eğri konveks M dönüm noktası > için eğri konkavdır. ''< ETKİNLİK f() fonksionunun konkavitesini inceleiniz. f() f'(). f() fonksionunda için f'( ) vea f'( ), f''( ) ve ın solunda ve sağında f'' zıt işaretli ise, noktası bir dönüm noktasıdır. Aşağıdaki şekilleri inceleiniz. f''() 6 6 & Tablo: f"() A α B f() konkav D.N. konveks C D < için f() konkav, α > için f() konvekstir. Şekillerde A, B, C ve D noktaları birer dönüm noktasıdır.

92 KAVRAMSAL ADIM. f() fonksionunda için f'( ) ve ın solunda ve sağında f'' zıt işaretli ise noktası bir dönüm noktasıdır. Aşağıdaki şekilleri inceleiniz. E E Şekillerde E ve F noktası birer dönüm noktasıdır. ETKİNLİK ÖRNEK f: R R, f() fonksionu için noktası bir dönüm noktası mıdır? f() f'() f''() f f''() & & dır. Fakat (, ) noktası bir dönüm noktası değildir. Eğrinin çukurluk önünden değişmediğine dikkat ediniz. ÜNİTE f() fonksionunun dönüm noktasının apsisini bulalım. f'() 9 f"() 8 f"() & 8 & 9 bulunur. ÖRNEK f: R R, f() fonksionunun dönüm noktası nedir? UYARI noktası f fonksionunun bir dönüm noktası ise, f' türev fonksionu bu noktada işaret değiştirmez. Yani ın solunda ve sağında f' birinci türev fonksionu anı işarete sahiptir. Fakat ın solunda ve sağında f'' ikinci türev fonksionu zıt işaretlidir. f'() 6 6 f''() 6 f''() & 6 & dir. f'' için işaret tablosu apılırsa: f'' fc m c m c m.. 8 UYARI f''( ) < f''( ) > f fonksionunun noktasında. ve. türevleri var olsun. f''( ) olması (, f( )) noktasının bir dönüm noktası olmasını gerektirmez. olup b, l noktası fonksionun dönüm noktasıdır.

93 ÜNİTE ÖRNEK f() sin fonksionunun (, π) aralığındaki dönüm noktası nedir? f'() cos, f''() sin f''() & sin & kπ (k Z) ve k için π dir. Tablo: KAVRAMSAL ADIM π f'' O halde, π noktası f() sin fonksionunun dönüm noktasıdır. ÖRNEK f() a fonksionu için M(, ) noktası bir dönüm noktası ise, a kaçtır? f''() < M(, ) bir dönüm noktası ise f''() ve f'() a f''() 6 a f''() > f''() & 6. a & a tür. ETKİNLİK sin cos fonksionunun artan, azalan oldukları aralık ve ekstremum, dönüm noktalarını [, π) aralığında belirtelim. ' cos sin olup köklerini bulalım. sin cos sin & sin cos & cos r r 5r & tan &, r ekstremum noktalarını verir. Aırt etmek için ikinci türevin bu noktalarındaki işaretini inceleelim. " sin cos olup r iç in " " < dır. Maksimum oluşur. 5r Dolaısıla te minimum elde edilir. Dönüm noktasını bulmak için ikinci türevi sıfırlaalım. " sin cos & sin cos sin & cos r tan & π π/ ve r 7r r noktaları dönüm noktasıdır. Artan ve azalan olduğu aralıkları bulmak için türev işaret tablosunu apalım. ETKİNLİK f() fonksionunun dönüm noktasının apsisini bulunuz. π/ 5π/ π ' ma min Tabloa göre r c, m te fonksion artan, r 5r 5r c, m te azalan, c, rm de artandır.

94 . f() 5 7 fonksionunun eğrisinin konveks vea konkav olduğu kümeleri bulunuz. f'() 7 f''() 6 olur. 5 f''() & 6 & tür. 5 f''() f() 5 (, ) 5 (, ) aralığında f nin çukurluğu aşağı doğru (konkav), aralığında f nin çukurluğu ukarı doğrudur. (konveks). Aşağıdaki grafikler (, ) aralığında f() fonksionuna aittir. UYGULAMA ADIMI. f: [a, b] R f() fonksionunun grafiği verilmiştir. 6! ( a, b) için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) f'() > B) f'() > C) f'() > f''() < f''() > f''() D) f'() < E) f'() < f''() > f''() < Grafik incelenirse 6! ( a, b) için f() artandır. Dolaısıla f'() > dır. Arıca f() fonksionunun grafiği a b 6! ( a, b) için tüm teğetlerinin üstünde olduğundan f konvekstir. Yani f'() > dır. O halde, doğru cevap B dir. a b ÜNİTE Aşağıdakilerden hangisinde f() > ; f'() > ; f''() < koşullarının her üçü de sağlanır? A) B). Aşağıda grafikleri çizilen f() fonksionlarından hangisinde verilen aralıklarda f'() <, f''() > koşulları sağlanır? A) B) C) D) a b a b C) D) E) a b a b E) f() > olması grafiğin ekseninin üst kısmında olduğunu, f'() > olması f nin artan olduğunu, f''() < olması da f nin konkav olduğunu söler. Bu üç koşulu sağlaan grafik C dedir. a b 6! ( a, b) için f'() < olması f nin (a, b) aralığında azalan olduğunu, f''() > olması da f nin (a, b) aralığında konveks olduğunu gösterir. O halde, doğru cevap C dir. 5

95 ÜNİTE 5. Şekilde g() fonksionuna ait f'() ve f''() türev fonksionlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) f''(b) < dır. f'() f''() B) > d için f() artandır. a e b c d UYGULAMA ADIMI 6. f:r R, f() ( 5) fonksionunun dönüm noktasının koordinatlarının toplamını bulalım. f() ( 5) ise f'() ( 5). ( 5) 5 (çift katlı kök) f''() 6( 5) & 5 tir. Tablou oluşturalım. 5 f' f'' C) f(), (b, d) aralığında azalandır. D) c için f() in dönüm noktası vardır. E) f'().f''() İkinci türev fonksionunun kökü 5 tir. 5 in solunda ve sağında f''() fonksionunun işaretleri farklı olduğundan 5 dönüm noktasının apsisidir. O halde 5 için f(5) (5 5) olup D(5, ) dönüm Grafiğe göre tablou oluşturalım. noktasıdır. Dönüm noktasının koordinatlarının toplamı 5 ( ) bulunur. b c d f'() f() 7. f''() f'() f'(). türev fonksionu (, b) ve (d, ) aralıklarında pozitif olduğundan bu aralıklarda f artan, (b, d) aralığında negatif olduğundan bu aralıkta f azalandır. f''() fonksionu c de eksenini kestiğinden ve c nin solunda ve sağında f''() fonksionunun işareti farklı olduğundan c de f nin bir dönüm noktası vardır. f'() a, f''() e olup a >, e < olup a.e dır. O halde tablodan, A) f''(b) < önermesi doğrudur. B) > d için f() artandır. C) f() (b, d) aradığında azalandır. D) c için f() in dönüm noktası vardır. E) f'().f''() önermesi anlıştır. Şekilde türevinin grafiği verilen f fonksionunun dönüm noktalarının apsislerinin toplamı kaçtır? Grafikten f'( ) f'( ) f'(6) dır. Arıca (f')'( ) f''( ) (f')'() f''() dır. f'() türev fonksionu ün solunda artan sağında azalan olduğundan f''() fonksionunun te bir dönüm noktası vardır. Benzer şekilde f'() türev fonksionu ün solunda azalan, sağında artan olduğundan, f''() fonksionunun te bir dönüm noktası vardır. O halde, f nin dönüm noktalarının apsislerinin toplamı dir. 6 6

96 8. Yukarıdaki grafik f() a b c d fonksionuna aittir. Aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) f( ).f'( ) B) f'().f''() > C) f' b l. f'' b l > D) f' b l. fb l< E) f'() f''() < Grafik incelenirse; k (, ) olmak üzere k noktası dönüm noktasının apsisidir. Yani f''(k) dır. Buradan (, k) aralığında f''() >, (k, ) aralığında f''() < dır. Arıca (, ) ve (, ) aralıklarında f fonksionu azalan olduğundan f'() < dır. Grafikten ve ukarıda elde edilen bilgiler ardımıla, A) f( ) olduğundan f( ).f'( ) önermesi doğrudur. B) f'() < ve f''() < olduğundan f'().f''() > önermesi doğrudur. C) f' ( ) < ve f'' ( ) > olduğundan f'( ). f''( ) > önermesi anlıştır. D) f'( ) >, f( ) < olduğundan f'( ). f( ) < önermesi doğrudur. E) f'() ve f''() < olduğundan f'() f''() < önermesi doğrudur. Doğru cevap C dir. k f() f() UYGULAMA ADIMI 9. P() a b c polinomu ( ) ile tam bölünebildiğine göre, a b c toplamını bulalım. ( ) & dir. _ P( ) b P'( ) ` sistemini çözmeliiz. P''( ) b a P( ).( ) a.( ) b.( ) c a b c a b c... () P() a b c & P'() a b P'( ).( ).a.( ) b a b 8... () P''() a P''( ).( ) a a 8 a... () () ten a değeri () de erine azılırsa.() b 8 & b 8 olur. a ve b 8 değeri () de erine azılırsa..8 c & c bulunur. O halde a b c 8 tür.. b c fonksionunda apsisi olan nokta dönüm (büküm) noktasıdır. Fonksionun bu noktadaki teğetinin eğimi olduğuna göre, c nin değeri kaçtır? ' b c '' 6 b için dönüm noktası olduğundan f''() olmalıdır. & 6 b & b bulunur. & ' 6 c olur. de teğetin eğimi olduğundan f'() olmalıdır. & 6 c & c olur. ÜNİTE 7

97 ÜNİTE. Üçüncü dereceden bir polinom fonksionda bir ve alnız bir dönüm noktası vardır. Neden? UYGULAMA ADIMI. Sin Cos fonksionunun konkav ve konveks olduğu aralıkları bulunuz. Üçüncü dereceden bir polinomun ikinci türevi birinci dereceden bir fonksiondur. Birinci derece denklemlerinin bir ve alnız bir kökü vardır. Bu nedenle üçüncü dereceden bir polinom fonksionun bir ve alnız bir dönüm noktası vardır.. Hareket denklemi S(t) 6 t t olan hareketlinin ivme zaman grafiğini çiziniz. S'(t) 6t a(t) S''(t) 6 olur. Buna göre, hareket sabit ivmelidir. Grafik aşağıdaki gibi olur. ' Cos Sin & '' Sin Cos & Sin Cos & Cos Sin & r Cos Cos a k & r r k. r V a k k. r & r r k. r V k. r anlams z r kr r Buna göre, k. r noktaları dönüm noktalarıdır.... ( π π) ( π π) π ( π π) ( π π)... ''Cos Sin... Sin Cos D.N D.N D.N D.N D.N a(t) konkav konveks konkav konveks 6 e e 5. fonksionunun konkav ve konveks olduğu aralıkları bulunuz. e e e e ' & ''. Hareket denklemi zamanın. dereceden bir fonksionu olan hareketlinin ivmesini grafik çizerek açıklaınız. S(t) at bt ct d S'(t) at bt c a(t) 6at b olur. Bu bir doğru denklemidir. a > ise ivme düzgün artan, a < ise ivme düzgün azalandır. a >, b > için grafik aşağıdadır. 6ab b a(t) e e & e e & e & e olur. Bu denklemin çözümü oktur. O halde, dönüm noktası oktur. Üstelik, e e 6! R iç in '' > konvekstir. UYARI olduğundan her erde e e fonksionunun grafiği aşağıdadır. (, ) noktası bir minimumdur. Her erde konveks olduğu görülür. e e 8

98 . f() fonksionunun dönüm noktasını bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI D(, ). f: [a, b] R için f() <, f'() < ve f''() > koşullarını sağlaan fonksionun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) C) a b B) D) a b ÜNİTE a b a b. f() ( ) ( ) fonksionunun dönüm noktasının apsislerinin toplamı kaçtır? E) a b D. k f() 5. Şekilde grafiği verilen f() f() fonksionu için aşağıdakilerden hangisi anlıştır? 5 f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) f'(k) B) f'() > C) f'() < D) f''( ) > E) f''(k) > A) f'() > B) f''() < C) f'( ) D) f'() E) f'() < E C 9

99 ÜNİTE 6. P() a b c polinomu ( ) ile tam olarak bölündüğüne göre, a b c toplamı kaçtır? PEKİŞTİRME ADIMI 6 8. f() ( ) fonksionunun dönüm noktası var mıdır? Yoktur 7. Doğrusal bir örünge bounca hareket eden bir cismin hareket denklemi St () t tür. Bu cismin ivme zaman grafiği aşağıdakilerden hangisidir? (Zaman birimi sanie, konum birimi metredir.) 9. a, b, c reel saıları arasında a < b < c bağıntısı vardır. f: R R, f() ( a)( b)( c) fonksionu verilior. Aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) f'(a) > B) f''(a) < C) f'(c) > D) f''(c) < E) f'(b) < A) a(m/sn ) B) a(m/sn ) D t(sn) t(sn) C) a(m/sn ) D) a(m/sn ) t(sn) E) a(m/sn ) 8/ / t(sn) t(sn). Yandaki şekil. dereceden bir f() polinomunun grafiği olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) için f() 'dır. B) için f'() < 'dır. C) için f() 'dir. D) için f() 'dır. E) için f'() 'dır. C B 5

100 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK ) a b c fonksionunun de maksimumu, te minimumu olması için a ve b ne olmalıdır? a b c fonksionu, türevlenebilen bir fonksion olduğundan erel maksimum minimum noktalarında türevi sıfır olmalıdır. ' a b dir. de maksimum olduğundan, '( ) a b te minimum olduğundan, '() 7 6a b olur. a b 7 6a b denklem sisteminden a, b 9 bulunur. İkinci Türev ve Yerel Ekstremum Noktası Eğrinin maksimum noktasında çukurluğun önü aşağı doğru olduğundan, f'( ) f''( )< maksimum noktada ikinci türev negatiftir. Yani f'( ) iken f''( ) < ise, noktası f'( ) f''( )> f fonksionu için bir erel maksi- O mum noktasıdır. Eğrinin minimum noktasında çukurluğun önü ukarı doğru olduğundan minimum noktada ikinci türev pozitiftir. Yani: f'( ) iken f''( ) > ise, noktası f fonksionu için bir erel minimum noktadır. f fonksionunun (a, b) aralığında f (n) türevi mevcut ve (a, b) aralığının bir c noktasında, f'(c) f''(c)... f (n ) (c) ve f (n) (c) olsun. Anı zamanda f (n) fonksionu c'de sürekli olur. ) Eğer; n çift ve f (n) (c) > ise f nin c de bir erel minimumu vardır. ) Eğer; n çift ve f (n) (c) < ise f nin c de bir erel maksimumu vardır. ) Eğer; n tek ise c de f nin ne erel minimumu ne de erel maksimumu vardır. ÜNİTE ) ekseni üzerinde sabit M, M..., M n noktaları alınıor. Eksen üzerinde öle bir N noktası bulunuz ki diğer noktalara uzaklıklarının kareleri toplamı minimum olsun. ETKİNLİK Asıl bou a olan bir aın bou, b kadar bastırılıp bırakıldıktan sonra, zamanın fonksionu olarak L a b.sin(t kπ) olmaktadır. Yaın hareket hızının maksimum ve minimum olduğu anları bulunuz. (a ve b pozitif reel saılar, k Z dir.) Hız denkleminin türevini sıfır apan t değerleri, hızın en düşük vea en büük olduğu anları gösterir. (Hızın türevi ivmedir. Demek ki ivmenin sıfır olduğu anlarda hız ekstremum değerdedir.) V(t) L' b.cos(t kπ) V'(t) L'' b.sin(t kπ) olur. b.sin(t k.π) & Sin(t k.π) denklemi bulunur. & t k.π k.π V t kπ π k.π & t k.π V t π k.π & t k.π V t (k )π Bu değerleri, hızın ikinci türevinde erine azalım. V''(t) L''' b.cos(t kπ) V''(t ) b.cos(kπ kπ) b.cos(.kπ) b. b < V''(t ) b.cos[(k )π kπ] b.cos(π kπ) b.( ) b > 5

101 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK ) denklemile verilen eğrinin maksimum minimumlarını araştıralım. için ( ) > için ( ) olduğundan, fonksionu *,, > biçiminde parçalı olarak azalım. Grafikten görüldüğü gibi apsisli noktada fonksion maksimum değerini almaktadır ve maksimum değeri dir. Osa;, < ' *, > ve '( ), '( ) olduğundan '( ) türevi oktur. Buna göre, V'(t ) ve V''(t ) < olduğundan, t kπ anlarında hız maksimumdur. V'(t ) ve V''(t ) > olduğundan, t (k )π anlarında hız minimumdur. UYARI t ve t değerleri için Sin(kπ t) olacağından, bu anlarda aın bou L a dır. Bu değer ise, aın denge konumundaki boudur. Denge konumunda hem maksimum hem de minimum hızın olması, hızlardan biri sıkışma için diğeri de gevşeme için demektir. (Bu hızların büüklükleri eşittir. Biri pozitif, diğeri negatiftir.) Yaın bounun L a b olması anında hız sıfırdır. Hız önlü bir kavram olduğu için sıfır hız minimum hız olmaz. MUTLAK MAKSİMUM MUTLAK MİNİMUM Bir fonksionun görüntü kümesindeki (varsa) en büük elemana o fonksionun mutlak maksimum değeri, en küçük elemana (varsa) mutlak minimum değeri denir. Bir fonksionun mutlak maksimum, mutlak minimum değerlerine o fonksionun mutlak ekstremum değerleri denir. Mutlak maks. Mutlak min f() Mutlak min. Mutlak Maks. f() O a b a O b UYARI. Çevreleri eşit olan dörtgenler içinde alanı maksimum olan karedir.. Çevreleri eşit olan üçgenler içinde alanı maksimum olan eşkenar üçgendir. [a, b] de grafiği verilen f() fonksionunun de mutlak maksimumu de mutlak minimumu vardır. f'( ), f'( ) [a, b] de grafiği verilen f() fonksionunun de mutlak minimumu de mutlak maksimumu vardır. f'( ) tanımlı değil. f'( ). Çevreleri eşit olan n kenarlı çokgenlerden, alanı en büük olanı düzgün çokgen olanıdır. Mutlak maks.. Toplamları sabit olan iki saının çarpımlarının maksimum olması için bu saılar eşit olmalıdır. Mutlak min. O a b 5

102 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK Mutlak maks. ÜNİTE Uzunluğu a olan bir ip iki parçaa bölünüor ve her parçanın uçları birleştirilerek birisinden kare, diğerinden bir daire apılıor. Kare ile dairenin alanları toplamının en küçük olması için karenin bir kenarı ne olmalıdır? A a b c r O Mutlak minimum ok. O Mutlak min. Mutlak maks. Mutlak minimum ve mutlak maksimum var. O Mutlak min. Mutlak maksimum ok. Yerel min. O Yerel maks. Mutlak min. Mutlak maksimum ok. Yerel maks. Yerel maks. Şekildeki gibi karenin bir kenarı, dairenin arıçapı r ise, πr a ten, Mutlak Maks. a r dir. r Karenin ve dairenin alanları toplamı a Yerel Maks. Yerel Maks. Yerel Min. b O A() a rc m r ( a ) dir. r A'().(a ).( ) r ( a ) r ( r ) a ve r a A'() dan bulunur. r Yerel Min. Mutlak Min. Mutlak minimum ve mutlak maksimum var. Mutlak Maks. a Mutlak minimum ve Mutlak maksimum var. O b Mutlak Min. Mutlak minimum ve mutlak maksimum ok. ( r ) A"() > olduğundan, r a için A() minimum olur. r Sürekli Bir Fonksionun [a, b] Kapalı Aralığındaki Mutlak Ekstremumlarını Bulmak İçin:. (a, b) açık aralığındaki kritik noktalar bulunur.. f nin kritik noktalarındaki ve uç noktalardaki f(a), f(b) değerleri bulunur.. Bulunan görüntülerin en küçüğü f nin mutlak minimumu, en büüğü f nin mutlak maksimumudur. 5

103 ÜNİTE. f'() UYGULAMA ADIMI. Toplamları 8 olan iki pozitif tam saının kareleri toplamı en az kaçtır? Türevinin grafiği verilen f() fonksionu için aşağıdaki önermelerden hangisi doğru değildir? A) 'de f() in minimum değeri vardır. B) f( 5) > f( ) C) f(5) < f(8) D) 6 (, ) için f'() > E) da f() in maksimum değeri vardır. f'() fonksionunun grafiği verilior. Grafikten f'( ) ve (, ) aralığında f azalan (, ) aralığında f artandır. f' f min O A) de f() in minimum değeri vardır önermesi doğrudur. B) (, ) aralığında f azalan olduğundan f( 5) > f( ) eşitsizliği doğrudur. C) (, ) aralığında f artan olduğundan f(5) < f(8) eşitsizliği doğrudur. D) 6 (, ) için f'() > önermesi doğrudur. E) (, ) aralığında f artan olup apsisli noktada f nin maksimumu olamaz. O halde doğru cevap (E) dir. En az ifadesinden minimum anlaşılacaktır. I. saı II. saı 8 ise f() (8 ) fonksionunun minimum değerini bulmalıız. f'() (8 ).( ) 56 ve f'() & 56 & olur. f'() (8 ). 9 en küçük değer olur.. Çevresi 6 cm olan dikdörtgenler içinde alanı maksimum olanın alanı kaç cm dir? Dikdörtgenin kenar uzunlukları D ve ise çevresi Ç ( ) 6 & dur. Alan: A. ve olduğundan A olup A() ( ) tir. A'() ve A'() & & 5 olur. A''() < olup 5 için alan maksimum olur. Maksimum değer A(5) 5.( 5) 5 cm dir.. Toplamları ve çarpımları maksimum olan pozitif iki saı bulunuz. Saılardan biri ise diğeri olur. ( ) çarpımının maksimum olması için ' olmalıdır. & ' & & olur. Diğer saı dir. C B 5

104 5. f: (, π) R f() sin cos fonksionunun ekstremum noktalarını bulalım. f() sin cos ise f'() sin.cos sin ve f'() & sin.cos sin & sin(cos ) sin vea cos r π vea, 5r f'() sin.cos sin sin sin f''() cos cos ve f''(π).cosπ cosπ. ( ) > olduğundan π de minimum var. f(π) sin π cosπ olup A(π, ) f nin bir minimum noktasıdır. r r r f''( ) cos cos.( ) < r 'te bir maksimumu vardır. r f( ) sin r r 5 cos c m r B(, 5 ) f nin bir maksimum noktasıdır. 5r 5r 5r f''( ) cos. cos UYGULAMA ADIMI olup 6. Şekilde a, b > ve a b 6 birim ise taralı alanın d en büük değeri kaç A O birimkaredir? a AB a b 6 birim olup ( a b) ab Alan A 6. ab ab ve b 6 a ise C A(a) 6.a(6 a) 6a 6a dir. A'(a) 6 a ve A'(a) ise 6 a & a ve b tür. A''(a) < olduğundan a için alan en büük değerini alır. O halde alanın en büük değeri: A() birimkaredir. 7. Bir fabrika. liraa mal ettiği üretimin tanesini P, liraa satıor. üretim saısını gösterdiğine göre kârın en çok olabilmesi için üretim saısı kaç olmalıdır? B b tane mal üretilmiş olsun..p, satıştan elde edilen kâr:k p k(),. dir. dk, ve d dk & 7, d, bulunur., d ÜNİTE 5r.( ) < olup bir maksimumu var. 5r f( ) sin 5r 5r cos 5 c m olup 5r 5 C(, ) f nin bir maksimum noktasıdır. O halde f() sin cos fonksionunun (, π) aralığında 5 minimum değeri, maksimum değeri olur. te 8. ( ) 6 ifadesinin te maksimum vea minimumunun bulunup bulunmadığını inceleelim. ' ( ) & & tür. Demek ki te türev sıfırdır. Bu, maksimum olması anlamına gelmez. İkinci türevi ne aptığına bakmalıız. '' 6( ) tür. için '' olur. Bu nedenle te ekstremum ok, dönüm noktası vardır. ( saısının üçüncü türevi sıfır apmadığını görürüz.) 55

105 ÜNİTE 9. Şekilde AB AC b, BC a ve a b k (k sabit) ise, A(ABC) nin en büük değeri nedir? b AABC _ & i için Heron formülü B kullanılırsa Çevre u a b b & u a b dir. AABC _ & i u.( u a)( u b)( u c) ( a b).( a b a).( a b b).( a b b) ( a b).( b a). a. a ve a b k & b k a olur. AABC _ & i A k.( k a). a Aa ( ) ak ak ak 6ak A'(a) ak ak ak( k a) kk ( a) a k ak k ak k k.(k a) & k olduğundan k a & a tür. k k. k ak ( k ak). A''( a) k ak k ak k.( k ak) k ak ( k ak). k ak UYGULAMA ADIMI A a b C. Çarpımları ve toplamları minimum olan pozitif iki saı bulunuz. Saılardan biri olsun. Diğeri olur. toplamının minimum olması için ' olmalıdır. & ' & & & " pozitif olması istendiğinden, alınır. Diğer saı ise olur. e. f ( ) e fonksionunun en küçük değeri kaçtır? e f'( ) e ve f'() ise e e e e fb l e. e dır.. e b, l noktası f ( ) e fonksionunun minimum noktası olup minimum değeri dır. k ak ( k ak) k ak.. A''( k k k k ) k k bk. k l k k k k < olduğundan a için k. k AABC _ & i en büük değerini alır. Bu değer; Aa ( ) ak ak ise. Bir daire diliminin çevresi cm dir. Daire kesmesinin alanının en büük olması için arıçapı kaç cm olmalıdır? OA OB r % AB, olsun. r, Alan r., A r O l r B A( k ) k k b l. k. b l. k k k k k tür., r A(r) r.( r) & A(r) r.(6 r) & A'(r) 6 r & r cm dir. 56

106 . f().(cos ) fonksionunun [, π] aralığındaki ekstremum değeri kaçtır? f'() cos.( sin) f'() sin ve f'() ise sin & sin r ve r 6 ve f''().sin.cos f''().sin f'' a r k. sin olup r apsisli nokta maksimum noktasıdır. O halde f() cos fonksionunun ekstremum r (maksimum) değeri f( ) cos r r & r 6 dır. UYGULAMA ADIMI 5. f() n, fonksionunun ekstremum değerlerini bulunuz. f'(), n., n. f'(), n, n &, n.(, n ), n V, n &, n V e dir. f''( ), n. olup, n f''( ). > (, f()) erel minimum nokta ve erel minimum değeri f()., n dır. f''(e, ne ) olduğundan e e & e e < ^e, f( e ) h f nin erel maksimum noktasıdır. f nin erel maksimum değeri fe ( ) e.(, ne ) dir. e ÜNİTE. f ( ) 9 7 fonksionunun ekstremum değeri kaçtır? f'() 8..( 6) f'() denkleminin kökleri f() in kritik noktalarıdır. f'() & ( 6) ( )( ) &,, f''() f''() 8 < olup (, f()) erel maksimum nokta, f''( ) 9.( ) 6.( ) 8 > olup (, f( )) erel minimum nokta, f''() > olup (, f()) erel minimum noktadır. O halde, f() 7 f nin erel maksimum değeridir. f( ) 9 f nin erel minimum değeridir. f() f nin erel minimum değeridir. n 6. an dizisinin en büük terimi kaçtır? n f() fonksionunun maksimum değerini bulmalıız..( ). ( ) f'( ) f'( ) ( ) & ( ) f'() ( ) & V ( ) & f'() f() 7 < < 8 olduğundan, a 7 vea a 8 den büük olan maksimum değerdir. 9 8 a7 > a olduğundan dizinin en büük terimi a7 9 5 tür. artan azalan 57

107 ÜNİTE 7. Yarıçapı R olan küre dışına çizilen minimum hacimli dik koninin hacmi nedir? UYGULAMA ADIMI 8. D C OD, OA R ve BC r olsun. DOA ve DBC üçgenleri benzerdir. DA OA Buna göre: DC BC R R R ( R). R r & r dir R D R R A O C B ABCD amuğunda verilenlere göre, amuğun alanının en büük olabilmesi için AB ne olmalıdır? A B D C Koninin Hacmi: V ( ) r. r. h. r. r( R) h R ( R). r..( R) R ( R). R. dir. r R. R ( R).( R) ( R) r V'( ). ( R). R ( R) R R r. ( R) r. R R R. ( R) [CE] // [DA] çizilirse AECD eşkenar dörtgen, CEB ikizkenar üçgendir. BE olup [CH] [AB] çizilirse EH BH A E H B olur. O halde h b l h. A(ABCD). ACAE _ & i h h ACEB _ & i. ( ). r. R ( R)( R). ( R) ve V'() ise R ve R olur. R olamaz. R dir.. R ( R).( R) ( R R r ). ( R) V''( ). ( R) R ( R) ( R R r ). ( R) r. R. R rr ve V''(R). olduğundan 8R > R için koni minimum hacimli olur. Buna göre hacmin minimum değeri ( R R) V( R). R 8 r. rr birimküp bulunur. ( R R ) A(ABCD). ( ).. A ( ). b5 l A ( ). ^ h. olur. A'( ). b l. & ; Δ 8 9 dir. A''() < olduğu kolaca görülebilir. O halde AB bririm olur. 58

108 9. f: R R f() fonksionu verilior. f'() fonksionunun en küçük değeri kaçtır? f'() 6 f''() için 6 & 6 & f''() 6 dır. & " dir. f'''() olup f'''() > olacak şekildeki değeri için en küçük olacağından UYGULAMA ADIMI. Bir amuğun üç kenarından her birinin uzunluğu cm dir. Yamuğun alanının en büük olması için dördüncü kenar kaç cm olmalıdır? D C A H K B ÜNİTE ç ''' i in f ( ). dır. için en küçük değere ulaşır. Buna göre f'() fonksionunun en küçük değeri, f' c m. c m 6. c m. A(, ) noktasına eğrisinin en akın noktasının apsisi kaçtır? Eğri üzerindeki Uzaklık fonksionu noktası en akın olan nokta olsun. ise >. dir. 8 B (, ),( ),( ) ( ) ( ) 8 &,'( ). 8 7 & dir. ETKİNLİK R arıçaplı bir küre içine erleştirilen maksimum hacimli dik silindirin üksekliğini bulunuz. ( ) A ( ) ; E. A ( ) ( ) A'( ) ( ). & 6 7 Δ & 6 olur.. f() fonksionunun da bir maksimumu varsa g() f ( ) fonksionunun da bir minimumu olduğunu gösteriniz. (f( ) ) (, f( )) maksimum ise, a) f'( ) ve b) f''( ) < dır. '( f ) a) g'( ) '( ). f g olur ( ) f & ( ) f''( ). f ( ). f ( ).( f') ( ) b) g''( ) f( ) ''( f ). f ( ) ''( f ) g''( ). f ( ) f olur ( ) f''( ) < olduğundan f''( ) > olur. Arıca f ( ) > dır. (Çift kuvvet olduğu için) ''( f ) & > & g''( ) > olur. f ( ) g'( ) g''( ) > & (, g( )) minimumdur. 59

109 ÜNİTE. f() eğrisi üzerindeki değişken bir P noktasının K(, ) noktasına uzaklığı en az kaç birimdir? P noktasından eksenine [PH] dikmesini çizelim. OH ise PH tür. İki nokta arasındaki uzaklık PK ( ) ( ). h ( ) ( ) 6 olur. h() fonksionunun minimum değerini bulmalıız. 65 ( ) h'( ) 6 ( ) P H UYGULAMA ADIMI P(, ) K(,). ABC üçgeninde mabc _ % i 9 AB BC cm olduğuna göre, AC nin en küçük değeri kaç cm olur? AB ise BC dir. AC f() ( ) ( ) f'() ( ) f'() f() f() fonksionu un solunda azalan, sağında artan olduğundan da minimum vardır. f( ) ( ) cm bulunur. min A B C h'( ) 5 6 ( ) Alan en büük olduğunda hipotenüs en küçüktür. & 5 & ( ).( ) & dir. h'() h() min & ( ). 6( )( ETKİNLİK f() sin cos fonksionunun [, π] aralığındaki erel minimum ve erel maksimum değerlerini bulunuz. in solunda h() fonksionu azalan, sağında artan olup de h fonksionunun minimumu vardır. için h() ( ) 6 birim bulunur. 6

110 5. 6 arım çemberi üzerinde P ve P noktaları alınıor. P ve P den eksenine çizilen dikme aakları sırasıla H ve H dir. H H birim olduğuna göre, P H P H toplamının en büük değeri kaçtır? P H b, 6 l, H b, 6 l P H H olup UYGULAMA ADIMI 6. A AB AC BC a AH a KF D K Bu üçgenin içine şekildeki gibi bir dikdörtgen erleştirilior. Bu dikdörtgenin alanının maksimum B L H F C olması için, kenarları a cinsinden ne olmalıdır? AB AC olduğundan [AH], [BC] i ortalar & HC a olur. KF dielim. ÜNİTE PH PH 6 6 (verilior.) olur. f ( ) 6 6 ( ) f ( ) f'( ) 6 8 ve CF CF & CH AH a & a CF olur. 8 FH a HC CF 8 & FL a bulunur. Dikdörtgenin alanı A() ise, A() ( a ). a olur. ( ) ( ) 6 a 8. 6 k ^ h a k 8 ( 6 8 ).( 6 ) & PH PH 6 ( ) 8.( ) ( ) tü. r A() in maksimum olması için A'() olmalıdır. A'( ) a a & a & a a a a a LF a a Demek ki dikdörtgenin kenarları UYARI a ve a olmalıdır. Dikdörtgenin üksekliği, üçgenin üksekliğinin arısıdır. a Maksimum alan ise,. a a dir. (Üçgenin alanının arısı) 6

111 ÜNİTE. Toplamları 8 olan iki reel saının çarpımları en çok kaç olur? PEKİŞTİRME ADIMI. f: R R, f ( ) e fonksionunun minimum değeri kaçtır? 6. Çarpımları olan iki reel saının toplamları en az kaç olur? 5. Denklemi f() olan parabol verilior. ABCD dikdörtgen olduğuna göre dik- D C dörtgenin alanı en çok kaç birimkare olur? A B 6 9. f() 6 fonksionunun minimum ve maksimum değerlerini bulunuz. 6. Şekildeki birim çemberde B A sabit A değişken bir noktadır. Buna göre, AOB üçgeninin alanının en büük değeri kaç birimkaredir? B d maksimum minimum 6

112 7. A B C Şekilde BD m, AB m ve ED 6 m dir. C, [BD] üzerinde değişken bir nokta ise, CA CE toplamı en az kaç birim olur? E D 6 PEKİŞTİRME ADIMI. Kare prizma biçiminde üstü açık, m hacminde bir üzme havuzu apılacaktır. En az malzeme kullanılarak apılan bu havuzun üze alanı kaç m olur? 8 ÜNİTE. Şekildeki daire diliminin çevresi birim ise, alanının en büük değeri kaç birimkaredir? O 8. eğrisinin A(9, ) noktasına en akın noktasının apsisi nedir? 9. f() m n fonksionunun noktasındaki maksimum değeri ise n kaçtır? 7. Yandaki şekilde A ve B noktalarından geçen d doğrusu değişkendir. 8 ise AOB üçgeninin alanının en büük olduğu anda AB uzunluğu kaçtır? O A B d 6

113 ÜNİTE. Şekildeki O merkezli arım çemberde [DA] [AB], [CD] [AD] ve AB 8 br ise, ADC üçgeninin alanının en büük değeri nedir? D C PEKİŞTİRME ADIMI A O B 8 6. Şekilde f() parabolünün grafiği verilmiştir. Grafik üzerindeki P noktasının A(, ) noktasına olan uzaklığının en küçük olması için, P noktası aşağıdakilerden hangisi olmalıdır? A(,) 9 A) b, l B) ^, h C) b, l 6 D) b, l E)(, ) 9 P 6. f() parabolü üzerinde apsisleri ve olan A ve B noktaları alınıor. 8 ise, AB uzunluğunun en küçük değeri kaçtır? A B E 7. Yarıçapı birim olan küre içine erleştirilen maksimum hacimli dönel silindirin hacmini bulunuz. 8 r 9 5. Değişken durumlu d ve d doğruları birbirine dik olacak şekilde hareket edior. 6 ise, OK uzunluğunun en küçük değeri kaçtır? d K d O 8. Taban arıçapı r ve üksekliği r olan koni içine çizilen maksimum hacimli silindirin hacmini hesaplaınız. 6r.r 7 6

114 KAVRAMSAL ADIM GRAFİK ÇİZİMİ. POLİNOM FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ a n n a n n... a a biçimindeki bir fonksionun grafiğini çizerken aşağıdaki olu izlemek kolalık sağlar:. Tanım kümesi bulunur. Bu tür fonksionların tanım kümesi (, ), ani R dir.. için? için? bulunur. Burada bulunurken en üksek dereceli terim olan a n n de erine! azılır. Yani lim ( a ) limiti bulunur. n n "! Burada bulunan iki değeri, eğrinin uçlarının hangi bölgede olduğunu belirtir. Yani, için III. bölgei Türevin işareti incelenirken en büük kökün sağına ' türevinin en üksek dereceli teriminin işareti azılır. Türevin tek katlı köklerinin soluna sağındaki işaretin tersi, çift katlı köklerin soluna sağındaki işaretin anısı azılır. 6. Tablodaki bilgiler koordinat sistemine aktarılarak fonksionun grafiği çizilir. ETKİNLİK 6 8 fonksionunun grafiğini çizelim. i) Fonksion R de tanımlıdır. ii) için olup asimptot oktur. f p iii) ' 6 & için ekstremum vardır. için ÜNİTE için II. bölgei için I. bölgei için IV. bölgei belirtir f p ekst.. Eğrinin ve eksenlerini kestiği noktalar bulunur. için bulunan değeri eğrinin eksenini kestiği noktaı için bulunan değerleri eğrinin eksenini kestiği noktaları verir. UYARI iv) için 8 olup & olup O ekseni kesimi bulunur. p, f f p f p O ekseni kesimi ve için denkleminin tek katlı köklerinde eğri eksenini keser, çift katlı köklerinde eğri eksenine teğettir. v) ' 8 min. ' türevi bulunur ' denkleminin kökleri ve bu köklere kar- vi) şılık gelen değerleri bulunur Değişim tablosu düzenlenir. Yukarıda elde edilen değerler tabloa erleştirilir. Türevin işareti incelenerek fonksionun artan a da azalan olduğu bölgeler ve ekstremum noktaları belirtilir. 65

115 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK f() fonksionunun değişimini inceleip grafiğini çiziniz.. Tanım kümesi: (, ) R. Limit: lim ( ) lim ( ) " " lim ( ) lim ( ) " " Yani için III. bölge için I. bölge olup eğrinin uçları III. ve I. bölgededir. 5. Değişim tablosu: ' 6. Eğri III. bölgeden gelecek, artarak (, ) noktasında maksimum değerini alacak ve sonra azalarak b, l noktasında 7 minimum değerini alacaktır. Buradan sonra artarak (, ) noktasından geçecek ve I. bölgeden gidecektir. Grafik: maks. 7 min. f(). Grafiğin eksenleri kestiği noktalar: A) eksenini kestiği noktalar: için & ( ) 7 vea & vea olduğundan eksenini A(, ), B(, ) noktasında keser. çift katlı kök olduğundan eğri bu noktada eksenine teğettir. B) eksenini kestiği noktalar:. Türev: & olduğundan grafik (, ) noktasından geçer. ' f'() ve f'() ise ( ) & vea 5 & f( ) f() C(, ) 5 & f( 5 ) fb l b l b l 7 Db, l dir. 7 UYARI a R ve n N için f() fonksionu için:. f() ( a).g() ise fonksionun grafiği eksenini a noktasında keser.. f() ( a) n. g() ise fonksionunun grafiği a noktasında eksenine teğettir.. f() ( a) n.g() ise n için fonksionun a noktasında dönüm noktası vardır. ÖRNEK Üçüncü dereceden bir f() fonksionu eksenini (, 6), eksenini (, ) noktalarında kesior. Arıca eksenine (, ) noktasında teğet oluor. Bu eğrinin denklemi nedir? C ve D noktaları ekstremum noktası olmaa ada noktalardır. 66

116 KAVRAMSAL ADIM f() eğrisi (, ) noktasından geçtiğine göre ve (, ) noktasında eksenine teğet olduğuna göre eğrinin denklemi: f() a( )( ) biçimindedir. Eğri (, 6) noktasından da geçtiğinden f() 6 & a.( )( ) 6 & a olup f() ( )( ) dir. POLİNOM FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİNİN PRATİK OLARAK ÇİZİMİ P() a n n a n n a n n... a a verilsin. ) Grafiğin hangi bölgede başlaıp hangi bölgede bittiğine bakılır. lim ise I. bölgede biter. " a) lim ise grafik III. bölgede başlar. " ÜNİTE ÖRNEK lim " ise IV. bölgede biter. m R olmak üzere f() m m fonksionunun eğrisi eksenine teğet ise, m nin alabileceği değerlerin toplamı nedir? lim ise I. bölgede biter. " b) lim ise grafik IV. bölgede başlar. " lim " ise IV. bölgede biter. f() m m ( ) m( ) f() ( )( m) azılabilir. Eğrinin eksenine teğet olabilmesi için f() denkleminin eşit iki kökü olmalıdır. f() ise ( )( m) & vea m vea m vea m Köklerden biri olduğundan m denkleminde azılırsa b l m & m olur. ) P() denkleminin kökleri bulunur. Denklemin tek kat kökleri için eksenini konkavlığın önünü değiştirmeden keser. Denklemin çift kat köklerinde eksenine teğet olur. Bu noktalar erel ekstremum noktalarıdır. ) m, vea ten büük tek saı olmak kadıla P() in ( a) m gibi bir çarpanı varsa a P() in grafiğinin bir dönüm noktasıdır. Bölece f() ( )( m) denkleminin eşit iki kökü olur. Bu durumda eğri b, l noktasında eksenine teğettir. m denkleminin eşit iki kökünün olması durumunda da f() denkleminin eşit iki kökü olur. Bunun için Δ b.a.c olmalıdır. O halde m denkleminde ETKİNLİK ( ).( ) fonksionunun grafiğini çiziniz. a, b, c m olduğundan Δ.. m & m dır. Bu durumda eğri eksenine (, ) noktasında teğettir. O halde, m değerlerinin toplamı dir. 67

117 ÜNİTE UYGULAMA ADIMI. fonksionunun grafiğini çiziniz.. ( ) ( ) fonksionunun grafiğini çiziniz. a) 6! R için tanımlıdır. ) lim " olduğundan, grafik ikinci bölgeden başlar. b) lim ( ) lim ( olduğundan birinci bölgeden devam eder. ). lim " " " lim ( ) lim ( ). " " ) ( ) ( ) ise, (çift katlı kök) c) için dır. için & ( ) & V & olduğundan, ve te grafik eksenini keser. çift katlı kök olduğundan de grafik V V & eksenine teğettir. de erel minimum var. (, ), (, ) (, ) noktalarında eksenleri keser. d) ' & & " f( ), f() & (, ), (, ) olur. ' e) '' 6 & f() & (, ) ''6 f) Değişim tablosu: Grafik: ' '' maks. Dönüm Noktası min.. ( ) fonksionunun grafiğini çiziniz. ) lim " ve lim olduğundan grafik ikinci " bölgeden başlar ve birinci bölgeden devam eder. ) ( ) & (çift katlı kök) (çift katlı kök) Grafik: 68

118 UYGULAMA ADIMI. ( ) ( ) fonksionunun grafiğini çiziniz. ) lim " ve lim " olduğundan grafik üçüncü bölgeden gelip birinci bölgeden devam eder. ) ( ) ( ) & (üç katlı kök) 5 (çift katlı kök) dönüm noktasının apsisidir. f() 6. Yandaki üçüncü dereceden a b c d fonksionunun grafiği verilmiştir. Fonksionun minimum noktasının ordinatını bulunuz. de O eksenine teğet olduğu için ( ) çarpanı vardır. 5 te O kesildiği için fonksion ( 5) çarpanını taşır. Buna göre fonksion a.( ).( 5) apısında olup için olacağından a( ).( 5) & a olup fonksion ( ).( 5) tir. 5 ÜNİTE 5. '.[( ).( 5) ( ) ] '.( ).( ) ( ).( 9) ile türev kökleri ve olup f() te minimum oluşmuştur. için min.( ).( 5) 6 bulunur. Şekilde grafiği verilen üçüncü dereceden f() fonksionunu bulunuz. f() fonksionunun grafiği de eksenine teğet olduğundan ( ) çarpanı vardır. eksenini te kestiği için ( ) çarpanı vardır. ETKİNLİK f: R R, f() fonksionunun grafiğini çiziniz. f nin erel minimum değerinin, erel maksimum değerinin 9 9 olduğunu gösteriniz. f() a( ) ( ) şeklindedir. Grafik (, ) noktasından geçtiğinden a.( ).( ) & a a 6 O halde f() ( ).( ) 6 bulunur. bulunur. 69

119 ÜNİTE. PEKİŞTİRME ADIMI. Şekilde grafiği verilen üçüncü dereceden fonksionu bulunuz. f() f() Şekildeki grafiğe ait fonksionu bulunuz. ( ) ( ) 8 () ( ) 5. ( )( ) fonksionunun grafiğini çiziniz.. f() fonksionunun grafiğini çiziniz. 8. f() ( 9) fonksionunun grafiğini çiziniz. 6. f().( ) fonksionunun grafiğini çiziniz. 7

120 7. PEKİŞTİRME ADIMI. ÜNİTE f() Şekildeki grafik dördüncü dereceden bir fonksiona ait olduğuna göre, bu fonksionu bulunuz. A O Şekildeki grafik f() a b c d fonksionuna ait olduğuna göre, A noktasının apsisini bulunuz. ( ).( ) 8. f(). Şekilde f() a b c d fonksionunun grafiği verilmiştir. a b c d toplamının değeri kaçtır? O Grafik f() a b c d fonksionuna aittir. a b c d nin değeri kaçtır? 9. A 8 f(). 6 B(,) O C Şekildeki grafik f() a b c fonksionuna aittir. Köşeleri A, B, C olan üçgenin alanı kaç birimkaredir? (, ) Yukarıda grafiği verilen fonksionu bulunuz. 5 7

121 ÜNİTE i) KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK f ( ) 7 bulalım. lim f ( ) lim $ $ olduğu için fonksionunun asimptotlarını ata asimptottur. ii) 7 için f() olduğundan, 7 düşe asimptottur. 7 ASİMPTOTLAR. f() fonksionu için lim {() f g()} " a da ise g() fonksionuna f() in asimptotu denir. g() sabit ise ata asimptot g() m n biçiminde bir doğru ise eğik asimptot, bunların dışında eğri asimptot adını alır. Daha doğrusu; lim f( ) k " ise k ata asimptot. lim f() ise eğik a da eğri asimptot vardır. " m n biçiminde bir eğik asimptot varsa f ( ) m lim " n lim {f() m} ile bulunur. " lim {() f g()} " ETKİNLİK Aşağıdaki fonksionların asimptotlarını bulunuz. a) f ( ) 5. lim f ( ) a da lim f ( ) ise a doğrusuna f() fonksionunun düşe asimptotu denir. a a " " g ( ) f ( ) biçimindeki fonksionlarda h() denkleminin köklerinde h ( ) düşe asimptot vardır. ÖRNEK f ( ) 5 fonksionunun asimptotlarını bulunuz. b) 7 f ( ). lim f ( ) lim olduğundan ata asimptottur. "" "! & & doğrusu düşe asimptottur. 5 ÖRNEK f ( ) eğrisinin asimptotlarını bulunuz.. lim f ( ) lim olup doğrusu ata asimptottur. "! "! 7

122 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK f() e.sin fonksionunun asimptotlarını bulalım. lim f ( ) lim ( e. sin ) $ $ olduğundan, eğik asimptotunun varlığını araştıralım. f ( ) e. sin m lim lim $ $ lim sin $ > e. H n lim 6 f( $ lim 6 e. $ lim e. sin lim sin $ $ e olduğu için için. & eğik asimptottur. f ( ) e sin lim lim $ $ limitinde ilk terim e. sin lim ; $ E arttığından limit oktur. $ f ( ) lim limiti olmadığından $ asimptot oktur. için sınırsız olarak $ için. & &! doğruları düşe asimptottur. ÖRNEK f ( ) fonksionunun asimptotlarını bulunuz.. lim f ( ) lim " " f ( ) m lim lim " " ( ) olduğundan ata asimptot oktur. n lim {() f.} lim " " n lim " m n eğik asimptottur. olduğundan. & doğrusu düşe asimptottur. UYARI a b c b a. a fonksionunda a > ise eğrinin biçiminde bir eğik asimptotu vardır. a < için " durumunda karekök içi negatif olacağından asimptot hesaplanamaz. Bu tür bir eğrinin eğik asimptotu oktur.. KESİRLİ FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ Bu tür fonksionların grafiğinde ata, eğik ve eğri asimptotlardan sadece birisi vardır. Grafik asimptotların " ucundan gelir, " ucuna gider. g ( ) f ( ) rasonel fonksionunda h() denkleminin kökü olan değerlerinin çift a da tek katlı oluşuna göre eğri asimptota aklaşır vea h ( ) uzaklaşır. ÜNİTE a çift katlı kök ise a b tek katlı kök ise b 7

123 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK fonksionunun grafiğini çizelim. i) Padaı sıfırlaarak & için ii) fonksion " olup tanımsızdır. de düşe asimptot verir. Düşe asimptottur. lim lim olup $ " $" Yata asimptot verir. iii) ' > olup fonksion daima artandır. Ekstremum ok. iv) için v) f p " " f p.( ).( ) ' ( ) ( ). & f p için & & dir. & f p ' g ( ) h ( ) fonksionunun değişim tablosu apılırken ' in değerleri sırasıla erleştirilir. Düşe asimptotlara çift çizgi çekilir ve her çizginin ucuna birer sonsuz ( ) azılır. Soldaki sonsuzun işareti ile çizginin solundaki türevin işareti anı, sağdaki sonsuzun işareti ile çizginin sağındaki türevin işareti terstir. Türevin işareti incelenirken türevin en büük kökünün sağına g'.h g.h' deki en üksek dereceli terimin işareti azılır. Türevin tek katlı kökünün soluna sağındaki işaretin tersi, çift katlı kökünün soluna sağındaki işaretin anısı azılır. Önce asimptotlar çizilir, sonra diğer noktalar işaretlenerek grafik tamamlanır. ÖRNEK f() fonksionunun grafiğini çiziniz.. & olup tanım kümesi R {} dir.. lim f ( ) lim olup ata asimptottur. "! "!. & olup doğrusu düşe asimptottur..( ) ( ). f'( ) olup için f'() < dır. ( ) ( ) 6! R { } Arıca f'() denkleminin kökleri oktur. Bu nedenle fonksionun maksimum vea minimum noktası oktur. 5. & olup eğri A(, ) den geçer. & & & olduğundan eğri D(, ) noktasından geçer. 6. Tablo 7. Grafik ' anı ters O 7

124 KAVRAMSAL ADIM 6 fonksionunun grafiğini çizelim. i) için ve de fonksion tanımsız ve süreksizdir. Düşe asimptot verir. Düşe asimptotlar f p D.A. " f p D.A. dır. " ii) Yata asimptot bulalım. 6 lim lim olup $ " $ " " f p Y.A ( ) ^ ) ( h.( 6) iii) ' ( ) 8 ' dir. ' & 8 X ( ) & ; ekstremum noktalarıdır. için ve için dir. f pekst. f pekst. iv) için & f p için 6 gerçel kök ok, O'i kesmez. ' v) ÖRNEK 5 6 f( ) ( ) fonksionunun grafiğini çiziniz.. ( ) & olup tanım kümesi R {} dir lim f ( ) lim olduğundan ata asimptottur. ( ) "! "!. ( ) & (çift katlı) düşe asimptottur.. ( 5)( ) ( 5 6). ( ) f'( ) ( ) 7 f'() & 7 & tür için 6, olur. ( ) & 5 6 & Grafik B(, ), C(, ) dan geçer. için 6 olup D(, 6) dan geçer. 7. Grafik: ( )( 7 5 ) ( ) 7 ( ) 7 7 b l b l 7 Ab, l Tablo: ' 7 ( ) 7 ' 6 8 ÜNİTE

125 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK eğrisi ile m doğrusunun A(, ) noktasına göre simetrik iki noktada kesişebilmesi için m ne olmalıdır? UYARI a b c m n biçimindeki bir fonksionun grafiği asimptotların kesim noktasına göre simetriktir. Yani asimptotların kesim noktası eğrinin simetri merkezidir. Bu nokta ÖRNEK c m n, bm an dir. m m m p fonksionunun grafiği (, 6) noktasına göre simetrik ise, m p kaçtır? Eğri (, 6) noktasına göre simetrik ise bu nokta asimptotların kesim noktasıdır. p p & p & düşe asimptot, m m lim lim " " " " p ETKİNLİK a fonksionunun grafiği (, ) k noktasına göre simetrik ise, a k kaçtır? m ata asimptottur. p m p b, l ( 6, ) & & p 9 m m 8 6 & m 8 & p 9 dir. (, ) noktası asimptotların kesim noktası demektir. k a düşe asimptot, ata asimptot olduğundan, k a c, m ^, h k a & / & k / a bulunur. a k ( ) 6 dır. ÖRNEK a fonksionunun simetri merkezinin ordinatı ise, a kaçtır? a a... m n simetri merkezi c m n, bm an m m. a. c, (, a) ve a a dir. m & 76

126 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK e u fonksionunun grafiğini çizelim. dielim e u olur. i) u ve e u fonksionları de tanımsızdır. Tanım kümesi R {} dir.. ÜSTEL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ a > olmak üzere a f() biçimindeki üstel fonksionların değişimi incelenirken u f() fonksionu incelenir. Çünkü ' f'().a f()., na türev fonksionunda, na > olduğundan ' ile f'() anı işarete sahiptir. a f() fonksi- a f() > ve onunda:. a f() ile u f() fonksionlarının tanım kümeleri anıdır.. u f() in ata asimptotu u k ise a f() in ata asimptotu a k dır.. u f() in düşe asimptotu, a f() in düşe asimptotu ile anıdır. ÜNİTE ii) nin ata asimptotu e dir. ani $! için u & dir.. u f() in eğik asimptotu u m n ise a f() in eğik asimptotu a mn dir. 5. a f() ve u f() fonksionları anı aralıkta azalır, anı aralıkta artar ve iii) düşe asimptottur. iv) u' > olduğundan, ( ) anı noktalarda maksimum a da minimum değerini alırlar. ÖRNEK fonksionunun grafiğini çiziniz. R {} de u artan & artandır. v) için u & e e dir. anı ters u' u e u iv) e, e olduğuna dikkat ediniz. u olsun. u olur.. da u tanımsız olduğundan u fonksionunun tanım kümesi R {} dır.. lim u lim olduğundan u in ata asimptotu u ve " " " " u nun ata asimptotu u dir.. u in düşe asimptotu olduğundan u nun düşe asimptotu da dır.. u' olduğundan < u R {} da azalandır. Dolaısıla fonksionu R {} da azalandır. 5. Tablo: 6. Grafik: e anı u' u u ters olduğuna dikkat ediniz. 77

127 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM, nc m fonksionunun değişimini inceleerek grafiğini çizelim. ) > eşitsizliğinin çözüm kümesi fonksionun tanım kümesi olduğundan, tanım kümesi < < dir.. LOGARİTMALI FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ log a f() biçimindeki fonksionların grafiklerinin çizimi için;. Tanım kümesi bulunur. f() > eşitsizliğinin çözüm kümesi nin tanım kümesidir.. Varsa için? için? değerleri bulunur.. ' türevi alınarak ' denkleminin köklerine bakılır. Ekstremumlar araştırılır. ) lim lim, nc m $ $ lim, h n c h$ h m. Varsa için, için değerleri bulunur. 5. Değişim tablosu apılır. 6. Grafik çizilir. lim, n c h n h h m, $ lim lim, nc m $ $ lim, h n c h$ h m olur. lim, h nc m n( ) h h, $.( ).( ) ) ' ( ) ( )( ) tir. ) için, n, n ÖRNEK log ( ) fonksionunun değişimini inceleip grafiğini çiziniz.. > & > dir. Tanım kümesi (, ) aralığıdır.. lim lim log ( ) " " olduğundan " için " olur. lim lim log ( ) " " lim log ( h ) h " lim log h h " olur. için, nc m. '.log e dir. > ve log e > olduğundan ' > dır. 5) & & ' ln bulunur.. için log( ) tanımsız olup değeri bulunamaz. için log ( ) & & & olur. 5. Tablo: 6. Grafik: ln ' 78

128 . tan fonksionunun [, π] aralığında düşe asimptotlarını bulunuz. sin tan cos cos olur. r r & V düşe asimptotlardır. UYGULAMA ADIMI. fonksionunun grafiğini çiziniz.., de tanımsız, tanım kümesi R { } dir.. lim & düşe asimptot " lim & "" ata asimptot. & & ÜNİTE. f(),n( ) fonksionunun düşe asimptotunu bulunuz. f() log a (g()) fonksionunda g() olacak şekildeki değeri f() in düşe asimptotudur. O halde, & düşe asimptottur..( ).( ). ' ' ( ) & > ( ) 6! R için ' > olduğundan grafik her erde artandır. 5. Tablo: '. fonksionunun ata asimptotlarını araştırınız. 6. Grafik: ( ) lim lim " " lim " ( ). lim " ( ) lim " lim lim " " ( ) lim " Buna göre, ve doğruları ata asimptotlardır. 5. fonksionunun grafiğini çiziniz. a. & & " Buna göre tanım kümesi R \ {, } dir. b. Padaı sıfır apıp paı sıfır apmaan düşe asimptottur. lim, lim " " dur. lim "" & ata asimptottur. Eğik ve eğri asimptot oktur. 79

129 ÜNİTE c. için & (, ) noktası bulunur. d. için bulunamaz. (Ya da " dur.) ( )( ) için e. Tablo f. Grafik dir. boştur. 6. fonksionunun grafiğini çiziniz. ( ) olur. & (, ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) ' olur. ( ) eşitliğini sağlaan değeri oktur. ( ) O halde, ekstremum ok. Üstelik, için < ( ) olduğundan fonksion azalandır. ' /. & ( ) & & & Tanım kümesi R \ { } dir.. düşe asimptottur. (Paı sıfır apmaz.) lim dur. " lim & "" ata asimptottur. UYGULAMA ADIMI. için & (, ) noktası bulunur.. 5. için & ( )( ) & V & V dir. & & (, ), (, ) noktaları bulunur. O halde, (, ), (, ), (, ) eksenleri kestiği noktalardır. ( )( ) ( )( ) ' ( ) 5 7 ( ) ' & 5 X 7 & 7, 5 asimptot olduğundan ekstremum olmaz. (Zaten, değeri türevin padasını sıfır apar.) O halde, 7 iç in olduğundan, 5 7 (, ) ekstremumdur () ' 7/5 ( )( ) ( ) ( 5 7) '' ( ) 8 ( )( ) ( 5 7) ( ) 5 ( )( ) ( )( 5 7) ( ) 5 ( 5 7) 6 ( ) ( ) 6 '' & 6 & 5 f( ) olduğundan dönüm noktası (, ) dir () '' /5 8

130 6. Değişim tablosu: 7/5 /5 ' '' 7 UYGULAMA ADIMI için için & (, ) ve (, ) noktaları ekstremumdur. ( ) ' ÜNİTE 7. fonksionunun grafiğini çiziniz. 7 7/ ( )( ) ( ).( ) '' ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ok. Dönüm noktası ok. ( ) &. & & Tanım kümesi R \ {}. düşe asimptottur. lim, lim, lim, lim " " " " ata asimptot ok. ( ) '' 6. Değişim tablosu e ik asimptottur. ' '' maks min. için & (, ) noktası bulunur. apan değeri oktur. & O eksenini kesmez. 7. Grafik. ( ).( ) ' ( ) ( ) ( ) ' & & " " &,, " &, 8

131 UYGULAMA ADIMI ÜNİTE 8. eğrisinin varsa, düşe asimptotlarını bulalım.. eğrisinin varsa ata asimptotunu bulalım. n düşe asimptottur. lim " olup doğrusu ata asimptottur.. eğrisinin varsa, ata asimptotunu bulalım eğrisinin (varsa) düşe asimptotlarını bulalım. 8 8 & düşe asimptot.. eğrisinin varsa düşe asimptotunu bulalım. ise Δ < olduğundan kök ok, ani düşe asimptot ok. lim olup doğrusu " 9 ata asimptottur. 5. eğrisinin varsa, ata asimptotlarını bulalım. lim lim " " lim lim " " ve ata asimptotlarıdır.. eğrisinin varsa düşe asimptotunu bulalım., n, n &, n &, n V, n e V e düşe asimptotlarıdır. 6. eğrisinin varsa ata asimptotlarını bulalım lim lim " " lim lim " " e e ve doğruları ata asimptottur. sin. fonksionunun varsa düşe asimptotlarını sin cos bulalım. sin cos & tan & kr k! Z düşe asimptotlardır. 7. /, n e e eğrisinin varsa, ata asimptotlarını bulalım. < için,n tanımlı değil, limit oktur., n ani lim e " e oktur. > için n lim e /, e e " & ata asimptottur. 8

132 PEKİŞTİRME ADIMI 5 m. f ( ) eğrisinin asimptotlarının eksenile. eğrisinin asimptotları parabolünün n oluşturduğu kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir? tepe noktasında kesiştiğine göre, m n toplamı kaçtır? ÜNİTE eğrisinin asimptotlarının kesim noktası K(m, n) ise, m n toplamı kaçtır?. < k < olmak üzere ve eğrilerinin k asimptotlarının oluşturduğu dörtgenin alanı birimkare olduğuna göre, k kaçtır?. 8 7 eğrisinin asimptotları ile doğrusu arasında kalan alan kaç birimkaredir? k ( m k) m 6. f ( ) fonksionunun eğik asimptotu olduğuna göre, m.k çarpımı kaçtır? 8 8

133 ÜNİTE PEKİŞTİRME ADIMI a k 7. f ( ) fonksionunun grafiğinin simetri merkezi P(, ). f ( ) fonksionunun grafiği ata asimptotunu b olduğuna göre, a b toplamı kaçtır? hangi apsisli noktada keser? 8. f() ( ) 6 fonksionunun eğik asimptotlarının kesim noktası K(m, n) ise, m n toplamı kaçtır? ( ). fonksionunun grafiğini çiziniz. ( ) 9 9. Şekilde verilen grafiğin fonksionu ise, a b b c k kaçtır? k. Şekildeki grafiğin hangi fonksiona ait olduğunu bulunuz. 8

134 PEKİŞTİRME ADIMI ( ) 6.. fonksionunun grafiğini çiziniz. Şekildeki grafiğin hangi fonksiona ait olduğunu bulunuz. ÜNİTE 6. fonksionunun grafiğini çiziniz. ( ) ( ) 7. fonksionunun grafiğini çiziniz. ( ) 6 5. fonksionunun grafiğini çiziniz. a 8. a eğrilerinin asimptotlarının kesim noktalarının geometrik erinin denklemini bulunuz. 85

135 ÜNİTE SINAMA ADIMI. f ( ) fonksionunun eğik asimptotunun denklemi 5. f ( ) fonksionu verilior. m n aşağıdakilerden hangisidir? f () fonksionunun düşe asimptotu ise, A) B) C) m kaçtır? A) B) C) D) E) D) E) m n. f ( ) n fonksionunun asimptotlarının kesim noktası (, ) ise, m n toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) 6. ln fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) e e B) e e C) D). fonksionunun asimptotlarının kesim noktasının ordinatı kaçtır? e e e e A) B) C) D) E) E) e. Şekilde grafiği verilen f fonksionu aşağıdakilerden f hangisidir? 7. Şekilde grafiği verilen fonksion aşağıdakilerden hangisidir? A) f() B) f() C) f() D) f() E) f() A) f ( ) B) f ( ) C) f ( ) D) f ( ) E) f ( ) 86. B. A. B. C 5. C 6. B 7. E

136 SINAMA ADIMI 8. f ( ) 8 fonksionunun eğik asimptotu aşağıdakilerden hangisidir? m n. m n eğrisinin simetri merkezinden geçen doğru aşağıdakilerden hangisidir? (m ) A) B) C) A) m B) C) D) E) D) E) m ÜNİTE 9. f ( ) fonksionunun belirttiği eğrinin eğik asimptotu m n ise, m n toplamı kaçtır? A) B) C) 5 D) 7 E) 9 m. fonksionunun eğri asimptotu ise, eğrinin eksenini kestiği noktanın apsisi nedir? A) B) C) D) E) 8. f() fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D). f ( ) fonksionu verilior. Eğrinin asimptotu kestiği noktanın apsisi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) E) 5. eğrisinin asimptotunun eğrii kestiği noktadaki teğet denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E). ve eğrileri apsisli noktada a a kesiştiğine göre, a kaçtır? 7 A) B) C) D) E) 8 6. eğrisinin asimptotunun eğrii kestiği noktadaki teğeti eksenini hangi apsisli noktada keser? A) B) C) D) E) 8. E 9. D. C. D. D. A. B 5. B 6. E 87

137 ÜNİTE SINAMA ADIMI. m n n m eğrisinin geçtiği sabit nokta aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) m 6. fonksionunun maksimum vea minimum noktasının olmaması için m hangi kümenin elemanı olmalıdır? A) [, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) a b. eğrisi eğrisinin asimptotlarının ( ) kesim noktasından geçtiğine göre, a b toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) 5 7. eğrisinin asimptotlarının kesim noktası m doğrusu üzerinde ise, m kaçtır? A) 5 B) C) D) E). e fonksionunun ata asimptotu aşağıdakilerden hangisidir? 8. Şekilde taralı alan kaç birimkaredir? A) e B) e C) e D) e E) e A) 9 B) 6 C) 5 D) E) A O B C. log ( ) fonksionunun eksenini kestiği nokta a doğrusu üzerinde ise, a kaçtır? b A) B) C) D) E) 9. eğrisinin ata asimptotu doğrusu ile apsisli noktada kesiştiğine göre eğrinin a düşe asimptotları arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) B) C) D) E) 5 a b 5. eğrisi A(, ) noktasından geçior. Eğrinin simetri merkezi (?, ) olduğuna göre, b kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) E). e eğrisinin ata asimptotu ile e doğrusunun ortak noktaları aşağıdakilerden hangisidir? A) (e, e) B) (e, e) C) (e, e) D) (, e) E) (e, ) 88. D. B. A. E 5. C 6. D 7. E 8. E 9. D. C

138 SINAMA ADIMI. eğrisinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 6. ve eğrilerinin kesim noktalarından geçen doğrulardan birinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) m 7. eğrisinin eksenini kesmemesi için, m aşağıdaki koşullardan hangisini sağlamalıdır? A) < m < B) < m < C) < m < D) < m < E) < m < ÜNİTE. eğrisinin eksenine teğet olduğu noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 6 B) C) D) E) m 8. m fonksionunun apsisli noktada eksenine paralel teğeti varsa, m kaçtır? A) B) C) D) E). 8 9 eğrisinin minimum noktasının eksenine uzaklığı kaç birimdir? A) B) C) D) E) 8. eğrisinin maksimum noktası eksenine kaç birim uzaklıktadır? 7 5 A) B) C) D) E) 9. logb l eğrisinin ata asimptotu aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 5. eğrisinin eksenleri kestiği noktadan geçen ( ) doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) a. eğrisinin eğik asimptotu. açıorta doğrusu a olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) E). E. D. A. B 5. C 6. A 7. B 8. A 9. D. C 89

139 ÜNİTE. f() ol du ğu na gö re, lim " f () f () 9 9 SINAMA ADIMI de ğe ri aşa ğı da ki ler den han gi si ne eşit tir? A) 9 B) 6 C) D) E) 5. f(). ol du ğu na gö re, lim f() de ğe ri kaçtır? " A) B) C) 5 D) 6 E) 8 6. f () ol du ğu na gö re, f l () de ğe ri kaçtır? r. f() sin( ) cos ( )ise, f l () kaç tır? 9 A) B) 6 C) 9 A) B) π C) π D) π E) π D) 5 E) 89,. f() ' ol du ğu na gö re,, < 7. f( ) ol du ğu na gö re, lim f() 8 de ğe ri kaçtır? " A) 5 B) C) 9 D) 6 E) lim f () 6. lim " " f() 6 çar pı mı nın so nu cu kaçtır? A) 8 B) 6 C) D) E) 8 8. f(). e olduğuna göre, e d d işleminin sonucu kaçtır? ol du ğu na gö re, f l () de ğe ri kaçtır? A) B) C) 6 8 A) B) C) () D) ( ) E) ( ) D) E) 6 9. E. D. A. E 5. B 6. A 7. D 8. D

140 9. f() ol du ğu na gö re, f l () de ğe ri kaçtır? A) B) C) D) E) SINAMA ADIMI. 5 fonk si o nu nun eğ ri asimp to tu aşa ğı da ki ler den han gi sidir? A) B) C) D) E) ÜNİTE. a b fonk si o nu nun asimp tot la rı nın ke sim nok ta sı a nı za man da f() fonk si o nu nun dö nüm nok ta sı ise, a b top la mı kaç tır?. t u,u, t t ol du ğu na gö re, d d in için de ğe ri kaçtır? A) B) C) D) E) 7 A) B) C) 5 D) E). a a fonk si o nu nun eğik asimp to tu ol du ğu na gö re, a kaç tır? A) B) C) D) E) 5. (u ), u t, t d ol du ğu na gö re, in için de ğe ri kaçtır? d A) B) C) D) 6 E). f() (a ) a fonk si o nu nun eğik asimp to tu ol du ğu na gö re, f(a) kaç tır? A) B) C) D) 5 E) 6 6. ( ), u 5, u (t t) d ol du ğu na gö re, nin t için de ğe ri kaçtır? d A) B) 7 C) D) 5 E) 9. C. E. A. D. E. B 5. D 6. E 9

141 ÜNİTE SINAMA ADIMI. f() 6 9 fonk si o nu nun [, ] ara lı ğın da ala bi le ce ği en kü çük de ğer kaç tır? A) B) 5 C) 7 D) 9 E). f() ( ) cos olduğuna göre, f la r k aşağıdakilerden hangisine eşittir? r A) B) C) ln a k r D) In(π ) E) lnc m 5. Şe kil de;. de re ce den bir f() fonk si o nu nun gra fi ği ve ril miştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) için f() dır. B) için f () dır. C) için f() tür. D) için f() dır. E) için f () > dır. l l f(). f 6. f() cos(sin ) ol du ğu na gö re, d f() d de ğe ri aşa ğı da kiler den han gi si ne eşit tir? Şekildeki grafik f() ( ). (a ). (b ) fonksionuna ait ise, a b kaçtır? 5 A) B) C) D) E) A) sin.sin(sin ) B) sin.cos(sin ) C) cos.sin(sin ) D) sin.cos(cos ) E) sin.sin(cos ). f() (In). fonksionunun minimum noktası nedir? A) (, ) B) (, ) C) D), E) e e a k e, a k e a e, k 7. f() eğ ri si nin ap sis li nok ta sın da ki te ğe ti nin denk le mi aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) 5 B) C) D) E) 9. B. E. A. B 5. E 6. A 7. D

142 SINAMA ADIMI 8. f() m n fonk si o nu nun nok ta sın da ki te ğe ti nin eği mi dir. f() fonk si o nu nun dö nüm nok ta sının apsisi ol du ğu - na gö re, m n top la mı kaç tır? 5 A) B) C) D) E). f () fonk si o nu nun gra fi ği aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) B) ÜNİTE C) D) d 9. f() sin[in(sin)] olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisine d eşittir? A) tan.cos[in(cos)] E) B) cot.cos[in(sin)] C) tan.sin[in(cos)] D) cot.sin[in(cos)] E) tan.cos[in(sin)]. D f() l. f (), f() 5 g() ( ).f() ol du ğu na gö re, g(6) l kaç tır? A B C A) B) 5 C) D) E) 5 Şe kil de f() eğ ri si ek se ni ni B ve C, ek se ni ni D nok ta sın da kes mek tedir. D nok ta sın dan eğ ri e çi zi len te ğet ek se ni ni A nok ta sın - da kes ti ği ne gö re AB. OC çarpımı nedir? 8 6 A) B) C) D) E). b c fonk si o nu nun gra fi ği O ek se ni ni ve nok ta la rın da kes ti ği ne gö re eğ ri nin si met ri mer ke zi nin or di na tı ne dir? A) B) C) D) E). f() ( ) ( a) f ll () 8 olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) E) 8. A 9. B. C. B. B. E. B 9

143 ÜNİTE SINAMA ADIMI. d e. (sin.e ) d ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) cos sin B) cos sin C) sin sin D) cos E) sin 5. 5 ( )( ) ( ) fonksionunun grafiği hangisi olabilir? A) B). f() In( cos r ) olduğuna göre, r' a k kaçtır? 6 A) In6 B) In6 C) In8 D) E) In C) D) E). A 6 f() 6. a b Şe kil de ki l doğ ru su f() fonk si o nu nun gra fi ği ne A(, ) nok ta sın da te ğet tir. h().f() ise, h l ( ) kaç tır? A) 6 B) C) D) 6 E) fonk si o nu nun asimp tot la rı nın ke sim nok ta sı (, ) ol du ğu na gö re, a. b çar pı mı aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) B) C) D) E) l. f() 6, f (), g (6) ol du ğu na gö re, l d 9 (gof) C() kaç tır? d A) 8 B) 6 C) 6 D) 9 E) 7. eğ ri si ne ait asimp tot lar la ko or di nat ek sen le ri ara sın da ka lan böl ge nin ala nı kaç bi rim ka re dir? A) B) C) D) E) 9. C. C. A. B 5. E 6. A 7. B

144 8. f(). olduğuna göre, f () kaçtır? A) In B) In C) In D) In E) 8 In l SINAMA ADIMI. 5 a b daima azalan bir fonksion olması için a ve b arasındaki bağıntı ne olmalıdır? A) a b B) a b C) D) a. b < E) a.b > b a ÜNİTE r 9. f() arc sin(cos) ol du ğu na gö re, f' c m kaç tır? A) B) C) D) E). f().e fonksionunun erel maksimum değeri kaçtır? A) B) C) D) E) e e e e e. f() 8 fonksionunun [, ] aralığındaki en küçük değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 B) C) D) 8 E) 7. f: R R, f() 7 ol du ğu na gö re, (f ) l () de ğe ri kaçtır? A) B) C) D) E) ve doğ ru la rı nı asimp tot ka bul eden; ek se ni ni (, ) nokta sın da ke sen fonk si on aşa ğı da ki ler den han gi si dir? 5 A) B) C) 5. fonk si o nu nun dü şe asimp to tu nun denk le mi nedir? A) B) C) D) E) D) E) 8. B 9. E. E. E. D. D. A 5. E 95

145 ÜNİTE. f() 9 olduğuna göre, f l () kaçtır? SINAMA ADIMI A) 6 B) C) D) E) 6 5. f() ( ) olduğuna göre, f l () kaçtır? A) B) C) 6 D) 8 E). f() *,, a ise b < ise f() fonk si o nu 6! R için tü rev li ol du ğu na gö re, b kaçtır? 6. g() f(5) ve f (5) olduğuna göre, l g() kaçtır? l A) 5 B) C) 5 D) 6 E) A) B) C) D) E). f() a b fonksionunun simetri merkezi (, ) olduğuna göre, a b toplamı kaçtır? 7. f() 6 old ğu na gö re, lim f( a) f() de ğe ri kaç tır? a " a A) B) C) D) 8 E) A) B) C) D) 5 E) 6 8. f() cos(arctan) olduğuna göre,. f() m ile ta nım la nan f fonk si o nu için lim f () f () 6 ol du ğu na gö re, m kaç tır? " A) B) 6 C) 7 D) 8 E) f la k aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) D) E) 96. B. E. D. D 5. E 6. E 7. A 8. B

146 SINAMA ADIMI 9. f() fonk si o nu nun 5 doğ ru su na pa ra lel te ğet le rinden bi ri nin değ me nok ta sı nın ap si si kaç tır? 5 A) B) C) D) E) 6. eğ ri si ne üze rin de ki A(, ) nok ta sın dan çi zi len te ğe tin denk le mi aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) 6 B) C) 6 D) 6 E) 6 ÜNİTE. f() olduğuna göre, l f ( ) kaçtır? A) B) C) D) E) 5. 7 f () 8 fonk si o nu nun asimp tot la rı nın ke sim nok ta sı nın or di na - tı kaç tır? A) B) 8 C) 6 D) E) m. Her ger çel sa ı sı için, f() fonk si o nu nun dai ma ar tan ol ma sı için m nin ala bi le ce ği en kü çük tam 5. f() a b 5 fonksionunun noktasında dönüm noktası olduğuna göre, a kaçtır? A) 9 B) 6 C) D) E) 5 sa ı de ğe ri kaç tır? A) B) C) D) E) 6. f () 5. A(a, b) nok ta sı f() (7 ) pa ra bo lü nün üze rin de dir. a nın han gi de ğe ri için a b top la mı mak si mum olur? 7 5 A) 5 B) C) D) E) Tü re vi nin gra fi ği ve ri len f fonk si o nu, han gi de ğe ri için mak si mum de ğe ri ni alır? A) B) C) D) E) 5 9. A. C. D. B. B. A 5. B 6. E 97

147 ÜNİTE SINAMA ADIMI. Denk le mi m (m 5) olan eğ ri nin dö nüm (bü küm) nok ta sı nın ap si si ise, ordinatı kaçtır? A) 7 B) C) D) E) 5. (a ) a denkleminin kökleri ve dir. toplamının minimum olması için, a kaç olmalıdır? A) B) C) D) E) 6. 7 Şe kil de gra fi ği çi zil miş tir. A(, ), B(, ) ol du ğu na gö re, ABCD a mu ğu nun ala nı en çok kaç bi rim ka re dir? A) B) C) D) E) C A(, ) B(, ). m m nin han gi ara lık ta ki de ğer le ri için f() m fonksi o nu dai ma aza lan dır? 7. ve doğrularını asimptot kabul eden ve eksenini noktasında kesen eğrinin fonksionu aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) C) A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) D) E). f() ( ) 8. f() fonk si o nu nun dö nüm (bü küm) nok ta sı nın ap si si kaç tır? A) 8 B) C) D) E) A(,) B(,) 5. cm a rı çap lı kü re içi ne çi zi len mak si mum ha cim li si lindi rin hac mi kaç π cm tür? A) 6 B) 8 C) D) 6 E) 8 Şe kil de f() fonk si o nu nun nok ta sın da ki te ğe ti çi zilmiş tir. A(, ), B(, ) ve g() f( ) şek lin de ta nım lanan g() fonk si o nu nun de ki te ğe ti nin eği mi kaçtır? A) B) C) D) E) 98. D. D. B. E 5. C 6. D 7. B 8. B

148 SINAMA ADIMI 9. f() 5 6 pa ra bo lü nün ko or di nat la rı top la mı nın mi ni mum ol du ğu nok ta nın or di na tı kaç tır? A) B) C) 8 D) 6 E) 7. f() 6 fonk si o nu nun 6 doğ ru su na pa ra lel te ğet le rinden bi ri nin denk le mi aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) 6 B) 6 6 C) 6 D) 6 E) 6 8 ÜNİTE a b. Şe kil de; fonk si- c. fonk si o nu na A(, 7) nok ta sın dan çi zi len te ğet lerin den bi ri nin değ me nok ta sı nın ap si si kaç tır? A) B) C) D) E) o nu nun gra fi ği ve ril miş tir. Buna göre a b c toplamı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 8 D) E) r. f() sin(cos5) olduğuna göre, f' a k kaçtır? A) 5 B) C) D) 5 E) 5. f() 6 fonk si o nu nun [, ] ara lı ğın da ala bi le ce ği en kü çük de ğer kaç tır? A) B) C) D) E). f () 6. Şe kil de, f l () fonk si o nu nun gra fi ği ve ril miş tir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) f ll ( 6) < B) (, ) aralığında f() artandır. C) (, f( )) noktası f() in erel minimum noktasıdır. f ll ().f ll (6) > D) E) (, f()) noktası f() in erel minimum noktasıdır. Şekildeki grafiğin denklemi aşağıdakilerden hangisi olabilir? ( ) A) B) ( ) ( ) C) D) ( ) ( ) E) ( ) ( ) 9. A. B. D. E. D. D 5. C 6. C 99

149 ÜNİTE. f() ( ) ( ) olduğuna göre, f l () kaçtır? SINAMA ADIMI A) 9 B) 8 C) 6 D) E) f() eğ ri si nin e rel mak si mum nok ta sın da ki te ğe ti nin denk - le mi aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) B) 9 C) D) 7 E) 9 8. f() sin.cos olduğuna göre, r f' c m aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) D) E) 7. ve doğ ru la rı nı asimp tot ka bul eden ve ek se ni ni nok tasın da ke sen eğ ri nin fonk si o nu aşa ğı da ki ler den han gi si ola bi lir? 6 A) B) 6 9. f () olduğuna göre, f'( ) kaçtır? C) D) E) 9 9 A) B) C) D) E) 8 7. f() e, g() olduğuna göre, l (fog) () aşağıdakilerden hangisine eşittir? A).e 8 B) 8.e 8 C).e D) 8.e E) 6.e 8. eğ ri si nin (, ) nok ta sın da ki te ğe ti nin denk le mi aşa ğıda ki ler den han gi si dir? A) B) C) D) E) 5. f() (, ) ara lı ğın da aza lan bir fonk si on ise aşa ğı da kiler den han gi si a nı ara lık ta ar tan dır? A) f () B) f() C) f( ) D) f() E) f() 9. f: R R f(). In fonksionunun erel minimum değeri kaçtır? A) B) C) D) E). A. B. D. A 5. E 6. D 7. A 8. D 9. B

150 SINAMA ADIMI. Şe kil de; f() 5 fonk si o nu nun C B gra fi ği ve ril miş tir. A f()5 OABC dik dört ge ni nin ala nı en faz la kaç bi rim ka re dir? A) 7 B) 96 C) 8 D) 8 E) 6 8. A Şe kil de; BC cm AH cm, L K AB AC ol du ğu na gö re, ABC üç ge ni nin içi ne çi zi lebi B D H E C le cek dik dört gen ler den ala nı en bü ük ola nı nın ala nı kaç cm dir? A) 9 B) 8 C) 75 D) 6 E) 5 ÜNİTE.. h() Şe kil de orijinden ge çen d doğ ru su h() eğ ri si ne ap sis li nok ta da teğet tir. f( 5).h() ve f l () ol du ğu na gö re, d d doğ ru su nun denk le mi nedir? 5 Şe kil de tü re vi nin gra fi ği ve ri len, f() fonk si o nu, han gi de ğe ri için mi ni mum de ğe ri ni alır? A) B) C) D) 5 E) 6 5 f () 6 A) B) C) D) E) 5.. a f () fonk si o nu nun nok ta sın da eks tre mum nok ta sı nın ol ma sı için, a kaç ol ma lı dır? 7 A) B) C) D) E) Şe kil de ki pa ra bo lü nün doğ ru su na en kı sa uzak lı ğı kaç bi rim dir? 7 5 A) B) C) 8 8 D) E) 8 7. C. A. D. D. C 5. A

151 ÜNİTE. f: R {} R fonk si o nu f () ol du ğu na gö re, f l () SINAMA ADIMI kaçtır? A) 8 B) 5 C) D) E) ile verilen f() fonksionu için, f l () kaçtır? A) B) C) D) E). arctant olduğuna göre, In(t ) t için d d kaçtır? 6. f() log ( ) olduğuna göre, l f () aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) In In In A) B) C) D) E) D) E) In In. d (In ) d işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? 7..In fonksionu için, d d aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 6 In B) 8 In C) D) In E) In In A) (In) B) In C) In D) (In ) E) : ln ln D. e t ve e t olduğuna göre, d d aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. f () arctan arccot olduğuna göre, a a A) e t B) e t C) e t D) e t E) e t f l (a) kaçtır? A) B) C) D) a E) a. B. D. C. C 5. C 6. D 7. E 8. A

152 9. f(). sin7. cos7 fonk si o nu için, f' a r k kaçtır? SINAMA ADIMI A) 98 B) 9 C) 5 D) E) 8 9. f() sin olduğuna göre, r ^fof ' '' hc m kaçtır? A) B) C) D) E) ÜNİTE r. f() In(tan) ise, f' a k değeri kaçtır? 8 A) B) C) D) E) 8 5. f() e ol du ğu na gö re, f 5 () kaç tır? (f 5, f in 5. türevini göstermektedir.) A) e 5 B) e C) D) 5 E) 6. d 5 ise d nin A(, ) nok ta sın da ki de ğe ri kaç tır? A) B) C) D) 5 E) 6 6. a c c a f() a. f () fonksionunda l l f () f () olduğuna göre, a kaçtır? Gra fi ği ve ri len fonk si o nun bi rin ci tü re vi nin gra fi ği aşağı da ki ler den han gi si ola bi lir? A) B) c c c c A) B) C) D) E) C) D) a a c c. E) fonk si o nu nun si met ri mer ke zi nedir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) a a D) (, ) E) (, ) 9. B. B. D. A. A. A 5. D 6. B

153 ÜNİTE. f( ) olduğuna göre, f l () kaçtır? SINAMA ADIMI A) B) 9 C) 7 D) 6 E) 5. 6! R için f() m fonksionunun daima artan olması için m nin alabileceği en küçük tam saı değeri kaçtır? A) B) C) D) 5 E) 6. f() sin olduğuna göre, f' c r m kaçtır? 5 9 A) B) C) D) 9 E) 8 6. f() 5 parabolü üzerindeki bir noktanın koordinatları toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 8. f () In fonk si o nu nun e nok ta sın da ki In tü re vi nin de ğe ri kaç tır? A) B) C) e D) E) e e e 7. f () ile tanımlı f: R {} R fonk si o nunun grafiği aşa ğı da ki nok ta lar dan han gi si ne gö re si met rik tir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ). Kö şe le ri ek se ni ve 6 pa ra bo lü üze rin de bulu nan dik dört gen ler den ala nı en bü ük ola nı nın ala nı kaç bi rim ka re dir? A) B) 8 C) 6 D) E) 8 8. f ve g re el sa ı lar da tü re vi alı na bi len fonk si on lar dır. A(, ) nok ta sın da f fonk si o nu nun e rel eks tre mu mu var dır. g(). f() ol du ğu na gö re, g(6) l kaçtır? A) B) 9 C) 6 D) E). C. C. B. E 5. C 6. E 7. B 8. C

154 SINAMA ADIMI 9. u u, u u ise,. f: R R U {} d u için değeri kaçtır? d A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 6 6 f() olduğuna göre, l f ( ) kaçtır? ÜNİTE. f( ) ise f() fonk si o nu nun nok ta sın da ki te ğe ti nin eği mi kaç tır? A) B) C) D) E) 6. f() sin r eğ ri si nin te ki nor ma li nin eği mi ne dir? A) B) C) D) E) 5. f() 8 5 ve g() a b fonksionları verilior. Bu fonk si on la rın eğ ri le ri nin üze rin de ki a nı ap sis li nok ta lar da ki te ğet ler bir bi ri ne pa ra lel ise, a b kaç tır? A) 5 B) C) D) E). f() 5 In( ) olduğuna göre, d f() nin için de ğe ri kaç tır? d A) 6 B) C) D) E) 6 6. T f(). f( ) 5 olduğuna göre, l f ( ) kaçtır? A) B) C) D) E) Şe kil de f() fonk si o nu nun T(, ) nok ta sın da ki te ğe ti çi zil miş tir. f() g () ol du ğu na gö re, g() l kaçtır? A) B) C) D) E) 8 9. A. D. E. B. D. E 5. A 6. C 5

155 ÜNİTE. f() () olduğuna göre, l f () aşağıdakilerden hangisine eşittir? SINAMA ADIMI A) 7.In B) 8.In C).In A) B) C) D) 5 E) 7 D) 7.log e E) 8.log e 5. f() 5 olduğuna göre, l f ( ) kaçtır?. f() arctan(in) olduğuna göre, l f (e) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) D) e E) e e e e cos 6. f () olduğuna göre, r f' c m aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) r B) r C) D) r E). f() ve g() a fonk si on la rı için (f g) l () ol du ğu na gö re, a nın po zi tif de ğe ri kaç tır? A) B) C) D) E) 7. f() olduğuna göre, f'() kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) E).. olduğuna göre, d (, ) kaçtır? d A) B) C) D) E) 6 8. f() cos(arc sin) sin(arc cos) fonk si o nu için, f'() kaçtır? A) B) C) D) E) 6. C. C. D. B 5. C 6. B 7. B 8. B

156 9. f() 5 fonk si o nu nun ta nım lı ol du ğu de ğer ler için olabilir? SINAMA ADIMI (f ) l (8) A) B) C) D) E) kaç 8. f() 6 fonk si o nu nun nok ta sın da ki te ğe ti nin eği mi kaç tır? A) B) 6 C) 8 D) 9 E) ÜNİTE. 9 6 olduğuna göre, ve için d d kaçtır?. f() fonk si o nu nun nok ta sın da ki nor ma li nin eği mi kaç tır? A) 5 B) C) 5 D) E) 5 5 A) B) C) 9 D) E) 6 5. sin eğrisi verilior. Buna göre, d d r kaçtır?. f( ) olduğuna göre, l f ( 5) kaçtır? A) B) 6 C) 5 D) E) A) B) C) D) E) 6. eğrisinin apsisli noktasındaki. A(, a) ve B(a, ) noktaları verilior. AB nin en küçük olması için, a kaç olmalıdır? 7 8 A) B) C) D) E) 5 5 teğeti bu eğrii hangi noktada keser? A) (, ) B) (, 7) C) (, ) D) (, 9) E) (, ) 9. D. A. A. C. C. E 5. B 6. E 7

157 ÜNİTE sin cos. f () ise, e f l () aşağıdakilerden hangisidir? SINAMA ADIMI A) e cos B) e sin C) e cos D) e sin E) e (cos sin) 5. f (). In olduğuna göre, f (e) kaçtır? e e A) B) C) e e e D) E) l e e 6. f(). sin ol du ğu na gö re,. f() e sin olduğuna göre, f l () kaçtır? r r f'' c m fc m top la mı aşa ğı da ki ler den han gi si ne eşit tir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) In e 7. f () olduğuna göre, f l () kaçtır? A) B) C) e D) e E) e t. olduğuna göre,, n( t ) t için d d kaçtır? A) B) C) D) E) 8. fonk si o nu nun bi rin ci tü re vi nin (, ) nok ta sın da ki de ğe ri kaç tır? A) B) C) D) E) 5. f() fonk si o nu nun nok ta sın da ki te ğe ti nin eği mi kaç tır? A) B) C) D) 8 E) 6 9. f().g( ), f ( ) 8 ve g() ol du ğu na gö re, l l g() kaçtır? A) B) C) D) E) 8. C. E. B. B 5. A 6. B 7. A 8. E 9. C

158 SINAMA ADIMI. f() olduğuna göre,. lim h " değeri kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 9. f().in olduğuna göre, l f( h) f() h f () < eşit siz li ği nin çö züm kü mesi aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) (, ) B) (, ) C), a k e D) a,ek E) (, e) e E B O C A Şekilde merkezi O, arıçapı OA OB cm olan dörtte bir çember aı üzerindeki bir D noktasından arıçaplara inen dikme aakları C ve Eʼdir. Bu na gö re, OC DE dik dört ge ni nin en bü ük ala nı kaç cm dir? A) 6 B) 5 C) 6 D) E) D 5 ÜNİTE a. eğ ri si nin asimp tot la rı nın ke sim nok ta sı A(, 5) b ise, a b farkı kaçtır? A) B) C) D) E) 5. f() 9 a fonk si o nu nun e rel mak si mum ve mi ni mum de ğer le ri sı rası la m ve n dir. m ile n ara sın da m 5n ba ğın tı sı ol du ğu na gö re, a kaç tır? A) 7 B) 9 C) D) 5 E) A C c b A B Şe kil de ki gra fik; f() fonk si o nu na ait tir. Gra fi ğe üze rin de ki ap sis li C nok ta sın dan çi zi len te ğet ek sen le ri A ve B nok ta la rı nı kes mek tedir. Bu na gö re, ta ra lı AOB üç ge ni nin ala nı kaç bi rim ka re dir? A) B) 6 C) D) 9 E) 8 B C Şe kil de; % m (BAC) 9 BC bi rim, AB c bi rim ve AC b bi rim ol du ğu na gö re, c b top la mı nın ala bi le ce ği en bü ük de ğer kaç tır? A) 5 B) C) D) E). D. C. D. B. D 5. D 6. A 9

159 ÜNİTE TEKRAR TESTI. f: R R, f() fonksionu için 5. f: R {} R f() fonksionu için f ( h) f ( ) lim h" h f'( ) değeri kaçtır? liminitin değeri nedir? A) B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 A) B) C) 6 D) E). f: R R, f() fonksionu için f ( ) f( ) lim $ 6. f: R R, f() 6 5 fonksionu için f'(a ) 6 ise, a kaçtır? A) B) C) D) E) liminitin değeri kaçtır? A) B) C) 8 D) 7 E) 6. f: R R, f() 5 6 fonksionu için f'( ) f() toplamının değeri kaçtır? A) B) C) D) 9 E) 8 7. f: R { } R {}, f ( ) fonksionu için f'() değeri kaçtır? A) B) C) D) E) f: R R, f() a fonksionu için f'() 7 ise, a nın değeri kaçtır? A) 5 B) C) D) E) 8. f: R R, f() ( ) fonksionu için f'( ) değeri kaçtır? A) 5 B) C) 8 D) 5 E). E. C. B. D 5. B 6. E 7. C 8. B

160 TEKRAR TESTI 9. f: R R, f().( ) fonksionu için. f: R R, f() e fonksionu için f'() değeri kaçtır? f'( ) değeri kaçtır? ÜNİTE A) 6 B) 7 C) 76 D) 8 E) 8 A) B) C) D) E). f: R {} R, f() a a fonksionu için f'( ) ise, a kaçtır? A) B) C) D) E). f: R {} R, f ( ), n fonksionu için f''(e ) değeri kaçtır? A) e B) e C) e D) e E) e 5. f: R R, g() f() fonksionu verilior. m. f: R {} R {}, f ( ) fonksionu için f() in apsisli noktasındaki teğetinin eğimi olduğuna f'() olduğuna göre, m kaçtır? A) B) C) D) 5 E) 6 göre, g() in apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E). f: R R, f() ( a) fonksionu için f'( ) 6 ise, a kaçtır? 6. f() f'() eşitliğini sağlaan f fonksionunun apsisli noktasındaki teğetinin eğimi ise, f() kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) A) B) C) 5 D) 6 E) 7 9. D. B. A. C. C. A 5. A 6. A

161 ÜNİTE TEKRAR TESTI. Köşeleri arıçapı cm olan bir çember üzerinde bulunan dikdörtgenlerden alanı en büük olanın alanı kaç cm dir? A) 6 B) C) D) 8 E) 5. Şekilde üçüncü dereceden bir f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi anlıştır? f A) f'( ) B) f'() > C) f'(). 6 metre uzunluğundaki tel kullanılarak bir tarladan, dikdörtgen şeklinde bir bahçe apılıp etrafı kat tel ile çevrilecektir. Bu bahçenin alanının en büük olduğu durumda köşegen konumundaki uzunluk kaç metredir? D) f'() > E) f() A) 5 B) 75 C) 8 D) 9 E) parabolü üzerinde A(6, ) noktasına en akın nokta B ise, B nin apsisi kaçtır? A) B) C) D) E) Şekilde, [, 6] aralığında türevinin grafiği verilen f() fonksionu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) [, ] de f artandır. B) (, ] aralığında f artandır. C) f nin de erel minimumu var. D) f nin de erel ekstremumu vardır. E) f"(). f: R R, f() fonksionu için f ( ) f( ) lim $ limitinin değeri kaçtır? A) B) C) 8 D) 7 E) 6 7. eğrisi üzerinde M(, ) noktası alınıor. ifadesinin maksimum değeri kaçtır? A) B) C) D) E). B. E. E. C 5. E 6. E 7. B

162 8. 5 TEKRAR TESTI Şekilde grafiği verilen f fonksionu için aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) f'( ) > B) f'( ) C) f'( ) D) f'( ) E) f'( 5 ) <. f: [, ] [, π], f() Arccos fonksionunun azalan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ). eğrisinin düşe asimptotunun olmaması için m 9 m hangi aralıkta olmalıdır? ÜNİTE 9. Şekilde ( ) parabolünün grafiği ( ) A) ( 8, ) B) (, ) C) (, 8) D) (, 8) E) ( 6, 6) verilior. OABC dikdörtgeninin alanı en çok kaç C A B birimkaredir? A) 6 B) 8 C) D) 56 E) 5. < olmak üzere f() e.cos eğrisinin eğik asimptotunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?. (m ) (m ) denkleminin kökleri,, tür. toplamının minimum olması için m kaç olmalıdır? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E). f: R R, f() 6 m 6 fonksionunun erel ekstremuma sahip olmaması için m nin alabileceği değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, ] C) [, ) D) (, ) E) (, ) 5. f() a b c fonksionunun [, ] aralığında ortalama değer teoremini gerçekleen değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E ) 8. D 9. D. E. C. B. E. B 5. C