Bölüm 3 Türev Kuralları Kural 1. Sabitle Çarpım Kuralı c bir sabit ve f türevlenebilir bir fonksiyonsa, ir. x [cf(x)] = c x f(x) Kural 2. Toplam-Fark Kuralı f ve g türevlenebilir ise, ir. [f(x) ± g(x)] = x x f(x) ± x g(x) Kural 3. Çarpım Kuralı f ve g türevlenebilir ise, ir. [f(x)g(x)] = f(x) [g(x)] + g(x) x x x [f(x)] Kural 4. Bölüm Kuralı f ve g türevlenebilir fonksiyonlarsa, ir. x [ ] f(x) g(x) = x g(x) [f(x)] f(x) x [g(x)] [g(x)] 2 1
2 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI Kural 5. Sabit Fonksiyon Türevi : x (c) = 0 Kural 6. Kuvvet Kuralı Her n gerçel sayısı için, ir. x (xn ) = nx n 1 Örnek 1. x (10x3 6x + 5) = 10 x (x3 ) 6 x (x) + x (5) = 10(3x 2 ) 6(1) + 0 = 30x 2 6 Örnek 2. Aşağıaki türevleri alınız. (a) f(x) = 1 x 2 (b) y = 3 x 2 Çözüm. İki uruma a, fonksiyonu x in üssü olarak yenien yazarız. (a) f(x) = x 2 oluğunan, n = 2 için Kuvvet Kuralını uygularız: f (x) = x (x 2 ) = 2x 2 1 = 2x 3 = 2 x 3 (b) y x = x ( 3 x 2 ) = x (x2/3 ) = 2 3 x(2/3) 1 = 2 3 x 1/3 Örnek 3. y = x 4 6x 2 + 4 eğrisi üzerineki, teğet oğrusunun yatay oluğu noktaları bulunuz. Çözüm. Yatay teğetler, türevin 0 oluğu noktalaraki teğetlerir. Öncelikle, y x = x (x4 ) 6 x (x2 ) + x (4) = 4x3 12x + 0 = 4x(x 2 3)
3 ele eeriz. y x = 4x(x2 3) Dolayısıyla, x = 0 ve x 2 3 enkleminin kökleri olan x = ± 3 için y/x = 0 olur. Bu neenle, verilen eğri x = 0, x = 3 ve x = 3 için yatay teğetlere sahiptir. Bu eğerlere karşılık gelen noktalar (0, 4), ( 3, 5) ve ( 3, 5) ir. Şekil 3.1: Örnek 4. f(t) = t(1 t) fonksiyonunun türevini alınız. Çözüm. 1. Yol: Çarpım kuralını kullanarak, f (t) = t (1 t) + (1 t) x x ( t) = t( 1) + (1 t) 1 2 t 1/2 = t + 1 t 2 t = 1 3t 2 t 2. Yol : Üs kuralını kullanarak, f(t) fonksiyonunu yenien yazarsak, türevini çarpım kuralını kullanmaan a alabiliriz. Böylece, f(t) = t t t = t 1/2 t 3/2 f (t) = 1 2 t 1/2 3 2 t1/2 ele eilir. Bu örnek, bazen fonksiyonların çarpımını saeleştirmenin, çarpım kuralını kullanmaktan aha kolay oluğunu göstermekteir. Örnek 5. g(4) = 2 ve g (4) = 3 olmak üzere, f(x) = x. g(x) ise, f (4) eğerini bulunuz. Çözüm. Çarpım kuralını uygulayarak, f (x) = ( ) x. g(x) = x. x x (g(x)) + g(x). ( ) x x = x. g (x) + g(x). 1 2. x 1/2 = x. g (x) + g(x) 2 x
4 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI ele eeriz. Dolayısıyla, f (4) = 4. g (4) + g(4) 2 4 = 2. 3 + 2 = 6.5 olur. 2. 2 Örnek 6. y = x2 + x 2 x 3 + 6 olsun. Bu uruma, y = (x 3 + 6) x (x2 + x 2) (x 2 + x 2) x (x3 + 6) (x 3 + 6) 2 = (x3 + 6)(2x + 1) (x 2 + x 2)(3x 2 ) (x 3 + 6) 2 = (2x4 + x 3 + 12x + 6) (3x 4 + 3x 3 6x 2 ) (x 3 + 6) 2 = x4 2x 3 + 6x 2 + 12x + 6 (x 3 + 6) 2 ele eilir. Not : F (x) = 3x2 + 2 x x fonksiyonunun türevini bölüm kuralını kullanarak almak mümkünür. Ancak, önce bölmeyi yapmak ve fonksiyonu F (x) = 3x + 2x 1/2 biçimine yazıktan sonra türevi almak çok aha kolayır. Kural 7. Doğal Üstel Fonksiyonun Türevi : x (ex ) = e x Kural 8. Üstel Fonksiyonun Türevi : a > 0, a 1 gerçel sayısı için x (ax ) = a x ln a ır. Örnek 7. f(x) = e x x, ise f ve f fonksiyonlarını bulunuz.
5 Çözüm. Fark kuralını kullanarak, f (x) = x (ex x) = x (ex ) x (x) = ex 1 ele eeriz. İkinci türevi, f nün türevi olarak tanımlaık. Bu neenle, ele eeriz. f (x) = x (ex 1) = x (ex ) (1) = ex x Örnek 8. y = e x eğrisinin hangi noktasınaki teğet oğrusu y = 2x oğrusuna paralelir? Çözüm. y = e x oluğunan, y = e x ir. Soruaki noktanın x koorinatı a olsun. Bu noktaaki teğet oğrusunun eğimi e a olur. Teğet oğrusu, eğimi, y = 2x oğrusunun eğimiyle aynı, başka bir eyişle 2 oluğuna, bu oğruya paralel olacaktır. Eğimleri eşitlersek,e a = 2 a = ln 2 ele eeriz. Dolayısıyla, aranılan nokta (a, e a ) = (ln 2, 2) ir. Şekil 3.2: Örnek 9. a. f(x) = xe x ise, f (x) i bulunuz. b. f nin n-inci türevi, f (n) (x) i bulunuz. Çözüm. a. Çarpım kuralınan, ele eeriz. f (x) = x (xex ) = x x (ex ) + e x x (x) = xex + e x. 1 = (x + 1)e x b. Çarpım kuralını ikici kez kullanarak, f (x) = x [(x + 1)ex ] = (x + 1) x (ex ) + e x (x + 1) x = (x + 1)e x + e x. 1 = (x + 2)e x
6 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI ele eeriz. Çarpım kuralının art ara uygulanmasıyla, f (x) = (x + 3)e x f (4) (x) = (x + 4)e x ele eilir. Aslına, art ara gelen her türev alma ile başka bir e x terimi eklenir, bu neenle olur. f (n) (x) = (x + n)e x Örnek 10. y = e x /(1 + x 2 ) eğrisinin (1, e/2) noktasınaki teğet oğrusunun enklemini bulunuz. Çözüm. Bölüm kuralınan, y (1 + x2 ) x = x (ex ) e x x (1 + x2 ) (1 + x 2 ) 2 = (1 + x2 )e x e x (2x) (1 + x 2 ) 2 = ex (1 x) 2 (1 + x 2 ) 2 ele eeriz. Dolayısıyla, (1, e/2) eki teğet oğrusunun eğimi, y x = 0 x=1 ır. Bu, (1, e/2) noktasınaki teğet oğrusunun yatay ve enkleminin y = e/2 oluğunu ifae etmekteir. [Foksiyonun artan oluğuna ve (1, e/2) eki teğet oğrusunu keserek geçtiğine ikkat einiz.] Şekil 3.3: Kural 9. Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri : (sin x) = cos x x (cos x) = sin x x x (tan x) = sec2 x (sec x) = sec x tan x x (csc x) = csc x cot x x x (cot x) = csc2 x
7 Örnek 11. f(x) = varır? sec x 1 + tan x fonksiyonunun türevini alınız. Hangi x eğerleri için f nin grafiğinin yatay teğeti Çözüm. Bölüm kuralı f (x) = (1 + tan x) (sec x) sec x (1 + tan x) x x (1 + tan x) 2 = (1 + tan x) sec x tan x sec x sec2 x (1 + tan x) 2 f (x) = sec x [tan x + tan2 x sec 2 x] (1 + tan x) 2 = sec x (tan x 1) (1 + tan x) 2 verir. Yanıtı saeleştirmek için, tan 2 x + 1 = sec 2 x özeşliğini kullanık. sec x hiç sıfır olmaığınan, yalnız tan x = 1 için f (x) = 0 oluğunu görürüz ve bu n tamsayı olmak üzere x = nπ + π/4 eğerine gerçekleşir. Örnek 12. cos x fonksiyonunun 27 inci türevini bulunuz. Çözüm. f(x) = cos x fonksiyonunun ilk bir kaç türevi aşağıaki gibiir: f (x) = sin x f (x) = cos x f (x) = sin x f (4) (x) = cos x f (5) (x) = sin x Arışık türevlerin, ört aıma bir yineleniğini ve n, 4 ün bir katı olmak üzere, f (n) (x) = cos x oluğunu görürüz. Bu neenle, f (24) (x) = cos x olur ve üç kez aha türev alırsak f (27) (x) = sin x ele eeriz.
8 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI 3.1 Zincir Kuralı F (x) = x 2 + 1 fonksiyonunun türevini almanızın isteniğini varsayalım. Daha önce öğreniğimiz türev alma kuralları ile F (x) i hesaplamanız olanaklı eğilir. F nin bir bileşke fonksiyonu oluğunu gözlemleyiniz. Gerçekten e y = f(u) = u ve u = g(x) = x 2 + 1 ise y = F (x) = f(g(x)), bir başka eyişle F = f g yazabiliriz. f ve g nin her ikisinin e türevlerinin nasıl alınacağını biliyoruz, olayısıyla F = f g fonksiyonunun türevinin, f ve g nin türevleri cinsinen nasıl bulunuğunu söyleyen bir kural yararlı olacaktır. f g bileşke fonksiyonunun türevi, f ve g nin türevlerinin çarpımıır. Bu, türev alma kurallarının en önemlilerinen biriir ve Zincir Kuralı olarak alanırılır. Bu, türevleri eğişim hızları olarak ele alığımıza, akla yatkın görünmekteir. u/x i, u nun x e göre eğişim hızı, y/u yu, y nin u ya göre eğişim hızı ve y/x i, y nin x e göre eğişim hızı olarak üşününüz. u, x in iki katı bir hızla eğişiyorsa ve y, u nun üç katı hızla eğişiyorsa, y nin x in altı katı bir hızla eğişmesi mantıklı görünmekteir ve bu neenle y x = y u u x olmasını bekleriz. Theorem 1. f ve g türevlenebilir fonksiyonlar ve F = f g fonksiyonu, F (x) = f(g(x)) biçimine tanımlanan bileşke fonksiyonu ise, F türevlenebilir bir fonksiyonur ve F, F (x) = f (g(x))g (x) (3.1) çarpımı ile verilir. Leibniz gösterimine, y = f(u) ve u = g(x) türevlenebilir fonksiyonlarsa, y x = y u u x ir. (3.2) Örnek 13. F (x) = x 2 + 1 ise F (x) i bulunuz. Çözüm. (Denklem (3.1) yi kullanarak): Bu bölümün başına F fonksiyonunu f(u) = u ve g(x) = x 2 + 1 olmak üzere F (x) = (f g)(x) = f(g(x)) biçimine ifae etmiştik. oluğunan, f (u) = 1 2 u 1/2 = 1 2 u ve g (x) = 2x F (x) = f (g(x)) g (x) = 1 2 x 2 + 1 2x = x x 2 + 1 ele eeriz. (Denklem (3.2) ü kullanarak): u = x 2 + 1 ve y = u ise F (x) = y u u x = 1 2 u 2x = 1 2 x 2 + 1 2x = x x 2 + 1 ir.
3.1. ZINCIR KURALI 9 Not : Zincir Kuralı nı kullanırken, ışarıan içeriye oğru hesap yaparız. Formül (3.1), önce ıştaki f fonksiyonunun (içteki g(x) fonksiyonuna) türevini alığımızı ve aha sonra bunu, içteki fonksiyonun türeviyle çarptığımızı söyler. Örnek 14. (a) y = sin(x 2 ) ve (b) y = sin 2 x fonksiyonlarının türevini alınız. Çözüm. (a) y = sin(x 2 ) ise, ıştaki fonksiyon sinüs ve içteki fonksiyon kare alma fonksiyonuur, olayısıyla Zincir Kuralı nan y x = x sin(x2 ) = cos(x 2 ) x x2 = 2x cos(x 2 ) ele eeriz. (b) sin 2 x = (sin x) 2 oluğuna ikkat einiz. Buraa, ıştaki fonksiyon kare alma ve içteki fonksiyon sinüs fonksiyonuur. Dolayısıyla, y x = x (sin x)2 = 2 sin x cos x olur. Yanıt, 2 sin x cos x olarak bırakılabilir ya a (yarım açı formülü olarak bilinen trigonometrik özeşlik kullanılarak) sin 2x olarak yazılabilir. Örnek 15. y = (x 3 1) 100 fonksiyonunun türevini alınız. Çözüm. Zincir Kuralı kullanılarak ele eilir. y x = x (x3 1) 100 = 100(x 3 1) 99 x (x3 1) = 100(x 3 1) 99 3x 2 = 300x 2 (x 3 1) 99 Örnek 16. g(t) = ( ) t 2 9 fonksiyonunun türevini bulunuz. 2t + 1 Çözüm. Zincir Kuralı ve Bölüm Kuralı nı birleştirerek g (t) = ( ) t 2 8 ( ) t 2 9 2t + 1 t 2t + 1 = ( ) t 2 8 (2t + 1) 1 2(t 2) 45(t 2)8 9 2t + 1 (2t + 1) 2 = (2t + 1) 10 ele eeriz.
10 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI Örnek 17. y = e sin x fonksiyonunun türevini alınız. Çözüm. Buraa içteki fonksiyon g(x) = sin x ve ıştaki fonksiyon f(x) = e x üstel fonksiyonuur. Dolayısıyla, Zincir Kuralı nan, y x = x (esin x ) = e sin x x (sin x) = esin x cos x olur. Örnek 18. y = e sec 3θ fonksiyonunun türevini alınız. Çözüm. Dıştaki fonksiyon üstel fonksiyon, ortaaki fonksiyon sekant fonksiyonu ve en içteki fonksiyon üç katını alma fonksiyonuur. Dolayısıyla, y θ = e sec 3θ θ (sec 3θ) = esec 3θ sec 3θ tan 3θ θ (3θ) = 3esec 3θ sec 3θ tan 3θ ele eeriz. 3.1.1 Parametrik Eğrilerin Teğetleri x = f(t), y = g(t) parametrik enklemleriyle verilen eğriyi ele alalım: f ve g türevlenebilir fonksiyonlar ve y, x in türevlenebilir bir fonksiyonu olmak üzere, eğri üzerineki bir noktaaki teğet oğrusunu bulmak isteiğimizi varsayalım. Eğimi yani y i bulmamız gerek. Zincir Kuralınan x ele eeriz. y t = y x x t x t 0 ise, eşitlikten y/x i çekebiliriz. y t = y x x t x t 0 ise y x = y t x t ir. (3.3) Eğriyi bir parçacığın izleiği yol olarak üşünürsek, y/t ve x/t parçacığın üşey ve yatay hızları olur. Örnek 19. x = 2 sin 2t y = 2 sin t parametrik eğrisinin ( 3, 1) noktasınaki teğet oğrusunun enklemini bulunuz.
3.1. ZINCIR KURALI 11 Çözüm. t parametre eğerine karşılık gelen noktaa, eğim y x = y t x t = (2 sin t) t = t (2 sin 2t) 2 cos t 2(cos 2t)(2) = cos t 2 cos 2t ir. ( 3, 1) noktası t = π/6 parametre eğerine karşılık gelir, bu yüzen bu noktaaki teğetin eğimi y x = cos(π/6) 3/2 3 t=π/6 2 cos(π/3) = 2(1/2) = 2 olur. Dolayısıyla, teğet oğrusunun enklemi y 1 = 3 2 (x 3) ya a y = 3 2 x 1 2 ir. 3.1.2 Kapalı Fonksiyonların Türevleri Şimiye kaar karşılaştığımız fonksiyonlar, bir eğişkenin bir başka eğişken cinsinen açık olarak ifae eilmesiyle tanımlanabiliyoru. Örneğin, y = x 3 + 1 ya a y = x sin x veya genel olarak, y = f(x) gibi. Buna karşılık, bazı fonksiyonlar veya x 2 + y 2 = 25 (3.4) x 3 + y 3 = 6xy (3.5) gibi x ve y arasınaki bir bağıntı aracılığıyla kapalı olarak tanımlanır. Bazı urumlara, böyle bir enklemen y yi x e bağlı bir fonksiyon (veya fonksiyonlar) olarak ele etmek olanaklıır. Örneğin, Denklem (3.4) en y yi çekersek, y = ± 25 x 2 ele eeriz, ve böylece kapalı Denklem (3.4) in belirleiği iki fonksiyon ir. f(x) = 25 x 2 ve g(x) = 25 x 2 Şekil 3.4: f ve g nin grafikleri x 2 + y 2 = 25 çemberinin alt ve üst yarı-çemberleriir. Denklem (3.5) an elle hesap yaparak y yi, x e bağlı bir fonksiyon olarak ele etmek kolay eğilir. Yine e (3.5), Descartes folyumu olarak alanırılan, şekile gösterilen eğrinin enklemiir, ve kapalı olarak y yi x e bağlı çeşitli fonksiyonlar olarak tanımlar. f nin Denklem (3.5) ile kapalı olarak tanımlanan bir fonksiyon oluğunu söyleiğimize, x 3 + [f(x)] 3 = 6xf(x) eşitliğinin, f nin tanım kümesineki her x eğeri için oğru oluğunu kasteeriz. Neyse ki y nin türevini bulmak için verilen enkleme y yi x cinsinen çözme gereksinimi uymayız. Onun yerine kapalı türev alma yöntemini kullanabiliriz. Bu, enklemin iki tarafının x e göre türevini almayı ve sonuçtaki enklemleren y nü çekmeyi içerir. Bu bölümeki örnekler ve alıştırmalara her zaman, verilen enklemin kapalı bir biçime y yi x e bağlı türevlenebilir bir fonksiyon olarak tanımlaığı ve olayısıyla, kapalı türev alma yönteminin uygulanabiliği varsayılmıştır.
12 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI Şekil 3.5: Şekil 3.6: Örnek 20. a. x 2 + y 2 = 25 ise y x i bulunuz. b. x 2 + y 2 = 25 çemberinin (3, 4) noktasınaki teğetinin enklemini yazınız. Çözüm. 1. Yol: a. x 2 + y 2 = 25 enkleminin iki tarafının türevini alalım: x (x2 + y 2 ) = x (25) x (x2 ) + x (y2 ) = 0 y nin x e bağlı bir fonksiyon oluğunu anımsayarak ve Zincir Kuralı nı kullanarak, ele eeriz. Dolayısıyla ır. Şimi bu enklemi y/x için çözeriz: x (y2 ) = y (y2 ) y y = 2y x x 2x + 2y y x = 0 y x = x y
3.1. ZINCIR KURALI 13 b. (3, 4) noktasına x = 3, y = 4 ür. Buraan y x = 3 4 ele eeriz. Dolayısıyla çemberin (3, 4) noktasnaki teğetinin enklemi y 4 = 3 (x 3) ya a 3x + 4y = 25 ir. 4 2. Yol: x 2 + y 2 = 25 enkleminen, y = ± 25 x 2 ele eeriz. (3, 4) noktası y = 25 x 2 üst yarıçemberinin üzerine oluğunan, f(x) = y = 25 x 2 fonksiyonunu ele alırız. Zincir Kuralı nı kullanarak türev alırsak f (x) = 1 2 (25 x2 ) 1/2 x (25 x2 ) = 1 2 (25 x2 ) 1/2 x ( 2x) = 25 x 2 ele eeriz. Böylece f 3 (3) = = 3 olur ve birinci çözüme oluğu gibi teğetin enklemi 3x + 4y = 25 25 3 2 4 ir. Not : Az önceki örnek, enklemen y yi x cinsinen çekmek olanaklı olsa bile kapalı türev almanın aha kolay olabiliğini göstermekteir. y/x = x/y ifaesi türevi, x ve y nin her ikisi cinsinen vermekteir. Bu ifae enklem tarafınan hangi fonksiyonunun belirleniğinen bağımsız olarak oğruur. Örneğin, y = f(x) = 25 x 2 için y x = x y = x 25 x 2 ve y = g(x) = 25 x 2 için ele eeriz. Örnek 21. y x = x y = (a) x 3 + y 3 = 6xy ise, y nü bulunuz. x 25 x 2 = x 25 x 2 (b) x 3 + y 3 = 6xy enklemiyle verilen Descartes folyumu eğrisinin (3, 3) noktasınaki teğetini bulunuz. Çözüm. (a) y yi x e bağlı bir fonksiyon olarak üşünerek, y 3 terimi için zincir ve 6xy terimi için çarpım kuralını kullanarak, x 3 + y 3 = 6xy enkleminin iki tarafının x e göre türevini alırsak, 3x 2 + 3y 2 y = 6y + 6xy ya a ele eeriz. Bu enklemen y nü çekersek: x 2 + y 2 y = 2y + 2xy x 2 + y 2 y = 2y + 2xy y 2 y 2xy = 2y x 2 (y 2 2x)y = 2y x 2 y = 2y x2 y 2 2x
14 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI ele eeriz. x = y = 3 için y = 2 3 32 3 2 2 3 = 1 ir. Bu neenle folyumun (3, 3) noktasınaki teğetinin enklemi y 3 = 1(x 3) ya a x + y = 6 ır. Örnek 22. sin(x + y) = y 2 cos x ise y nü bulunuz. Çözüm. x e göre kapalı türev alarak ve y nin x e bağlı bir fonksiyon oluğunu anımsayarak, cos(x + y) (1 + y ) = 2yy cos x + y 2 ( sin x) ele eeriz. (Sol tarafta zincir kuralını ve sağ tarafta çarpım ve zincir kurallarını kullanığımıza ikkat einiz.) cos(x + y) (1 + y ) = 2yy cos x + y 2 ( sin x) y içeren terimleri bir araya toplarsak, cos(x + y) + y 2 sin x = (2y cos x)y cos(x + y) y ele eeriz. Bu neenle, olur. y = cos(x + y) + y2 sin x 2y cos x cos(x + y) 3.1.3 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi Ters trigonometrik fonksiyonların türevlenebilir oluklarını varsayarak, bunların türevlerini almak için kapalı türev alma yöntemini kullanabiliriz. arcsin fonksiyonunun tanımını anımsayınız: y = sin 1 x sin y = x ve π 2 y π 2 anlamına gelir. sin y = x in x e göre kapalı türevini alırsak, ele eeriz. cos y y x = 1 veya y x = 1 cos y y x = 1 cos y π/2 y π/2 oluğunan, cos y 0 ır, bu yüzen cos y = 1 sin 2 y = 1 x 2 olur. Dolayısıyla, y x = 1 cos y = 1 1 x 2 ir. x (sin 1 x) = 1 1 x 2 y = arctan x fonksiyonunun türevinin formülü e benzer bir yolla ele eilir: x (tan( 1) (x)) = 1 1 + x 2.
3.1. ZINCIR KURALI 15 Örnek 23. f(x) = x arctan x fonksiyonunun türevini alınız. Çözüm. f (x) = x ( ) 1 1 1 + ( x) 2 2 x 1/2 + arctan x = x 2(1 + x) + arctan x 3.1.4 Logaritma Fonksiyonlarının Türevi x (log a x) = 1 x ln a (3.6) özel olarak a = e alırsak x (ln x) = 1 x. (3.7) Örnek 24. y = ln(x 3 + 1) fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm. Zincir kuralını kullanmak için u = x 3 + 1 iyelim. Bu takire y = ln u ve y x = y u u x = 1 u u x = 1 x 2 + 1 (3x2 ) = 3x2 x 3 + 1 Genel olarak örnekte verilen zincir kuralı ile formül 3.7 yi birleştirirsek x (ln u) = 1 u u x veya x (ln g(x)) = g (x) g(x) (3.8) ele eeriz. Örnek 25. f(x) = ln x fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm. Buraa logaritma fonksiyonu iç fonksiyon oluğunan Zincir kuralını kullanarak ele eilir. f (x) = 1 2 (ln x) 1/2 x (ln x) = 1 2 ln x 1 x = 1 2x ln x
16 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI Örnek 26. f(x) = ln x ise f (x) türevini bulunuz. Çözüm. oluğunan f(x) = f (x) = olarak ele eilir. Böylece her x 0 için f (x) = 1/x olur. Örnek 27. y = x3/4 x 2 + 1 (3x + 2) 5 fonksiyonunun türevini bulunuz. { ln x, x > 0 ln( x), x < 0 1 x, x > 0 1 x ( 1) = 1 x, x < 0 Çözüm. Denklemin her iki tarafının logaritmasını alıp, basitleştirmek için logaritmanın özelliklerini kullanalım: ln y = 3 4 ln x + 1 2 ln(x2 + 1) 5 ln(3x + 2) kapalı olarak tanımlanan bu fonksiyonun x e göre türevini alırsak y x y = 3 4 1 x + 1 2 2x x 2 + 1 5 3 3x + 2 olur. Buraan y/x i çözersek ele eeriz. y x y x y = 3 4x + x x 2 + 1 15 3x + 2 ( 3 = y 4x + x x 2 + 1 15 ) 3x + 2 = x3/4 x 2 + 1 (3x + 2) 5 ( 3 4x + x x 2 + 1 15 ) 3x + 2 Not: Taban eğişken, üs sabit oluğuna, Kuvvet kuralı [(x n ) = nx n 1 ] ile; taban sabit, üs eğişken olan [(a x ) = a x ln a] üstel fonksiyonların türev alma kurallarını, birbirinen ikkatlice ayırt etmelisiniz. Genel olarak üs ve tabanlar için ört urum söz konusuur. 1. 2. 3. x (ab ) = 0 (a ve b sabittir.) x [f(x)b ] = b[f(x)] b 1 f (x) x [ag(x) ] = a g(x) (ln a)g (x)
3.2. DOĞRUSAL YAKLAŞTIRIMLAR VE DIFERANSIYELLER 17 4. x [f(x)]g(x) türevini bulmak için aşağıaki örnekte oluğu gibi logaritmik türev kullanılabilir. Örnek 28. y = x x fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm. 1. Yol : Logaritmik türevi kullanırsak ln y y y y = ln x x = x ln x = x 1 x + (ln x) 1 2 x ( 1 = y x + ln x ) 2 = x x x ( ) 2 + ln x 2 x ele eeriz. 2. Yol : Diğer yöntem için x x = ( e ln x) x yazalım. ( x ) x x = ( e ) x ln x = e x ln x x x ( x ln x) ( ) = x x 2 + ln x 2. x 3.2 Doğrusal Yaklaştırımlar ve Diferansiyeller y = f(x) eğrisinin (a, f(a)) noktasınaki teğet oğrusunun enklemi ir. y = f(a) + f (a)(x a) f(x) f(a) + f (a)(x a) (3.9) yaklaştırımına f fonksiyonunun a noktasınaki oğrusal yaklaştırımı ya a teğet oğrusu yaklaştırımı enir. L(x) = f(a) + f (a)(x a) (3.10) fonksiyonuna f fonksiyonunun a noktasınaki oğrusallaştırılması enir. x, a ya yakın oluğuna f(x) L(x) oğrusal yaklaştırımı gerçek eğere yakınır. Örnek 29. f(x) = x + 3 fonksiyonunun a = 1 noktasınaki oğrusallaştırılmasını bulunuz ve bunu kullanarak 3.98 ve 4.05 sayılarının yaklaşık eğerlerini hesaplayınız. Çözüm. f(x) = (x + 3) 1/2 fonksiyonunun türevi f (x) = 1 2 (x + 3) 1/2 = 1 2 x + 3
18 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI Şekil 3.7: ür. Buraan f(1) = 2 ve f (1) = 1 4 ele eeriz. Bu eğeri enklem 3.10 e yerine koyarsak oğrusallaştırmanın oluğunu görürüz. Buna karşılık gelen (3.9) oğrusal yaklaştırımı ür. Özel olarak, olur. L(x) = f(x) + f (1)(x 1) = 2 + 1 4 (x 1) = 7 4 + x 4 L(x) = 7 4 + x 4 x + 3 7 4 + x 4 7 3.98 4 + 0.98 = 1.995 ve 4 7 4.05 4 + 1.05 = 2.0125 4 3.98 = 1.99499... 4.05 = 2.01246... Şekil 3.8: Örnekteki oğrusal yaklaştırım şekile gösterilmiştir. Gerçekten x, 1 e yakın iken teğet oğru yaklaştırımının verilen fonksiyona iyi bir yaklaştırım oluğunu görebilirsiniz. Elbette bir hesap makinesi 3.98 ve 4.05 in yaklaşık eğerini bize verir, fakat oğrusal yaklaştırımlar tüm bir aralık üzerine kullanılabilecek bir yaklaştırım verir. Türevlenebilir bir f fonksiyonu için, y = f(x) ise, x iferansiyeli bağımsız bir eğişkenir. Diğer bir eyişle, x e herhangi bir gerçel sayı eğeri verilebilir. Buraan y iferansiyeli y = f (x)x (3.11) enklemi ile x cinsinen tanımlanır. Sonuç olarak y bir bağımlı eğişkenir; y eğişkeni x ve x eğerlerine bağlıır. Eğer x e özel bir eğer verilir ve x, f nin tanım bölgesinen özel bir sayı olarak alınırsa, y nin sayısal eğeri bulunur. Diferansiyellerin geometrik anlamı aşağıa gösterilmiştir.
3.2. DOĞRUSAL YAKLAŞTIRIMLAR VE DIFERANSIYELLER 19 Şekil 3.9: P (x, f(x)) ve Q(x + x, f(x + x)), f nin grafiği üzerineki noktalar ve x = x olsun. y eki eğişimin karşılığı y = f(x + x) f(x) ir. P R teğet oğrusunun eğimi f (x) türeviir. Dolayısıyla, S en R ye olan yönlü uzaklık f (x)x = y ir. Sonuç olarak, x eğeri x miktarı kaar eğiştiğine, y, y = f(x) eğrisinin artma yaa azalma miktarını, y ise teğet oğrusunun artma yaa azalma miktarını (oğrusallaştırmaaki eğişimi) göstermekteir. Şekilen x küçülükçe y y yakalaşımının aha iyi oluğunu söyleyebiliriz. Eğer x = x a yazarsak, x = a + x olur ve (3.9) eki oğrusal yaklaştırımları iferansiyel gösterimi ile yenien yazarsak olur. Örneğin f(x) = x + 3 fonksiyonu için ele eilir. Eğer a = 1 ve x = x = 0.05 alırsak, f(a + x) f(a) + y y = f (x)x = y = x 2 x + 3 0.05 2 + 1 + 3 = 0.0125 ve 4.05 = f(1.05) f(1) + y = 2.0125 eğerini buluruz. Örnek 30. Bir kürenin yarıçapı en fazla 0.05 cm lik ölçüm hatası ile 21 cm olarak ölçülmüştür. Yarıçap için bu eğer kullanılırsa kürenin hacim hesabına yapılan maksimum hata ne olur? Çözüm. Kürenin yarıçapına r ersek, havim V = 4 3 πr3 ür. Eğer r nin ölçüm hatası r = r ile gösterilirse, V nin hacim hesabına buna karşı gelen hata V ir ve V = 4πr 2 r iferansiyeli ile yaklaştırılabilir. r = 21 ve r = 0.05 alınırsa, V = 4π(21) 2 (0.05) 277 olur. Hacim hesabınaki maksimum hata yaklaşık 277 cm 3 tür.
20 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI Not: Örnekteki mümkün olabilecek hata olukça büyük gözükmesine rağmen, bu hatanın büyüklüğü, hatanın toplam hacime bölünmesi ile ele eilen göreli hata ile aha iyi anlaşılır: V V V V = 4πr2 r 4 = 3 r 3 πr3 r. Böylece, hacimeki göreli hata, yarıçaptaki göreli hatanın yaklaşık 3 katı olur. Örnek te yarıçaptaki göreli hata yaklaşık olarak r/r = 0.05/21 0.0024 hacimeki göreli hata ise yaklaşık 0.007 ir. Hatalar yarıçapta %0.24 ve hacime %0.7 olmak üzere yüzelik hata olarak a ifae eilebilir.