www.mustfgci.com.tr 13 Geometri Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Elipsin Çemberleri Elipsle çember rsındki ilişkii gözler önüne serme mksdıl dersimize bir sorul bşlcğız: cb bir çember üzerindeki tüm noktlrın psislerini nı bırkıp ordintlrını sbit bir sıl çrprsk eni noktlr kümesi ne belirtir? '(, ) (, k) Şimdi olın tersini düşünelim: Çember denkleminde i nı bırkıp i b/ ile çrpmk, elipsi veriors elips denkleminde i nı bırkıp i /b ile çrpmk d çemberi verir. Benzer işlemler i nı bırkıp i bir k sısıl çrpmkl d gerçekleşir. Örneğin bu elipsin sini nı bırkıp ini b/ ile çrpmk rıçpı b oln bir çemberi verir. b sl çember edek çember b Hemen rıçpı birim oln bir merkezil çember çizelim. Üzerinde rstgele seçtiğimiz nokt (, ) olsun. Sorud sölendiği üzere psisi nı bırkıp ordintı bir k reel sısıl çrplım. Yni eni noktmız = k olmk üzere (, ) olsun. Merkımız bu noktlrının çizdiği eğrinin ne olduğudur. (, ) noktlrı çember üzerinde olduğundn çember denklemini sğlr: + = ' erine k zlım: ' + = k ( ') k olduğundn (, ) noktlrının elips çizdiğini nlıoruz. Eğer bu problemdeki k değerini b/ lırsk ( ') b denklemile krşılşırız ki bu d (, ) noktlrının sl ekseni edek ekseni b uzunluğund bir elips çizdiğini nlrız. elips İşte elipsten elde edilen bu çemberlerden sl ekseni çp kbul eden çembere elipsin sl çemberi, edek ekseni çp kbul eden çembere de elipsin edek çemberi denir. İki çemberin de merkez koordintlrı ve rıçp uzunluklrı bilindiğinden denklemlerini hemencecik zbiliriz. b merkezil elipsinin sl çemberinin denklemi + =, edek çemberinin denklemi de + = b olur. Bu problemden de nlşılıor ki; slınd her elips, bir çemberin üzerindeki noktlrdn bir çpın inilen dikmeleri belli ornd bölen noktlr kümesidir. Bu işlemler elipsin sl çemberi denen çemberde pıldığınd dikmelerin içten bölünmesi elipsi verir, edek çember üzerinde pıldığınd d dıştn bölünmesi elipsi verir. 386
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr Elipsin Çemberleri Şimdi elips-çember ilişkisini gösteren bşk bir şe göstereceğiz. Bileşenlerden birini sbit tutup diğerinin bir k reel sısıl çrpılmsı bize izdüşümü htırltıor. Bu dediğimizde hklıız, buurun: eorem. Bir direnin bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü bir elipstir. Knıt: Örnek olrk bir E düzlemi üzerindeki merkezli bir çemberin bir düzlemi üzerindeki dik izdüşümüne bklım. erine e prlel bir düzlem lsk izdüşümün değişmeeceğini bilioruz. hlde erine dn geçen e prlel E düzlemini llım. B D α α ' Çemberin çpı [B], üzerindeki iki nokt d C ve olsun. C ve nin E düzlemine dik izdüşümlerine de sırsıl C ve dielim. CC ve D çılrının eş htt düzlemlerin ölçek çısı nese o ölçüde olcklrını bilioruz. ölçüe α dielim. Şu durumd C = r ise C = r cos α D = s ise D = s cos α olcktır. Benzer şekilde B e prlel her kirişin uzunluğu nı klck m B e dik oln kirişlerin uzunluklrıs nı klck (α = ise) d küçüleceklerdir. Diğer bir deişle çember denklemindeki ler nı klck lerde cos α olck ve tm tersi. Htırlrsnız biz bu durumu incelemiştik, ve lerin biri sbit klırken diğeri bir k reel sısıl çrpıldığınd çember elipse dönüşüordu. hlde knıt tnımlnmıştır. Elipsin lnı ve Çevresi (!) Her elipsin bir direnin izdüşümü olduğunu öğrendik. hlde rı eksen uzunluklrı ve b oln bir elipsin lnını d dire lnındn fdlnrk bulbiliriz. C C' E E' Dik izdüşümle uzunluğu oln eksenin uzunluğu b olmuşs cosα = b b eşitliğinden cos α = olduğunu nlıoruz. Direnin lnı S, elipsin lnı S olsun. S' = S cosα ol- cğındn S' = π b = πb olrk bulunur. Gelelim elipsin çevresine. Üniversitee hzırlık için zılmış geometri kitplrının çoğund eksen uzunluklrı ve b oln bir elipsin çevresi ( + b)π olrk verilir. En zındn 1 ılın kdr nerdese her kitpt böle zılıdı. Hlbuki çevresi için formül bu değildir! Bu formül sdece = b olduğu durumlrd sğlr, bşk d hiçbir durumd sğlmz. Mtemtik Dünsı Dergisi nin 1 ılı Kış sısınd İlhm liev hocmız oldukç gın bu nlışı gündeme getirdikten sonr nispeten zlmış ols d hlen böle zn kitplr vr ne zık ki. Bu nlışın ıllrc süregelmesinin elbette ki en büük sebebi meslektşlrımızın formülün doğruluğunu sorgulmmsı, nereden çıktığını merk bile etmemesidir. Ne zık ki öğrencilerimiz de öle olmuş. E tbi, imm nese cemt o olck! Konuu dergideki zının son stırlrıl bitireim: Doğl olrk, şöle bir soru çıkr: Elipsin çevre uzunluğunu veren formül ok mudur? bii ki, vrdır. nck bu formül hiç bsit değildir, bir integrlle ifde edilir. Elipsin uzunluğunu hesplm çbsı, mtemtiğin özel bir dlının eliptik integrller teorisinin- ort çıkmsın neden olmuştur. Elipsin uzunluğunu ifde eden bsit formülün olmmsı ugulmd çok büük sorunlr rtmz çünkü herhngi bir integrli, dolısıl elipsin çevresini de, istenilen kdr z ht ile hespln sısl öntemler ve güçlü bilgisr progrmlrı vrdır. slınd biz, rıçpı verilmiş bir çemberin de uzunluğunu tm olrk bilmioruz ki Çünkü l = πr formülünde, r i bilmiş olsk bile, π irrsonel sısının ondlık çılımınd virgülden sonr sonsuz çoklukt (ve düzensiz!) rkm bulunduğundn, rıçpı verilmiş oln çemberin uzunluğunu tm olrk hesplmız. 387
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr Elipsin Çemberleri Elipsin Doğrultmn Çemberi Yine önce bir soru çözeceğiz. Dieceğimizi ondn sonr dieceğiz. Bir çemberin içindeki sbit bir noktdn geçen ve o çembere içten teğet oln çemberlerin merkezlerinin geometrik eri nedir? merkezli R rıçplı C çemberinin verildiğini frz edelim. İçindeki sbit nokt d olsun. Sorud sölendiği üzere den geçip C çemberine teğet oln çemberlerin merkezleri de olsun. İşte bu C çemberi, ve odklı bu elipsin doğrultmn çemberidir. Yrıçpı d kdrdır. Çünkü R = + = + olup nin odklr oln uzklıklrı toplmındn söz edioruz. oprllım: Merkezi elipsin odklrındn biri olup rıçpı oln çembere elipsin doğrultmn çemberi denir. Doğrultmn çemberile elipse eni bir trif vermek de mümkündür: Verilen bir çembere içten teğet olup bu çemberin iç bölgesinde sbit bir noktdn geçen çemberlerin merkezlerinin geometrik erine elips denir. Elipsin eğeti Çemberlerin birbirlerine teğet olduklrı nokt d dielim. = olduğunu bilioruz. Şimdi bur dikkt: + = + = = R olup R sbit olduğundn + toplmı bir sbittir. Bilindiği gibi herhngi bir C eğrisinin bir M noktsındki teğeti, eğrie it bir [MM ] keseninin, M noktsı eğri üzerinde klmk kdıl M noktsın sonsuz olrk klştığı tkdirde, eğer limit durumu mevcut ise ML limit durumund ibrettir. M L M' r r R r C Htırlrsnız, türevi ilk kez tnımlrken de benzer bir metot ugulmıştık. Nihetinde iki işlemde de ptığımız şe limit bulmktn ibret bir şedir. Bu M noktsın teğetin değme noktsı denir. eğetin mevcudieti her özel eğri için ispt edilmelidir. İşte şğıdki teorem elips için bu isptın konusunu teşkil etmektedir. Bu d noktlrının ve noktlrını odk kbul eden bir elips olduğunu nltır. Soru çözülmüştür. Şimdi dieceğimize geldi sır: eorem. Elipsin her noktsınd bir teğeti mevcuttur ve bu teğet bu noktdn odklr giden ışınlrın belirttiği çının dış çıortıdır. 388
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr Elipsin Çemberleri Knıt: M ve M elipsin iki frklı noktsı olsun. ' M' K M Bu noktlr, den geçen ve merkezli doğrultmn çemberine sırsıl ve noktlrınd içten teğet oln çemberlerin merkezidir. Şimdi M, M ve merkezli çemberlerin kuvvet merkezini bulcğız. Bunun neresi olduğunu Çemberin nlitik İncelenmesi bşlıklı zılrımızd nltmıştık, bilmeen or tekrr bkbilir. Kuvvet merkezi ve noktlrındki teğetlerin kesim noktsı oln I noktsıdır. M ve M çemberinin kuvvet ekseni de bu çemberlerin ortk noktsındn ve tbii ki I noktsındn geçer. hlde bu kuvvet ekseni I dn ibrettir. Bunun neticesi olrk MM merkezler doğrusu I kuvvet eksenini dik keser. Bu nlşıldıktn sonr M noktsının (elips üzerinde klmk kdıl) M noktsın sonsuz olrk klştığını frz edelim. Bu tkdirde noktsı sonsuz olrk noktsın (ve K noktsın, nsıls o d nı ere klşıor), I noktsı noktsın, I doğrusu d e klşır ve [MM ] keseninin limit durumu d M den e çizilen dikmeden ibret olur. L I M (= I) Şu hlde elipsin M noktsınd bir ML teğeti vrdır ve bu teğet nin ort dikmesidir. ve noktlrı ML teğetine göre simetrik olduklrındn bu doğru M çısının çıortı ni M çısının dış çıortıdır. Netice. Bu ispt ve bir doğrunun bir elips ile kesim noktlrı hkkınd sölediklerimiz bir rd göz önüne lınırs şu netice elde edilir: Bir doğrunun bir elipse teğet olbilmesi için odklrdn birinin bu doğru göre simetriği oln noktnın diğer odğ it doğrultmn çemberi üzerinde bunmsı gerekir ve eter. Bu netice şu şekilde de ifde edilebilir: Bir çemberin değişken bir noktsını çember içinde sbit bir nokt birleştiren doğru prçsının ort dikmesinin zrfı bir elipstir. Yni bu ort dikme bir elipse teğet klır. Bundn fdlnılrk bir elipsin bir teğeti kolc çizilebilir: doğrultmn çemberinin bir K noktsı odğın birleştirilir ve K nin ort dikmesi çizilir. Bu ort dikme elipsin bir teğetini ve bu doğrunun K doğrusunu kestiği M noktsı d değme noktsını verir. eorem. Bir elipste bir odğın teğetlere göre simetriklerinin geometrik eri diğer odğ it doğrultmn çemberidir. Bu teorem ukrdki ihtrd bildirdiğimiz ifdeden bşk bir şe değildir. noktsının d doğrusun göre K simetriği merkezli doğrultmn çemberi üzerinde değilse d doğrusu elipsi iki noktd keser d hiçbir noktd kesmez. Yni bu tkdirde elipse teğet değildir. Eğer K noktsı merkezli doğrultmn çemberi üzerindese d doğrusunun elipsle nck bir ortk noktsı vrdır ni elipse teğettir. N eorem. Bir elipste odklrın teğetler üzerindeki izdüşümlerinin geometrik eri çpı sl eksenden ibret oln çemberdir. 389
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr Elipsin Çemberleri Knıt: dklrı ve oln bir elipsin sözgelimi odğının elipsin rstgele bir t teğetine izdüşümü oln noktsını llım. Sorumuz, t teğetleri değiştikçe noktsının çizeceği eğrinin ne olduğu üzerinedir. t nin e göre simetriğinin merkezli doğrultmn diresi üzerinde buluncğını knıtlmıştık. Şimdi i elipsin merkezi birleştirelim. = ve = olduğundn [] nun üçgeninde ort tbn olduğunu nlmışsınızdır. Htt doğrultmn çemberinin rıçpı olduğundn = olduğunu bile hlde soru çözüldü. noktlrı uzklığı oln noktlr kümesimiş. Yni elipsin sl çemberimiş! ve noktlrının sl çember üzerinde er lcğını knıtlmıştık. sl çemberi çizelim. nin sl çemberi kestiği diğer nokt K olsun. K olduğundn [K ] bir çp olck ve mecburen merkezden geçecektir. Şu durumd trnmış kelebekteki eşliğe göre = K olur. hlde erine K çrpımını rbiliriz. Dikktli okur bu çrpımın noktsının çembere göre kuvveti olduğunu nlmıştır. zmn K = eşitliğinden bhsedilebilir. = c + = c olduğundn K = = c = b olrk bulunur. Şu durumd rnn çrpımın hem bir sbit olduğunu hem de edek eksen uzunluğunun rısının kresi olduğunu knıtlmış olduk. Bir sonrki konud bu teoremi nlitik olrk d knıtldık, on d bkınız! eorem. Bir elipsin odklrının o elipsin bir teğetine uzklıklrının çrpımı sbittir. Knıt: Rstgele bir elips ve elipsin rstgele bir t teğetini çizelim. ' Örnek. Bir elipsin bir odğının bir noktsındki teğeti üzerindeki izdüşümü I olduğun göre ' - ornını bullım. -b I t Çözüm: şğıdki şekilden tkip ediniz. ' K I' I - ve odklrındn t e inen dikme klrı d sırsıl ve olsun. çrpımının bir sbit olduğunu knıtlm çlışcğız. -b 39
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr Elipsin Çemberleri odğının bu teğete izdüşümü de I olsun. I ve I çılrının eş olduklrını öğrenmiştik. hlde I ile I üçgenleri benzerdir. Benzerlikten doğn = ' I ' I ' eşitliğini not edelim. Diğer ndn I I = b olduğunu d bulmuştuk. hlde kenrd bekleen b eşitlikte I erine zrsk I I = ' b eşitliğine erişiriz. odğındn bu teğetlere indirilen dikme klrı şekildeki gibi ve Q, odğındn bu teğetlere indirilen dikme klrı d şekildeki gibi ve Q olsun., Q, ve Q noktlrının sl çember üzerinde olduklrını dh önce knıtlmıştık. Şimdi bu sl çemberi çizelim. rıc odklrın bir teğete uzklıklrı çrpımının sbit ve htt b e eşit olduğunu d knıtlmıştık, ni elimizde = b eşitliği vr. HQ ve HQ dörtgenlerinin birer dikdörtgen olduğunu görürsek erine HQ, erine de HQ zbileceğimizi de görürüz. Şu durumd elimizdeki eşitlik HQ HQ = b eşitliğine dönüşmüş oldu. Dikktli okur HQ HQ çrpımının H noktsının sl çembere göre kuvveti olduğunu nlcktır. hlde H den çembere bir teğet çizilirse teğet prçsının uzunluğu b olcktır. Monge Çemberi Q H b W Bir elipsin birbirine dik iki teğetinin kesişim noktlrının geometrik eri bir çemberdir. Q' ' Bu çember Monge Çemberi die nılır. Şimdi neden bu geometrik erin bir çember olduğunu göstereceğiz ve çemberin merkezile rıçpı hkkınd bilgiler edineceğiz. ve odklı rstgele bir elips ve bu elipsin dik kesişen herhngi iki teğetini çizelim. eğetler H de kesişior olsun. Dik kesişen teğet çiftleri değiştikçe H noktsının çizdiği eğrii rıoruz. şğıdki şekilden tkip ediniz. Q' ' H ' Q Değme noktsı W olsun. Kuvvet teoreminden HQ HQ = HW = b eşitliğine vrdık. Çember, sl çember olduğundn W = olmsı kçınılmzdır. Şu durumd QWH üçgeninde isgor eoremi nden H = + b olrk bulunur. Bu d H noktlrının geometrik erinin ni Monge çemberinin merkezli + b rıçplı bir çember olduğunu nltır. Örnek. 1 6 elipsinin dik kesişen teğetlerinin geometrik er denklemi nedir? Çözüm: Monge çemberinin denkleminin sorulduğunu nlmışsınızdır. hlde cevp + = 16 olmlıdır. 391
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr Elipsin Çemberleri lıştırmlr. şğıdki tblolrd verilen elipslerin edek, sl, doğrultmn ve Monge çemberlerinin denklemlerini ilgili kutulr, son kutu d lnını zınız. Elipsin herhngi bir köşegenine prlel oln tüm kirişlerinin ort noktlrının geometrik erine bu köşegenin eşleniği denir. ' B 3 B' B 5 YÇ : + = Ç : + = DÇ : + = MÇ : + = Elipsin lnı = YÇ : Ç : + = + = M L b N Bu eşlenik de mecburen merkezden geçeceğinden o d bir köşegendir. K ' ' 1 B' B B' 15 8 17 DÇ : + = MÇ : + = Elipsin lnı = YÇ : + = Ç : + = DÇ : + = MÇ : + = Elipsin lnı = Eşlenik Köşegenin Denklemi b merkezil elipsine it = m köşegeninin eşleğinin denklemini bulcğız. = m b K = m + n W Q Elipsin Köşegenleri ve Eşlenik Köşegenleri Bir elipsin merkezinden geçen kirişlerine elipsin köşegenleri denir. Her elips merkezine göre simetrik olduğundn, merkez her köşegeni iki eşit prç ırır. Merkezil bir elipste, merkez orijindir. Bu üzden merkezil elipste, elips köşegenlerini tşın her doğrunun denklemi = m şeklindedir. L = m köşegenine prlel oln köşegenlerden herhngi biri = m + n olsun ve elipsi ve Q noktlrınd kessin. [Q] doğru prçlrının ort noktlrının geometrik erini rdığımızdn ve Q noktlrının koordintlrını bulmlıız. ve Q denilen noktlr d = m + n doğrusunun elipsle kesiştiği noktlr olduğundn bu kesişim noktlrını bulmmız gerekir. Bunun için de iki denklemi ortk çözmeliiz. E çözelim o zmn. b K = m = m + n değerini elips denkleminde erine zlım: Kre ifdei çıp b + (m + n) b = L b + m + mn + n b = 39
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr Elipsin Çemberleri düzenlersek (b + m ) + ( mn) + n b = elde ederiz. Bu denklemin bir kökü nin psisini diğer kökü de Q nun psisini verir. Şükür kü bize ve Q değil, ve Q nun ort noktlrı lzım. ile Q nun ort noktsı W( w, w ) olsun. hlde W nin psisi bu denklemin kökler toplmının rısıdır. mn w = b + m Şimdi de w i bullım. W noktsı = m + n üzerinde olduğundn mn w = m + n b + m mn+ bn+ mn = b + m olup sdeleştirme pılırs bn w = b + m olur. W nin koordintlrı bulunduğundn hem orijinden hem de W den geçen doğrunun eğimini bulbiliriz. bn b mw = = mn m bulunur ki, şu durumd eşlenik köşegeninin denkleminin b = m olduğu nlşılır. Örnek. 5 1 elipsinin = 4 köşegeninin eşleniği oln köşegenin denklemini bullım. Örnek. 1 36 elipsinin iç bölgesindeki (, 1) noktsını ort nokt kbul eden kirişin denklemini bullım. Çözüm: noktsındn geçen elips köşegeninin ni B doğrusunun denklemi, hem (, 1) den 1 hem de orijinden geçtiği için = dir. C E 6 D B 1 rdığımız kiriş ise bu B köşegeninin eşleniği oln CD köşegenine prlel oln E köşegenidir. CD eşlenik köşegenin denklemi b 36 18 = = = m 1 1 5 olur. hlde den geçen E kirişinin denklemi 18 = + n 5 şeklindedir. (, 1) noktsı bu kiriş üzerinde olduğundn 18 1= ( ) + n 5 61 eşitliğinden n = bulunur. Demek ki E kirişinin denklemi 5 = 18 61 5 imiş. Burd nlttıklrımız d slınd izdüşümden bşk bir şe değildir. Çözüm: = 5, b = 1 ve m = 4 olduğunu görerek, bulduğumuz b = m formülünde bu değerleri erlerine zrsk 1 = 5 4 ni = 1 bulunur. 393
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr Elipsin Çemberleri Birbirini kesen iki düzlemden biri üzerinde bulunn bir çemberin diğeri üzerine dik izdüşümünün bir elips olduğunu dh önce knıtlmıştık. Örnek. bn rıçpı 6 br oln bir dik diresel silindir tbn düzlemile 3 çı pn bir düzlemle kesilior. D D' Q Q' B' B ' ' C' 3 ο 6 İşte bu minvlde düşününce bir çemberin birbirini dik kesen iki çpının bşk bir düzlem üzerindeki dik izdüşümleri birbirlerinin eşleniği oln iki köşegeni verir. Bunu bilior mudunuz? Bir dönel silindirin eksenine dik ve prlel olmn bir düzlem ile rkesiti bir elipstir. C rkesit koniğinin merkezil denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) B) C) 48 36 14 4 1 D) E) 1 36 36 16 Çözüm: rkesitin bir elips olcğını knıtlmıştık. Dolısıl silindir tbnındki çember elipsin dik izdüşümünden ibrettir. Silindiri kesen düzlemin biri sol, öteki sğ trfınd olmk üzere silindire ve düzleme teğet iki küre vrdır. Bu küreler silindire bir çember bounc, düzleme birer noktd teğet olurlr. 6 6 C C1 C 3 3 ο 6 6 6 6 U' rkesit eğrisinin herhngi bir noktsı olsun. Silindirin den geçen n doğrusu sol ve sğ çemberleri U ve U noktlrınd kessin. ve U sol küree, ve U sğ küree teğet olcklrındn = U ve = U olur. Burdn + = U + U = U U elde edilir ki; U U değeri nin nerede lındığındn bğımsız olup bir sbit olduğundn, rkesitinin ve odklı bir elips olduğu nlşılır. U Üst resimden de görüldüğü üzere elipsin edek eksen uzunluğun bir şe olmz, oln sl eksen uzunluğun olur. cos3 = eşitliğinden = 4 3 bulunur. hlde merkezil elips denklemi 48 36 şeklindedir. Doğru cevp:. o 6 394
MY GE 3 KNİKLER ES 16 Mustf YĞCI Elipsin Çemberleri CCEDC 1. 16 9 elipsinin sl ve edek çemberlerinin trdığı bölgelerin lnlrı frkı kç br dir? ) 5π B) 6π C) 7π D) 8π E) 9π 5. 1 64 elipsi ile + = 5 denklemli çember rsınd kln bölgenin lnı şğıdkilerden hngisidir? ) 55π B) 5π C) 45π D) 55 E) 5. 3 π elipsinin sl çemberinin denklemi nedir? ) + = 3 B) + = π C) + = 6 D) + = 9 E) + = π 6. + 4 = 1 elipsinin dik kesişen teğetlerinin geometrik er denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) + = 15 B) + =81 C) + = 64 D) + = 36 E) + = 5 3. 1 7 elipsinin edek çemberinin denklemi nedir? ) + = 3 B) + = 6 C) + = 7 D) + = 5 E) + = 49 7. 7 elipsinin dik kesişen teğetlerinin kesim noktlrının geometrik er denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) + = B) + = 3 C) + = 7 D) + = 9 E) + = 14 4. 36 4 elipsinin doğrultmn çemberlerinin kesişim noktlrı rsındki uzklık kç br dir? ) 3 B) 13 C) 4 D) 3 E) 8 7 8. Denklemi 36 64 oln elipsin lnı kç birim kredir? ) 56π B) 5π C) 48π D) 44π E) 4π 395
MY GE 3 KNİKLER ES 163 Mustf YĞCI Elipsin Çemberleri CDCBB 1. Ynd sl eksen uzunluğu 8 br ve edek eksen uzunluğu 6 br oln bir merkezil elips ve orijinden geçen bir d doğrusu verilmiştir. Bun göre trlı bölgelerin lnlrı toplmı kç br dir? ) π B) π C) 3π D) 4π E) 6π d 4. Yndki elipslerin denklemleri + b = b ve b + = b olduğun göre α kç derecedir? ) 15 B) 3 C) 45 D) 6 E) 75 α. Ynd denklemi oln elipsle, 5 9 bu elipsin odklrındn geçen bir merkezil çember çizilmiştir. Bun göre çemberin elips dışınd kln bölgelerinin lnlrı toplmı, elipsin çember dışınd kln bölgelerinin lnlrı toplmındn kç br fzldır? 5. 16 ve 16 5 d 16 5 16 elipsleri birinci bölgede bir noktsınd kesişmektedir. noktsının orijine uzklığı kç br dir? ) π 4 B) π 3 C) π D) π E) π ) 3 B) 3 C) 4 D) 4 E) 5 3. Denklemi 4 144 oln elipsle, bu elipsin odklrındn geçen merkezil çember birinci bölgede noktsınd kesişmektedir. Q Bun göre noktsının eksenine uzklığı kç br dir? ) 9 B) 1 C) 11 D) 1 E) 13 6. Mjör ekseninin bou 4 br, minör ekseninin bou br oln ndki merkezil 1 elipsin birbirlerini dik kesen teğetlerinin kesişim noktsı dir. Bun göre noktlrının geometrik er denklemi nedir? ) + = 4 B) + = 5 C) + = 6 D) + = 7 E) + = 8 396
MY GE 3 KNİKLER ES 164 Mustf YĞCI Elipsin Çemberleri BCCCDDE 1. Ynd denklemi oln elipsle, bu 5 9 elipsin sl çemberi çizilmiştir. noktsı sl çember üzerinde olup, bu noktdn eksenine inilen dikme ekseni Q de elipsi ise R de kesmektedir. R Bun göre ornı kçtır? RQ R Q 4. dk noktlrı ve oln bir merkezil W elips ve ekseni üzerinde = K K olck şekilde bir K noktsı lınıor. K noktsındn elipse çizilen teğet elipse noktsınd değiors ' ornı kçtır? ) 1 B) 3 C) 3 4 D) 4 5 E) 1 ) 3 B) C) D) 3 E). dk noktlrı ve oln ndki merkezil elipsin üzerinde m( ) = 8 olck şekilde birinci bölgede bir noktsı lınıp den elipse bir teğet çizilior. Bun göre m(w) kç derecedir? W α 8 o 5. 5 9 elipsi ve bu elipsin odk noktlrındn geçen merkezil çember verilmiştir. Bun göre elipsle çember rsınd kln bölgenin lnı kç birim kredir? ) 18π B) 16π C) 1π D) 11π E) 9π ) 6 B) 55 C) 5 D) 45 E) 4 3. dk noktlrı ve oln elipsinin 5 9 üzerinde birinci bölgede orijine uzklığı 4 br oln bir noktsı lınıp bu noktsındn elipse bir teğet çizilmiştir. Bun göre m( W) kç derecedir? 4 α ) 3 B) 36 C) 45 D) 6 E) 75 W 6. 9 + 16 = 576 elipsinin ve odklrındn sl eksene çizilen dikmeler elipsi K, L, M, N noktlrınd kestiğine göre (KLMN) kç birim kredir? ) 8 7 B) 1 7 C) 4 7 D) 36 7 E) 48 7 7. 1 = doğrusu elipsinin köşegenlerinden biridir. 8 4 Bun göre bu köşegenin eşleniği oln doğrunun eğimi kçtır? ) 4 B) 3 C) D) 1 E) 1 397
MY GE 3 KNİKLER ES 165 Mustf YĞCI Elipsin Çemberleri DBCEDC 1. 5 elipsinin 4 = köşegeninin eşleniği oln köşegenin denklemi ğıdkilerden hngisidir? ) = 16 B) = 16 C) = 4 D) = E) =. Şekilde L 16 9 elipsi ile elipsin edek ve sl eksenlerini köşegen kbul eden NRL dörtgeni çizilmiştir. N R Bun göre trlı bölgenin lnı kç birim kredir? 4. Doğrultmn çemberlerinden birisinin denklemi + 6 91 = oln merkezil elipsin denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) B) C) 9 16 13 16 13 1 D) E) 16 9 5 16 5. Bir elipste odklrın, elipsin teğetleri üzerindeki dik izdüşümlerinin geometrik eri nedir? ) sl çember B) Yedek çember C) Doğrultmn çemberi D) Monge çemberi E) Doğrultmn doğrusu ) 6π 16 B) 6π 1 C) 8π 1 D) 8π + 1 E) 1π 4 3. bn rıçpı 4 br oln bir dik silindir tbn düzlemile 45 çı pn bir düzlemle kesilior. 6. Bir elipsin dik kesişen teğetlerinin geometrik eri nedir? ) sl çember B) Yedek çember C) Doğrultmn çemberi D) Monge çemberi E) Doğrultmn doğrusu 45 ο 4 rkesit koniğinin merkezil denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) C) E) + = 16 B) + = 16 + = 3 D) + = 3 + = 48 7. Bir elipste bir odğın bir teğete göre simetriği şğıdkilerden hngisinin üzerindedir? ) sl çember B) Yedek çember C) Doğrultmn çemberi D) Monge çemberi E) Doğrultmn doğrusu 398