SINIR KOŞULUNDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN GEÇ KALAN ARGÜMENTLİ SÜREKLİ OLMAYAN SINIR-DEĞER PROBLEMİNİN ÖZDEĞER VE ÖZFONKSİYONLARININ ASİMPTOTİK

SINIR KOŞULUNDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN GEÇ KALAN ARGÜMENTLİ SÜREKLİ OLMAYAN SINIR-DEĞER PROBLEMİNİN ÖZDEĞER VE ÖZFONKSİYONLARININ ASİMPTOTİK İFADELERİ Erdoğa ŞEN Yükek Lia Tezi Matematik Aabilim Dalı Daışma: Doç.Dr. Azad Bayramov

T.C. NAMIK KEMAL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SINIR KOŞULUNDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN GEÇ KALAN ARGÜMENTLİ SÜREKLİ OLMAYAN SINIR-DEĞER PROBLEMİNİN ÖZDEĞER VE ÖZFONKSİYONLARININ ASİMPTOTİK İFADELERİ Erdoğa ŞEN MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN: Doç. Dr. Azad BAYRAMOV TEKİRDAĞ- Her hakkı aklıdır

Doç. Dr. Azad BAYRAMOV u.daışmalığıda, Erdoğa ŞEN tarafıda hazırlaa bu çalışma aşağıdaki jüri tarafıda Matematik Aabilim Dalı da yükek lia tezi olarak kabul edilmiştir. Juri Başkaı : Prof. Dr. Rıfat MİRKASIM İmza : Üye : Doç. Dr. Azad BAYRAMOV (Daışma) İmza : Üye : Yrd. Doç. Dr. Dilek Çiftçi KAZICI İmza : Fe Bilimleri Etitüü Yöetim Kuruluu. tarih ve. ayılı kararıyla oaylamıştır. Doç. Dr. Fatih KONUKCU Etitü Müdürü

ÖZET Yükek Lia Tezi SINIR KOŞULUNDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN GEÇ KALAN ARGÜMENTLİ SÜREKLİ OLMAYAN SINIR-DEĞER PROBLEMİNİN ÖZDEĞER VE ÖZFONKSİYONLARININ ASİMPTOTİK İFADELERİ Erdoğa ŞEN Namık Kemal Üiveritei Fe Bilimleri Etitüü Matematik Aabilim Dalı Daışma : Doç. Dr. Azad BAYRAMOV Bu Araştırmaı amacı ıır koşuluda ektral arametre bulua geç kala argümetli ürekli olmaya ıır -değer roblemii özdeğer ve özfokiyolarıı aimtotik ifadelerii bulumaıdır. Otomatik Kotrol kuramıda, öz-titreşim itemleri kuramıda, roket motorlarıı ateşlemei ile İlgili çalışmalarda, ekoomii, biyofiziği ve daha başka alaları birçok roblemleride geç kala argümetli diferaiyel deklemleri uygulamalarıa ratlaılır. Bu alalardaki roblemler geç kala argümetli diferaiyel deklemlere idirgeerek çözülür. Bu çalışmada da ıır koşuluda ektral arametre bulua geç kala argümetli ürekli olmaya ıır-değer roblemi icelemiş, yukarıda bahedile alalarda kullaılmak üzere özdeğer ve özfokiyolar içi aimtotik formüller elde edilmiştir. Aahtar kelimeler: Geç kala argümetli diferaiyel deklem, geçiş koşulları, özdeğer ve özfokiyoları aimtotikleri, ektral arametre, 7 ayfa i

ABSTRACT MSc. Thei ASYMPTOTIC EXPRESSIONS OF EIGENVALUES AND EIGENFUNCTIONS OF A DISCONTINUOUS BOUNDARY-VALUE PROBLEM WITH RETARDED ARGUMENT WHICH CONTAINS A SPECTRAL PARAMETER IN THE BOUNDARY CONDITION. Erdoğa ŞEN Namık Kemal Uiverity Graduate School of Natural ad Alied Sciece Deartmet of Mathematic Suervior : Aoc. Prof. Dr. Azad BAYRAMOV The aim of thi tudy i to fid aymtotic ereio of eigevalue ad eigefuctio of a dicotiuou boudary-value roblem with retarded argumet which cotai a ectral arameter i the boudary coditio. Alicatio of differetial equatio with retarded argumet ca be ecoutered i the theory of elfocillatory ytem, i the tudy of roblem coected with combutio i rocket egie, i a umber of roblem i ecoomic, biohyic, ad may other field. The roblem i thee area ca be olved reducig differetial equatio with retarded argumet. I thi tudy dicotiuou boudary-value roblem with retarded argumet which cotai a ectral arameter i the boudary coditio were ivetigated ad aymtotic formula were obtaied for eigevalue ad eigefuctio for uig area which metioed above. Keyword : Differetial equatio with retarded argumet, tramiio coditio, aymtotic of eigevalue ad eigefuctio, ectral arameter, 7 age ii

TEŞEKKÜR Bu çalışmada baa detek ola ve emeği geçe daışma hocam Sayı Doç. Dr. Azad BAYRAMOV a teşekkür ederim. iii

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ O y ' y " : Büyük O otayou : y fokiyouu birici mertebede türevi : y fokiyouu ikici mertebede türevi : Geç kala argümet iv

İÇİNDEKİLER Sayfa No ÖZET.. i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ iv İÇİNDEKİLER v. GİRİŞ... KURAMSAL TEMELLER... 3 3. MATERYAL ve YÖNTEM... 6 4. ARAŞTIRMA BULGULARI 7 5. SONUÇ 5 6.KAYNAKLAR. 6 ÖZGEÇMİŞ.. 7 v

. GİRİŞ Geç kala argümetli diferaiyel deklemler ilk olarak XVIII. yüzyılda Euler roblemii çözümüyle bağlatılı olarak ortaya çıkmıştır. Geç kala argümetli diferaiyel deklemler adi diferaiyel deklemler teoriii gücel koularıda biridir. Özellikle geç kala argümetli diferaiyel deklemleri ektral aalizie gittikçe arta bir ilgi vardır. Matematikel fiziği bir çok roblemi geç kala argümetli diferaiyel deklemlere idirgeerek çözülür. Sıır koşuluda ektral arametre bulua ikici mertebede adi diferaiyel o- eratörler içi ıır-değer roblemi Fulto (97), Kerimov ve Mamedov (999), Muktarov ve ark. (3) ve Tikhoov (97) tarafıda çalışılmıştır. İkici mertebede geç kala argümetli diferaiyel deklemler içi Sturm-Liouville tili ıır-değer roblemii özdeğer ve özfokiyolarıı aimtotik özellikleri ie Norki (958 ve 97), Bellma ve Cook (963), Demideko ve Likhohvai (5), Bayramov ve ark. (7), Bayramoğlu ve ark. () tarafıda çalışılmıştır. Ayrıca ıır koşuluda ektral arametre bulua Sturm- Liouville tili geç kala argümetli diferaiyel deklem içi özdeğer ve özfokiyoları aimtotik formülleri Bayramoğlu ve ark. () tarafıda elde edilmiştir. Bu çalışmada da, aralığıda / ürekizlik oktaıı içere, ( ) y"( ) + q( ) y( ( )) + λ y( ) = (.) diferaiyel deklemii a y() + a y '() =, (.) y '( ) + dλ y( ) = (.3) ıır koşulları ve γ y( ) = δy( + ), (.4) γ y '( ) = δ y '( + ) (.5) taşıma koşulları ile göz öüe alacağız. Bu deklemde ( ), q( ) ve ( ), [, ) (, ] aralığıda ürekli ve reel değerli

fokiyolardır. Burada ( ), [, ), ( ) =, (, ] şeklide taımlıdır ve şu koşullar ağlaır: q( ± ) = lim q( ), ± ( ± ) = lim ( ) olu ± limitleri mevcuttur, [, ) içi ( ), (, ] içi ( ). λ reel ektral arametre,,, γ, γ, δ, δ, a, a, d reel ayılar, a + a ve i =, içi γ i + δi. Ayrıca varayalım ki γδ = γ δ eşitliği ağlaır.

. KURAMSAL TEMELLER İkici mertebede aa argümetli diferaiyel deklemler ( m ) ( m ) ( m ) ( ) F t, ( t),..., ( t), ( t ( t)),..., ( t ( t)),..., ( t ( t)),..., ( t ( t)) = (.) şeklidedir. Burada i =,..., içi i ( t) ürekli ve ma i mi = olarak verilir. ( m ) i ( t ( t)) ile ( z ) fokiyouu z = t ( t) oktaıdaki türevi katedilmektedir. A i i verile başlagıç oktaı olu. Her ( t) amaı A oktaıı içere bir i E başlagıç ( i ) A kümei taımlar ve t A içi t ( t) < A dır. i E ( i) A = EA ve µ i= üzeride µ -kere türevleebile bir Φ ( t) başlagıç fokiyou tayi edelim. = ma i m i olu. E A A, ( j) ( j = Φ ) ( A), j =,..., µ olu. µ = ie ek olarak A E A kümeii izole edilmiş bir oktaı ie () A ve () A ayııı tayi edelim. Eğer () A keyfi olarak eçilir. (.) deklemi içi başlagıç değer roblemi [ A, B), B + aralığıda ( j ) ( ) ( j) ( ) () ( ) = A, '( ) = A, A A ( ( )) ( ) t ( t) Φ t t, t t < A ie i i i (.) koşullarıı ağlaya ( t ) çözümüü bulma roblemidir. Saa argümetli diferaiyel deklemleri doğal bir ııfladırılmaı G. A. Kamekii tarafıda yaılmıştır. (.) deklemi ( m ) ( ) t içi çözülüre ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) m m m t = f t, t, t, t t,..., t t... ( m ) ( ( )) ( ( )))..., t t,..., t t (.3) olur. λ = m µ olu. λ > içi deklemler geç kala argümetli deklemler; λ = içi ötral tili deklemler ve λ < içi ileri tili deklemler olarak adladırılır. (.3) deklemide λ > ve f fokiyou t i dışıdaki tüm argümetlere göre lieere ikici mertebede geç kala argümetli diferaiyel deklem elde ederiz: 3

i ( ) ( i ) i i (.4) ''( t) = ( a t t ( t) + b ( t) '( t ( t))) + c( t). i= (.4) deklemide ( t) = y ( t) ve '( t) y ( t) y '( t) = y ( t) ( ) i ( ) ( i ( )) i ( ) ( i ( )) = olu. (.4) deklemii birici mertebede ( ) ( ) y ' t = a t y t t + b t y t t + c t i= itemi ile yer değiştirelim. Uyguluk içi daha geel k y '( t) = a ( t) y ( t ( t)) + c ( t), k =,. (.5) k ji j i k j= i= itemii göz öüe alalım. (.5) itemi dağıtılmış gecikmelerle birlikte m k y '( t) = y ( t ) dr ( t, ) + c ( t), k =,,..., m (.6) k j j k j= itemii özel bir biçimidir. Burada itegral Stieltje alamıda alımıştır. k Myki (95) r ( t, ) üzeride bazı kııtlamalara giderek (.6) itemii başlagıç j değer roblemii çözümleri içi varlık ve teklik teoremleri oluşturmuştur. Dahaı bu çözümler başlagıç verilerie ürekli olarak bağlıdır. Amacımıza uygu olarak bu teoremleri (.5) itemii k k y '( t) = ( a ( t) y ( t) + a ( t) y ( t ( t)) ) + c ( t), k =,. (.7) k j j j j k j= formua uygu olarak yazmak yeterlidir. (.7) eşitliğii [ A, B), B + aralığıda taımlı ( k ) yk ( A) = ya = Φk ( A) ( ) ( ) y t ( t) Φ t ( t), t ( t) < A k k, (.8) koşullarıı ağlaya ( ) y t, y ( t ) çözümlerii araştıracağız. Burada, k üzeride taımlı başlagıç fokiyou olu. ( ) a t ( j = veya ) ie, j k = ve ( t) A ( j) Φ k, E A y ( j = veya 4

) ayıı keyfi olarak ataır; eğer A oktaı E A da izole edilmiş bir okta ie ayılarıı her ikii de keyfi olarak ataır. (.7) itemi ile birlikte A ( ) y ve ( ) y A t ( k ) k k yk ( t) = ya + ( a j ( τ ) y j ( τ ) + a j ( τ )) y j ( τ ( t) ) dτ A j= t ( τ ) + c dτ, k =, ; A t < B A k (.9) itegral deklemler itemii göz öüe alalım. (.8) e eşdeğer olarak da ( ) ( ) y τ ( τ ) Φ τ ( τ ), τ ( τ ) < A, j =,. (.) j koşuluu göz öüe alalım. [, ) j k k Buda böyle a ( t), a ( t), c ( t) ( j, k =,) fokiyolarıı ve ( t) j j k ı A B üzeride ve Φ k ( t)( k =,) başlagıç fokiyolarıı E A üzeride ürekli olduklarıı varayacağız. Lemma. (.7) itemii (.8) koşullarıı ağlaya bir çözümü, (.9) itegral deklemler itemii (.) koşuluu ağlaya ürekli bir çözümüdür. Terie (.9) itemii (.) koşuluu ağlaya ürekli çözümüdür. bir çözümü (.7) itemii (.8) koşullarıı ağlaya bir Teorem. Φ = ma u Φ ( t) < olu. O halde (.7) itemii [ A, B ) aralığıda (.8) k EA k başlagıç koşullarıı ağlaya tek bir çözümü vardır. 5

3. MATERYAL ve YÖNTEM Bu çalışmada öcelikle (.)-(.5) roblemii çözümü itegral deklemler ciide yazılmıştır. Daha ora roblemi özdeğerlerii ayıı ve yaıı belirleerek özdeğer ve özfokiyolar içi aimtotik formüller elde edilmiştir. Teoremleri iatlamaıda ie Rolle teoremi, kımi itegrayo ve iterayo tekiği kullaılmıştır. Rolle Teoremi. ( ) f fokiyou [ a, b ] aralığıda ürekli, f '( ) türevi (, ) aralığıda mevcut ve f ( a) = f ( b) olu. O halde e az bir c ( a, b) Teorem (Kımi itegrayo). u ( ) ve v( ) fokiyoları [, ] b a b açık içi f '( c ) = olur. a b kaalı aralığıda diferaiyelleebile fokiyolar ie u( ) v '( ) d = u( b) v( b) u( a) v( a) u '( ) v( ) d olur. a İterayo. Çekirdek olarak adladırıla K ( t, ) ve f ( t ) fokiyoları bilie, y( t ) bilimeye fokiyo, λ ie herhagi bir ayıal arametre olmak üzere b a b [ ] y( t) = λ K( t, ) y( ) d + f ( t), t a, b (3.) a lieer Fredholm itegral deklemii göz öüe alalım. Burada K ( t, ) fokiyou {(, ) :, } G = t R a t b a b üzeride, ( ) (3.) deklemii [, ] [ ] f t ie [, ] a b üzeride üreklidir. O halde a b aralığı üzeride ürekli bir y *( t ) çözümü vardır ve her başlagıç y ( t) C a, b fokiyou içi terimleri şeklide taımlaa y dizii * b y ( t) = λ K( t, ) y ( ) d + f ( t), =,,... a y fokiyoua [, ] a b aralığıda düzgü yakıaktır. 6

4. ARAŞTIRMA BULGULARI w (, λ ), (.) deklemii, aralığıda w (, λ ) = a, w '(, λ ) = a (4.) başlagıç koşullarıı ağlaya bir çözümü olu. (4.) başlagıç koşulları (.) deklemii tek bir çözümüü taımlar (Norki 97). Yukarıdaki durumu belirterek, aralığıda (.) deklemii w (, λ ) çözümüü aşağıdaki başlagıç koşullarıda w (, λ) çözümü yardımıyla şöyle taımlayacağız: w (, λ) = γδ w (, λ), w '(, λ) = γ δ w '(, λ). (4.) (4.) başlagıç koşulları (.) deklemii, aralığıda tek bir çözümüü taımlar. Souç olarak w(, λ ) fokiyou,, aralığıda (.) deklemii (.),(.4) ve (.5) ıır koşullarıı ağlaya çözümü olarak aşağıdaki eşitlik ile taımlıdır. w (, λ),,, w(, λ) = w (, λ),,. Lemma 4. w(, λ ), (.) deklemii bir çözümü ve λ > olu. O halde aşağıdaki itegral deklemler ağlaır. a q( τ ) w (, λ) = a co i i ( τ ) w ( τ ( τ ), λ) dτ, (4.3) 7

γ w '(, λ) w w γ (, λ) = (, λ)co ( ) + i ( ) δ δ q( τ ) i ( ) w ( ( ), ) d (, ). τ τ τ λ τ = λ λ > / (4.4) q( τ ) İat. Bu lemmayı iatlamak içi (4.3) ve (4.4) de ıraıyla w ( τ ( τ ), λ) yerie w ( τ, λ) w ''( τ, λ) ve w q( τ ) ( τ ( τ ), λ) yerie koularak ve iki kere kımi itegrayo uygulaarak buluur. w ( τ, λ) w ''( τ, λ) Teorem 4. (.)-(.5) ıır-değer roblemi adece bait özdeğerlere ahi olabilir. İat. λ ɶ, (.)-(.5) ıır-değer roblemii bir özdeğeri ve uɶ (, ɶ λ),,, uɶ (, ɶ λ) = uɶ (, ɶ λ),, bu özdeğere karşı gele özfokiyo olu. O halde (.) ve (4.) de u(, ) a W λ u(, λ), w (, λ) = ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ uɶ '(, ɶ λ) a = elde edilir. Böylece Wrokia ıfıra eşit olduğuda u ɶ (, λɶ ) ve w (, λɶ ),, aralığıda lieer bağımlıdır (Norki 97). Bezer şekilde u ɶ (, λɶ ) ve w (, λɶ ) ü de, aralığıda lieer bağımlı olduğu göterilebilir. Bu yüzde bazı K ve K içi uɶ (, ɶ λ) = K w (, ɶ λ) ( i =, ) (4.5) i i i elde edilir. K = K olduğuu götermeliyiz. Varayalım ki K K. (.4) ve (4.5) eşitlikleride γ uɶ (, ɶ λ) δuɶ ( +, ɶ λ) = γ uɶ (, ɶ λ) δuɶ (, ɶ λ) = γkw (, ɶ λ) δkw (, ɶ λ) 8

= γkδγ w (, ɶ λ) δkw (, ɶ λ) = Kδw (, ɶ λ) Kδw (, ɶ λ) = δ( K K) w (, ɶ λ) =. δ ( K K ) olduğuda w(, ɶ λ ) = (4.6) elde edilir. Bezer şekilde (.5) de w '(, ɶ ) λ = (4.7) elde edilir. w (, λɶ ),, aralığıda (.) deklemii (4.6) ve (4.7) başlagıç koşullarıı ağlaya bir çözümü olduğuda, aralığıda w (, ɶ λ ) = olarak buluur. Ayrıca, w (, ɶ λ) = w '(, ɶ λ) =. eşitliği (4.), (4.6) ve (4.7) kullaarak elde edilir. w (, λ ) hakkıda elde edile ouçlarda, aralığıda w (, ) λ = olarak buluur. Dolayııyla,, aralığıda w(, ɶ λ) özdeş olarak ıfıra eşittir. Bu da (4.) ile çelişir ki bu da iatı tamamlar. w(, λ ), (.) deklemii (.), (.4) ve (.5) koşullarıı ağlaya aşikar olmaya bir çözümüdür. w(, λ ) yı (.3) de yerie koyarak, karakteritik deklemii elde ederiz. F( λ) = w'(, λ) + dλw(, λ) =. (4.8) Teorem (4.) de (.)-(.5) ıır-değer roblemii özdeğerleri ile (4.8) deklemii reel kökleri ayıdır. / q = q( τ ) dτ ve q = q( τ ) dτ olu. / Lemma 4. () λ olu. O halde (4.3) deklemii w (, ) λ çözümü içi aşağıdaki 4q eşitizlik doğrudur: 9

w (, λ) 4 q a + a,,. q () ma{ 4 q,4q } içi aşağıdaki eşitizlik doğrudur: (4.9) λ olu. O halde (4.4) deklemii w (, λ) çözümü γ γ w (, λ) 4 q a + a +,,. q δ δ (4.) İat. B = ma w (, ) olu. O halde (4.3) de her λ > içi aşağıdaki eşitizlik λ λ, doğrudur: a B λ a + + B λq. Eğer q ie o halde Burada da a + a B B q a a B λ λ + λ = + + B B B = a + a λ 4q a + a λ λ q B 4 q a + a. λ q Buluur ki böylece (4.9) elde edilir. (4.3) ü e göre türevii alırak şuu elde ederiz: w '(, λ) = a i a co q( τ )co ( τ ) w ( τ ( τ )) dτ. (4.) + olduğuu görmek kolaydır. a i a co a a q( τ )co ( τ ) w ( τ ( τ )) dτ q( ) d 4q a a ma [, ] co ( ) τ τ + τ τ q. q. 4 q a + a. = 4 q a + a. q.

(4.9) ve (4.) de q içi aşağıdaki eşitizlik doğrudur: Buda dolayı q ve, içi w '(, ) a a 4 q a a. λ + + + w '(, λ) 4q a + a + 4q a + a = 4q a + a Burada da elde edilir. λ ma (, λ), q 4 q a + a. q w '(, λ ) 4q a + a (4.) B = w olu. O halde (4.4), (4.9) ve (4.) de q içi w '(, λ ) γ γ ( τ ) w λ B w λ B dτ (, ) q λ (, ) λ δ + δ + / γ 4q a a 4q a a B q q + + γ q + + q λ δ δ B B λ λ γ γ Bλ = 4 q a + a +. q δ δ Buda dolayı ma{ 4 q,4q } λ içi (4.) ağlaır. Teorem 4. (.)-(.5) roblemi ouz ayıda ozitif özdeğerlere ahitir. İat. (4.4) ü e göre türevii alırak γ γ w '(, λ) = w ', λ i ( ) + w '(, λ) co ( ) δ δ q( )co ( ) w ( ( ), ) d. τ τ τ λ τ / (4.3), (4.4), (4.6),(4.9) ve (4.) de (4.3)

/ γ a F( λ) = a co i q( τ )i τ w ( τ ( τ ), λ) dτ δ i / γ + a a q w δ co / i co ( τ )co τ ( τ ( τ ), λ) q( τ )co ( τ ) w ( τ ( τ ), λ) dτ / γ a + λd a co i q( τ )i τ w ( τ ( τ ), λ) dτ δ co a i a co q( τ )co τ w ( τ ( τ ), λ) dτ / γ + δ i q( )i ( ) w ( ( ), ) d / τ τ τ τ λ τ (4.4) elde edilir. Burada olaı iki durum vardır:. a. a =. Öce a durumuu göz öüe alalım. λ yeterice büyük olu. Eğer (4.4) ü ile bölerek şuu elde ederiz: γa γ a dγ a co i i co + co co δ δ δ / dγa dγ i co q( τ )i ( τ ) w ( τ ( τ ), λ ) dτ co δ δ dγ a dγ a i i co i δ δ / / dγ ( )co ( ) q τ τ w ( τ ( τ ), λ) dτ i δ d q( τ )i ( τ ) w ( τ ( τ ), λ) dτ. = O halde (4.9) ve (4.) da (4.4) deklemi yeterice büyük λ değerleri içi

γ co co γ i i + () = da O δ δ şeklide yeide yazılabilir. γ δ = γ δ eşitliğii kullaırak ve burada da γ co co γ i i + () = da O δ δ daγ + co + O() =. (4.5) δ Aşikar olarak (4.5) ouz ayıda çözüme ahitir. a = durumuda ie + O i + () = halii alır ki deklem ouz ayıda çözüme ahitir. Böylece teorem iatlamış oldu. Şimdi özdeğer ve özfokiyoları aimtotik özellikleri üzeride çalışacağız. Buda ora i yeterice büyük olduğuu varayacağız. elde edilir. (4.3) ve (4.9) da, aralığıda w (, λ ) = O(). (4.6) (4.4) ve (4.) da, aralığıda w (, λ ) = O() (4.7) λ < ve içi '(, ) w λ ; λ < ve içi w '(, ) λ türevlerii varlığı ve ürekliliği Norki (97) tarafıda göterilmiştir: ve '(, ) (),, w λ = O w '(, λ) = O(),, 3 (4.8) (4.9) Teorem 4.3 bir doğal ayı olu. Yeterice büyük her içi a durumuda (.)-

(.5) roblemii ( ) + ( + ) civarıda tam olarak bir özdeğeri vardır. İat. (4.5) deklemide O () ile göterile şu ifadeyi göz öüe alacağız: γ + a + a δ γ + da i + i + co δ δ γ ( + ) τ ( + ) τ d i + /co ( ) + + δ co ( τ ) dδ i ( τ ) + + q( τ ) w ( τ ( τ ), λ) dτ. γ / γ q( τ ) w ( τ ( τ ), λ) dτ (4.6)-(4.9) formülleri göz öüe alıdığıda göterilebilir ki büyük değerleri içi bu ifade olu türeve ahitir. Aşikardır ki (4.5) deklemii kökleri büyük değerleri içi tam ayıları + yakııda yer alır. Biz götereceğiz ki büyük içi (4.5) deklemii ( + ) civarıda adece bir kökü vardır. daγ + G( ) = co + O() fokiyouu göz öüe alalım. O halde δ daγ daγ ( ) G '( ) co + + i + = + O() türevi δ δ + ( + ) civarıda yeterice büyük içi mevcut olduğuda Rolle teoremide iddiamızı doğru olduğu görülür. yeterice büyük olu. (.)-(.5) roblemii özdeğerii λ = olarak göterelim. + δ = O( ) elde edilir. Souç olarak ( + ) ( + ) civarıda = ( + ) + δ olarak taımlayalım. O halde (4.5) de ( ) ( ). = + + O + (4.) (4.) formülü (.)-(.5) roblemii özfokiyouu aimtotik ifadeii elde etmeyi mümkü kılar. (4.3), (4.) ve (4.6) da 4

ve w (, λ ) = a co O( ) + (4.) w '(, λ ) = a i + O() (4.) (4.4), (4.7), (4.), (4.) ve γδ = γ δ eşitliğide γ a γ a w O (, λ) = co co ( ) i i ( ) + ( ) δ δ γ a δ γ a co co ( ) i i ( ) O( ) δ = + γ a co( ( )) O( ) δ = + + γ a ( ) co ( ) O( ) δ = + + (4.3) (4.) yi (4.) ve (4.3) de yerie koyarak şuu elde ederiz: ( + ) u = w λ = a + O ( ) (, ) co ( ), + γ ( )( + ) ( + ) u = w λ = + + O ( ) (, ) co( ) ( ) δ ( + ) + Buda dolayı u ( ) özfokiyoları aşağıdaki aimtotik ifadeye ahitir: ( + ) u( ) = + + δ ( + ) + a co + O( ),,, + γ ( )( + ) ( + ) co( ) O( ),,. Bazı ek koşullar altıda geç kala argümete bağlı daha kei aimtotik formüller elde edilebilir. Varayalım ki aşağıdaki koşullar ağlaır: a.) q '( ) ve ''( ) türevleri mevcut,,, aralığıda ıırlı ve ıraıyla q '( ± ) = lim q '( ) ve ± ''( ± ) = lim ''( ) olu limitleri mevcuttur. ± b.),, aralığıda '( ), ( ) = ve lim ( ) = + b.) yi kullaarak; 5

( ),, (4.4) ve ( ),, (4.5) (4.), (4.3),(4.4) ve (4.5) de, ve, içi ıraıyla w ( τ ( τ ), λ) = a co ( τ ( τ )) + O( ), (4.6) γ a ( ) τ ( τ ) w = + + O (4.7) ( τ ( τ ), λ) co ( ) ( ) δ buluur. Bu ifadeleri (4.4) de yerie koyarak; da γ + γ da + γ a + a γ + co i i co δ δ δ δ / γ + τ q( τ )co ( ) a co ( τ ( τ )) O( ) dτ δ + / γ + τ q( )i ( τ d δ = co ) a co ( τ ( τ )) + O( ) dτ γa τ ( τ ) q( )co ( ) co ( ) O( ) d τ τ + + τ / δ d γa τ ( τ ) q( )i ( ) co ( ) O( ) d τ τ + + τ / δ da γ + γda + γa + i i δ δ δ / + co ( τ )i ( τ ) c / / dγa + i τ q ( τ ) co co ( τ ( τ )) dτ δ τ co q ( )i co ( ( )) d τ τ τ τ + q o ( ( )) d τ τ τ 6

+ τ τ τ τ τ + / da γ + γ da + γ a + = co i i δ δ δ i q( )i ( )i ( ( )) d O( ) / dγa + i τ q ( τ )co co ( τ ( τ )) dτ δ / + τ co q ( )i co ( ( )) d τ τ τ τ co τ i ( )co co ( ( )) + q τ τ τ dτ / co co q ( ) / τ τ i co ( τ ( τ )) dτ i τ i ( )co i ( ( )) + q τ τ τ dτ / + / τ i co q( τ )i i ( τ ( τ )) dτ O( ) da γ + γ a = co da + δ δ + i τ co i q( τ ) co c / dγa + ( τ ) i q( τ ) co co ( τ ( τ )) dτ δ + / + ( τ ) co q( τ ) i i ( τ ( τ )) dτ + ( ) + + / o ( τ ( τ )) dτ ( τ ) co co q( ) i i ( ( )) d τ + τ τ τ / ( τ ) i i q( ) i i ( ( )) d τ τ τ τ / i co q( τ ) ( τ ) co co ( τ ( τ )) dτ + O( ) =. / (4.8) Şimdi bazı fokiyolar taımlayalım: 7

A(,, ( τ )) = q( τ )i ( τ ) dτ, B(,, ( τ )) = q( τ )co ( τ ) dτ. (4.9) Açıktır ki bu fokiyolar < < içi aralığıda ıırlıdır. C(,, ( τ )) = q( τ )i ( τ ) dτ, / D(,, ( τ )) = q( τ ) co ( τ ) dτ. / (4.3) Açıktır ki bu fokiyolar < < içi aralığıda ıırlıdır. a.) ve b.) koşulları altıda aşağıdaki formüller doğrudur (Norki 97). q( τ )co ( τ ( τ )) dτ = O( ), / / q( τ )i ( τ ( τ )) dτ = O( ), q( τ )co ( τ ( τ )) dτ = O( ), q( τ )i ( τ ( τ )) dτ = O( ). (4.3) (4.8), (4.9), (4.3) ve (4.3) de şuu elde ederiz: dγ a + da γ + γ a + co i i δ δ δ dγ a + dγ a + B(,, ( τ ))i + A(,, ( τ ))co δ δ dγ a dγ a D(,, ( τ ))i co C(,, ( τ ))i i δ δ dγ a + C(,, ( τ )) co co δ dγ a D(,, ( τ ))co i O( ). δ + = Eğer bu deklemi ile bölerek deklem şu hale gelir: 8

dγ a + da γ + γ a + co i i δ δ δ dγ a + dγ a + B(,, ( τ ))i + A(,, ( τ )) co δ δ dγa + C(,, ( τ )) co( + ) δ dγ a D(,, ( ))i( + ) + O( ) =. δ τ (4.3) deklemii i( + ) = i + ile bölerek (4.3) dγa + daγ γa cot δ δ δ dγ a dγ a + B(,, ( τ )) + A(,, ( τ ))cot δ δ dγ a + dγ a (,, ( τ )) cot (,, ( τ )) ( ) + C D + O = δ δ olur. Böylece deklem + d d + + cot C(,, ( τ )) d A(,, ( τ )) d da d = + + + + a ve D(,, ( τ )) B(,, ( τ )) O( ) + d da d cot = D(,, ( τ )) + + + B(,, ( τ )) + O( ) a ( + ) Eğer = + δ olarak alırak + ( + ) δ ( + ) δ cot( ( + ) + ) = ta + d ( + ) da d ( + ) (,, ( τ )) (,, ( τ )) ( + ) + a + + O( ) = D + + + B olur. Bu yüzde büyük içi 9

d ( + ) da d ( + ) δ = D(,, ( τ )) + + + B(,, ( τ )) ( + ) + a + + O( ) olarak buluur. Souç olarak, ( + ) d ( + ) da D(,, ( )) + ( + ) + a = τ + + d ( + ) + B + O + (,, ( τ )) ( ). Böylece ıradaki teoremi iatlamış olduk. (4.33) Teorem 4.3 Eğer a.) ve b.) koşulları ağlaıra (.)-(.5) roblemii özdeğerleri içi (4.33) aimtotik formülüe ahitir. da: λ = ozitif Özfokiyolar içi daha kei bir aimtotik formül elde edebiliriz. (4.3) ve (4.6) a a λ = τ τ τ τ τ + w (, ) a co i q( )i ( )co ( ( )) d O( ). Böylece (4.9), (4.3) ve (4.3) de a w λ a (, ) = co i q( ) i co co i co ( ( )) d O( ). τ τ τ τ τ τ a + w a q a a (, λ) = co i ( ) i co co ( ( )) τ τ τ τ co i τ co ( τ ( τ )) dτ + O( ). a i a w (, λ) a co i q( τ ) = co ( ) co ( ( )) d τ + τ τ τ a co q( ) i ( ) i ( ( )) d O( ). τ τ τ τ τ + +

a i a co a w (, λ) = a co i B(,, ( τ )) + A(,, ( τ )) + O( ). A(,, ( )) i τ a w (, λ) = a co + a + B(,, ( τ )) + O( ). yerie koyarak ve (4.33) ü kullaarak u w λ a ( + ) ( + ) A ( + ) = (, ) = co + (,, ( )) + ( + ) + elde edilir. + a ( + ) d D ( + ) i (,, ( τ )) + ( + ) + da ( + ) + ( + ) + + + db(,, ( τ )) i a + ( + ) + a ( + ) a + B(,, ( τ )) + O( ) + w '(, λ) a a = i co q τ τ τ τ O a ( )co ( )co ( ( )) + ( ) a a = i co a q( ) co ( ( )) co ( ( ( )) τ τ + τ τ a = i + A (,, ( τ )) co a a + B(,, ( τ )) O( ),,. + τ (4.34) (4.35) (4.36) (4.4), (4.7), (4.3), (4.34), (4.36) ve γδ = γ δ eşitliğide

i γ w (, λ) = a co + A(,, ( τ )) δ a a + B(,, ( τ )) + O( ) co ( ) co γ a i + A(,, ( τ )) + δ a a + B(,, ( τ )) + O( ) i ( ) γa ( ) q( τ )i ( τ ) co ( τ ( τ )) O( ) dτ + + / δ γ a co co co A (,, ( τ )) δ γa i co co δ a + B(,, ( τ )) a = + γ a co i i A (,, ( τ )) δ γa i i i δ a B(,, ( τ )) a + + + + γ a i i co A (,, ( τ )) δ γa co i co δ a + B(,, ( τ )) a + + γ a i co i A (,, ( τ )) δ γa co co i δ a B(,, ( τ )) a + + γa ( ) q( τ ) i ( ( τ )) δ + / + ( ) τ τ τ + i ( ( ( ))) d O( )

γ a co co co A (,, ( τ )) δ γa i co co δ a + B(,, ( τ )) a = + γ a co i i A (,, ( τ )) δ γa i i i δ a + B(,, ( τ )) a + + + γ a i i co A (,, ( τ )) δ γa co i co δ a (,, ( τ )) a + + + B γ a i co i A (,, ( τ )) δ γa co co i δ a + B(,, ( τ )) a + γa ( ) ( τ ) i ( + ) q( τ )co dτ δ / D(,, ( τ )) γa ( ) ( τ ) + co ( + ) q( τ )i dτ δ / O( ) O( ) C (,, ( τ )) γa ( ) i ( ) q( τ )co( τ ( τ )) dτ δ / O( ) γa ( ) + co ( ) q( τ )i( τ ( τ )) dτ δ / O( ) γ a (,, ( )) co co co co i A i δ = + τ + 3

γa a + i i co i co i + B(,, ( τ )) δ a i co co + i i i co i co ( co co i ) + + i ( + ) D(,, ( τ )) ( + ) C + O co ( ) (,, ( τ )) ( ) γa γa ( ) = + A(,, ( τ )) + C(,, ( τ )) co ( + ) δ δ γa γ a ( ) D(,, ( τ )) + a + B(,, ( τ )) i ( + ) δ δ + O( ),,. yerie koyarak ve (4.33) eşitliğii kullaarak, içi γa + ( + ) u = w (, λ ) = + A(,, ( τ )) δ ( + ) + γ( + ) ( + ) ( )( + ) + C(,, ( τ )) co( ) + δ ( + ) + + ( + ) γ a d ( + ) D δ ( + ) + + (,, + B(,, ( τ )) ( τ )) d ( + ) ( ) + B(,, ( τ )) + + da a + + aγ ( + ) ( + ) γ( + ) D(,, ( τ )) + δ( + ) + δ ( + ) a ( + ) ( )( ) i( + + ) + O( ). + + ( + ) ( a (4.37) a = durumu içi de bezer işlemler yaılarak özdeğer ve özfokiyolar içi aimtotik formüller elde edilebilir. 4

5. SONUÇ So olarak elde edile bulgular oucuda aşağıdaki teorem iatlamış oldu: Teorem 5. Eğer a.) ve b.) koşulları ağlaıyora (.)-(.5) roblemii u ( ) özfokiyolarıı içi aimtotik göterilimi u ( ), [, ), u ( ) = u( ), (, ] şeklidedir. Burada u ( ), (4.35) ve u ( ), (4.37) formülleriyle taımlıdır. 5

6. KAYNAKLAR Bayramoğlu M, Köklü K, Baykal O (). O the ectral roertie of the regular Sturm-Liouville roblem with the lag argumet for which it boudary coditio deed o the ectral arameter. Turk. J. Math., V.6 No.4: 4-43. Bayramov A, Çalışka S, Ulu S (7). Comutatio of eigevalue ad eigefuctio of a dicotiuou boudary value roblem with retarded argumet. Al. Math. Comut., Vol. 9:59-6. Bellma R, Cook KL (963). Differetial-Differece Equatio. New York Academic Pre, Lodo, USA Demideko GV, Likhohvai VA (5). O Differetial Equatio with Retarded Argumet. Sib. Mat. Zh, 46.3: 47-43. Fulto CT (977). Two oit boudary value roblem with eigevalue arameter cotaied i the boudary coditio. Roy. Soc. Ediburgh, A 77: 93-38. Kerimov NB, Mamedov K (999). O a boudary value roblem with a ectral arameter i the boudary coditio. Sib Math. Zh., : 35-335. Mukhtarov OSH, Kadakal V, Altmışık N (3). Eigevalue ad eigefuctio of dicotiuou Sturm-Liouville roblem with eigearameter i the boudary coditio. Idia J. Pure Al. Math., 34(3): 5-56. Norki SB (958). O Boudary Problem of Sturm-Liouville Tye for Secod Order Differetial Equatio with Retarded Argumet. Izv. Vy. Uceb. Zaved. Matematika, o 6(7): 3-4. Norki SB (97). Differetial Equatio of the Secod Order with Retarded Argumet. America Mathematical Society, 85, Providece, Rhode Ilad, USA. Tikhoov AN, Samarki AA (97). Uraveiya mathematichekoi fiziki, Mocow, USSR. 6

ÖZGEÇMİŞ Erdoğa Şe, 8 Aralık 985 tarihide Kırcaali de doğmuştur. 4 yılıda Perteviyal Aadolu Lieii bitirdikte ora ayı yıl Gebze Yükek Tekoloji Etitüü Fe Fakültei Matematik Bölümü de lia eğitimie başlamıştır. Lia Eğitimii 8 yılıda tamamladıkta ora 9 yılıda Yıldız Tekik Üiveritei Fe Bilimleri Etitüü Matematik Aabilim Dalı da yükek lia eğitimie başlamıştır. Tez aşamaıda ie Namık Kemal Üiveritei Fe Bilimleri Etitüü Matematik Aabilim Dalı a yatay geçiş yamıştır. 9 yılıı Aralık ayıda beri Namık Kemal Üiveritei Fe Edebiyat Fakültei Matematik Bölümü de araştırma görevlii olarak çalışmaktadır. 7