ğırlık - kütle merkez hesplmlrı Konulr: Kütle/ğırlık merkezler Merkez kvrmı Merkez hesın önelk öntemler
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Düzlem ln üzerndek sonsuz det elemndn r oln 'nc elemnın ğırlık merkeznn koordntlrı: Düzlem lnın ğırlık merkeznn koordntlrı: W : elemnın ğırlığı : elemnın lnı (, ): elemnın ğırlık merkeznn koordntlrı W : Düzlemsel lnın ğırlığı : Düzlemn lnı (, ) : Düzlemn lnın ğırlık merkeznn koordntlrı
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı - Düzlem ln; sonsuz det elemndn medn geldğ çn; düzlemsel ln etken toplm erçekm kuvvet (ğırlık): W W W W n W olur n
-ğırlık merkeznn koordntlrı oln 'nn hesplnlmes çn, toplm kuvvetlern; ve eksenler etrfınd rtcğı sttk momentlern, ütünü oluşturn her r elemn kuvvetnn teker teker u eksenlere göre lınn sttk momentlern toplmın eşt olcğı lkesnden fdlnılır: ), ( Wn W W W W n n n W W n n W W olur ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı
5 -ğırlık merkeznn koordntlrı oln 'nn hesplnlmes çn, toplm kuvvetlern; ve eksenler etrfınd rtcğı sttk momentlern, ütünü oluşturn her r elemn kuvvetnn teker teker u eksenlere göre lınn sttk momentlern toplmın eşt olcğı lkesnden fdlnılır: ), ( Wn W W W W n n n W W n n W W olur ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı
6 t; düzlemsel lnın st klınlığı ve ; düzlemsel lnın ml edldğ mlzemenn rm hcm ğırlığı olmk üzere; W =Hcm Brm hcm ğırlık W = ( t) olur Benzer şeklde elemnın ğırlığı; W = ( t) olur n n W W n n W W ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı
7 n n t t ) ( ) ( n n t t ) ( ) ( n n ) ( ) ( n n ) ( ) ( Ele lınn düzlemsel ln; st geometrk şekllere rıllors ukrıdk ğıntılr geçerldr ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Ele lınn düzlemsel ln; st geometrk şekllere rılmıors; ukrıdk ğıntılr şğıdk g; sürekl ortm, dğer r deşle ntegrl fdesne dönüştürülmeldr lm n lm n n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d S S Burd; : Düzlemsel üzen toplm lnını S : eksenne göre "sttk moment" (rm m, cm ) S : eksenne göre "sttk moment" (rm m, cm ) göstermektedr 8
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Bst geometrk şekllern ğırlık merkezler DİKDÖRTGEN (=h İSE KRE) G h h h 9
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Bst geometrk şekllern ğırlık merkezler EŞKENR VE İKİZKENR ÜÇGEN G h h h 0
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Bst geometrk şekllern ğırlık merkezler DİK ÜÇGEN h G h h
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Bst geometrk şekllern ğırlık merkezler YRIM DİRE r r G O r r r r VE ÇEYREK DİRE r G r O r r r r
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Bst geometrk şekllern ğırlık merkezler
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Kompozt lnlrın ğırlık merkezler Bleşk csm, dkdörtgen, üçgen, rım dre şeklnde rrne ğlı st şekll csmlerden oluşur Böle r csm genellkle prçlr ölünür, u prçlrın herrnn ğırlığı ve ğırlık merkeznn konumu lnrse, tüm csmn ğırlık merkezn elrlemek çn ntegrl şlemne gerek klmz Bst geometrk lnlrın oluşturduğu kompozt lnlrın merkezlernn ulunmsı çn, kompozt lnı oluşturn leşenlern merkezler kullnılır Ortk ve eksenlerne göre, her üç şekln ln momentler hesplnrk u kompozt lnın ğırlık merkez ulunur İntegrl öntem le: d d d d d d d d
5 d d ve d d d d d d Kompozt lnlrın ğırlık merkezler ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Öneml noktlr Merkez r csmn geometrk merkezn gösterr, u nokt csm homojen se ğırlık/kütle merkez le çkışır Merkez formüller, csm oluşturn prçlrın momentler le csmn leşkesnn moment rsındk dengedr Bzı durumlrd, merkez csmn dışınd r erde ollr (örn: ç oş hlk) rıc, smetrk csmlerde merkez smetr eksen üzernde ulunur 6
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Çlışm sorulrı (Örnek -0) 7
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Örnek- Şekldek levhnın ğırlık merkeznn koordntlrını verlen eksen tkımın göre hesplınız cm 0 cm cm Örnek- çözümü cm cm (0*)*5 (* / )* 8 75 (0*) (* / ) cm cm (0*)*6 (* / )* 5 5 (0*) (* / ) cm cm 8
Örnek Şeklde gösterlen L profln - kestnde ğırlık merkeznn ern ulunuz 5 cm ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı cm 75 cm 5 cm 5 cm cm G 5 cm 9 cm cm cm (*5)*075 (75*5)*(75 / 5) 8 (*5) (75*5) cm cm cm (*5)*6 (75*5)*075 98 (*5) (75*5) cm 9
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Örnek- Şekldek levhnın ğırlık merkeznn koordntlrını verlen eksen tkımın göre hesplınız m m Plk şğıd görüldüğü şeklde üç prç ölünür () numrlı prçnın lnı negtftr, çünkü () numrlı prçdn çıkrılmıştır m m m 5 m 5 m 5 m m m m 0
Örnek- çözümü ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Prç no (m ) (m) (m) (m ) (m ) /**=5 5 5 *=9-5 5-5 5 -*=- -5 5 - Toplm 5 - m 08m 5 5 m m m m m
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Örnek- Şeklde verlen - eksen tkımın göre trlı üzen ğırlık merkez koordntlrını hesplınız cm cm 6 cm cm cm 5 cm cm 5 cm Cevp: 699cm 5 0cm
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Örnek- çözümü cm cm cm *5 cm (8*)* (6*) / *(8 ) (8*)*6 ( *5 / )*(8 ) 6 99 (8*) (6*) / (8*) ( *5 / ) cm cm cm *5 cm (8*)*9 (6*) / *(8 / *) (8*)* ( *5 / )*( ) 5 0 (8*) (6*) / (8*) ( *5 / ) cm
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Örnek-5 Şeklde verlen - eksen tkımın göre trlı üzen ğırlık merkez koordntlrını hesplınız Keslp çıkrılmış prçlr Cevp: 5cm 6 09cm
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Örnek-5 çözümü cm cm * cm (6*0)*0 (6*6) / *( ) ( * / )*(8 ) 5 (6*0) (6*6) / ( * / ) cm cm cm * cm (6*0)*5 (6*6) / *(8 ) ( * / )*( ) 6 09 (6*0) (6*6) / ( * / ) cm 5
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Örnek-6 Şeklde verlen - eksen tkımın göre dolu üzen ğırlık merkez koordntlrını hesplınız Keslp çıkrılmış prçlr m 6 m r= m m 8 m m m 8 m 6
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Örnek-6 çözümü m Tlo hzırlnrk d çözüm pıllr 6 m m r= m 8 m m m 8 m ln No ln (m ) (m) (m) ( m ) ( m 00 5 5 500 500 - - - - 8 8-5 -5 Toplm 986 7087 687 ) 7087 687 507m 98m 986 986 7
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Örnek-7 Şekldek trlı üzen ğırlık merkezn hesplınız 8
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Örnek-7 çözümü Önce ln ulunur: 0 d Sonr S ve S sttk momentler hesplnıp ln ölünerek ğırlık merkez ulunur: d d S S 9
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Örnek-7 çözümü d G d Öncelkle küçük dkdörtgen prçnın d lnı =0, = rsınd ntegre edlerek tüm ln ulunur: d d d d d 0 0 0
G Örnek-7 çözümü d d d S 0 0 0 S d d ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Örnek-7 çözümü S d 0 d d 0 0 0 5 0 S 0 0 d G d
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Örnek-7 çözümü 0
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Örnek-8 Şekldek trlı üzen ğırlık merkezn hesplınız
5 Örnek-8 çözümü d d d olur olur ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Örnek-8 çözümü d d 0 ( ) d d ( d d ) d ( 6 ) 0 d 6
7 Örnek-8 çözümü d d S 0 0 ) ( ) ( S S d d S 0 ) )( ( 5 0 6 ) 0 6 ( 5 0 5 S S 6 S d d S 0 0 ) ( ) ( 5 6 5 S ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı
Örnek-8 çözümü ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı 6 5 8
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Örnek-9 Şekldek trlı üzen ğırlık merkezn hesplınız = m = Örnek7'nn sısllştırılmış hldr m 9
ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Örnek-9 Şekldek trlı üzen ğırlık merkezn hesplınız = d d = olur m m d olur 0
d d d d ) ( 6 ) ( ) ( 0 0 d Örnek-9 çözümü ) ( ) ( 0 0 d d S 6 S 0 0 ) ( ) )( ( d d d S 5 0 6 ) 5 ( 0 5 S 5 6 5 S ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı
Örnek-0 Şekldek trlı üzen ğırlık merkezn hesplınız = / = /
Örnek-0 çözümü d d = / = / d d d ( / ) d d 0 ( ( / / ) 0 ) d 067 5 5 S d 0 ( / ) d ( 5 5/ ) 6 0 56 6 96 S 96 5 8
Örnek-0 çözümü d d d d d ( / ) d d = / = / ( / 8 ) 8 / S d 0 ( 8 / )( / ) d 0 ( 5/ 5/ ) d S 0 ( ) d ( 5 ) 60 0 6 6 96 S 96 5 8
8m 8m 5m 5
Yılı Yükler (özel olrk krşlerde ılı ükler) P P M B -P ve P tekl kuvvetler krş eksen - M tekl moment - Özel durumlr dışınd; genel olrk tekl kuvvet ve momentler gerçekte oktur Gerçekte kuvvetler, ell r üze üzernde ve r hcm çnde ılıdır Genelde kuvvetler; tems üzene, ğırlık kuvvetler se hcme ılıdır - Kuvvetlern ılı olduğu üze ve hcm küçük se; kuvvetler tekl kuvvet olrk dkkte lınırlr nck üze ve hcmler hml edlemeecek kdr üük se ılı ükler dkkte lınmlıdır 6
Yılı Yükler (özel olrk krşlerde ılı ükler) q (t/m; kg/cm) q (t/m; kg/cm ) B B krş eksen L krş eksen L Düzgün ılı ük (örneğn; duvr ükü, zt ük v) Düzgün ılı üçgen ük 7
Yılı Yükler (özel olrk krşlerde ılı ükler) q q q B B krş eksen krş eksen L L L L Düzgün ılı trpez (muk) ük Değşken üçgen ılı ük (döşemeden krşe ktrıln ük) Yukrıd gösterldğ g, krşlere etken ılı ükler, krş eksenne dk önde ugulnn üklerdr Yılı ükler erne, şddet ılı üke eşt tekl (=konsntre) r ük zıllr Bu ükler ve etkdğ erler sonrk sltt sunulmuştur 8
Yılı Yükler (özel olrk krşlerde ılı ükler) R=qL (ton) R=qL/ (ton) q (t/m) q (t/m) B B L/ L/ L/ L/ L L Düzgün ılı ük (örneğn; duvr ükü, zt ük v) Düzgün ılı üçgen ük 9
Yılı Yükler (özel olrk krşlerde ılı ükler) R =(q -q )L/ R =ql / q R =ql / q R =q L q krş eksen B B L/ L/ L/ L / L L/ L L / L / L / L L Trpez; dkdörtgen ve üçgen olmk üzere elemn rılır frklı üçgen tek-tek dkkte lınır 50
Yılı Yükler (özel olrk krşlerde ılı ükler) Br çok durumd, csmn çok üük r üze lnı, rüzgrın, kışknlrın neden olduğu ve sdece csmn üze rcılığıl tşınn mlzeme ğırlığı g ılı üklere mruz kllr Bu üklern üze üzerndek her r noktdk şddet N/m rm le ölçülelen p sıncı olrk tnımlnır 5
Yılı Yükler (özel olrk krşlerde ılı ükler) Çlışm sorulrı (Örnek ----5) 5
Örnek- Şekldek krşn mesnet reksonlrını hesplınız Çözüm: t t/m B tm F 0 =0 m 6m m B + F + 0 +B - t -( t/m *6)=0 + B = 5 t M 0 - t * m -( t/m *6)* m - tm +6*B =0 B = 767 t ( ) + = 7 t ( ) 5
Örnek- Şekldek krşn mesnet reksonlrını hesplınız t/m 6 t/m t/m B m 6m 5
Örnek- çözümü R =(6-)*6/=6t R =*=t t/m R =*6=t 6 t/m t/m F 0 =0 B + m 6m B F + 0 +B -( t/m *)-( t/m *6)-( t/m *6/)=0 + B = t M 0 -*-*(+)-6*(+6*/)+8*B =0 B = 0 t ( ) + = t ( ) 55
Örnek- Şekldek krşn mesnet reksonlrını hesplınız tm 6 t 0 o t/m B tm m m m m 56
Örnek- çözümü t/m*m=t tm 6 t 0 o 6*sn0=t t/m B tm 6*cos0=50t m m m m B F + 0 +50=0 =-50t ( ) F + 0 +B --=0 + B = 5 t M 0 tm - tm - t * m - t *(5+) m +*B =0 B = 89 t ( ) + = 609 t ( ) 57
Örnek- Şekldek krşn mesnet reksonlrını hesplınız t t/m t/m t B m m m m 58
Örnek- çözümü t t/m*m/=t t/m t/m*m=6t t/m t B B m m m m B F + 0 -B =0 B =t ( ) F + 0 +B ---6=0 + B = t M 0 t* m - t * m -6 t *(+) m +6*B =0 B = 67 t ( ) + = 8 t ( ) 59
Yılı Yükler (özel olrk krşlerde ılı ükler) Bleşke Kuvvetn Şddet Şeklde gösterlen plk üzerndek ükleme, sonsuz sıd ve her r plğın rı r dfernsel lnın etken r prlel kuvvetler sstemdr Bu kuvvetler sstem r tek F R leşke kuvvetne ndrgenelr Bsınç ükü şddetnn önü ük şddet dgrmı üzerndek oklrl elrtlr Ve rm ln şın kuvvet erne, rm uzunluk şın kuvvet (N/m) olrk gösterlr 60
Yılı Yükler (özel olrk krşlerde ılı ükler) Bleşke Kuvvetn Konumu F R nn etk çzgsnn konumu, leşke kuvvetn ve ılı kuvvetn O noktsın ( eksenne) göre momentler eştlenmek suretle elrlenelr Bsınç, eksen ounc düzgün olduğundn sdece n fonksonudur 6
Yılı Yükler (özel olrk krşlerde ılı ükler) Burdn; Yılı üke eşdeğer oln leşke kuvvetn etk çzgs, ılı ükün oluşturduğu lnın ğırlık merkeznden geçmektedr Eşdeğer tekl kuvvet F R, ğırlık merkezne etktldğnde rtcğı etk (örn: mesnet kuvvetler), ılı ükün rtcğı mesnet tepkler le nı olcktır 6
Örnek-5 Şekldek krşte verlen ılı ükler tek r kuvvete ndrgeerek mesnet reksonlrını hesplınız 00 N/m 00 N/m B 6m m 6
Örnek-5 çözümü F = F = F = 00 N/m 00 N/m ln No ln (m ) (m) (Nm) 00*6 6/ 800 Nm (/)*00*6 (/)*6 600 Nm (/)*00* 6+(/)* 586 Nm Toplm 00 N 6 Nm B 6 9m 00 6m m F R = 00 N Tlo pmk şrt değl hespl d nı sonuç ulunur F R =00N 9m B 6 B
Örnek-5 çözümü F R =00N 9m B B F + 0 =0 M + 0-00*9+B *0=0 B = 7 N ( ) F + 0 +7-00=0 = 7 N ( ) 65