KNC DERECEDEN DENKLEMLER ETSZLKLER ve FONKSYONLAR ÜNTE. ÜNTE. ÜNTE. ÜNTE. ÜNT kinci Dereceden Denklemler. Kazanm kinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin köklerini ve çözüm kümesini belirler.. Kazanm kinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin köklerini veren banty gösterir ve köklerin varln diskriminantn iaretine göre belirler. 3. Kazanm kinci dereceden bir denklemin kökleri ile kat saylar arasndaki bantlar gösterir. 4. Kazanm Kökleri verilen ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi kurar. 5. Kazanm kinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönütürülebilen denklemlerin çözüm kümesini bulur. 6. Kazanm kinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerini açklar ve ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönütürülebilen ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesini bulur. Eitsizlikler. Kazanm f(x) = ax + b ile verilen fonksiyonun alaca deerlerin iaretini inceler ve tabloda gösterir, birinci dereceden bir bilinmeyenli eitsizliklerin çözüm kümesini bulur.. Kazanm f(x) = ax + bx + c eklinde verilen fonksiyonun alaca deerlerin iaretini inceler ve tabloda gösterir, ikinci dereceden bir bilinmeyenli eitsizliklerin çözüm kümesini bulur. 3. Kazanm Birinci veya ikinci dereceden polinomlarn çarpm veya bölümü biçiminde verilen eitsizliklerin çözüm kümesini bulur. 4. Kazanm Birinci veya ikinci dereceden eitsizlik sistemlerinin çözüm kümesini bulur. 5. Kazanm kinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemi çözmeden köklerinin varln ve iaretini belirler. kinci Dereceden Fonksiyonlar. Kazanm f(x) = ax + bx + c eklinde verilen fonksiyonlarn en küçük ya da en büyük deerini hesaplar.. Kazanm kinci dereceden bir fonksiyonun grafiinin tepe noktasn, eksenleri kestii noktalar ve simetri eksenini bulur, fonksiyonun deiim tablosunu düzenler ve grafiini çizer. 3. Kazanm Grafii üzerinde tepe noktas ile herhangi bir noktas ya da herhangi üç noktas verilen ikinci dereceden fonksiyonu bulur. 4. Kazanm ki bilinmeyenli eitsizliin ve eitsizlik sisteminin çözüm kümesini grafik üzerinde gösterir.
KNC DERECEDEN DENKLEMLER KNC DERECEDEN BR BLNMEYENL DENKLEMLER a, b, c R ve a 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 biçimindeki açk önermelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açk önermeyi dorulayan (eer varsa) x reel saylarna denklemin kökleri ve köklerin oluturduu kümeye de denklemin çözüm kümesi denir. Denklemin kökü yoksa, çözüm kümesi Ø dir. a, b, c reel saylarna ise denklemin kat saylar denir. Buna göre aadaki tabloda verilen denklem ve kat saylarn inceleyiniz. KNC DERECEDEN BR BLNMEYENL DENKLEMN ÇÖZÜMÜ Çarpanlarna Ayrarak Denklem Çözme f(x).g(x) = 0 f(x) = 0 g(x) = 0 dr. v v v v ÖRNEK x 3x + = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK (m + n )x n+3 + 3x = 0 denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem olmas için m kaç olamaz? ÖRNEK 3 x 4x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 7
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 4 x 8 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ÖRNEK 8 ÖRNEK 5 x + 3 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? x + 3x 5 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ÖRNEK 6 4x + = 4x denkleminin çözüm kümesi nedir? Diskriminant ( y) Bularak Denklem Çözme kinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem ax + bx + c = 0 olsun. = b 4ac olmak üzere, denklemin kökleri x b + T b T = veya x = dr. a a < 0 ise denklemin reel kökü yoktur. kümesi, dir. ÖRNEK 7 m R olmak üzere, x mx m = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? = 0 ise denklemin eit (çakk) iki kökü vardr. Bu durumda denklem bir tam karedir. kümesi bir elemanldr. > 0 ise denklemin farkl iki reel kökü vardr. kümesi iki elemanldr. 8
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 9 x + x + 3 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ÖRNEK x + x = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ÖRNEK 0 x 6x + 9 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ÖRNEK 3 x + x + k = 0 denkleminin eit iki reel kökünün olmas için k kaç olmaldr? ÖRNEK x x = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ÖRNEK 4 x x + m = 0 denkleminin farkl iki reel kökünün olmas için m ne olmaldr? 9
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 5 x (m )x 3m = 0 denkleminin köklerinden biri nedir? ise dier kökü KNC DERECEYE DÖNÜTÜRÜLEBLEN DENKLEMLER Polinomlarn Çarpm veya Bölümü Biçiminde Verilen Denklemler P(x).Q(x) = 0 P(x) = 0 Q(x) = 0 Px ( ) = 0 P(x) = 0 Q(x) 0 Qx ( ) ÖRNEK 7 x 3 + x 3x = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ÖRNEK 6 x kx + 3 = 0 ve x 3x + k = 0 denklemlerinin birer kökleri ortak ise k kaçtr? ÖRNEK 8 x 5x+ 6 0 x = 4 denkleminin çözüm kümesi nedir? 30
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 9 4 + = x x + 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Deiken Deitirilerek Çözülebilen Denklemler kinci dereceden daha büyük dereceli olan baz denklemlerin çözüm kümesini bulmak için yardmc deiken kullanlarak, ikinci dereceye dönütürüp çözeriz. ÖRNEK x 4 5x + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ÖRNEK 0 3x 4x x + = x + x+ denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 4 x 5 x + 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? 3
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 3 (x x) 8(x x) + = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Köklü Denklemler Kök içinde bilinmeyen bulunan denklemlere köklü denklemler denir. Bu tür denklemler, n fx ( ) = gx ( ) biçimine getirilir ve eitliin her iki yannn n. kuvveti alnarak kökten kurtarlr. Elde edilen yeni denklem çözülerek kökler bulunur. Fakat, kökün derecesi çift ise bulunan köklerin verilen ilk denklemi salayp salamad kontrol edilir. Salamayan kökler çözüm kümesine alnmaz. ÖRNEK 4 9 x 0.3 x + 9 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 6 3x+ = x+ denkleminin çözüm kümesi nedir? ÖRNEK 5 x + x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 3
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 7 3 3 x+ 6 x = 4 denkleminin çözüm kümesi nedir? ÖRNEK 9 x + x+ 3 = x+ denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 8 x+ = 0 x denkleminin çözüm kümesi nedir? 33
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 30 x x+ = x x denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 3 x + x + + = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ÖRNEK 33 x 4x+ 4 x x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Mutlak Deerli Denklemler x R için x 0 ve fx ( ), fx ( ) 0 ise fx ( ) = * fx ( ), fx ( ) < 0 ise ÖRNEK 3 x. x 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? 34
ALIŞTIRMALAR. Aada verilen tablodaki boluklar doldurunuz. 3. x x + m = 0 denkleminin eit iki gerçel kökü varsa m kaçtr? v 4. x x + m + = 0 denkleminin farkl iki gerçel kökü varsa m hangi aralkta deer alr?. Aadaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a. x 5x = 0 b. x 8 = 0 5. Aadaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. c. x + = 0 a. x 4 3x + = 0 d. x 3x + = 0 b. (x x) 8(x x) + = 0 e. x 6x + 9 = 0 4 c. vx 4. x + 3 = 0 f. x x + 4 = 0 d. x + + x = 0 g. x + 5x 3 = 0 h. x 7x + 6 = 0 e. x 8 + = 6 x 35
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar f. x 3x 3 + 4 = 0 x x m. x + x x x = x g. x+ 5 x+ = x x x 3 n. + + = 0 x + x x h. x+ + x+ = 3 3 3 o. x = 3 + x x. x x 4 = 0 p. x 3 x x + = 0 j. x + x 6 = 0 k. x x 8 + = x x + 3 r. x 4x x 4 = 0 l. x + x x 3 x + = 4 x x x x 6. x mx + 4m = 0 denkleminin bir kökü ise m kaçtr? 36
KÖKLER LE KAT SAYILAR ARASINDAK BAINTILAR kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ax + bx + c = 0 denkleminde = b 4ac > 0 olmak üzere, x b + T b T = ve x = a a olduunu biliyoruz. imdi de bu kökler ile a, b, c kat saylar arasnda baz bantlar kuralm. b x+ x = ; a b + T b T b b x+ x = + = = olur. a a a a c x. x = ; x. x a b + T b T ( b) ( T) = = = a a 4a b ( b 4ac) 4ac c = = olur. 4a 4a a b + = ; x x c x + x + = x x x. x b a b = = olur. c c a x x T = ; x x a = b + T b T T T = = olur. a a a a b ac b c b ac x + x = ; x x x x x. x. a + = ^ + h = c m = olur a a a 3 3 3 3abc b 3 3 b c b x + x = ; x x ( x x ) x. x x x a3 + = + 3 3 ^ + h = c m 3 c m a a a 3 3 b 3bc b + 3abc = + = a3 a a3 3 olur. ÖRNEK 34 Aadaki tabloyu inceleyiniz. + v c 37
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 35 x 4x = 0 denkleminin kökleri x ve x olmak üzere, x + x, x.x, +, x x x x, x + x ve x 3 + x 3 deerlerini bulunuz. ÖRNEK 38 x + mx 7 = 0 denkleminin kökleri x ve x olmak üzere, x = x ise m kaçtr? ÖRNEK 36 x + 4x = 0 denkleminin kökleri x ve x olmak üzere, x.x + x.x ifadesinin eiti kaçtr? ÖRNEK 39 x 4mx + = 0 denkleminin köklerinin geometrik ortalamas aritmetik ortalamasna eit ise m kaçtr? ÖRNEK 37 x + 6x + k = 0 denkleminin kökleri x ve x olmak üzere, x x = ise k kaçtr? 38
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 40 x (m + )x + m = 0 denkleminin köklerinin birer eksiinin çarpm ise köklerinin birer fazlasnn toplam kaçtr? ÖRNEK 4 x + x 4 = 0 denkleminin kökleri x ve x ise kaçtr? + x x ÖRNEK 43 x 6x + m = 0 denkleminin kökleri x x m + = 0 denkleminin köklerinin er kat ise m kaçtr? ÖRNEK 4 (m )x + mx + 4 = 0 denkleminin simetrik iki kökü varsa m kaçtr? 39
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 44 x + mx + m = 0 denkleminin kökleri arasnda bir bant bulunuz. m ye bal olmayan ÖRNEK 45 x mx + n = 0 denkleminin bir kökü, x + px + r = 0 denkleminin bir kökü 3 tür. Bu iki denklemin dier kökleri ortak ise m + p kaçtr? KÖKLER VERLEN KNC DERECEDEN DENKLEMN YAZILMASI Kökleri x ve x olan ikinci dereceden denklem (x x ).(x x ) = 0 biçiminde yazlabilir. Çarpma ilemini yaparsak, = x x x x x + x.x = 0 x (x + x ).x + x.x = 0 olur. Bu eitlikte x + x = T ve x.x = Ç yazlrsa x Tx + Ç = 0 bulunur. Aadaki tabloda kökler toplam ve kökler çarpm verilen denklemler yazlmtr. nceleyiniz. Kökler Toplam (x + x ) Kökler Çarpm (x.x ) Denklem 3 x x 3 = 0 4 x + x + 4 = 0 0 x = 0 40
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 46 Aada çözüm kümeleri verilen ikinci dereceden denklemleri yaznz. a) {3, } Rasyonel kat sayl ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin bir kökü a + vb ise dieri a vb dir. b) 5 ' c) { + v, v} ÖRNEK 47 Köklerinden biri + v5 olan rasyonel kat sayl ikinci dereceden denklemi yaznz. ÖRNEK 48 Köklerinden biri ikinci dereceden denklemi yaznz. olan rasyonel kat sayl 4
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 49 x + x = 0 denkleminin kökleri x ve x dir. Kökleri x + ve x + olan ikinci dereceden denklemi yaznz. KNC DERECEDEN K BLNMEYENL DENKLEMLER a, b, c, d, e, f R ve a, b, c saylarndan en az ikisi sfrdan farkl olmak üzere, ax + by + cxy + dx + ey + f = 0 biçimindeki denklemlere ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemi salayan (x, y) reel say ikililerinin kümesine de denklemin çözüm kümesi denir. ÖRNEK 50 x + y = 9 x y = 8 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 5 A = x + 4y + x y + 5 ifadesinin en küçük deeri kaçtr? 4
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 53 x y + x + y = x y = denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 5 x y = 3 x.y = denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. ETKNLK ekildeki ABCD dikdörtgeninde AB = (x + 4) br ve AD = x br, FKE dik üçgeninde, EF = (x + ) br ve FK = (x + 3) br dir. Dikdörtgenin alan, üçgenin alanna eit olduuna göre EK kaç br dir? 43
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ETKNLK Üçüncü Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a, b, c, d R ve a 0 olmak üzere, ax 3 + bx + cx + d = 0 denkleminin kökleri x, x, x 3 olsun. x + x + x 3 = a b x.x.x 3 = a d x.x + x.x 3 + x.x 3 = a c ÖRNEK 54 ÖRNEK 56 x 3 4x + x + m = 0 denkleminin kökleri arasnda x + x = x 3 varsa, x.x kaçtr? bants x 3 + (3m )x + x 8 = 0 denkleminin köklerinden biri dier ikisinin geometrik ortas ise m kaçtr? ÖRNEK 55 x 3 + mx + m + 4 = 0 denkleminin bir kökü ise dier iki kökün toplamn ve çarpmn bulunuz. ÖRNEK 57 x 3 + mx + x + 4 m = 0 denkleminin köklerinin çarpmaya göre tersleri toplam ise m kaçtr? 44
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 58 x + x + n + = 0 ve x 3 + x + mx = 0 denklemlerinin ikier kökleri ortak ise m + n kaçtr? ÖRNEK 60 x 3 + 3x + 4x + = 0 denkleminin köklerinin kareleri toplam kaçtr? ÖRNEK 6 x 3 7x + 6 = 0 denkleminin bir kökü x = ise dier iki kökünü bulunuz. ÖRNEK 59 x 3 mx 6 = 0 denkleminin iki kökü eit ise m kaçtr? 45
ALIŞTIRMALAR. Aadaki tabloyu uygun deerlerle doldurunuz. +. x 3x = 0 denkleminin kökleri x ve x ise (x )(x ) kaçtr? 6. x (m + 0)x + 8 = 0 denkleminin köklerinden biri dierinin kat ise bu kökleri bulunuz. 3. x mx + m = 0 denkleminin kökler toplam kökler çarpmnn 3 kat ise m kaçtr? 4. x 3x + = 0 denkleminin kökleri x ve x dir. Buna göre, x 3 x + x x 3 kaçtr? 7. mx (m + )x + 9m = 0 denkleminin köklerinin aritmetik ortalamas ise geometrik ortalamas kaçtr? 8. x + mx + n = 0 denkleminin köklerinden biri 3, x + kx + p = 0 denkleminin köklerinden biri 4 tür. Bu iki denklemin dier kökleri ortak ise 5. x 3x = 0 denkleminin kökleri x ve x ise x + + x + kaçtr? a. m k kaçtr? b. p n kaçtr? 46
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar 9. Aadakilerden doru olanlarn için bo kutulara D yanl olanlar için bo kutulara Y yaznz. 3. Köklerinden biri v3 olan. dereceden rasyonel kat sayl denklemi bulunuz.. dereceden bir denklemde = 0 ise denklemin eit iki kökü vardr. ax + bx + c = 0 denkleminin simetrik iki kökü varsa b = 0 dr. 4. Köklerinden biri olan rasyonel kat sayl, 3. dereceden denklemi bulunuz.. dereceden bir denklemin köklerinin aritmetik ortalamas geometrik ortalamasna eit ise = 0 dr. ax + bx + c = 0 denkleminde x.x < 0 ise > 0 dr. 5. Kökleri x 3x + = 0 denkleminin köklerinden ikier eksik olan. dereceden denklemi bulunuz. 0. x 4mx + m = 0 denkleminin kökleri arasnda m ye bal olmayan bir bant bulunuz. 6. x 4x = 0 denkleminin kökleri x ve x ise, kökleri x ve x olan. dereceden denklemi bulunuz.. x + ( m)x + + m = 0 x x denkleminin kökleri arasnda + = bants varsa m nin alaca deerler toplam x x kaçtr? 7. mx ( m)x = 0 denkleminin kökleri x ve x dir. Kökleri x ve x olan. dereceden denklemi bulunuz.. Aada çözüm kümeleri verilen. dereceden denklemleri bulunuz. a. {, 3} b. {, } c. {, 4} d. { } 8. (mx) + ( m)x = 0 denkleminin simetrik iki kökü varsa m kaçtr? 47
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar 9. x x 4m + = 0 denkleminin x ve x kökleri için x 3 + x 3 = 7 ise m kaçtr? 4. x 3 + mx + mx + = 0 denkleminin köklerinden biri ise çözüm kümesini bulunuz. 0. x 3x = 0 denkleminin kökleri x ve x dir. Kökleri x x bulunuz. ve x x olan. dereceden denklemi 5. Aada çözüm kümeleri verilen 3. dereceden denklemleri yaznz. a. {,, } b. {, 0, }. x + mx + n = 0 denkleminin kökleri x + px + k = 0 denkleminin köklerinden er fazla ise m p kaçtr?. Kökleri x ve x olan. dereceden bir denklemde x (3 x ) + 3x = 5 x (x ) x = 3 bantlar salanyorsa bu denklemi bulunuz. 6. 3x 3 x + 3x = 0 denkleminde x + x + x 3, x.x.x 3 ve x x + x x 3 + x x 3 deerlerini bulunuz. 7. x 3 3x + x 4 = 0 denkleminin kökleri x, x, x 3 ise + + x x x kaçtr? 3 3. Aadaki 3. dereceden denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a. x 3 x x + = 0 b. x 3 4x + 3x = 0 8. x 3 mx + (m )x 8 = 0 denkleminin köklerinden biri dier ikisinin geometrik ortas ise m kaçtr? 9. x 3 3x + mx 3m + = 0 denkleminin köklerinden biri dier ikisinin aritmetik ortas ise m kaçtr? 48
TEST. x + + = 3 x a x + denkleminin köklerinden biri x = ise a reel says kaçtr? A) B) C) D) E) 4 5 6 5. x = 4x denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir? A) {0} B) {4} C) { 4} D) {0, 4} E) { 4, 4}. x (a + 3)x + a = 0 denkleminin köklerinden biri 3 ise dier kök kaçtr? 6. x (n + )x + n 5 = 0 denkleminin kökler çarpm ise kökler toplam kaçtr? A) 0 B) C) D) 3 E) 4 A) 4 B) 3 C) D) E) 0 3. m + = x 4 x x 3 3x denklemi veriliyor. A = {,, 0,, 3} olmak üzere A kümesindeki elemanlardan biri bu denklemin kökü olduuna göre, m kaçtr? A) 5 3 B) C) 5 D) E) 6 6 6 3 6 7. x + (k + )x 8 = 0 denkleminin reel kökleri x ve x dir. x = x ise, k kaçtr? 3 A) B) C) D) E) 5 4. x + mx 3 = 0 x + denkleminin bir kökü varsa, m nedir? 8. x 5x + n = 0 denkleminin kökleri arasnda x + x = 6 bants varsa, n kaçtr? A) B) 3 5 C) 3 7 D) 3 7 E) A) B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 49
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar 9. x + 5x + a = 0 denkleminin kökleri ve 3 ile orantl olduuna göre, a kaçtr? 3. x 5x + = 0 denkleminin kökleri x ve x ise + ifa- x x desinin eiti nedir? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) v3 B) C) v5 D)v6 E) v7 0. x m(m )x + m + 3 = 0 denkleminin kökleri arasnda + = x. x x x bants olduuna göre, m nin alaca deerler aadakilerden hangisidir? A) ve 9 B) ve 9 C) 9 ve D) ve 5 E) ve 5 4. x + 3x = 0 denkleminin kökleri x ve x olsun. x + 4 nedir? ve x + 4 ü kök kabul eden denklem A) x 5x + = 0 B) x + 5x + = 0 C) x 5x = 0 D) x + 5x = 0 E) x 6x = 0. x 3x + m = 0 denkleminin kökleri x ve x dir. x x = 7 ise m kaçtr? 5. Rasyonel kat sayl x (3m 5)x + n = 0 denkleminde köklerin birisi v3 ise, m + n kaçtr? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) 6 B) 3 C) 6 D) 9 E). x (a 3)x + 3a + = 0 denkleminin kökleri x ve x dir. Kenar uzunluklar x ve x olan bir dikdörtgenin çevresi 6 birim ise bu dikdörtgenin alan kaç birimkaredir? A) 0 B) 4 C) 5 D) 30 E) 3 6. x x 7 = 0 denkleminin kökleri x ve x dir. Kökleri x + ve x + olan ikinci dereceden denklem aadakilerden hangisidir? A) x + 6x 3 = 0 B) x + 6x + 3 = 0 C) x 6x = 0 D) x 6x 3 = 0 E) x 4x 3 = 0. D. B 3. E 4. A 5. D 6. A 7. D 8. D 9. E 0. B. D. C 3. E 4. A 5. D 6. D 50
TEST 3. kümesi {, 3} olan. dereceden denklem aadakilerden hangisidir? A) x + x 6 = 0 B) x 5x 6 = 0 C) x + 5x 6 = 0 D) x x 6 = 0 E) x x + 6 = 0 5. x mx 3m + = 0 denkleminin kökler toplam ise kökler çarpm kaçtr? A) 5 B) 4 C) D) 4 E) 5 6. 4x 7 = x denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?. (a b + ) x b 3x + = 0 denklemi. dereceden bir denklem gösteriyorsa a aadakilerden hangisi olamaz? A) {} B) {4} C) { } D) {, 4} E) {, 4} A) B) 0 C) D) E) 3 7. x+ + x = denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir? 3. x 6x + = 0 denkleminin kökleri x ve x dir. Buna göre x x + x x kaçtr? 5 4 4 A) ' B) ' C) ' 4 5 5 D) 5 6 ' E) ' 4 5 A) B) 8 C) 6 D) 8 E) 8. x + x 3 x x + = 4. x 8x + m + = 0 denkleminin köklerinden biri dierinin 3 kat ise m kaçtr? A) 9 B) 0 C) D) E) 3 denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir? A) ', 3 B) ' 3, C) ', 3 3 3 D) ', E) ', 3 3 53
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar 9. x x + x x + 3 = + x x + x x + denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir? A) {, } B) {} C) {, } D) {} E) {, } 3. x 3mx + 6m + = 0 denkleminin kökleri arasnda m ye bal olmayan bir bant aadakilerden hangisidir? A) x.x + x + x = B) x.x x x = C) x.x (x + x ) = D) x.x = x + x E) x.x + (x + x ) = 0.. dereceden bir denklemin farkl x ve x gerçel kökleri arasnda, x (x + ) + x = m + x (x ) x = m bantlar bulunduuna göre m nin deer aral- aadakilerden hangisidir? A) (, ) B) ( 3, ) C) ( 3, ) D) (, 4) E) R [ 3, ] 4. x + y 0 = 0 x + y 4 = 0 } denklem sisteminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir? A) {(, 3)} B) {(, 3)} C) {( 3, )} D) {(, 3), (3, )} E) {(, 3), (3, )}. (3x ) 3 = (3x ) 5 denklemini salayan farkl x deerlerinin toplam kaçtr? 4 A) B) 5 0 C) D) 3 E) 3 3 3 5. Kökleri, x + mx + = 0 denkleminin köklerinden birer eksik olan. dereceden denklem aadakilerden hangisidir? A) x + x(m + ) + m + = 0 B) x + x(m + ) + m + = 0 C) x + x(m ) + m = 0 D) x + x( m) + m = 0 E) x + x(m + ) + m = 0 0. x + x+ 3x + 3 = denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir? A) ', B) { } C) ', 3 3 D) ' E) ' 3 3 6. m + n = olmak üzere, mx + nx + = 0 denkleminin bir kökü aadakilerden hangisidir? A) B) C) 0 D) E). D. C 3. E 4. C 5. A 6. D 7. D 8. A 9. D 0. E. C. C 3. C 4. D 5. A 6. D 54
TEST 6. x 3 + 4x + mx + 3 = 0 denkleminin kökleri arasnda, x.x.x 3 = x + x bants varsa m kaçtr? 5. x 3 3x + (m + )x + m = 0 denkleminin köklerinden biri dier ikisinin aritmetik ortas ise m kaçtr? A) 3 B) C) D) 4 E) 6 A) B) C) 0 D) E). x 3 + mx 3 = 0 denkleminin kökleri arasnda, bants varsa m kaçtr? x = + x x 3 6. Kökleri, ve 3 olan 3. dereceden denklem aadakilerden hangisi olabilir? A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 3. x 3 + x 4 = 0 denkleminin köklerinin iaretleri için aadakilerden hangisi dorudur? A) x 3 4x + x + 6 = 0 B) x 3 + 4x 5x 6 = 0 C) x 3 4x + 5x + 6 = 0 D) x 3 + 4x 5x + 6 = 0 E) x 3 4x 5x + 6 = 0 A) ki kök pozitif bir kök negatiftir. B) ki kök negatif bir kök pozitiftir. C) Üç kök de negatiftir. D) Üç kök de pozitiftir. E) Köklerin biri 0, dierleri negatiftir. 7. x 3 5x + x 4 = 0 denkleminin kökleri x, x ve x 3 ise x + x + x 3 kaçtr? A) 5 B) 4 C) 3 D) E) 4. x 3 (m + )x + (m + 6)x 6 = 0 denkleminin kökleri ardk üç tam say ise m kaçtr? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 8. x 3 (m + )x + (m + )x 6 = 0 denkleminin kökleri x, x ve x 3 tür. x.x = ise x + x + x 3 kaçtr? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 59
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar 9. x 3 x x + = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? A) {, 0, } B) {,, } C) {, } D) {, } E) {, } 3. x 3 + mx mx + m 5 = 0 denkleminin bir kökü dir. Bu denklemin dier iki kökünün çarpmaya göre terslerinin toplam kaçtr? 5 5 A) B) C) D) 5 E) 3 0. x 3 x x + m + = 0 denkleminin kökleri x, x ve x 3 tür. x + x = 4 ise x.x.x 3 kaçtr? A) B) C) 0 D) E) 4. x 3 + mx + x m = 0 denkleminin kökleri 3 + + = koulu- x x x nu salyorsa m kaçtr? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E). x 3 ax + bx 8 = 0 denkleminin köklerinden biri dier ikisinin geometrik ortas ise kaçtr? a b A) B) C) D) E) 3 5. x 3 + mx 6 = 0 denkleminin iki kökü eit ise m kaçtr? A) B) 8 C) 6 D) 6 E). x 3 x + mx + = 0 ve x x + n = 0 denkleminin ikier kökleri ortak ise m n kaçtr? A) B) C) 0 D) E) 6. x 3 + 4x + x = 0 denkleminin köklerinin kareleri toplam kaçtr? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E). E. A 3. B 4. C 5. C 6. A 7. E 8. B 9. C 0. A. C. D 3. B 4. C 5. A 6. E 60
ETSZLKLER Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eitsizliklerin ü a ve b reel saylar ve a 0 olmak üzere, ax + b > 0 ax + b 0 ax + b < 0 ax + b 0 biçiminde ifade edilen açk önermelerin herbirine, birinci dereceden bir bilinmeyenli eitsizlik denir. Bu eitsizliklerin çözüm kümesi bulunurken y = ax + b nin iaret incelemesi aadaki gibi yaplr. ax + b = 0 x = a b olacandan iaret incelemeyi bu köke göre aadaki gibi yaparz. ÖRNEK 6 3x 6 > 0 eitsizliinin çözüm kümesi nedir? ÖRNEK 63 x 3x+ 3 6 eitsizliinin çözüm kümesi nedir? ÖRNEK 64 8x < x 5 olduuna göre, x in en büyük tam say deeri kaçtr? 6
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar kinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eitsizliklerin ü a, b, c R ve a 0 olmak üzere, ax + bx + c > 0 ax + bx + c 0 ax + bx + c < 0 ax + bx + c 0 biçiminde ifade edilen eitsizliklerin herbirine, ikinci dereceden bir bilinmeyenli eitsizlik denir. y = ax + bx + c nin görüntü kümesinin iareti, x nin kat says olan a ya ve ya (diskriminanta) baldr. > 0 durumunda = 0 durumunda < 0 durumunda ÖRNEK 65 x x 3 < 0 eitsizliinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 66 x + 7x 6 0 eitsizliinin çözüm kümesini bulunuz. 6
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 67 x 4x + 4 0 eitsizliinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 69 3x x + 4 0 eitsizliinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 70 (x x).(x + 3) < 0 eitsizliinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 68 x + 3x 3 < 0 eitsizliinin çözüm kümesini bulunuz. 63
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar II. Yol: Çarpm veya bölüm durumunda olan ifadelerin ba kat saylar alnarak çarplr. Çkan sonucun iareti, tablonun en sadaki aralnn iaretidir. Dier aralklarda iaret deitirilerek yazlr. Eer çift kat kök varsa, yani ayn kökten veya nin kat kadar bulunmusa, bu kökün sandaki ve solundaki iaret ayndr. imdi verilen eitsizlii bu yolla çözelim. Köklerimiz 3, 0 ve olup birer tanedir. Yani çift katl kök yoktur. x x in ba kat says:. = olup x + 3 ün ba kat says: } ÖRNEK 7 x < x eitsizliinin çözüm kümesini bulunuz. tabloda en sadaki araln iareti + dr. O halde, Ç = (, 3) (0, ) dir. ÖRNEK 7 ( x ).( x 3x 4) 0 x + 4 eitsizliinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 73 4 5 ( x) ( x ) x + 0 eitsizliinin çözüm kümesini bulunuz. 64
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 74 ( x 4)( x 4) 0 x eitsizliinin çözüm kümesini bulunuz. ETSZLK SSTEM Birden fazla eitsizliin oluturduu sisteme, eitsizlik sistemi denir. Eitsizlik sistemindeki her eitsizliin çözüm aral ayr ayr bulunur. Bulunan aralklarn kesiim kümesi eitsizlik sisteminin çözüm kümesidir. ÖRNEK 76 x > 0 x 4 < 0 3 eitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir? ÖRNEK 75 x + + 0 x 4x+ 3 eitsizliinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 77 + x < 4 < x + 6 eitsizlik sisteminin çözüm aral nedir? 65
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 78 x 4 < x + < x eitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir? kümesi Ç = (4, 6) olur. ÖRNEK 80 x 6 x < eitsizliinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 79 x _ > 0 6 x b 4 ` < 0 x 6 b a eitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz. 66
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar KNC DERECEDEN BR BLNMEYENL DENKLEMN KÖKLERNN ARET ax + bx + c = 0 denkleminin kökleri x ve x olsun. = b 4ac olmak üzere, bu denklemin çözüm kümesini bulmadan, köklerinin iareti ile ilgili aadaki yorumlar yapabiliriz. ÖRNEK 8 x 5x + = 0 denkleminin köklerini bulmadan varln ve iaretini inceleyiniz. ÖRNEK 8 (m )x 4x + m 4 = 0 denkleminin ters iaretli iki gerçel kökü varsa m nin deer araln bulunuz. 67
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 83 x + x m + = 0 denkleminin ayn iaretli iki kökünün olmas için m hangi aralkta deer almaldr? x < 0 < x > 0 dr. x < 0 < x x.x < 0 c < 0 c.a < 0 olacandan a = b 4ac > 0 bulunur. ÖRNEK 85 (a + )x + (a )x + = 0 denkleminin pozitif farkl iki kökünün olmas için a reel says hangi aralkta deer almaldr? ÖRNEK 84 (m + )x + (m + 4)x m + 4 = 0 denkleminin kökleri arasnda x < 0 < x ve x > x koullar salandna göre, m hangi aralkta deer alr? 68
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ax + bx + c > 0 veya ax + bx + c < 0 Eitsizliklerinin x R çin Salanmas. Her x R için ax + bx + c > 0 a > 0 ve < 0 ax + bx + c < 0 a < 0 ve < 0 dr. ÖRNEK 86 mx (4 m)x + > 0 eitsizliini x R için salanyorsa m nin deer araln bulunuz. ETKNLK kinci Dereceden Bir Denklemin Köklerinin k R Says le Karlatrlmas k R, f(x) = ax + bx + c olmak üzere k says kökler arasnda (x < k < x ) ise a.f(k) < 0 olmaldr. (Ayrca > 0 incelemeye gerek yoktur.) k says her iki kökten küçük (k < x < x ) ise > 0, a.f(k) > 0 ve b k < olmaldr. a k says her iki kökten büyük (x < x < k) ise b > 0, a.f(k) > 0 ve k > olmaldr. a ÖRNEK 88 mx + (m )x m + = 0 denkleminin kökleri x ve x dir. x < < x hangi aralkta deer almaldr? ise m ÖRNEK 87 (m )x (m )x + m 3 < 0 eitsizlii x R için salanyorsa, m nin deer araln bulunuz. 69
ALIŞTIRMALAR 3. Aadaki eitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. a. 4 x < 0 j. x > 0 4 x k. x < x + b. x x > 0 l. (x 4)(x 3)( x) 0 c. x + < 0 m. x 3 4x d. x x + 0 n. x (x 4) < 0 e. x 4x + 4 > 0 o. xx ( )( x + ) 0 x > x+ 6 p. x 4x+ 3 0 x3 3x+ x f. x + x + 3 < 0 r. xx ( )( x 4) > 0 x g. x x 0 s. ( x )( x x ) 0 x 4x+ 4 h. x > 0 x 4 t. x ( 3 + )( x 4) 0 9 x. < 3 x u. x + + 0 4 x 70
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar. Aadaki eitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz. 3. Aadaki ifadelerden doru olanlar için bo kutulara D yanl olanlar için Y yaznz. a. (x ) < 3 (x 4) + > 0 = 0, x.x > 0 ve x + x > 0 ise x = x > 0 dr. b. x < x < x + c. < < x = 0, x.x > 0 ve x + x < 0 ise x = x < 0 dr. x.x < 0 ise x < 0 < x dir. d. < < x > 0, x.x > 0 ve x + x > 0 ise x > x > 0 dr. e. x x > 0 x + x 0 f. < x x < 6 g. x 3x < 4 = 0, x.x > 0 ve x + x < 0 ise x < 0 < x dir. 4. ax + bx + c = 0 denkleminin kökleri x ve x dir. ax + bx + c < 0 ise aadakilerden doru olanlar için bo kutuya D yanl olanlar için Y yaznz. h. x > x x < x > 0 ve a > 0 ise, Ç = {x, x } < 0 ve a > 0 ise, Ç = Ø. x 4 < 0 x 3 x 9 < 0 x < 0 ve a < 0 ise, Ç = R = 0 ve a < 0 ise, Ç = R j. x 4x + 3 0 x < = 0 ve a > 0 ise, Ç = Ø 7
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar 5. Aadaki denklemlerin köklerini bulmadan köklerinin iaretlerini tespit ediniz. a. 3x x 4 = 0 8. x (m 4)x + m 4 = 0 denkleminin farkl iki pozitif kökü varsa m nin deer araln bulunuz. b. x 3x + = 0 9. (m )x + mx + m + = 0 denkleminin gerçel kökleri x ve x dir. x < 0 < x ve x > x ise m hangi aralkta deer alr? c. x + 6x + = 0 d. 3x 4x = 0 e. x + x = 0 0. x mx + (m ) = 0 denkleminin kökleri x ve x dir. x < 0 < x ve x < x ise m nin deer araln bulunuz. 6. mx 3mx + m = 0 denkleminin ters iaretli iki kökünün bulunmas için m ne olmaldr?. (m + )x + (m )x + > 0 eitsizlii x R için salanyorsa m nin deer araln bulunuz. 7. (m + )x 4x + m + 4 = 0 denkleminin ayn iaretli iki farkl gerçek kökü varsa m hangi aralkta deer alr?. x (m + )x + m + > 0 eitsizlii x R için salanyorsa m nin deer araln bulunuz. 7
TEST 7. 3x 0 + x 5 eitsizliinin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir? A) [0, 4] B) (, 4] C) (, 4] D) [ 4, ) E) [4, ) 5. x < 4 x eitsizliini gerçekleyen x gerçel deerleri hangi aralkta bulunur? A) (, 3] B) [, 4) C) [, ) D) [, 3) E) (, 3) (6, ). (x 4).(x 3x 4) 0 eitsizliini salayan x tam saylarnn toplam kaçtr? A) 0 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 6. ( x)( x 4) x 6 0 eitsizliini gerçekleyen x tam saylar kaç tanedir? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 7. 3 ( x 4) 0 x 7x+ 0 eitsizliini salayan kaç tane tam say vardr? 3. x tam say olmak üzere (x 9).(x + 5) 0 eitsizliinin çözüm kümesi kaç elemanldr? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 4. + x x 8 0 ( x 4) eitsizliini salayan kaç tane tam say vardr? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 8. x x 5 x eitsizliinin çözüm kümesi nedir? A) (, 4] B) [, ) C) [, 4] D) [, ) [4, ) E) (, ] (, 4] 73
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar x 9. x x + eitsizliini gerçekleyen kaç tane negatif olmayan tam say vardr? A) B) C) 3 D) 4 E) 5 3. 3 > x 4 eitsizlik sisteminin çözüm x 3x 4 < 0 aral aadakilerden hangisidir? A) (, 3) B) (3, 4) C) (, 4) D) (0, 3) E) (, ) 0. x 0 5 < x x 4 x + eitsizliini salayan reel saylar hangi aralkta bulunur? A) (, 5) B) (, ) (, 5) C) (, 5) D) (5, ) E) (, ) (, 5) 3 < 0 4. x 4 x + 3x 0 eitsizlik sistemini salayan aralk aadakilerden hangisidir? A) ( 3, 0) B) (0, ) C) (, 4] D) (0, ] E) (, 4). 3 x > 0 x x eitsizliini salayan aralk hangisidir? 5. x _ x 0 b x 9< 0 ` x + > 0 b a sisteminin çözüm kümesi hangisidir? A) (, 0) B) (, ) (, ) C) (, ) D) (, ) (, ) A) ( 3, ) B) ( 3, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) E) (, )(, ) 6. ( m + )x (m )x + m + 3 = 0. x + x 6 > 0 x 3x 4 < 0 sisteminin çözüm aral hangisidir? A) (, 3) B) ( 3, ) C) (, ) D) (, 4) E) (4, ) denkleminin kökleri x ve x dir. x < 0 < x ve x > x ise m nin alabilecei deerler hangi aralktadr? A) (, 3) B) (, ) C) (, 3) D) (, 3) E) (, ). B. E 3. E 4. C 5. D 6. D 7. B 8. E 9. B 0. A. B. D 3. D 4. E 5. D 6. B 74
TEST. x x 0 eitsizliinin çözüm kümesi nedir? x A) (, ) B) (, ) C) [0, ) D) (, 0] E) (0, ) x 5. < < eit siz li i nin çö züm kü me si nedir? x A) c 3, m B) (0, ) C) c, 3m 3 3 D) (, 0) E) c0, m 3. x 3x 0 0 ( x + ) eit siz li i nin çö züm kü me si nedir? 6. x < 8x 5 eitsizliinin çözüm kümesi nedir? A) [, 5] B) (, ] C) (, ) D) [ 5, ] E) [, 5] { } A) (3, 5) B) (, 3) C) (, 5) D) (3, ) E) (, 3) 3. eitsizliinin çözüm kümesi nedir? x A) (, 0) B) (0, ) C) (0, ] D) [, ) E) (, ] 7. x 6 0 eit siz li i ni sa la yan x tam x 7x+ sa y la r nn top la m kaçtr? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 4. ( x 4)( 3 x) < 0 ( x ) x aadakilerden hangisidir? eitsizliinin çözüm kümesi 8. (5 m)x (m + )x + 3 m < 0 eitsizliinin daima salan ma s için m han gi ara lk ta ol ma ldr? A) (, 0) (, 3) B) (, ) (3, ) C) (, 0) (, ) D) (0, ) (3, 5) E) (, ) A) c, 3m B) c, 3m C) (, 0) D) (0, ) E) c 3, m 8
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar 9. ( x) ( x ) x ne dir? 3 x 0 eitsizliinin çö züm kü me si 3. x < x < x + 0 eitsizlik sisteminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir? A) (0, ) B) (, ) (3, ) A) (0, ) B) ( 4, 5) C) (0, ) D) (0, ) {} C) ( 4, ) D) (, 0) (, ) E) (, 0) {} E) ( 4, 0) (, 5) 0. x eitsizliini salayan kaç tane x tam x + says vardr? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 4. 3x + 4 > 0 x 6x+ m eitsizlii her x reel says için salandna göre, m aadaki aralklarn hangisinde deer alr? A) (, 4) B) (, 0) C) ( 4, 0). (m 4)x 3x + m + = 0 denkleminin ters iaretli iki reel kökünün olmas için m hangi aralkta deer almaldr? A) (, ) B) (, 4) C) (, 4) D) (, ) E) (4, ) D) ( 4, ) E) (0, ) 5. f(x) = x + 9x ve g(x) = 3x + 6 olmak üzere, (fog)(x) < 0 eitsizliinin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir? A) (, 5) B) (0, ) C) (0, 5) D) (, ) E) (5, ). x + (k + )x + 4 = 0 denkleminin farkl iki reel kökünün olmas için k hangi aralkta deer almaldr? A) (, 5) B) ( 5, 3) C) ( 3, 5) D) (, 3) (5, ) E) (, 5) (3, ) 6. x+ a 0 bx + 3 eitsizliinin çözüm aral [, ) olduuna göre, a + b kaçtr? A) 0 B) C) D) 3 E) 4.D.E 3.C 4.A 5.C 6.A 7.B 8.E 9.E 0.D.C.E 3.E 4.A 5.A 6.B 8
KNC DERECEDEN FONKSYONLAR a, b, c R ve a 0 olmak üzere f: R R, f(x) = ax + bx + c biçiminde tanmlanan f fonksiyonlarna ikinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyonlar denir. Bu fonksiyonlarn grafiklerine ise parabol ad verilir. y = f(x) = ax Fonksiyonunun Grafii a > 0 ise deiim tablosu; a < 0 ise deiim tablosu; eklinde olup x R için y = ax 0 dr. Parabolün kollar yukar doru olup, tepe noktas da O(0, 0) dr. eklinde olup x R için y = ax 0 dr. Parabolün kollar aa doru olup, tepe noktas da O(0, 0) dr. ÖRNEK 89 f(x) = x fonksiyonun grafiklerini çiziniz. ÖRNEK 90 f(x) = 3x fonksiyonun grafiklerini çiziniz. 83
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 9 ÖRNEK 9 Yanda verilen parabol grafiklerine göre a, b ve c yi sralaynz. ekilde y = x parabolünün grafii verilmitir. 3 OABC bir kare ise A(OABC) kaç br dir? y = ax + c Fonksiyonunu Grafii y = ax fonksiyonunun grafiini y ekseni üzerinde c kadar kaydrrsak y = ax + c fonksiyonunun grafiini elde ederiz. O halde, y = ax + c fonksiyonunun grafiinin tepe noktas T(0, c) dir. ÖRNEK 93 y = x + fonksiyonunun grafiini çiziniz. ÖRNEK 94 y = x + 4 fonksiyonunun grafiini çizelim. 84
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar y = f(x) = ax + bx + c Fonksiyonunun Grafii f: R R, y = f(x) = ax + bx + c fonksiyonunun grafiini (parabol) çizebilmek için aadaki ilemler yaplmaldr. Parabolün kollarnn yönü tesbit edilir. a > 0 ise kollar yukar dorudur. a < 0 ise kollar aa dorudur. Parabolün tepe noktas bulunur. y = ax + bx + c parabolünün tepe noktas T(r, k) olmak üzere, b r = ve k = f(r) = a 4ac b dr. 4a Parabolün eksenleri kestii noktalar bulunur. x = 0 f(0) = c olup parabol y eksenini (0, c) noktasnda keser. y = 0 ax + bx + c = 0 olur. Burada, < 0 ise parabol x eksenini kesmez. = 0 ise parabol x eksenine teettir. > 0 ise parabol x eksenini farkl iki noktada keser. Bulunan bu noktalar birletirilirse parabol çizilmi olur. Parabolün en büyük ya da en küçük deerini ald noktaya parabolün tepe noktas denir ve T(r, k) ile gösterilir. a < 0 iken kollar aa doru olur. x = r için k = f(r) parabolün en büyük deeridir. a > 0 iken kollar yukar doru olur. x = r için k = f(r) parabolün en küçük deeridir. Parabol x = r yani x = b a dorusuna göre simetriktir. Yani, x = r dorusu parabolün simetri eksenidir. 85
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 95 f(x) = x x 3 fonksiyonunun grafiini çizelim. ÖRNEK 96 f(x) = x + 4x 4 fonksiyonunun grafiini çizelim. ÖRNEK 97 f(x) = x 3x + m fonksiyonunun grafii x eksenine teet ise m kaçtr? 86
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 98 f(x) = x x + 3 fonksiyonunun grafiini çizelim. ÖRNEK 00 f(x) = x + x + m 4 parabolünün alabildii en büyük deer 4 ise m kaçtr? ÖRNEK 0 Grafii verilen f(x) parabolü A(, ) ve B(4, ) noktalarndan geçtiine göre, x eksenini kestii noktalarn apsisleri toplam kaçtr? ÖRNEK 99 f(x) = 3x (m + )x + parabolünün simetri ekseni x = dorusu olduuna göre, m kaçtr? 87
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar y = a(x r) + k Fonksiyonunun Grafii y = a(x r) + k fonksiyonunun tepe noktas T(r, k) olup grafii aadaki gibidir. Yukardaki grafik a > 0 durumu için çizilmitir. a < 0 iken tepe noktas yine T(r, k) dr. Ayrca x = 0 için y, y = 0 için x deerleri bulunarak (varsa) eksenleri kesen noktalar da iaretlenir. ÖRNEK 0 y = (x ) + fonksiyonunun grafiini çizelim. ÖRNEK 03 y = (x + ) + 4 fonksiyonunun grafiini çizelim. 88
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar. Grafii Verilen Bir Parabolün Denklemini Bulma ÖRNEK 05 Yanda grafii verilen parabolün denklemini bulunuz. Eksenleri kestii noktalar verilen parabolün denklemini bulmak için, f(x) = a.(x x )(x x ) yazlr. (0, c) noktas bu denklemde salatlarak a kat says da bulunur.. Tepe noktas ile herhangi bir noktas verilen parabolün denklemi, y = a.(x r) + k eklindedir. Verilen (0, c) noktas da salatlarak a kat says bulunur. ÖRNEK 06 ÖRNEK 04 Yanda grafii verilen parabolün denklemini bulunuz. Yanda grafii verilen parabolün denklemini bulunuz. 89
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar BR PARABOL LE BR DORUNUN DURUMU y = ax + bx + c parabolü ile y = mx + n dorusunun denklemleri ortak çözülürse, y = ax + bx + c 4 ax + bx + c = mx + n ax + (b m)x + c n = 0 olur. y = mx + n Bu denklemde; > 0 ise doru, parabolü farkl iki noktada keser. = 0 ise doru, parabole teettir. < 0 ise doru ile parabolün ortak noktas yoktur. Yani kesimezler. ÖRNEK 07 ÖRNEK 08 f(x) = x x + parabolü ile y = x dorusunun birbirlerine göre durumlarn inceleyiniz ve varsa kesim noktalarn bulunuz. y = x x + m + parabolü ile y = x + dorusunun birbirine teet olmas için m kaç olmaldr? 90
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 09 y = x x + 3 parabolünün y = x dorusuna en yakn noktasnn koordinatlar nedir? ÖRNEK 0 y = x x + parabolü ile y = x + 3 dorusunun kesim noktalar A ve B dir. [AB] nn orta noktasn bulunuz. 9
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ki Bilinmeyenli Eitsizliklerin Grafikle ü Bir eitsizlii salayan bütün noktalarn koordinat düzleminde iaretlenmesiyle oluan ekil, bu eitsizliin grafiidir. y < mx + n ve y > mx + n eitsizlikleri, y = mx + n dorusunun düzlemde ayrd farkl iki yar düzlemi gösterir. Eitsizliklerin çözüm kümesini analitik düzlemde göstermek için önce y = mx + n dorusu çizilir. Bu doru üzerinde olmayan herhangi bir nokta seçilir. Seçilen bu nokta eitsizlii salyorsa noktann bulundu- u yar düzlem, salamyorsa dier yar düzlem eitsizliin çözüm kümesi olarak taranr. y mx + n veya y ax + b eitsizliklerin grafii çizilirken y = ax + b dorusu da çözüme dahil edilir. y > ax + bx + c ve y < ax + bx + c eitsizliklerinin grafikleri çizilirken de y = ax + bx + c parabolü çizilerek yukardaki yöntem uygulanr. ÖRNEK y x + 4 eitsizliini salayan (x, y) noktalarnn kümesini analitik düzlemde gösteriniz. ÖRNEK y > 4 x eitsizliinin grafiini çiziniz. 9
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar ÖRNEK 3 y x x y < x eitsizlik sistemini salayan noktalar analitik düzlemde gösteriniz. ÖRNEK 4 y x 4 y > x + x eitsizlik sistemini salayan noktalar analitik düzlemde gösteriniz. ETKNLK Bir tanktan frlatlan topun t. saniyedeki yükseklii (metre cinsinden) f(t) = t + 6t 3 fonksiyonu ile modellenmitir. Buna göre bu cismin yerden yükseklii kaçnc saniyelerde 5 metre olur? 93
ALIŞTIRMALAR 4. Aadaki fonksiyonlarn grafiklerini çiziniz. g. y = x x + a. y = x b. y = x + h. y = x x + 4 c. y = 3x 3. y = (x ) + 4 d. y = x 4x + 3 j. y = 3(x + ) 3 e. y = x x k. y = (x ) f. y = 3x x l. y = (x + 3) 94
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar. Aadaki fonksiyonlarn simetri eksenlerini ve varsa en büyük ya da en küçük deerlerini bulunuz. f. y = x + x a. y = x g. y = 3(x ) + b. y = 4x + c. y = x 4x + h. y = (x + ) 4 3. Aadaki ifadeler doru ise bo kutulara D yanl ise Y yaznz. y = ax parabolünde a büyüdükçe parabolün kollar y eksenine yaklar. d. y = x + 4x y = ax + c parabolünün simetri ekseni x = 0 dorusudur. y = ax + bx + c fonksiyonunda a > 0 ise y nin en büyük deeri vardr. e. y = x 4x x R için ax + bx + c > 0 ise a > 0 ve > 0 dr. 95
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar 4. y = (m )x mx + parabolünün simetri ekseni x + = 0 dorusu ise m kaçtr? b. 5. f(x) = x mx + m + 3 fonksiyonunun en küçük deeri ise m nin alabilecei deerler toplam kaçtr? c. 6. y = x + x + m + fonksiyonunun en büyük deeri ise m kaçtr? 7. Aada grafikleri verilen parabollerin denklemlerini bulunuz. a. d. 96
e. kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar 0. Aadaki eitsizliklerin grafiklerini çiziniz. a. y > x b. y x f. c. y (x ) + 8. y = x x + 4 parabolü ile y = x + dorusunun varsa kesim noktalarn bulunuz. d. y x x 9. y = x x + m parabolü y = x dorusuna teet ise m kaçtr? e. y x + 4 97
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar. y = x x + m parabolü ile y = x m dorusu iki noktada kesiiyorsa m nin deer aral nedir? c. y < x x y x. y = x x + 3 parabolünün y = x + dorusuna en yakn noktasn bulunuz. d. y > x y x + 3. y = x x + parabolü ile y = x + 5 dorusunun kesim noktalar A ve B dir. [AB] nin orta noktasn bulunuz. e. x < y x 4. Aadaki eitsizlik sistemlerinin grafiklerini çiziniz. a. y x + y x b. y x y > x f. y y x + 98
TEST. y = mx mx + parabolünün tepe noktasnn y = dorusu üzerinde olmas için m kaç olmaldr? A) 4 B) C) 4 D) 6 E) 8 5. f(x) = x 6x + m fonksiyonunun en küçük deeri 5 ise m nedir? A) 5 B) 0 C) D) 5 E) 8. f(x) = x 4x + p fonksiyonunun minimum deeri 6 ise, fonksiyonun y eksenini kestii noktann ordinat nedir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 6. y = x (3m 5)x + fonksiyonu en küçük deerini x = noktasnda almaktadr. Buna göre, fonksiyonun en küçük deeri nedir? A) B) C) D) E) 3 3. f(x) = x 4mx + n parabolünün tepe noktasnn (, 3) olmas halinde y eksenini hangi noktada keser? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 7. f(x) = a(x ) + k fonksiyonunun en büyük deeri dir. Bu fonksiyonun geçtii noktalardan biri A(, 3) ise f(0) kaçtr? A) 0 B) C) 3 D) 4 E) 6 4. f(x) = mx x + 3 parabolünün x eksenine göre simetrii (, ) noktasndan geçtiine göre, m nedir? A) B) C) 0 D) E) 8. y = x mx + m + parabolleri ile y = mx 3 dorularnn teet olmas için, m nin alabilecei deerler çarpm kaçtr? A) 4 B) C) 0 D) E) 4 99
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar 9. f(x) = x 4x + parabolünün tepe noktasnn koordinatlar aadakilerden hangisidir? 3. f(x) = mx + (m )x + m + 3 fonksiyonu T(, k) noktasnda en büyük deerini aldna göre, m kaçtr? A) (, ) B) (, ) C) (, ) A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) D) (, ) E) (, 0) 0. Yandaki ekilde verilen parabolün tepe noktasnn koordinatlar toplam kaçtr? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) 4. Yandaki ekilde verilen y = ax + bx + c parabolünün tepe noktas T dir. Buna göre, a, b, c kat saylarnn iaretleri srasyla aadakilerden hangisidir? A) +, +, + B) +, +, C) +,, +. Yandaki ekilde grafii verilen y = x + bx parabolü x eksenini A ve B noktalarnda kesmektedir. AB = 4 birim olduuna göre, b nin pozitif deeri kaçtr? A) 3v B) v3 C) v3 D) v6 E) v6 D) +,, E), +, 5. Yandaki ekilde verilen y = ax + bx + parabolüne göre, OABC dikdörtgeninin alan kaç br dir?. Yandaki ekilde y = (fog)(x) fonksiyonunun grafii verilmitir. f(x) = x + olduuna göre g() kaçtr? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) 6. f(x) = x 4x + m fonksiyonunun grafii x eksenine teet olduuna göre, m kaçtr? A) 4 B) C) 0 D) E) 4 A) 4 B) 7 C) 3 D) 5 E). E. E 3. D 4. B 5. D 6. C 7. E 8. E 9. A 0. D. E. B 3. A 4. B 5. C 6. D 00
TEST 6. ekildeki y 5. y y = x + x 6 parabolünün eksenleri kestii noktalarn koordinatlarnn toplam olan a + b + c kaçtr? a O c b x O 3 x A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 ekildeki parabolün simetri ekseninin y eksenine olan uzakl kaç br dir? A) 3 B) C) D) 3 E). y = x + (m )x m 4 parabolünün x eksenini kestii noktalardan birinin apsisi ise parabolün y eksenini kestii noktann ordinat kaçtr? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 6. y C B 3. y = x + mx m parabolü x eksenine teet olduuna göre, m kaçtr? x O A 6 ekilde verilen y = f(x) parabolünün tepe noktas B olmak üzere, OABC karesinin alan kaç birimkaredir? A) 6 B) 9 C) D) 6 E) 36 A) 4 B) C) 0 D) E) 4 4. y = x + mx + 4 parabolünün tepe noktasnn analitik düzlemin IV. bölgesinde olmas için m aadaki aralklarn hangisinde deer almaldr? A) (4, ) B) ( 4, 4) C) (, 0) D) (, ) E) (, 4) 7. y = (x ) + 3 parabolünün x = dorusuna göre simetriinin denklemi aadakilerden hangisidir? A) y = x 6x + B) y = x 6x + 9 C) y = x x + D) y = x x + 9 E) y = x 6x + 3 07
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar 8. y y=x +4x A D x O B C ekilde verilenlere göre, ABCD karesinin alan kaç birimkaredir? A) 3 + 5 B) 4 5 C) 4 8 5 D) 4 4 5 E) 6 + 5. y y=x +3x x O y = x+ ekildeki taral alan ifade eden eitsizlik sistemi aadakilerden hangisidir? A) y x + 3x B) y < x + 3x y < x + y x + C) y < x + 3x D) y > x + 3x y x + y x + 9. y f(x) E) y > x + 3x y x + A(,) O x Tepe noktas orijinde olan ekildeki f(x) parabolünün üzerindeki A(, ) noktasndan çizilen teetin denklemi aadakilerden hangisidir?. 3x + y = 5 dorusu üzerinde bulunan bir noktann koordinatlarnn kareleri toplam en az kaç olabilir? 5 7 9 A) B) 3 C) D) 4 E) A) y = x + B) y = x C) y = 3x D) y = 4x E) y = 5x 3 3. y = x 6x + n ve y = x (m )x + 4 parabollerinin tepe noktalar çakk olduuna 0. y göre, m + n kaçtr? O r 6 x A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) r f(x)=ax +bx+c ekilde verilen f(x) = ax + bx + c parabolünün grafiine göre, a + b + c toplam kaçtr? 4. y = (x 3) parabolünün y = 5x 6 dorusuna en yakn noktasnn ordinat kaçtr? A) 5 B) 3 4 C) D) 3 E) 3 3 A) 4 B) 4 5 C) 9 D) 4 49 E) 6.D.A 3.B 4.E 5.C 6.B 7.C 8.C 9.D 0.B.E.A 3.C 4.B 08
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 985 ÖYS a + b 0 koulu ile + = a b a + b + x x denkleminin köklerinin çarpm nedir? a A) ab B) ab C) D) E) ab ab b. 985 ÖYS f(x) = mx + (m +)x + m veriliyor. f(x) = 0 denkleminin kökleri x, x dir. < x < x olmas için, > 0 kouluna ek olarak aadakilerden hangisi de salanmaldr? 5. 986 ÖYS x 3 + ax 4 = 0 denkleminin üç kökü de gerçek olduuna göre, aadakilerden hangisi dorudur? A) Köklerin üçü de pozitiftir. B) Köklerin biri pozitif ikisi negatiftir. C) Köklerin ikisi pozitif biri negatiftir. D) Köklerin üçü de negatiftir. E) Köklerden biri sfra eittir. m + A) mf.( ) >, > 0 m m + B) f( ) > 0, > 0 m C).( ), ( m + mf < 0 ) > m D).( ), ( m + mf > 0 ) > m m + E) mf.( ) < 0, > m 6. 987 ÖYS x x + a = 0 denkleminin kökleri x, x olduuna göre, a nn hangi deeri için, x + x + x.x = 5 olur? A) B) C) 3 D) 4 E) 5 3. 986 ÖYS x (m + )x + m = 0 denkleminin, 0 < x < < x koulunu salayan kökü olmas için, m hangi aralkta olmaldr? A) < m < B) < m < 0 C) 0 < m < D) < m < E) < m < 7. 987 ÖYS Ix + I 3 ün çözüm kümesi, aadakilerden hangisidir? A) R B) R [, ] C) [, ] D) R [ v, v] E) [ v, v] 4. 986 ÖYS x 3 + ax + bx + c = 0 denkleminin kökleri, bir aritmetik dizi oluturdu- una göre, ortanca kökün deeri aadakilerden hangisidir? A) a + b + c 3 D) a 3 B) a + b E) a b C) b 3 8. 989 ÖYS x 5x + p + q = 0 denkleminin kökleri, p ve q olduuna göre, diskriminant kaçtr? A) 7 B) 9 C) D) 0 E) 3
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar 9. 989 ÖYS 3. 99 ÖYS x Denklemi, y = olan parabol, a nn hangi a deeri için, denklemi x y = olan doruya teettir? A) B) C) 3 D) 4 E) 5 Denklemi, y = cax (a > 0) olan ekildeki parabol yay üzerinde P ve Q noktalar alnarak birbirine e OHPS ve HKLP kareleri çizilmitir. Buna göre, KQ kaç birimdir? 0. 990 ÖYS 3a 3ab+ b = 7 b eitliini dorulayan a nn, b cinsinden deerleri toplam aadakilerden hangisidir? A) 3a 4 B) a 3 C) a D) av E) av3 A) b 3 B) b C) b D) 3b E) 4b 4. 993 ÖYS x + (x + 4)x 3x = 0 denkleminin kökleri, sfrdan farkl olan x ve x saylardr. Buna göre, büyük kök kaçtr? A) 3 B) C) D) 0 E). 99 ÖYS (x + t) + b(x + t) + c = 0, t R denkleminde köklerin gerçek olmamas için, b ile c arasndaki bant ne olmaldr? 5. 993 ÖYS A) b + c > B) b + c < C) b < c D) b > c E) b = c. 99 ÖYS x x + 4 = 0 denkleminin kökleri, x, x ise, x + x nin pozitif deeri kaçtr? A) v6 B) v5 C) v3 D) v E) ekilde, ekseni y eksenine paralel olan f(x) parabolü ile g(x) dorusunun ortak noktalar (5, 5) ve (0, 0) dr. ( fog)( 8) Buna göre, deeri kaçtr? ( fof )( ) A) B) C) 4 5 3 D) E) 3 3 4 4
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar 6. 993 ÖYS [, 3] kapal aralnda tanml, f(x) = 4 x fonksiyonunun en küçük deeri kaçtr? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) 3 0. 995 ÖSS (x 4). (x + 5). (6 x) > 0 eitsizliini salayan tam saylarn toplam kaçtr? A) B) 0 C) D) E) 3 7. 993 ÖYS ekildeki parabolün denklemi y = x dir. Bir köesi O(0, 0) da, P ve Q köeleri de parabol üzerinde olan OPHQ karesinin alan kaç birim karedir?. 995 ÖYS (p + 6)x + 7(p + )x + 5(p ) = 0 denkleminin gerçek kökleri, x, x dir. x < 0 < x, x > x olmas için p nin alabilecei deerler, aadaki aralklardan hangisidir? A) ( 6, ) B) (, 3) C) (0, 3) D) (, ) E) (, 6) A) v5 B) v3 C) v D) 3 E) 8. 993 ÖYS ( x+ 4 ).( x+ 5 ) x > 0 eitsizliini salayan negatif tam saylardan en küçüü kaçtr?. 995 ÖYS y = x 4x ve y = 3x + x parabollerinin kesim noktalarndan ve (, 0) noktasndan geçen türde (ayn türden) parabolün denklemi aadakilerden hangisidir? A) 3x 3x 7y = 0 B) 3x 7x 3y = 0 C) 7x 6x y = 0 D) 7x 7y 3 = 0 E) 6x 7x y = 0 A) 6 B) 5 C) 3 D) E) 9. 994 ÖYS x 3 4x x + 4 = 0 denkleminin kökleri,, b, c dir. Buna göre, b + c toplam kaçtr? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 3. 996 ÖYS x 3mx + m 3 = 0 denkleminin kökleri, x ve x dir. + > 4 olduuna göre, m nin alabilecei deerler kümesi x x aadakilerden hangisidir? A) (, +) B) (, ) C) R {} D) (3, ) E) (0, ) 5
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar 4. 996 ÖYS 8. 997 ÖYS y = ax 8x + a 4 erisi, x eksenine teet olduuna göre, a aadakilerden hangisi olabilir? A) 5 B) 3 C) D) 3 E) 6 ekilde grafii verilen parabolün tepe noktas, 5 T c, 5m ve y eksenini kestii nokta, A(0, 4) tür. Bu parabolün denklemi, y = ax + bx + c olduuna göre, b kaçtr? 9. 997 ÖYS A) 4 5 B) 5 4 C) 3 D) E) 5 3 5. 997 ÖSS x 3 > 0 x olduuna göre, x in alabilecei en küçük tam say deeri kaçtr? A) 4 B) C) D) E) 4 Yukardaki ekilde, denklemi y = x + 5x 3m olan fonksiyonun grafii verilmitir. OL = 4. OK olduuna göre m kaçtr? A) B) C) D) E) 3 6. 997 ÖYS 4 katnn 5 fazlas kendisinin karesinden büyük olan en büyük tam say aadakilerden hangisidir? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 30. 998 ÖYS x + x + a üç terimlisi x in bütün deerleri için 5 ten büyük olduuna göre, a için aadakilerden hangisidir? A) < a < B) < a < C) < a < 3 D) 3 < a < 5 E) 6 < a < 7. 997 ÖYS 4x 5x = 0 denkleminin kökleri x ve x dir. Buna göre, x + toplam kaçtr? x 3. 998 ÖYS a olmak üzere, (a + )x (a + 7)x + 7 = 0 denkleminin kökleri eit olduuna göre, a nn alabilecei deerler toplam kaçtr? A) B) C) 4 9 D) 5 E) 3 5 A) 5 B) 3 C) D) 0 E) 9 6
kinci Dereceden Denklemler, Eitsizlikler ve Fonksiyonlar 3. 998 ÖYS 35. 006 ÖSS ekilde verilen parabolün denklemi y = x + bx + c olduuna göre, A(x, 0) noktasnn apsisi (x) kaçtr? 3 5 A) B) C) D) E) f(x) fonksiyonunun grafii, ekildeki gibi Ox eksenine (, 0) noktasnda teet olan ve (0, 3) noktasndan geçen paraboldür. Buna göre, f(3) kaçtr? A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 36. 007 ÖSS (x )(x + )(x + 5) = (x )(x + )(x + 4) 33. 999 ÖSS cx + m 6cx + m+ 9 = 0 x x denkleminin köklerinden biri x dir. Buna göre, x + deeri kaçtr? x denklemiyle aadaki denklemlerden hangisinin çözüm kümesi ayndr? A) x 3 + 5x + 4x = 0 B) x 3x 6 = 0 C) x 4x + 4 = 0 D) 3x + 6 = 0 E) 5x 4 = 0 A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 37. 007 ÖSS (x x )(x + 5) = 0 denkleminin köklerinin toplam kaçtr? A) 3 B) C) D) 4 E) 6 34. 999 ÖSS a pozitif bir gerçek (reel) say olmak üzere, kenarlar a cm ve (8 a) cm olan dikdörtgenin alan en çok kaç cm olur? A) 64 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 38. 008 ÖSS x ax + 6 = 0 denkleminin kökleri x ve x dir. x + x = 5 olduuna göre, a kaçtr? A) 0 B) C) 4 D) 5 E) 7 7