15. Bağıntılara Devam:

15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür b olarak okunur. Örneğin, 4< 1 5, 7< 1 8 Doğal sayılar kümesi üzerinde küçüktür (<N) bağıntısı (özyineleyişli tanım): a, b N için, (a, b) <N, yani a<n b ( a doğal sayılarda küçüktür b ) olur, şayet Kural-1 a< 1 b ise, Kural-2 Bir c N için, a<n c, ve c< 1 b ise. Buna göre örneğin, 3< 1 4 olduğu için, 3<N 4 olur (Kural-1); ve 3<N 4 olmakla beraber 4< 1 5 olduğu için, 3<N 5 olur (Kural-2); tekrar buna dayanarak, 3<N 5 olmakla beraber 5< 1 6 olduğu için, 3<N 6 olur (Kural-2), vs. Eksi tamsayılar kümesi üzerinde küçüktür (<Z - ) bağıntısı: -a, -b Z - için, (-a, -b) <Z -, yani -a<z - -b ( -a eksi tamsayılarda küçüktür -b ) olur, şayet b <N a ise. Tamsayılar kümesi üzerinde küçüktür (<) bağıntısı: (<) (<N) (<Z - ) (Z - N) (cins gözetimine dikkat!) Alıştırımlar: Aşağıdaki bağıntıları sıralı ikililer kümesi biçiminde gösteriniz. B 1 {0,1,2} üzerinde bağıntısı B 2 {1,2,3} üzerinde bağıntısı B 3 {0,1,2,3} üzerinde > bağıntısı B 4 {2,4,6} üzerinde bağıntısı B 5 {1,3,5,7} üzerinde bağıntısı Doğal sayılar kümesi üzerinde büyüktür (>N) bağıntısı: (>N) (<N) -1 Eksi tamsayılar kümesi üzerinde büyüktür (>Z - ) bağıntısı: (>Z - ) (<Z - ) -1 Tamsayılar kümesi üzerinde büyüktür (>) bağıntısı: (>) (<) -1 Tamsayılar kümesi üzerinde eşit () bağıntısı: () {(x,x) x Z} ()N {(x,x) x N} () Tamsayılar kümesi üzerinde büyük-eşit ( ) bağıntısı: ( ) (>) () (>) {(x,x) x Z} 1998-2011 D. Çalıkoğlu 15-1

Küçüktür, büyüktür bağıntılarının hangi küme üzerinde oldukları anlaşıldığı zaman belirtici bir işarete gerek olmaz. (Ör. <N ve >N yerine sırasıyla, < ve > yazılır.) Bir Yerel Bağıntının Kuvveti Bir B A A bağıntısı olsun. Öncelikle B 0 {(a, a) a A} olarak tanımlanır. Bu B 0, A kümesi üzerindeki en küçük yansıyıcı bağıntıdır ve B -ye bağlı olmadığı kaydedilmelidir. Buna göre yukarıdaki ifade, ( ) (>) {(x,x) x Z} (>) (>) 0 olur. (>) 0 () yani, Z üzerindeki eşit bağıntısı. B 0, B -nin ne olduğuna bağlı değildir ve A kümesi üzerindeki bağıntılar üzerindeki bileşke işleminin etkisiz öğesi dir. Bir n 1 için A n ise, B 0 -ın bağ-matrisi, n n boyutlu bir birim matris tir.... ileride! Dolayısıyla, herhangi B x A A için, B 0 B x B x B 0 B x çünki bütün a A için ab 0 a -dır. Yani, her b A için abb 0 b olur, Æ abb ise; ve bb 0 Ba olur, Æ bba ise; Bir k 1 için, bir yerel bağıntı B -nin k -ıncı kuvveti B k ise şöyle tanımlanır: B k BB k-1 Bu tanıma göre, B 1 BB 0 B olur, B 2 BB 1 BB olur, vs. Bir Yerel Bağıntının Kapatanları: Bir B A A bağıntısı olsun. Bunun Geçişli Kapatanı şöyledir: B + k 1 B k B 1 B 2 Soru: A -ya göre, B + -nın niceliği hakkında ne denebilir? (En çok A A -nın niceliği kadar.) B bağıntısı geçişli olmasa dahi, B + geçişlidir. B bağıntısı geçişli ise, B + B olur. B bağıntısı geçişlidir, E&A B + B ise. B 2 : B -yi geçişli yapabilmek için gereken bütün sıralı ikililer kümesi olsun. B B 2 B + ve B + - B B 2 olur. Eğer B + B ise, B 2. B + A A olur mu? B -nin Yansıyıcı ve Geçişli Kapatanı ise şöyledir: B * B 0 B + B 0 B 1 B 2 Buna göre yukarıdaki ifade, 1998-2011 D. Çalıkoğlu 15-2

( ) (>) {(x,x) x Z} (>) (>) 0 (>)*-------------------????????? Eşdeğerlik Nitelikleri: Bir A kümesi üzerindeki bir B (yerel) bağıntısı için söz konusu olan şu niteliklerin üçüne birden, eşdeğerlik nitelikleri denir: 1- Yansıyıcı olmak. Bu şu demektir: a A için a B a Diğer bir ifadeyle, B 0 B olmak. 2- Bakışık olmak. Bu şu demektir: a 1, a 2 A için eğer a 1 B a 2 ise a 2 B a 1 Diğer bir ifadeyle, B B -1 olmak. 3- Geçişli olmak. Bu şu demektir: a 1, a 2, a 3 A için eğer a 1 B a 2 ve a 2 B a 3 ise a 1 B a 3 Diğer bir ifadeyle, BB B 2 B olmak. Bu niteliklerin üçüne de sahip olan bir bağıntıya eşdeğerlik nitelikleri tam veya kısaca eşdeğerlik bağıntısı «equivalance relation» denir. Örnekler: Eşdeğerlik nitelikleri açısından değerlendiriniz: 1- K {1,2} için B 1 /K K {(1,1), (1,2), (2,1)} Yansıyıcı değil, çünki (2,2) yok. Bakışık, çünki (1,1) kendisiyle karşılıklı, (1,2) ile de (2,1) karşılıklı. Geçişli değil, çünki (2,1) ve (1,2) var fakat (2,2) yok. 2- K {1,2,3} için B 2 /K K {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3)} Yansıyıcı değil, çünki (1,1) yok. Bakışık değil, çünki (1,2) var, fakat (2,1) yok. Geçişli, çünki şart sağlanmakta. Hiçbir a 1, a 2, a 3 K için a 1 B 2 a 2 ve a 2 B 2 a 3 karşılığında a 1 B 2 a 3 olmadığı yok. (1,2) ve (2,2) karşılığında (1,2) var. (1,2) ve (2,3) karşılığında (1,3) var. (2,2) ve (2,2) karşılığında (2,2) var. (2,2) ve (2,3) karşılığında (2,3) var. 3- B /{1} {1} ( 1 birlisi üzerinde boş bağıntı) Yansıyıcı değil, çünki (1,1) yok. Bakışık çünki şart sağlanmakta Yani hiçbir a 1, a 2 K için a 1 B a 2 olup da a 2 B a 1 olmadığı yok. Geçişli çünki şart sağlanmakta Yani hiçbir a 1, a 2, a 3 K için a 1 B a 2 ve a 2 B a 3 olup da a 1 B a 3 olmadığı yok. Boş küme üzerindeki boş bağıntı, B / aynı zamanda yansıyıcı; çünki şart sağlanıyor Yani hiçbir a yok ki, a B a olmasın. ( a için a B a) 4- Aynı anne-babanın birden çok sayıdaki evlatları üzerinde Kardeşlik bağıntısı: Yansıyıcı değil (insan kendi kendinin kardeşi değildir). Bakışık (Ali, Ayşe nin kardeşi ise Ayşe de Ali nin kardeşidir). 1998-2011 D. Çalıkoğlu 15-3

Geçişli değil (Ali, Ayşe nin kardeşi, Ayşe de Ali nin kardeşi fakat Ali, Ali nin kardeşi değildir). Evlat bir tek ise, o takdirde o birli üzerindeki Kardeşlik bağıntısı, yukarıdaki B /{1} {1} gibi olur; Geçişliliği de sağlar. 5- {(1,1)} /{1} {1} bağıntısı: Yansıyıcı, Bakışık, Geçişli. Eşdeğerlik nitelikleri tam. 6- K {1,2,3} için B 6 /K K {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)} Yansıyıcı değil, çünki (3,3) yok; fakat bakışık ve geçişli. 7- Fakülteye girmiş öğrenciler üzerindeki aynı yıl girenler bağıntısı: Yansıyıcı, Bakışık, Geçişli. Eşdeğerlik nitelikleri tam, dolayısıyla bu bir eşdeğerlik bağıntısıdır. 8- Tamsayılar kümesi üzerindeki küçüktür (<) bağıntısı: Ne yansıyıcı, ne de bakışık, fakat geçişli. 9- K {a, b, c} için B 9 /K K K- {(b, c)} Bakışık ve geçişli olmadığı için eşdeğerlik bağıntısı değil. EŞDEĞERLİK SINIFLARI: Bir A kümesi üzerinde bir B eşdeğerlik bağıntısı olsun. B, A -yı eşdeğerlik sınıfları denen ayrık alt kümelere ayrıştırır. B: A Her x A, mensup olduğu eşdeğerlik sınıfını temsil eder. Şöyle ki; A x {y xby} içinde x olan eşdeğerlik sınıfı, (x temsilci) Bazen A x [x] olarak yazılır. Ayrık Küme z A ((z A x ) (z A y ) (A x A y )) İspat: z A x x A z dir, keza z A y ise y A z dir. z A x ve z A y olduğunda x,y A z olur. Farz edelim, z A x A y fakat A x A y (Hipotezin aksi) Bu takdirde A x A y x 1 z y 1 ya A x - A y ya A y - A x x 1 A x - A y y 1 A y x 1 A z olduğuna göre x 1 Bz, y 1 A y ve z A y olduğuna göre zby 1 Öyleyse,(geçişlilik) x 1 By 1 Aynı zamanda y 1 By (geçişlilik) x 1 By, demek ki x 1 A y (Çelişki) Çünki x 1 A x - A y demiştik. İndis: Bir eşdeğerlik bağıntısının tanımladığı eşdeğerlik sınıflarının toplam sayısı o bağıntının indisidir. Eşdeğerlik sınıfları sonsuz bir kümeyi oluşturuyorsa o zaman o indis sonsuz olarak nitelenir. 1998-2011 D. Çalıkoğlu 15-4

Örnek: Bir sınıfta bulunan öğrenciler arasında, aynı sırada oturan öğrenciler bağıntısı, bir eşdeğerlik bağıntısıdır. Her bir sıra (1.sıra, 2.sıra,...) ayrık alt kümelerdir. İndis, öğrenci bulunan sıra sayısıdır. Her bir öğrenci, bulunduğu sırayı temsil eder. N üzerindeki bazı eşdeğerlik bağıntıları: Örnekler: 1.) B 1 : bağıntısı Her bir eşdeğerlik sınıfında 1 tane öğe var ve indisi sonsuz. 2.) B 2 : 10 tabanına göre solda sıfır olmaksızın yazılışında aynı adette basamak olmak. 3 basamaklılar ile 3 basamaklılar, 2 basamaklılar ile 2 basamaklılar, 99B 2 10, ~(100B 2 99) gibi. İndisi sonsuz. 3.) B 3 : 10 tabanında yazılışında aynı birler hanesi olmak. 1, 11, 21, 31, veya 2, 12, 22, 32, gibi. İndisi 10 dur. Çünki her doğal sayının 10 tabanındaki yazılışında birler hanesi (0, 1,, 9) rakamlarından birisidir. Bu yüzden 10 adet eşdeğerlik sınıfı vardır. 4.) B 4n : Mod n (belli bir n için) değeri aynı olmak. İndis n * Bu bağıntı Mod n yerine Mod 3 olsaydı [0], [1], [2] eşdeğerlik sınıfları ile indisi 3 olurdu. * İki sayı herhangi bir Mod değerine göre aynı değere sahiplik bağıntısı, indis 1? n N ve n 2 (n 1 mod n n 2 mod n) Bunu sağlayan n 1 ve n 2 var mıdır? Eğer yoksa bütün doğal sayılar bu bağıntı için tek bir eşdeğerlik sınıfı oluşturur. 5.) B 5 : Kendinden daha büyük bir sayının var olması. İndisi 1. Genelde, B A A ve A ise, indisi 1. TEOREM: Her hangi bir R A A (A A -nın alt kümesi olan her hangi bir R bağıntısı) bağıntısı, eğer eşdeğerlik bağıntısı ise, A -yı şu şartları sağlayan ayrık alt kümelere ayrıştırır. a) A i 1,2,...,n A i ve eğer a 1, a 2 A için a 1 Ra 2 ise, bir k (1 k n) için, a 1, a 2 A k dır. Veya; b) A i 1,2,... A i olur ve yine aynı (a) daki şartlar geçerlidir. Ancak burada ayrık alt kümelerin kümesi sonsuzdur. A ve B ayrık kümeler demek: A B demektir. (a) şıkkında, n: eşdeğerlik bağıntısının indisi olarak tanımlanır, (b) şıkkında bu indise sonsuz denir. Buradaki her bir A i -ye bir eşdeğerlik sınıfı denir. ISBAT: A i 1,2,..., A i öyle ki A i {a A ara x belli bir a x A i için }burada, her a A bir A i için a x elemanı olarak kabul edilebilir. A i 1,2,..., A i olduğu açık ve zaten i 1,2,..., A i A ancak, (A B) ve (B A) ise; Bağıntıya göre bu alt kümeler ayrık olacaklar mı yoksa olmayacaklar mı? A i ve A j, farklı eşdeğerlik sınıfları olsun fakat A i A j olsun. Öyleyse y A i A j olsun. Şimdi A i A j olduğuna göre, z şeklinde öyle bir eleman vardır ki, z A i dir veya z A j dir. Fakat z A i A j değildir. Farz edelim, z A i dir (O zaman z A j ). Şimdi tanım gereği, z A i 1998-2011 D. Çalıkoğlu 15-5

olduğuna göre, y R z dir ( y ile z arasında bu bağıntı vardır.) z A j olduğuna göreyine yrz dir.zry (simetri) zra x, z A J (çelişki). Şimdi A i nin tanımına bakalım A j {a A ara x belli bir a x A j için } yra x geçerli, a x Ry de geçerli(çünkü simetri var) yrz geçerli (geçişlilik var). Sonuç: her hangi bir A kümesi üzerinde bir R eşdeğerlik bağıntısı, A yı ayrık alt kümelere (eşdeğerlik sınıflarına) ayrıştırır. Bu alt kümeler kümesinin çokluğu, R nin indisi olarak anılır. Bu sonlu ve sonsuz olabilir. Örnek: R N N öyle bir bağıntı olsun ki n 1 Rn 2 şöyle tanımlansın. n 1 n 2 mod 4 ise n 1 ve n 2 arasında bir R bağıntısı vardır. Eşdeğerlik sınıfları : E 0 {0, 4, 8,...} {4 n n 0} E 1 {1, 5, 9,...} {4 n+1 n 0} E 2 {2, 6, 10,...} {4 n+2 n 0} E 3 {3, 7, 11,...} {4 n+3 n 0} Buradaki sınıflar, N -yi 4 ayrık alt kümeye ayrıştırmış oldu. Bu bağıntının indisi 4 tür. Örnek : R d N N n 1 R d n 2 eğer onluk yazımlarında eşit sayıda basamak varsa (solda sıfır olmamak kaydıyla) ; {0,1,..., 9} [0] [1] [9] {10,11,12,...99} {100,...999}. Eşdeğerlik sınıflarının bileşimi doğal sayıları verecek. İndisi sonsuz olan kümelerin bağıntısıdır.??? R A A eşdeğerlik bağıntısının eşdeğerlik sınıflarından her hangi birisini tanımlamak için onun bir elemanının belirtilmesi yeterlidir. [0] [1] [9] gibi. Örnek : R d için bu [0] {0,1,..., 9} [10] [100]... şeklinde olabilir. [10] [25] ikisi de aynı kümeyi temsil ediyor. TEOREM : Herhangi bir A kümesinin ayrık alt kümelere ayrıştırılması, bir eşdeğerlik bağıntısı oluşturur; öyle ki, arb eğer a, b aynı alt kümede iseler; İSBAT : (alıştırım) Her hangi bir A kümesini alın. İstediğin gibi ayrıştır. Bu ayrıştırma sonlu da olabilir, sonsuz da olabilir. Aynı alt kümenin ayrık olması eşdeğerlik bağıntısıyla olur. Sonuç: R A A bir bağıntı olsun. A i 1,2,..., A i olsun (a 1, a 2 A için) a 1 Ra 2 :a 1 ve a 2 aynı A i nin elemanı olarak tanımlansın. Şimdi R bir eşdeğerlik bağıntısıdır, eğer ve ancak A i ler ayrık ise; 1998-2011 D. Çalıkoğlu 15-6

Bağıntıların Çizimsel Gösterimleri: Genelde bir A 1 kümesinden bir A 2 kümesine olan bir B 12 bağıntısının çizimi, her biri A 1 A 2 - nin bir öğesine ait olan ve köşe denen noktalar ile her biri B 12 -nin bir öğesine ait olan ve kenar denen oklardan oluşur. Her (a 1, a 2 ) B 12 için (a 1, a 2 ) kenarı, dibi a 1 köşesinden başlayan ve ucu a 2 köşesine dayanan bir oktur. Bir A kümesi üzerindeki bir B yerel bağıntısının çizimi ise, her biri A -nın bir öğesine ait olan ve köşe denen noktalar ile her biri B -nin bir öğesine ait olan ve kenar denen oklardan oluşur. Her (x, y) B için (x, y) kenarı, dibi x köşesinden başlayan ve ucu y köşesine dayanan bir oktur. Örnek: A 1 { 1,2,3,4 } kümesi üzerindeki B 1 { (1,2), (1,3), (2,3), (3,2), (4,4)} bağıntısının çizimi Ç 1 yandadır. Ç 1 : 3 1 4 2 B 1 2 : 1. 2. Tanımlar: Bir A kümesi üzerindeki bir B yerel bağıntısının çiziminde, 1. (u, v) B ise, v köşesi, u köşesinin bitişik köşesidir. Bu durumda, u -dan v -ye bir adımda gidilir denir. Kayıt: bitişik köşe lik bakışık olmayabilir. 2. Bir n 1 için (farklı olmaları gerekmeyen n+1 öğe) a 0, a 1,, a n A olup, her i (0 i n-1) için a i -den a i+1 -e bir adımda gidilirse, a 0 -dan a n -ye n adımda gidilir denir; a 0, a 1,, a n dizisine de a 0 -dan a n -ye olan bir ulaşım «path» denir. Bir köşeden diğerine n adımda gidilirse, kısaca gidilir de denir. 3. Bir köşeden yine kendisine olan bir ulaşıma devir denir. Örnek: A 1 { 1,2,3,4 } kümesi üzerindeki Ç 2 : 1 2 B 2 { (1,3), (2,1), (2,3), (3,2), (4,2), (4,4)} bağıntısının çizimi Ç 2 yandadır. 3 4 Ç 2 -de 1-den 2 -ye olan bazı ulaşımlar: U 1 : 1, 3, 2 (2 adımda gidilir); U 2 : 1, 3, 2, 3, 2 (4 adımda gidilir); U 3 : 1, 3, 2, 1, 3, 2 (5 adımda gidilir); Bazı devirler: D 1 : 4, 4 (1 adımda gidilir); D 2 : 4, 4, 4, 4 (3 adımda gidilir); D 3 :2, 3, 2 (2 adımda gidilir); D 4 : 1, 3, 2, 1 (3 adımda gidilir) 1998-2011 D. Çalıkoğlu 15-7

Bir Bağıntının Matrisle Temsili: İki küme W ve Y şöyle olsun: W {w 1, w 2,, w n }, Y {y 1, y 2,, y m }. W Y -nin öğelerini aşağıdaki cetvelle gösterebiliriz: Sütun başlıkları y 1 y 2 y m w 1 (w 1, y 1 ) (w 1, y 2 ) (w 1, y m ) Satır w 2 (w 2, y 1 ) (w 2, y 2 ) (w 2, y m ) Başlıkları w n (w n, y 1 ) (w n, y 2 ) (w n, y m ) Bu cetveldeki satır ve sütun başlıkları, sırasıyla W -nun ve Y -nin öğeleridir. Satır-w i ile Sütuny j -nin kesiştiği yerde (w i, y j ) sıralı ikilisi vardır. Herhangi bir B W Y bağıntısını da şöyle gösterebiliriz: y 1 y 2 y m w 1 w 1 B y 1 w 1 B y 2 w 1 B y m w 2 w 2 B y 1 w 2 B y 2 w 2 B y m w n w n B y 1 w n B y 2 w n B y m Burada her bir sıralı ikilinin B -de olup olmadığı vardır. Her i (1 i n) ve her j (1 j m) için, w i B y j { 1 0 eğer (w i, y j ) B ise aksi halde olarak bellidir. Böyle bir cetveli matris olarak aldığımızda, o bağıntıyı, öğeleri mantıksal değerler olan bir n m matris, M B ile temsil etmiş oluruz: M B b 11 b 12 b 1m b 21 b 22 b 2m b n1 b n2 b nm Burada her i (1 i n) ve her j (1 j m) için, b ij w i B y j -dir. Böyle bir matrise genelde mantıksal-matris, bağıntılar bağlamında ise bağ-matrisi denir. Bir B bağıntısının matrisi dendiğinde onun bağ-matrisi anlaşılır. Örnek: Bir A 1 {2, 5} kümesinden, bir A 2 {a, b, c} kümesine olan bir B 1 {(2,b), (5,a), (5,c)} bağıntısının matrisi şöyledir: M B1 0 1 0 1 0 1 Bir yerel bağıntının matrisi kare matris olur. Örnek: A 1 { 1,2,3,4 } kümesi üzerindeki B 1 { (1,2), (1,3), (2,3), (3,2), (4,4)} bağıntısının matrisi şöyledir: M B1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 (5,a) (5,c) 1998-2011 D. Çalıkoğlu 15-8

Bir W {w 1, w 2,, w n } kümesinden bir Y {y 1, y 2,, y m } kümesine olan bir f bağıntısı şayet işlev ise, onun bağ-matrisinde her satırda en çok bir adet 1 olur; ve nişan özelliklerine göre bağmatrisi şöyledir: (Bir satır veya sütun boş demek, o satır veya sütunda hiç 1 yok demektir.) Her sütunda en çok bir adet 1 vardır, Æ f 1-1 ise. (Bu takdirde hiçbir satır veya sütunda birden fazla 1 yoktur) Her satırda (tam) bir adet 1 vardır (boş satır yoktur), Æ f tam ise. Her sütunda en az bir adet 1 vardır (boş sütun yoktur), Æ f örten ise. Bir bağıntının tersinin matrisi, o bağıntının matrisinin devriği «transpose» -dir; çünki her w i B y j yerine y j B -1 w i gelir. Bir W {w 1, w 2,, w n } kümesi üzerindeki bir B bağıntısının matrisi, eşdeğerlik niteliklerine göre şöyledir: Ana köşegendeki her öğe 1 -dir, Æ B yansıyıcı ise. Bakışıktır, Æ B bakışık ise. Alıştırımlar: Aşağıdaki bağıntıların çizimleri ile matrislerini veriniz ve eşdeğerlik nitelikleri açısından değerlendiriniz (öz önalanın aynı zamanda önalan, öz artalanın da aynı zamanda artalan olduğu varsayımıyla): B 1 {(a, a),(a, b),(a, c)} B 2 {(a, b),(b, c),(a, a)} B 3 {(a, a),(b, b),(a, b), (b, a)} B 4 {(a, b),(b, c),(a, c), (c, d),(a, d)} B 5 {(a, a),(a, b),(b, c),(c, a)} Bağıntı Bileşkelerinin Bağ-Matrisleriyle Hesaplanışı: Üç küme, W {w 1, w 2,, w n }, X {x 1, x 2,, x k } ve Y {y 1, y 2,, y m } için, M B, M C ve M D sırayla, B W X, C X Y bağıntılarının ve D CB bileşkesinin bağ-matrisleri olsun. Kural: M D M B M C şeklindeki mantıksal matris çarpımı olur. (Öğeleri bitler olan iki matrisin mantıksal çarpımında mantıksal toplayış kullanılır; dolayısıyla 1+ 1 1 eder.) Dayanak: Her i (1 i n) ve her j (1 j m) için, w i CB y j Æ bir h (1 h k) için, w i B x h x h C y j ise. k Bu da toplayışın mantıksal olarak yapıldığı, w i CB y j (wi B x h x h C y j ) denklemini verir. h1 Bu denklem ise, M B M C şeklindeki mantıksal matris çarpımındaki d ij öğelerini verir. b 11 b 12 b 1k b 21 b 22 b 2k b n1 b n2 b nk c 11 c 12 c 1m c 21 c 22 c 2m c k1 c k2 c km d 11 d 12 d 1m d 21 d 22 d 2m d n1 d n2 d nm M B M C M CB M D 1998-2011 D. Çalıkoğlu 15-9

d ij b i1 c 1j + b i2 c 2j + + b ik c kj w i B x 1 x 1 C y j + w i B x 2 x 2 C y j + + w i B x k x k C y j Böylece D CB bileşkesinin bağ-matrisi, M B ve M C -nin mantıksal matris çarpımıyla elde edilmiş olur. Örnek: A 1 {2, 5} kümesinden, A 2 {a, b, c} kümesine olan B 1 {(2,b), (5,a), (5,c)} bağıntısının bağ-matrisi: M B1 0 1 0 1 0 1 A 2 {a, b, c} kümesinden, A 3 {1, 3} kümesine olan B 2 {(a,3),(b,1),(c,1)} bağıntısının bağ-matrisi: M B2 0 1 1 0 1 0 A 1 {2, 5} kümesinden, A 3 {1, 3} kümesine olan B 1 B 2 bileşkesinin bağ-matrisi: M B2 B 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 A 1 2 5 A 2 B 1 bağıntısı a b c B 2 bağıntısı 1 3 A 3 B 1 B 2 bileşkesi Sorun: Yukarıdaki örnekte verilenlere göre B 2-1 B 1-1 bileşkesinin bağ-matrisini, önce B 2-1 ve B 1-1 -in bağ-matrislerini yazıp sonra çarparak bulunuz. Çözüm: A 3 {1, 3} kümesinden, A 2 {a, b, c} kümesine olan B 2-1 {(3, a),(1, b),(1, c)} bağıntısının bağ-matrisi: M B2-1 0 1 1 1 0 0 A 2 {a, b, c} kümesinden, A 1 {2, 5} kümesine olan B 1-1 {(b, 2), (a, 5), (c, 5)} bağıntısının bağ-matrisi: M B 1-1 0 1 1 0 0 1 A 3 {1, 3} kümesinden, A 1 {2, 5} kümesine olan B 2-1 B 1-1 bileşkesinin bağ-matrisi: Sonucun bir ifadesi: B 2-1 B 1-1 (A 3 A 1 )- {(3,2)} M -1 B1 B -1 0 1 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 Tanım: M 1, n m boyutlarında bir mantıksal-matris, M 2 de en az n-satırlı ve en az n-sütunlu diğer bir mantıksal-matris olsun; şayet her i (1 i n) ve her j (1 j n) için M 1 [i,j] M 2 [i,j] imâsı geçerli ise, M 1 M 2 yani M 1, M 2 -yi imâ eder denir. 1998-2011 D. Çalıkoğlu 15-10

Bir W {w 1, w 2,, w n } kümesi üzerindeki bir B bağıntısının matrisinin, kendisiyle mantıksal çarpımı, kendisini imâ eder Æ B geçişli ise. kendisiyle mantıksal çarpımı yine kendisini verir ancak B geçişli ise. eğer B yansıyıcı ve geçişli ise, kendisiyle mantıksal çarpımı yine kendisini verir. 1998-2011 D. Çalıkoğlu 15-11