BÖLÜM 6 GERÇEK AKIŞKANLARIN HAREKETİ Gerçek akışkanın davranışı viskoziteden dolayı meydana gelen ilave etkiler nedeniyle ideal akışkan akımlarına göre daha karmaşık yapıdadır. Gerçek akışkanlar hareket ederken akışkan partikülleri arasında ve katı sınır üzerinde sürtünme, kayma gerilmeleri meydana gelir. Akımın meydana gelebilmesi için b direnç kvvetlerine karşı iş yapılması gerekir ve b iş için kllanılması gereken fazla enerji ısıya dönüşerek kllanılmayan enerji olarak açığa çıkar. Viskozitenin varlığı akışkan akımlarında fiziksel olarak birbirinden farklı iki akım rejiminin olşmasını sağlar. 1
Laminer ve Türbülanslı Akımlar Gerçek akışkanların hareketinde iki farklı modn varlığı Osborne Reynolds n borlardaki s akımında yaptığı boya deneyleri sonc ortaya çıkmıştır. Bnlar Laminer akım ve Türbülanslı akımdır. Reynolds n deneylerinde laminer akım için boyanın bozlmadan ip gibi bir yörünge çizmekte Türbülanslı akımda ise boyanın tamamen akım alanına dağıldığı, akıma dik doğrltda momentm transferlerinin, yani çalkantılar olşmaktadır Boya İnce tüp Cam bor Vana Reynolds Boya Deneyi
Akımın iki modn ayırmada niceliksel bir büyüklük olarak boytsz Reynolds sayısı kllanılır. Gerçek akışkanlar üzerine gelen kvvetler; Basınç kvveti : F P Ağırlık kvveti : F G Sürtünme kvveti : F V Yüzeysel Gerilim kvveti : F σ Elastisite kvveti : F E Atalet kvveti : F I = F P + F G + F V + F σ + F E F I = m a = ρl 3 T L 4 L = ρ T = ρv L Sürtünme kvveti = F V F d V = µ A = µ L dy L V = µ VL Ataletkvveti Sürtünmekveti ρv L = µ VL ρvl = µ Reynolds Sayısı ρvl VL Re = = (6.1) µ υ V = Akım Hızı L = Karakteristik Boyt υ= Kinematik Viskozite Akışkanlar b kvvetler altında ikişekilde hareket ederler. 1- Laminer Akım (Tabakalı Akım) - Türbülanslı Akım (Çalkantılı Akım) 3
Bor akımlarında Reynolds sayısının büyüklüğüne bağlı olarak laminer akım ve türbülanslı akım sınırları: Re=<000 : Laminer Akım 000< Re < 4000 : Laminer-Türbülans Geçiş Bölgesi 4000=<Re : Türbülanslı Akım Türbülanslı akım içindeki bir noktada hızın x doğrltsnda zamanla değişimi ölçülürse bir ortalama etrafında devamlı salındığı görülür. Hızın ortalama değeri : () Çalkantı hız bileşeni : ( ) Toplam hız : (t) = ± (t) a) Kararlı Akım t a) Kararsız Akım t 4
Ortalamanın tanımına göre verilen (t) eğrisinin altında kalan alan yatayının altında kalan dikdörtgen alanına eşit olmalıdır. Bir boytl akım alanında y ve z doğrltsnda net kütle taşınımı olmadığı için: v = w = 0 x doğrltsndaki hızının (t) (t) çalkantı bileşeninin zamansal ortalama değeri : () v w v= 0 w= 0 v(t) w(t) t t t = 1 T T T (t)dt = ((t) ) dt = = 0 1 T 0 (t) = ± (t) v(t) = v ± v (t) w(t) = w ± w (t) 0 Bir çalkantı bileşeninin zamana göre ortalaması her ne kadar sıfırsa da, v, w gibi iki çalkantı bileşeninin çarpımının zamansal ortalama değeri sıfır olmaz. Hız sapıncının kareler ortalamasının karekökü (k.o.k.) türbülansın şiddeti hakkında bir fikir vermektedir. Bna göre türbülansın rölatif şiddeti aşağıdaki ifade ile tanımlanır. I = Uc Boytl akim icin I = ' ' ' ( + v + w ) V / 3 5
Sürtünmeli Akışkanlarda Hareket Denklemleri Gerçek akışkanların akımında akışkan elemanına etkiyen başlıca kvvetler ağırlık ve yüzeysel kvvetlerdir. Yüzeysel kvvetler: Basınç ve Sürtünme kvvetleri Bileşkesi yüzeye dik değildir. Basınç ve sürtünme kvvetleri yere ve yöne göre değişmeler gösterir σ zz x z y τ τ zy zx τ yz τ xz σ yy τ τ xy yx σ xx Akışkan elemanının yüzeysel kvvetleri üç boytl akışkan akımı için 18 gerilme bileşeninden olşr. Sonsz küçük bir eleman için b 9 bileşen 6 adet birbirinden bağımsız bileşen ile tariflenebilir (τ xy =τ yx, τ yz =τ zy, τ zx =τ xz ) Terimlerin birim hacıma gelen kvvetler olarak alınmasıyla gerilmeler cinsinden hareketin üç doğrltdaki diferansiyel denklemleri: σ x ρ + v + w + = ρ X + x y z t x τ yx + y τ + z zx v v v v τ ρ + v + w + = ρ Y + x y z t x xy σ y + y τ + + z zy w ρ x w + v y + w w z w τ xz + = ρ Z + t x τ yz + y σ z + z B ifadelerin vektör tansör form r dv r ρ = ρ K + dt r [.T ] 6
Sıkışamaz akışkanda ρ=sabit oldğndan s div V = 0 (süreklilikşartı) olr d p ρ = ρ X + µ dt x y ve z doğrltlarında dv p ρ = ρ Y + µ v dt y dw p ρ = ρ Z + µ w dt z Navier-Stokes denklemleri elde edilir. Stokes varsayımına dayanan b ifadelerde viskoz gerilme ile deformasyon hızı doğr orantılıdır. Türbülans Kayma Gerilmesi Türbülanslı kayma gerilmesinin (çalkantı gerilmesinin) elde edilmesinde İmpls-Momentm yöntemi kllanılabilir. Türbülanslı akımın her noktasında akım doğrltsnda + ve ve düşey doğrltda +v ve v hız çalkalanmaları mevcttr. Türbülans kayma gerilmesi b çalkantı bileşenleri tarafından meydana getirilir Akım tabakaları y τ v - -v 7
Türbülans kayma gerilmesi Şekilde gösterilen kontrol hacmindeki momentmn kornm yaklaşımı ile açıklanabilir. Y eksenine dik da yüzeyinden birim zamanda geçen kütlenin meydana getirdiği momentm değişimi; F x ( ) = ρ Q 1 T (T + dt) = ( ρ v da) ( + ) ( ρ v da) v' T τ da + dt = ρ v da y T+dT dt / da = τ x τ = ρ v Türbülans kayma gerilmesi Türbülans kayma gerilmesinin bir zaman aralığındaki ortalama değeri; τ = ρ v Toplam kayma gerilmesi ise akışkanın viskozitesi nedeni ile tabakalar arasındaki sürtünme değerleri dikkate alınarak τ = µ d dy + ρ v Akım alanında bir kesitteki kayma gerilmesi dağılımı deneysel olarak Şekil de gösterildiği gibi elde edilmiştir. d µ τ = ρ v dy d τ = µ + ρ v dy τ 0 8
Hız Dağılım Faktörleri Kinetik Enerji Düzeltme Faktörü Gerçek akımlarda viskoz ve türbülans kayma gerilmelerinin varlığı akımda hız profilini etkileyerek ideal akımlardaki üniform hız kablünden zaklaştırır. Sonçta katı sınırda sıfır olan eğrisel bir hız dağılımı elde edilir. B nedenle ortalama hız değeri ile blnan akımın kinetik enerjisi hız profili üzerinde integrasyonla blnacak karşıtlarından küçük kalmaktadır. V V ρ dq > ρ Q A Q dq da A 3 da = α V 3 1 α = A V 3 A 3 da Orantı sabiti α ya kinetik enerji düzeltme faktörü denir. Bernolli eşitliğinde kinetik enerji yüksekliğinin α ile çarpılarak gerçek akım drmna yglanması gerekir. α kinetik enerji düzeltme faktörü hız profilinin üniformllktan zaklaşma oranında büyür. Laminer bor akımları için α= Türbülanslı akımlarda ise b sabit α=1.0-1.15 Düzensiz kesitteki açık kanal akımlarında α=1.1-1.8 Pratik mühendislik problemlerinde α=1 9
1 β = da AV A Böylece bir kesitteki gerçek akım için momentm ifadesi; dm = β ρ Q V dt Momentm Düzeltme Faktörü Bir kesitteki hız dağılımı üniform değil ise olşan momentm transferi ortalama hız ile hesaplanan momentmdan büyük olacaktır. A A ρ dq > ρ Q V da > β AV Brada β ya momentm düzeltme faktörü adı verilir. Türbülanslı bor akımlarında β=1.005-1.05 Açık kanallarda β=1.01-1.3 Sınır Tabakasının Gelişimi Sınır Tabakası Laminer sınır tabakası Geçiş bölgesi T ürbülanslı sınır tabakası U U U 0.99U δ Viskoz alt tabaka x U serbest akım hızını gösterdiğine göre hız dağılımında 0.99U nn meydana geldiği noktanın katı sınırdan zaklığı sınır tabakası kalınlığı δ olarak kabl edilir. 10
Sınır tabakası akımının laminerden türbülanslıya geçişi için aşağıdaki şekilde tanımlanan Reynolds sayıları bir ölçü olarak kllanılmaktadır. U x U δ Re x = ve Reδ = ν ν Yapılan deneyler b geçişteki kritik Reynolds sayısının düzlem levhalar üzerindeki akım için Rex=500000 ve Reδ=4000, ve bor akımı için Rex=600000 ve Reδ=5000 oldğn göstermektedir. Tam Gelişmiş Türbülanslı Sınır Tabakasının Bileşimi h δ U mak U=0.99U mak Viskoz alt tabaka Dış Bölge İç Bölge Geçiş Bölgesi Türbülanslı bölge (b) Dış Bölge: Türbülans gerilmeleri hakimdir, ancak türbülansın şiddeti türbülanslı iç bölge kadar yüksek değildir (a) İç Bölge: Katı sınıra yakın toplam sınır tabakası kalınlığının %60 ını olştrr. Üç kısımdan meydana gelir: Viskoz Alt Tabaka : Viskoz kayma gerilmelerinin akıma direnç gösterdiği % (1-1.5) δ kalınlıklı çok ince tabakadır. Geçiş Bölgesi:Viskoz alt tabaka ile türbülanslı bölge arasıdır. Türbülanslı Bölge: Toplam kayma gerilmesi içinde türbülans kayma gerilmesinin hakim oldğ bölgedir. 11
Sınır Tabakasının Ayrılması Sınır tabakasının üst sınırı Ayrılma noktası Ayrılma bölgesi Akım çizgilerine yarlanmış cisimlerin profil tasarımı öyle yapılmalıdır ki sınır tabakasının ayrılması mümkün oldğnca cismin mansabına doğr kaysın. Akımı minimm düzeyde rahatsız eden, akım çizgilerine yarlanmış profillere hidrodinamik (veya aerodinamik) profil denir. Akım çizgileri cismin arka kısmına doğr genişlediğinden akım hızı azalır, bna bağlı olarak basınç tekrar büyür. Sınır tabakasının ayrılma bölgesindeki cisim yüzeyinde ayrılma noktasındaki basıncın hakimiyeti söz konsdr. U P τ 0 wake 1
Akımda Batmış Cisimlere Gelen Kvvetler Akım içine yerleştirilmiş bir cisme katı sınır kayma (sürtünme) gerilmeleri ve cismin yüzeyindeki basınç dağılımından kaynaklanan akım düzlemindeki kvvetin iki bileşeni vardır: itki kvveti ve kaldırma kvveti (veya yanal kvvet). İtki Kvveti : Akım yönünde etkiyen kvvettir. Akım içine yerleştirilmiş simetrik bir cisme kayma ve basınç gerilmelerinden kaynaklanan sürtünme itkisi, FD s, ve basınç itkisi, FD p, adı altında iki kvvetin toplamından olşan bir itki kvveti, FD, etkir. B kvvetler aşağıdaki ampirik formda ifade edilebilirler: F D = ρ ( ) U C + C A D s D p F D = C D ρ U A C Ds sürtünme itki katsayısı C Dp basınç itki katsayısı C Ds +C Dp =C D, C D itki katsayısı Geniş cisim Dar cisim Tablo 6.1 Bazı cisimler için C D değerleri Cisim Re C D Dairesel silindir 10 4 1.5 10 5 1. Eliptik silindir :1 4 10 4 0.6 8:1 10 5 0. Kare silindir 3.5 10 4.0 10 4-10 5 1.6 Üçgen silindir 30 o 10 5 1.0 Küre 10 4 0.7 Küp 10 4 1.1 13
Kaldırma Kvveti (Yanal Kvvet) : Akıma dik doğrltdaki kvvettir. Düşey olarak etkimesi halinde kaldırma kvveti, yatay olarak etkimesi halinde yanal kvvet olarak adlandırılır. B kvvetler akım doğrltsna göre simetrik olmayan cisimlerde veya akıma belli bir açıyla yerleştirilmiş cisimler üzerinde meydana gelir F L F D c α F L = C L ρu A Kanat genişliği, c ve znlğ, L ise denklemde A=cL şeklindedir. 14