AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ Bu konular denge problemelerinden tamamen bağımsızdır. Alanların ağırlık merkezi ve atalet momenti ismi verilen geometrik özelliklerini esaplamaya yöneliktir. Bu esaplamalar mukavemet esaplarında kullanılmaktadır.

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ AĞIRLIK MERKEZİ-GEOMETRİK MERKEZ Tanım: Ağırlık merkezi G, parçacıklar sisteminde ağırlığın bileşkesinin olduğu noktadır. Parçacıların ağırlıklarının paralel kuvvet sistemleri olduğu düşünülür. Ağırlıklar sistemi ağırlık sistemine konacak tek bir ağırlıkla değiştirilebilir. Toplam Ağırlık W R n Wi i1 Ağırlık Merkezi: n n n xw yw z W x y z W W W i i i i i i i1 i1 i1 n n n i i i i1 i1 i1 x, y, z ağırlık merkezinin koordinatları x, y, z i. parçacığın koordinatı W i i i i i. parçacığın ağırlığı Eğer bir yapı sonsuz sayıda partikülden oluşuyorsa ağırlık merkezine integral ifadeleri katılır. x dw y dw z dw x y z dw dw dw x dv y dv z dv V V V x y z dv dv dv V V V yoğunluk d W d V

Geometrik Merkez Tanım: Bir nesnenin geometrik merkezidir. Formülasyonu ağırlık merkezine benzer. İzotropik ve omojen cisimlerde ağırlık merkezi ile geometrik merkez aynıdır. Hacimsel merkez: x dv y dv z dv V V V x y z dv dv dv V V V Alansal merkez: A A A x y z x da y da z da da da da A A A Çizgisel merkez: x dl y dl z dl L L L x y z dl dl dl L L L

Örnek Problem Üçgenin geometrik merkezini bulunuz. ÇÖZÜM: Üçgenin geometrik merkezini iki metodla bulabiliriz. y 1. Şerit metodu: da x dy b da ydy 1 b x y 2 y y A A y da da 0 1 2 b 6 y 1 b 3 2 b y ydy b ydy 0 x A x da da A 0 1 b b y y dy 2 b y dy 0 1 b 2 b x 6 1 3 b 2 2. Çift integral metodu: y 0 0 da dx dy x x y y ( b x ) b b b 2 2 y da ydydx 2 ( b x) dx 2b A 0 0 0 ( b x ) 1 da b b 2 b y A b 2 2 2 2 ( b x) dx 3 2b 2 ( b x) 0 6b 1 1 2b 2b 1 2 b 6 y 1 b 3 2 dydx

Temel Alanların Geometrik Merkezi: Çeyrek daire Yarım daire x = y = 4r 3π x = 4r 3π, y = 0 y = 4r 3π, x = 0 Üçgen Kare, dikdörtgen Tam Daire G, Kenar ortayların kesim noktasındadır. x = b 2, y = 2

Kompozit yapıların geometrik merkezi: Basit yapıların (temel geometrilerin) birleşmesinden oluşmuş karmaşık yapılara kompozit yapılar denir. Bunların geometrik merkezi bulunurken basit yapıların geometrik merkez özelliklerinden yararlanılır. Çözüm Yöntemi: Karmaşık yapı basit geometrili alt parçalara ayrılır. Eğer delik veya kesilmiş kısım varsa bunlar negatif alan gibi düşünülür. Simetri varsa geometrik merkez bu simetri ekseni üzerindedir. Tablo oluşturulur ve çözüm yapılır. Alanlar için: n n n x A y A z A x y z A A A i i i i i i i1 i1 i1 n n n i i i i1 i1 i1

Örnek: Şekildeki alanın geometrik merkezinin koordinatlarını esaplayınız. Çözüm: x eksenine göre simetriklikten dolayı geometrik merkezin y koordinatı sıfır «0» olur.

Örnek: Şekildeki alanın geometrik merkezinin koordinatlarını tablo kullanarak bulunuz. Parça A i (mm 2 ) x i (mm) A i. x i y i (mm) A i. y i = b. 2 = 12.4 2 = 24 = b 3 = 4 3 = 1.33 24x (-1.33)= -31.92 0-24x 0 = 0 4x8 = 8/ 2= 32x4= -4/2 = 32x(-2)= 32 4 128-2 -64 π.8 2 4 = 4.r 3π =4.8 3.π = 50,24x3.4 = 4.r 3π =4.8 3.π = 50.24 3.4 170.82 3.4 170.82 π.22 2 = -6.28x6 = -0.85-6.28x 0.85 = -6.28 6-37.68 5.34 12.5 2 = 30 12 3 = 4 120-4-y = - 4- (5/3)= - 5.67-170.1 S 129.96 349.22-57.94

Eylemsizlik (Atalet) Momentleri: Eylemsizlik kuvveti, cisimlere etkiyen kuvvet. Eylemsizlik kuvveti sistemin ivmesiyle zıt yönde oluşur. Eylemsizlik kuvveti yoktan var edilemez. Var olan enerjiyi cisim yine kendi alini yani areketsiz aline dönmek için kendi areket yönüne zıt bir kuvvet oluşturup kullanır... evrende madde er zaman ilk areketlerini korumak ister, yani duruyorsa durmak areket alindeyse o ızda areke devam etmek ister. Cisme bir kuvvet uygulandığında cisim arekete ters yönde cevap vererek ilk alini korumak isteyecektir. işte bu kuvvet eylemsizlik kuvvetidir. Bir cisme uygulanan içbir kuvvet yoksa ya da cisme uygulana kuvvetlerin bileşkesi 0 ise cisim ya areketsiz kalır ya da düzgün doğrusal areket yapar. Örneğin sıra üzerinde duran bir kitaba dışarıdan bir kuvvet uygulanmadıkça sonsuza kadar bırakıldığı yerde kalır. Başka bir cisme eşit büyüklükte zıt yönde iki kuvvet uygulanırsa kuvvetler birbirini yok edeceğinden cisim areket etmez. Sürtünmesiz bir ortamda bir misketi arekete geçirdiğimizde misket düzgün doğrusal areket yapar. Duran bir otobüste ayaktaki yolcuların aberi olmadan otobüs aniden areket ederse yolcular arkaya doğru itilir. Hareket alindeki bir otobüsün aniden fren yapması sonunda ayaktaki ve oturan yolcuların öne fırlamaları yolcuların bulundukların durumları korumak istemelerinden kaynaklanır. Trafik kazalarında arabaların ön koltuklarında oturanların ani fren sonunda kafalarını cama çarpmamaları için emniyet kemeri takmaları zorunludur. Duran bir cismi erangi bir kuvvet etkilemedikçe sürekli durur. Hareket alindeki bir cismi areketini engelleyecek bir kuvvet etki etmedikçe areketine devam eder. Bu özelliğe eylemsizlik denir. Eylemsizlik Momenti; veya atalet momenti (SI birimi kilogram metrekare - kg m²), dönme areketi yapan bir cismin dönme eylemsizliğidir.

Yapı elemanlarının, 1. Eğilme 2. Burulma esabında 3. Kesitlerde Hesaplarında kullanılan ve I ile gösterilen matematik bağıntıya alanın ikinci momenti veya atalet momenti denir. Müendislikte olmazsa olmaz özelliklerden biridir.

Örnek: Şekilde verilen dikdörtgenin, a. Tabandan geçen eksene göre b. Ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momentinin bulunması.

Paralel Eksen Teoremi: Bir eksene göre atalet momenti belli iken, bu eksene paralel başka bir eksene göre atalet momenti bulunabilir. Şöyle ki: Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene (xg ) göre atalet momenti ( Ixg )belli iken, x eksenine göre atalet momenti : A: Alan, dy : eksenler arasındaki dik uzaklıktır. Paralel eksen teoreminin uygulanması için 2 önemli şart vardır: 1- Eksenler birbirine paralel olmalıdır. 2- Bir eksen mutlaka ağıırlık merkezinden geçmelidir. Benzer şekilde; Ix bilinirken ise Ixg nin bulunması:

Temel Alanların Atalet Momentleri: Tam Daire Yarım daire I x = I y = πr4 4 =π.d4 64 I x = I y = πr4 8 =π.d4 128 Dikkat: Ix ağırlık merkezinden değil, daire merkezinden geçen eksene göredir. Kare, dikdörtgen Çeyrek daire I xg = b3 12 I yg = b3 12 I x = b3 3 I y = b3 3 I x = I y = πr4 16 =π.d4 256 Diktörgen için I xg bilinirken I x i paralel eksen teoreminden de bulabiliriz: I x = I xg + A. d 2 = b3 + b.. ( 12 2 )2 = b3 3

Örnek (2009 final): Tablo kullanarak, şekildeki alanın; a-) ağırlık merkezinin koordinatlarını, b-) şekildeki x eksenine göre atalet momentini, c-) ağırlık merkezinden geçen ve şekildeki x eksenine paralel olan eksene ( x ) göre atalet momentini esaplayınız.

Örnek: Şekilde verilen birleşik kesitin ağırlık merkezine göre atalet momentinin [Ix] Çözüm:

Örnek Sorular: Şekildeki alanların ağırlık merkezinden geçen yatay ve düşey eksenlere göre atalet momentlerini (I xg, I yg ) esaplayınız.