GEOMETR 7 ÜN TE IV KON

ÜN TE IV KON 1. KON K YÜZEY VE TANIMLAR 2. KON a. Tan m b. Dik Dairesel Koni I. Tan mlar II. Dik Dairesel Koninin Özelikleri III. Dönel Koni c. E ik Dairesel Koni 3. D K DA RESEL KON N N ALANI 4. DA RESEL KON N N HACM 5. KES K KON 6. D K DA RESEL KES K KON N N ALANI 7. DA RESEL KES K KON N N HACM 8. ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖZET ALIfiTIRMALAR TEST IV

BU ÜN TEN N AMAÇLARI Bu üniteyi çal flt n zda; * Uzayda konik yüzeyin nas l meydana geldi ini aç klayabilecek, * Konik yüzeyi meydana getiren elemanlar ve özeliklerini aç klayabilecek, * Koninin nas l meydana geldi ini, koninin elemanlar n tan yabilecek, * Konilerin neye göre adland r ld n belirtebilecek, * Dik dairesel koninin bütün özeliklerini aç klayabilecek, * Dönel koniyi ve e ik dairesel koniyi tan yabilecek, * Dik dairesel koninin alan n bulabilecek, * Dairesel koninin hacmini bulabilecek, * Kesik koniyi tan yabilecek ve özeliklerini aç klayabilecek, * Dik dairesel kesik koninin alan n bulabilecek, * Dairesel kesik koninin hacmini bulabilecek, * Konilere ait çeflitli uygulamalar yapabilecek ve problemleri çözebilecektir. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Örnek sorular dikkatle okuyunuz. Kitaba bakmadan çözmeye çal fl n z. * Bu konular ile ilgili Matematik kitaplar ndan yararlan n z. * Konular anlamadan bir baflka konuya geçmeyiniz. * Her bölümün sonunda verilen al flt rma ve de erlendirme sorular n çözünüz. * Test sorular ile kendinizi deneyiniz. Baflar s z iseniz baflar s z oldu unuz bölümleri tekrar gözden geçiriniz. 98

ÜN TE IV KON 1. KON K YÜZEY VE TANIMLAR Uzayda, düzlemsel kapal bir C e risi ile, bu düzlemin d fl nda bir T noktas verilsin. T noktas ile, C e risinin her noktas ndan geçen do rular n oluflturdu u yüzeye, konik yüzey denir. (fiekil 4. 1) de, düzlemsel kapal C e risine taban e risi (dayanak e risi), C e risinin düzlemi d fl ndaki T noktas na bu konik yüzeyin tepe noktas, tepe noktas ile C e risinin her noktas ndan geçerek, konik yüzeyi oluflturan do ru parçalar na da, konik yüzeyin ana do rular denir. fiekil 4. 1 2. KON a. Tan m Taban e risi kapal bir e ri olan, konik yüzeyin tüm ana do rular n kesen bir P düzlemi ile, T tepe noktas aras nda kalan cisme, koni denir. (fiekil 4.2) deki, P düzlemi ile konik yüzeyin kesitine koninin taban, T tepe noktas n n taban na olan uzakl na koninin yüksekli i, taban n n çevresini tepeye birlefltiren e ri yüzeye koninin yanal yüzeyi denir. Koniler tabanlar na göre, dairesel koni, eliptik koni ve yüksekliklerinin taban düzlemine dik olup olmad klar na göre de, dik koni, e ik koni fleklinde adland r l r. 99

fiekil 4. 2 b. Dik Dairesel Koni I. Tan mlar Taban daire olan ve yüksekli i taban n merkezinden geçen koniye, dik dairesel koni denir. (fiekil 4.3) deki dik dairesel konide, koninin taban olan dairenin yar çap AH = HB = r birim, koninin yüksekli i TH = h birim ve koninin ana do rusunun uzunlu unu TA = TB = a birim ile gösterece iz. fiekil 4. 3 100

II. Dik Dairesel Koninin Özelikleri 1. Dik dairesel koninin taban kenarlar, sonsuz say da olan bir düzgün piramittir. 2. Dik dairesel koninin ekseni, yüksekli ine eflit ve simetri eksenidir. 3. Dik dairesel koninin ana do rular, birbirine efltir. 4. Dik dairesel koninin ekseninden geçen bir düzlemle ara kesiti, bir ikizkenar üçgendir. 5. Dik dairesel koninin taban na paralel bir düzlemle kesiti, bir dairedir. III. Dönel Koni Dik dairesel koni, (fiekil 4.4) deki ABC dik üçgeninin, dik kenarlar ndan birisi etraf nda 360 döndürülmesiyle de elde edilir. Bu dik dairesel koniye, dönel koni denir. fiekil 4. 4 c. E ik Dairesel Koni Taban daire olan ve yüksekli i taban n merkezinden geçmeyen koniye, e ik dairesel koni denir. (fiekil 4.5) de, koninin T tepe noktas n, 0 taban merkezine birlefltiren [T0] do ru parças na, koninin ekseni ve T tepe noktas ndan taban düzlemine çizilen [TH] dikmesine de e ik koninin yüksekli i denir. 101

fiekil 4. 5 Teorem: Bir dairesel koninin taban na paralel düzlemle kesiti dairedir. Bu dairenin yar çaplar n n oran, tepe noktas n n bu kesitlere olan uzakl klar n n oran na eflittir. spat: Taban yar çap, D0 2 = 0 2 B = r 2 olan bir dairesel koni, taban na paralel bir düzlemle kesildi inde, elde edilen kesitin yar çap C 0 1 = 0 1 A = r 1 olsun. Küçük koninin yüksekli i T0 1 = h 1 ve büyük koninin yüksekli i [T0 2 = h 2 olsun (fiekil 4.6). fiekil 4. 6 102

Kesit dairesi tabana paralel oldu undan, (A. A. A.) Teoremine göre, T 0 1 A T 0 2 B dir. Buna göre, T0 1 T0 2 = 0 1A 0 2 B oldu undan, h 1 = r 1 h r2 2 olur. Bu teoreme göre, afla daki ifadeleri söyleyebiliriz. 1. Bu teorem, e ik dairesel koni içinde geçerlidir. 2. Bir dairesel koni, tabana paralel bir düzlemle kesilirse, kesit dairesinin alan n n taban alan na oran, tepe noktas n n bunlara olan uzakl klar n n, karelerinin oran na eflittir. Buna göre, Dairesel koninin taban alan G, kesit dairesinin alan G olsun. Koninin yüksekli i h ve kesitin tepe noktas na uzakl h ise, h 2 = G olur. h G ÖRNEK 4. 1 Taban yar çap 6 cm olan bir dik dairesel koni, tepe noktas ndan 3 cm uzakl kta tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen kesit dairenin yar çap 2 cm oldu una göre, bu dairesel dik koninin yüksekli ini bulal m. ÇÖZÜM Verilen dik dairesel koninin yar çap r 2 = 6 cm ve yüksekli i h 2 olsun. Kesitle elde edilen küçük dik dairesel koninin yüksekli i h 1 = 3 cm ve yar çap r 1 = 2 cm dir. Yukar daki teoreme göre, h 1 h 2 = r 1 r2 ifadesinden, 3 h 2 = 2 6 dir. Orant özeli inden, h 2 = 3. 6 2 = 18 = 9 cm olur. 2 3. D K DA RESEL KON N N ALANI Teorem: Bir dik dairesel koninin yanal alan, taban çevresi ile ana do rusunun uzunlu unun çarp m n n yar s na eflittir. spat: Dik dairesel koni, taban kenar say s sonsuz say da olan bir piramit gibi düflünülürse, piramidin yanal alan formülü, dik dairesel koni içinde geçerlidir. Buna göre, (fiekil 4. 7) deki dik dairesel koninin yanal alan, taban çevresi ile, ana do rusunun uzunlu unun çarp m n n yar s na eflittir. 103

fiekil 4. 7 Taban çevresi 2.π.r birim ve ana do rusunun uzunlu u a birim olan dik dairesel koninin yanal alan, Y = 1 2. π. r. a = π. r. a birimkaredir. 2 Bir dik dairesel koninin tüm alan n bulmak için, yanal alan na taban alan ilave edilir. S = π. r. a + π. r 2 = π. r ( a + r) birim kare olur. Bu formül e ik koniler için geçerli de ildir. (fiekil 4. 8) de, bir dik dairesel koninin yanal yüzeyi, bir ana do rusu boyunca kesilip aç l nca, bir daire kesmesi elde edilir. Bu daire kesmesinin yar çap, a birim ise, dik dairesel koninin ana do rusu da a birim kadard r. 104 fiekil 4. 8

AB yay n n uzunlu u, dik dairesel koninin taban çevresine eflittir. AB = Ç = 2. π. r birimdir. ÖRNEK 4.2 Taban yar çap 5 cm ve ana do rusunun uzunlu u 8 cm olan dik dairesel koninin, yanal alan n ve tüm alan n bulal m. (π ª 3 al nacakt r.) ÇÖZÜM Verilen dik dairesel koninin taban yarçap r = 5 cm ve ana do rusunun uzunlu u a = 8 cm dir. Dik dairesel koninin; Yanal alan: Y = π. r. a ifadesinden, Y = 3. 5. 8 = 120 cm 2 dir. Tüm alan : S = πr 2 + Y ifadesinden, S = 3. 5 2 + 120 = 3. 25 + 120 = 75 + 120 = 195 cm 2 olur. 4. DA RESEL KON N N HACM Teorem: Bir dairesel koninin hacmi, taban alan ile yüksekli inin çarp m n n üçte birine eflittir. spat: Dairesel koni, taban kenar say s sonsuza yaklaflan bir piramit olarak düflünülürse, hacmi de piramitlerde oldu u gibi taban alan ile yüksekli inin çarp m n n üçte birine eflittir. Taban yar çap r, yüksekli i h olan dairesel koninin hacmi, V = 1 3 π. r2. h dir. Bu formül dik veya e ik tüm dairesel koniler için de geçerlidir. ÖRNEK 4. 3 Taban yar çap 6 cm ve yüksekli i 9 cm olan dairesel koninin hacmini bulal m. ÇÖZÜM Verilen dairesel koninin taban yar çap r = 6 cm ve yüksekli i h = 9 cm dir. Dik dairesel koninin hacmi: V = 1 3 π. r2. h ifadesinden, V = 1 3 π. 62. 9 = 1 3. π. 36. 9 = 108 π cm3 olur. 105

ÖRNEK 4.4 (fiekil 4.9) daki e ik dairesel konisinde, [TB] nin taban düzlemi ile yapt aç n n ölçüsü 30 dir. A0 = 3 cm ve TB = 8 cm oldu una göre, koninin hacimini bulal m. (π 3 al nacakt r.) ÇÖZÜM fiekil 4. 9 fiekil 4.9 deki TBH dik üçgeninde, s TBH = 30 oldu undan, sin 30 = TH 8 ; 1 2 = TH 8 ; TH = 8 = 4 ; TH = h = 4 cm dir. 2 E ik koninin taban yar çap, A0 = r = 3 cm olarak veriliyor. Taban alan : G = π.r 2 ifadesinden, Hacmi: V = G. h 3 V = 27. 4 3 G = 3.3 2 = 3. 9 = 27 cm 2 dir. ifadesinden, = 108 3 = 36 cm3 olur. 106

5. KES K KON Bir dairesel koniyi taban na paralel bir düzlemle kesti imizde, taban ile düzlem aras nda kalan cisme, kesik koni denir (fiekil 4. 10). fiekil 4. 10 Koninin taban na alt taban, kesite üst taban, iki taban aras ndaki uzakl a, kesik koninin yüksekli i denir. Taban daire olan kesik koniye, dairesel kesik koni, tabanlar n merkezini birlefltiren do ru, taban düzlemine dik ise, bu koniye de dik dairesel kesik koni denir. 6. D K DA RESEL KES K KON N N ALANI Teorem: Dik dairesel kesik koninin yanal alan, tabanlar n n çevrelerinin toplam ile, ana do rusunun uzunlu unun çarp m n n yar s na eflittir. spat: (fiekil 4.11) de görüldü ü gibi, Kesik koninin yanal alan, büyük koninin yanal alan ile, küçük koninin yanal alan n n fark na eflittir. fiekil 4. 11 107

(fiekil 4.12) de kesik koninin aç k flekli çizilmifltir. fiekil 4. 12 Buna göre, Y = π. r 2. a 2 - π. r 1. a 1 dir (1) A. A. A teoremine göre, TBH TA0 oldu undan, a 2 a = r 2 1 r1 veya a 2 r = a 1 2 r dir. 1 a 2 r = a 1 2 r = a 2 - a 1 1 r 2 - r = a 1 r 2 - r d r. 1 Buradan, a 2 r 2 = a r 2 - r 1 ise, a 2 = ar 2 r 2 - r 1 ve a 1 ve a 2 de erleri (1) de yerine yaz l rsa, a 1 r 1 = a r 2 - r 1 ise, a 1 = a r 1 r 2 - r 1 dir. Y = πr 2. r 2 a r 2 - r 1 - π r 1 r 1. a r 2 - r 1 = π.a r 2 - r 1 Gerekli sadelefltirmeler yap l rsa, Y = π. a. r 1 + r 2 oldu u görülür. r 2 2 - r 1 2 = π. a r 2 - r 1 r 2 - r 1 r 2 + r 1 dir. Dik dairesel kesik koninin tüm alan, alt ve üst tabanlar n n alan ile yanal alan n n toplam na eflittir. Buna göre, S = π. r 1 2 + π. r 2 2 + π. a r 1 + r 2 olur. 108

ÖRNEK 4. 5 Bir dik dairesel kesik koninin alt taban n n yar çap 6 cm, üst taban n n yar çap 4 cm ve ana do rusunun uzunlu u 8 cm dir. Bu dik dairesel kesik koninin yanal alan n ve tüm alan n bulal m. (π = 3 al nacakt r.) ÇÖZÜM Verilen dik dairesel kesik koninin alt taban n n yar çap r 2 = 6 cm, üst taban n n yar çap r 1 = 4 cm ve ana do rusunun uzunlu u a = 8 cm dir. Dik dairesel kesik koninin, Yanal alan ; Y = π. a (r 1 + r 2 ) ifadesinden, Y = 3. 8 ( 6 + 4) = 24 (10) = 240 cm 2 dir. Tüm alan : S = π r2 1 + π. r2 + π. a r 1 + r 2 ifadesinden, S = 3. 4 2 + 3.6 2 + 3. 8 4 + 6 S = 16 + 3. 36 + 24 10 = 48 + 108 + 240 = 396 cm 2 olur. 7. DA RESEL KES K KON N N HACM Teorem: Tabanlar n n yar çaplar r 1 ve r 2, yüksekli i h olan bir dairesel kesik koninin hacmi, V = 1 3 π. h r 1 2 +r2 + r 1. r 2 dir. spat: Dairesel kesik koni, tabanlar n n kenar say lar sonsuza giden kesik piramit gibi düflünülebilece inden, kesik piramidin hacmi, V = 1 3 h G +G + G.G dir. 1 Kesik koninin alt taban alan bu de erler (1) de yerine yaz l rsa, G = π.r 1 2, üst taban alan G = π. r 2 2 oldu undan, V = 1 3 h π. r 1 2 +π. r 2 2 + π. r 1 2. π. r 2 2 dir. Bu ifadede gerekli sadelefltirmeler yap l rsa, V = 1 3 π. h r 1 2 + r 2 2 + r 1. r 2 olur. 109

ÖRNEK 4. 6 Taban yar çaplar 3 cm ve 6 cm, yüksekli i 9 cm olan dairesel kesik koninin hacmini bulal m. ÇÖZÜM Verilen dairesel kesik koninin taban yar çaplar, r 1 = 3 cm ve r 2 = 6 cm, yüksek l i i h = 9 cm dir. Dairesel kesik koninin hacmi: V = 1 3 π. h r 1 2 +r 2 2 + r 1. r 2 ifadesinden, V = 1 3 π. 9 32 + 6 2 + 3. 6 = 9 3 π 9 + 36 + 18 = 3π 63 = 189 π cm3 olur. 8. ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖRNEK 4. 7 Ana do rusunun uzunlu u 5 cm, çap 8 cm olan dik dairesel koninin tüm alan ve hacmini bulal m. (π 3 al nacakt r.) ÇÖZÜM Verilen dik dairesel koninin, ana do rusunun uzunlu u a = 5 cm, çap 2r = 8 cm oldu undan, r = 4 cm dir. Dik dairesel koninin tüm alan : S = π. r (r + a) ifadesinden, S = 3. 4 (4 + 5) = 12 (9) = 108 cm 2 dir. Hacmini bulmak için, dik dairesel koninin önce yüksekli ini bulal m (fiekil 4.13). fiekil 4. 13 110

T0B dik üçgeninde, pisagor teoremine göre, T0 2 = TB 2-0B 2, ifadesinden h 2 = 5 2-4 2 = 25-16 = 9 ise, h = 3 cm dir. Hacmi : V = 1 3 π. r2. h ifadesinden, V = 1 3. 3.42.3 = 16. 3 = 42 cm 3 olur. ÖRNEK 4. 8 Taban yar çap r, yüksekli i h olan bir dik dairesel koni, tepesinden h 1 kadar uzakl kta, tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Kesit dairesinin yar çap r 1 oldu una göre, elde edilen küçük koni ile, esas koninin hacimleri aras ndaki oran, konilerin yüseklikleri cinsinden bulal m. ÇÖZÜM (fiekil 4.14) Kesit dairesi tabana parelel oldu undan, fiekil 4. 14 111

T, AD konisinin hacmi: V 1 = 1 3 π. r 1 2. h 1, T, BC konisinin hacmi: V = 1 3 π. r2. h tir. Buna göre, V 1 V = 1 3 πr 1 2. h 1 1 3 π.r2. h = r 1 2 r 2. h 1 h Kesit dairesi tabana paralel oldu undan, d r (1) A. A. A teorimine göre, T0 1 D TDC oldu undan, Her iki taraf n karesini al rsak, r 2 = h 1 h 2 Bunu (1) ba nt s nda yerine yazarsakk, V 1 V = h 2 1 h 2. h 1 h = h 3 1 h 3 olur. r 1 2 2 d r. r 1 r = h 1 h t r. ÖRNEK 4. 9 Yüksekli i 16 cm ve taban yar çap 8 cm olan, bir e ik dairesel koni, taban düzlemine paralel bir düzlemle, tabandan 12 cm uzakl kta kesiliyor. Düzlemle, e ik dairesel koninin kesiti olan dairenin alan n bulal m (π 3 al nacakt r.) ÇÖZÜM (fiekil 4.15) deki (T, BC) e ik dairesel koninin yüksekli i h 1 = 16 cm, taban yar çap r 1 = 8 cm dir. fiekil 4. 15 112

ÛGEOMETR 5 (T, AD) e ik dairesel koninin yüksekli i, h 2 = 16-12 = 4 cm dir. h 2 = r 2 h r1 ifadesinden, 4 1 16 = r 2 8 ve r 2 = 4. 8 16 = 32 = 2 cm dir. 16 Kesit dairesinin alan : K = π. r 2 ifadesinden, K = 3. 2 2 = 3. 4 = 12 cm 2 olur. ÖRNEK 4. 10 (fiekil 4.16) da tepe noktas T ve ana do rusunun uzunlu u 10 cm olan bir dik dairesel koninin yanal yüzeyinin aç n m veriliyor. ÇÖZÜM Dik dairesel koninin taban çevresi, Ç = 2. π. r ifadesinden, 16 π = 2πr ise, r = 8 cm dir. fiekil 4. 16 (fiekil 4. 16) daki AB yay parças n n uzunlu u, dik dairesel koninin taban çevresine eflit olaca ndan, AB = 2. π. r. α 360 Ç = AB = 2. π. 10. 288 360 ifadesinden taban çevresini bulabiliriz. = 5760 π 360 = 16π dir. 113

Dik dairesel koninin yüksekli ini bulmak için, (fiekil 4.17) de, THB dik üçgeninde, pisagor teoremine göre, TH 2 =TB 2 - HB 2 ifadesinden, fiekil 4. 17 h = 10 2-8 2 = 100-64 = 36 ise, h = 6 cm dir. Dik dairesel koninin hacmi: V = 1 3 π.r2. h ifadesinden, V = 1 3. π 82. 6 = 1 3 π. 64. 6 = 128 π cm3 olur. ÖRNEK 4.11 (fiekil 4.18) deki e ik dairesel konide, [TA] ana do rusunun taban düzlemi ile yapt aç n n ölçüsü 60 dir. Taban yar çap 3 cm ve dairesel koninin hacmini bulal m (π 3 al nacakt r). 114 fiekil 4. 18

ÇÖZÜM Verilen e ik dairesel koninin taban yar çap r = 3 cm, TA = 6 3 cm do ru parças n n taban düzlemi ile yapt aç n n ölçüsü 60 olarak veriliyor. ve [TA] Buna göre, E ik dairesel koninin hacmini bulmak için, önce bu koninin yüksekli ini bulal m. TAH dik üçgeninde, sin 60 = h TA ba nt s ndan, sin 60 = 3 2 3 2 = h 6 3 dir. ÖRNEK 4. 12 ve TA = 6 3 cm oldu undan, Buradan, h = 6 3. 3 = 3. 3 = 9 cm dir. 2 E ik dairesel koninin hacmi: V = 1 3 π. r2. h ifadesinden, V = 1 3 3. 32. 9 = 9. 9 = 81 cm 3 olur. ABCD dik yamu unda, s A = 90, AB = 6 cm, BC = 5 cm ve DC = 2 cm dir (fiekil 4.19). fiekil 4. 19 Bu yamu un [AD] kenar etraf nda 360 döndürülmesi ile oluflan cismin hacmini ve tüm alan n bulal m. 115

ÇÖZÜM Verilen ABCD dik yamu u, [AD] kenar etraf nda 360 döndürüldü ünde oluflan cisim, bir dik dairesel kesik konidir (fiekil 4.20). C noktas ndan, [AB] do rusuna bir dik do ru indirildi inde, DC = AH = 2 cm dir. HB = AB - AH oldu undan, HB = 6-2 = 4 cm dir. CHB dik üçgeninde, pisagor teoremine göre, HC 2 = BC 2 - HB 2 ifadesinden, Buna göre, dik dairesel kesik koninin taban yar çaplar r 1 = 6 cm, r 2 = 2 cm ve yükseklik h = 3 oldu undan, Dik dairesel kesik koninin hacmi: fiekil 4. 20 HC 2 = 5 2-4 2 = 25-16 = 9 ise, HC = 3 cm ve DA = HC = h = 3 cm dir. V = 1 3 π. h r 1 2 + r 2 2 +r 1. r 2 ifadesinden, V = 1 3 π. 3 62 + 2 2 +6. 2 = π 36 + 4 + 12 = 52π cm 3 olur. Dik dairesel kesik koninin tüm alan : S = π. r2 1 + π. r2 + π. a r 1 + r 1 ifadesinden, S = π. 6 2 + π. 2 2 + π. 5 6 +2 = 36π + 4π + 5π 8 S = 40π + 40π = 80π cm 2 olur. 116

ÖRNEK 4. 13 (fiekil 4.21) deki ABC dik üçgeninde, s BAC = 90, AB = 9 cm ve BC = 12 cm dir. ABC dik üçgeni BC kenar etraf nda 360 döndürülmesi ile oluflan cismin hacmini bulal m fiekil 4. 21 ÇÖZÜM ABC dik üçgeni [BC] kenar etraf nda 360 döndürülürse, taban [AD] çapl ve tabanlar ndan birlefltirilmifl, iki dik dairesel koni oluflur. (fiekil 4.22). Bu cismin hacmi, iki dik dairesel koninin hacimleri toplam na eflittir. fiekil 4. 22 117

ABC dik üçgeninde, pisagor teoremine göre, BC 2 = AB 2 + AC 2 ifadesinden, BC 2 = 9 2 + 12 2 BC 2 = 81 + 144 = 225 ise, BC = 15 cm dir. ABC dik üçgeninde, Oklid teoremine göre, AB. AC = A0. BC fadesinden, 9.12 = AO. 15 ise, A0 = 9. 12 15 = 36 5 = 7,2 cm dir. ABC dik üçgeni, [BC] kenar etraf nda 360 döndürdü ümüzde, her iki koninin yar çaplar da AO = 7,2 d r. Taban 0 merkezli çember tepe noktas B olan dik dairesel koninin hacmi, V 1 ve taban 0 merkezli çember tepe noktas C olan dik dairesel koninin hacmide, V 2 olsun. BO + OC = BC = 15 cm oldu una göre, V 1 = 1 3 π A0 2. B0 + V 2 = 1 3 π A0 2. 0C V 1 + V 2 = 1 3 π. AO 2 B0 2 + OC V 1 + V 2 = 1 3 π 7,2 2 15 V 1 + V 2 = 1 π 51,84 15 3 V 1 + V 2 = 259,2 π cm 3 olur. ÖRNEK 4.14 fiekil 4. 23 deki ABCD yamu unda, s DAB = s CBA = 45, CD = 2 cm ve AB = 10 cm dir. Bu yamu un, AB etraf nda 360 döndörülmesi ile oluflan cismin hacmini bulal m. 118

fiekil 4. 23 ÇÖZÜM (fiekil 4.23) deki ABCD yamu u, [AB] kenar etraf nda 360 döndürülürse iki dik dairesel koni ile, bir silindirden meydana gelir. Burada, DC = EF = 2 cm ve AED = AED = BCF = BFC dir. Çünkü bu üçgenler ikizkenar dik üçgenlerdir. s DAB = s CBA = 45 oldu undan, üçgenin dar aç lar n n hepsi 45 dir. AE = BF = 10-2 2 = 8 = 4 cm dir. 2 Eflit üçgenlerde eflit aç lar karfl s nda, eflit kenarlar bulunaca ndan, AE = DE = ED = BF = CF = FC = 4 cm dir. A, DD koninin hacmi: V 1 = 1 3 π. r2. h ifadesinden, V 1 = 1 3 π. 42.4 = 1 3 π. 16. 4 = 64 3 π cm3 tür. DD C C silindirin hacmi: V 2 = π. r 2. h ifadesinden, V 2 = π. 4 2. 4 = π. 16, 4 = 64π cm 3 tür. Oluflan cismin hacmi: V = 2V 1 + V 2 V = 2 64 3 oldu undan, π + 64π = 128 3 π + 192 3 π = 320 3 π cm3 olur. 119

ÖRNEK 4. 15 (fiekil 4. 24) de, bir dik dairesel koninin yanal yüzeyinin aç k flekli veriliyor. AB = 6π, TA = TB = 5 cm oldu una göre, bu dik dairesel koninin tüm alan n ve hacmini bulal m π 3 al nacakt r. fiekil 4. 24 ÇÖZÜM Verilen AB yay n uzunlu u AB = 6 π, dik dairesel koninin taban çevresine eflittir. Dik dairesel koninin taban daire oldu undan çevresi, Ç = 2.π.r dir. Buna göre, 6 π = 2.π.r ise, r = 3 cm dir. (fiekil 4.25) de, verilen dik dairesel koninin kapal flekli çizilmifltir. 120 fiekil 4. 25

Buna göre, 0A = r = 3 cm ve TB = TA = a = 5 cm dir. TOA dik üçgeninde, pisagor teoremine göre, TO 2 = TA 2 - OA 2 ifadesinden, TO 2 = 5 2-3 2 = 25-9 = 16 ise, TO = h = 4 cm dir. Dik dairesel koninin; Tüm alan : S = π. r (r + a) ifadesinden, S = 3. 3 (3 + 5) = 9 (8) = 72 cm 2 dir. Hacmi: V = 1 3 π. r2. h ifadesinden, V = 1 3 3. 32. 4 = 9. 4 = 36 cm 3 olur. ÖRNEK 4. 16 Dik koordinat sisteminde, A (4, 6), O (0, 0) ve B (13, 0) noktalar ndan meydana gelen üçgeni, O x ekseni etraf nda 360 döndürülüyor. Meydana gelen cismin hacmini bulal m. ÇÖZÜM Dik koordinat sisteminde verilen A0B üçgeni, O x ekseni etraf nda 360 döndürülmesi ile, iki dik koni meydana gelir (fiekil 4. 26). fiekil 4. 26 121

Taban AD, tepesi 0 noktas olan koninin yar çap AH = r 1 = 6 cm ve yüksekli i, 0H = h 1 = 4 cm dir. Bu dik dairesel koninin hacmi; V 1 = 1 3 π.r 1 2. h 1 ifadesinden, V 1 = 1 3 π. 62. 4 = 1 3 π. 36. 4 = 48 π cm2 dir. Taban [AD], tepesi B noktas olan koninin taban yar çap, AH = r 2 = 6 cm ve yüksekli i, BH = 0B - 0H = 13-4 = 9, BH = h 2 = 9 cm dir. Bu dik dairesel koninin hacmi: V 2 = 1 3 π. r 2 2.h 2 ifadesinden, V 2 = 1 3 π. 62. 9 = 1 3 π. 36. 9 = 108 π cm3 dür. V = V 1 + V 2 = 48π + 108 π = 156 π cm 3 olur. 122

ÖZET Uzayda, düzlemsel kapal bir C e risi ile, bu düzlemin d fl nda bir T noktas ve-rilsin. T noktas ile, C e risinin her noktas ndan geçen do rular n oluflturdu u yüzeye, konik yüzey denir. Düzlemsel kapal C e risine taban e risi, C e risinin düzlemi d fl ndaki T noktas na tepe noktas, tepe noktas ile, C e risinin her noktas ndan geçerek konik yüzeyi oluflturan do ru parçalar na, konik yüzeyin ana do rular denir. Taban e risi kapal bir e ri olan, konik yüzeyin tüm ana do rular n kesen bir düzlem ile, tepe noktas aras nda kalan cisme koni denir. Verilen düzlem ile konik yüzeyin kesitine koninin taban, tepe noktas n n tabana olan uzakl na koninin yüksekli i, taban çevresini tepeye birlefltiren e ri yüzeye, koninin yanal yüzeyi denir. Koniler tabanlar na göre, dairesel koni, eliptik koni ve yüksekliklerinin taban düzlemine dik olup olmad klar na göre de, dik koni, e ik koni fleklinde adland r l r. Taban daire olan ve yüksekli i taban n merkezinden geçen koniye, dik dairesel koni denir. Dik Dairesel Koninin Özelikleri 1. Dik dairesel koninin taban kenarlar sonsuz say da olan bir düzgün piramittir. 2. Dik dairesel koninin ekseni yüksekli ine efl ve simetri eksenidir. 3. Dik dairesel koninin ana do rular birbirine efltir. 4. Dik dairesel koninin ekseninden geçen bir düzlemle ara kesiti, bir ikizkenar üçgendir. 5. Dik dairesel koninin taban na paralel bir düzlemle kesiti bir dairedir. Dik dairesel koni, bir dik üçgenin dik kenarlar ndan birisi etraf nda, 360 döndürülmesi ile elde edilir. Bu dik dairesel koniye, döner koni denir. Bir dairesel koninin taban na paralel düzlemle kesiti dairedir. Bu dairenin yar çaplar n n oran, tepe noktas n n bu kesitlere olan uzakl klar n n oran na eflittir. Bu e ik dairesel koni içinde geçerlidir. Bir dairesel koni, tabana paralel bir düzlemle kesilirse, kesit dairesinin alan n n taban alan na oran, tepe noktas n n bunlara olan uzakl klar n n, karelerinin oran na eflittir. Bir dik dairesel koninin yanal alan, taban çevresi ile ana do rusunun uzunlu unun çarp m n n yar s n eflittir. Taban çevresi 2. π. r birim ve ana do rusunun uzunlu u a birim olan dik dairesel koninin yanal alan : Y = 1 2 2. π. r. a = π. r. a br2 dir. Dik dairesel koninin tüm alan : S = π. r. a + π r 2 = π. r (a + r) dir. 123

Bir dairesel koninin hacmi, taban alan ile yüksekli inin çarp m n n üçte birine eflittir. Taban yar çap r, yüksekli i h olan dairesel koninin hacmi, Bir dairesel koniyi taban na paralel bir düzlemle kesti imizde, taban ile düzlem aras nda kalan cisme, kesik koni denir. Koninin taban na alt taban, kesite üst taban, iki taban aras ndaki uzakl a, kesik koninin yüksekli i denir. Dik dairesel kesik koninin yanal alan, tabanlar n n çevrelerinin toplam ile, ana do rusunun uzunlu unun çarp m n n yar s na eflittir. Dik kesik koninin alt taban yar çap r 1, üst taban yar çap r 2 ve ana do rusunun uzunlu u a ise, dik kesit koninin yanal alan : Y = 2π.r 1 + 2π.r 2 a 2 = 2π. a r 1 + r 2 2 V = 1 3 π. r2. h dir. Dik koninin tüm alan, alt ve üst tabanlar n alan ile yanal alan n n toplam na eflittir. S = π. r2 1 + π. r2 + π. a r 1 + r 2 dir. = π. a r 1 + r 2 dir. Tabanlar n n yar çaplar r 1 ve r 2, yüksekli i h olan, bir dairesel kesik koninin hacmi, V = 1 3 π. h r 1 2 + r 2 2 + r 1. r 2 dir. 124

ALIfiTIRMALAR 1. Bir dik dairesel koninin taban yar çap 5 cm ve ana do rusunun uzunlu u 13 cm dir. Bu koninin tüm alan n ve hacmini bulunuz (π = 3 al nacakt r). 2. Bir dik üçgenin dik kenarlar n n uzunluklar, 3 cm ve 4 cm dir. Bu dik üçgen uzun dik kenar etraf nda 360 döndürülmesi ile, oluflan cismin tüm alan n ve hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 3. Taban yar çap 15 cm ve yüksekli i 20 cm olan dik dairesel koninin tüm alan n ve hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 4. Tüm alan 75 π cm 2 ve taban yar çap 5 cm olan dik koninin hacmini bulunuz. 5. (fiekil 4.27) deki e ik dairesel konisinde, [TB] ana do rusunun, taban düzlemi ile yapt aç n n ölçüsü 30 dir. 0B = 6 cm ve BT = 18 cm ise, bu e ik dairesel koninin hacmini bulunuz. (π 3 al nacakt r). fiekil 4. 27 6. s A = s D = 90 olan dik yamu unda, AB = BC = 15 cm, CD = 6 cm dir. Bu dik yamu un, [AD] kenar etraf nda 360 döndürülmesi ile oluflan cismin tüm alan n ve hacmini bulunuz. 7. Bir kenar n n uzunlu u 6 cm olan eflkenar üçgenin bir kenar etraf nda dönmesinden meydana gelen cismin hacmini bulunuz. 8. Taban yar çap 6 cm ve yüksekli i 8 cm olan dik dairesel bir koni, tabana paralel ve tepeden 3 cm uzakl kta bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen dik dairesel kesik koninin, hacmini ve tüm alan n bulunuz (π 3 al nacakt r). 125

9. Bir dik dairesel kesik koninin tabanlar n n yar çaplar 5 cm ve 4 cm, yüksekli i 6 cm dir. Bu dik dairesel kesik koninin, tüm alan n ve hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 1 0. Merkez aç s n n ölçüsü 120 olan, daire diliminin yar çap 6 cm dir. Bu daire dili m i k vr larak dik dairesel koni yap l yor. Oluflturulan bu dik dairesel koninin tüm al n n ve hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 11, Taban alan 80 cm 2 olan, dik dairesel koninin yüksekli i 6 cm dir. Bu koni tepesinden 3 cm uzakl kta tabana parelel bir düzlemle kesiliyor. Bu kesitin alan n bulunuz. 12. Alt taban n çevresi 48 cm ve üst taban çevresi 36 cm olan bir dik dairesel kesik koninin ana do rusunun taban düzlemi ile yapt aç n n ölçüsü 60 dir. Ana do rusunun uzunlu u 8 3 cm tüm alan n ve hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). oldu una göre, bu, dik dairesel kesik koninin 13. Taban yar çap 5 cm olan bir dik silindirin içine, ana do rusunun uzunlu u13 cm olan bir dik dairesel koni (fiekil 4.28) deki gibi yerlefltiriliyor. Buna göre, silindir ile dik dairesel koni aras ndaki bofllu un hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). fiekil 4. 28 14. Bir dairesel dik koni tepeden itibaren, yüksekli inin üçte birinden, tabana paralel bir düzlemle kesildi inde, elde edilen küçük dik dairesel koninin hacmi 48 cm 3 oldu una göre, kesik koninin hacmini bulunuz. 15. Taban yar çap 5 cm olan e ik dairesel koninin 18 cm uzunlu undaki ana do rusu taban düzlemi ile 30 lik bir aç yapmaktad r. Buna göre, bu e ik dairesel koninin hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 126

TEST V 1. Taban yar çap 6 cm ve yüksekli i 10 cm olan bir dik dairesel koninin, hacmi kaç cm 3 tür? (π = 3 al nacakt r). A) 240 B) 300 C) 360 D) 420 2. Bir dik dairesel koninin, ana do rusunun uzunlu u 15 cm, yanal alan 180 π oldu una göre, bu dik dairesel koninin hacmi kaç cm 3 tür? A) 320π B) 360π C) 416π D) 432π 3. Dik kenarlar 15 cm, 20 cm olan dik üçgensel bölge, hipotenüsün etraf nda 360 döndürülmesi ile, oluflan cismin hacmi kaç cm 3 tür? (π 3 al nacakt r). A) 1800 B) 2700 C) 3000 D) 3600 fiekil 4. 29 127

4. (fiekil 4.29) daki bir dik dairesel koninin ana do rusu, taban yar çap ile 60 lik bir aç yapmaktad r. Bu dik dairesel koninin yanal alan 96 cm 2 oldu una göre, hacmi kaç cm 3 tür? (π 3 al nacakt r). A) 48 B) 64 C) 116 D) 128 5. Yanal alan 195 cm 2 olan dik dairesel koninin taban yar çap 5 cm dir. Bu dik dairsel koninin hacmi, kaç cm 3 tür? (π = 3 al nacakt r.) A) 259 B) 325 C) 350 D) 400 6. Bir dik dairesel koninin ana do rusu, taban yar çap ile 45 lik bir aç yapmaktad r. Bu dik dairesel koninin taban yar çap 6 cm oldu una göre, hacmi kaç cm 3 tür? A) 72π B) 96π C) 124π D) 216π fiekil 4. 30 s TAB = 30 ve TA = 8 cm oldu una göre, bu dik dairesel koninin hacmi kaç cm 3 tür? π = 3 al nacakt r. 128

7. (fiekil 4.30) daki dik dairesel konide, [AB] taban çap ve [TA] ana do rusudur. A) 180 B) 184 C) 192 D) 196 8. Yar çap 6 cm olan bir daireden, merkez aç s 120 olan bir daire kesmesi kesilip ç kar l yor. Bu daire kesmesi bükülerek bir dik dairesel koni yap l yor. Bu dik dairesel koninin tüm alan kaç cm 2 dir? A) 12 π B) 16 π C) 24 π D) 32 π 9. Bir dik dairesel koninin yüksekli i sabit kalarak, taban yar çap 2 kat na ç karsa, hacmi kaç kat na ç kar? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 10. Bir dik dairesel koninin yanal alan, taban alan n n 4 kat d r. Bu dik dairesel koninin taban yar çap 5 cm oldu una göre, tüm alan kaç cm 2 dir? A) 125π B) 275π C) 300π D) 375π s ACB = 30 dir. fiekil 4. 31 129

11. (fiekil 4.31) deki ABC üçgeninde, [AB] [BC] ve AB = 6 cm, Bu ABC dik üçgenin, [AB] kenar etraf nda 360 döndürülmesi ile, elde edilen cis m i n hacmi kaç π cm 3 tür? A) 208 B) 216 C) 228 D) 236 12. Kesik dik dairesel koninin taban yar çaplar 4 cm ve 6 cm ve yüksekli i 3 cm oldu una göre, bu kesik dik koninin hacmi kaç cam 3 tür? (π = 3 al nacakt r.) A) 192 B) 216 C) 234 D) 234 1 3. Dik dairesel kesik koninin taban yar çaplar 4 cm, 2 cm ve ana do rusunun uzunlu u 3 cm dir. Bun göre, bu dik dairesel kesik koninin tüm alan kaç π cm 2 dir? A) 38 B) 46 C) 52 D) 64 14. Yanal alan 60 π cm 2, taban alan 36π cm 2 olan bir dik dairesel koninin hacmi kaç π cm 3 tür? A) 68 B) 96 C) 120 D) 192 15. Dik dairesel koninin taban yar çap r, yanal ayr t n n uzunlu u a ve yüksekli i h = 4 cm dir. a + r = 8 cm oldu una göre, bu dik dairesel koninin tüm alan kaç π cm 2 dir? A) 16 B) 24 C) 32 D) 40 130

16. Ana do rusunun uzunlu u, yüksekli in 3 kat olan bir dik dairesel koninin, tabanyar çap A) 56 3 B) 64 3 C) 85 3 D) 98 3 4 2 cm oldu una göre, hacmi kaç π cm 3 tür? 17. (fiekil 4.32) deki e ik dairesel konsinde, [TB] ana do rusunun taban düzlemi ile yapt aç n n ölçüsü 60 dir. fiekil 4. 32 0B = 6 cm, TB = 6 3 cm oldu una göre, hacmi kaç π cm 3 tür? A) 72 B)108 C) 144 D) 216 18. Taban yar çap 4 3 cm, yanal alan 52 3 π cm 2 olan bir dik dairesel koninin, hacmi kaç π cm 3 tür? A) 121 B) 138 C) 169 D) 208 131

19. (fiekil 4.33) deki dik yamu unda, BC = 5 cm, CD = 3 cm ve AD = 4 cm dir. Bu yamu un [AB] kenar etraf nda 360 döndürülmesi ile, oluflan cismin alan kaç π cm 2 dir? fiekil 4. 33 A) 48 B) 56 C) 64 D) 72 20. Yüksekli i 8 cm olan bir dik dairesel koninin, ana do rusunun taban düzlemi ile yapt aç n n ölçüsü 30 dir. Bu dik dairesel koninin hacmi, kaç cm 3 tür? (π 3 al nacakt r.) A) 1254 B) 1348 C) 11462 D) 1536 132