BÖÜM 4 KASİK OPTİMİZASYON TEKNİKERİ KISITI OPTİMİZASYON 4. GİRİŞ Öcek bölülerde de belrtldğ b optzaso probleler çoğuluğu kısıtlaıcı oksolar çerektedr. Kısıtlaasız optzaso problelerde optu değer ede oksou apısı belrleektedr. Halbuk kısıtlaalı optzasoda aşağıdak örekte de österldğ b kısıtlaıcı oksolar optu çözüü buluasıda öel rol oarlar. Örek 4.: Aşağıdak optzaso problede ede oksou u apa değer buluuz..5.5 3 Kısıtlaalı optzaso probleler kısıtlaıcıı tpe bağlı olarak; eştlk kısıtlaıcılı Equalt Costrat ve eştszlk kısıtlaıcılı Iequalt Costrat olak üzere ke arılır ve er k duru ç arklı aklaşılar optu çözüü elde etek ç kullaılır. 4-
4... Reular pot Düzel okta Kısıtlaıcılı optzaso probleler çözüler ç elştrle larae aklaşı çere etotlar optu oktasıı reular düzel okta olası erekllğ üzere kuruludur. oktası öle br oktadır k bu oktada eştlk kısıtlaıcıları a eşt actve costrats ve bu kısıtlaıcıları radatları. türevler brbrlerde leer olarak bağısızdırlar leer depedec. eer olarak bağısızlık aşağıdak özellkler le verlr: k vektörü radatı brbre paralel olaalıdır era br vektörü radatı dğer vektörler radatlarıı br leer oksou olaalıdır. Hera k vea daa azla vektörü leer olarak bağısız vea bağılı olduğuu belrleek ç bu vektörler leer orda aşağıdak b azılır: k a a... k a ada A 4. Burada a vektörler tesl etektedr. Eğer bu dekle tek çözüü se bu vektörler leer olarak bağısızdırlar. Aks duruda vektörler leer olarak bağılıdırlar. Burada taılaa vektörler kısıtlaıcıları tasarı değşkelere öre oluşturuluş radatlarıır. Örek 4.: Aşağıda verle vektörler leer olarak bağıız olup oladıklarıı kotrol edz. a 6 a 4 3 a 3 6 9 4 Geoetrk olarak leer bağılı vea bağısızlık aşağıdak öreklerle daa detalı olarak verleblr: 4-
4. EŞİTİK KISITAYICIARI Eştlk kısıtlaıcıları aşağıdak ora sap optzaso probleler tva eder:... [ ]... T Burada ve sırasıla kısıtlaıcı oksoları saısıı ve tasarı değşke österektedr. Optu çözü elde etek ç olak zorudadır. Eğer > se proble aşırı taılaış olur overdeed a çok azla saıda kısıtlaıcı çerekte olduğu alaıa elr ve çözüü oktur. Eştlk kısıtlaıcılı optzaso probleler çözüüde çoğulukla aşağıdak etotlarda brs kullaılaktadır. Drekt erleştre etodu drect substtuto Kısıtlaıcı değerledre costraed evaluato arae çarpaları arae ultplers Bu tür optzaso probleler ç erek ve eter şart ukarda verle etotlara bağlı olarak taılaır. 4.. DİREKT YEREŞTİRME METODU Drekt erleştre etoduda kısıtlaıcı oksolarda tasarı değşkeler çeklerek ede oksoa azılır ve dolaısıla proble kısıtlaasız optzaso proble al alır. Ya tasarı değşke ve kısıtlaıcı oksoa sap br optzaso proble teork olarak eştlk kısıtlaıcı çözülür ve değşke er kala - değşke csde ade edlr. Bu adeler ede oksoa azıldığıda kısıtlaıcı oksou çeree optzaso proble elde edlr ve kısıtlaasız optzaso tekkler uulaarak çözü elde edlr. Teork olarak bast br aklaşı olsa da pratkte uulaa üçlükler vardır. Pek çok pratk problede kısıtlaıcı oksolar olear apıdadır ve buları değşkee karşılık - değşke csde ade edles oldukça zordur. 4-3
Örek 4.3: Sabt br V ace sap olacak şeklde k taraı kapalı br sldrk takı u alette al etek ç erekl ölçüler buluuz. Malet olarak kullaıla etal levaı alaı dkkate alıacaktır. Metal levaı br alet C YT olarak kabul edz. Takı arıçapı R ve ükseklğ l olarak alıız. 4.. AGRANGE ÇARPANARI METODU arae çarpaları etodu optzaso teorsde ve optzasoda kullaıla saısal ötelerde oldukça öel br er tutaktadır. arae çarpaları etoduu taılaak ç aşağıdak örek dkkate alııştır. Örek 4.4: Aşağıdak optzaso problede ede oksou u apa değer buluuz..5.5 Çözü 3.3: Bu proble k tasarı değşkee sap olduğuda raksel optzaso uulaarak çözüü elde edleblr ve elde edle çözü aşağıda österlştr. ve Şekl 4.. Proble raksel çözüü 4-4
A-B doğrusu kısıtlaıcı oksou ve easble alaı österektedr. Bu edele optu çözü bu çz üzerde olalıdır. Hede okso se erkez.5.5 ola br çeber dekle österektedr. Şeklde ede oksou.5 ve.75 değerlere karşılık ele zo çzler österlektedr. Şeklde de örülebleceğ b optu okta C oktasıdır. 4... arae çarpalarıa rş Yukarıda verle örekte C oktasıda a şartları sağladığıa bakalı. Optu okta olarak österls. arae çarpalarıı belrleek ve taılaak ç eştlk kısıtlaıcısı br değşkee öre çözersek; φ 4. Burada φ e at br okso olsu. Yukarıdak örek ç aşağıdak b taılaablr: φ 4.3 Dekle 4. ede oksouda azılırsa adelerde ok edlş olur ve sadece e at optzaso problee çevrlş olur: φ 4.4 Bu örek ç ede oksou aşağıdak b belrler:.5.5 Bu oksou erek şartı d / d azılır ve çözülürse ada okta elde edlr. Bu ada oktada ede oksou değer.5 olarak esaplaır. Bu ada oktaı erçekte lokal u oktaı verp veredğ se eter şart şartıa bakılır ve bu örek ç bu şartı sağladığıda bu oktalar şeklde de örüldüğü b erçekte lokal u oktaı verr. d / d 4-5
Yukarıdak çözüde tasarı değşkeler açık br şeklde br oksoda ade edleblektedr. Acak çoğu pratk probleler ç böle br oksou taılaaı kaı oktur. Böle br duruda aşağıda k adılar erçekleştrldğde arae çarpalarıı şle doğası ereğ ortaa çıktığı örülecektr. Dekle 4.3 ç erek şart azıldığıda a esapladığıda aşağıdak ade türev alııdak zcr kuralıda elde edlr: / d d d d d d 4.5 ere φ azılırsa ukarıdak dekle optu oktada aşağıdak bç alır: d d φ 4.6 φ oksou bledğde ukarıdak dekledek / d dφ ades ok edles erekr. Buu ç eştlk kısıtlaıcısı dkkate alıarak optu oktada türev alıırsa aşağıdak ade elde edlr: d d d d φ 4.7 Bu adede / d dφ ades çeklrse / / d d φ 4.8 Bu ade ukarıda ede okso ç azıla deklee azılırsa: / / 4.9 elde edlr. 4-6
Eğer / / ν 4. olarak taılaırsa aşağıdak al alır: ν 4. Bezer duru ç aşağıdak b azılır: ν 4. Bu k dekle ve ades br oktaı ada okta olables ç erek şartları verr ve bu dekleler lal ede era br okta ada okta olaaz. Buradak skaler büüklük larae çarpaı olarak adladırılır. v 4... AGRANGE ÇARPANINI GEOMETRIK ANAMI Gerek şartları azak ç arae oksou dele br okso aşağıda belrtldğ b ede ve kısıtlaıcı oksoları çerecek şeklde azılır: ν ν 4.3 Yukarıda elde edle optu okta ç erek şart larae oksou csde aşağıdak b verlr: 4.4 Vektör orda azılırsa: 4.5 Burada radatı österr ve aşağıdak b açık orda belrtlr: T... 4.6 4-7
Dekle 4. vektör orda düzelerse ν 4.7 Burada 4.8 Dekle 4.6 aşağıdak b düzeleeblr: ν 4.9 Bu dekle erek şartı eoetrk alaıı österr. Ya ada oktada ede oksou radatı ve kısıtlaıcı oksou radatı aı doğru üzerdedr ve larae çarpaı bu ks arasıdak oraı belrtr. Mevcut örek dkkate alıdığıda ada optu oktada ede ve kısıtlaıcı oksou radat değerler 4. ve Bu vektörler şekl üzerde C oktasıda österlştr. İk tasarı değşkee sap br kısıtlı optzaso proble ç arae çarpaları aşağıdak şeklde ade edlr: He ede oksou ve e de kısıtlaıcıı çere larae oksou aşağıdak b verlr: 4. Burada arae çarpaı olarak adladırıla br büüklük olup proble çersde dğer tasarı değşkeler b değer buluacaktır. Bu oksoa bağlı olarak erek şartlar ecessar codtos aşağıdak b verlr: 4-8
4. Verle bu erek şartlar ardııla elde edle ada oktalar arasıda optu ede vere değerler bulablek ç aşağıda verle eter şartlar uulaır. Yeter şart: oksou oktasıda u olası ç aşağıda verle Q oksou de bütü d değerler ç pozt taılı olası erekektedr. d d Q 4.3 Yukarda verle oksou açılıı aşağıdak deterat dekle ardııla verleblr. z polou kökler pozt vea eat taılı olasıa bağlı olarak da oksou u vea aksu olduğu belrlr. 3 3 3 3 3 3 M M z z z 4.4 Burada 4.5 4-9
olarak taılaır. Örek 4.5: Yüze alaı boutları buluuz. A 4π olacak şeklde br sldr ac aksu apacak 4.3 EŞİTİKSİZ KISITAYICII OPTİMİZASYON PROBEMERİ Br öcek bölüde kullaıla arae çarpaları etoduda kısıtlaıcılar eştlk kısıtlaıcıları şeklded. Bu bölüde se aşağıdak tptek optzaso probleler çözüü ç erekl ola şartlar verlecektr.... [ ]... T Bu tür probleler çözüüde kullaılacak etotlara eçede bu tür probleler eştlkl kısıtlaıcılı optzaso problelere çevrlp çevrleeeceğ araştırılır. 4.3.3 EŞİTİK KISITAYICI OPTİMİZASYON PROBEMERİNE ÇEVİRME Eştszlk kısıtlaıcılarıa sap ola br optzaso proble eştlk kısıtlaıcılı br optzaso problee çevrerek daa öcek bölülerde alatıla etotları kullaılır ve optu değerler elde edleblr. Buu ç se Slack evşek değşke taılaır ve bu değşke kares eştszlk kısıtlaıcısıa ekler. Ya:... 4.6 Burada kullaıla slack değşke pozt vea eat olasıda zade karel ades kısıtlaıcıa ekler ve bölece orudak kısıtlaıcı eştlk kısıtlaıcısıa çevrlş olur. Bölece optzaso proble aşağıdak tpe döüştürülür: 4-
4.7 G... Bu tp optzaso probleler çözüü ç br öcek bölüde alatıla arae çarpaları etodu kullaılabılır. Buu ç arae oksou aşağıdak b verlr: 4.8 G Statoar ada oktaları değerler aşağıdak dekleler çözüüde elde edlr.... G... 4.9... Örek 4.6: Aşağıdak optzao proble aarae çarpaları etoduu kullaarak çözüüz..5.5 4.3.4 KUHN-TUCKER K-T GEREK ŞARTARI He eştlk ve e de eştszlk optzaso probleler ç erek şartlar Ku- Tucker erek şartları olarak derleeblr. Bu şartlar slack evşek değşkel ve slack değşkesz olak üzere k türlü verleblr. Aşağıdak optzaso proble dkkate alalı: 4-
... p... [ ] T... Bu proble ç arae oksou aşağıdak şeklde azılablr: p u vs v u s 4.3 Burada νu: arae çarpaı s: slack değşke olarak ataıştır. Bu arae oksoua bağlı olarak K-T erek şartları aşağıdak b verlr. ;...p s s u u ; p ;...... ;... v u... 4.3 Bu şartlar aı zaada. derece erek şartlar rst-order codtos olarak da adladırılır. Bu dekleler reular pot düzel okta dele özel br oktada değerledrlştr. 4-
4.3.4. Ku-Tucker erek şartıı kullaı aacı Ku-Tucker erek şartları k aaç ç kullaılır: verle br oktaı uteel optu olup oladığıı kotrol etede ada u oktaları tesptde kullaılır Ku-Tucker. derece erek şartları le ll öel bazı özellkler aşağıda verlştr: K-T şartları acak reular düzel oktada uulaır. K-T şartlarıı sağlaaa oktalar eğer rreular düzesz oktalar değlse lokal u olaazlar. K-T şartlarıı sağlaa oktalar Ku-Tucker oktaları olara adladırılır. K-T şartlarıı sağlaa oktalar kısıtlı vea kısıtsız olablr. Eğer eştlk kısıtlaıcı varsa ve eştlksz kısıtlaıcıları çbr akt değlse K-T şartlarıı sağlaa bu oktalar statoar oktalardır. Ya bu oktalar u aksu vea döü oktaları olablr. Örek 4.7: Aşağıda verle optzaso proble ç Ku-Tucker şartlarıı azarak optu otaı belrlez. 3 b c bc 3 a d Burada < a < b < c < d ve br sabt değerdr. 4-3
ÖDEV: Aşağıda verle ede oksou u apa ada oktaları arae çarpaları etoduu kullaarak elde edz. 6 4 3 8 9 4-4