Der #0 Otomatik ontrol Sürekli Hal Hataları Prof.Dr.alip Canever Prof.Dr.alip Canever
Denetim Sitemlerinin analiz ve taarımında üç kritere odaklanılır:. eçici Rejim Cevabı. ararlılık 3. Sürekli Hal ararlı Hal Hataları Sürekli hal hataı önceden belirlenmiş bir girişreferan inyali için t a giderken giriş referan ve çıkış inyali araındaki farktır. Prof.Dr.alip Canever
RAM üretiminde kullanılan bir robot Prof.Dr.alip Canever 3
ontrol Sitemlerinde ararlı Hal Hataını Belirlemekte ullanılan iriş İşaretleri Prof.Dr.alip Canever 4
Birim baamak tep girişi abit konumu temil eder ve kontrol iteminin abit bir hedefe göre yerini bulma kabiliyetini belirler. Özetle itemin gitmeini itediğimiz konum baamak tep girişidir. Prof.Dr.alip Canever 5
Rampa girişi abit hızı temil eder. Lineer olarak artan girişi takip edebilme yeteneğini tet edebilmek için kullanılır. Prof.Dr.alip Canever 6
Parabol girişi abit ivmeyi temil eder, hızlanan hedefler için kullanılır. Örneğingüdümlü füzeler. Prof.Dr.alip Canever 7
Sürekli halkararlı hal hataları, t a giderken doğal çözüm ıfıra yaklaştığında, veya bir başka deyişle kararlı itemler için tanımlıdır. Dolayııyla ontrol taarımcıı kararlı hal hataını belirlemeden önce mutlaka kapalı döngü item kararlılığını incelemelidir. Prof.Dr.alip Canever 8
Prof.Dr.alip Canever 9
Hata giriş referan ve çıkış araındaki fark olarak tanımladığından, kapalı dönngü item tranfer fonkiyonu T iken blok diyagram üzerinde hata: enel öterim E R C Birim eribelemeli öterim Prof.Dr.alip Canever 0
ontrol itemlerinde ürekli hal hataları genellikle nonlinearlineer olmayan kaynaklardan ortaya çıkar. Örneğin dişlilerdeki boşluk veya motora uygulanan gerilimin belli bir eşik değerini geçmeden motorun hareket etmemei gibi. Ayrıca ürekli hal hataları item bağlantı şeklinden veya uygulanan giriş tipinden kaynaklanabilir ki biz bunların üzerinde duracağız. E R C Birim baamak girişini düşünelim: Eğer ürekli halde ct, rt ye eşit olura et0 olur. Fakat adece kazancı ile ct onlu ve ıfırdan farklı olmakla beraber et hiç bir zaman ıfır olamaz. Sadece kazancı olmaı durumunda mutlaka küçük bir hata olur. Prof.Dr.alip Canever
E R C E R E R E + E E R + C E örüldüğü gibi birim baamak giriş için nekadar artara artın hatayı o kadar azalır fakat ıfırlanamaz. Prof.Dr.alip Canever
Eeğr ileri yol a integratör ekleyecek olurak: e t r t c t ct büyüdükçe et azalırki bu et ıfır olana kadar devam eder. Hata ıfırlanmış ola da integratör çıkışı olan ct nin bir değri vardır çünkü integratör ıfır girişe abit bir çıkış verir. Örneğin, bir motor düşünelim. Motora gerilim uygulandıkça motor döner, gerilim keildiğinde ie motor o anki konumunda durur. Motora giriş olmamaına rağmen başlangıç konumu ile durduğu konum araında açıal bir konum değişimi oluşmuştur.dolayııyla motoru baitçe bir integratör olarak düşünebiliriz. Ayrıca, eğer bir motoru ileri yol a bağlayacak olurak birim baamak girişine ürekli hal hataı her zaman ıfır olur. Prof.Dr.alip Canever 3
Birim eribelemeli ontrol Sitemi İçin Sürekli Hal Hatalarının Elde Edilmei eri belemede H olmaza item birim geri belemelidir denir. E R C C E R E + Sürekli halde hatayı, et yi t a giderken, bir başka deyişle e u bulmaya çalışıyoruz. Bunun için on değer teoremini kullanabiliriz. Prof.Dr.alip Canever 4
Son Değer Teoremi: f lim F 0 Sürekli hal hatalarında on değer teoreminin kullanılabilmei için on değerini bulma k itediğimiz F in kutuplarının ol yarı düzlemde olmaları gerekir, en fazla bir kutbu orjinde olabilir. Eğer orjinde birden fazla kutup veya ağ yarı düzlemde en az bir kutup vara on değer teoremi geçerizdir. İpat: 0. L f. t t f t e dt F f 0 0. f t dt Prof.Dr.alip Canever f f f 0 lim F 0 0 0 lim F f 0 5
Son değer teoremini hata ifadeine uygulayacak olurak: e lim 0 E E i yerine yazacak olurak; e R lim 0 + örüldüğü gibi R, giriş inyalininreferan işaretinin ürekli hal hataı üzerinde direk etkii var. Daha önce belirtilen giriş inyalleriişaretleri için ürekli hal hatalarını inceleyelim. Prof.Dr.alip Canever 6
. Birim Baamak irişi Step Input R Hatırlanacak olura birim baamak giriş işareti: dir. Birim baamak girişi için ürekli hal hataı: R e lim 0 + lim 0 + lim 0 + olur. lim 0 İleri yol tranfer fonkiyonunun dc kazancı denir. Sürekli hal hataının ıfır olabilmei için olmalıdır.dc kazanç onuz olmalıdır. lim 0 Prof.Dr.alip Canever 7
lim 0 olabilmei için aşağıdaki formda olmalıdır. n + z + z... + p + p... Daha da açık ifade etmek gerekire polinomun paydaının en az bir kökü orjinde olmalıdır. Teknik ifade ile birim baamak cevabında ürekli hal hataının 0 olabilmei için ileri yol da en az bir af integratör olmalıdır. Eğer orjinde en az bir kutup yoka, lim z z 0 p p...... Olur ki bu onlu bir ürekli hal hataına karşılık gelir. Prof.Dr.alip Canever 8
iriş En az bir integratör orjinde Orjinde integratör yok Zaman Prof.Dr.alip Canever 9
. Rampa irişi Ramp Input R Rampa giriş işareti: dir. Rampa girişi için ürekli hal hataı: R e lim lim 0 + 0 + lim 0 + lim 0 Rampa giriş işaretinde ürekli hal hatamızın ıfır olabilmei için, lim 0 olmalıdır. + z + z... + p + p... öz önüne alındığında n En az iki kutup orijinde olura ancak rampa girişinde ürekli hal hataı ıfır olur Prof.Dr.alip Canever 0
İleri yol da iki af integratör olmalı ki rampa girişi için ürekli hal hataı ıfır olun. Eğer iki değilde bir integratör vara, lim z z 0 p p...... Olur ki bu da abit bir hatanın olacağını göterir. Eğer ileri yolda hiç integratör yoka lim 0 0 Olur ve ürekli hal hataı rampa girişinden zamanla uzaklaşarak onuz olur. Prof.Dr.alip Canever
iriş integratör integratör İntegratör yok Zaman Prof.Dr.alip Canever
3. Parabolik iriş Ramp Input R Parabolik giriş işareti: dir. e R lim 0 + Prof.Dr.alip Canever Rampa girişi için ürekli hal hataı: 3 lim 0 + 3 lim 0 + lim 0 Parabolik giriş işaretinde ürekli hal hatamızın ıfır olabilmei için, lim 0 n olmalıdır. + z + z... + p + p... öz önüne alındığında En az üç kutup orijinde olura ancak parabolik girişinde ürekli hal hataı ıfır olur 3
İleri yol da iki af integratör vara, lim z z 0 p p...... Olur ki bu da abit bir hatanın olacağını göterir. Eğer ileri yolda bir integratör vara veya hiç yoka lim 0 0 Olur ve ürekli hal hataı parabolik girişden zamanla uzaklaşarak onuz olur. Prof.Dr.alip Canever 4
Örnek: Yukarıdaki iteme 5ut, 5tut, ve 5t ut girişleri uygulandığında ürekli hal hatalarını bulunuz. 5ut girişinin lapla dönüşümü 5/ dir. Buna göre; e 5 + lim 0 lim 0 0 34 5tut girişinin lapla dönüşümü 5/ dir. Buna göre; e 5 lim 0 lim 0 0 0 34 0 Prof.Dr.alip Canever 0 0 5 e + 0 e 5t ut girişinin lapla dönüşümü 0/ 3 dir. Buna göre; 0 e lim lim 0 0 0 34 0 e 5 0 0 0 5 5
Örnek: Yukarıdaki iteme 5ut, 5tut, ve 5t ut girişleri uygulandığında ürekli hal hatalarını bulunuz. 5ut girişinin lapla dönüşümü 5/ dir. Buna göre; e 5 + lim 0 lim 0 Prof.Dr.alip Canever 006 0 034 5tut girişinin lapla dönüşümü 5/ dir. Buna göre; e 5 lim 0 lim 0 006 34 00 5t ut girişinin lapla dönüşümü 0/ 3 dir. Buna göre; 0 e lim lim 0 006 0 34 0 5 e 5 e 00 e 0 0 6 0 0
Statik Hata atayıları ve Sitemin Tipi Birim bamak girişi için,ut, e + lim 0 Rampa girişi için,tut, e lim 0 e Rampa girişi için,/t ut, lim 0 Paydadaki limit ifadeleri ürekli hal hatalarını belirliyor, bu limit terimlerine tatik hata katayıları adı verilir. Prof.Dr.alip Canever 7
onum Sabiti, p, lim p 0 Hız Sabiti, v, lim v 0 İvmelenme Sabiti, a, a lim 0 Sürekli hal hataları ie, e + p e v e a Prof.Dr.alip Canever 8
Örnek: Yukarıdaki itemin tatik hata katayılarını bulunuz, birim baamak, rampa ve parabolik giriş işaretlerine karşı oluşacak ürekli hal hatalarını belirleyiniz. 5005 p lim 5.08 v lim 0 0 80 0 onum irişi için: e 0. + 6 p a lim 0 0 İvme irişi İçin: e a Hız irişi için: e V Prof.Dr.alip Canever 9
Örnek: Yukarıdaki itemin tatik hata katayılarını bulunuz, birim baamak, rampa ve parabolik giriş işaretlerine karşı oluşacak ürekli hal hatalarını belirleyiniz. p lim 0 v 50056 lim 3. 5 0 80 a lim 0 0 onum irişi için: e 0 + p İvme irişi İçin: Hız irişi için: e 0. 03 V 3.5 e a Prof.Dr.alip Canever 30
Örnek: Yukarıdaki itemin tatik hata katayılarını bulunuz, birim baamak, rampa ve parabolik giriş işaretlerine karşı oluşacak ürekli hal hatalarını belirleyiniz. p lim 0 v lim 0 onum irişi için: e 0 + p a lim 0 İvme irişi İçin: 5004567 80 875 Hız irişi için: e 0. 03 V 3.5 e a Prof.Dr.alip Canever 3.4x0 875 3
Sitem Tip i Tanımı: İleri yol daki af integratör ayıı itemin tip i olarak tanımlanır. Yukarıdaki itemin tip i n dir. Örneğin, eğer n0 ie itemin tip i ıfır, eğer n ie itemin tip i birdir. Sıraıyla Tip 0 ve Tip olarak ifade edilirler Prof.Dr.alip Canever 3
Özet Prof.Dr.alip Canever 33
Örnek: Eğer bir itemin hız abiti, v 000 ie bu item hakkında neler öyleyebiliriniz.. Sitem kararlıdır.. Sitem Tip dir. Hatırlanacak olura Tip 0 itemlerde v 0, Tip itemlerde ie v onuzdur 3. Tet işareti rampadır ve rampa giriş işeti uygulandığında ürekli hal hataı hız abiti ile ter orantılıdır. 4. iriş rampa işareti ve çıkış rampa işareti araındaki ürekli hal hataı / v dir. Prof.Dr.alip Canever 34
Örnek: Eğer bir itemin konum abiti, p 000 ie bu item hakkında neler öyleyebiliriniz.. Sitem kararlıdır.. Sitem Tip 0 dır. Hatırlanacak olura Tip ve Tip itemlerde ie p onuzdur. 3. Tet işareti birim baamaktır. 4. e + p + p + 000 00 Prof.Dr.alip Canever 35
Örnek: Yukarıdaki itemin ürekli hal hataı %0 olmaı için değerini bulunuz. Sitem Tip olduğu için ürekli hal hataı rampa girişi için olmalıdır.böylece, e 0. 0 V V v 5 lim 0 0 678 67 Prof.Dr.alip Canever 36
Bozucu Etkiler için Sürekli Hal Hataları eribelemeli denetim iteminin kullanılmaının ebebi bozucu etkilere rağmen itemin giriş referan inyalini ıfır hata veya çok az hata ile takip edebilmektir. Bozucu etki Sürekli hal hataını bulmak üzere itemi inceleyelim: C E + D C R E C i yukarıdaki ifadede yerine yazalım; Prof.Dr.alip Canever 37
Prof.Dr.alip Canever 38 D R E + + D E E R + E E D R + Hata yı bulabilmek için on değer teoremini uygulayacak olurak: lim 0 E e lim lim 0 0 D R + + + D e R e e
e R : e D : Daha önce elde ettiğimiz gibi giriş, R den ötürü oluşan ürekli hal hataı. Bozucu etki, D den ötürü oluşan ürekli hal hataı. D in birim baamak bozucu olduğunu varayalım, D/: e D lim + 0 lim 0 + lim 0 örüldüğü gibi birim baamak bozucu etki olduğunda nin dc kazancını artırdığımızda veya nin dc kazancını azalttığımızda bozucu etkiden ötürü oluşan ürekli hal hataı azaltılabilir. Prof.Dr.alip Canever 39
Örnek: Birim baamak bir bozucu etki olura, bu bozucu etkinin ürekli hal hataını bulunuz. e D lim 0 + lim 0 0 + 000 000 Prof.Dr.alip Canever 40
Birim eri belemeli Olmayan Sitemler için Sürekli Hal Hataları Başarımı ölçütlerini iyileştiren dengeleyici ve dentleyicilerin kullanılmaı veya itemin fizikel yapıı nedeniyle çoğu kontrol itemleri birim geri belemeli değildir. Sitemini ele alalım. Birim geribelemeyi oluşturmak üzere birim geribeleme yolunu ekleyip çıkartacak olurak: Prof.Dr.alip Canever 4
H ile negatif geri belemeyi birleştirelim: Prof.Dr.alip Canever 4
ve [H-] i birleştirelim: Prof.Dr.alip Canever 43
Birim geribelemeli halini alır. Prof.Dr.alip Canever 44
Örnek: e 00 + 0 + H Prof.Dr.alip Canever Sitemin Tip i nedir? Uygun hata abitini item Tip ine göre belirleyiniz. Birim baamak için ürekli hal hataını bulunuz. H + 5 00 + 5 3 + 5 50 400 Saf integratör olmadığı için item Tip 0 dır. Uygun hata abiti bu durumda konum hata abiti p dir. p lim 0 e 005 400 5 4 e 4 + p 5 4 İşaretin negatif olmaı çıkış değerinin giriş değerinden büyük olduğunu göterir. 45
Prof.Dr.alip Canever 46 Hem birim baamak geri beleme olmayan hemde bozucu etki girişi olan itemi inceleyelim: + + lim lim 0 0 D H R H E e Birim baamak giriş, R/ ve birim baamak bozucu, D/ için, [ ] [ ] [ ] + + lim lim lim lim lim 0 0 0 0 0 H H E e
Sıfır hata olabilmei için: lim 0 [ ] [ + H ] lim 0 ve lim 0 lim 0 [ + H ] 0 olmalıdır. Sitem kararlı ie, :Tip ie, :Tip 0 ie ve H dc kazancı olan Tip 0 bir iteme yukarıdaki ifadeler daima ağlanır ve ürekli hal hataı ıfır olur. Prof.Dr.alip Canever 47
DUYARLILI Taarım ürecinde, denetim taarım mühendii item parametrelerinin item davranışını etkileme dereceini bilmek iter. Örneğin, ideal olarak, ıcaklık gibi parametrelerin item başarımını etkilememeleri gerekir. Sitem parametrelerinin item tranfer fonkiyonunu dolayııyla başarımını etkileme dereceine duyarlılık adı verilir. Örnek: F Fonkiyonunun a parametreine göre + a duyarlılığını inceleyiniz. 0 ve a00 için F0.09 dir. a yı üç katına çıkartıp a300 aldığımızda, F0.03 olur. a daki keirli değişim:300-00/003, F deki ie 0.03-0.09/0.09-0.65 -%65 örüldüğü gibi a parametreindeki değişime F nin azalan duyarlılığı vardır Prof.Dr.alip Canever 48
Daha onra göreceğimiz üzere geribeleme oluşturmanın bir diğer avantajı da itemin parametrelerine göre duyarlılığını azaltma eğiliminde olmaıdır. Duyarlılık tanımını formülüze edecek olurak: S F: P lim ΔP 0 Fdeki keirli Pdeki keirli değ. değ. S F P lim : ΔP 0 ΔF F ΔP P lim ΔP 0 P F ΔF ΔP P F δf δp Prof.Dr.alip Canever 49
Örnek: Yukarıdaki itemin kapalı döngü tranfer fonkiyonunun a parametreine duyarlılığını belirleyiniz. a parametreine olan duyarlılığı naıl azaltabiliriz. T + a + a T δt δa a + a + + a + S T : a a + a + nin herhangi bir değeri için nın artırılmaı a daki değişime göre kapalı döngü tranfer fonkiyonunun duyarlılığını azaltır. Prof.Dr.alip Canever 50
Örnek: Yukarıdaki iteme rampa girişi uygulandığında ürekli hal hataının a parametreindeki ve parametreindeki değişimlere duyarlılıklarını bulunuz. e S e : a v a δe e δa v a a lim 0 lim 0 + a e a δe δ a e a a S e : a parametreindeki ve deki değişiklikler doğrudan e da görülecektir. Duyarlılıkta azalma veya artma olmayacaktır. Prof.Dr.alip Canever 5
Örnek: Yukarıdaki iteme birim baamak girişi uygulandığında ürekli hal hataının a parametreindeki ve parametreindeki değişimlere duyarlılıklarını bulunuz. Sitem Tip 0 dır, ve ürekli hal hataı: p S e : a lim 0 a δe e δa e + p lim e 0 + a + b ab + ab a ab + b ab ab ab + ab + ab + ab ab + Prof.Dr.alip Canever 5
S e : e δe δ ab ab + ab ab + ab + ve a parametrelerindeki değişimler a ve b ninpozitif olmaı durumunda den daha azdır. Böylece geri beleme her iki parametrenin değişimine göre azalan duyarlılığa ahiptir. Prof.Dr.alip Canever 53