Gelecek içi hazırlaa vata evlâtlarıa, hiçbir güçlük karşısıda ılmaarak tam bir sabır ve metaetle çalışmalarıı ve öğreim göre çocuklarımızı aa ve babalarıa da avrularıı öğreimii tamamlaması içi hiçbir fedakârlıkta çekimemelerii tavsie ederim.
Bu kitabı her hakkı Çap Yaıları a aittir. 86 ve 96 saılı Fikir ve Saat Eserleri Yasası a göre Çap Yaıları ı azılı izi olmaksızı, kitabı tamamı vea bir kısmı herhagi bir ötemle basılamaz, aılaamaz, bilgisaarda depolaamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım apılamaz. BU KİTAP, MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI TALİM VE TERBİYE KURULU BAŞKANLIĞI NIN.08.0 TARİH VE SAYILI KARARI İLE BELİRLENEN ORTAÖĞRETİM MATEMATİK DERSİ PROGRAMINA GÖRE HAZIRLANMIŞTIR. Dizgi Kapak Tasarım Emie İNCE Baskı Tarihi Ağustos 0 Teşekkür Tevfik GÖRGÜN e katkılarıda dolaı teşekkür ederiz. ISBN 978 60 0 7 İLETİŞİM ÇAP YAYINLARI Akpıar Mahallesi 80. Cadde 87. Sokak / 9 Çakaa / Akara Tel: - 76 0 9 www.capailari.com.tr ii
ÖN SÖZ Sevgili Öğreciler, Matematikteki birçok taımı ve kuralı eide keşfetmioruz, sadece öğreme aşamasıda ilk kez biz bu olları, kuralları buluormuşuz gibi hareket edip öğremei kalıcı olmasıı sağlamaa çalışıoruz. Bu kaağı sizlere sumamızdaki asıl hedefimiz, e çok zorladığıız vea başarmakta problem aşadığıız kedi kediize öğreme becerisii geliştirmektir. Matematikte bir problemi kısa zamada ve doğru olarak çözmek, ilgili kouları kavramasıa bağlıdır. Bir kouu iice öğredikte sora ardıda gele koua geçmek sizi içi daha kola olacağı gibi çalışmaızı da daha verimli kılacaktır. Bilgileriizi kalıcı olması içi çok tekrar apmalı, bilgileri kullaabilmek içi de çok soru çözmelisiiz. Matematikteki birçok kuralı gülük haatta kullaımı oktur acak bu kuralları öğreirke ve ugularke gösterdiğiiz çaba, aşamıızda çeşitli problemlere farklı açılarda bakabilme becerisii kazadıracaktır. Sevgili Öğreciler, Tekrara daalı ve plalı bir çalışmaı, ezber erie kouu özüü kavramaı ve bu olla kazaıla özgüvei sizleri başarıa ulaştıracağıa iaıor ve sizlere başarılar dilioruz. Toplam 0 Soru YAZARLAR iii
İÇİNDEKİLER. Bir Bağımsız Değişkei Verile Bir Saıa Yaklaşması.... Foksiou Bir Noktadaki Limiti (Sağda - Solda Limit)... 7 Kapalı Aralıkta Limit... 9 Test - Foksiou Bir Noktadaki Limiti... 0. Limit İle İlgili Özellikler... Test - Limit İle İlgili Özellikler.... Parçalı Foksioları Limiti... 6. Mutlak Değer foksiouu Limiti... 8 Test - Parçalı ve Mutlak Değer Foksiolarıı Limiti... 0 6. Geişletilmiş Reel Saılar Kümeside Limit... Test - Geişletilmiş reel Saılar Kümeside Limit... 7. Trigoometrik Foksioları Limiti... 6 Test - Trigoometrik Foksioları Limiti... 8 8. Belirsizlikler... 9 0 a) Belirsizliği... 0 0 0 Test - 6 Belirsizliği... 0 8 b) Belirsizliği... 9 Test - 7 Belirsizliği... c) Belirsizliği... 6 Test - 8 Belirsizliği... 8 d) 0. Belirsizliği... 9 Test - 9 0. Belirsizliği... 9. Dizileri Limiti... Test - 0 Dizileri Limiti... 0. Sosuz Geometrik Dizi Toplamı... 6 Test - Sosuz Geometrik Dizi Toplamı... 6. Süreklilik... 6 Test - Süreklilik... 69 Karma Testler ( - )... 70 iv
. BİR BAĞIMSIZ DEĞİŞKENİN VERİLEN BİR SAYIYA YAKLAŞMASI BİLGİ Yadaki tablo icelediğide; i). sütuda değerlerii arta değerler alarak saısıa aklaştığı söleebilir. Bu durum, " i e solda aklaşması" olarak ifade edilir ve " " ile gösterilir. e solda aklaşma,7,8,9. sütu. sütu,,,9,,99,0,999,00,9999,000 + ii). sütuda değerlerii azala değerler alarak saısıa aklaştığı söleebilir. Bu durum " i e sağda aklaşması" olarak ifade edilir ve " +" ile gösterilir. e sağda aklaşma,,, Yukarıda alatıla durumları geelleecek olursak; a a solda aklaşma a a sağda aklaşma ( < a) a ( > a) Æ değişkei a a, a da küçük değerlerle aklaşıorsa, bu tür aklaşmaa solda aklaşma deir ve a şeklide gösterilir. Æ değişkei a a, a da büük değerlerle aklaşıorsa, bu tür aklaşmaa sağda aklaşma deir ve a + şeklide gösterilir.
YAKLAŞIM + ifadesi i e sağda aklaştığıı, ai de büük ve e çok akı değerler (, 00;,0000 vb.) aldığıı gösterir. ifadesi de i e solda aklaştığıı, ai de küçük ve e çok akı değerler (,999;,9999 gibi) aldığıı gösterir. SIRA SİZDE. i sıfıra solda aklaşması aşağıdakilerde hagisi ile gösterilir? A) 0 + B) 0 C) 0 D) + E). i e solda aklaşması hagisi ile ifade edilir? A) + B) C) D) + E). " giderke e sağda" ifadesii gösterimi hagisidir? A) ( ) B) + C) ( ) + D) E) ( ) 6. olduğua göre, i alabileceği değerlerdi biri aşağıdakilerde hagisi olabilir? A),0000 B),00 C), D) E) 0,99-7. " d ifadesie göre, aşağıdakilerde ha- gisi olabilir? A) 0,99 B) 0,00 C) 0,0 D) 0, E) 0, - 8. " d ifadesie göre, aşağıdakilerde hagisi olabilir? A) 0, B) 0,9 C) 0,99 D) 0,6 E) 0,60 + 9. " d gösterimi içi aşağıdakilerde hagi- si doğrudur? A) B) > D) < E) 0 C). ( ) gösterimi içi aşağıdakilerde hagisi söleebilir? 0. ise saısı aşağıdakilerde hagisi olamaz? A) < B) > C) D) E) < A), B),9 C) 6 D) 0 E). + olduğua göre, i aldığı değerlerde biri aşağıdakilerde hagisi olabilir? A),000 B) C),999 D),99 E),009. ( ) + ise saısı aşağıdakilerde hagisi olabilir? A),00 B) C) D) E) ) B ) B ) C ) A ) A 6) E 7) A 8) E 9) B 0) E ) D 6
. FONKSİYONUN BİR NOKTADAKİ LİMİTİ (Sağda-Solda Limit) YAKLAŞIM BİRLİKTE ÇÖZELİM a) Solda Limit L =f() f() O a Grafikte görüldüğü üzere değerleri a saısıa solda Aşağıdaki soruları grafiği verile = f() içi çöze. a) f( ) " b) f( ) " + c) f( ) " O =f() aklaşırke f() değerleri de sabit bir L gerçek saısıa aklaşmaktadır. Burada L saısıa f foksiouu = a oktasıdaki solda iti deir ve f( ) = L şeklide azılır. " a d) f( ) " 0 e) f( ) " 0 f) f( ) " 0 g) f( ) " b) Sağda Limit f() L =f() a) f ( ) = (, e solda aklaşırke değerleri e aklaşıor.) " b) f ( ) = (, e sağda aklaşırke değerleri e aklaşıor.) " + c) f ( ) = Yoktur. f ( ) f ( ) " a " " + k O a değerleri a saısıa sağda aklaşırke f() değerleri de sabit bir L gerçek saısıa aklaşmaktadır. Burada L saısıa, f foksiouu = a oktasıdaki sağda iti deir ve f( ) = L şeklide gösterilir. " a + c) Yukarıda alatıla her iki durumda elde edile L ve L saıları aı ise (L = L ) bu saıa f foksiouu = a oktasıdaki iti deir ve f( ) = L = L azılır. " a Eğer L L ise "f foksiouu = a oktasıda iti oktur." deir. d) f ( ) = " 0 (, 0 a sağda aklaşırke değerleri e aklaşıor.) e) f ( ) = " 0 (, 0 a solda aklaşırke değerleri e aklaşıor.) f) f ( ) = (sağda ve solda itler eşit ve ) " 0 g) f ( ) = 0 (sağda ve solda itler eşit ve 0) " Not: Foksiou = a da taımlı olmasıı a da olmamasıı bu oktadaki ite hiç bir etkisi oktur. Taımlı olmadığı bir oktada da iti olabilir. 7
SIRA SİZDE. O =f(). =f() O Grafiği verile = f() foksiouu [, ] aralığıda kaç oktada iti oktur? Grafiği verile = f() foksioua göre, aşağıdaki ifadeleri eşitii buluuz. a) f( ) " + b) f( ) " A) B) C) D) E). f() = foksiouu grafiği verilmiştir. f Bua göre O f( ) + f( ) kaçtır? " " c) f( ) " d) f( ) " e) f( ) " f) f( ) " g) f( ) " h) f( ) " 0. A) B) 0 C) D) E) Buluamaz =f() O Grafiği verile f() foksiouu [ 6, ) aralığıda apsisi tam saı ola kaç oktada iti vardır? A) 8 B) 7 C) 6 D) E) i) f( ) " j) f( ) ". a b O =f() = f() foksiouu grafiği verilmiştir. k) f( ) " f( ) = ve f( ) = 0 ise a + b kaçtır? + " " A) B) C) 0 D) E). a) b) c) d) e) f) Yok g) h) i) 0 j) 0 k) 0 ) B ) D ) B ) C 8
KAPALI ARALIKTA LİMİT YAKLAŞIM (a, b] gibi sıırlı bir aralıkta taımlı bir foksio- =f() L u uç oktalardaki itleri buluurke sadece a O b taımlı olduğu tarafı L itie bakılır. i) Foksio a oktasıı soluda taımlı olmadığı içi, = a daki sağda it, foksiou bu oktadaki itidir. f( ) = f( ) = L + " a " a / O =f() =g() O Grafiği verile = f() ve = g() foksiolarıa göre, aşağıdaki soruları cevaplaıız.. f( ) " SIRA SİZDE 6. ( fog)( ) " 0 ii) Foksio b oktasıı sağıda taımlı olmadığı içi, = b deki solda iti, foksiou bu oktadaki itidir.. f( ) " 7. ( f( ) + g( )) " f( ) = f( ) = L " b " b BİRLİKTE ÇÖZELİM. g( ) " 8. ( f g) ( ) " [, ] aralığıda taımlı f = f() foksiouu O bu aralıktaki tam saılar içi itii icelee.. g( ) " 9. ( f g)( ) " 0 i) = i soluda taımlı değildir. ii) f ( ) = olduğu içi foksiou = deki iti tür. " + = ü sağıda taımlı değildir.. g( ) " g 0. c log f ( ) 9 c m m " f ( ) = olduğuda foksiou = teki itii değe- " ri de dir. iii) Foksiou [, ] aralığıdaki, 0,,, tam saıları içi iti vardır acak grafikte belirtilmediği içi it değerleri buluamaz. Acak (, ] aralığıda olduğu söleebilir. ) ) ) ) ) Yoktur 6) 7) 8) 9) 0) 7 9
TEST FONKSİYONUN BİR NOKTADAKİ LİMİTİ. " c m ise saısı aşağıdakilerde hagisi olamaz? A) B) 0 C) 0,60 D) E) 0,6. O =f() O =g() Grafiği verile f() ve g() foksioları içi aşağıdaki ifadelerde hagisi alıştır?. " ^ + h ise saısı aşağıdakilerde hagisi olabilir? A), B),0 C), D),0 E), A) ( f( ) + g( )) = 0 " 0 B) ( f( ) g( )) = 0 " + C) ( f g)( ) = " D) ( f g)( ) = ". E) ( fog)( ) = " + O Grafiği verile = f() foksioua göre, aşağıdaki ifadelerde kaç taesi doğrudur? i) f( ) = ii) f( ) = " " + iii) f( ) = iv) f( ) = " " v) f( ) = vi) f( ) = " + " A) B) C) D) E) 6 6. Aşağıda grafikleri verile foksiolarda kaç taesii = oktasıda iti bir gerçek saıdır? O O. Grafiği verile = f() foksiouu (, ] aralığıda kaç oktada iti oktur? O O O O A) B) C) D) E) 6 A) B) C) D) E) 6 0 ) D ) C ) C ) B ) A 6) B
. LİMİT İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER BİLGİ f() = a + a + + a + a 0 poliomu içi f( ) = f( a) dır. " a Yai, poliom foksioları herhagi bir oktadaki itii hesaplamak içi bu değer foksioda erie azılır. Sağda solda ite bakmaa gerek oktur. BİRLİKTE ÇÖZELİM ( + ) " ( + ) = + " = 6 0 + 8 = dir. SIRA SİZDE. ( + ) " 6. ( ) ( + ) ". 9 " 7. 6 ( ) + @ " 7. ( 8 + 9 6 + ) " 0 8. f() = + ise f( ) kaçtır? ". " 9. ( ) = ise a kaçtır? " a. ( ) ( + ) " 0. ( + k ) = 7 ise k kaçtır? " ) ) ) ) ) 8 6) 7) 8) 9) 0) 9
BİLGİ f ve g, = a oktasıda itleri ola iki foksio olsu.. R içi c = c (c R) " a. [ f( ) " g( )] = f( ) " g( ) " a " a " a. [ f( ) g( )] = f( ) g( ) " a " a " a SIRA SİZDE. f() = + ve g() = foksioları içi aşağıdaki it değerlerii buluuz. a) ( f( ) + g( )) b) ( f( ) g( )) " " f( ) f + g c) c m d) c m( ) " 0 g ( ) " f g. 6 c! R içi [ c f( )] = c f( ) " a " a. g() 0 ve g( ) 0 içi " a f( ) ; E = " a g( ) f( ) " a g( ) " a BİRLİKTE ÇÖZELİM. f( ) =, g( ) = ve h( ) = " " " olduğua göre, aşağıdaki foksioları = oktasıdaki itlerii (varsa) buluuz. a) f g + h b) f g g + h f() = + ve g() = foksioları içi " f( ) g( ) f ( ) g ( ) c) f + g h d) h g h f g itii bulalım. f ( ) = ( + ) " " = + = g ( ) = ( ) " " = = f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) " " = " f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) " " ( ) = = buluur.. ( f( ) + ) = 0 ise " ( f( ) + ) " ) a) 0 b) c) d) ) a) 0 b) c) d) /8 ) 7
BİLGİ. f( ) = f( ) " a " a. f( ) = f( ) " a " a (f foksiouu = a da iti varsa) ( a içi f() 0 ise). ( fog)( ) = f9 g( ) " a " a C (f poliom foksio ise) f( ) f( ) " b +. a = a ( a d R ve a ise) " b. log ( f( )) = log f( ) ( f( ) > 0 ise) " a b b 9 " a C 6. f( ) = g( ) = L ve i a saısıa akı tüm değerleri içi " a " a f() h() g() ise h( ) = L dir. (L R) " a BİRLİKTE ÇÖZELİM. + " itii değerii bulalım.. ( l + ) " e itii değerii bulalım. + = ( + ) " " = 8 = 9 = 9 dur. ( l + ) = l + " e " e " e = l a k + " e = le + = + = tir.. + + " itii değerii bulalım.. ( + ) " 0 itii değerii bulalım. + + = ( + + ) " " = + + = 6 dır. ( ( + ) + " 0 ) = " 0 = 0 0 + = = 8 dir.
SIRA SİZDE Aşağıdaki itleri hesaplaıız. 0. f() = ve g() = + ise. + 7 " a) ( fog)( ) " 0 b) ( gof)( ) ". 0 ". ( log ) " 9 ) f( ) = ve g( ) = ise " ". + " a) 6 f( ) + g( ) @ b) 6 f( ) g( ) @ " ". " 6. + 7 " c) ( f + g)( ) " d) ( f g)( ) " 7. + " f e) c m ( ) f) ( f g )( ) " g " + 8. 9log ( + ) C " 9. 6 + + 6 + 6 @ " g) ^ g f h f ( ) h) log g( ) ( a ) k " " ) ) ) ) 8 ) 6) 7) Yoktur 8) 9) 0) a) b) 0 ) a) b) c) d) e) f) 6 g) h) /
TEST LİMİT İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER. " A) B) C) D) E) 9. log ( + ) " A) B) C) D) 0 E). " A) B) C) 0 D) E) 0. ( si cos) " r A) B) C) 0 D) E). ( ) " A) B) 6 C) 0 D) E). f( ) = ve g( ) = ise " " ( f( ) g ( )) kaçtır? " A) B) 9 C) D) E) 9. ( 6) = 7 ise a kaçtır? " a A) B) C) 0 D) E). f() = ve g() = ise f g c m ( ) kaçtır? " f + g 6 0 A) B) C) 7 7 D) E). + c m " A) B) C) 0 D) E) 6. + 7 " A) 7 B) C) D) E). f( ) = + ve g( ) = ise ( gof)( ) ( fog)( ) kaçtır? " 99 " A) B) C) D) E) 0 7. " A) B) C) 0 D) E). ( f ( ) g ( )) = ve ( f ( ) + g ( )) = ise " " ( f( ) g( )) değeri kaçtır? " A) 9 B) 0 C) D) 9 E) + 8. " 0 A) 0 B) C) D) E). ( f( ) + ) = ise ( f ( ) + ) " " kaçtır? A) B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 ) A ) D ) D ) E ) A 6) B 7) D 8) A 9) A 0) E ) B ) C ) C ) E ) B
. PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTİ BİLGİ g( ), a f( ) = ' h( ), < a parçalı foksiouda = a a f() i "kritik oktası" deir. Aşağıdaki soruları f( ) = *,, <, < foksioua göre cevaplaıız.. f( ) " SIRA SİZDE Æ Æ f() i = a da iti buluurke sağda ve solda itleri iceleir. a + ve a itleri eşit ise f() i = a da iti vardır. Aksi halde it oktur. f() i = a dışıda kritik olmaa herhagi bir oktada itii bulmak içi ilgili foksioda (g() a da h()) itie bakılır. BİRLİKTE ÇÖZELİM. f( ) ". f( ) ". f( ) " +, f( ) = *,, < <. f( ) " foksiouu =, =, = ve = oktalarıdaki itlerii araştıralım. i) = kritik okta olduğuda ( ) = = ve " + ( + ) = + = 7 buluur. " Solda ve sağda it değerleri farklı olduğu içi f() i = de iti oktur. ii) = kritik okta olmadığı içi foksiou ikici parçasıda erie azılır. ( ) = 9 = olur. " 6. f( ) " 7. f( ) " 0 8. f( ) " iii) iv) = kritik oktadır. ( ) = = 6 " ( ) = = 6 tü r. " + Solda ve sağda itleri eşit olduğu içi f ( ) = 6 olur. " = kritik okta olmadığı içi foksiou üçücü parçasıda erie azılır. ( ) = = olur. " 9. f( ) " 0. f( ) f( ) " " ) 6 ) ) Yoktur ) ) 6) 7) 8) 9) 8 0) 6
YAKLAŞIM "Bir foksiou = a oktasıdaki solda ve sağda it değerleri eşit ise foksiou bu oktada iti vardır." öermesii karşıtı da doğrudur. Yai, "Foksiou = a da iti varsa, bu oktadaki solda ve sağda itleri eşittir." BİRLİKTE ÇÖZELİM f( ) = * + a b,,, < < foksiou tüm reel saılarda itli ise a + b kaçtır? f(), tüm reel saılarda itli ise kritik oktalarda da ( = ve = ) itlidir. ( ) = ( + a) & = 0 + a + " " a = 7 dir. ( + a) = ( b) & + + a = 0 b + " " 8 7 = 0 b b = dir. a + b = 7 = 8 olur. SIRA SİZDE +,. f( ) = ' + k, < foksiouu = de iti varsa k kaçtır? k,. f( ) = ' + k, < foksiouu = te itii olması içi k kaç olmalıdır?, a. f( ) = ' + 7, < a foksiouu = a da itii olması içi a kaç olmalıdır? + k,. f( ) = * k, < m, < foksiouu = ve = oktalarıda iti aı ise m kaçtır? + m,. f( ) = ' +, < foksiou içi f( ) = 7 ise m kaçtır? ", 6. f( ) = * m +, 0 <, < 0 foksiou bütü reel saılarda itli olduğua göre, m + kaçtır? ) ) 7 ) ) 6 ) 6) 7
. MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ YAKLAŞIM Mutlak değerli foksioları kritik oktası, mutlak değeri içideki ifadei 0 apa saıdır. SIRA SİZDE. Aşağıdaki itleri değerii (varsa) hesaplaıız. + a) b) " " i) Kritik oktalarda it araştırılırke sağda ve solda it değerlerie bakılır. c) + " + d) + " 0 + ii) Kritik olmaa bir oktadaki it içi de okta foksioda erie azılır.. a) b) " + + " ( ) + BİRLİKTE ÇÖZELİM. " itii değerii bulalım. c) + + " ( ) + d) " 0 i) + + + içi > 0 dır. e) 9 f) " 0 " + = + + " " ( ) ( + ) = = ( + ) " + " + = olur. ii) içi > 0 dır. ( ) = " " ( ) ( + ) = = ( ) = tür. " ". a) " 0 b) ". Solda ve sağda itler eşit olmadığı içi it oktur. + itii buluuz. " c) 9 " d) 8 " = saısı + ü kritik oktası olmadığı içi doğruda erie azılabilir. e) + " + f) " + + = = olur. " ) a) / b) c) d) / ) a) 0 b) c) d) e) 6 f) 7/0 ) a) Yok b) Yok c) Yok d) Yok e) Yok f) Yok 8
YAKLAŞIM SIRA SİZDE Baze f( ) " a olabilir. iti olmadığı halde f ( ) " a iti Aşağıdaki parçalı taımlı foksiolar içi istee it değerlerii (varsa) buluuz.. f( ) = ',, 0 < 0 BİRLİKTE ÇÖZELİM a) f( ) " 0 f( ) = ',, < foksiou içi f( ) ve f( ) değerlerii " " (varsa) bulalım. b) f( ) " 0 i) f ( ) ifadeside = kritik okta olduğu içi sağda ve sol- " da ite bakmak gerekir. f ( ) ( ) ve + = + = " " f ( ) = = tü r. " " Yai, f ( ) f ( ) " + " olduğuda f() i = de iti oktur.. f( ) = * + a) f( ) " 0,, 0 < 0 ii) f ( ) içi " ve + = + = " " = = olur. " " Sağda ve solda itler eşit olduğuda b) f( ) " 0 f ( ) = tü r. " iii) İki durum arasıdaki farkı daha ii alamak içi f() ve f() grafiklerii iceleiiz.. f( ) = * 0 a) f( ) " 0,,, > 0 = 0 < 0 O =f() O = f() b) f( ) " 0 ) a) Yok b) ) a) Yok b) ) a) Yok b) 9
TEST PARÇALI VE MUTLAK DEĞER FONKSİYONLARININ LİMİTLERİ,. f( ) = *, < foksiou içi f( ) değeri kaçtır? " A) B) 9 C) 9 D) E) Yoktur. Z + a, > ]. f( ) = [, = ] \ + b, < foksiou tüm reel saılarda itli olduğua göre, a b kaçtır? A) 9 B) 6 C) D) E) 6 Z ] +, > ]. f( ) = [ 7, = ] 6 ], < \ foksiou içi f( ) değeri kaçtır? " 7 A) 7 B) C) D) E) Limit oktur. 6. 7. " + A) B) C) 0 D) E) Limit oktur. " A) 0 D) 8 B) C) 0 8 E) Limit oktur. Z log, > ]. f( ) = [, = ], < \ foksiou içi aşağıdakilerde hagisi alıştır? A) f( ) = B) f( ) = " 8 " + C) f( ) = D) f( ) = 0 " " E) f( ) = 8 " 8. 9. 9 " + 6 A) 6 B) C) 0 D) 6 E) 8 " A) 6 B) 0 C) 6 D) E) Limit oktur. k +, k. f( ) = *, < k foksiou = k de itli ise k kaçtır? A) 6 7 B) C) 7 D) 6 E) 6 0. f( ) = *, ise f( ) itii 7, < " değeri kaçtır? A) Limit oktur. B) C) 0 D) E) 0 ) C ) B ) D ) E ) D 6) C 7) A 8) A 9) E 0) B
6. GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİNDE LİMİT BİLGİ O Taım: ile + kavramlarıı reel(gerçek) saılar kümesie eklemesile geişletilmiş reel saılar kümesi elde edilir. R ile gösterilir. R = R {, + } f() = foksiouu grafiği üzeride +,, 0 + ve 0 durumlarıı icelee. a. 0 + ve 0 durumları: i) değişkeie, sıfıra aklaşa egatif değerler verildiğide foksiou aldığı değerleri sıırsız olarak küçüldüğü görülmektedir. = = 0; = = 00; = = 000; " 0, 0, " 0, 0 0, 0 " 0, 00 0, 00 ii) değişkeie, sıfıra aklaşa pozitif değerler verildiğide foksiou aldığı değerleri sıırsız olarak büüdüğü görülmektedir. = = 0; = = 00; = = 000; " 0, 0, " 0, 0 0, 0 " 0, 00 0, 00 Bu iki durumu = = ve = =+ şeklide ifade edebiliriz. " 0 + 0 " 0 + 0 Bir geelleme apacak olursak; a R + olmak üzere; a a =+ ve 0 = + 0 olduğu söleebilir. b. + ve durumları: i) değişkeie, isteildiği kadar büük pozitif değerler verildiğide, foksiou aldığı değerleri sıfıra aklaştığı görülmektedir. = = 0, ; = = 0, 0; = = 0, 00; " 0 0 " 00 00 " 000 000 ii) değişkeie, isteildiği kadar küçük egatif değerler verildiğide, foksiou aldığı değerleri sıfıra aklaştığı görülmektedir. = = 0, ; = = 0, 0; = = 0, 00; " 0 0 " 00 00 " 000 000 Bu iki duruma = 0 ve = 0 olarak ifade edebiliriz. " " Bir geelleme apacak olursak; a R + a a olmak üzere; = 0 ve = 0 eşitliklerii söleebiliriz. +
YAKLAŞIM Geişletilmiş reel saılar kümeside R (, + ) it işlemleri apılırke saı sıfır ifadeside padaki "saı"ı işareti ile padadaki "sosuz"u işaretie dikkat edilmelidir. + + a =+ ; = ; = ; =+ k + + BİRLİKTE ÇÖZELİM Aşağıdaki itleri değerii bulalım. SIRA SİZDE Aşağıda verile itleri değerii buluuz. 7 9. a) b) " 0 + " 0 + c) d) " 0 + " 0 7. a) b) " + " c) d) " + ". = = + + " 0 + 0. = = " 0 0. = = + " 0 + 0. 0 = = + " 0 0. a) " 0 c) " 6 b) " 7 d) " 7 7. = = = + + " + + 0 6. = = = " 0 7. = = = + + ", + 0. a) b) " + 9 + c) d) " + ( ) " ( ) " 7 ( 7) 8. = = = ", 99 0 e) + " f) " 6 6 9. i) + " ( ) + + = = = + + " + + ( ) ( 0 ) 0 + g) h) " 0 + e " 0 e ii) + + = = = + " + ( ) ( 0 ) 0 O halde, " + = + ( ) olur. ) a) b) c) d) ) a) b) c) d) ) a) b) c) d) ) a) Yok b) Yok c) Yok d) Yok e) Yok f) Yok g) h)
YAKLAŞIM. a R içi SIRA SİZDE Aşağıdaki itleri değerii hesaplaıız. i) a + (+ ) = + b) a + ( ) = ii) a > 0 ise a (+ ) = +, a( ) = a < 0 ise a (+ ) =, a ( ) = + iii) a a = 0, = 0 +. a) ( ) " c) ( ) " b) ( + ) " d) ( ) ". (+ ) + (+ ) = + ; ( ) + ( ) = (+ ) (+ ) = + ; ( ) ( ) = + (+ ) ( ) = dur.. ( a + a +... + a + a ) = ( a ) 0 "" "" ( " içi poliom foksiolarda it hesabı apılırke sadece e üksek dereceli terime bakılır.). a) 7 " c) ( + ) " b) ( 6) " d) ( ) " BİRLİKTE ÇÖZELİM Aşağıdaki örekleri icelee.. ( + ) = + = " +. ( + ) = = ". = ( ) = " +. = ( ) = ". = ( ) =. = " 6. = ( ) = ( ) = " 7. = ( ) = ( ) = " 8. = ( ) = ( ) = " 9. ( + ) = ( ) " ihmal edilebilir " = = 0. ( + + ) = ( ) " ihmal edilebilir " = ( ). a) 7 " c) 6 " e) ". a) ( 000) " c) ( ) " e) ( 7 ) " b) 8 " d) 0 " f) ( ) " b) ( + 8 + 7) " d) ( + 7 ) " f) 7 ( + ) " = ( ) = + ) a) b) c) d) ) a) b) c) d) ) a) b) c) d) e) f) ) a) b) c) d) e) f)
YAKLAŞIM a R {0} olmak üzere. a > ise i) a = a = " ii) log = a " iii) a = a = = = 0 " a iv) log = dur. " 0 a. 0 < a < ise i) a = 0 " ii) a = " Aşağıda verile itleri değerii hesaplaıız.. a) 7 " SIRA SİZDE b) 7 " c) c m d) c m " " r e) a k f) c m " e " iii) log = a " iv) log = dur. " 0 + a. a) log ( + ) " b) log ( + ) / " BİRLİKTE ÇÖZELİM c) log ( + 7) d) ( ) " 7 + log + " + Aşağıdaki örek çözümlerii icelee.. = = " e) l( + ) " f) l( ) " +. = = = = 0 ". a) " + b) ". c m = a k = = 0 ". c m = a k = a k = = ". log = " c) c m d) c m " + " 7 7 e) c m f) c m " + " 6. log = " 0 + + " + g) h) " + 7. log = / " 8. log = / 0 " + i) c m j) c m " + " ) a) b) 0 c) 0 d) e) f) ) a) b) c) d) e) f) ) a) b) 0 c) 0 d) e) f) 0 g) h) 0 i) 0 j)
TEST GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİNDE LİMİT 7. " 0 + A) B) 7 C) 0 D) 7 E) 9. log ( + ) " A) B) C) 0 D) E) 6. " A) B) C) 0 D) E) 0. log ( ) " A) B) C) 0 D) E). " 6 A) B) 9 C) 0 D) E). " + A) B) C) 0 D) E). + " + ( + ) A) B) C) 0 D) E). c m " A) B) C) 0 D) E). ( ) " A) B) C) 0 D) E). si " + A) B) C) 0 D) E) Limit Yoktur. 6. 7 ( ) " A) B) C) 0 D) E). c m + " 0 log A) B) C) 0 D) E) 7. " A) B) C) 0 D) E). c m " A) B) C) D) 0 E) 8. c m " A) B) C) 0 D) E) 6. cos " + A) B) C) 0 D) E) ) A ) A ) E ) E ) E 6) A 7) C 8) C 9) A 0) E ) A ) C ) C ) E ) E 6) C
7. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ BİLGİ a R içi si = sia; cos = cosa; ta = taa ve cot = cota dır. (a 0) " a " a " a " a Not: Trigoometrik foksiolarla ilgili it hesaplamalarıda i ölçüsü hep rada olarak düşüülür. BİRLİKTE ÇÖZELİM " r cos si SIRA SİZDE si. " 0 cos + si + cos 6. r " r ta. " r cos + ta + 7. cos " r + ta. cot " r cos cot. si cos " r. si r " r 6 si 8. cos + " r 6 cos cot 9. si " r r sia + k 0. " r r cosa + k + ) ) ) ) 0 ) 6 r 6) r 7) 8) 8 9) 0) 6
YAKLAŞIM Trigoometrik foksioları grafiklerii bilmek, ilgili soruları çözümüde büük kolalık sağlar. SIRA SİZDE Aşağıdaki itleri değerii hesaplaıız.. 0 " cos + si π/ O π/ π O π + r. si + " r + f()=si f()=cos + cos. " 0 + cos π O f()=ta π π π/ O π/ f()=cot π si +. cos " r + BİRLİKTE ÇÖZELİM. ta " r Aşağıdaki soruları çözümlerii icelee.. cos cos0 = = = + + " 0 + + 0 0 cos cosr. = = = = si " r + r 0 si. + 0 + = = = + + " 0 ta + + ta0 0. r si + si + + = = = cot " r + + r 0 cot r ta ta +. c m = a k = a k = 0 r " cot cotr 6. c m = a k = a k = a k = 0 " r 6. ta " r + 7. " r 8. 0 + " si + cos ta cos + ta 9. si cos " 0 ta + cot 0. cos si cot ta " r ) ) ) ) ) 6) 7) 0 8) 9) 0 0) 0 7
TEST TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ. ( si + cos) " 0 A) B) C) 0 D) E) r 9. " r ta A) B) r r C) 0 D) E). ( cos si) " r 6 A) B) C) D) E) cos 0. " 0 cot A) B) C) 0 D) E). cos si c m r ta " A) B) C) D) E) cos. " r cot A) B) C) 0 D) E). ( ta si) " r A) B) C) 0 D) E). ta " r c m + A) B) C) 0 D) E) Limit oktur.. si r " r A) p B) C) 0 D) r r E) p. si c m r + " A) B) C) 0 D) E) r 6. cos " r A) 7 r B) r C) r D) 6r 7r E). ^ ta cot e r h " r A) B) p C) 0 D) p E) 7. cos " 0 A) B) C) 0 D) E) si + cos. cot ta " r + A) B) C) 0 D) E) cos 8. si " r + A) B) C) 0 D) E) 6. ta cot " 0 A) B) C) 0 D) E) 8 ) D ) C ) B ) A ) D 6) E 7) E 8) A 9) C 0) C ) C ) A ) B ) A ) C 6) B
8. BELİRSİZLİKLER YAKLAŞIM Taımı olmaa, işlemi apılamaa ifadelere "taımsız" ifadeler deir. 7 Öreği ( )!, c m!,, gibi işlemler taımlı değildir. 0 Soucu belli olmaa ifadelere "belirsiz" ifadeler deir. 0 Öreği,,,, 0 0 0, 0,, 0 gibi ifadeler belirsizdir. 0 Acak it ardımıla böle ifadeler içi bazı souçlar hesaplaabiliriz. Limit işlemleri soucuda elde edeceğimiz, 0 a da gibi ifadeler, bu tür belirsizlikleri eşiti a da soucu değil itleridir. Foksiou davraışı ile ilgili orum apmamızı sağlar. Her türde belirsizliği it işlemlerile ortada kaldırmaı değişik ötemleri vardır. Öreği 0 0 belirsizliğii ok etmek içi özdeşlikler ve çarpalara aırma ötemleri kullaılır. Acak daha sora Türev kousuda öğreeceğimiz L'HOSPİTAL ötemi de devree girecektir. Öreği, f( ) = foksiouu ele alalım. = değeri padaı sıfır aptığı içi f() değeri hesaplaamaz. Yai, f() taımsızdır. ( )( + ) f( ) = = = + = + ve = grafiklerii karşılaştıralım. O =+ = O 0 ( + ) = + = ve = " " 0 eşitliklerideki " " i alamı = değildir. " saısı e aklaşırke" demektir. ( )( + ) (Yai, olduğuda = = = + işlemii apabilioruz.) f( ) = foksiouu grafiğie tekrar döe. O = olduğuu daha öce sölemiştik. ( ) bir " 0 reel saı olmadığı içi bu ifadei alamı "it vardır ve saısıa eşittir." demek değildir. " f( ) = foksiou saıları sıfıra solda aklaştıkça çok çok küçük egatif değerler aldığı içi iti oktur." alamıa gelir. Aı şekilde =+ eşitliğii alamı da " f( ) = " 0 + foksiou saıları sıfıra sağda aklaştıkça çok çok büük pozitif değerler aldığıda iti oktur." alamıdadır. Yai, saıları sıfıra çok çok aklaştıkça, f( ) = değerleri de sıırsız bir şekilde arttığıı a da azaldığıı sembolik bir gösterimide ibarettir. Bir başka duruma daha bakacak olursak; i) ( + ) = + = + " " " = dur. ii) ( ) = = " " " = Belirsizdir. Acak, ( ) = ( ) = ( ) " " " " = = dur. Özet olarak şuu söleebiliriz: belirsizlik giderilebilir acak taımsızlık giderilemez. 9
a) 0 0 Belirsizliği YAKLAŞIM f( ) 0 a R olmak üzere, ifadeside f() ve g() foksiolarıda = a değeri erie azılır. Souç oluorsa, f() " a g ( ) 0 ve g() çarpalarıa arılarak gerekli sadeleştirmeler apılır ve belirsizlik durumu ortada kaldırılır. Pa ve padası poliom ola bu tarz foksiolarda sadeleşe çarpa her zama ( a) dır. BİRLİKTE ÇÖZELİM + 6 " + 8 + SIRA SİZDE Aşağıdaki itleri değerii buluuz. +. " + 6. m( m 7) m " m ( m ) + 8 + 6. " 7 + 7. " 8 0. " 8 u 8. u " u a + a +. a a " + a 8 9. " 6. m( m ) m " m ( m ) k + 8k 0. k 0 k k " ) ) ) ) ) 8 7 6) 0 9 7) 9 8) 7) 8 8) 0
YAKLAŞIM ifadesi " değişkei saısıa aklaşırke" şeklide alaşıldığıa göre, ifadesi " değişkei saısıa aklaşırke", m ifadesi "m değişkei saısıa aklaşırke" şeklide alaşılmalıdır. BİRLİKTE ÇÖZELİM " SIRA SİZDE Aşağıdaki itleri değerii buluuz.. " k k 6. k k " + k a. a a " m 7. m m " m. " m m 8. " + a ab. ab b a " b 9. c m " " a b. a b a b " + b a 0. f a b a b ab a p " " ) ) a ) m ) ) b 6) 7) 8) 9) 0)
YAKLAŞIM Üslü ifade içere 0 0 belirsizlikleride ifadeleri daha kola çarpalarıa aırabilmek içi "değişke değiştirme ötemi" kullaılabilir. BİRLİKTE ÇÖZELİM 6 " SIRA SİZDE Aşağıdaki itleri değerii buluuz.. " 6 6. " 9 9. " 7. ". 8 " 8 8. + + " 0 +. 6 9 " + 0 6 6 9. 8 8 " a. a a a " 7 0. 8 " 0 ) ) 6 ) ) 8 ) 6) 8 7) 7 8) 9) 8 0)
YAKLAŞIM 0 Köklü ifade içere belirsizlikleride, pa ve padaı köklü ifadei eşleiği ile çarparak belirsizlik durumu giderilir. 0 ^ f + gh ifadesii eşleiği ^ f g h ve ^ f + g h^ f g h = ^ f h ^ g h = ^f gh dir. BİRLİKTE ÇÖZELİM " + 9 SIRA SİZDE Aşağıdaki itleri değerii buluuz. +. " + 0 6. " + +. " + 8 7. " +. 0 " + 6 8. " 8. " 9 + 8 9. " +. " + 9 + 7 0. " + 7 ) 8 ) 0 ) ) 08 ) 6) 7) 6 8) 9) 0) 6
YAKLAŞIM Bir reel saıa eşit olduğu bilie it içideki rasoel ifadei i aklaştığı değer içi padası 0 oluorsa paııda 0 olması; paı 0 ise padasıda 0 olması gerekir. BİRLİKTE ÇÖZELİM + k + = m " olduğua göre, k + m kaçtır? (k, m R) SIRA SİZDE. ( a ) + " ise a kaçtır? itii değeri bir gerçek saı 9 6. = ise m kaçtır? " + + m + k + 6. = m! R olduğua göre, m kaçtır? " + k 7. " kaçtır? itii değeri bir reel saı ise k + m +. = " + ise m kaçtır? + m 8. " olabilir? ifadesi hagi reel saıa eşit + a. = b ise a b kaçtır? " ifadesi hagi reel saıa eşit ola- a 9. " bilir?. = ise a kaçtır? " + a 0. " + k = ise k kaçtır? ) 0 ) ) ) 6 7 ) 6 6) 7) 8) 6 9) 0)
BİLGİ si a a sia a = = = dir. " 0 b " 0 si b " 0 si b b Not: 0 ike si ta olur. ta ta a a taa a a = = = = dir. " 0 b " 0 ta b " 0 ta b " 0 si b b BİRLİKTE ÇÖZELİM ta " 0 si SIRA SİZDE Aşağıdaki itleri değerii buluuz.. si " 0 6. si c m " 0 ta. " 0 si 7 7. si " 0. " 0 tac m 8. si cot " 0 cot ta6. " 0 si cot 9. cot " r. si6 = " 0 ta ( a + ) ise a kaçtır? sia 0. = " 0 ta b b cota " 0 ise kaçtır? ) ) ) ) ) 9 6) 7) 8) 6 9) 0)
YAKLAŞIM Değişke değiştirme ötemi kullaılarak a ifadesi a = h ve = h + a elde edilir. Bölece a ifadesi de h 0 ifadesie döüştürülerek bir öceki aklaşımda alatıla özellikler kullaılır. ( ) ( ) Not: si a ta a = = dir. " a a " a a BİRLİKTE ÇÖZELİM si r " SIRA SİZDE. Aşağıdaki itleri değerii buluuz. ( ) si 9 " sic m 6. " aipucu: h =. olsu k. " si ( r) 7. sic m ". " si r 8. sic m ". si r " 9. " cotc m r. cot " r 0. tac m " ) ) p ) r ) r ) 6) 7) 8) 9) 6 0) 6 6
YAKLAŞIM 0 Trigoometrik özdeşlikler ardımıla belirsizliği ortada kaldırılabilir. 0 ta = ; cot = ; si + cos = ; si = si cos; cos = cos cot ta si = cos = si BİRLİKTE ÇÖZELİM si cos " r SIRA SİZDE Aşağıdaki itleri değerii buluuz. + si. cos " r si. " 0 + cos. " r si cos 6. 0 " + cos si + cos. si " r cos si 7. " r/ cos. cos " 0 si cos 8. ta " 0 ) ) ) ) ) 6) 0 7) 8) 7
TEST 6 0 0 BELİRSİZLİĞİ + 7. " 9 A) 9 B) C) 0 D) 9 E) 7. si c m " 0 cos A) B) C) D) E) 0 h h. h h h " + A) B) C) 0 D) E) 8. " 0 si 6 9 A) B) C) D) E) 6. 8 " 6 A) 0 B) C) D) 6 6 E) 9. ta " 0 9 A) B) C) D) 9 E) 0. " + 6 A) B) C) 0 D) E) 0. si " A) B) 6 C) D) E) + a +. = b ise a + b kaçtır? " A) B) C) 0 D) E). si r " r r A) p B) C) 0 D) E) p 6. + + a " + itii değeri bir reel saı ise a kaçtır? A) 0 B) C) 0 D) 6 E) 68 cos. " 0 si A) B) C) 0 D) E) 8 ) E ) A ) D ) B ) D 6) E 7) A 8) B 9) D 0) B ) A ) A
b) Belirsizliği BİLGİ, m N olmak üzere, a + + a + a 0 b m " + + m b + b 0 Z ] 0, < m a = ], = m [ bm ] ]", > m \ Not: ( a + + a + a ) = a dir. 0 "" "" BİRLİKTE ÇÖZELİM + " + 9 SIRA SİZDE Aşağıdaki itleri değerii buluuz. 8. " + + + 6. " + +. " + + + 7. 6 " 7 + 9. " 8 8. alog 6 log k " +. 8 " + + 7 9. ^l e + l h ". " + 6 0. alog + log k " ) ) ) ) 0 ) 6) 7) 0 8) 9) 0) 9
YAKLAŞIM Pa ve padada çarpalara arılmış şekilde bulua ifadelerdeki her çarpaı e üksek dereceli terimi dışıdaki terimler ok saılarak gerekli işlemler apılır. BİRLİKTE ÇÖZELİM " ( ) ( ) ( 8 + ) ( + 9) SIRA SİZDE. Aşağıdaki itleri değerii buluuz. " ( ) ( + ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( " + ). ( ) ( + ) " ( + ) ( + + ) 6. ( ) ( 6 ) " ( + ). " ( ) ( + ) ( + 7) 7. " ( + )( ) ( ) ( 9 ). ( ) ( + ) ( ) ( " ) 8. ^( + ) h ( + ) " ( ( ) ) ) ) ) ) ) 0 6) 7) 8) 0 0
YAKLAŞIM Köklü ifade içere belirsizlikleride de e üksek dereceli terim dışıda kalalar ok saılabilir. ve ifadelerie dikkat edilmelidir. = ; = içi = ve içi = tir. SIRA SİZDE Aşağıdaki itleri değerii buluuz. 9 +. " 7. " 8 + 8 + 7 +. " 6 + 9 BİRLİKTE ÇÖZELİM + + 8 +. " 9 + 8 + + 7 itii değeri kaçtır.. " 6 + 9 + 00000. " 6 0 + 8 + 6 7 6. " 9 +. + 8 + " 6 + 7 + 6 7. 6 8 + 9 + " 6 + 9 + 8. 7 " + 9. " + 8 + 9 + + + + 0. " 7 + + ) ) ) ) ) 6) 8 7) 8) 0 9) 0)
YAKLAŞIM Soucuu 0 da farklı bir reel saı olduğu verile belirsizlikleride pa ve padadaki ifadeleri derecelerii eşit olması gerekir. BİRLİKTE ÇÖZELİM " ( m + ) + 8 + = olduğua göre, m kaçtır? SIRA SİZDE. " ( m ) + = ise m kaçtır? 6. " ( a + ) + 7 = 0 ise a kaçtır? ( a) + 7 8. " + a = ( ) ise a kaçtır? 7. " = ise a kaçtır? ( )( )( + a). ( a ) 6 + = ise a + b kaçtır? " b + 6 a 8. a " + itii değeri bir reel saı ise a ı alabileceği kaç farklı doğal saı vardır? k. 0 = " + ise k'i alabileceği kaç farklı doğal saı değeri vardır? 9. " + ( k) + = ise m k kaçtır? + ( m) +. ( m ) + = ise m kaçtır? " ( m) + 6 7 a + + a 0. = ise kaçtır? " b + + b ) ) ) 0 ) ) 6) 7) 8) 9) 7 0)
YAKLAŞIM Üslü ifade içere belirsizlikleride i) + ise pa ve padadaki tabaı e büük terimler alıır. ii) ise pa ve padadaki tabaı e küçük terimler alıır. Not: i egatif değerleri içi < ; pozitif değerleri içi > tir. BİRLİKTE ÇÖZELİM r + e + " r e + SIRA SİZDE Aşağıdaki itleri değerii buluuz.. " + + + r e 6. " r + e +. + " + + 7. + " +. 7 + " r + 8. " a + b = ve a < b ise c a kaçtır? c + 7 7. + " + 9. e r + 6 " + c m + r +. + + + " + 0. f() = + ise f( + ) " f ( ) kaçtır? ) ) 9 ) 0 ) ) 6) e 7) 0 8) 9) 0) 0
YAKLAŞIM ^ a + b c + d h itii hesaplarke kök " içideki b ve d saılarıı atalabiliriz. (ihmal edilebilir.) i) a = c ise it değeri 0 dır. SIRA SİZDE Aşağıdaki itleri hesaplaıız.. ^ + h " ii) iii) a < c ise it değeri olur. a > c ise it değeri olur.. ^ + h " BİRLİKTE ÇÖZELİM. ^ + h " Aşağıdaki örekleri icelee.. ^ + h = ^ h = " ". ^ + h ". ^ + 8 h = ^ h = " " olur.. ^ + h = ^ h = 0 " " Aslıda bu tür problemleri çözerke ifadei eşleiği ile çarpıp bölmemiz gerekir.. ^ h " 6. ^ + h " 7. ^ h " 8. ^ + + h " 9. ^ a + h = 0 ise a kaçtır? +" 0. ^ m + h = ise m'i alabileceği " e küçük tam saı değeri kaçtır? ) 0 ) ) ) 0 ) 6) 7) 0 8) 0 9) 0)
TEST 7 BELİRSİZLİĞİ +. " 7 8 A) B) 7 C) 0 D) E) 7 + 9 + 7. " A) B) C) 0 D) E) +. " 8 A) B) C) 8 D) 0 E) 8. " + A) B) C) D) E) 6 8 + 9. " + 0 A) B) 8 C) 0 D) E) + 9. + + " A) B) C) D) E) 0. ( + ) ( + ) " ( ) ( ) A) B) 0 C) D) E) 0. " + r e r e A) B) r C) r D) r E) itii değeri kaç-. + 8 + " 6 + tır? A) B) C) D) E). + = ise a kaçtır? ( a ) " A) 7 B) C) D) E) 6 + 0 6. " 8 6 + A) B) C) 0 D) E). ( a + ) + = " ( b ) olduğua göre, a b kaçtır? A) 8 B) C) D) E) 8 ) B ) A ) C ) E ) B 6) E 7) A 8) D 9) C 0) B ) D ) A
c) Belirsizliği YAKLAŞIM İki rasoel ifadei farkı şeklide verile ( ) belirsizlikleride pada eşitleip gerekli sadeleştirme işlemleri apılarak belirsizlik ortada kaldırılır. BİRLİKTE ÇÖZELİM c 6 9 " m SIRA SİZDE Aşağıdaki itleri değerii buluuz.. c " m + 6. c m " +. c + " + m 7. c + m ". c a a a " a m 8. " + c + m +. c " + + m b + 9. ca + m = ise b kaçtır? " +. + c m " 0. " + c a + bm = ise a b kaçtır? + ) ) ) a ) ) 6) 7) 8) 9) 0 0) 6
YAKLAŞIM İkici derecede poliom içere köklü ifadelerde ( ) belirsizliğii gidermek içi eşleikle çarpıp bölme işlemi apılır. Ya da a b + b + c = a + kuralı kullaılır. Arıca aşağıdaki özellikte kullaışlıdır. "" "" a Z ], a > d ] b e ^ a + b + c d + e + f h = [, a = d " ] a ], a < d \ BİRLİKTE ÇÖZELİM ^ 9 + h " SIRA SİZDE Aşağıdaki itleri değerii hesaplaıız.. ^ + h " 6. ^ + + + h ". ^ + h " 7. ^ + k + h = ise k kaçtır? ". ^ + + 6 h " 8. ^ + + + mh = ise m kaçtır? ". ^ + h " 9. ^ 9 + 6 8 + h ". ^ + + h " 0. ^ 9 + + 9 + 7 h " ) / ) ) 0 ) ) 6) 7) 6 8) 9) 0) 7 6 7
TEST 8. c 6 " 9 m A) 6 B) C) D) E) 6 BELİRSİZLİĞİ 7. ^ + + h " A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 8 +. c + m " + A) B) C) 0 D) E) 8. ^ + 8 8 + h " A) B) C) D) E). ^ + h " A) B) 9 C) 0 D) E) 9. ^ 6 + h " A) B) 7 C) D) E) 7. ^ h " A) B) C) 0 D) 6 E) 0. ^ 6 + + + ah = " olduğua göre, a kaçtır? A) 7 B) C) D) E) 7. ^ + h " A) B) 6 C) 0 D) E). ( cot cosec) " 0 A) B) C) 0 D) E) 6. ^ + 6 + 0 h " A) B) C) 0 D) E). ( ta sec) " r A) B) C) 0 D) E) 8 ) A ) E ) C ) C ) C 6) A 7) C 8) A 9) A 0) E ) C ) C
YAKLAŞIM f( ) g( ) = 0 ise " f( ) g( ) 0 i) f( ) g( ) = a da apılarak a da / g( ) / f( ) 0 elde edilir. d) 0 Belirsizliği 0 0 ii) 0 = = ve 0 = = dır. / 0 / 0 BİRLİKTE ÇÖZELİM SIRA SİZDE Aşağıdaki itleri değerii buluuz.. ( + ) " 7. ( 7) " +. ( + ) " +. ( + ) ". ( ) ". ( + 7) " +. 7 cot " 0 + 6. cot " 0 + 7. si cosec " 0 8. si cot7 " 0. ( + ) " + 9. ta " 0 0. ta( ) " 8 ) 7 ) ) ) ) 0 6) 7) 8) 7 9) 0) 9
YAKLAŞIM 0 belirsizliğideki foksiolarda biri poliom, diğeri de trigoometrik foksio ise değişke değiştirme ötemi kullaılır. a si b a k Ya da kısaca, ( a) sic m = a b vea a = dir. " " b b BİRLİKTE ÇÖZELİM " si SIRA SİZDE Aşağıdaki itleri değerii buluuz.. si " 0 6. 6 ta ". 7 sic m " 7. " cosecc m. ^ + h si " 8. " cotc m. ( ) si " 6 9. " cosecc m. ta " 0. " cosec ) 6 ) ) 0 ) 0 ) 6) 60 7) 8 8) 9) 0) 0
TEST 9. ( + ) " 6 A) B) C) D) E) 0 BELİRSİZLİĞİ 7. " 6 cot A) B) C) D) E). ( ) " r 8. ( ) tac m " A) 8 B) C) D) E) 8 A) r B) r r C) D) r r E). cot " 0 + A) C) C) D) E) 9. a r ta k c m " r A) B) C) D) E). 7 cosec " 0 7 A) 8 B) 7 C) D) E) 7 r 0. ( + ) ta " A) r B) r C) r D) r E) r. si " A) B) C) D) E). cot ta " 0 A) B) C) D) 6 E) r 6. sia k " A) p B) r C) r r D) p E) r. a k ta r " A) B) C) 0 D) E) ) B ) A ) D ) E ) A 6) D 7) B 8) B 9) C 0) D ) A ) E
9. DİZİLERİN LİMİTİ BİLGİ (a ) bir dizi olmak üzere, içi a bir a saısıa aklaşıorsa "(a ) dizisii iti a dır." deir ve a a = ile gösterilir. " Dizii geel terimi ola (a ) aı zamada bir foksio olduğu içi foksioları ( içi) it özellikleride ararlaılır. Bir dizii iti içi hesaplaır. SIRA SİZDE Aşağıda geel terimi verile dizileri itlerii buluuz. 8. a) ( a ) = + + c m b) ( b ) = c m 7 c) ( a ) = f p d) ( b ) + = c m +. a) ( a ) = c + c m m + b) ( b ) = f p + c) ( a ) = ( + ) d) ( b ) = ( ) BİRLİKTE ÇÖZELİM Aşağıda geel terimi verile dizileri itlerii bulalım.. ( a ) = + c m. ( b ) = c m + 7. 8 ( c ) = c m. ( d ) = c m + + 7. si ( k ) = c m 6. ( l ) = si. a) ( a ) = c m b) ( ) cos b = c m c) ( a ) = si c m d) ( ) ( )ta b = c m. a) ( a ) = ^ + h b) ( b ) = ^ + + h c) ( a ) = ^ + 8 h d) ( b ) = ^ + h. a) (a ) = ( ) b) ( b ) = c + e c) ( a ) = ca k m d) ( b ) = ^ r ^ h h e) (a ) = ( ) f) ( b ) = f + 7 p m 6. ( a ) = c m ve ( b ) log + = + c c mm ise + 7 a) (a + b ) dizisii iti kaçtır? b) (6a b ) dizisii iti kaçtır? c) (a b ) dizisii iti kaçtır? a d) f p dizisii iti kaçtır? b ) a) /7 b) c) 0 d) ) a) b) / c) 0 d) 0 ) a) 0 b) 0 c) 6 d) 6 ) a) 0 b) 0 c) d) ) a) b) c) 0 d) Yok e) f) 7 6) a) 7/ b) c) d) /
YAKLAŞIM Dizilerde öğrediğimiz formülleri hatırlaalım. ( + ) + + + + = + + + + ( + )( + ) = 6 + + + + ( ) = + c m + + + + = ( + ) + r + r + r + r + r = ( r ) r... SIRA SİZDE Aşağıda verile itleri değerii buluuz. " + + + + + + + + ( ) " + + 6 + + ( ) c + + + + " ( + m ). BİRLİKTE ÇÖZELİM + + + + " + + + +. " + + + + + + itii değerii bulalım.. c 8 + + + + c m m " 9 7 6. " / J N K ( k + ) O K O k = K O L + P. + + + + ( ) " 7. " + + 6 + + ( ) + 8 itii değerii bulalım. 8. + + + + " + + + +. " / ( ) k = ( + ) / k = itii eşitii bulalım. 9. 0. / ( k ) k = " ( k + ) " / k = / ( k + ) k = ( k ) / k = ) 0 ) ) ) 0 ) 6) 7) 8) 0 9) 0)
BİLGİ ve a > ise >! > a > a dır. ( N + ) SIRA SİZDE Aşağıdaki itleri değerii buluuz. Bu eşitsizlikteki büüklük-küçüklük durumua göre içi it hesabı apılır.. a) " b)! " c) " 7 d) " (!) BİRLİKTE ÇÖZELİM Aşağıdaki işlemleri icelee.. "! = dur. ( >!). a) (!) " b) 7 ( 7 ) ". = 0 dır. ( < ) " c) ^! h d) ( 0 ) " ". = 0 dır. ( < ) ". (! ) = dur. (! > ) ". a) f + "! + p. 7 7 ( ) = dur. ( < ) " b) f + " + ( ) p 6. c + m + f "! + 7 p = " 7! c + m! c) " (!) (! ) = = 0 dır. (! > ) "! d)! + ( " )! + ) a) b) 0 c) 0 d) ) a) b) c) d) ) a) 0 b) 0 c) 0 d) 0
TEST 0 DİZİLERİN LİMİTİ +. ( a ) = f p dizisii iti kaçtır? + + A) B) C) D) E) si cos 7. c m " A) 0 D) B) C) 0 E) Limit Yoktur. 7 9. ( a ) = c m dizisii iti kaçtır? 8 + 6 9 A) 8 B) 8 7 7 C) 6 D) E) 8. f + p " + A) B) 6 C) 6 D) 8 E) 6 ( ) ( ). ( a ) = f p dizisii iti kaçtır? + + A) 0 B) 0 C) 0 D) E) 9. + c m " + + + + A) B) C) 6 D) E) 6. c m " A) B) 0 C) D) E) 0. J N K O " K O / ( k + ) K O k = L P 8 A) B) C) D) 0 E). ^ + 9 + h " A) B) C) 0 D) E).! c m " + A) B) C) 0 D) E). ( a ) = ^ + h ve 6. ^ 9 + 6 + h " A) 0 B) 6 C) 6 D) 0 E) 6 + ( b ) = log c 9 c mm ise ( a b ) " A) 9 B) C) 0 D) E) 9 7 ) A ) E ) C ) A ) A 6) D 7) C 8) C 9) C 0) A ) C ) C
0. SONSUZ GEOMETRİK DİZİ TOPLAMI YAKLAŞIM (a ) = (a r ) geometrik diziside a birici terim ve r ortak çarpadır. a r / ifadesie sosuz geometrik dizii toplamı k = deir.. BİRLİKTE ÇÖZELİM k + / c m sosuz toplamıı bulalım. k = a) r > ise bu toplam sosuza aklaşacağı içi hesaplaamaz. b) r < ise toplamı değeri bir reel saıa aklaşır ve buluabilir. k 0 / a r = a r + a r + a r + k = = a + a r + a = dir. r k ) / c m sosuz toplamıı bulalım. 6 k = Toplam sembolü ile verile bir sosuz geometrik dizi toplamıı buluabilmesi içi sadece başta ilk iki terimii açmak eterlidir. İlk elde edile saı a ve ikici saıı birici saıa oraı r dir. a ilk terim r = ( ortak ç arpa) k c m ) % sosuz çarpımıı bulalım. k = 6
SIRA SİZDE.. Aşağıda verile toplamları değerii buluuz. / k c m k = k + / c m k =.. / k + k k = / k k + k =. k / c m k =. / a + a =. k + / f p k =. / k k = / k + k 6. ( ) f p 7 k =. /f p = 6. k /f p k = 0 / 0 6. = / 7. k k = / 7. e k k = / k + 8. f p 7 k = / k + 9. c m k = % k f p 8. k = % f k p 9. k = 0. / = ( ) % 0. 8 ( k ) k = ) ) 9 6 ) 7 ) 00 7 ) 6) 7) 6 8) 9) 9 0) ) 9 ) ) 00 ) ) e 6) 7) e 8) 9) 0) /0 7
. YAKLAŞIM / sembolüü içide toplam a da fark durumuda terimler buluduğuda, buları aırarak arı arı sosuz toplamlar buluur. / k = k + k + toplamıı bulalım. BİRLİKTE ÇÖZELİM.... SIRA SİZDE Aşağıdaki sosuz toplamları hesaplaıız. / k + k k = / k k k k = / k k + k k = k = k k + k + k /f p. 6. / + = / k k + k 6 k = J N k + K k 7. + = K f O / p ise kaçtır? ( > ) O k = 0 L P. < < ise / k = k + k 8. + a / f = p ise a kaçtır? (a < ) = sosuz toplamıı türüde bulalım. 9. < a < b olmak üzere a a + b / d = ise oraı kaçtır? b a b = 0. < a < b olmak üzere, a k / f p toplamıı a ve b ciside buluuz. b k = 7 ) 6) ) 7 ) 7 9 ) 6 ) a 7) 8) 9) 0) b a 8
YAKLAŞIM Sosuz geometrik dizii açık halii verildiği durumlarda ilk iki terime bakarak a ve r belirleir. fr = dir. p a a SIRA SİZDE Aşağıdaki sosuz toplamları buluuz. 9 7. + + + + 6 6 BİRLİKTE ÇÖZELİM. + + + + 9 7. + + + + sosuz toplamıı değeri kaçtır?. + + 8 8 6. + + 9 7 8. + + + sosuz toplamıı değeri kaçtır?. 6 + + + 6. 6 c m + c m + c m + 6 9 7. c m + c m + c m +. + + + 9 8 7 sosuz toplamıı değeri kaçtır? 8. + 8 c m + c m + c m + 9. m < ise m + m + + m + m + 0. k < ise k k + k k + ) ) ) ) ) 8 6) 7) 9 6 8) 9) m m k 0) + k 9
YAKLAŞIM Çeşitli geometrik şekiller kullaılarak apıla ek çizimlerle sosuz geometrik diziler oluşturulabilir. Geelde alalar toplamı a da çevreleri toplamı sorula bu tür problemlerde ilk iki şekil kullaılarak apıla a hesaplamala a ve r elde edilir ve bağıtısı ile r sosuz toplam buluur. SIRA SİZDE. Bir kearı 0 cm ola karei kearlarıı orta oktaları birleştirilerek ei bir kare elde edilior. Bu işlem sosuza kadar devam ettirildiğide elde edile kareleri a) Alaları toplamı kaç cm dir? b) Çevreleri toplam kaç cm dir?. BİRLİKTE ÇÖZELİM Bir kearı cm ola eşkear üçgei kearlarıı orta oktaları birleştirilerek ei bir eşkear üçge elde edilior. Bu işlem sosuza kadar devam ettirildiğide elde edile eşkear üçgeleri a) Alaları toplamı kaç cm olur? b) Çevreleri toplamı kaç cm olur? 6 9 O O O Şekildeki gibi arıçapları sırala 6 cm, cm, 9 cm, ola daireler çizilior. Bu çizim sosuza kadar devam ettirildiğide elde edile a) Daireleri alaları toplamı kaç cm dir? b) Daireleri çevreleri toplamı kaç cm dir?. D M E L F C K Bir kearı 0 cm ola ABCD karesii iki kearıı orta oktaları alıarak DEKF karesi elde edilior ve aı işlem bu karee de ugulaıor. A 0 B Bu işlem sosuza kadar devam ettirildiğide elde edile kareleri çevreleri toplamı kaç cm olur?. A 60 E B D F K C m( W A) = 60 ola ABC dik üçgeide AB = cm dir. Bua göre, BE + DF + üksekliklerii toplamı kaç cm olur? ) a) 00 b) 0^ + h ) a) 6 r b) 8p ) 0 ) 7 60
BİRLİKTE ÇÖZELİM. 0 cm ükseklikte bırakıla bir top ere değdikte sora dike olarak her defasıda düştüğü üksekliği i kadar ükselior. Bua göre, topu durucaa kadar aldığı toplam ol kaç metredir? SIRA SİZDE. 0 m ükseklikte bırakıla bir top ere değdikte sora dike olarak her seferide düştüğü üksekliği i kadar ükselior. Bua göre, topu durucaa kadar aldığı toplam ol kaç m dir?. Dikildiğide bou m ola bir bitki ilk ıl dikildiğideki bouu ü kadar uzuor. Soraki her ıl bir öceki ılda uzadığı miktarı ü kadar uzamaa devam edior. Bu bitkii bou e çok kaç m olur?. Bir sporcu ilk gü 0 km ol koşuor. Bu sporcu her gü bir öceki koştuğu olu i kadar tekrar koşuor. Bu sporcuu koşusuu sosuza kadar sürdürdüğüü varsaarsak e fazla kaç km ol kateder?. Dikildiğide bou m ola bir bitki ilk ıl m uzuor. Bu bitki her ıl, bir öceki ılda uzadığı miktarı ü kadar uzuor. Bu bitkii bou e fazla kaç m olur?. Yatala 0 lik bir eğim açısıla hareket ede bir oucağı her 0 metrede bir öcekii %0 si kadar daha fazla eğimle hareket edecek şekilde tasarlaması isteior. Bua göre, bu oucak atala e çok kaç derecelik açıla hareket edebilir?. Bir fare 0 m uzaklıkta bulua peire ulaşmak istior. Bir saatte peirle arasıdaki mesafei arısıı kateda fare kaç saat sora peire ulaşır? ) 0 ) 8 ) 0 ) 60 ) Ulaşamaz. 6
Geometrik biçimde artmaa sosuz terimli diziler içi / ve% koularıda öğrediğimiz özellikler kullaılır. YAKLAŞIM Not: + r + r + r + = ( r) dir.. SIRA SİZDE Aşağıdaki sosuz toplamları hesaplaıız. / k = 6 k BİRLİKTE ÇÖZELİM. / sosuz toplamıı bulalım. k + k + 6 k =. / c k + m k + k =. /c k + k + m k = k. / k c m sosuz toplamıı bulalım. k =. k k k + k + /f + p k =. / 6 + 8 = 6. + + c m + c m + / k 7. k c m k = ) 8 ) ) ) ) 6) 9 7) 6 6
TEST SONSUZ DİZİLERİN TOPLAMI 8. + + + + sosuz toplamı kaçtır? 9 7 A) B) C) D) E) k k 9. / ( ) f p toplamı kaçtır? k = A) B) C) D) E) 6 8 8 6. + + + + sosuz toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) k + 0. / f p toplamı kaçtır? k = A) 8 B) 6 C) D) 6 6 E). 0,0 + 0,00 + 0,000+ sosuz toplamı kaçtır? A) B) 9 C) 90. 0, + 0, + 0,0 + 0,00 + D) 99 E) 900. k / toplamı kaçtır? k + k = A) 9 B) 9 C) 0 8 D) E) 6 sosuz toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 6 D). 7 + 9 + + sosuz toplamı kaçtır? A) D) 6 B) 9 E) 9 + C) E) + 6. + + sosuz toplamı kaçtır? 6 6 9 A) B) C) D) E) 7. c m + c m + c m + sosuz toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) 6 6 6 8. a < olmak üzere, a + a a + a sosuz toplamı hagisie eşittir? A) a + B) a C) + a D) a E) a. k + / toplamı kaçtır? k k = A) B) 6 7 C). 6 ( k % ) çarpımı kaçtır? k =. D) E) A) B) C) D) 8 E) 6 k a / = ise a kaçtır? ( < a < ) k k = A) B) C) D) E) 0. Bir kearıı uzuluğu 6 cm ola karei ağırlık merkezide karei ardışık iki kearıa dikler çizilerek ei bir kare elde edilior ve aı işlem ei kare içide tekrarlaıor. Bu işlem sosuza kadar devam ettirilirse elde edile kareleri çevreleri toplamı kaç cm olur? A) 6 B) 98 C) 8 D) 6 E) ) A ) E ) C ) C ) B 6) C 7) D 8) C 9) D 0) B ) C ) A ) B ) D ) C 6
. SÜREKLİLİK BİLGİ Bir foksiou = a oktasıda sürekli olması içi i) f i = a da taımlı olması gerekir. (f(a) değeri bulumalıdır.) b O a =f() = a da taımlı olmadığıda süreksizdir. ( = a da iti vardır.) ii) f i = a da iti olmalıdır. a f( ) = f( ) + " a " a k iii) f i = a daki değeri ile bu oktadaki iti eşit olmalıdır. a f( ) = f( ) = f( a) + " a " a k Eğer bu koşullarda herhagi biri sağlamazsa f foksiou = a oktasıda "süreksizdir" deir. Not: Yukarıdaki koşulları b O c c b O a =f() a =f() = a da taımlı ve itli olduğu halde iti ile görütüsü farklı olduğu içi süreksizdir. f( ) f( ) dir. + " a " a Yai, = a da itsiz olduğuda süreksizdir. A R, a d A olmak üzere f: A R f( ) = f( a) ise ''f foksiou = a oktasıda " a süreklidir.'' şeklide de ifade edebiliriz. Buradaki f(a) değeri bir reel saı olmalıdır. c b O d =f() a = a da itsiz olduğuda süreksizdir. Not: Foksiou grafiğii kalemimizi hiç kaldırmada çizebiliorsak (ai grafikte atlamalar a da kopmalar oksa) foksio süreklidir. =f() = a da itsiz olduğuda süreksizdir. Aşağıdaki grafiklerde verile foksioları = a da sürekli olup olmadıkları ve edeleri alarıda belirtilmiştir. İceleiiz. O a b O a =f() = a daki görütüsü ile iti aı olduğuda süreklidir. b =f() = a da itsiz olduğuda süreksizdir. O a 6
BİRLİKTE ÇÖZELİM SIRA SİZDE. =f() 6 O Grafiği verile = f() foksiouu.,, ve oktalarıdaki sürekliliğii iceleim.. ( 6, 7) aralığıda kaç tam saı değeri içi sürekli olduğuu bulalım.. = f() i sürekli olduğu e geiş aralığı bulalım.. Grafiği verile f() foksiou =, =, = 0, =, = ve = oktalarıda kaç taeside süreklidir? O =f() Grafiği verile f() foksiou ( 0, 0) aralığıda kaç tam saı değeri içi süreksizdir?. =f() Grafiği verile f() foksiou (, ) aralığıda kaç tam saı değeri içi süreklidir?. b =f() d e f O c k l a g Grafiği verile f() foksiouu iti olduğu halde süreksiz olduğu kaç okta vardır?. =f() O f() foksiouu grafiği verilior. + g( ) = olduğua göre, g() i süreksiz f( ) olduğu değerleri toplamı kaçtır? ) ) ) 8 ) ) 6
YAKLAŞIM Parçalı taımlı foksiolarda süreklilik iceleirke kritik oktalara ve varsa foksiou taımsız olduğu oktalara bakılır. Z 0 ]. f( ) = [ ] + 7 \,,,, SIRA SİZDE < < < < foksiou kaç oktada süreksizdir?. Z ] ] + ] f = [ ] ] ] \ 6,,,, 0 < < 0 < < foksiou hagi okta(lar) da süreksiz olduğuu bulalım. BİRLİKTE ÇÖZELİM. f( ) = * + 7,,, 0 < < 0 foksiou hagi oktalarda süreksizdir?. f( ) = * b + a +,,, > = < foksiouu = de sürekli olması içi a + b kaç olmalıdır?. f( ) = * + m,, < = +, > foksiou R içi sürekli ise m kaçtır? cos + k. f( ) = * si,, r < r foksiou = p de sürekli ise k kaçtır? k. f( ) = ' k,, < foksiou tüm reel saılarda sürekli ise k kaçtır? Z + ], ] 6. f( ) = [, < ] ], < \ 9 foksiouu süreksiz olduğu oktaları apsisleri toplamı kaçtır? ) ) = 0 ) ) ) 6) 66
Süreklilik İle İlgili Özellikler BİLGİ I) f ve g foksioları = a oktasıda sürekli ise. f + g ve f g foksioları da = a da süreklidir.. k R olmak üzere, k f foksiou = a da süreklidir. Aşağıdaki foksioları sürekli oldukları aralıkları bulalım. BİRLİKTE ÇÖZELİM. f() = +. f( ) = 9. f g foksiou = a da süreklidir.. N + olmak üzere f foksiou = a da sürek-. f( ) = +. f() = log ( ) lidir.. g(a) 0 olmak üzere g f foksiou = a da süreklidir.. f( ) = 6. f() = ta 6. f foksiou = a da süreklidir. 7. a) tek ise f foksiou, b) çift ve f 0 ise f foksiou = a da süreklidir. 8. f foksiou = a da sürekli ve g foksiou da f(a) oktasıda sürekli ise gof bileşke foksiou = a da süreklidir. II) f: A R foksiou A kümesii her oktasıda sürekli ise f foksiou "A kümeside süreklidir" deir. Not:. Poliom foksiolar tüm reel saılarda süreklidir.. Rasoel fosiolar, trigoometrik foksiolar, logaritmik ve üslü foksiolar taımlı oldukları aralıklarda süreklidir. 67
SIRA SİZDE I) Aşağıdaki foksioları sürekli olduğu kümei buluuz.. f() =. f( ) + = II). f( ) = + ( k + ) foksiou = oktasıda süreksiz ise k kaçtır?. f( ). f( ) 8 = +. f( ) = 6. f( ) = = + 6 6. f( ) = foksiou tüm reel saılar içi + + k sürekli olduğua göre, k'i buluduğu aralık edir? (İpucu: padaı sıfır olmaması gerekir. D = b ac i düşüüüz.) 7. f( ) = 6 8. f( ) = 9. f( ) = 0. f( ) =. f( ) = foksiou alız bir oktada + a süreksiz olduğua göre, a kaçtır? (İpucu: Padaı tek kökü olmalı). f( ) =. f() = si. f() = cos. f() = cot. f( ) = foksiou iki oktada ( a ) + süreksiz olduğua göre, a kaç olabilir?. f() = log 6. f() = l( + ). f( ) = m + foksiou tüm reel saılarda sürekli ise m'i aralığı edir? + 7. f() = log ( ) (6 ) 8. f( ) = log c m 9. f() = + 0. f( ) = e 6. f( ) = ( m + ) + m foksiou R içi sürekli ise m'i aralığı edir? ) R ) R {,} ) R ) R {,} ) R 6) R {, } 7) [6, ) 8) R (, ) 9) [, ] {} 0) (, ] [, ) ) [, ] ) R ) R ) R {kp, k Z} ) (0, ) 6) (, ) 7) (, 6) {} 8) (, ) 9) R 0) R {0} ) ), 0 a k ) ) a, k ) R (, ) 6) (, ) (, ) 68
TEST SÜREKLİLİK. 6 O. f( ) + = a + foksiou bir oktada süreksiz ise a kaçtır? 7 A) B) C) 0 D) 7 E) Grafiği verile f() foksiou [ 6, 0] aralığıda kaç oktada süreksizdir? A) 6 B) C) D) E) 6. Aşağıdaki foksiolarda kaç taesi tüm reel saılarda süreklidir? I. f( ) = II. f( ) = + Z ]. f( ) = [ 6 ] \ +,, < foksiou kaç oktada sürekli değildir? III. f() = log IV. f( ) + = + V. f() = VI. f() = si + A) 6 B) C) D) E) A) B) C) D) E) Z a, > ]. f( ) = [ 0, = ] + b, < \ foksiou tüm reel saılarda sürekli ise a b kaçtır? A) B) C) 7 D) E) 9 7. f( ) = e foksiouu süreksiz olduğu oktaı apsisi kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 8. f( ) = foksiouu süreksiz olduğu aralıklarda biri hagisidir? A) (, ) B) [, ] C) [, ] D) (, ] E) R. f( ) 6 = + foksiouu sürekli olduğu aralık hagisidir? A) [, ] B) (, ) C) [, ) {} D) [, ] {} E) (, ) {) cos 9. f( ) = foksiouu süreksiz olduğu si + oktalarda biri hagisidir? r A) 7r B) 6 C) p D) r E) 6 r ) C ) D ) E ) D ) B 6) C 7) C 8) A 9) B 69