6. Ders BEKLENEN DEĞER Taım: X, bir rasgele değişke ve g : R R, B BR içi x : gx B BR özelliğie sahip bir foksiyo olmak üzere: i) X kesikli ve ii) X sürekli ve gx fx olduğuda, x EgX gxfx gx fxdx olduğuda, değerie gx i beklee değeri deir. EgX gxfxdx x Örek: X rasgele değişkei olasılık foksiyou, ve fx 2 x, x, 2, x 2x gx x olmak üzere, gx i beklee değerii araştıralım. gx fx x x x 2x x 2 x x olduğuda, Taım 4.. deki gx fx olmaşartı sağlamamakta Bu sebeple, gerçekte var ola, x x x gxfx x x 2x x 2 x x x sayısıa gx i beklee değeri diyemeyiz. Böyle durumlarda gx i beklee değeri yoktur deir. Buda soraki kısımlarda EgX değeri sözkousu olduğuda aksi belirtilmedikçe gx i beklee değerii var olduğuu kabul edeceğiz. x Taım: X bir rasgele değişke, c R ve k bir doğal sayı olmak üzere:
a) E X c k değerie X i c ye göre k ici mometi, b) EX k değerie X i k ici mometi, c) EX değerie X i beklee değeri, d) E X EX 2 değerie X i varyası, e) EXX X 2X k değerie X i k ici çarpımsal mometi deir. Alışagelmiş olarak bir X rasgele değişkei beklee değeri X veya sadece, varyası ise VarX, X 2 veya sadece 2 ile de gösterilmektedir. Varyası kareköküe stadart sapma deir ve bir X rasgele değişkei stadart sapması X veya sadece ile gösterilir. Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx 3x 4, x, d. y. olsu. X i beklee değeri, ve varyası, VarX x 3 2 EX x 3x 4 dx 3 x2 2 3 2 2 3x 4 dx 3x 9 2 x2 9 4 x3 3 4 olarak buluur. 3 içi x 3x 4 dx itegrali ıraksak olduğuda X rasgele değişkei 3 ve 3 de büyük ola mometleri yoktur. x Teorem: g i : R R, i, 2,,, B BR içi x : g i x B BR olmak üzere, Eg i X, i, 2,, beklee değerleri varsa, g i X i beklee değeri vardır ve a) E g i X Eg i X i i i
b) a, b R olmak üzere, EaX b aex b, VaraX b a 2 VarX c) m k EX k, k EX k, k, 2, olmak üzere, k k i i k m i ki k ve özel olarak, k m k k i i ki k VarX 2 m 2 2 EX 2 EX 2 Đspat:(Ödev) Teorem: h t olmak üzere X t i beklee değeri varsa X h i de beklee değeri var Đspat: Đspatı X i sürekli olması hali içi verelim. x h fxdx x h fxdx x h fxdx x h x h fxdx x t fxdx x h x h P X h E X t X i kesikli olması durumuda ispat yukarıdakie bezer yolda yapılabilir. Teorem: Negatif değerler almaya bir X rasgele değişkei dağılım foksiyou F olsu. Eğer X i beklee değeri varsa EX Fxdx dir. Eşitliği sağ tarafıdaki itegrali yakısak olması halide X i beklee değeri var Đspat: Đlk öce X i sürekli rasgele değişke olması durumuu ele alalım. X egatif değerler almaya, dağılım foksiyou F, olasılık yoğuluk foksiyou f ve beklee değeri var E X EX ola bir rasgele değişke olsu. O zama,
ve EX xfxdx lim xfxdx lim xfxdx Kısmi itegrasyo soucu xfxdx F Fxdx F Fxdx elde edilir. Diğer tarafta, olması sebebiyle, Böylece, F fxdx xfxdx lim F EX lim xfxdx lim Fxdx Fxdx elde edilir. Teoremi geri kala kısmıı ispatlamak içi, Fxdx olduğuu varsayalım. O zama, xfxdx Fxdx Fxdx ve böylece, E X lim x fxdx lim xfxdx Şimdi X rasgele değişkei kesikli olması durumuu ele alalım. X rasgele değişkei olasılık foksiyou f olmak üzere olsu. Her pozitif tamsayısı içi, EX x j fx j j
Fxdx ve PX x, x e göre artmaya olduğuda, yazılabilir. k k P X k P X k kk/ Fxdx k jk k/ PX xdx P j X j k P X k k k P k k2 X k k P k X k P k k2 k2 X k k k2 fx j P X k x j k k k fx j k x j k fx j P X x j k k x j fx j k x j k ve bezer yolda, olduğu gösterilebilir. Burada EX P X k k EX EX Fxdx EX yazılabilir. içi limit alıdığıda EX Fxdx elde edilir. Teorem: Bir X rasgele değişkei beklee değerii var olması içi gerek ve yeter
şart PX xdx ve PX xdx itegrallerii her ikisii de yakısak olması Bu durumda EX PX xdx PX xdx Đspat: (Ödev) Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx e x3, x 3, d. y. olsu. X i beklee değeri vardır ve, EX xe x3 dx 3 xe x3 3 e x3 dx 3 lim x x e x3 3 ex3 2 Şimdi X i beklee değerii Teorem 4..4 deki yolda hesaplayalım. 3 Fx PX x, x 3 e x3, x 3 olmak üzere,
EX PX xdx PX xdx Fxdx Fxdx elde edilir. 3 e x3 dx dx e x3 dx 2 3 Örek: X rasgele değişkei olasılık foksiyou fx /6, x 2,,,, 2, 3 olsu. 3 EX xfx /2 x2 olmak üzere, bu değeri Teoremdeki yolda hesaplayalım., x 2 /6, 2 x 2/6, x Fx 3/6, x 4/6, x 2 5/6, 2 x 3, x 3 olmak üzere,
EX Fxdx Fxdx 2 3/6dx 4/6dx 5/6dx 2 3 elde edilir. 2 dx dx /6dx 2/6dx 2 3 2 Örek : X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx 2 e x2 2, x olsu., 2, içi EX değerlerii hesaplayalım.
EX x 2 e x2 2 dx 2 x e x2 2 dx x e x2 2 dx 2 x e x2 2 dx x e x2 2 dx 2 x e x2 2 dx, 2k, k, 2, 2, 2k, k, 2, 2 2 y 2 e y dy, 2k, k, 2,, 2k, k, 2, 2 2 2, 2k, k, 2,, 2k, k, 2,, 3, 5, içi, 2 içi, EX EX 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 4 içi,
EX 4 22 5 2 22 3 2 2 2 3 elde edilir. Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx e x, x, d. y. olsu., 2, içi içi, 2 içi, ve elde edilir. EX x e x dx y e y dy EX EX 2 2 3 2 2 VarX EX 2 EX 2 2 2 2 2 Örek: X rasgele değişkei olasılık foksiyou, fx e x, x,, 2,, x! olsu. X i beklee değeri, EX x e x x! x xe x x! x e x x x! e x x x! e! 2 2!! X 2 XX X ifadeside faydalaarak,
EX 2 EXX EX xx e x x! x xx e x x! x2 e x x 2! x2 e 2 x2 x2 x 2! 2 e x x x! elde edilir. Burada, buluur. 2 VarX EX 2 EX 2 Örek: Bir güde 5 parça işleye bir tora makiası içi kusursuz olarak işlediği parçaları sayısı X olsu. X i olasılık foksiyou, x 5x fx 5 4 x, x,, 2, 3, 4, 5 5 5 Đşlememiş parçaı alış değeri a, işleme masrafı b, kusurlu işlemiş parçaı hurda değeri c ve kusursuz işlemiş parçaı satış değeri d olmak üzere gülük kazacı beklee değeri edir? K rasgele değişkei gülük kazacı göstermek üzere, K 5a b 5 xc Xd olarak ifade edilebilir. EX 4 olduğu göz öüe alıırsa EK 5a b 5 EX c EX d 5a b c 4d elde edilir. 4d c 5a b
KARAKTERĐSTĐK FONKSĐYONLAR Taım: X bir rasgele değişke olmak üzere, X t Ee itx EcostX iesitx, t R foksiyoua X i karakteristik foksiyou deir. e itx olduğuda Ee itx beklee değeri her X içi mevcuttur, yai her rasgele değişkei karakteristik foksiyou var Örek: X rasgele değişkei c c R oktasıda yoğulaşmış dağılıma sahip olduğuda, X t Ee itx e itx fx e itc, t R x c içi X t dir. Örek: X rasgele değişkei olasılık foksiyou, fx, x, 2, 3, 4, 5, 6 6 olmak üzere, X t Ee itx e itx fx, t R x 6 eit 6 e2it 6 e3it 6 e4it 6 e5it 6 e6it dir. Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx e x, x, d. y. olmak üzere, X t Ee itx it, t e itx ex/ dx
Teorem: X rasgele değişkei karakteristik foksiyou X olmak üzere, a) X b) X t, t R c) X düzgü sürekli, d) axb t e itb X ta, t R, (a ve b sabit) Đspat: a) X t Ee itx olmak üzere X E dir. b) X t Ee itx E e itx E c) X t h X t Ee ithx e itx Ee itx e ihx E e itx e ihx E e ihx X i sürekli rasgele değişke olduğuu varsayalım. O zama içi, yeterice büyük M sayısı olacak şekilde alıırsa, X t h X t e ihx fxdx x M M fxdx 4 X t h X t e ihx fxdx 2 olur (h sadece a bağlıdır). X düzgü süreklidir. M x M fxdx
X i kesikli olması durumuda itegral yerie toplam işareti gelecektir. d) axb t Ee itaxb Ee itb e itax e itb Ee itax e itb X ta Teorem: Bir rasgele değişkei. mometi varsa, k içi d k dt k Xt t i k EX k Đspat: k, 2,. içi EXe kitx E X k x k fx x x k fxdx olmak üzere d X t dt d k X t dt k d dt EeitX E d dt eitx iexe itx i k EX k e itx, k d k X t dt k t i k EX k, k Örek: X rasgele değişkei olasılık foksiyou olmak üzere fx e x x!, x,, 2,
X t Ee itx e itx e x x x! e e it x x x! e e eit Burada, e eit iex d dt Xt t ie it e eit t i i 2 EX 2 d2 dt 2 Xt t i 2 e it e eit ie it 2 e eit t i 2 2 Teorem: Bir X rasgele değişkei olasılık (yoğuluk) foksiyou f, dağılım foksiyou F ve karakteristik foksiyou olmak üzere: i) x, x 2, x x 2 oktalarıda F sürekli ise Fx 2 Fx lim T T 2 T e itx e itx 2 it tdt ii) X sürekli bir rasgele değişke ise, fx limlim ht 2 T T e ith ith e itx tdt ve t dt ise, iii) X kesikli rasgele değişke ise, fx 2 e itx tdt fx lim e T 2T itx tdt T T
Bu teoremi ispatı burada yapılmayacaktır. Teoremi soucu olarak dağılım foksiyoları kümesi ile karakteristik foksiyoları kümesi arasıda bire-bir eşleme yapılabileceği söyleebilir. Şimdi karakteristik foksiyoları kümesii belirleye Bocher-Khici teoremii ispatsız olarak verelim. Teorem: (Bocher-KhichiTeoremi) kompleks sayıları kümesi olmak üzere bir : R foksiyou sürekli ve olsu. i karakteristik foksiyo olması içi gerek ve yeterşart her t, t 2,,t R ve her c, c 2,,c, içi k j t j t k c j c k olması(burada c, c i eşleiği ola kompleks sayıdır, yai c a bi ise c a ib ) Örek: t e ict, c R karakteristik foksiyoua karşılık gele dağılım edir? x x 2 içi Fx 2 Fx lim T 2 T T e itx e itx 2 it e ict dt T lim T 2 T e itcx e itcx 2 it dt T lim T 2 T si tc x si tc x 2 t dt olmak üzere, lim T T lim T T si at t dt si tc x si tc x 2 t 2 2, a, a dt olduğu göz öüe alıırsa, x, x 2 c içi
Fx 2 Fx 2 2 x, x 2 c içi x c x 2 içi Fx 2 Fx 2 2 Fx 2 Fx 2 2 dir. Dağılım foksiyouu özellikleride, Fx 2 lim x Fx 2 Fx, x 2 c, x 2 c buluur. Bu dağılım foksiyou c oktasıda yoğulaşmış dağılıma aittir. Şimdi ayı problemde, karakteristik foksiyou bir kesikli dağılıma karşılık geldiğii bildiğimizi varsayalım. Bua göre, T fx lim T 2T T e itx e itc dt T lim T 2T T e itcx dt, x c lim T 2T eitcx T, x c ic x T, x c lim T si Tx c Tx c, x c, x c, x c buluur. Örek 4.2.6 t e t2 /2, karakteristik foksiyou sürekli bir dağılıma karşılık gelmektedir. Bu dağılımı olasılık yoğuluk foksiyouu Teorem 4.2.3 yardımıyla bulmaya çalışalım.
olmak üzere t dt e t2 /2 dt 2 fx 2 e itx tdt 2 e 2 t2 2itx dt 2 e 2 x2 e 2 tix2 dt 2 e 2 x2 e 2 u2 du 2 e 2 x2, x Karakteristik foksiyo esasıda bir Fourier döüşümüdür. Matematik aalizde ters Fourier döüşümleri geiş bir şekilde ele alımakta Fourier döüşümleri ile ilgili hazır formüller içere tablolar hazırlamıştır. Burada bulara değimeyeceğiz. ÜRETĐCĐ FONKSĐYONLAR Bu kısımda mometleri hesaplamasıda kolaylık sağlaya bazı foksiyolar ele alıacaktır. Taım: X bir rasgele değişke olmak üzere (var olması halide), M X t Ee tx, h t h, h foksiyoua X i momet ürete (momet çıkara) foksiyou deir. Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx x 2, x, d. y. olsu. t içi,
e tx x 2 ve x dx itegrali ıraksak olduğuda, tx x 2, Ee tx x e tx x 2 dx itegrali ıraksaktır, yai t içi Ee tx beklee değeri mevcut değildir. X i momet ürete foksiyou yoktur. Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx e x, x, d. y. olsu. e tx e x dx e tx dx itegrali t içi yakısak olduğuda, M X t vardır ve M X t e tx e x dx etx t x t, t Örek: X rasgele değişkei olasılık foksiyou, olsu. t R içi serisi yakısak olduğuda fx e x x!, x,, 2, e tx e x x x! M X t e tx e x x x! e et, t
Eğer bir X rasgele değişkei momet ürete foksiyou varsa, M X it X t Dolayısıyla momet ürete foksiyolar da olasılık dağılımlarıı tek biçimde belirlemektedir. Bir X rasgele değişkei momet ürete foksiyou, ise X i olasılık foksiyou M X t e et e e tx x x! fx e, x,, 2, x! Bir X rasgele değişkei momet ürete foksiyou varsa, d dt M Xt t EX,, 2 Örek: M X t e et, t R olmak üzere EX dm Xt dt EX 2 d2 M X t dt 2 t e t e t t t e t e et e t 2 e et t elde edilir. 2 Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx x e x, x,, d. y. olsu. olmak üzere M X t x e itx dx t, t EX dt d t t Bir X rasgele değişkei momet ürete foksiyou var olsu.
K d dt l M Xt t,, 2, sayılarıa X i. derecede kümülatı deir. Öreği, K M X M X EX K 2 M X M X M X 2 M X 2 EX 2 EX 2 VarX K 3 EX 3 3EX 2 EX 2EX 3 K 4 EX 4 4EX 3 EX 3EX 2 2 2EX 2 EX 2 6EX 4 Örek: M X t e et, t R olsu. Kümülatlar, K d dt l eet t e t t,, 2, Taım: t R : Et X kümeside taımlı N X t Et X foksiyoua X i çarpımsal momet ürete foksiyou deir. Eğer k, 2, içi, d dt EtX E dt d tx oluyorsa, d dt N Xt t EXX X,, 2, Örek: M X t e et, t R momet ürete foksiyoa sahip rasgele değişke içi,
N X t t x e x x! x e t x x x! olmak üzere, e t, t EX d dt N Xt t e t t ve EXX 2 e t t 2 EXX X e t t Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx e x, x, d. y. olsu. olmak üzere N X t t x e x dx e t x dx e l tx dx, l t l t, t e EX l t 2 t t EXX 2 l t 3 t 2 l t 2 t 2 t 3 X rasgele değişkei kesikli ve aldığı değerler x,, 2, olduğuda N X t fxt x, t foksiyoua ayı zamada olasılık ürete foksiyo da deir. x
ÇOK DEĞĐŞKENLĐ DAĞILIMLARDA BEKLENEN DEĞER Taım: X, X 2,,X bir rasgele vektör ve g : R R, B BR foksiyou, x, x 2,,x : gx, x 2,,x B BR özelleğie sahip bir foksiyo olmak üzere, i) X, X 2,.., X kesikli, gx,,,x fx,,,x olduğuda, x,x 2,,x EgX, X 2,,X gx, x 2,,x fx, x 2,x x,x 2,,x ii) X, X 2,,X sürekli, gx,,,x fx,.,x dx dx olduğuda, EgX, X 2,,X... gx,,x fx,,x dx dx değerie gx, X 2,,X i beklee değeri deir. Taım: X, X 2,X bir rasgele vektör olmak üzere: a) Var olması halide EX k X k 2X k değerie X, X 2,,X i k, k 2,,k ortak mometi deir. Buradaki k, k 2,,k ler egatif olmaya tam sayılar b) Var olması halide EX EX k X2 EX 2 k 2 X EX k değerie X, X 2,,X i k, k 2,,k merkezi ortak mometi deir. c) Var olması halide, M X,X 2,,X t, t 2,, t Ee t X t 2 X 2 t X, t i h i, h i i, 2,, foksiyoua X, X 2,,X i ortak dağlılımıı (veya X, X 2,,X rasgele vektörüü) momet ürete foksiyou deir. d)
X,X 2,,X t, t 2,,t Ee it X t 2 X 2 t X, t i R, i, 2,, foksiyoua X, X 2,,X i ortak dağılımıı (veyax, X 2,,X rasgele vektörüü) karakteristik foksiyou deir. Şimdi momet ürete ve karakteristik foksiyoları bazı özelliklerii verelim a) X,X 2,,X,,, M X,X 2,,X,,, b) a X b a X b t,,t e it b it b X,,X a t,,a t M a X b a X b t,,t e t b t b M X,,X a t,,a t c) X, X 2 X i k, k 2,k ortak mometii var olması halide k k 2 k k t k t 2 X,,X k t,, t t t i k j j k EX k X 2 k 2 X 2 t k k 2 k t k t 2 k 2 t k M X,,X t,, t t t EX k X 2 k 2 X k d) X,X 2,X t, t 2,,t k,,,, X,X 2,,X k t, t 2,,t k M X,X 2,X t, t 2,,t k,,,, M X,X 2,,X k t, t 2,,t k Örek: X, X 2, X 3 vektörüü olasılık yoğuluk oksiyou, fx, x 2, x 3 e x x 2 x 3, x, x 2, x 3, d. y. olsu. X, X 2, X 3 ü momet ürete foksiyou, M X,X 2,X 3 t, t 2, t 3 Ee t X t 2 X 2 t 3 X 3 e t X t 2 X 2 t 3 X 3e x x 2 x 3dx dx 2 dx 3 Burada, öreği, t t 2 t 3, t, t 2, t 3 EX 2 X 2 X 3 4 t 2 t 2 t 3 t t 2 t 3 t t 2 t 3
2 t 3 t 2 2 t 3 2 t t 2 t 3 2 ve X, X 2 i momet ürete foksiyou, M X,X 2 t, t 2 M X,X 2,X 3 t, t 2, elde edilir. t t 2 EX t M X,X 2,X 3 t, t 2, t 3 t t 2 t 3 t 2 t 2 t 3 t t 2 t 3 olmak üzere, bu beklee değer X i M X t M X,X 2,X 3 t,, t, t momet ürete foksiyou yardımıyla da elde edilebilir. Gerçekte, EX d dt M X t t t 2 t Aşağıdaki teoremlerde geçecek ola beklee değerleri var olduğuu varsayacağız. Teorem: X, X 2,.., X bir rasgele vektör ve c, c 2,,c k ler sabit sayılar olmak üzere, E k i k c i g i X, X 2,,X c i Eg i X, X 2,,X i Đspat: (Ödev) yazılır. Bu teoremi bir soucu olarak E k c i X i i k c i EX i i Teorem: X, X 2,,X bağımsız rasgele değişkeler ve u i : R R, i, 2,,, foksiyoları B B içi x : u i x B B özelleğie sahip olmak üzere, E i u i X i Eu i X i i
Đspat: (Ödev) Bu teoremi bir soucu olarak: Eğer X, X 2,,X bağımsız rasgele değişkeler ise X, X 2,,X i ortak dağılımıı karakteristik ve momet ürete foksiyoları içi, X,X 2,,X t, t 2,,t X t X2 t 2 X t M X,X 2,,X t, t 2,,t M X t M X2 t 2 M X t olduğu söyleebilir. Ayrıca, u : R k R ve v : R k R olmak üzere, X, X 2,,X k i bir foksiyou ola ux, X 2,,X k rasgele değişkei ile X k, X k2,,x i bir foksiyou ola vx k, X k2,,x rasgele değişkei bağımsız olduğuda, EuX,,X k vx k,,x EuX,,X k EvX k,,x Örek: X, X 2,,X bağımsız rasgele değişkeler ve herbirii olasılık dağılımıı yoğuluk foksiyou fx e x, x, d. y. olsu. Y X X 2 X rasgele değişkeii olasılık dağılımıı buluuz. Đlk öce Y i momet ürete foksiyouu bulalım. M Y t Ee ty Ee tx tx 2 tx E e tx i i Ee tx i i M Xi t t i Bu momet ürete foksiyoa sahip Y rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou dır (Örek 4.3.5). fy y e y, y, d. y.
Örek: X, X 2,,X k bağımsız rasgele değişkeler ve i, 2,,k içi, f i x i i x i p x i p ix i, x i,,, i olsu p. Y X X 2 X rasgele değişkei olasılık dağılımıı buluuz. olmak üzere, M Xi M Y t Ee ty E p pe t i k e tx i i k Ee tx i i k i k M Xi t p pe t i i p pe t i olarak elde edilir. Bu momet ürete foksiyoa karşılık gele olasılık foksiyou, fy k i i y k k p y p i i i y k, y,, 2,, i i Örek: X, X 2,,X rasgele değişkeleri bağımsız ve i, 2,, içi, fx i e i i x i x i!, x i,, 2,. olsu. Y X X 2 X rasgele değişkei olasılık dağılımıı buluuz. M Y t i M xi t i olmak üzere (Örek 4.3.3) Y i olasılık foksiyou, fy e i i y! i i e ie t e i y i e t, y,, 2, Taım: X, X 2,,X boyutlu bir rasgele vektör olmak üzere: a) CovX i, X j EX i EX i X j EX j i, j, 2,, değerie X i ile X j i
kovaryası, b) Xi,X j korelasyo katsayısı, CovX i, X j VarX i VarX j, i, j, 2,, değerie X i ile X j arasıdaki c) CovX i, X j matrisie X, X 2,,X rasgele vektörüü var-yas-kovaryas matrisi d) Xi,X j matrisie X, X 2,,X rasgele vektörüü korelas-yo matrisi deir. Teorem: Herhagi X, Y rasgele vektörüü içi: a) CovX, Y EXY EXEY b) X ve Y bağımsız CovX, Y, X,Y c) X,Y, d) X,Y X ve Y arasıda lieer ilşki var Đspat: a) CovX, Y EX EXY EY EXY XEY YEX EXEY EXY EXEY b)
X ve Y bağımsız EX EXY EY EX EXEY EY CovX, Y Buradaki gerektirmei tersi doğru değildir. Buu bir örekle açıklayalım X, Y i olasılık foksiyou, olmak üzere, f X,Y /3, x, y,,,,, f X x /3, x,, ve f Y y, y CovX, Y EXY EXEY dır, acak /3 olduğuda, X ve Y bağımsız değildir. f X,Y f X f Y c) ve d) şıklarıı ispatlayıız. Bir boyutlu rasgele değişkelerde EX beklee değeri X i olasılık dağılımıı "merkezi", VarX değeri ise bu merkez etrafıda "yayılımıı" bir ölçüsüdür.đki boyutlu rasgele değişkelerde korelasyo katsayısı, bu rasgele değişkeler arasıdaki lieer ilişkii ölçüsüdür. X,Y olduğuda X ve Y arasıda tam lieer ilişki, X,Y değeri bire yakı olduğuda güçlü bir lieer ilişki, X,Y olduğuda ise lieer ilişki yoktur deir. Görüldüğü gibi X ve Y i bağımsız olmaları ilişkisiz olmalarıı gerektirir acak tersi doğru değildir. Örek: X, Y i aşağıda verile dağılımları içi kovaryas ve korelasyo katsayısılarıı karşılaştırıız.
a) Y X 2 /8 2/8 3/8 /8 /8 2/8 2 3/8 3/8 3/8 2/8 3/8 EX, VarX 3/4 EY, VarY 3/4 EXY 3/8, CovX, Y 5/8 X,Y. 83 b) Y X 2 3/8 3/8 2/8 2/8 2 3/8 3/8 3/8 2/8 3/8 EX, VarX 3/4 EY, VarY 3/4 EXY 2/8, CovX, Y 6/8 X,Y c) Y X 2 2/8 /8 3/8 /8 /8 2/8 2 3/8 3/8 3/8 2/8 3/8 EX, VarX 3/4 EY, VarY 3/4 EXY 3/8, CovX, Y 5/8 X,Y. 83 d) Y X 2 3/8 3/8 2/8 2/8 2 3/8 3/8 3/8 2/8 3/8 EX, VarX 3/4 EY, VarY 3/4 EXY 4/8, CovX, Y 6/8 X,Y
e) Y X 2 /8 /8 /8 3/8 /8 /8 2/8 2 /8 /8 /8 3/8 3/8 2/8 3/8 EX, VarX 3/4 EY, VarY 3/4 EXY, CovX, Y X,Y b) ve d) de X ve Y arasıda tam bir lieer ilşki var d) de Y X, b) de Y 2 X dir. e) de X ile Y arasıda ilişki yoktur, acak X ile Y i bağımsız olduğu söyleemez. Öreği f, f X f Y Örek: X, X 2, X 3 vektörüü olasılık yoğuluk foksiyou fx, x 2, x 3 2 ex 3, x x 2 2, x 3, d. y. olsu. X, X 2, X 3 ü varyas-kovaryas ve korelasyo matrislerii buluuz. X 3 marjial olasılık yoğuluk foksiyou, ü f X3 x 3 2 2x 2 ex 3 dx2 dx, x 3, d. y. e x 3, x 3, d. y. ve X, X 2 i marjial olasılık yoğuluk foksiyou,
f X,X 2 x, x 2 2e x 3 dx3, x x 2 2, d. y. /2, x x 2 2, d. y. olmak üzere X, X 2 ile X 3 bağımsız ve EX 2/3, 2 VarX 2/9 2 EX 2 2/3, 2 2 VarX 2 2/9 3 EX 3, 3 2 VarX 3 EX X 2 /3 EX X 3 EX EX 3 2/3 EX 2 X 3 EX 2 EX 3 2/3 CovX i, X j yerie ij ve Xi,X j yerie ij gösterimlerii kullaarak,
EX EX X EX 2 2/9 2 EX EX X 2 EX 2 EX X 2 EX EX 2 /9 3 EX EX X 3 EX 3 EX X 3 EX EX 3 2 2 /9 22 EX 2 EX 2 X 2 EX 2 2 2 2/9 23 EX 2 EX 2 X 3 EX 3 EX 2 X 3 EX 2 EX 3 3 3 32 23 33 EX 3 EX 3 X 3 EX 3 3 2 olmak üzere X, X 2, X 3 ü varyas-kovaryas matrisi, 2/9 /9 /9 2/9 ve korelasyo matrisi, R /2 /2 KOŞULLU BEKLENEN DEĞER
Taım: X, X 2 iki boyutlu bir rasgele vektör, x 2 D X2 içi X 2 x 2 verilmişke X i koşullu dağılımıı olasılık (yoğuluk) foksiyou f X /X 2 x 2 ve g : R R her B B içi s : gs B B özelliğie sahip bir foksiyo olmak üzere: a) Kesikli halde, x gx f X /X 2 x 2 x olduğuda, EgX /X 2 x 2 X gx f X /X 2 x 2 x b) Sürekli halde, gx f X /X 2 x 2 x dx olduğuda, Egx /X 2 x 2 gx f X /X 2 x 2 x dx değerie X 2 x 2 verilmişke gx i koşullu beklee değeri deir. Taım: c R ve k bir doğal sayı olmak üzere: a) EX c k /X 2 x 2 değerie X 2 x 2 verilmişke X i c ye göre k. koşullu mometi, b) EX k /X 2 x 2 değerie X 2 x 2 verilmişke X i k. koşullu mometi, c) EX /X 2 x 2 değerie X 2 x 2 verilmişke X i koşullu beklee değeri, d) EX EX /X 2 x 2 2 /X 2 x 2 değerie X 2 x 2 verilmişke X i koşullu varyası deir. Koşullu beklee değeri e basit durumları içi yapıla bu taımlamalar daha geel durumlara da kolayca geişletilebilir.yapılması gereke, beklee değer ile ilgili verile öceki taımlarda olasılık (yoğuluk ) foksiyoları yerie koşullu olasılık (yoğuluk) foksiyolarıı yazmaktır. Örek: X, X 2, X 3 vektörüü olasılık yoğuluk foksiyou, fx, x 2, x 3 2 ex 3, x x 2 2, x 3, d. y. olsu. x, 2 içi X x verilmişke X 2, X 3 ü koşullu dağılımıı olasılık yoğuluk
foksiyou, f X2, X 3 /X x x 2, x 3 fx, x 2, x 3 f X x, x 2 2 x, x 3, d. y. e x 3 2 x, x 2 2 x, x 3, d. y. Öreği X verilmişke X 2, X 3 ü koşullu olasılık yoğuluk foksiyou, f X2, X 3 /X x 2, x 3 e x 3, x 2, x 3, d. y. Bua göre, EX 2 X 3 /X x 2 x 3 e x 3 dx3 dx 2 EX 2 X 3 /X x 2 dx 2 x 3 e x 3 dx3 /2 x 2 x 3 e x 3 dx3 dx 2 x 2 EX 2 /X e x 3 dx3 dx 2 x 3 e x 3 dx3 3/2 x 2 e x 3 dx3 dx 2 /2 elde edilir. Ayrıca, EX 3 /X x 3 e x 3 dx3 dx 2 EX 2 X 3 /X EX 2 /X EX 3 /X olduğua dikkat edi. X verilmişke X, X 2, X 3 ü koşullu olasılık yoğuluk foksiyou,
f X,X 2,X 3 /X x, x 2, x 3 2 ex 3 PX, x x 2 2 x, x 3, d. y. 2 3 ex 3, x x 2 2 x, x 3, d. y. ve X verilmişke X 2 i koşullu (marjial) olasılık yoğuluk foksiyou, f X2 /X x 2 2, x 3 2 2 3 2 x 2, x 2 2, d. y. olmak üzere, 2 EX 2 /X 2 x 3 2 dx 2 2 x 3 2 2 x 2 dx 2 7/9 X x ve X 3 x 3 x 2, x 3 verilmişke X 2 i koşullu olasılık yoğuluk foksiyou, f X2 /X x,x 3 x 3 x 2 2 ex 3 2 2 x e x 3, x 2 2 x, d.y. 2 x, x 2 2 x, d.y. olmak üzere, öreği X ve X 3 içi, EX 2 /X 2, X 3 x 2 dx 2 /2 dir. x 2 ve x 3 içi X x, X 3 x 3 verilmişke X 2 i koşullu beklee değeri,
2x EX 2 /X x, X 3 x 3 x 2 dx 2 x 2 2 x 2 Teorem: a, b R,X, Y, Z bir rasgele vektör olmak üzere: a) EaY b/x x aey/x x b b) EY Z/X x EY/X x EZ/X x c) EY a 2 /X x EY EY/X x 2 /X x EY/X x a 2 Đspat: (Ödev) Örek: X, Y i olasılık yoğuluk foksiyou, fx, y x y, x, y, d.y. olsu. x, içi X x verilmişke Y i koşullu beklee değeri, EY/X x yf Y/Xx ydy y y fx, y f X x dy x y x /2 dy 3x 6x 2 3 x 2/3 2x X i verilmiş x değeri içi EY/X x bir sayı Acak g :, x gx EY/X x x 2/3 2x döüşümü yardımıyla tamamlaa EY/X gx foksiyou bir rasgele değişkedir. Şimdi bu rasgele değişkei beklee değerii bulalım.
EEY/X EgX gxf X xdx x 2/3 x /2dx 2x x 2/3 dx 7/2 2 Diğer tarafta EY 7/2 dir. Bu soucu geel halde ispatlayalım. Teorem: X, Y iki boyutlu bir rasgele vektör olmak üzere, EY EEY/X Đspat: Đspatı sürekli rasgele değişkeler içi verelim. EEY/X EY/X xf X xdx yf Y/Xx yf X xdydx Bu teoremi bir soucu olarak, yfx, ydydx EY VarY EY 2 EY 2 EEY 2 /X EEY/X 2 yazılabilir. Bir rasgele değişkei beklee değerii veya varyasıı bulumasıda ikici bir rasgele değişke ile koşulladırılarak yapıla hesaplama birçok yerde kolaylık sağlamakta Örek: Belli bir atıcı içi hedefi vurma olasılığı p, p olsu. Atıcı, hedef ilk isabetii alıcaya kadar atışlar yapmaya kararlı Atışları birbiride bağımsız olduğu varsayımı altıda atıcıı yapacağı atışları sayısıı beklee değeri edir? Y, gerekli atışları sayısı y, 2, X, birici atıştaki isabet sayısı, x,
olsu. EY EEY/X EY/X PX EY/X PX ve olmak üzere, de pey/x pey/x EY/X EY, EY/X EY p pey p EY p buluur. Örek:, arlığıda gelişigüzel bir sayı X seçildikte sora x, aralığıda gelişigüzel bir sayı Y seçilmektedir. Burada gelişigüzel sözcüğü ile kastedile X ve Y /Xx i olsılık yoğuluk foksiyolarıı, f X x, x, d. y. biçimide olması ve, f Y/Xx y EY/X x EY EEY/X x x, x y, d. y. y x dy 2 x olmak üzere, EY/X X 2
EY E X 2 2 2 EX 2 2 xdx 3 4 elde edilir. EY/X i bir rasgele değişke olarak yorumlamasıa bezer biçimde; X x verilmişke VarY/X x bir reel sayı olmak üzere, g : R R, gx VarY/X x yardımıyla taımlaa VarY/X gx, X i bir foksiyou ola bir rasgele değişkedir. Teorem: X, Y iki boyulu bir rasgele vektör olmak üzere, VarY EVarY/X VarEY/X Đspat: VarY EY EY 2 EEY EY 2 /X olmak üzere, Teorem 4.5. c) de, her x D X içi, EY EY 2 /X x EY EY/X x 2 /X x EY/X x EY 2 yai, EY EY 2 /X EY EY/X 2 /X EY/X EY 2 olduğuda, VarY/X EY/X EEY/X 2 VarY EVarY/X EEY/X EEY/X 2 EVarY/X VarEY/X Örek: N, değer kümesi doğal sayılar ola bir rasgele değişke, X, X 2,,X, N rasgele değişkeleri bağımsız, X i ler ayı dağılımlı ve olmak üzere, EX i EX, VarX i VarX, i, 2,,
rasgele değişkei içi, Y X X 2 X N EY/N EX X 2 X EX VarY/N VarX X 2 X VarX EY/N NEX, VarY/N NVarX EEY/N ENEX ENEX EVarY/N ENVarX ENVarX Y rasgele değişkei beklee değeri ve varyası EY ENEX VarY EVarY/N VarEY/N olarak elde edlir. ENEX VarNEX 2 Teorem: X ve Y bağımsız ise EY/X x EY Đspat: Sürekli rasgele değişkeler içi, EY/X x yf Y/Xx ydy ve kesikli rasgele değişkeleri içi, yf Y ydy EY EY/X x yf Y/Xx y y yf Y y EY y Bu teoremde görüldüğü gibi X ve Y bağımsız ise,
gx EY/X x olarak belirlee g foksiyou bir sabit foksiyodur ve her x D X içi gx EY dir. Böylece X ve Y bağımsız ise EY/X EY Teorem: X ve Yortak dağılıma sahip rasgele değişkeler, EX 2, EhX 2, h : D X R R olmak üzere, EY hx 2 değerii miimum yapa h foksiyou hx EY/X x ile belirlee foksiyodur. Đspat: Đspatı X, Y i sürekli durumu içi yapalım. EY hx 2 y hx 2 fx, ydxdy y hx 2 f X xf Y/Xx ydxdy f X xy hx 2 f Y/Xx ydy Bu itegrali h foksiyoları üzeride miimize etmek içi, x i bir ifadesi ola, EY hx 2 /X x y hx 2 f Y/Xx ydy itegralii her x içi miimum yapa h foksiyou bulmaya çalışalım. Verilmiş x değeri içi hx bir reel sayı EY hx 2 /X x EY EY/X x 2 /X x EY/X x hx 2 olmak üzere, hx EY/X x içi EY hx 2 /X x miimuma ulaşmakta Böylece, EY hx 2 değerii miimum yapa h foksiyou ile belirlee foksiyodur. Alışılagelmiş olarak, hx EY/X x hx EY/X x ifadesie (foksiyoua) Y i X üzerideki regresyo deklemi deilmektedir. dx Örek: X, Y i olasılık yoğuluk foksiyou,
fx, y 2,, d.y. x, y a, b R 2 : a 2 b 2, b olsu. f X x 2 x2, x, d.y. f Y y 4 y2, y, d.y. y, içi, f X/Yy x, y 2 x y 2 2 y 2 x, içi, olmak üzere, f Y/Xx y, d.y., y x 2 x 2, d.y. x 2 EY/X x y x dy x 2 2 2 EX/Y y x y 2 y 2 dx y 2 Regresyo deklemlerii belirlediği eğriler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Örek: X, Y i olasılık yoğuluk foksiyou, fx, y 2, x, y a, b R 2 : b a 2, d.y. olsu. f X x x 2, x 2, d.y. olmak üzere x, 2 içi,, f Y y 2 y 2, y 2, d.y. x, y x y, 2 içi, f Y/Xx y f X/Yy x, d.y. 2 y, y x 2, d.y. ve EY/X x y x dy 2 x EX/Y y x 2 y x 2 y dx y 2 2 Regresyo deklemlerii belirlediği eğriler (doğrular) aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Örek: X, Y i olasılık foksiyou, fx, y 5, x, y,,,,2,,3,,4,,,,2,,3,, olsu. 4,,2, 2,3, 2,4, 2,3, 3,4, 3,4, 4 f X x x 5, x,, 2, 3, 4 f Y y 5 y, y,, 2, 3, 4 5 olmak üzere, x,, 2, 3, 4 içi, f Y/Xx y x, y,,,x ve y,, 2, 3, 4 içi, EY/X x x y y x x 2 f X/Yy x, x y, y,,4 5 y dır EX/Y y 4 xy x 5 y y 4 2 Eğer h foksiyou x i lieer bir ifadesi, yai hx EY/X x a bx a, b biçimide alırsa, EY hx 2 i h üzeride miimizasyou problemi, Qa, b EY a bx 2 i a ve b üzeride miimizasyoua döüşmektedir. Bir a içi b i tesbit edilmiş olduğuu varsayalım. O zama EY bx a 2 yi miimum yapa a değeri, olur. Böyle belirlemiş a ile a EY bx EY bex EY a bx 2 EY EY bx EX 2 Bu ifadeyi miimum yapa b değeri, Y 2 2 X,Y X Y b X 2 b 2 b X,Y Y X
Burada, a EY X,Y Y X EX buluur. Bu durumda EY a bx 2 i alabileceği miimum değer, mi EY a a,b bx2 2 Y 2 X,Y X Y Y X,Y X 2 X Y X,Y X 2 2 Y 2 2 X,Y Koşullu beklee değeri kullaıldığı yerlerde bir başkası koşulladırılarak yapıla olasılık hesabı A, bir,u, P olasılık uzayıda bir olay ve I A, A, A olmak üzere X I A rasgele değişkeii göz öüe alalım. EX PA ve herhagi bir Y rasgele değişkei içi, Burada, EX/Y y PA/Y y, PY y PA EX EEX/Y EX/Y Yf Y y y yazılır. Y i sürekli olması durumuda da, yazılabilir. PA/Y yf Y y y PA PA/Y yf Y ydy Örek: X ve Y bağımsız ve sürekli rasgele değişkeler olsu. PX Y olasılığı içi,
PX Y PX Y/Y yf Y ydy PX y/y yf Y ydy PX yf Y ydy ve PX Y a, a R olasılığı içi, F X yf Y ydy PX Y a PX Y a/y yf Y ydy PX y a/y yf Y ydy PX a yf Y ydy F X a yf Y ydy PROBLEMLER. Olasılık foksiyoları aşağıda verile dağılımları birici, ikici, üçücü mometlerii, beklee değerlerii ve varyaslarıı buluuz. a) fx /5, x 2,,,, 2 b) fx /5, x,, 2, 3, 4
c) fx 6 4 x, x,, 2, 3, 4 d) fx 4 x 4 x 3 4 4x, x,, 2, 3, 4 e) fx 4 x 2 4 x2 3 4 2x, x 2,,,, 2 f) fx x 6, x 2,,,, 2 g) fx x 2, x 2,,,, 2 2. Olasılık yoğuluk foksiyoları aşağıda verile dağılımları birici, ikici, üçücü mometlerii, beklee değerlerii ve varyaslarıı buluuz. a) fx /4, 2 x 2, d. y. b) fx /4, x 4, d. y. c) fx 2 x, 2 x 2 4, d. y. d) fx 2 x 2, x 4 4, d. y.
e) fx x, 2 x 2 4, d. y. f) fx x 2, 2 x 2 8, d. y. 3., 2, 3, 4, 5 rakamları birer kağıt parçasıa yazılıp bir kavaoza atılsı. Kavaozda ayı ada üç tae kağıt parçası alıdığıda: X gele sayılar arasıda e küçüğü, Y gele sayılar arasıda e büyüğü, Ugele sayılar arasıda ortacası, V gele sayıları toplamı, Wgele sayıları e büyüğü ile e küçüğü arasıdaki fark olmak üzere, EX, EY, EU, EV, EW değerlerii buluuz. 4., 2,, sayıları birer kâğıt parçasıa yazılıp bir kavaoza atılsı. a) Kavaozda ayı ada r tae r kâğıt parçası alıdığıda gele e küçük sayı X olsu. EX r olduğuu gösteriiz. b) Kavaozda, çekilei yie yerie koyarak ard arda r tae kâğıt parçası çekildiğide gele e küçük sayı X olsu. r r r EX 2 olduğuu gösteriiz. 5. X rasgele değişkei olasılık foksiyou,
fx pq x, x, 2, p q, p olsu. X i k ici çarpımsal mometii buluuz. Yol gösterme: xx x k p x p k x dk dp k p x x 6. Belli bir atıcı içi, hedef ilk isabetii alıcaya kadar yaptığı atışları sayısı X rasgele değişkei olsu. X i olasılık foksiyouu fx 3 x 2, x, 2, 5 5 olduğu bilisi. Bu atıcı, hedef ilk isabetii alıcaya kadar atış yapmaya kararlı Harcaa her mermii değeri a ve kazaıla hedefi değeri b olduğua göre atıcıı kazacıı beklee değeri edir? 7. X rasgele değişkei olasılık foksiyou, fx e x, x,, 2,, x! olsu. X i k ici çarpımsal mometii buluuz. 8. X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx x, x,,, d. y. olsu. X i mometlerii varlığıı arştırıız. 9. X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx cx x, x,,, d. y. olsu. c sabitii değerii buluuz. EX,, 2, olduğuu gösteriiz ve EX ile VarX değerlerii buluuz.. Bir X rasgele değişkei beklee değeri EX olsu. c R içi, E X c 2 E X EX 2 EX c 2 olduğuu gösteriiz. E X c 2 yi miimum yapa c değerii buluuz.
. X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou x c doğrusua göre simetrik x R içi fc x fc x olsu. Mevcut olması halide, ve olduğuu gösteriiz. EX c E X c 2,, 2, 2. lim T T si at t dt 2 2, a, a olduğuu gösteriiz. Yol gösterme: T si x x T dx si x T e ux du si xe ux dx dx du 3. X rasgele değişkei olasılık foksiyou fx pq x, x, 2, p q, p olsu. X i karakteristik foksiyouu buluuz ve EX ile VarX değerlerii bu foksiyo yardımıyla elde ediiz. 4. X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx 2 e x, x olsu. X i karakteristik foksiyouu buluuz ve EX ile VarX değerlerii bu foksiyo yardımıyla elde ediiz. 5. Sürekli X rasgele değişkei karakteristik foksiyou, X t e t, t olsu. X i olasılık yoğuluk foksiyouu buluuz. 6. X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou