GERİLME HALİ P A. lim A

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "GERİLME HALİ P A. lim A"

Transkript

1 GERİLME HALİ Şekilde görüldüğü gibi kuvvetler etkisi altında bulunan bir cismi göz önüne alalım ve bu cismi şekildeki gibi bir yüzey ile iki parçaya ayıralım. Ayırma yüzeyleri üzerinde, alana yayılı iç kuvvet bulunacaktır. Ayrılan parçalardan birinin ayırma yüzeyi üzerinde bir A noktasında küçük bir A alan elemanı göz önüne alalım ve bu elemana etkiyen kuvvet P olsun. Birim alana etkiyen kuvvet gerilme olarak tanımlandığında A noktası civarındaki gerilme vektörü aşağıda gösterilen şekilde tarif edilir. lim p = A 0 P A Yukarıda verilen ifadeden de görüldüğü gibi gerilmenin boyutu [K/L 2 ] şeklindedir. Çekimsel birim sistemi kullanıldığında birim olarak kg/cm 2, ton/ mm 2, ton/ m 2,... v.s.; SI birim sistemi kullanıldığında ise birim olarak N/m 2, kn/mm 2, v.s. kullanılır. SI sisteminde kullanılan N/m 2 birimine pascal adı verilmekte olup Pa ile gösterilmektedir. Büyük sayısal değerlerde Pa yerine MPa veya GPa kullanılır.

2 2 Elastisite Gerilme vektörü, genellikle, şekilden görüldüğü gibi, bulunduğu yüzeye dik değildir. Bu nedenle, bu gerilmeye eğik gerilme vektörü adı verilir. Eğik gerilme vektörü normali n olan yüzeydeki gerilmeleri gösrterdiğini belirtmek için p n şekline veya p n (n) şeklinde de gösterilir. Etki tepkiye eşit prensibine göre aşağıda verilen eşitlik yazılabilir. p n (n)= -p n (-n) Eğik gerilme vektörü, şekilde görüldüğü gibi, biri yüzeyin normali doğrultusunda diğeri de yüzeyin teğet düzlemi içinde olmak üzere iki bileşene ayrılabilir. Yüzeye dik olan gerilme bileşenine normal gerilme ve yüzeyin teğet düzlemi içinde bulunan gerilme bileşenine de kayma gerilmesi adı verilmektedir. Kayma gerilmeleri gerektiğinde bulundukları düzlemde iki bileşene ayrılabilirler. Genelde, normal gerilmeler σ ve kayma gerilmeleri ise τ sembolleri ile gösterilir. Normal gerilmenin yönü, yüzeyin dış normalinin yönü (dış normal cismin bulunduğu taraftan diğer tarafa doğru tarif edilmektedir) ile aynı ise bu gerilme çekme gerilmesi aksi takdirde basınç gerilmesi olarak isimlendirilir. Genel olarak çekme gerilmesi artı (+) ve basınç gerilmesi eksi (-) ile gösterilir. İleride yapılacak açıklamalarda da aynı kabul kullanılacaktır. Eğik gerilme vektörü yüzeyin normali ile çakışırsa kayma gerilmesi τ = 0 olur ve bu hale ait gerilmeye asal gerilme veya asal normal gerilme adı verilir.

3 Gerilme Hali 3 Gerilme hali: Yukarıdaki açıklamalardan da görüldüğü gibi, herhangi bir A noktasından geçen ayırma yüzeyi değiştikçe o noktadaki eğik gerilme vektörü de değişir. A noktasında bir gerilme vektöründen bahsediliyorsa ayırma düzleminin de verilmiş olması gerekir. Bir A noktasında, ayırma yüzeyine bağlı olarak, sonsuz eğik gerilme vektörü vardır. Bu vektörler birbirlerinden bağımsız değillerdir; bunlar arasında bir vektörel bağıntı vardır. Bu bağıntıyı bulmak için, şekil 3.4 (a) da görülen A noktasından geçen ve normalleri aynı düzlem içinde bulunmayan üç düzlem ve bu düzlemlerdeki p 1, p 2, p 3 eğik gerilme vektörlerini göz önüne alalım. Normali n olan herhangi bir düzlemdeki p eğik gerilme vektörü; p 1, p 2, p 3 vektörleri cinsinden, şekil 3.4 de görüldüğü gibi A noktasından sonsuz küçük bir dörtyüzlü alıp ve bu dörtyüzlünün dengesinden p = F( p1, p2, p3, n) şeklinde elde edilebilir. Bu bağıntı; p 1, p 2 ve p 3 vektörlerine göre doğrusaldır. Üç düzlem şekil 3.4 (b) deki gibi birbirlerine dik ise gerilme vektörleri arasındaki bağıntı p= λ p + µ p + νp şeklindedir. Burada görülen λ, µ ve ν değerleri n normalinin kosinüs doğrultmanlarıdır. Bu bağıntının bulunuşu ileride verilecektir. A noktasından geçen bütün yüzeylerdeki gerilmelerin bulunması için verilmesi gereken, bir büyüklük düşünelim. Bu büyüklüğün fiziksel adı gerilme halidir (state of stress). Bu büyüklük bir vektör değildir; bu büyüklük; üç vektörün veya aynı şey olan dokuz skalerin oluşturduğu bir büyüklüktür ayrıca daha önce belirtildiği gibi bu büyüklük üç vektörün

4 4 Elastisite doğrusal vektör fonksiyonudur. Doğrusal vektör fonksiyonunun katsayılar tablosu p 1, p 2 ve p 3 vektörlerinin bileşenlerinde oluşur. Bu büyüklüğe matematiksel olarak tansör adı verilir. Yukarıda yapılan açıklamaların sonucu olarak: A noktasındaki gerilme hali tansörel bir büyüklük olup bu tansör, gerilme tansörü olarak isimlendirilir. Gerilme vektörü, gerilme tansörü: Sık kullanılan bu iki terim düşünce bakımından bir karışıklık yaratmaktadır. Sanki gerilme hem tansörel, hem vektörel büyüklük gibi izlenim vermektedir. Gerilme vektörü cisim düşünsel olarak kesildiğinde ortaya çıkan bir büyüklüğün ismidir. Gerilme tansörü ise bir noktadaki gerilme halini verilen bir isimdir. Bu karşılığı önlemek için bazı İngilizce kitaplarda, gerilme vektörü düşünsel olarak ortaya çıktığı için, gerilme vektörü yerine Traction kelimesini kullanmaktadır. Buna yapılan itiraz, gerilme vektörü, gerçek sınırlarda da ortaya çıkar. Bu itiraz göz önüne alınmadan verilme vektörü yerine traction kullanılmaktadır. Gerilme vektörü, alınan yüzeyin normaline bağlı olduğundan vektörlere ait toplama işlemi yapılamaz. Skaler, vektör ve tansör : Fizik yasaları, gözlemcinin uzayda bulunduğu yerden ve baktığı doğrultudan bağımsız olmalıdır. Vektör ve tansör ile yazılan bağıntılar bize bu imkanı sağlar. Birbirine göre ivmeli hareket etmeyen her sistemde vektör ve tansör kullanılarak fizik yasaları aynı şekilde yazılırlar. Koordinat sistemi değiştikçe vektörle ve tansörler değişmez; değişen sadece bileşenlerdir. Temel kavramların incelenmesi sırasında üç boyutlu ve E 3 olarak isimlendirilen, Euclid uzayı ve kartezyen tansörler göz önüne alınacaktır. Skaler: Bazı büyüklükler bilimsel olarak incelenirken sadece değeri veya şiddeti yeterli olmaktadır. Dolayısıyla bu büyüklük bir sayı ile belirlenir. Örneğin; sıcaklık, kütle, enerji, hacım, yoğunluk, alan gibi. Tek sayı ile belirlenen bu büyükler skaler büyüklük olarak isimlendirilirler. Skaler büyüklükler pozitif, negatif ve sıfır olabilir. Skaler kelimesi, ölçü çubuklarının üzerinde bulunan skala dan gelmektedir.

5 Gerilme Hali 5 Vektörler: Bazı fiziksel büyüklükler için şiddet yeterli değildir. Doğrultu, yön gibi değerlere de ihtiyaç vardır. Bunlar üç sayı ile belirlenebilir. Bu üç sayı ile uzayda yönlendirilmiş bir doğru parçasını gösterebiliriz. Bu bir vektördür. Bir P vektörü A noktasından B noktasına çizilen doğru parçası ile gösterilir. P vektörü bazen başlangıç ve son noktalarını kullanarak uuur AB şeklinde yazılır. Fiziksel bir büyüklüğün vektör ile gösterilmesi: Şiddeti, doğrultusu ve yönü bulunan bir büyüklüğün vektör ile gösterilebilmesi için o büyüklükten elde edilen vektörlerin toplamının paralelkenar kuralına uyması gerekir. Aksi halde büyüklük vektör ile gösterilemez. Örnek olarak sonlu yer değiştirmeleri göz önüne alalım: Sonlu yer değiştirmelerin şiddeti ve doğrultusu olmasına karşın vektör ile gösterilemez. Bunun için şekilde görülen kutuyu göz önüne alalım. Kutuyu önce x ekseni etrafında 180 artı yönde sonra y ekseni etrafında 180 artı yönde döndürelim. İki vektör toplandığında 180 (i+j) elde edilir. Bu durumda kutu xy düzleminde x ekseni ile 45 açı yapan eksen etrafında dönmüş olması gerekir. Halbuki kutu z ekseni etrafında artı 180 dönmüştür. Sonlu yer değiştirmeler ait bir diğer örnek: Önceki örnekteki kutuyu önce z ekseni etrafında artı yönde 90 döndürelim. Sonra x ekseni etrafında artı yönde 90 döndürelim; şekil C.8. Kutuyu başlangıç haline getirip önce x ekseni etrafında artı yönde 90 döndürelim. Sonra z ekseni etrafında artı yönde 90 döndürelim; şekil C.8. İki durumda kutunun konumları farklıdır. Dolayısıyla vektörlerin uyması gereken toplamanın sıra değişme özelliğini (Komitatif özellik) sağlamaz.

6 6 Elastisite Tansörler: Bazı fiziksel büyüklükler üç sayı ile belirlenemez, daha fazla sayıya ihtiyaç duyulur. Örneğin bir cismin içindeki bir noktada verilen bir doğrultudaki gerilme vektörünün bulunması gibi. Bunun için üç vektöre; yani dokuz skalere ihtiyaç vardır. Bu üç vektör kullanılarak yeni bir büyüklük teşkil edilir ve bu büyüklüğe tansör adı verilir. Bu büyüklük yardımıyla istenilen doğrultuda gerilme vektörü bulunur. Ayrıca hemen belirtelim ki her dokuz skaler ile bir tansör teşkil edilemez.

7 Gerilme Hali 7 Vektörler ok işareti ile gösterilmesine karşın tansörleri gösteren bir işaret yok. Bu da tansörün bir talihsizliğidir. Burada, ilk olarak 9 sayı ile belirtilen ikinci mertebe tansör üzerinde kavramlar incelenecek ve sonra genelleştirilecektir. Vektörler birinci mertebe, skalerler ise sıfırıncı mertebeden tansördür. Tansörlerin bileşen sayısı 3 n ile belirlenir; burada n sayısı tansörün mertebesidir. Şekil C.15 de görüldüğü gibi bir T tansörü A vektörüne uygulandığında başka bir B vektörü elde edilir; yeni elde edilen vektörün boyu değişmiş ve dönmüştür. Bu işlemin matematiksel ifadesi TA=B şeklindedir. Bir vektöre uygulandığında vektör elde edilen başka operatörler de bulunmaktadır; örneğin vektörel çarpım, bir vektörün rotasyonu gibi. Bunların hepsi tansör değildir. Tansör, vektörden daha üst düzeyde bir büyüklüktür. Vektörler birinci mertebeden, skalerler ise sıfırıncı mertebeden tansörlerdir. Yukarıda bahsedilen gerilme tansörü ise ikinci mertebeden bir tansördür. Üç, dört gibi daha yüksek mertebeden tansörler bulunmaktadır. Tansör kavramına çeşitli şekillerde yaklaşılabilir. a)bu yaklaşımlardan biri, yukarıda olduğu gibi doğrusal vektör fonksiyonlarını kullanarak yapılan yaklaşımdır.

8 8 Elastisite b)bir diğer yaklaşım ise koordinat dönüşümlerini kullanarak yapılan yaklaşımdır. Bu yaklaşım için önce vektör tanımından başlayalım. Üç skaler büyüklük eksen dönüşümünde belirli bir kurala göre değişiyor ise bu üç skaler büyüklük vektör ile gösterilir; aksi halde vektör ile gösterilemez. Bu skalerler vektörün bileşenleri olarak tanımlanırlar. Bu tanım, vektör tanımında klasik olarak kullanılan; üç büyüklüğün bir vektör ile gösterilebilmesi için elde edilen vektörlerin toplamlarının paralel kenar kuralına uymalıdır, tanımı yerine kullanılır. Üç boyutlu uzayda dokuz bileşeni olan bir büyüklük göz önüne alalım. Bu büyüklüğün bileşenleri koordinat eksenlerinin dönmesinde belirli bir kurala göre (bu kuralın ne olduğu ileride belirtilecek) değişirse bu büyüklük bir tansör ile gösterilir. Bu dönüşüme de tansörel dönüşüm adı verilir. Dönüşüm esnasında tansörün bileşenleri değişir kendisi değişmez. Aynen vektörde olduğu gibi; koordinat dönüşümü esnasında vektörün bileşenleri değişir, kendisi değişmez. Ayrıca tansörün (vektörün ok ile gösterilmesi gibi) geometrik gösterilimi yoktur. Bazı hallerde bileşenleri gösterilir; örneğin gerilme halinde dikdörtgen bir prizma üzerine bileşenleri yazılır. Tansörün geometrik gösterilimin olmaması talihsizliğidir. Yukarıda verilen iki tanımdan doğrusal vektör fonksiyonları koordinat eksenlerine bağlı olmadığından üstünlüklüdür. Dönüşüm kurallarını uygulayarak vektör ve tansörlerde koordinat sisteminde bileşenleri (yeni koordinatları) bulunur. Dönüşüm kuralı sabittir; büyüklüğe bağlı değildir. Bu konuya ileride tekrar dönülecek ve kuralın ne olduğu açılanacaktır. Ayrıca dönüşüm esnasında bileşenler arasındaki bazı bağıntılar değişmez. Bu bağıntılara tansörün veya vektörün değişmezleri (invaryantları) adı verilir. Örneğin bir vektörün uzunluğu, bileşenleri cinsinden yazıldığında bu bağıntı dönüşüm esnasında değişmez.

9 Gerilme Hali 9 Gerilme tansörünün teşkili: Bir noktada gerilme hali belirtilirken, genelde (kolaylık bakımından) p 1, p 2, p 3 olarak; normalleri koordinat eksenleri ile aynı doğrultuda olan birbirlerine dik üç kesitteki eğik gerilme vektörleri verilir. Bu dik kesitlerdeki normal gerilmeler, tek indis ile gösterilir: σ x, σ y, σ z gibi, bu indisler normal gerilmelerin doğrultularını belirtir. Kayma gerilmeleri ise kesit içinde ve eksenler doğrultusunda iki bileşene ayrılır. Her bileşen iki indis ile gösterilir. Bu indislerden birincisi kayma gerilmesinin bulunduğu düzlemin normalini, ikincisi ise kayma gerilmesinin yönünü belirtir: τ xy, τ xz, τ yz gibi. τ xy gösteriliminde, x indisi kayma gerilmesinin etkidiği yüzeyin normalini, y indisi ise kayma gerilmesinin doğrultusunu göstermektedir. Gerilme tansörünü belirleyen dokuz skaler şekil 3.5 de görülen gerilme halinde σ x, σ y, σ z, τ xy, τ xz, τ yx, τ yz, τ zx, τ zy dir. Şeklin karışmaması için; şekilde görülemeyen yüzlere ki bu yüzlere, normalleri eksen yönleri ile ters olduklarından eksi yüz denilmektedir, etkiyen gerilme bileşenleri gösterilmemiştir. Etki-tepki prensibine göre görülmeyen eksi yüzlerdeki gerilmeler bunlara paralel ve artı yüzlerdeki gerilmeler ile ters yöndedirler. Şekil 3.5 de verilen elemanın üç ayrı bakış açısı altında görünüşü şekil 3.6 (a)-(c) de verilmektedir. Eksen takımı döndürüldükçe yeni eksen takımında bileşenler farklı değerler alır buna karşın tansör değişmez. Bu dokuz skaler, gerilme tansörünün bileşenleri olarak matris formunda; birinci, ikinci ve üçüncü satırlar sıra ile x,y ve z yüzeylerindeki gerilme bileşenleri olmak üzere bir tabloda aşağıda verilen şekilde yazılır.

10 10 Elastisite σx τxy τxz = τyx σy τyz τzx τzy σz T (3.2) Vektörlerin matris formunda yazılımı tek kolonlu sütun matris şeklindedir; gösterilimi ise, şekil 3.5 de p 1, p 2, p 3 vektörlerinin gösteriliminde olduğu gibi oklar iledir. Gerilme tansörünün dokuz bileşenleri ise şekil 3.5 olduğu gibi eleman kullanılarak bu eleman üzerinde gösterilir. Bu nedenle şekil 3.5 de görülen eleman ileride sık olarak kullanılacaktır. Bazı hallerde gerilme tansörünün elemanları τ ij veya σ ij (i,j=1,3) şeklinde gösterilir. Bu yazım tarzı ile elemanları üzerinde yapılacak toplama işleminin gösterilimi kolaylaşır. İkinci mertebe tansörleri matris formunda yazılmalarına karşın eksen takımı değiştikçe elemanları belirli bir kurala göre değiştiklerinden matristen farklıdırlar. Bu değişimde tansörün bileşenleri değişir kendisi değişmez; sabittir. Gerilme tansörünün simetrik olması: Gerilme tansörünün simetrik olduğunu göstermek için şekil 3.5 de görülen elemanın x, y ve z eksenlerine göre moment dengesini yazalım. Denge denklemleri kuvvetler üzerinde yazılacağında önce verilen gerilmeleri kuvvete çevirmek gerekir. Şekil 3.6 (a)-(c) den görüldüğü gibi, σ normal gerilmelerin meydana getirdiği kuvvetler dengededir. Sadece kayma gerilmelerinin meydana getireceği kuvvetler momenti verir. Elemanın karşılıklı yüzlerde bulunan τ xz, τ zx, τ yz,τ yx kayma gerilmelerinin meydana getireceği dört moment, dört kuvvet çifti şeklinde olup x eksenine diktirler; şekil 3.5. x eksenine göre moment veren kayma gerilmeleri τ yz ve τ zy gerilmeleridir. Buna göre

11 Gerilme Hali 11 ( τ. x. z). y ( τ x. y). z = 0 τ = τ (3.3) yz zy yz zy elde edilir. Yukarıdaki eşitlikte gerilmelerin meydana getirdiği kuvvetler parantez içinde yazılmıştır. Aynı şekilde şekil 3.5 ve şekil 3.6 (b)-(c) den yararlanarak y ve z eksenlerine göre moment alınırsa ( τ zx x. y). z ( τxz z. y). x = 0 τzx = τxz ( τ xy y. z). x ( τyx x. z). y = 0 τxy = τyx (3.4) bulunur. Bu eşitlikler yardımı ile gerilme tansörü için gerekli olan dokuz skaler altıya iner. Yukarıda verilen eşitlikler gerilme tansörünün simetrik olduğunu göstermektedir. Gerilme halinin sınıflandırılması: Bir noktadaki gerilme hali bazı durumlarda altıdan daha az skaler ile belirtilebilir. Bu durumlar özel olmakla birlikte uygulamada çok karşılaşılır. Bunlar tek eksenli ve iki eksenli (düzlem) gerilme halleridir. Bir A noktasından geçen bütün yüzey elemanlarındaki gerilme vektörleri sabit bir doğrultuya paralel ise bu gerilme haline tek eksenli gerilme hali denir. A noktasından geçen bütün yüzey elemanlarındaki gerilme vektörleri aynı bir düzleme paralel ise bu gerilme haline iki eksenli veya düzlem gerilme hali denir. İki eksenli gerilme halinde gerilme tansörü iki boyutlu olup elemanları 2x2 şeklindeki bir matris ile gösterilir. Tek eksenli gerilme halinde, herhangi bir yüzey elemanındaki gerilme vektörünün bilinmesi ile A noktasındaki gerilme hali belirli olur. Gerilme vektörünün doğrultusu bilindiğinde, tek eksenli gerilme hali için bir skalerin verilmesi yeterli olmaktadır. Düzlem gerilme halinde ise gerilme vektörlerinin bulunduğu düzlem bilindiğinde, düzlem gerilme için üç skalerin verilmesi yeterli olmaktadır. Gerilme hali işlemleri: Bir A noktasındaki gerilme vektörü, vektör olarak gösterilmesine karşın yüzeyin normaline bağlı olduğundan vektörlere ait toplama, çıkarma ve dönüşüm kuralları uygulanamaz. A noktasındaki gerilme hali daha önceden bahsedildiği gibi ikinci mertebeden bir tansör, vektörler ise birinci mertebeden bir tansördür. Dolayısıyla toplama, çıkarma ve dönüşüm işlemleri vektörlerden farklı şekilde yapılır. Gerilme vektörünün veya gerilme tansörünün bileşenlerine gerilme bileşenleri adı

12 12 Elastisite verilir. Gerilme vektörü, gerilme bileşenleri ve bir noktadaki gerilme halini birbirleri ile karıştırmamak gerekir. Bu işlemlerin yapılış şekillerinden biri; A noktası civarında alınan kesitler yardımıyla, şekil 3.5 olduğu gibi, boyutları küçük bir eleman çıkartıp bu elemana etkiyen gerilmeleri alan ile çarpıp kuvvete çevirdikten sonra kuvvetler üzerine denge denklemlerini yazmaktır. Göz önüne alınan elemanın boyutları küçük olduğundan gerilmeler elemanın kenarları boyunca değişmez. Kesitler nokta civarında alındığından paralel kesitlerde gerilme vektörleri aynı olur. Dış normalleri ters olan kesitlerde (eksi kesitlerde) ise, etki tepkiye eşit prensibine göre, gerilme vektörlerinin şiddetleri eşit ve yönleri terstir; şekil 3.7. Homojen gerilme halinde denge denklemlerinin yazılacağı eleman kenarlarının sonsuz küçük olmasına gerek yoktur. İki gerilme halini toplamak için önce iki gerilme halinin bileşenleri aynı eksen takımında yazılır sonra bileşenler toplanır. Gerilme bileşenlerini aynı eksen takımına getirmek için dönüşüm bağıntıları da kullanılabilinir.

13 Gerilme Hali 13 ÜÇ EKSENLİ GERİLME HALİ Üç eksenli gerilme halinde birim dış normali n olan bir düzlemdeki gerilme bileşenlerini hesaplamak için şekil 3.27 deki gibi bir dörtyüzlü çıkartalım Şekil 3.27 Eğik düzlemde hesaplanmak istenen gerilme vektörü p olsun. Bu gerilme vektörünün bileşenleri p x, p y, p z ve etkidiği düzlemin birim dış normali, n nin doğrultman kosinüsleri λ, µ, ν olsun (doğrultman kosinüsleri arasında λ 2 +µ 2 +ν 2 =1 bağıntısı vardır). Buna göre p ve n vektörleri aşağıdaki şekilde yazılırlar. p= p i+ p j+ p k, n= λ i+ µ j+ νk (3.30) x y z Burada i, j ve k eksenler doğrultusundaki birim vektörlerdir. abc, obc, oac, oab üçgenlerinin alanları sıra ile F, F 1, F 2, F 3 olduğuna göre x, y ve z doğrultularında denge denklemleri yazıldığında aşağıda verilen denklemler elde edilir.

14 14 Elastisite p. F = σ. F + τ. F + τ. F x x 1 yx 2 zx 3 p. F = τ. F + σ. F + τ. F y xy 1 y 2 zy 3 p. F = τ. F + τ. F + σ. F z xz 1 yz 2 z 3 (3.31) Yukarıda verilen denklemlerde λ=f 1 /F, µ=f 2 /F ve ν=f 3 /F olduğu göz önüne alınarak gerekli düzenleme yapılırsa aşağıda verilen eşitlikler bulunur. p p p = λσ + µτ + ντ = λτ + µσ + ντ = λτ + µτ + νσ x x yx zx y xy y zy z xz yz z px σ x τ yx τ zx λ σx τ yx τzx p = τ σ τ µ = λ τ + µ σ + ν τ y xy y zy xy y zy p z τ xz τ yz σ z ν τ xz τ yz σz (3.32) Yukarıdaki ifade p 1, p 2 ve p 3 vektörlerini kullanarak aşağıda verilen şekilde yazılır. p= λ p + µ p + νp Yukarıda bulunan bağıntı vektörel hesap kullanılarak kısa bir şekilde elde edilir. F yüzeyine etkiyen kuvvet p ve diğer F 1, F 2, F 3 yüzeylerine etkiyen kuvvetler ise p 1, p 2, p 3 (eksi yüzey olduklarından) dir. Bu durumda aşağıda verilen bağıntı yazılır. Fp+ F1( p1) + F2( p2) + F3( p3) = 0 p= F1/ F( p1) + F2/ F( p2) + F3/ F( p3) p= λ p + µ p + ν( p ) Buradan görüldüğü gibi p vektörü; p 1, p 2 ve p 3 vektörlerinin doğrusal vektör fonksiyonudur. Ayrıca (3.32) bağıntısı matris formunda p=t T.n veya p n =T T.n (daha önce belirtildiği gibi bu yazım şeklinde p eğik gerilme

15 Gerilme Hali 15 vektörünün n doğrultusunda olduğu gösteriliyor) şeklinde yazılır. Burada T T gerilme matrisinin transpozesidir. Buradan da tansörün işlemsel tanımı ortaya çıkar: Bir tansör öyle bir operatör ki bir vektör ile önden çarpıldığında başka bir vektör üretir. Normal gerilme σ, gerilme vektörünün yüzeyin normali üzerindeki izdüşümü olduğundan; σ = pn. = λσ + µσ + νσ + 2λµτ + 2λντ + 2µντ (3.33) x y z xy xz yz şeklinde elde edilir. Eğik düzlem içindeki kayma gerilmesi τ ise aşağıda verilen formül yardımı ile hesaplanır τ = p σ Verilen gerilmeler asal gerilmeler (σ1, σ2 ve σ3) ise kesitlerde kayma gerilmeleri bulunmayacağından (3.33) ve (3.34) formülleri aşağıda verilen şekilde yazılır. σ = λσ + µσ + νσ τ = ( σ σ ) λ µ + ( σ σ ) µ ν + ( σ σ ) ν λ (3.35) Asal gerilmeler: Üç eksenli gerilme halinde de asal gerilme ve asal doğrultuların bulunması için (3.32) denklemlerinden yararlanılır. (3.32) denklemlerinde bulunan p vektörü, şiddeti σ ve doğrultman kosinüsleri λ, µ, ve ν olan asal gerilme olarak düşünüldüğünde p x =λσ, p y =µσ, p z =νσ olacaktır. Bu eşitlikler (3.32) denklemine yerleştirildiğinde asal doğrultuların doğrultman kosinüsleri olan λ, µ, ve ν için aşağıda verilen homojen bir denklem sistemi elde edilir. ( σ σ) λ+ τ µ + τ ν = 0 x yx zx τ λ+ ( σ σ ) µ + τ ν = 0 xy y zx τ λ+ τ µ + ( σ σ) ν = 0 xz yz z (3.36) Bu homojen denklem sisteminin sıfırdan farklı çözümü olabilmesi için aşağıda verilen katsayılar matrisinin determinantı sıfır olmalıdır.

16 16 Elastisite σ σ τ τ x yx zx τ σ σ τ = 0 xy y zy τ τ σ σ xz yz z (3.37) Asal gerilmeler bu determinantı sıfır yapan σ değerleridir. (3.37) ile verilen determinantın açılımı aşağıda verilmiştir. 3 2 σ I1σ + I2σ I3 = 0 (3.38) Burada I 1 = σ + σ + σ x y z I 2 = σ. σ + σ. σ + σ. σ τ τ τ I I x y y z z x xy yz zx σ τ τ x yx zx = det( T) = τ σ τ xy y zy τ τ σ xz yz z = σ σ σ σ τ σ τ σ τ + τ τ τ ( x. y. z x. yz y. zx z. xy 2. xy. yz. zx ) (3.39) Yukarıda verilen (3.38) denkleminin her zaman üç tane gerçel kökü vardır. Bu kökler asal gerilmeler olup bundan sonra σ 1, σ 2 ve σ 3 ile gösterilecektir. Bu kökler arasında daha sonraki işlemlerimize esas olmak üzere σ 1 > σ 2 > σ 3 kabulü yapılacaktır. Bu sıralamaya göre en büyük normal gerilme σ 1 ile, ortanca normal gerilme σ 2 ile ve en küçük normal gerilme ise σ 3 ile gösterilmektedir. Ayrıca (3.38) denkleminin katsayıları değişmezlere bağlı olduğundan asal gerilmeler seçilen eksen takımına bağlı değildir. Asal doğrultuları bulmak için hesaplanan asal gerilmeler sıra ile (3.36) da verilen denklem takımına konularak bu denklem takımında bilinmeyen λ, µ, ve ν nün bir birim vektörün doğrultman kosinüsleri olduğu, yani λ 2 +µ 2 +ν 2 =1 olduğu, düşünülerek çözülür. Örneğin σ 1 asal gerilmesine ait asal doğrultunun doğrultman kosinüsleri λ 1, µ 1, ν 1,

17 Gerilme Hali 17 ( σ σ ) λ + τ µ + τ ν = 0 x 1 1 yx 1 zx 1 τ λ + ( σ σ ) µ + τ ν = 0 xy 1 y 1 1 zy 1 τ λ + τ µ + ( σ σ ) ν = 0 xz 1 zx 1 z 1 1 (3.40) λ + µ + ν = (3.41) denklemlerinin çözümünden elde edilecektir. Yukarıda verilen ilk üç denklemin katsayılar matrisinin determinantı sıfır olduğunda yukarıda verilen dört denklem üç bilinmeyene göre fazla sayıda değildir. Çözüm için ilk üç denklemden biri atılır. Değişmezler (invaryantlar): Üç eksenli gerilme halinde değişmezler ise (3.39) ifadesinde verilen I 1, I 2 ve I 3 değerleridir. Elemanın dönmüş hali olarak asal gerilmelerin bulunduğu konum alınırsa aşağıdaki bağıntılar elde edilir. I = σ + σ + σ = σ + σ + σ I I 1 x y z = σ x. σ y + σ y. σz + σz. σx τxy τ yz τzx = σ1. σ2 + σ2. σ3+ σ3. σ = σ x. σ y. σz σx. τ yz σ y. τzx σz. τxy + 2. τxy. τ yz. τzx = σ1. σ2. σ3 (3.42) Yukarıda verilen bağıntıları üçüncü dereceden bir denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki bağıntılar kullanılarak elde edilebilir. Üç eksenli gerilme halinde Mohr dairesi: Herhangi bir kesitin normalinin, asal gerilme doğrularına göre yaptığı açılar sıra ile α,β ve γ olsun. Bu kesitteki σ,τ gerilmeleri σ 1, σ 2 ve σ 3 asal gerilmelerine bağlı olarak (3.35) ile verilmektedir. Bu bağıntılar açılar cinsinden yazıldığında σ = σ cos α + σ cos β + σ cos γ τ = ( σ σ ) cos α.cos β + ( σ σ ) cos β.cos γ + ( σ σ ) cos γ.cos α (3.43) bağıntıları bulunur. Bu bağıntılar kullanılarak üç eksenli gerilme hali Mohr daireleri ile gösterilebilir. İşlemlerin detayı uzun olduğundan burada sadece sonuçlar verilecektir.

18 18 Elastisite Gösterilim için önce σ 1, σ 2 ve σ 3 asal gerilmeler hesaplanır. Mohr daireleri şekil 3.30 da görülen σ 1 -σ 2, σ 1 -σ 3 ve σ 2 - σ 3 çaplı dairelerdir. Herhangi bir kesite karşı gelen nokta (σ,τ) koordinatları ile gösterilirse bu noktalar şekil 3.30 da görülen taralı alan içindedirler. Herhangi bir kesite karşı gelen M noktası, Mohr diyagramında şu şekilde bulunur: Önce kesit normalinin asal doğrultular ile yaptığı α, β ve γ açıları bulunur. Sonra şekil 3.30 da görüldüğü gibi σ 1 ve σ 3 e karşı gelen noktalardan α ve γ açıları yardımıyla A ve B noktaları bulunur. CA yarıçaplı daire ile DB yarıçaplı dairenin kesim noktası M, kesite Mohr dairesinde karşı gelen noktadır. Bu gösterilimde normal gerilmeler işaretli olarak elde edilmesine karşın kayma gerilmeleri mutlak değerleri ile elde edilir. Ortanca gerilme σ 2 den geçen düzlemlerde, β=π/2 dır. α, β, γ açılarının kosinüsleri arasında cos α + cos β + cos γ = 1 bağıntısı vardır. Bu bağıntıda β yerine π/2 konulduğunda cos α + cos γ = 1 α + γ = π elde edilir. Bu sonuç, ortanca gerilme σ 2 den geçen düzlemlere Mohr diyagramımda karşı gelen noktaların, σ 3 σ 1 çaplı çember üzerinde bulunacağını gösterir. Ayrıca şekil 3.30 dan görüldüğü gibi α=π/2 olan düzlemlere ait noktaların σ 3 σ 2 çaplı çember üzerinde ve γ=π/2 olan düzlemlere ait noktaların σ 2 σ 1 çaplı çember üzerinde bulunacaktır. Bu özel durumlar toplu olarak şekil 3.31 (a) da gösterilmiştir.

19 Gerilme Hali 19 Şekil 3.30 ve 3.31 (a) da verilen Mohr diyagramından görüldüğü gibi, üç eksenli gerilme halinde en büyük kayma gerilmesi = (3.44) τ 1 ( σ σ ) max dir. Burada görüldüğü gibi en büyük kayma gerilmesi, en büyük asal gerilme ile en küçük asal gerilmenin farkının yarısına eşittir. Bulunduğu düzlemler ise, β=π/2 olduğundan σ 2 gerilmesinden (ortanca gerilme) geçen ve normali σ 1 ve σ 2 doğrultuları ile 45 lik açılar yapan düzlemdir. Tek eksenli gerilme halinde σ 3 =σ 2 =0 olduklarından Mohr dairesi şekil 3.31 (b) de görüldüğü gibidir. Burada dairelerden birinin yarıçapı sıfır olup diğer iki daire üst üste düşer. Noktalar bölge yerine çember üzerinde bulunurlar. İki eksenli gerilme halinde ise σ 3 =0 olduğundan şekil 3.31 (c) de görüldüğü gibi iki Mohr dairesi merkezden geçer. Asal gerilme doğrultularının belirtiği (σ 1,σ 3 ); (σ 1,σ 2 ); (σ 2,σ 3 ) düzlemlerinde en büyük kayma gerilmeleri σ3 σ1 σ2 σ1 σ2 σ τ τ τ = = = (3.45) dir; şekil 3.32 (a). Bazı yazarlar bu gerilmeleri asal kayma gerilmeleri olarak tanımlarlar. σ 1 >σ 2 >σ 3 olduğu müddetçe τ 13 = τ max dır. Bu gerilmelerin bulunduğu düzlemler sıra ile σ 2, σ 3 ve σ 1 doğrultularında geçer ve normalleri diğer iki doğrultu ile 45 li açı yaparlar. Şekil 3.32 (b) de τ 13 kayma

20 20 Elastisite gerilmesinin geçtiği düzlem ile I ile gösterilen izi ve ayrıca diğer iki düzlemin II ve III ile gösterilen izleri görülmektedir. ÖZEL GERİLME HALLERİ Bazı özel gerilme halleri teknik bakımdan önemli olup bunlara ayrıca göz atmakta fayda vardır. Bu özel gerilme halleri şunlardır: Basit basınç veya basit çekme hali: Tek eksenli gerilme hali olan bu durumun birincisinde σ 0 >0, ikincisinde σ 0 <0 dır. Burada asal gerilmelerin ikisi sıfırdır. Basit kayma: Bu gerilme halinde eleman bir doğrultuda σ 0 ile çekilirken bu doğrultuya dik doğrultuda σ 0 ile basılmaktadır. Eleman 45 döndürüldüğünde, şekil 3.40 da görüldüğü gibi, kesitlerde sadece değeri σ 0 olan kayma gerilmeleri bulunur. Burada ortanca gerilme sıfır olup τ max =σ 0 dır. Hidrostatik basınç: Bu üç eksenli gerilme halinde asal gerilmeler birbirlerine eşit σ 1= σ 2= σ 3= p dir. Bu duruma ait Mohr diyagramı şekil 3.43 de görülen bir noktadır. Diyagramdan görüldüğü gibi hiçbir kesitte kayma gerilmesi yoktur. Bütün kesitlerde normal gerilme σ=-p dir. p basıncı yerine σ 1 =σ 2 =σ 3 =p olduğunda bütün kesitlerde normal gerilme σ=p olacaktır. Oktaedral gerilme: Normali üç asal doğrultu ile eşit açı yapan düzlemlerdeki gerilmelere oktaedral gerilme adı verilir. Bu düzlemler şekil 3.44 de görüldüğü gibi sekiz tanedir ve düzgün sekiz yüzlü oluştururlar. Bu nedenle oktaedral kelimesi kullanılmaktadır. Kesitlere ise oktaedral kesitler adı verilir. Bu yüzlerin normallerinin doğrultman kosinüsleri λ =± 1/ 3, µ =± 1/ 3, ν =± 1/ 3 dir. Bu değerler (3.34) bağıntılarında kullanıldığında oktaedral kesitlerdeki gerilmeler aşağıdaki şekilde elde edilirler σ = λ σ + µ σ + ν σ σ = ( σ + σ + σ )/3 = I /3 (3.45)

21 Gerilme Hali τ ok = σ1 + σ2 + σ3 σ1σ2 σ2σ3 σ3σ1 3 (3.46) τ ok = ( σ1 σ2) + ( σ2 σ3) + ( σ3 σ1) = τ13 + τ12 + τ = I 6 1 I2 3 (3.47) Oktaedrel gerilme, ortalama gerilme olarak da isimlendirilir. Ortalama gerilme σ 0 kullanılarak T gerilme tansörü T=T m +T d gibi iki tansörün toplamı şeklinde yazılır. Bunlardan ortalama gerilme tansörü veya gerilme tansörünün hidrostatik kısmı adı verilen T m tansörünün köşegen üzerindeki bileşenler σ 0 olup diğer bileşenleri sıfırdır. T d tansörüne ise Deviatrik tansör veya gerilme tansörünün kayma kısmı adı verilir. Bu tansörler aşağıda verilmiştir. σ0 0 0 σx σ0 τxy τ xz T = 0 σ0 0 + τ yx σ y σ0 τ yz (3.48) 0 0 σ τ τ σ σ 0 zx zy z 0 Deviatrik tansörün değişmezleri J 1, J 2 ve J 3 olarak tanımlandığında bu değerler gerilme tansörünün değişmezleri I 1, I 2 ve I 3 cinsinden J1 = 0 J2 = ( I1 I2) J3 = I3 I1I2 + I1 (3.49)

22 22 Elastisite şeklinde hesaplanır.. Bu durumda deviatrik tansörün σ* asal gerilmelerini veren (3.37) bağıntısı aşağıda verilen şekilde yazılır. 3 * ( σ*) + J2σ J3 = 0 (3.50) ( σ*) ( 1 I I2) σ * ( I3 I1I2 + I1) = (3.51) Gerilme tansörünün asal gerilmelerini veren (3.37) denkleminde σ=σ*+σ 0 = σ*+i 1 /3 konulduğunda yukarıda (3.51) ile verilen denklem elde edilir. Buradan çıkan sonuç deviatrik tansörün asal gerilmeleri gerilme tansörünün asal gerilmelerinden σ 0 daha küçüktür; yani σ*=σ-σ 0 = σ-i 1 /3 dır. Ayrıca deviatrik tansörün Mohr dairesi, gerilme tansörünün Mohr dairesinin σ 0 kadar sola ötelenmişidir. Bu durumda gerilme halinin birçok özellikleri, deviatrik tansörde de bulunduğu görülebilir; örneğin asal gerilme doğrultularının iki tansörde de aynı olması gibi.

23 Gerilme Hali 23 İNDİS GÖSTERİLİMİ İncelemelerde indis gösterilimi büyük kolaylık sağlar. Örneğin gerilme tansörünün bileşenleri σ 11, σ 12, σ 13, σ 21, σ 22, σ 23, σ 31, σ 32, σ 33 şeklinde gösterilirse bu bileşenler toplu olarak σ ij şeklinde yazılır. İki eksenli gerilme halinde (i,j=1,2) ve üç eksenli gerilme halinde ise (i,j=1,3) dir. Çoğu kez indislerin sınırları belirtilmez. İndis gösteriliminde işlemler daha toplu ve kısa olarak yazılır bunun sonucu olarak işlemler yapılırken detaylar arasında kaybolunmaz, genel prensipler göz önünden bulundurulur; sonuca daha kısa zamanda gidilir. Buna karşın sembollere bir takım anlamlar yüklendiğinden işlemlerden tam yararlanabilmek ve onların fizik anlamlarını tam kavrayabilmek için tecrübe ister. Bu kitapta indis gösterilimi sadece gösterilimi tanıtacak kadar işlem yapılacaktır. İndis gösteriliminde kullanılan bazı kabulleri belirtelim: Eşitliğin herhangi bir terimde tekrarlanan indisler varsa bu indisler üzerinde toplama yapılacağında toplama işareti kaldırılır. Bu işleme toplama uylaşımı adı verilir. Toplama uylaşımına örnek aşağıda verilmiştir. 3 3 * * tr = jinn tj ri tr = jinn tj ri i= 1 j= 1 σ σ σ σ Tekrarlanan indislere sesiz indis, diğer indislere serbest indis adı verilir. Tekrarlanan indis gerektiğinde kullanılmayan başka indis ile değiştirilebilir. Tekrarlanan bazı indisler üzerinde toplama yapılmayacak ise bu indislerin altı çizilir veya eşitliğin yanına indisi üzerinde toplama yapılmayacak diye yazılır.

24 24 Elastisite İndis kullanımında birden fazla anlama gelen ne olduğu belirsiz ifadeler kullanılmamalıdır. Örneğin a i =b j ; a ij =b kl gibi. Veya bir terimde ikiden fazla tekrarlanan indislerin kullanılması gibi a iii. İndis gösteriliminde türev işlemi virgül yazıldıktan sonra türev alınacak değişkenin indisi yazılır. Aşağıda bir f fonksiyonu ve gerilme tansörünün türetilmesi işleminin gösterilişi verilmektedir. f σ = f = σ x i ij, i ij, i xi İşlemlerin kısaltılmış gösterilimde her hangi bir şüpheye düşülünce, indisin bir kaç değeri için kısaltılmış gösterilimi açıp kontrol etmekte fayda vardır. İndis gösteriliminde kullanılan iki sembol vardır. Bunlardan birincisi Kronecker deltası adı verilen sembol δ ij şeklinde tanımlanır. 1 i = j toplama yok δij = 0 i j Kronecker deltasına ait bazı özellikler aşağıda verilmiştir. δij = δ ji δii = 3 δi i = 1 ( toplama yok, altı çizili) δijaj = ai δijai = aj δijajk = aik δ jkaik = aij δijaij = aii δijδij = 3 δiλ. δ jλ = δij δ ij = İkinci sembol ise permütasyon sembolü adı verilen e ijk olup tanımı e ijk =0 herhangi iki indis birbirine eşitse. e ijk =1 (i,j,k sıralanışı 1,2,3; 2,3,1, 3,1,2) e ijk =-1 (i,j,k sıralanışı 1,3,2; 3,2,1, 2,1,3)

25 Gerilme Hali 25 Vektör ve matrislerin indis gösterilimi ile yazılması: Birim vektörler olan i, j, k vektörlerini i 1, i 2, i 3 ile kartezyen koordinat x,y,z yi x 1, x 2, x 3 ile gösterelim. Bu durumda A vektörü A= Ai şeklinde yazılır. Skaler çarpım: ii. = δ A.B= Ai. B i = A. Bδ = AB i j ij i i j j i j ij i i Vektörel çarpım: i j = e ijk k = A i i B j j = AB i j e ijk k i i i i i A B i i i φ φ = i = φ, i ( = i + i + i ) xk x1 x2 x3 A1 A2 A3. A= Ak, k ( diva = + + ) x1 x2 x3. A= ii Aj. i j = ii. i j Aj = δijaj, i = Ai, i x x Gradyent: k k k Diverjans: Aj Rotasyon: A = i A = = A, e x i x i i i i i j j i j j i ijk k i i i Matrisler:A matrisi elemanları a ij ile gösterilsin. i satır, j sütun numaralarını göstermektedir. A(mxn) matrisin boyutlarını gösterir. A=( a ij ) (i=1,m; j=1,n) İki matrisin toplanması: C( mn, ) = A( mn, ) + B ( mn, ) cij = aij + bij T Matrisin transpozesi: A= ( a ) A = ( a ) ij Simetrik matris ve antisimetrik matris: Simetrik bir matriste a ij = a ji olup A= A T dir. Antisimetrik bir matriste ise a ij = -a ji dir. Bir matris simetrik ve antisimetrik olarak iki matrise aşağıda verilen şekilde ayrılırlar. 1 1 aij = ( aij + aji ) + ( aij aji ) = a( ij) + a[ ji] 2 2 Yukarıdaki yazılımda indislerdeki parantezler matrisin simetrik parçasını köşeli parantezler ise antisimetrik parçasının göstermeketedir. Birim matris: I = ( ) δ ij ji

26 26 Elastisite İki matrisin çarpımı: C ( mn, ) = A ( mp, ) B( pn, ) c = ab ( i= 1, m; j= n, p; k= 1, p) C=AB T T C=A B c c = a b ij ik jk = a b ij ki kj tr( A ) = aii tr( AB ) = aikbki Bir matris ile vektörün çarpımı: ij ik kj C ( m) = A ( m, n) B ( n) c = a b ( i = 1, m; k = 1, n) TANIMLAR: Bir matrisin tersi: i ik k A A. A = A. A= I ( A.B.C) = C. B. A ( A.B.C) = C. B. A (A kare matris) T T T T Ortogonal matris: 1 T T =. = A A A A I Benzer matrisler: A= S -1-1 BS(veya A= S BS ) eşitliğini sağlayan bir S matrisi var ise A ve B benzer matrislerdir. Bir noktaya göre moment: M=rXF şeklindedir. r vektörünün bileşenleri x i ve F vektörünün bileşenleri F j olsun Bu bağı M= r F= x i Fi = xf e i i i j j i j ijk k M k = eijk xf i j Mi = ekjixkfj = ejkixjfk = eijk xjfk Diverjans teoremi (Green-Gauss teoremi):yüzey üzerinde alınan bir integrali hacım üzerinde alınan bir integrale çevirir veya tersini yapar.

27 Gerilme Hali 27 V V. Adv = An. ds V Adv = Ands. S ii, i i S σ ji, jdv = σ ji j S n ds ÜÇ EKSENLİ GERİLME HALİNDE DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI Dönüşüm bağıntıları: Dönüşüm bağıntıları için şekil 3.45 (a) da verilen elemanı göz önüne alalım. Bu elemanda σ harfi ile gösterilen gerilmeler, gerilme tansörünün eksen takımındaki bileşenleridir. 1*-2*-3* ile gösterilen dönmüş eksen takımında alınan eleman şekil 3.45 (b) de görülmektedir. Dönmüş eksenler ve dönmüş eksen takımındaki gerilme bileşenleri * işareti ile gösterilmiştir. Şekil3.46 de görülen ve normali 3* olan yüzeydeki p gerilme vektörünün bileşenleri (3.32) bağıntıları yardımı ile açık matris formunda, ayrıca toplama işareti kullanılarak aşağıdaki şekilde yazılır. p1 σ11 σ21 σ31 n31 3 p 2 = σ12 σ22 σ 32 n 32 pi = σ jin3j ( i = 1,3) (3.48) j= 1 p3 σ13 σ23 σ33 n33

28 28 Elastisite Yukarıda verilen bağıntılarda görülen n 31, n 32, n 33 değerleri 3* ekseninin sıra ile 1,2 ve 3 eksenleri arasındaki α 31, α 32, α 33 açılarının kosinüsleridir. Bu açılar şekil 3.47 de görülmektedir. Gerilme tansörü T ile gösterildiğinde yukarıda yazılan bağıntı kompakt matris formunda p= T n (3.49) T *. 3 şeklinde yazılır. Burada T T büyüklüğü T gerilme matrisinin transpozesidir. Şekil 3.46 da görüldüğü gibi p 1, p 2 ve p 3 bileşenleri; eğik gerilme vektörünün 1,2 ve 3 doğrultusundaki bileşenleridir. Dönüşüm bağıntıları için, p eğik gerilme vektörünün 1*,2* ve 3* doğrultularındaki bileşenleri gereklidir. p vektörünün sıra ile 1*,2* ve 3* doğrultusu üzerindeki izdüşümü, σ* 31,σ* 32 ve σ* 33 gerilmelerini verecektir. Bu izdüşümleri hesaplamak için 1*, 2* ve 3* doğrultularının n* 1, n* 2 ve n* 3 birim

29 Gerilme Hali 29 vektörlerini bilmek gerekir. 1* doğrultusunun doğrultman kosinüsleri n 11, n 12, n 13, 2* doğrultusunun doğrultman kosinüsleri n 21, n 22, n 23 ve 3* doğrultusunun doğrultman kosinüsleri n 31, n 32, n 33 olsun. Bu durumda σ σ σ = pn. = ( pi + p i + p i ).( n i + n i + n i ) * * = pn. = ( pi + p i + p i ).( n i + n i + n i ) * * = pn. = ( pi + p i + p i ).( n i + n i + n i ) * * (3.50) yazılır. Yukarıdaki denklemler toplama işareti kullanıldığında kısa olarak σ 3 * 3r pn i ri i= 1 = ( r= 1,3) (3.51) şeklinde yazılır. Bu bağıntıda bulunan gerilme vektörünün bileşeni p i nin değeri (3.48) bağıntısından alınıp bu bağıntıda yerine konulduğunda σ 3 3 * 3r σ jin3jnri i= 1 j= 1 = ( r= 1,3) (3.52) elde edilir. Bu şekilde normali n* 3 olan düzlemdeki gerilme bileşenleri bulunur. 3 indisi yerine t (t=1,3) yazıldığında normali n* 1, n* 2, n* 3 olan kesitlerdeki gerilmeler bulunur. Bağıntı aşağıda verilmiştir. 3 3 * tr σ jinn tj ri i= 1 j= 1 σ = (, tr= 1,3) (3.53) σ 3 3 * ij = σ jinn tj ri i= 1 j= 1 1*,2* ve 3* doğrultularına ait n ij değerleri n n n N (3.54) = n21 n22 n 23 n n n

30 30 Elastisite şeklinde bir matris ile gösterilir. Bu matris ortogonal bir matristir; yani tersi transpozesine eşittir. Ayrıca matrisin determinantı birdir; yani 1 T N = N det( N ) = 1 (3.55) dir. Burada bir kez daha belirtelim ki n ij gösterilimde birinci indis * ile gösterilen eksen takımındaki ekseni göstermektedir; örneğin n 23 elemanı 2* ekseni ile 3 ekseni arasındaki açıyı göstermektedir. T ve N matrisleri yardımı ile gerilme tansörünün dönüştürülmüş bileşenleri aşağıda verilen şekilde yazılır. * T T = NTN.. (3.56) N matrisinin başka bir özelliğini burada belirtelim. 1,2,3 eksen takımında birim vektörler n 1, n 2 ve n 3 olsun; 1*,2*,3* eksen takımında birim vektörler n* 1, n* 2 ve n* 3 olsun; şekil Bu iki birim vektör grupları arasında * * n1 = n11n1+ n12n2 + n13n 3 n 1 n11 n12 n13 n 1 * * n2 = n21n1+ n22n2 + n23n 3 2 n21 n22 n n = 23 n2 (3.57) * * n3 = n31n1+ n32n2 + n 33n3 3 n31 n32 n n 33 n3 bağıntısı vardır. Bu bağıntılar n 1, n 2 ve n 3 birim vektörlerini sıra ile n* 1, n* 2 ve n* 3 doğrultularına izdüşürerek bulunur. Ayrıca yukarıda verilen bağıntının tersi, N -1 = N T den dolayı kolayca bulunur. * 1 * T * n = Nn. n= N. n = N. n * 1 Dönüşüm.. T T = NTN = NTN.. şeklindedir. Bu şekilde yapılan dönüşümlere benzerlik dönüşümleri adı verilir ve T ile T* matrisine benzer matrisler denir. Benzer matrislerin özdeğerleri aynıdır. Dolayısıyla dönüşümden elde edilen bütün matrislerden aynı asal normal gerilmeler elde edilir. Burada

31 Gerilme Hali 31 şunu bir kez daha belirtelim ki matrisler gerilme tansörünün bileşenlerini gösterdiklerinden, dönüşümde gerilme tansörünün bileşenleri değişmektedir; kendisi değişmemektedir; vektörlerde olduğu gibi. Bir vektörün bileşenlerinin dönüşümü: Şekil 3.50 de görülen F vektörünün 1,2,3 eksen takımında bileşenleri F 1, F 2 ve F 3 olsun. Bu bileşenler sıra ile 1*,2* ve 3* eksenleri üzerine izdüşürülerek F vektörünün 1*2*3* eksen takımında F* 1, F* 2 ve F* 3 bileşenleri F = Fn + F n + Fn * F = Fn + F n + Fn * F = Fn + F n + Fn * (3.58) şeklinde elde edilir. Bu bağıntılar toplama işareti altında kısa olarak aşağıda verilen şekilde yazılır. 3 * j i ji i= 1 F = Fn ( j = 1,3) (3.59) Tansörün koordinat dönüşümlerine bağlı olarak tanımı: Doğrusal vektör fonksiyonlarını kullanarak tansörün tanımını daha önce verilmişti. Tansörün tanımı koordinat dönüşümlerini kullanarak da yapılabilir. Bir büyüklüğün bileşenleri koordinat dönüşümlerinde (3.53) bağıntısına göre değişiyor ise bu büyüklük bir ikinci mertebe tansördür. Tansörün boyutu ise mertebesinden farklıdır. (3.53) de görülen ikinci mertebe tansör üç boyutludur. Düzlem gerilme halinde gerilme tansörü iki boyutlu tansördür. Mohr dairesi tansörel dönüşümün grafik gösterilimidir.

32 32 Elastisite Yukarıda (3.59) ile verilen bir vektörün bileşenlerinin dönüşümü de aynı kurala göre değişmektedir. Dolayısıyla vektörlerde tansörel büyüklüklerdir. Yalnız mertebesi birdir. Bu şekilde tanımlanan vektörler paralel kenar kuralını sağlarlar. Skalerler eksen dönüşümünde değişmezler. (3.53)-(3.59) denklemleri skalerler için yazıldığında n ij değerleri bulunmayacaktır. Dolayısıyla skalerler sıfırıncı mertebeden tansördür. Yüksek mertebeden tansörler de tanımlanır; örneğin bir M büyüklüğü üçüncü mertebeden tansör olması için bileşenleri için aşağıda verilen dönüşüm bağıntısı geçerli olmalıdır * mnp ijk mi nj pk i= 1 j= 1 k= 1 M = M n n n (3.60) Yüksek mertebeden tansörler matematiksel bir meraktan tanımlanmamıştır. Yüksek mertebeden tansörlerin mekanik ve diğer bilim dallarında kullanılmaktadırlar. Dördüncü mertebeden bir C tansör toplama uylaşımı kullanılarak aşağıda verildiği gibi yazılır. C = C n n n n (3.61) * mnps ijkl mi nj pk sl Yukarıda verilen tanımları biraz daha genelleştirmek için iki koordinat takımı tanımlayalım. Birisi x i diğeri x* i olsun. Bunlar arasında x = x ( x, x,, x ) k = 1, n * * k k 1 2 n x = x ( x, x,, x ) k = 1, n * * * k k 1 2 k bağıntıları olsun. Bu bağıntılar yardımı ile ikinci mertebeden tansörel dönüşüm aşağıda verilen şekilde tanımlanır. A * pr x x = x i j * * p xr A ij

33 Gerilme Hali 33 GERİLME HALİNİN DİFERANSİYEL DENGE DENKLEMLERİ Gerilme halinin diferansiyel denge denklemleri düzlem gerilme hali için elde edilecek. Bulunan denklemler sonra üç eksenli gerilme haline genişletilecektir. Bir noktada gerilme halini belirleyen gerilme tansörü noktanın bulunduğu noktaya bağlıdır; yani σ x = σ x (x,y);σ y= σ y (x,y) ve τ xy= τ xy (x,y) dir. Şekil 3.51 da görüldüğü gibi kenarları sonsuz küçük ve kalınlığı t olan bir eleman alalım. Bu elemana etkiyen kütle kuvvetlerinin bileşenleri K x ve K y olsun. Elemana etkiyen gerilmeleri kuvvetlere çevirip x ve y doğrultusunda izdüşüm denge denklemleri yazıldığında σ τ x yx σx. yt. + ( σx + x). yt. τyx. xt. + ( τyx + y) xt. + Kx. y. xt. = 0 x y σy τxy σy. xt. + ( σy + y). xt. τxy. xt. + ( τxy + x) yt. + Ky y. xt. = 0 y x bulunur. Bu bağıntılar düzenlendiğinde (3.62) σ τ x yx + + K x = 0 x y τ xy x σ y + + K y = 0 y (3.63)

34 34 Elastisite denklemleri elde edilir. Bu bağıntılara diferansiyel denge denklemleri adı verilir. Eleman üzerinde moment denge denklemi yazıldığında τ xy= τ yx den dolayı bağıntılar özdeş olarak sağlanır. Bu bağıntılar üç boyutlu hale genişletildiğinde aşağıda verilen sonuçlar bulunur. σ τ x yx τzx K x = 0 x y z τxy σ y τzy K y = 0 x y z τ τ xz yz σz K z = 0 x y z (3.64) Burada görüldüğü gibi düzlem gerilme halinde üç gerilme bileşeni uzay gerilme halinde altı gerilme bileşeni bilinmemektedir. Buna karşın düzlem gerilme halinde iki uzay gerilme halinde 6 bilinmeyen bulunmaktadır. Bu durumda gerilme problemi statikçe belirli olmayan bir problemdir. Dolayısıyla gerilme problemini çözmek için şekil değiştirmeleri göz önüne almak gerekir. Yukarıda verilen bağıntılar indis gösterilimi ile aşağıda verilen şekilde yazılır. σ + K = ji, j i 0 Yukarıda verilen bağıntıyı denklemleri indis formunda yazarak elde edelim. Cisimden şekilde görülen dv hacım elemanını çıkartalım. Bu elemanın hacmı dv ve yüzeyi ds olsun. Bu elemanan gelen kütle kuvvetleri K i ve yüzey gerilmeleri T i ile gösterilsin. Elemanın izdüşüm denge denklemlerinden aşagıda verilen bağıntı elde edilir.

35 Gerilme Hali 35 Tds+ Kdv= 0 σ n ds+ Kdv = 0 i i ji j i S V S V ( σ ji, j + Ki ) dv = 0 σ ji, j + Ki = 0 V İkinci olarak moment denge denklemlerini yazalım. v M = e x T ds+ e x K d = 0 i ijk j k ijk j k S V Yukarıda verilen birinci integraldeki terimi Gauss-Green teoremi yardımı ile hacim üzerinde yazalım. eijk xjtk ds= eijk xjσlktds l = ( eijk xjσlk ), l dv S V V ( e x σ ) dv= e ( δ σ + x σ ) dv= e ( σ + x σ ) dv ijk j lk, l ijk jl lk j lk, l ijk jk j lk, l V V V V e ( σ x K ) dv ijk jk j k Bulunan bu değer Moment denkleminde yerine konulursa M = e ( σ xk ) dv+ e xkdv = 0 i ijk jk j k ijk j k V V e. σ = 0 ijk jk

36 36 Elastisite bulunur. Yukarıda bulunan bağıntıda j,k indisleri üzerinde toplama var. i=1 alındığında eijk değerleri e 111, e 112, e 113, e 121, e 122, e 123, e 131, e 132, e 133 değerlerini alacak. Bu değerlerden sıfır olmayan değerler e 123, e 132 dir. Bu durumda σ σ = 0 σ = σ bulunur. Aynı şekilde i=2 ve i=3 alınarak σ13 = σ31 σ12 = σ21 elde edilir. Bu sonuçlar daha önce bulunan gerilme tansörünün simetrik olduğunu göstermektedir. Örnek Problem : Şekilde görülen gerilme halinde birimler MPa dır. a) Verilen gerilme haline ait noktadan geçen normali x, y ve z eksenlerini sıra ile eşit açılar yapan ve normalinin kosinüs doğrultmanları artı olan düzlemdeki gerilmeleri bulunuz. b) Asal gerilmeleri ve doğrultularını bulunuz. c) I 1, I 2 ve I 3 değişmezlerinin, elemanın şekilde verilen konumda yazılması ile asal gerilmeler cinsinden yazılmasında aynı olduğunu sayısal olarak gösteriniz. a) λ = µ = ν olduğundan + + = 1 den = = = 1/ λ µ ν λ µ ν

37 Gerilme Hali 37 bulunur. Verilen düzlemdeki gerilme vektörünün x,y ve z eksenleri doğrultularındaki bileşenleri p / 3 x 23,09 p y = / 3 = 31,75 pz / 3 31,75 dir. Kesit içinde ve kesite dik bileşenler aşağıda verilmiştir. σ = pn. = 23,09.(1/ 3) + 31,75.(1/ 3) + 31,75.(1/ 3) = 49,99 MPa τ = p σ = + + = 23,09 31,75 31,75 49,99 7,02 MPa

38 38 Elastisite

39 Gerilme Hali Örnek Problem : gerilme tansörünün bileşenlerini; a) Şekilde verilen 1*2*3* eksen takımında; b) n*1=-0,7276i+0,3229j+0,6053k, n*2=0,6568i+0,5826j+0,4787k, n*3=-0,1981i+0,7458j-0,6360k birim vektörleri ile verilen 1*,2* ve 3* eksen takımında hesaplayınız. Çözüm: Önce doğrultman kosinüsleri matrisinin hesaplanması gerekir. 1*,2* ve 3* eksenleri ile 1,2 ve 3 eksenleri arasındaki açılar ve bunların doğrultman kosinüsleri aşağıda verilmiştir. o o o ,8660 0,5000 0,0000 o o o Açılar = = 0,5000 0,8660 0,0000 N o o o ,0000 0,0000 1,0000 Yukarıda verilen matris ve gerilme tansörünün eksen takımındaki bileşenleri kullanılarak gerilme tansörünün 1*2*3* eksen takımındaki bileşenleri

40 40 Elastisite 0,8660 0,5000 0, ,8660 0,5000 0,0000 * T = 0,5000 0,8660 0, ,5000 0,8660 0,0000 0,0000 0,0000 1, ,0000 0,0000 1, , , ,4808 * T = 22, , , , , ,0000 olarak bulunur. Yapılan dönüşümün kontrolü, değişmezlerin iki eksen takımında hesaplanması ile yapılır. İki halde de I1=180, I2=8775 ve I3= dir. b) Verilen n1, n2 ve n3 vektörleri bir birlerine dik ve birim olmalıdır. Birinci kontrol n1.n2= n2. n3= n3.n1=0 ile ikinci kontrol boylarının uzunluğu ile yapılır. Bu kontroller yapıldığında verilen üç vektörün birim vektör ve birbirlerine dik oldukları görülür. T, gerilme tansörü ile N doğrultman kosinüsleri matrisi aşağıda verilmiştir ,7276 0,3229 0,6053 T= ,6568 0,5826 0,4787 N = ,1981 0,7458 0,6360 Yukarıda verilen değerler kullanılarak N.T.N T matrisi hesaplandığında 0,7276 0,3229 0, ,7276 0,6568 0,1981 * T = 0,6568 0,5826 0, ,3229 0,5826 0,7458 0,1981 0,7458 0, ,6053 0,4787 0, ,3964 0,0001 0,0000 * T = 0, ,2657 0,0001 0,0000 0, ,3378 olarak bulunur. Bu beklenen sonuçtu. Çünkü verilen doğrultular asal doğrulardır. Dolayısıyla dönüşüm sonunda kayma gerilmeleri sıfır olacak normal gerilmeler ise asal gerilmeler olacaktır.

41 Gerilme Hali 41 Örnek Problem: Önceki problemde verilen tansörün deviatrik parçasının asal gerilmelerini ve doğrultularının bulunuz. Çözüm: Ortalama gerilme σ 0 =( )/3=60 Deviatrik Tansör: T d = = Deviatrik tansörün değişmezleri J 1 =0 J 2 =-2025 J 3 =20500 Asal gerilmeleri veren çokterimli σ σ-20500=0 Asal gerilmeler σ* 1 =49,40 σ* 2 =-10,73 σ* 3 =-38,66 olup kontrol için Asıl gerilme halinin asal gerilmelerinden σ 0 gerilmesi çıkarıldığında deviatrik gerilme tansörünün asal gerilmeleri bulunur. Hesaplar aşağıda verilmiştir. σ* 1 =109,40-60=49,40 σ* 2 =49,27-60=-10,73 σ* 3 =21,34-60=-38,66 Deviatrik gerilme tansörünün asal gerilme doğrultuları hesaplandığında asıl gerilme tansörünün asal gerilme doğrultuları ile aynı olduğu görülür T gerilme tansörünün değişmezler I 1 =180 I 2 =8775 I 3 = olduğuna göre aşağıda verilen bağıntılar sayısal olarak sağlatılıp değişmezlerin kontrolü yapılabilir.

42 42 Elastisite J = 0 J = ( I I ) J = I I I + I J 2 = ( ) = J 3 = = Örnek Problem :Polar ve silindirik koordinatlarda diferansiyel denge denklemlerini yazınız. Düzlemde polar koordinatlarda diferansiyel bağıntılar. σ r 1 τr θ σr σθ Kr = 0 x r θ r τ rθ = τ rθ τr θ 1 σθ τr θ Kθ = 0 r r θ r

43 Gerilme Hali 43 Silindirik koordinatlarda diferansiyel bağıntılar. σ r 1 τr θ τzr σr σθ Kr = 0 r r θ z r τr θ 1 σθ τθz τr θ Kθ = 0 r r θ z r τzr 1 τθ z σz τzr K z = 0 r r θ z r τ = τ τ = τ τ = τ rθ rθ zr rz zθ θz

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ 3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F

Detaylı

STATIK MUKAVEMET. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ

STATIK MUKAVEMET. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ STATIK MUKAVEMET Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ STATİK DENGE KOŞULLARI Yapı elemanlarının tasarımında bu elemanlarda oluşan iç kuvvetlerin dağılımının bilinmesi gerekir. Dış ve iç kuvvetlerin belirlenmesinde

Detaylı

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan

Detaylı

ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ

ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ GİRİŞ Önceki bölümde cisme etkiyen kuvvetlerin dengesi incelenerek gerilme kavramı geliştirildi. Bu bölümde ise şekil değiştiren cisim mekaniğinin en önemli kavramlarından biri olan

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Laminanın Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 2 Laminanın Makromekanik

Detaylı

JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur.

JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur. JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur. Prof. Dr. Gündüz Horasan Deprem dalgalarını incelerken, yeryuvarının esnek, homojen

Detaylı

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar

Detaylı

GERİLME ANALİZİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET

GERİLME ANALİZİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET GERİLME ANALİZİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET Yrd. Doç. Dr. Emine AYDIN Yrd. Doç. Dr. Elif BORU 1 GENEL YÜKLEME DURUMUNDA GERİLME ANALİZİ Daha önce incelenen gerilme örnekleri eksenel yüklü yapı elemanları

Detaylı

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İçerik Tanımlar

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 7 İç Kuvvetler Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 7. İç Kuvvetler Bu bölümde, bir

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

Elastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme

Elastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme Elastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme Gerilme ve Şekil değiştirme bileşenlerinin lineer ilişkileri Hooke Yasası olarak bilinir. Elastisite Modülü (Young Modülü) Tek boyutlu Hooke

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Laminanın Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 2 Laminanın Makromekanik

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation)

Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bu bölümde, bir noktaya etkiyen ve bir koordinat ekseni ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi ile ilişkili gerilme bileşenlerine dönüştürmek

Detaylı

ÇALIŞMA SORULARI 1) Yukarıdaki şekilde AB ve BC silindirik çubukları B noktasında birbirleriyle birleştirilmişlerdir, AB çubuğunun çapı 30 mm ve BC çubuğunun çapı ise 50 mm dir. Sisteme A ucunda 60 kn

Detaylı

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz. Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel

Detaylı

INM 308 Zemin Mekaniği

INM 308 Zemin Mekaniği Hafta_3 INM 308 Zemin Mekaniği Zeminlerde Kayma Direnci Kavramı, Yenilme Teorileri Yrd.Doç.Dr. İnan KESKİN inankeskin@karabuk.edu.tr, inankeskin@gmail.com www.inankeskin.com ZEMİN MEKANİĞİ Haftalık Konular

Detaylı

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri

Detaylı

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş 2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş Kuvvet: Şiddet (P), doğrultu (θ) ve uygulama noktası (A) ile karakterize edilen ve bir cismin diğerine uyguladığı itme veya çekme olarak tanımlanabilir. Bu parametrelerden

Detaylı

MUKAVEMET I ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

MUKAVEMET I ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER MUKAEMET I ÇÖZÜMÜ ÖRNEKER ders notu Yard. Doç. Dr. Erdem DAMCI Şubat 15 Mukavemet I - Çözümlü Örnekler / 7 Örnek 1. Üzerinde yalnızca yayılı yük bulunan ve açıklığı olan bir basit kirişe ait eğilme momenti

Detaylı

BÖLÜM 6 GERÇEK AKIŞKANLARIN HAREKETİ

BÖLÜM 6 GERÇEK AKIŞKANLARIN HAREKETİ BÖLÜM 6 GERÇEK AKIŞKANLARIN HAREKETİ Gerçek akışkanın davranışı viskoziteden dolayı meydana gelen ilave etkiler nedeniyle ideal akışkan akımlarına göre daha karmaşık yapıdadır. Gerçek akışkanlar hareket

Detaylı

VEKTÖRLER. 1. Skaler Büyüklükler

VEKTÖRLER. 1. Skaler Büyüklükler VEKTÖRLER Fizikte bazı büyüklükler sayılarla ifade edilebildiği halde, bazılarının ifade edilebilmesinde sayılar yeterli olmamaktadır. Sayılarla birlikte yönün de belirtilmesi gerekir. Bu nedenle fizikte

Detaylı

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme

Detaylı

GERİLME Cismin kesilmiş alanı üzerinde O

GERİLME Cismin kesilmiş alanı üzerinde O GERİLME Cismin kesilmiş alanı üzerinde O ile tanımlı noktasına etki eden kuvvet ve momentin kesit alana etki eden gerçek yayılı yüklerin bileşke etkisini temsil ettiği ifade edilmişti. Cisimlerin mukavemeti

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

İKİ BOYUTLU ÇUBUK SİSTEMLER İÇİN YAPI ANALİZ PROGRAM YAZMA SİSTEMATİĞİ

İKİ BOYUTLU ÇUBUK SİSTEMLER İÇİN YAPI ANALİZ PROGRAM YAZMA SİSTEMATİĞİ İKİ BOYUTLU ÇUBUK SİSTEMLER İÇİN YAPI ANALİZ PROGRAM YAZMA SİSTEMATİĞİ Yapı Statiği nde incelenen sistemler çerçeve sistemlerdir. Buna ek olarak incelenen kafes ve karma sistemler de aslında çerçeve sistemlerin

Detaylı

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır. 1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların

Detaylı

MUKAVEMET Öğr. Gör. Fatih KURTULUŞ

MUKAVEMET Öğr. Gör. Fatih KURTULUŞ www.sakarya.edu.tr MUKAVEMET Öğr. Gör. Fatih KURTULUŞ www.sakarya.edu.tr 1. DÜŞEY YÜKLÜ KİRİŞLER Cisimlerin mukavemeti konusunun esas problemi, herhangi bir yapıya uygulanan bir kuvvetin oluşturacağı gerilme

Detaylı

MATRİSLER. Şekil 1 =A6:B7+D6:E7

MATRİSLER. Şekil 1 =A6:B7+D6:E7 MATRİSLER Bir A matrisi mxn adet gerçel veya sanal elemanların sıralı koleksiyonudur. Bu koleksiyon m satır ve n sütun ile düzenlenir. A(mxn) notasyonu matrisin m satırlı n sütunlu olduğunu gösterir ve

Detaylı

Akışkan Kinematiği 1

Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği Kinematik, akışkan hareketini matematiksel olarak tanımlarken harekete sebep olan kuvvetleri ve momentleri gözönüne almadan; Yerdeğiştirmeler Hızlar ve İvmeler cinsinden

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler

Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x

Detaylı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.1 11. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.5 Eksen Takımının Değiştirilmesi 11.6 Asal Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların

Detaylı

Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation)

Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bubölümdebirnoktayaetkiyen vebelli bir koordinat ekseni/düzlemi ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi/başka bir düzlem ile ilişkili

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

Hiperstatik sistemlerin çözümünde, yer değiştirmelerin küçük olduğu ve gerilme - şekil değiştirme bağıntılarının lineer olduğu kabul edilmektedir.

Hiperstatik sistemlerin çözümünde, yer değiştirmelerin küçük olduğu ve gerilme - şekil değiştirme bağıntılarının lineer olduğu kabul edilmektedir. 1. HİPERSTATİK SİSTEMLER 1.1. Giriş Bir sistemin hesabının amacı, dış etkilerden meydana gelen kesit tesirlerini, şekil değiştirmelerini ve yer değiştirmelerini belirlemektir. İzostatik sistemlerde, yalnız

Detaylı

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur?

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur? 3.1 Koordinat sistemleri 3.2 Kartezyen koordinatlar 3.3 Vektörler 3.4 Vektörlerin bileşenleri 3.5 Vektörlerin toplanması 3.6 Vektörlerin çıkarılması 37Bii 3.7 Birim vektör 3 VEKTÖRLER Pilot uçağın kokpit

Detaylı

KUVVET, MOMENT ve DENGE

KUVVET, MOMENT ve DENGE 2.1. Kuvvet 2.1.1. Kuvvet ve cisimlere etkileri Kuvvetler vektörel büyüklüklerdir. Kuvvet vektörünün; uygulama noktası, kuvvetin cisme etkidiği nokta; doğrultu ve yönü, kuvvetin doğrultu ve yönü; modülüyse

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İzdüşüm merkezi(o):

Detaylı

KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ:

KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: Genel düzlemsel hareket yapmakta olan katı cisim üzerinde bulunan iki noktanın ivmeleri aralarındaki ilişki, bağıl hız v A = v B + v B A ifadesinin zamana göre türevi

Detaylı

LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal

Detaylı

3. BÖLÜM MATRİSLER 1

3. BÖLÜM MATRİSLER 1 3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12

Detaylı

BURULMA (TORSİON) Dairesel Kesitli Çubukların (Millerin) Burulması MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor

BURULMA (TORSİON) Dairesel Kesitli Çubukların (Millerin) Burulması MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 3 BURULMA (TORSİON) Dairesel Kesitli Çubukların (Millerin) Burulması 1.1.018 MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 1 3. Burulma Genel Bilgiler Burulma (Torsion): Dairesel Kesitli Millerde Gerilme

Detaylı

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Katı Bir Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Katı Bir Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi -Fizik I 2013-2014 Katı Bir Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi Nurdan Demirci Sankır Ofis: 325, Tel: 2924332 İçerik Açısal Yerdeğiştirme, Hız ve İvme Dönme Kinematiği Açısal ve Doğrusal Nicelikler

Detaylı

p 2 p Üçgen levha eleman, düzlem şekil değiştirme durumu

p 2 p Üçgen levha eleman, düzlem şekil değiştirme durumu Üçgen levha eleman düzlem şekil değiştirme durumu Üçgen levha eleman düzlem şekil değiştirme durumu İstinat duvarı basınçlı uzun boru tünel ağırlık barajı gibi yapılar düzlem levha gibi davranırlar Uzun

Detaylı

Elemanlardaki İç Kuvvetler

Elemanlardaki İç Kuvvetler Elemanlardaki İç Kuvvetler Bölüm Öğrenme Çıktıları Yapı elemanlarında oluşan iç kuvvetler. Eksenel kuvvet, Kesme kuvvet ve Eğilme Momenti Denklemleri ve Diyagramları. Bölüm Öğrenme Çıktıları Elemanlarda

Detaylı

DİFERANSİYEL DENKLEMLER-2

DİFERANSİYEL DENKLEMLER-2 DİFERANSİYEL DENKLEMLER- SINIR DEĞER ve ÖZDEĞER PROBLEMLERİ Bu bölümde adi diferansiyel denklemlerde sınır ve özdeğer problemleri ( n) ( n1) incelenecektir. F( y, y,..., y, x) 0 şeklinde verilen bir diferansiyel

Detaylı

Fizik Dr. Murat Aydemir

Fizik Dr. Murat Aydemir Fizik-1 2017-2018 Dr. Murat Aydemir Ankara University, Physics Engineering, Bsc Durham University, Physics, PhD University of Oxford, Researcher, Post-Doc Ofis No: 35 Merkezi Derslikler Binasi murat.aydemir@erzurum.edu.tr

Detaylı

Noktasal Cismin Dengesi

Noktasal Cismin Dengesi Noktasal Cismin Dengesi Bu bölümde; Kuvvetleri bieşenlerine ayırma ve kartezyen vektör şeklinde ifade etme yöntemleri noktasal cismin dengesini içeren problemleri çözmede kullanılacaktır. Bölüm 3 DOÇ.DR.

Detaylı

5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi

5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi 5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi u bölümde RITZ metodu eleman bazında uygulanacak, elemanın yer değiştirme fonksiyonu, şekil değiştirme, gerilme bağıntıları, toplam potansiyeli,

Detaylı

BÖLÜM 9 ÇÖZÜLMESİ ÖNERİLEN ÖRNEK VE PROBLEMLER

BÖLÜM 9 ÇÖZÜLMESİ ÖNERİLEN ÖRNEK VE PROBLEMLER BÖLÜM 9 ÇÖZÜLMESİ ÖNERİLEN ÖRNEK VE PROBLEMLER b) İkinci süreç eğik atış hareketine karşılık geliyor. Orada örendiğin problem çözüm adımlarını kullanarak topun sopadan ayrıldığı andaki hızını bağıntı olarak

Detaylı

Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır.

Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır. Manyetik Alanlar Manyetik Alanlar Duran ya da hareket eden yüklü parçacığın etrafını bir elektrik alanın sardığı biliyoruz. Hatta elektrik alan konusunda şu sonuç oraya konulmuştur. Durgun bir deneme yükü

Detaylı

YAPI STATİĞİ MESNETLER

YAPI STATİĞİ MESNETLER YAPI STATİĞİ MESNETLER Öğr.Gör. Gültekin BÜYÜKŞENGÜR STATİK Kirişler Yük Ve Mesnet Çeşitleri Mesnetler Ve Mesnet Reaksiyonları 1. Kayıcı Mesnetler 2. Sabit Mesnetler 3. Ankastre (Konsol) Mesnetler 4. Üç

Detaylı

YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN

YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN Yapı Sistemleri: İzostatik (Statikçe Belirli) Sistemler : Bir sistemin tüm kesit tesirlerini (iç kuvvetlerini) ve mesnet reaksiyonlarını

Detaylı

EĞRİSEL HAREKET : Silindirik Bileşenler

EĞRİSEL HAREKET : Silindirik Bileşenler EĞRİSEL HAREKET : Silindirik Bileşenler SİLİNDİRİK KOORDİNATLARDA (POLAR) HAREKET DENKLEMLERİ Bugünkü Konular: Silindirik koordinat takımı kullanılarak hareket denklemlerinin yazılması; hız ve ivme değerlerinin

Detaylı

İÇ KUVVETLER. Amaçlar: Bir elemanda kesit yöntemiyle iç kuvvetlerin bulunması Kesme kuvveti ve moment diyagramlarının çizilmesi

İÇ KUVVETLER. Amaçlar: Bir elemanda kesit yöntemiyle iç kuvvetlerin bulunması Kesme kuvveti ve moment diyagramlarının çizilmesi İÇ KUVVETLER maçlar: ir elemanda kesit yöntemiyle iç kuvvetlerin bulunması Kesme kuvveti ve moment diyagramlarının çizilmesi Yapısal elemanlarda oluşan iç kuvvetler ir yapısal veya mekanik elemanın tasarımı,

Detaylı

DİNAMİK - 7. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi. Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü

DİNAMİK - 7. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi. Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü DİNAMİK - 7 Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü 7. HAFTA Kapsam: Parçacık Kinetiği, Kuvvet İvme Yöntemi Newton hareket

Detaylı

HEDEF ARA ve ÇÖZÜCÜ HEDEF ARA

HEDEF ARA ve ÇÖZÜCÜ HEDEF ARA HEDEF ARA ve ÇÖZÜCÜ HEDEF ARA Hedef ara komutu bir fonksiyonun tersinin bulunmasında kullanılır. Hedef ara işlemi, y=f(x) gibi bir fonksiyonda y değeri verildiğinde x değerinin bulunmasıdır. Bu işlem,

Detaylı

STATİK. Ders_9. Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü. Ders notları için: GÜZ

STATİK. Ders_9. Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü. Ders notları için: GÜZ STATİK Ders_9 Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders notları için: http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ 2017-2018 GÜZ ALANLAR İÇİN ATALET MOMENTİNİN TANIMI, ALAN ATALET YARIÇAPI

Detaylı

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü * Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

STATİK AĞIRLIK MERKEZİ. 3.1 İki Boyutlu Cisimler 3.2 Düzlem Eğriler 3.3 Bileşik Cisimler. 3.4 Integrasyon ile ağırlık merkezi hesabı

STATİK AĞIRLIK MERKEZİ. 3.1 İki Boyutlu Cisimler 3.2 Düzlem Eğriler 3.3 Bileşik Cisimler. 3.4 Integrasyon ile ağırlık merkezi hesabı 1 STATİK AĞIRLIK MERKEZİ 3.1 İki Boyutlu Cisimler 3.2 Düzlem Eğriler 3.3 Bileşik Cisimler 3.4 Integrasyon ile ağırlık merkezi hesabı 3.5 Pappus-Guldinus Teoremi 3.6 Yayılı Yüke Eşdeğer Tekil Yük 3.7 Sıvı

Detaylı

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun . UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.

Detaylı

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile

Detaylı

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

ULUDAĞ ÜNĐVERSĐTESĐ MÜHENDĐSLĐK-MĐMARLIK FAKÜLTESĐ MAKĐNA MÜHENDĐSLĐĞĐ BÖLÜMÜ GENEL MAKĐNE LABORATUARI

ULUDAĞ ÜNĐVERSĐTESĐ MÜHENDĐSLĐK-MĐMARLIK FAKÜLTESĐ MAKĐNA MÜHENDĐSLĐĞĐ BÖLÜMÜ GENEL MAKĐNE LABORATUARI UUDAĞ ÜNĐVRSĐTSĐ MÜNDĐSĐK-MĐMARIK FAKÜTSĐ MAKĐNA MÜNDĐSĐĞĐ BÖÜMÜ GN MAKĐN ABORATUARI STRAĐN GAUG (UZAMA ÖÇR YARDIMI Đ GRĐM ÖÇÜMSĐ DNY GRUBU: ÖĞRNCĐ NO, AD -SOYAD: TSĐM TARĐĐ: DNYĐ YAPTIRAN ÖĞRTĐM MANI:

Detaylı

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Seventh Edition VECTOR ECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Ders Notu: Hayri ACAR İstanbul Teknik Üniveristesi Tel: 85 31 46 / 116 E-mail: acarh@itu.edu.tr Web: http://atlas.cc.itu.edu.tr/~acarh

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Dinamik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 17 Rijit Cismin Düzlemsel Kinetiği; Kuvvet ve İvme Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Dinamik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.

Detaylı

Gerilme. Bölüm Hedefleri. Normal ve Kayma gerilmesi kavramının anlaşılması Kesme ve eksenel yük etkisindeki elemanların analiz ve tasarımı

Gerilme. Bölüm Hedefleri. Normal ve Kayma gerilmesi kavramının anlaşılması Kesme ve eksenel yük etkisindeki elemanların analiz ve tasarımı Gerilme Bölüm Hedefleri Normal ve Kayma gerilmesi kavramının anlaşılması Kesme ve eksenel yük etkisindeki elemanların analiz ve tasarımı Copyright 2011 Pearson Education South sia Pte Ltd GERİLME Kesim

Detaylı

MAK 305 MAKİNE ELEMANLARI-1

MAK 305 MAKİNE ELEMANLARI-1 MAK 305 MAKİNE ELEMANLARI-1 5.BÖLÜM Bağlama Elemanları Kaynak Bağlantıları Doç.Dr. Ali Rıza Yıldız 1 BU SLAYTTAN EDİNİLMESİ BEKLENEN BİLGİLER Bağlama Elemanlarının Tanımı ve Sınıflandırılması Kaynak Bağlantılarının

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 15. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 7. SINIF ELEME SINAVI SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 15. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 7. SINIF ELEME SINAVI SORULARI . a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere a 2b+2 2 b+4 yukarıdaki bölme işleminde, a nın alabileceği en küçük değer kaçtır?. 25 soruluk bir sınavda her doğru cevaba 5 puan verilirken, her yanlış cevaptan

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Gerilme Dönüşümü. Bölüm Hedefleri

Gerilme Dönüşümü. Bölüm Hedefleri Gerilme Dönüşümü Bölüm Hedefleri Bu bölümde, belirli bir koordinat sisteminde tanımlı gerilme bileşenlerinin, farklı eğimlere sahip koordinat sistemlerine nasıl dönüştürüleceği üzerinde durulacaktır. Gerekli

Detaylı

BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ

BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ DÜZLEM-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME 3D durumda, bir noktadaki birim şekil değiştirme durumu 3 normal birim şekildeğiştirme bileşeni,, z, ve 3 kesme birim şekildeğiştirme bileşeninden,

Detaylı

HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ

HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ Öğr. Gör. RECEP KÖKÇAN Tel: +90 312 267 30 20 http://yunus.hacettepe.edu.tr/~rkokcan/ E-mail_1: rkokcan@hacettepe.edu.tr

Detaylı

Ödev 1. Ödev1: 600N luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. 600 N

Ödev 1. Ödev1: 600N luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. 600 N Ödev 1 Ödev1: 600N luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. 600 N 1 600 N 600 N 600 N u sin120 600 N sin 30 u 1039N v sin 30 600 N sin 30 v 600N 2 Ödev 2 Ödev2: 2 kuvvetinin şiddetini, yönünü

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Kuvvet Sistemi Bileşkeleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 4. Kuvvet Sitemi Bileşkeleri

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

STATİK KUVVET ANALİZİ (2.HAFTA)

STATİK KUVVET ANALİZİ (2.HAFTA) STATİK KUVVET ANALİZİ (2.HAFTA) Mekanik sistemler üzerindeki kuvvetler denge halindeyse sistem hareket etmeyecektir. Sistemin denge hali için gerekli kuvvetlerin hesaplanması statik hesaplamalarla yapılır.

Detaylı

Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir.

Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi AĞIRLIK MERKEZİ Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. Statikte çok küçük bir alana etki eden birbirlerine

Detaylı

1. STATİĞE GİRİŞ 1.1 TANIMLAR MEKANİK RİJİT CİSİMLER MEKANİĞİ ŞEKİL DEĞİŞTİREN CİSİMLER AKIŞKANLAR MEKANİĞİ DİNAMİK STATİK

1. STATİĞE GİRİŞ 1.1 TANIMLAR MEKANİK RİJİT CİSİMLER MEKANİĞİ ŞEKİL DEĞİŞTİREN CİSİMLER AKIŞKANLAR MEKANİĞİ DİNAMİK STATİK STATİK Ders Notları Kaynaklar: 1.Engineering Mechanics: Statics, 9e, Hibbeler, Prentice Hall 2.Engineering Mechanics: Statics, SI Version, 6th Edition, J. L. Meriam, L. G. Kraige 1. STATİĞE GİRİŞ 1.1 TANIMLAR

Detaylı

FİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA GRADİYENT DİVERJANS ROTASYONEL (KÖRL) HELMHOLTZ TEOREMİ KOORDİNAT SİSTEMLERİ

FİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA GRADİYENT DİVERJANS ROTASYONEL (KÖRL) HELMHOLTZ TEOREMİ KOORDİNAT SİSTEMLERİ FİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA GRADİYENT DİVERJANS ROTASYONEL (KÖRL) HELMHOLTZ TEOREMİ KOORDİNAT SİSTEMLERİ (del) operatörü, Bir f skaler alanına etkirse: f GRADİYENT Bir A vektör alanı ile skaler çarpılırsa:

Detaylı

Rijit Cisimlerin Dengesi

Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi 1 Rijit Cisimlerin Dengesi Bu bölümde, rijit cisim dengesinin temel kavramları ele alınacaktır: Rijit cisimler için denge denklemlerinin oluşturulması Rijit cisimler için serbest

Detaylı

MADDESEL NOKTANIN EĞRİSEL HAREKETİ

MADDESEL NOKTANIN EĞRİSEL HAREKETİ Silindirik Koordinatlar: Bazı mühendislik problemlerinde, parçacığın hareketinin yörüngesi silindirik koordinatlarda r, θ ve z tanımlanması uygun olacaktır. Eğer parçacığın hareketi iki eksende oluşmaktaysa

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Kuvvet Vektörleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö.Soyuçok. 2 Kuvvet Vektörleri Bu bölümde,

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ

4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n

Detaylı

Mohr Dairesi Düzlem Gerilme

Mohr Dairesi Düzlem Gerilme Mohr Dairesi Düzlem Gerilme Bu bölümde düzlem gerilme dönüşüm denklemlerinin grafiksel bir yöntem ile nasıl uygulanabildiğini göstereceğiz. Böylece dönüşüm denklemlerinin kullanılması daha kolay olacak.

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ. Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi

ANALİTİK GEOMETRİ. Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi ANALİTİK GEOMETRİ Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi Kutupsal Koordinat Sistemi - Konikler Koordinat Dönüşümleri - Koniklerin Genel

Detaylı

z z Genel yükleme durumunda, bir Q noktasını üç boyutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni

z z Genel yükleme durumunda, bir Q noktasını üç boyutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI Q z Genel ükleme durumunda, bir Q noktasını üç boutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni gösterilebilir: σ, σ, σ z, τ, τ z, τ z.

Detaylı