Kartezyen Çarpım Kümesi

ölüm 1.2 Kümelerde İşlemler Neler Öğreneceğiz? 1.2.4. Kartezyen Çarpım Kümesi Sıralı ikilileri ve iki kümenin kartezyen çarpım kümesini nahtar Terimler Sıralı ikili Kartezyen çarpım aşlarken ir sinema salonunda koltukların numaralandırılışına dikkat ettiğimizde bir harf ile bir numaranın beraber kullanıldığını görürüz ve bu durum yerlerin tespitinde sade ve etkin bir kolaylık sağlar. Yandaki ikinci resimdeki astrolop deniz yolculuklarında konum ve yön tespitinde yüzyıllar boyu vazgeçilmez bir alet olarak kullanıldı. Sembol ve Gösterimler (a, b) x Günümüzde ise üçüncü resimdeki gibi uydu destekli GPS sistemini kullanan navigasyon cihazları yardımıyla bulunduğumuz yerin koordinatlarını net olarak belirleyebiliyoruz ve bu bize çok amaçlı faydalar sağlıyor. u bahsettiğimiz örneklerde basit ve karmaşık boyutlarda sıralı ikililer ve kümelerin kartezyen çarpımı doğrudan veya dolaylı olarak kullanılıyor. ndülüs dönemine ait astrolob MTMTİK TÖLYSİ u atölye çalışmasında sıralı ikililerin yazılımını inceleyeceğiz. Tabloda li nin boy ve kiloları verilerek ikili olarak yazılmıştır. Siz de üç arkadaşınızın boy ve kilolarını tablo halinde yazınız ve elde ettiğiniz verileri ikililer olarak yazınız. Veri Sıralı İkili İsim oy (cm) Kilo (kg) (boy, kilo) li 158 52 (158, 52) a. Her bir ikili hangi öğrenciyi temsil etmektedir? b. İkililerdeki sayıların yeri değiştiğinde ikilinin anlamı değişir mi? Tartışınız. 80

Kartezyen Çarpım Kümesi İkililerin matematiksel tanımlarını vermeden önce bir örnekle ikililer oluşturalım. Ülkemizdeki bazı illerin trafik kodu ve bu illerimizdeki ilçe sayılarını gösteren ikililer oluşturalım. u ikililerin birinci bileşenleri il plaka kodunu, ikinci bileşenleri de ilçe sayılarını göstersin. Plaka kodu İlçe sayısı nkara 06 25 rzurum 25 20 Trabzon 61 17 rzincan 24 8 skişehir 26 14 Hatay 31 11 ydın 09 16 u durumda oluşturacağımız ikililer (06, 25), (25, 20), (61, 17), (24, 8), (26, 14), (31, 11), (09, 16) olur. Matematik Tarihi René Descartes 1596-1650 nalitik geometri, Descartes in buluşudur. Kartezyen koordinat sistemi, analitik geometride cebirin geometriye uygulanmasıdır. ve boş olmayan herhangi iki küme olsun. kümesinden alınan bir a elemanı ile kümesinden alınan bir b elemanı kullanılarak oluşturulan (a, b) şeklindeki yeni elemana sıralı ikili denir. u durumda a, (a, b) sıralı ikilisinin ilk bileşeni; b ise ikinci bileşeni olur. Sıralı ikilide elemanların yazılış sırası önemlidir. ğer a ve b birbirinden farklı ise (a, b) ve (b, a) farklı ikilileri belirtir. Sıralı İkililerin şitliği a = c ve b = d ise (a, b) ve (c, d) ikililerine eşit ikililer deriz ve bu durumu (a, b) = (c, d) şeklinde gösteririz. ğer (a, b) sıralı ikilisi (c,d) sıralı ikilisine eşitse a = c ve b = d olmalıdır. Şimdi sıralı ikilerin eşitliğini örneklerle inceleyelim. 1 (x + 2, y 1) = (5, 8) ise x + y toplamını bulalım. x + 2 = 5 ve y 1 = 8 x = 3 ve y = 9 olup x + y = 3 + 9 = 12 bulunur. 81

ölüm 1.2 Kümelerde İşlemler 2 (2, m 1) = (n + 3, 9) eşitliğine göre m ve n değerlerini bulalım. 2 = n + 3 ise n = 1 m 1 = 9 ise m = 10 olarak bulunur. 3 (3a + 7, 2ab) = (16, 18) ise a + b toplamını bulalım. nahtar ilgi İki kümenin kartezyen çarpımı da bir kümedir. u kümenin elemanları sıralı ikililerden oluşur. İkililerin eşitliğinden 3a + 7 = 16 ve 2ab = 18 olur. İlk eşitlikten a = 3 bulunur. ulunan bu a değerini ikinci eşitlikte yerine koyup b değerini bulalım: 2 3b = 18 uradan b = 3 olur. öylece, a + b = 3 + 3 = 6 sonucu elde edilir. ve kümeleri verilsin. İlk bileşeni dan ve ikinci bileşeni den alınarak oluşturduğumuz tüm sıralı ikililerin kümesine kartezyen çarpım kümesi denir ve şeklinde gösterilir. ve kümelerinden oluşturduğumuz bu yeni kümeyi ortak özellik yöntemiyle şu şekilde gösterebiliriz: = {(a, b) a ve b } yi oluştururken, sıralı ikililerin birinci bileşenlerinin kümesinden, ikinci bileşenlerinin kümesinden alındığına dikkat edilir. Farklı bileşenlerin yer değiştirilmesiyle yeni bir ikili elde edildiğinden iken dır. urada aklımıza gelebilecek sorulardan biri de, kartezyen çarpımı oluşturan kümelerden en az birinin boş küme olup olamayacağıdır. oş küme ile herhangi bir kümenin kartezyen çarpımı alındığında, ikili oluşturacak bir elemanı boş kümede bulamayacağımızdan kartezyen çarpım da boş küme olacaktır. Yani, herhangi bir kümesi için olur. = = 82

Kartezyen Çarpım Kümesi Herhangi bir küme için olduğu gibi kartezyen çarpım kümesinin elemanlarını da liste yöntemiyle, Venn şemasıyla ve yukarıda gösterdiğimiz gibi ortak özellik yöntemiyle gösterebiliriz. unlara ek olarak kartezyen çarpımı grafik şeklinde de gösterebiliriz. u gösterim birçok durum için daha kolay ve anlatıcı bir durum olmaktadır. Şimdi bu gösterim yöntemlerine örnekler verelim. 4 = {a, b} ve = {3, 5, 7} kümeleri için ve kümelerini liste yöntemiyle gösteriniz. = {(a, 3), (a, 5), (a, 7), (b, 3), (b, 5), (b, 7)} ve = {(3, a), (5, a), (7, a), (3, b), (5, b), (7, b)} olur. u örnekte dır. 5 = {1, 2, 3} ve = {p, s, c} olsun. kümesini a. Liste yöntemiyle b. Venn şemasıyla c. Grafiğini çizerek gösterelim. a. Liste yöntemiyle gösterim: = {(1, p), (1, s), (1, c), (2, p), (2, s), (2, c), (3, p), (3, s), (3, c)} b. Venn Şemasıyla gösterim: (1, p) (1, s) (1, c) (2, p) (2, s) (2, c) (3, p) (3, s) (3, c) 83

ölüm 1.2 Kümelerde İşlemler c. Grafik ile gösterim için yandaki iki yöntemi de kullanabiliriz. 1 2 3 p c s İlkinde ve kümeleri Venn şemasıyla gös- terilir ve kartezyen çarpımdaki herbir ikili, birinci bileşenlerden ikinci bileşenlere giden birer ok ile temsil edilir. u gösterime alternatif olarak yandaki şekilde de nin grafik çizimi yapılabilir: c s p (1, c) (2, c) (3, c) (1, s) (2, s) (3, s) (1, p) (2, p) (3, p) 1 2 3 u çizimi elde ederken kartezyen çarpımdaki ilk küme olan kümesinin elemanlarını yatay eksene yerleştiririz ve yatay ekseni ile gösteririz. Dikey eksene ise kartezyen çarpımdaki ikinci kümenin yani kümesinin elemanlarını yerleştirip bu ekseni de ile gösteririz. Daha sonra kümesinin herbir elemanından eksenine dikey kesikli çizgiler çizeriz. enzer şekilde kümesinin her bir elemanından eksenine paralel olacak yatay kesikli çizgiler çizeriz. u bize ızgaraya benzer bir şekil verir. u ızgarayı oluşturan kesikli çizgilerin kesişme noktaları, kartezyen çarpımı oluşturan ikileri temsil eder ve bu noktaları koyu olarak gösteririz. Örneğin, 1'den çıkan dik çizginin p den çizilen yatay çizgiyle kesiştiği nokta (1, p) ikilisini vermektedir. nin grafiği denilince daha çok bu ikinci gösterim kastedilmektedir. 6 = {a, b, c} = {b, d} ve = {d, e} kümeleri veriliyor. una göre, a. ( ) b. ( ) ( ) kümelerini oluşturunuz. Daha sonra bu oluşturduğunuz kümeleri karşılaştırınız. 84

Kartezyen Çarpım Kümesi a. ( ) kümesini oluşturmak için önce ( ) kümesini oluşturalım: ( ) = {b, d, e} Şimdi ( ) kümesini oluşturalım: ( ) = {(a, b), (a, d), (a, e), (b, b), (b, d), (b, e), (c, b), (c, d), (c, e)} b. ( ) ( ) kümesinin elemanlarını elde etmek için önce ( ) ve ( ) kümelerini oluşturalım: ( ) = {(a, b), (a, d), (b, b), (b, d), (c, b), (c, d)} ( ) = {(a, d), (a, e), (b, d), (b, e), (c, d), (c, e)} Şimdi bu iki kümenin birleşim kümesini oluşturalım. lemanlar bir kümede tekrarlanmadığından, eşit sıralı ikililerin birer defa birleşimde yer aldığına dikkat edelim: ( ) ( ) = {(a, b), (a, d), (a, e), (b, b), (b, d), (b, e), (c, b), (c, d), (c, e)} lde ettiğimiz sonuçları karşılaştırınca ( ) ve ( ) ( ) kümelerinin eşit kümeler olduğu sonucuna ulaşırız. 7 = {1, 2, 3} = {4, 5} ve = {5, 6} kümeleri veriliyor. u kümeler için ( ) = ( ) ( ) eşitliğinin doğruluğunu gösterelim. ( ) = {1, 2, 3} {5} = {(1, 5), (2, 5), (3, 5)} ( ) ( ) = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (1, 6), (2, 6), (3, 6)} = {(1, 5), (2, 5), (3, 5)} olur. uradan ( ) = ( ) ( ) eşitliği görülür. 85

MTMTİK TÖLYSİ u atölye çalışmasında, kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı ile ve kümelerinin eleman sayıları arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. şağıda verilen birinci sütun kümesi olarak alacağımız kümeleri, birinci satır ise kümesi olarak alacağımız kümeleri göstermektedir. una göre; a. tablosunu doldurunuz. Örnek olarak {1} {1}, {1, 2} {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3, 4} kümeleri sizin için tabloda gösterilmiştir. {1} {1, 2} {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4, 5} {1} {(1, 1)} {1, 2} {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4, 5} {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)} {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)} b. Oluşturulan tablosuna göre aşağıdaki s( ) tablosunu doldurunuz. u tablonun ilk sütunu kümesinin eleman sayısını, ilk satırı kümesinin eleman sayısını, tablodaki ilgili yerler ise kümesinin eleman sayısını göstermektedir. Örnek olarak tablosunda oluşturulan Kartezyen çarpımların eleman sayıları verilmiştir. s( ) 1 2 3 4 5 1 1 2 6 3 4 5 20 c. Oluşturduğunuz bu ikinci tabloyu kullanarak s( ) ile s() ve s() arasında nasıl bir ilişki olduğunu bulunuz. evaplarınızı arkadaşlarınızla tartışınız. 86

MTMTİK TÖLYSİ u atölye çalışmasında, kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını inceleyeceğiz. Pınar, arkadaşları olan yşe ile etül'ün mezuniyet törenleri için birer çiçek almak istiyor. Çiçek olarak da karanfil, kamelya, açelya, papatya arasından bir tercih yapmak istiyor. Fakat hangi çiçeği alacağına karar veremiyor. Pınar ın arkadaşlarına çiçek alabilme alternatiflerini (arkadaşının adı, alabileceğim çiçek) şeklinde göstererek yazınız. Pınar her bir arkadaşına bir çiçek almak koşuluyla kaç farklı seçim yapabilir? Pınar ın arkadaşları bir küme olarak düşünülürse bu kümenin eleman sayısı kaçtır? Pınar ın seçim yapabileceği çiçeklerin oluşturduğu kümenin eleman sayısı kaçtır? (arkadaşının adı, alabileceğim çiçek) şeklindeki ikililerin oluşturduğu kümenin eleman sayısı kaçtır? Pınarı'n arkadaşlarının oluşturduğu kümenin eleman sayısı ile çiçeklerin oluşturduğu kümenin eleman sayısı çarpımı sonucunda oluşturduğunuz sıralı ikililer kümesinin eleman sayısı arasındaki ilişkiyle ilgili ne söyleyebilirsiniz? Şimdi bu atölye çalışmasında verilen durumu genelleyelim. Yani kartezyen çarpımın eleman sayılarıyla kümelerin eleman sayılarını karşılaştıralım. unun için = {a 1, a 2, a 3,, a n } ve = {b 1, b 2, b 3,, b m } kümelerini alalım. irinci elemanı dan ikinci elemanı den alarak; (a 1, b 1 ) (a 1, b 2 ). (a 1, b m ) (a 2, b 1 ) (a 2, b 2 ) (a 2, b m ) (a n, b 1 ) (a n, b 2 ) (a n, b m ) sıralı ikilileri oluşturulabilir. urada kümesindeki her eleman deki tüm elemanlarla eşleneceğinden sadece a 1 için m tane ikili oluşacaktır. unun gibi daki her eleman için m tane ikili oluşacağından ve da n tane eleman olduğundan, toplamda m x n tane ikili oluşur. u durumu kısaca şu şekilde ifade edebiliriz: s() = m ve s() = n ise s( ) = m n dir. 87

ölüm 1.2 Kümelerde İşlemler 8 = {k, p, r} ve = {5, 8} kümeleri için,,, kartezyen çarpım kümelerini bularak eleman sayılarını belirleyelim. = {(k, k), (k, p), (k, r), (p, k), (p, p), (p, r), (r, k), (r, p), (r, r)}, s( ) = 9 = {(k, 5), (k, 8), (p, 5), (p, 8), (r, 5), (r, 8)}, s( ) = 6 = {(5, k), (5, p), (5, r), (8, k), (8, p), (8, r)}, s( ) = 6 = {(5, 5), (5, 8), (8, 5), (8, 8)}, s( ) = 4 olur. 9 = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} D = {(2, 7), (2, 8), (3, 7), (3, 8), (4, 7), (4, 8)} kartezyen çarpım kümeleri veriliyor. una göre, a.,, ve D kümelerini bulalım. şağıdaki kümelerin eleman sayılarını bulalım. b. ( ) c. D ( ) ç. ( ) ( D) d. ( ) ( D) a. kümesinde kartezyen çarpımı tanımı gereği sıralı ikililerin birinci birleşenleri kümesinin, ikinci bileşenler ise kümesinin elemanlarıdır. Küme elemanlarında tekrar olamayacağı için = {1, 2} ve = {3, 4, 5} olur. enzer şekilde D kümesindeki sıralı ikililerin birinci bileşenleri kümesini, ikinci bileşenleri ise D kümesini oluşturur. = {2, 3, 4} ve D = {7, 8} dir. 88

Kartezyen Çarpım Kümesi b. = {1, 2} olduğundan s() = 2'dir. Diğer taraftan bulduğumuz ve kümeleri için = {3, 4} olduğundan s( ) = 2'dir. uradan, s ( ( )) = s() s( ) = 2 2 = 4 olarak bulunur. c. s(d) = 2 ve = {1, 2} {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} olduğundan s( ) = 5'tir. öylece, s(d ( )) = s(d) s( ) = 2 5 = 10 olur. ç. ( ) = {1, 2} {2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} olduğundan s( ) = 4 ve ( D) = {3, 4, 5} {7, 8} = {3, 4, 5, 7, 8} olduğundan s( ) = 5'tir. s(( ) ( D)) = s( ) s( D) = 4 5 = 20 d. = {2, 3, 4} {3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5} olduğundan s( ) = 4 ve D = {1, 2} {7, 8} = Ø olduğundan s( D) = 0'dır. uradan, s(( ) ( D)) = s( ) s( D) = 4 0 = 0 olur. 89

Kartezyen Çarpım Kümesi KNDİMİZİ SINYLIM Kavrama ve Muhakeme 1. a ve b herhangi iki eleman olmak üzere, a ve b elemanlarının (a, b) biçiminde yazılmasıyla bir... elde edilir. 3. (2 k + 1, 81) = (256, 3 m 2 ) olduğuna göre k + m kaçtır? 4. (a 5, b + a + 2) = (32, 12) olduğuna göre b kaçtır? 2. (a, b) de a ya (a, b) nin..., b ye (a, b) nin... denir. 5. (2x + y, x y) = (10, 2) olduğuna göre (, y) sıralı ikilisini bulunuz. 3. (a, b)...(b, a) dır. (a b) 6. (7 a + b, 3 2a 4b ) = (49, 1/9) olduğuna göre (a, b) sıralı ikilisini bulunuz. 4. (...,...) = (...,...) ise a = c ve b = d dir (oşlukları a, b, c ve d ile doldurunuz). 7. = {k, l, m} ve = {a, e, i} için ve kümelerini bulunuz. 5. ve boş olmayan herhangi iki küme olmak üzere, ve y için (, y) ikililerin kümesine kümesi ile kümesinin... denir ve biçiminde gösterilir. 8. s() = 4 ve s( ) = 24 ise s() kaçtır? 9. = {(a, v), (e, v), (a, y), (e, y), (a, z), (e, z)} olduğuna göre ve kümelerini liste biçiminde yazınız. lıştırma Soruları 1. (a 4, b + 7) = (11, 8) olduğuna göre a + b kaçtır? 10. M = {t, p, r}, N = {8, 9} kümeleri için M N, N M, N N ve M M kartezyen çarpım kümelerini ve bu kümelerin eleman sayılarını bulunuz. 2. (2x + y, 7) = (5, x y) olduğuna göre, (x, y) ikilisini bulunuz. 90

KNDİMİZİ SINYLIM Kartezyen Çarpım Kümesi 11. ir satıcı 5 farklı televizyon ve 7 farklı buzdolabını, bir televizyon bir buzdolabı şeklinde beraber satmak şartı ile kaç farklı biçimde satabilir? 16., ve kümeleri için s() = 4, s() = 7 ve s() = 9 olduğuna göre ( ) ( ) kümesinin eleman sayısı en az ve en çok kaç olabilir? 12. = { 2 1 ve Z} ve = { 6< 9 ve N} olmak üzere kümesini liste biçiminde yazınız. 17., ve kümeleri için s() = 5, s() = 8 ve s() = 11 olduğuna göre ( ) ( ) kümesinin eleman sayısı en az ve en çok kaç olabilir? 13., ve kümeleri için s() = 4, s() > 3, = ve s(( ) ( )) = 64 ise kümesinin eleman sayısı en çok kaç olabilir? 18. ve D ise D olduğunu gösteriniz. 14., ve kümeleri için s(( ) ( )) = 54 ve s( ) = 9 ise kümesinin eleman sayısını bulunuz. 19. Kartezyen çarpımın birleşim işlemi üzerine dağılma özelliğini ifade eden şu eşitliği gösteriniz: ( ) = ( ) ( ) 15., ve kümeleri için s(( ) ( )) = 24 ve s() = 6 ise kümesinin eleman sayısını bulunuz. 20. Kartezyen çarpımın kesişim işlemi üzerine dağılma özelliğini ifade eden aşağıdaki eşitliği gösteriniz: ( ) = ( ) ( ) 91

ölüm 1.2 Kümelerde İşlemler Neler Öğreneceğiz? Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini ve bu işlemlerin özelliklerini, gerçek hayat durumlarının modellemesini içeren problemlerin çözümünde kullanmayı 1.2. 5. Kümelerde İşlemlerle İlgili Problemler aşlarken Günlük hayatta birçok problemle karşılaşırız. Yapısal olarak benzer problemler çok farklı ifadelerle karşımıza çıkabilir. Problemin doğru bir matematiksel dille yazılmasıyla birçok zorluğun üstesinden gelebilir, matematiksel ilişkileri kullanarak problemin çözümüne ulaşabiliriz. Örneğin, küme işlemleriyle ilgili elde ettiğimiz özellikleri kullanarak birçok problemi çözebiliriz. Matematiksel ilişkileri kullanarak elimizdeki bilgilerin ima ettiği yeni bilgilere ulaşabilir ve hemen fark edilmesi mümkün olmayan sonuçlara ulaşabiliriz. Daha önce evrensel kümeyi üzerinde tartışılan problemin bütün elemanlarını içeren küme olarak tanımlamış evrensel kümenin probleme göre değişiklik gösterdiğini söylemiştik. ir fabrika ve alt birimlerini ele alalım. kümesi montaj işini yapabilen çalışanları, kümesi de üretim işini yapabilen çalışanları göstersin. u verileri gözümüzde canlandıralım. Fabrika çalışanlarını kümesi olarak gösterelim. lt birimlerdeki çalışanları fabrika çalışanları içine yerleştirelim. kümesi montaj işini yapabilen çalışanlar. kümesi de üretim işini yapabilen çalışanlar. Fabrika çalışanlarını modellediğimiz bu küme şeması genel durumu göstermektedir. Verilecek bilgilere göre farklı şemalar da oluşturabiliriz: ve işlerini birlikte yapabilen kimse yoktur. işini yapabilen herkes işini de yapabilir. işini yapabilen herkes işini de yapabilir. 92

Kümelerde İşlemlerle İlgili Problemler Genel durumdaki herbir bölgenin sahip olduğu eleman sayılarını aşağıdaki gibi belirtelim: urada kümesi: Montaj işini yapabilen çalışanlar, a b c kümesi: Üretim işini yapabilen çalışanlar d olmak üzere; Tüm çalışanların sayısı işini yapabilen çalışanların sayısı işini yapabilen çalışanların sayısı ve işini yapabilen çalışanların sayısı veya işini yapabilen çalışanların sayısı Yalnız işini yapabilen çalışanların sayısı Yalnız işini yapabilen çalışanların sayısı veya işini yapamayan çalışanların sayısı işini yapamayan çalışanların sayısı işini yapamayan çalışanların sayısı a + b + c + d a + b b + c b a + b + c a c d c + d a + d u fabrikada bir de araştırma geliştirme birimi olduğunu ve bu birimde çalışabilenlerin kümesini oluşturduğunu düşünelim., ve kümelerinin birbirlerine göre olabilecek durumları aşağıda gösterilmiştir. u durumların fabrika çalışanları açısından ne anlama geldiğini arkadaşlarınızla tartışınız: 93

ölüm 1.2 Kümelerde İşlemler Şimdi kümelerin bu durumlarını dikkate alarak ve kümelerde işlemleri kullanarak problemler çözelim. 1 Trafik kazalarında kaza sebebi çok yüksek oranda sürücü hatalarından kaynaklanmaktadır. ir bölgede 100 kaza üzerinde yapılan incelemede kaza yapan 68 sürücü alkollü çıkmıştır. 42 sürücü de aşırı hızlıdır. u kazalardan 24 tanesinde alkol ya da aşırı hız kaza sebepleri arasında değildir. una göre aşırı hız sebebiyle kaza yapanların kaç tanesi aynı zamanda alkollüdür? Problemi nlayalım: K Problemde 100 trafik kazası incelendiği için evrensel küme bu kazalardan oluşan K kümesi olsun. Yani herbir kazayı K kümesinin bir elemanı olarak düşünelim. u durumda s(k) = 100 olur. Problemde kaza sebeplerinin üç kategoride ele alındığını görüyoruz: alkol, aşırı hız ve diğer sebepler. lkol sebebiyle meydana gelen kazalar kümesini ve aşırı hız sebebiyle oluşan kazalar kümesini H ile gösterelim. K a b c H d Probleme uygun şema çizerken K evrensel kümesi içinde alkol sebebiyle meydana gelen kazalar kümesi yı ve aşırı hız sebebiyle oluşan kazalar kümesi H yi çizmek yeterlidir. K kümesi içinde fakat ya da H içinde olmayan kazalar da böylece diğer kazalar kümesini oluşturacaktır. Verilenler: Şemada her bölgenin eleman sayısını küçük bir harfle isimlendirelim. Problemde verilen sayıları yazarsak a + b + c + d = 100 veya s(k) = 100 olur. urada K evrensel kümeyi göstermektedir. 94

Kümelerde İşlemlerle İlgili Problemler a + b = 68 veya s() = 68 b + c = 42 veya s(h) = 42 d = 24 veya s(( H) ) = 24 elde edilir. urada s( H) = a, s(h ) = c, s( H) = b olduğuna dikkat edelim. İstenenler: Problemde istenen aşırı hız yapan alkollü araç kullanıcılarının sayısıdır. u ile H kümelerinin kesişimidir. Dolayısıyla istenen b sayısının değeridir, yani s( H) değeri istenmektedir. Plan Yapalım: 1. Strateji: a, b, c ve d ile ilgili elde ettiğimiz dört denklemi kullanarak b sayısını bulabiliriz. 2. Strateji: s(k) = 100, s() = 68, s(h) = 42 ve s(( H) ) = 24 bilgilerini kullanarak s( H) =? sorusunu çözebiliriz. 1. Strateji: lde ettiğimiz dört denklem yerine koyma metoduyla çözülerek b bulunabilir. Planı Uygulayalım: K a + b + c + d = 100 (a + b) + c + (d) = 100 H a + b = 68 ise 68 + c + 24 = 100 a b c b + c = 42 c = 100 92 = 8 d d = 24 b + c = 42 ise b + 8 = 42, b = 34 olur. ulduğumuz sonucu problemde istenen bilgi için ifade edelim: Problemde ele alınan 100 kaza içinden aşırı hız sebebiyle kaza yapanların 34 tanesi aynı zamanda alkollüdür. 2. Strateji: Verilenlerden istenene ulaşmamızı sağlayacak birleşim, kesişim, tümleme işlemlerinin özelliklerini ve evrensel kümeye ait özellikleri kullanalım. Planı Uygulayalım: s() ve s(h) değerlerini bildiğimizden, s( H) değerini elde edersek 95

ölüm 1.2 Kümelerde İşlemler s( H) = s() + s(h) s( H) eşitliğini kullanarak s( H) değerine ulaşabiliriz. Diğer taraftan s(( H) ) ve s(k) değerlerini bildiğimizden ve K evrensel küme olduğundan s(( H) ) + s(( H)) = s(k) eşitliğini kullanarak s(( H)) değerini elde edebiliriz. u durumda, bu eşitliklere verilen değerleri yazalım: 24 + s(( H)) = 100 buradan s(( H)) = 76 elde edilir. Şimdi de ilk eşitlikte elde ettiğimiz bilgileri kullanalım. uradan s( H) = 34 elde ederiz. 76 = 68 + 42 s( H) ulduğumuz sonucu problemde istenen bilgi için ifade edelim: Problemde ele alınan 100 kazadaki 34 sürücünün hem aşırı hızlı hem de alkollü olduğu tespit edilmiştir. Diğer bir ifadeyle, problemde ele alınan 100 kaza içinden aşırı hız sebebiyle kaza yapanların 34 tanesi aynı zamanda alkollüdür. Kontrol delim: Şimdi de bulduğumuz değerleri şemadaki yerlerine yazarak verilenlerle örtüşüp örtüşmediğini bulalım. K H Gerçekten de a + b + c + d = 34 + 34 + 8 + 24 = 100 a + b = 34 + 34 = 68 34 34 8 b + c = 34 + 8 = 42 24 d = 24 olur. 2 fark kümesinin 8 tane alt kümesi, fark kümesinin de kendisinden başka 15 tane alt kümesi vardır. u iki kümenin birleşiminin 10 elemanı olduğuna göre bu kümelerin kesişiminin eleman sayısının kaç olduğunu bulalım. Problemi anlayalım: Verilenler: kümesinin alt kümelerinin sayısı 8, kümesinin kendisinden başka alt kümelerinin sayısı 15 ve s( ) = 10 olarak verilmiş. 96

Kümelerde İşlemlerle İlgili Problemler İstenenler: kümesinin eleman sayısı isteniyor. Yani s( ) =? Plan yapalım: Problemde alt küme sayıları verilen kümelerin eleman sayılarını bulmak bizi çözüme yaklaştıracaktır. Daha sonra bahsi geçen kümelerin eleman sayılarının gösterildiği bir şema çizmek çözüme yardımcı olacaktır. Planı uygulayalım: kümesinin eleman sayısı olsun. kümesinin 8 tane alt kümesi olduğundan 2 x = 8 eşitliği sağlanır. uradan 2 x = 2 3 ve x = 3 bulunur. kümesinin eleman sayısı z olsun. kümesinin kendisinden başka 15 tane alt kümesi olduğundan elimizde 2 z 1 = 15 eşitliği olur. uradan 2 z = 2 4 ve z = 4 elde edilir. Şemayı çizerek bulduğumuz değerleri yerlerine yazalım. 3 y 4 urada s( ) = y olsun. Şemaya göre s( ) = 3 + y + 4 olur. irleşim kümesinde 10 eleman olduğundan 3 + y + 4 = 10 olur ve y = 3 olarak bulunur. Yani bu kümelerin kesişiminin eleman sayısı 3 tür. Kontrol delim: ulduğumuz değerleri şemadaki yerlerine yazarak verilenlerle örtüşüp örtüşmediğini bulalım. una göre kümesinin 2 3 = 8 tane alt kümesi, kümesinin kendisinden farklı 2 4 1 = 15 tane alt kümesi ve bu iki kümenin birleşiminin 3 + 3 + 4 = 10 elemanı olduğu görülmektedir. 3 Japonca, Fransızca ve rapça dillerinden en az birini bilenlerden oluşan bir sınıftaki öğrencilerin 5 tanesi bu yabancı dillerin üçünü de bilmektedir. u yabancı dillerin en az ikisini bilen 20, en fazla ikisini bilen 30 kişi olduğuna göre, bu sınıfta bu yabancı dillerin sadece birini bilen kaç kişi vardır? yrıca bu sınıfta kaç öğrenci bulunmaktadır? 97

ölüm 1.2 Kümelerde İşlemler Problemi anlayalım: Problemde bir sınıftaki Japonca, Fransızca ve rapça dillerini bilen öğrenci sayıları hakkında çeşitli bilgiler verilmiş. u bilgileri daha iyi düzenlemek için, Japonca bilen öğrenciler kümesini J, Fransızca bilen öğrenciler kümesini F ve rapça bilen öğrenciler kümesini ile gösterelim. Sınıftaki öğrenciler kümesi de evrensel kümesi olsun. Verilenler: u sınıftaki öğrenciler bu dillerden en az birini biliyor. u nedenle sınıf mevcudu s() = s(j F ) dır. Diğer bir ifadeyle, s((j F ) ) = 0'dır. Öğrencilerin 5 i bu üç dili de bildiğinden s(j F ) = 5 olur. u yabancı dillerin en az ikisini bilen 20 öğrenci olduğundan s(j F) + s(j ) + s(f ) 2 s(j F ) = 20'dir. (Neden bu eşitliğin sağlandığını açıklayınız.) u yabancı dillerin en fazla ikisini bilen 30 öğrenci olduğundan, s(j F ) s(j F ) = 30 dur. (Neden bu eşitliğin sağlandığını açıklayınız.) yrıca sadece bir yabancı dil bilenlerin sayısını, tüm sınıf mevcudundan en az iki yabancı dil bilenlerin sayısını çıkartarak bulabiliriz. İstenilenler: Problemde sadece bir yabancı dil bilenlerin sayısı ve sınıf mevcudu isteniyor. Yani s(j F ) (s(j F) + s(j ) + s(f ) 2s(J F )) =? s(j F ) =? Plan yapalım ve planı uygulayalım: Sınıf mevcudunu bulmak için s(j F ) = 5 değerini s(j F ) s(j F ) = 30 eşitliğinde yerine yazarsak s(j F ) = 35 olur. s(j F ) (s(j F) + s(j ) + s(f ) 2s(J F )) = 35 20 = 15 u durumda sınıfta 35 öğrenci var ve bu öğrencilerden yalnızca bir yabancı dil bilenlerin sayısı 15'tir. Kontrol edelim: Yalnız iki yabancı dil bilenlerle üç dili de bilenler en az iki yabancı dil bilen öğrenciler olacağından 15 + 5 = 20'dir. n fazla iki dil bilenlerle üç dili de bilenler bu sınıftaki öğrencilerin tümü olacağından 30 + 5 = 35 olur. u sorunun daha kısa olan ikinci bir çözümünü yandaki Venn şemasını kullanarak yapınız. u şemadaki harfler bulundukları bölgelerdeki öğrenci sayılarını göstermektedir. J a e b g d f c F 98

Kümelerde İşlemlerle İlgili Problemler 4 ir sınıfta seçmeli yabancı dil olarak İngilizce dersi alan 25 ve lmanca dersi alan 20 öğrenci bulunmaktadır. Her iki dersi de alan 7 öğrenci vardır. u iki dersten ikisini de almayanların sayısı sadece birini alanların sayısından 25 eksik olduğuna göre sınıfta kaç öğrenci vardır? Problemi anlayalım: ir sınıfta seçmeli yabancı dil olarak İngilizce ve lmanca dersi alan öğrencilerle ilgili bilgiler verilmiş. İngilizce dersini alan öğrenciler kümesini İ, lmanca dersini alan öğrenciler kümesini de ile gösterelim. Sınıftaki öğrenciler kümesini de evrensel kümesi olarak alalım. Verilenler: İngilizce dersini alan 25 öğrenci olduğundan s(i) = 25'tir. lmanca dersini alan 20 öğrenci olduğundan s() = 20'dir. Her iki dersi de alan 7 öğrenci olduğundan s(i ) = 7'dir. u derslerin ikisini de almayanların sayısı s((i ) ) ve bu derslerden sadece birini alanların sayısı s(i ) + s( İ) dir. una göre, bu iki dersten ikisini de almayanların sayısı sadece birini alanların sayısından 25 eksik olduğundan s((i ) ) = s(i ) + s( İ) 25'tir. yrıca sınıf mevcudu s() dir ve s() = s((i ) ) + s(i ) dir. İstenilenler: Sınıftaki öğrenci sayısı istenmektedir. Yani s() =? Plan yapalım: s() değerini bulmak için s((i ) ) ve s(i ) değerlerini bulalım. s((i ) ) değerini bulmak için s(i ) ve s( İ) değerlerini bulalım. Verilenlerde bu değerlere ulaşmamızı sağlayacak eşitlikleri tespit edelim. Planı uygulayalım: Verilenleri ve s(i ) = s(i) + s() s(i ) eşitliğini kullanarak s(i ) = 25 + 20 7 = 38 elde edilir. 99

ölüm 1.2 Kümelerde İşlemler Verilenler ve s(i ) = s(i) s(i ) eşitliğinden s(i ) = 25 7 = 18 olur. enzer şekilde s( İ) = s() s(i ) eşitliğinden s( İ) = 20 7 = 13 elde edilir. Verilen s((i ) ) = s(i ) + s( İ) 25 eşitliğinde bu değerler yerine yazıldığında s((i ) ) = 18 + 13 25 = 6 olur. s() = s((i ) ) + s(i ) eşitliği ve bulduğumuz değerler kullanılarak s() = 6 + 38 = 44 sonucu elde edilir. u durumda sınıfta 44 öğrenci bulunmaktadır. İ a 7 b İkinci bir çözümü yandaki Venn şemasını kullanarak da yapabiliriz. u şemadaki harfler bulundukları bölgelerdeki öğrenci sayılarını göstermektedir. c Verilenler ve şema göz önünde bulundurularak a + 7 = 25, b + 7 = 20, c = a + b 25 eşitlikleri elde edilir. İstenen ise sınıf mevcudu olan a + b + c + 7 değeridir. uradan a = 18, b = 13, c = 6 olur ve sınıf mevcudu 18 + 13 + 6 + 7 = 44 olarak bulunur. Kontrol edelim: Şemada bulunan değerler yerine yazılarak her bir aşamada yapılanların doğruluğu kontrol edilebilir. Yukarıda çözdüğümüz örneklerde problem çözme aşamaları açık bir şekilde verilerek çözümler oluşturulmuştur. enzer bir yaklaşım bütün problem çözümlerine uygulanır. undan sonra bu bölümde göreceğimiz diğer problemlerin çözümünde bu aşamaları ayrıca belirtmeksizin seri bir şekilde uygulayacağız. 5 s() = 10, s() = 9, s ( ) = 15 ise s( ) değerini bulalım. s( ) = x olsun. 10 x x 9 x s(u) = s() + s() s( ) eşitliğinde verilen değerleri yerine yazarsak 15 = 10 + 9 ve de = 4 olur. Yani s( ) = 4'tür. uradan s( ) = s() s( ) = 10 4 = 6 olur. 100

Kümelerde İşlemlerle İlgili Problemler 6 ir sınıfta tiyatro ve sinema etkinliği yapılacaktır. Öğrencilerden sadece tiyatroya giden öğrencilerin sayısı 12 kişi, sadece sinemaya gidenlerin sayısı 17 kişidir. u iki etkinlikten en az birine katılanların sayısı 37 ve en çok birine katılanların sayısı 38'dir. una göre sınıf mevcudunun kaç kişi olduğunu bulalım. T S = Sınıftaki öğrencilerin kümesi S = Sinemaya giden öğrencilerin kümesi T = Tiyatroya giden öğrencilerin kümesi olsun. 12 a 17 Sadece sinemaya gidenler b Sinema veya tiyatroya gitmeyenler Sinema ve tiyatroya gidenler Sadece tiyatroya gidenler u iki etkinlikten en az birine katılanlar denildiğinde yalnız sinema, yalnız tiyatro ve hem tiyatro hem de sinema etkinliklerine katılanlar anlaşılır. una göre, 12 + a + 17 = 37 olur. uradan a = 8 olarak bulunur. u iki etkinlikten en çok birine katılanlar denildiğinde yalnız sinema ve yalnız tiyatroya giden öğrenciler ile bu iki etkinliğe de katılmayan öğrenciler anlaşılır. u nedenle, 12 + 17 + b = 38 olur ve b = 9 olarak bulunur. u durumda sınıf mevcudu s() şöyle bulunur: s() = 12 + a + 17 + b = 12 + 8 + 17 + 9 = 46. Yani sınıf mevcudu 46 kişidir. 7 ir sınıftaki öğrencilerden 18 i basketbol, 15 i voleybol, 8 öğrenci her iki sporu yapmaktadır. 11 öğrenci de bu iki sporu yapmadığına göre sınıf kaç kişi olduğunu bulalım. sınıftaki öğrenciler kümesi, sınıftaki basketbol oynayan öğrenciler kümesi ve V sınıftaki voleybol oynayan öğrenciler kümesi olsun. Verilenleri şu şekilde yazabiliriz: s() = 18, basketbol oynayan öğrencilerin sayısı s(v) = 15, voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s( V) = 8, basketbol ve voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(( V) ) = 11, bu iki sporu da yapmayan öğrencilerin sayısı 101

ölüm 1.2 Kümelerde İşlemler yrıca; s(), sınıftaki öğrencilerin sayısı s( V), basketbol veya voleybol oynayan öğrencilerin sayısı olur. izden istenen ise s() değeridir. s() = s( V) + s(( V) ) ve s(( V) ) = 11 olduğundan s() değerini bulmak için s( V) değerini bulmak yeterlidir. Diğer taraftan bu değeri bulmak için s() = 18, s(v) = 15 ve s( V) = 8 değerlerini kullanabiliriz. Şöyle ki: s( V) = s() + s(v) s( V) = 18 + 15 8 = 25 uradan, s() = s( V) + s(( V) ) = 25 + 11 = 36 olur. Venn şemasını kullanarak siz de ikinci bir çözüm yapınız. 8 ir sınıfta voleybol oynayan 18, futbol oynayan 15, masa tenisi oynayan 17 kişi vardır. Futbol ve voleybol oynayan 4, futbol ve masa tenisi oynayan 8, voleybol ve masa tenisi oynayan öğrenci sayısı 10 dur. Her üç sporla da ilgilenen öğrenci sayısı 2 olup sınıfta diğer sporlarla ilgilenen 5 kişi daha olduğuna göre sınıf mevcudu kaçtır? Problemde verilenleri şemadaki değişkenlere göre yazalım: Futbol ve voleybol oynayan: b + 2 = 4, Futbol ve masa tenisi oynayan: e + 2 = 8, Voleybol ve masa tenisi oynayan: d + 2 = 10, Voleybol oynayan: a + b + d + 2 = 18, V a b c 2 d e F Futbol oynayan: b + c + e + 2 = 15, Masa tenisi oynayan: d + e + f + 2 = 17, f 5 Sınıf mevcudu: a + b + c + d + e + f + 2 + 5 =? M uradan b = 2, e = 6, d = 8, a = 6, c = 5, f = 1 olarak bulunur. u durumda a + b + c + d + e + f + 2 + 5 = 6 + 2 + 5 + 8 + 6 + 1 + 7 = 35 olur. 102

Kümelerde İşlemlerle İlgili Problemler 9 İngilizce ve lmanca dillerini bilenler ve bu iki dili de bilmeyenlerden oluşan 46 kişilik bir sınıfta yalnız İngilizce bilenlerin sayısı, yalnız lmanca bilenlerin iki katıdır. Yalnız lmanca bilenlerle bu iki dili hiç bilmeyenlerin sayısı eşit ve 10 öğrenci bu iki dili de bildiğine göre bu iki dili bilmeyen kaç öğrenci vardır? İ İ İngilizce bilenlerin kümesi, lmanca bilenlerin kümesi ve sınıftaki öğrencilerin kümesi olsun. Verilenleri Venn şeması üzerinde gösterelim: 2x 10 x x s() = 46 verildiği ve şemaya göre s() = 2x + 10 + x + x olduğundan x = 9 olarak bulunur. Yani her iki dili de bilmeyen öğrencilerin sayısı 9 dur. 10 ir şirkette çalışanların %80 i işini, %70 i işini yapabiliyorlar. u şirkette çalışanlardan 26 kişi ise her iki işi de yapabiliyor. Şirkette her iki işi de yapamayan kimse olmadığına göre bu iş yerinde kaç kişi çalışmaktadır? evrensel kümesi bu şirket çalışanlarının, kümesi işini yapabilenlerin ve kümesi işini yapabilenlerin kümesi olsun. u Venn şemasıyla şu şekilde verilir. a c b d u iş yerinde her iki işi de yapamayan kimse olmadığından d = 0'dır. Dolayısıyla, s() = s( ) dir. işini yapabilenlerin sayısı, s() = a + c dır. (İş yeri çalışanlarının %80'idir.) işini yapabilenlerin sayısı s() = b + c dir. (İş yeri çalışanlarının %70'idir.) ve işini de yapanların sayısı s( ) = 26 dır. (İş yeri çalışanlarının %x'idir.) Şirkette çalışanlar: s() = a + b + c + d (İş yeri çalışanlarının %100'dür.) s( ) = s() + s() s( ) %100 = %80 + %70 %x %x = %150 %100 = %50 26 kişi şirkette çalışanların %50'sini yani yarısını oluşturuyor ise şirkette çalışanların sayısı 26 2 = 52'dir. 103

ölüm 1.2 Kümelerde İşlemler 11,, dillerinin konuşulduğu 50 kişilik bir grupta, üç dili de konuşan 10 kişi, yalnızca bir dil konuşabilenler 21 kişidir. dilini konuşabilenlerin hepsinin dilini de konuştuğu bilindiğine göre bu dillerden yalnızca ikisini konuşan kaç kişi olduğunu bulalım. a b 10 c 50 kişi d dilini konuşanların hepsi dilini de konuşuyorsa kümesi kümesinin alt kümesidir ( ). Her üç dili de konuşanların sayısı s ( ) = 10'dur. Tek dil konuşabilenlerin sayısı a + d = 21'dir., ve dillerinden en az birini konuşanların sayısı a + b + c + d + 10 = 50'dir. u eşitlikleri kullanarak bizden istenen yalnız iki dil konuşabilenlerin sayısı olan b + c = 19 değeri bulunur. 12 Matematik ve fizik seçmeli derslerinden yalnız birinin seçildiği 30 kişilik bir kursta fizik seçen kız ve erkekler 8 kişidir. u kursta 18 erkek vardır. Kızlardan matematik dersini seçen 10 kişi ise erkeklerden fizik dersini seçen kaç kişi olduğunu bulalım. Kızların sayısı: k Fizik seçen kızların sayısı: y Fizik seçen erkeklerin sayıs: x olsun. ldeki verilere göre aşağıdaki gibi bir tablo oluşturabiliriz. rkek Kız Toplam Fizik x y 8 Matematik 10 Toplam 18 k 30 Kız ve erkeklerin toplamı: 18 + k = 30 ise bu kursta k = 30 18 = 12 kişi kızdır. Kızlardan 10 tanesi matematik seçtiğine göre: y + 10 = k ve k = 12 olduğundan y = 12 10 = 2 dir. Yani kızlardan 2 kişi fizik seçmiştir. Diğer taraftan + y = 8 ve y = 2 olduğundan = 8 2 = 6'dır. u durumda erkeklerden 6 kişi fizik seçmiştir. 104

Kümelerde İşlemlerle İlgili Problemler 13 Herkesin satranç bildiği 20 kişilik bir grupta dama bilenler sudoku bilmemektedir. u grupta sadece bir oyun bilen 5 kişi vardır. Satranç ve dama bilen 8 kişi olduğuna göre satranç ve sudoku bilen sayısının kaç kişi olduğunu bulalım. Herkes satranç bildiğine göre evrensel kümemiz satranç oynayanlardır. Dama bilen sudoku bilmediğine göre bu iki küme ayrık kümelerdir. u durumları Venn şeması ile modelleyelim. D S u grupta sadece bir oyun bilen 5 kişi olduğundan x = 5'tir. y z Satranç ve dama bilen 8 kişi olduğundan y = 8'dir. Satranç bilen 20 kişi olduğuna göre x + y + z = 20'dir. x uradan z = 7 kişinin satranç ve sudoku bildiği sonucuna ulaşırız. 14 ir turist grubu lmanca ve İngilizceden en az birini bilenlerden oluşmuştur. Grubun %60 ı lmanca, %80 i İngilizce biliyor. Grupta her iki dili konuşan 8 kişi vardır. u turist grubunda kaç kişi olduğunu bulalım. Grubu 100 kişi kabul edelim. s( İ) = s() + s(i) s( İ) 100 = 60 + 80 s( İ) s( İ) = 40 40 8 kişiye karşılık gelirse 100 x kişi 100 8 x = = 20 bulunur. 40 105

Kümelerde İşlemlerle İlgili Problemler KNDİMİZİ SINYLIM lıştırma ve Uygulama Soruları 1. evrensel kümesi ile ve kümeleri için s() = 43, s( ) = x, s(( ) ) = x, s( ) = 3x + 1 s( ) = 17 ise kümesinin eleman sayısı kaçtır? 7. 38 kişilik bir grupta futbol, voleybol ve basketbol sporlarını yapan ve bu üç sporu da yapmayan sporcular vardır. u spor dallarından yalnızca birini yapan 18, her üç sporu yapan 6, hiçbirini yapmayan 5 sporcu olduğuna göre yalnızca 2 sporu yapan kaç sporcu vardır? 2. s( ), s( ) = 4x 6, s() = 2x + 4, s() = 3x 2 ise s( ) nın alabileceği en küçük doğal sayı değeri için s( ) kaç olur? 3. ve iki kümedir. s() = 2 s(), s( ) = 10 ve kümesinin alt kümelerinin sayısı 64 olduğuna göre, kümesinin eleman sayısı kaçtır? 4. 42 kişilik bir sınıfta 21 öğrenci matematikten, 19 öğrenci fizikten, 20 öğrenci kimya dersinden ödev almıştır. Öğrencilerden 4 ü yalnız matematikten, 6 sı yalnız fizikten, 8 i yalnız kimyadan ve 4 öğrenci de her üç dersten ödev almıştır. u üç dersten de ödev almayan kaç öğrenci vardır? 5. 40 kişilik bir grupta 18 kişi İspanyolca konuşmayı biliyor, 20 kişi Japonca konuşmayı bilmiyor. Her iki dilden en az birini bilenlerin sayısı 30 ise iki dilden yalnız birisini bilen kişi sayısı kaçtır? 8. ir iş yerinde, ve işlerinden en az birini yapan işçiler vardır. Her üç işi de yapan 4 kişidir. Yalnız iki işi yapabilenler üç işi de yapabilenlerin üç katıdır. işini yapabilenler 11, işini yapabilenler 14 ve işini yapabilenler 18 kişi olduğuna göre yalnızca bir iş yapabilen kaç kişi vardır? 9. ir sınıfta yalnız masa tenisi ve yalnız basketbol ve her iki sporu da oynayan öğrenciler vardır. Sınıf mevcudu 22 kişidir. Yalnızca masa tenisi oynayanlar yalnızca basketbol oynayanların 4 katıdır. Her ikisini de oynayan 12 öğrenci varsa basketbol oynayan kaç öğrenci vardır? 10. 34 kişilk bir sınıfta seçmeli derslerden yalnız matematik, yalnız geometri, hem matematik hem de geometri dersini seçen ve bu iki dersi de seçmeyen öğrenciler vardır. Yalnız matemetik ve yalnız geometri derslerini seçen 18, matematik veya geometri dersini seçen 23 öğrenci varsa en az bir ders seçenlerle en çok bir ders seçen öğrencilerin sayıları toplamı kaçtır? 6. 38 kişilik bir grupta 14 kişi futbol, 7 kişi futbol ve basketbol, 10 kişi yalnızca basketbol, 8 kişi de yalnızca voleybol oynayabilmektedir. Voleybol oynayanlar diğer iki sporu oynayamamaktadır. u spor dallarından en az birini oynayan kaç kişi vardır? 11. Herkesin İngilizce ve Fransızca'dan en az birini bildiği bir sınıfta İngilizce bilenler Fransızca bilenlerin iki katından 2 fazladır. İki dil bilen 6 kişi olduğuna göre ve sınıfta 23 kişi olduğuna göre Fransızca bilen kaç kişi vardır? 106

Kümelerde İşlemler ölüm Özeti Kümelerde irleşim İşlemi: ile kümelerinin bütün elemanlarının bir araya getirilmesiyle oluşan kümeye birleşim kümesi denir ve şeklinde gösterilir. = {x x veya x } dir. Kümelerde kesişim işlemi: ile kümelerinin ortak elemanlardan meydana gelen kümeye kesişim kümesi denir ve şeklinde gösterilir. = {x x ve x } dir. ve kümeleri için s( ) = s() + s() s( ) dir., ve kümeleri için, s( ) = s() + s() + s() s( ) s( ) s( ) + s( ) dir. Kümelerde Fark İşlemi: kümesinde olup kümesinde olmayan elemanlardan oluşan kümeye fark kümesi denir ve biçiminde gösterilir. = {x : x ve x } ğer kümesi boş küme ise yani ve kümelerinin ortak elemanı yok ise bu kümeler ayrık kümeler olarak adlandırılır. Kümelerde tümleme işlemi: ir kümesinin dâhil olduğu evrensel kümeyi alalım. u evrensel kümenin elemanı olup, kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye nın tümleyeni denir ve ' ya da ile gösterilir. De Morgan Kuralları: Herhangi iki ve kümeleri için; ÖLÜM ÖZTİ ' = = {x x ve x } ( )' = ' ' ( )' = ' ' eşitliği sağlanır. Kartezyen çarpım kümesi: ve boş olmayan herhangi iki küme olsun. kümesinden alınan bir a elemanı ile kümesinden alınan b elemanıyla oluşturulan (a, b) şeklindeki yeni elemana sıralı ikili denir. (a, b) sıralı ikilisinde a ya birinci bileşen b ye ise ikinci bileşen denir. (a, b) = (c, d) ise a = c ve b = d dir. enzer şekilde, a = c ve b = d ise (a, b) = (c, d) dir. kartezyen çarpım kümesi x şeklinde gösterilir ve ortak özellik yöntemiyle şu şekilde tanımlanır: x = {( x, y) x ve y } x kümesi sıralı ikililerden oluşur ve bu sıralı ikililerin birinci bileşenleri kümesinden, ikinci bileşenleri kümesinden alınır. ve kümeleri farklı kümelerse x ve x kümeleri de farklı kümelerdir. s() = m ve s() = n ise s( x ) = m n dir. x ve x kartezyen çarpım kümelerinin eleman sayıları aynıdır. 107

ölüm 1. 2. Kümelerde İşlemler ÖLÜM DĞRLNDİRM Kavrama ve Muhakeme 1. şağıda verilen ifadelerin yanına doğru olanların yanına D yanlış olanların yanına Y yazınız. ( ) ir kümenin kendisiyle birleşiminin eleman sayısı kendisinin eleman sayısının iki katıdır. ( ) Üç kümenin birleşimi herhangi ikisinin birleşimiyle üçüncüsünün birleşimine eşittir. ( ) Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özelliği yoktur. ( ) ve kümleri eşit kümeler olmasalar bile nın den farkı nin dan farkına eşittir. 4. = {a, b, c, d, 1, 2, 3, 4}, = {a, b, c, d}, = {c, d, 1, 2} ve = {1, 2, 3, 4} kümeleri veriliyor. una göre aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz? a. b. c. ç. ( ) d. ( ) e. f. g. ( ) ğ. ( ) h. ( ) ( ) ı. i. j. ( ) k. ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) eşitliği geçerlidir. 2. şağıdakilerden hangileri doğrudur? I. Sonlu iki kümenin birleşimi sonlu bir kümedir. II. Sonsuz bir kümenin her alt kümesi sonlu bir kümedir. 5. şağıdaki şekilde Venn şeması ile verilen kümelerin boyalı bölgeleri gösteren ifadeleri yazınız. a. b. III. Sonlu bir küme ile sonsuz bir kümenin birleşimi sonsuz bir kümedir. IV. Sonlu bir küme ile sonsuz bir kümenin kesişimi sonlu bir kümedir. c. ç. 3. şağıda verilen kümelerin birleşim ve kesişimini liste yöntemi ve Venn şeması ile gösteriniz. a. c a a g b d d e f h b. 1 1 3 5 3 9 7 5 d. e. 108

ölüm 1. 2. Kümelerde İşlemler ÖLÜM DĞRLNDİRM 6. şağıdaki şekilde Venn şemasıyla verilen kümelerin boyalı bölgelerini gösteren ifadeleri yazınız. 8. şağıda verilen boyalı bölgeleri kesişim ve birleşim sembollerini kullanarak ifade ediniz. a. b. a. b. c. ç. c. ç. 7. 9. = {1, 2, 3, d, e}, = {1, 3, p, r} kümeleri için ve kümelerini bulunuz. 4 3 1 3 2 4 5 10. şağıda verilen boyalı bölgeleri kesişim, birleşim ve fark sembollerini kullanarak ifade ediniz. a. b. 6 Şekilde verilen sayılar bulundukları yerdeki eleman sayılarını belirtmektedir. c. ç. una göre aşağıdaki ifadeleri bulunuz. a. s() b. s() c. s() ç. s() d. s( ) e. s( ) f. s( ) g. s( ) ğ. s( ) h. s( ) ı. s( ) i. s(( ) ) d. e. j. s(( ) ) 109

ölüm 1. 2. Kümelerde İşlemler ÖLÜM DĞRLNDİRM 11. (a, 5) ve (3, b 1) birer sıralı ikili olmak üzere (a, 5) = (3, b 1) ise a ve b sayılarını bulunuz. 12. {a, b} ile (a, b) arasındaki farkı açıklayınız. 3. ir gruptaki kişiler farklı zamanlarda yapılacak, ve gezilerden en az birine katılacaktır. gezisine katılan 12 kişi, gezisine katılan 10 kişi, gezisine katılan 8 kişi, ve gezisine katılan 5 kişi, ve gezisine katılan 4 kişi, ve gezisine katılan 3 kişidir. Her üç geziye de katılacak 1 kişi olduğuna göre bu gurupta kaç kişi olduğunu bulunuz. 13. T = {a, b, c, d, e, f} ve U = {u, v, y, z} kümeleri için a. s(t x U), b. s(u x T), c. s(t x T), ç. s(u x U) değerlerini bulunuz. 4. Herhangi ve kümeleri için kümesinin eleman sayısının 3 katı, kümesinin eleman sayısının 5 katına eşit ve bu değer kesişimlerinin de 15 katına eşittir. veya kümelerinin eleman sayısı 84 olduğuna göre bu kümelerin eleman sayılarını bulunuz. 14. s( x ) = 12 elemanlı olacak şekilde ve kümeleri için üçer örnek yazınız. 5., ve aynı evrensel kümede işlem yapılan üç küme olmak üzere s() + s( ) = 12, s() + s( ) = 16 ve s( ) = 9 olduğuna göre s(') yı bulunuz. Uygulama soruları 1. Verilen ve kümeleri için s() + s(') = 9, s(') + s() = 13 ise s() ise kaçtır? 6. ve iki küme olmak üzere, ve s() + 2 s() = 15 veriliyor. una göre s( ) en az kaçtır? ulunuz. 2. evrensel kümesi ile ve kümeleri için s( ) = 2 s[( )'], s( ) = s() s() = 2, s() + s(') = 15 ise s() kaçtır? 7. M ve N iki küme olmak üzere s(m N) = 4, s(n M) = 3, s(m) = 10 veriliyor, buna göre s(m N) kaçtır? ulunuz. 110

ölüm 1. 2. Kümelerde İşlemler ÖLÜM DĞRLNDİRM 8. ve iki küme olmak üzere s( ) = 14 s( ) = 4 ve 2 s() = s() veriliyor. una göre s( ) kaçtır? ulunuz. 13. ir şirkette işini yapan %50, işini yapan %80 ve her iki işi yapan 3 kişi olduğuna göre bu şirkette çalışan kaç kişi vardır? 9. ve herhangi iki küme olmak üzere,,,, s() = 4, s() = 5 olarak veriliyor. una göre kümesinin en az ve en çok kaç elemanlı olabileceğini bulunuz. 10. ve herhangi iki küme olmak üzere, s( ) = 8, s( ) = 24 ve s( ) = 6 olarak veriliyor. una göre aşağıdakileri bulunuz. a. s( ) b. s() 11. ir sınıfta 30 öğrenci arasında polisiye kitap okuyan 18, komedi kitap okuyan 22 kişi vardır. una göre sadece polisiye kitap okuyan kaç kişi vardır? ulunuz. 14. Tuz, %60'ı sodyum (Na) ve %40'ı klordan (l) oluşan bir besindir. Sodyum ise besinlerde doğal olarak bulunan bir mineraldir. Yetişkin bir insanın günlük tuz ihtiyacı ortalama 6 8 gramdır. şağıdaki tabloda bazı besinlerin 100 gramlarındaki sodyum ve kalori miktarları verilmiştir. Na (mg/100 gr) Kalori/100 gr eyaz Peynir (dirne) 252 301 Lor Peyniri 406 203 Kaşar Peyniri 710 373 Midye 289 96.5 Tavuk Yumurtası 138 142 Makarna 2 358 İrmik 2 354 lma 1 61 Kuru Kayısı 26 258 kümesi 100 gramında en az 150 miligram sodyum (Na) içeren besinler olsun. kümesi 100 gramında en çok 150 kalori içeren besinler olsun. 12. elirli bir sayıdaki sinema seyircisi arasında yapılan bir ankette Ne tür filmler hoşunuza gitti? sorusuna seyirciler; "196 dramalar sevdim. 153 komedi sevdim. 88 bilim kurgu sevdim. 59 dram ve komedi sevdim. 37 drama ve bilim kurgu sevdim. 32 komedi ve bilim kurgu sevdim. 21 üç tür filmi de sevdim." şeklindedir. una göre ankete katılan kaç kişi vardır? Tablodaki besinlerin Venn şemasında hangi bölgeye gelebileceklerini bulunuz. I II III IV 111

ölüm 1. 2. Kümelerde İşlemler ÖLÜM DĞRLNDİRM Proje İnsan kaynakları uzmanı olarak bir şirkette çalışıyorsunuz. Şirketinizdeki açık pozisyon için yedi aday başvurmuştur. u yedi adayın diploma, tecrübe, İngilizce ve referans durumlarına bağlı nitelikleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. u niteliklerden biri, birkaçı ya da hepsini göz önünde bulundurarak kararınıza varabilirsiniz. ir başka ifadeyle nitelikler kümesinin bir alt kümesi sizin karar alt kümeniz olacaktır. Kararınız için nitelikler alt kümenizi oluşturunuz ve verilerinize göre karar tablosunu kabul veya ret olmak üzere doldurunuz. Karar sürecinizi küme gösterimleri kullanarak açıklayınız. Diploma İş Tecrübesi Yabancı Dil Referans Kabul day 1 Matematik z İleri Mükemmel day 2 Matematik Çok Orta İyi day 3 Matematik Öğretmenliği Çok aşlangıç Nötr day 4 Matematik Öğretmenliği Orta İleri Mükemmel day 5 ilgisayar Mühendisi z İleri İyi day 6 ilgisayar Mühendisi Orta Orta Mükemmel day 7 İşletme Çok Orta İyi 112

ÜNİT DĞRLNDİRM I 1. şağıdaki ifadelerden doğru olanları D, yanlış olanları ise Y harfiyle belirtiniz. (...) 2 nin katı olan 15 ten küçük beş sayı bir küme oluşturur. (...) { } kümesi boş kümedir. (...) 64 tane alt kümesi olan küme 6 elemanlıdır. (...) Her küme kendisinin alt kümesidir. (...) ( ) ( ') = dir. d. Hiç elemanı olmayan kümeye... denir. e. Sonlu olmayan kümelere...denir. 4. şağıdaki her bir kümeye aynı özellikte eleman ekleyerek kümenin eleman sayısını ne kadar artırabileceğinizi düşününüz. = {0, 1, 2, 3, 4, } = {a, b, c, ç, d, } = {karga, leylek, papağan, saka, güvencin, } 2. şağıdaki kümeleri SONLU veya SONSUZ olarak belirtiniz. (...) ir haftadaki günlerin kümesi (...) 2 ile bölünebilen doğal sayıların kümesi (...) 2010 yılı içinde doğan çocukların kümesi (...) Tam sayılar kümesi (...) ir doğru parçası üzerindeki noktalar kümesi D = {Tuz Gölü, Van Gölü, Manyas Gölü, Mogan Gölü, } una göre bu kümelerin her biri için, a. u kümeleri kapsayan daha çok elemanlı kümeler oluşturunuz. b. u kümeleri kapsayan en geniş kümeleri ortak özellik yöntemiyle yazınız. 3. şağıdaki boşluklara uygun olan kavramları yazınız. oş küme, eşit küme, birleşim kümesi, kesişim kümesi, sonsuz küme, ayrık kümeler a. ynı elemanlardan oluşan kümelere... kümeler denir. b. oş kümeden farklı, ortak elemanları bulunmayan kümelere... denir. c. İki veya daha fazla kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye bu kümelerin... denir. 5. şağıdaki sayı kümelerini eleman sayıları yönüyle iki gruba ayırınız. Sizce bu grupların isimleri ne olmalıdır? Neden? a. Çift sayılar kümesi, b. Tam sayılar kümesi, c. İki basamaklı sayılar kümesi, ç. 100 sayısını tam bölenlerinin kümesi, d. 23 sayısının çarpanlarının kümesi. ç. İki veya daha fazla kümenin tüm elemanlarından oluşan kümeye bu kümelerin... denir. 113

ÜNİT DĞRLNDİRM - I 6. şağıdaki kümelerden hangileri eşit kümedir? = {x x, 2 ile 7 arasındaki bir doğal sayı } = {x 6 < x 2 36 ve x bir doğal sayı } = {1 den 6 ya kadar olan doğal sayılar } 9. kümesinin eleman sayısı 6, kümesinin eleman sayısı 5 tir. ve kümelerinin birleşiminin eleman sayısı 8 olduğuna göre bu iki kümenin kesişiminin eleman sayısını bulunuz. D = {x 2x 3 9 ve x bir pozitif tam sayı} 7. = {a, b, c, d} 10. ( ) = {a, b, c, d, e } ve = {a, d, e } kümeleri veriliyor. kümesinin eleman sayısı en az kaç olur? = {b, c, d, e} = {a, b, c, h, k} kümeleri veriliyor. una göre aşağıdaki kümeleri liste yöntemiyle yazınız. a. b. c. ( ) 11. şağıda verilen kümelerdeki sayılar bulundukları bölgelerdeki eleman sayılarını göstermektedir. una göre aşağıda istenenleri bulunuz. 7 4 5 2 3 5 8. = {a, b, c, d, e, k, l, m, n} evrensel kümesi ile = {a, b, m, n} = {k, l, m, n} 4 5 = {a, b, c, d} kümeleri için aşağıdaki kümeleri liste yöntemiyle yazınız. a. b. c. ç. ( ) d. ( ) e. f. g. ( ) a. s() b. s() c. s() ç. s( ) d. s( ) e. s( ) f. ( ) g. s( ) ğ. s( ) h. s( ) ı. s(( ) ( )) i. s(( ) ) ğ. ( ) h. ( ) ( ) ı. ( ) ( ) 114

ÜNİT DĞRLNDİRM I 12. kümesinin eleman sayısı, D kümesinin eleman sayısının 2 katıdır. u iki kümenin birleşim ve kesişiminin eleman sayıları toplamı 12 olduğuna göre kümesinin eleman sayısını bulunuz. 16. "lma, portakal, muz, mandalina" meyvelerinden misafirlerine ikram etmek isteyen Hatice Hanım; a. lma içermeyen kaç farklı meyve tabağı hazırlayabilir? b. lma içeren kaç farklı meyve tabağı hazırlayabilir? c. Portakal içeren ama elma içermeyen farklı meyve tabağı hazırlayabilir? 13., s( ) = 4, kümesinin alt kümelerinin sayısı 256 olduğuna göre kümesinin eleman sayısı en az kaç olabilir? ç. İçerisinde elmanın da olduğu 3 çeşit meyve içeren kaç farklı meyve tabağı hazırlayabilir? d. İçerisinde elmanın olmadığı 2 çeşit meyve içeren kaç farklı meyve tabağı hazırlayabilir? 14. K = {x 9 < x < 50, x = 3n ve n bir doğal sayı}, L = {x 12 < x < 48, x = 5n ve n bir doğal sayı} olduğuna göre a. K ve L kümelerinin birleşiminin eleman sayısı kaçtır? b. K ve L kümelerinin kesişiminin eleman sayısı kaçtır? 17. K = {2, 4, 6, 8, 10} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a. 2 ve 4 bulunur? b. 2 ve 4 bulunmaz? c. 2 bulunur, 4 bulunmaz? 18. = {2, 3, 4, 5} 15. K = {y 1 < y < 50, y = 2n ve n bir doğal sayı}, L = {y 1 < y 45, y = 3n ve n bir doğal sayı} M = {y 1 < y < 54, y = 4n ve n bir doğal sayı} olduğuna göre a. K, L ve M kümelerinin birleşiminin eleman sayısı kaçtır? b. K, L ve M kümelerinin kesişiminin eleman sayısı kaçtır? = {1, 3, 5, 7} = {7, 9, 11, 13} kümeleri veriliyor. una göre aşağıda verilen kümeleri bulunuz. a. b. c. ( ) ç. ( ) 115