DEÜ ÜHEDİSİK FAKÜESİ FE ÜHEDİSİK DERGİSİ Cilt: Sayı: sh. 7 ayıs DAĞII PROEİİ OPİAİK KOŞUARII İCEEESİ ÖZE/ASRAC (IVESIGAIO OF OPIAIY CODIIOS OF HE RASPORAIO PROE) Süleya ŞAFAK* u çalışada, çıkış varışlı bir dağıtı probleii optiallik koşulları, agrage foksiyou Hessia atrisii özellikleri kullaılarak iceleiştir. Problei idirgeiş halii ayı cebirsel özelliklere sahip olduğu görülüştür. I this study, optiality coditios of the trasportatio proble ith origis ad destiatios ha bee istigated by usig properties of agrage fuctios ad Hessia atri. It is sho that the proble ad its reduced cases ha coo algebraic characterizatios. AAHAR KEİEER/KEY WORDS Dağıtı problei, agrage foksiyou, Hessia atrisi rasportatio proble, agrage fuctio, Hessia atri *Dokuz Eylül Üirsitesi, ühedislik Fakültesi, 35, orova, İZİR
Sayfa o: 8 S. ŞAFAK. GİRİŞ Dağıtı problei, doğrusal progralaaı ilk probleleridedir. İlk kez 94 de Hitchcock tarafıda ortaya atıla, 947 de Koopas tarafıda ayrıtıları ile icelee 95 de Datzig tarafıda Siple yötei ile çözüü yapıla dağıtı problei, kayakları (sources) bir küeside tüketeleri (siks) bir küesie iiu aliyette gödereler olarak taılaır (azaraa vd., 99; ulut 98, 99; ulut vd., 993; Ford vd., 96). Dağıtı problei, bir çok bilici tarafıda ele alıış farklı yötelerle iceleiştir (azaraa vd., 99; Carre, 979; Hu, 97; Sioard, 966). So yıllarda, dağıtı probleii ağ (etork) tekikleriyle iceleesi dikkat çekektedir. u çalışada da, dağıtı problei özel bir çizge (graph) problei olarak ele alıış problei agrage foksiyou ile Hessia atrisii özellikleri kullaılarak iceleiştir. Elde edile bulguları (Pyle, 97) (ulut, 99) tarafıda rile souçları sağladığı görülüştür.. DAĞII PROEİ çıkış varışlı bir dağıtı problei i{ c β, a b, } () dir. urada I I, a β b a [ a, a,..., a ], b [ b, b,..., b ] [ c, c,..., c ], [,,..., ] c, tü eleaları ola boyutlu ktör, Kroecker çarpa işlei olup; G G ( S, D, SD) () ile taılı iki kısılı çizgei (bipartite graph) bağlatı atrisidir (ulut, 98). Dekle i, teel (basic) teel olaya bilieyelere bağlı olarak düzeleebilir. Eğer, sırası ile, teel teel olaya bilieyeleri ktörleri ise, Dekle i { c c +,, } biçiide yazılabilir. urada + β (3) [, ], c [ c, c ] A [, ]
Fe ühedislik Dergisi Cilt : Sayı : Sayfa o: 9 dir. Dekle 3 ü Siple çizelgesi c c c β I c c β - c β (4) dir. urada β, c c β (5) olduğu görülür. Dekle 4 de, d c c ktörüe Dekle i optiallik koşulu deir. Eğer d ise, [, ] problei e iyi çözüü olur. Eğer d < ise, [, ] e iyi çözü olaz bu duruda Siple yötei tekrar uygulaır (azaraa vd., 99; Carre, 979; arlo, 978; Sioard, 966)., (+) boyutlu + raklı bir atristir. u edele, Dekle, Dekle de β sisteide + dekle alıarak çözülebilir. Aşağıdaki proble, β sisteii birici deklei kaldırılarak elde ediliştir. i { c g, } (6) dir. urada I I I, g [ a,..., a, b,..., b ] (7) dir (ulut, 98). Dekle 6 ya, Dekle i idirgeiş problei deir. Dikkat edilirse, atrisi (+) boyutlu + raklı bir atristir. 3. DAĞII PROEİİ OPİAİK KOŞUARI ij Dekle 6 da rile problei agrage foksiyou Hessia atrisi yazılabilir. Eğer alıırsa, Dekle 6 ij i{ c g } (8) biçiide yazılabilir. Dekle 8 i agrage foksiyou olup (,, λ) c + c + λ (g ) (9),, c c, c,,
Sayfa o: [,,..., ] S. ŞAFAK dir. urada, sırası ile, teel teel olaya bilieyeleri ktörleridir. Dekle 9 da c c ( ) D λ () ( ) D λ () g λ () yazılır. urada D D, sırası ile, köşegeleri teel teel olaya değişkeler ola köşege atrislerdir. Dekle 4,, de λ c, g, (3) d c c (4) elde edilir. urada d, ()() boyutlu ktör olup; optiallik koşulu olarak adladırılır. Dekle 9 u Hessia atrisi P Q H R U (5) Q U olarak elde edilir. urada Kö ş { d, d,..., d }, R Köş { d, d,..., d } P + + ++ Q - 3 3
Fe ühedislik Dergisi Cilt : Sayı : Sayfa o: - U - 3 3 33 3 3 33 dir. eore 3.: Dekle 8 i optial çözüü ise Q H ( ) R (6) Q dir. urada, R pozitif taılı atristir. Kaıt: Dekle 3, 4 5 kullaılarak kaıtlaabilir. Varsayalı ki d [ d, d,..., d ] + ++ olsu. ua göre aşağıdaki souçları yazabiliriz. Souç 3.:, Dekle 7 i e iyi çözüü ise d > dır. Souç 3.: H ( ) atrisii özdeklei ++ + H ( ) µ Ι µ (d + µ )...(d µ ) (D µ I) (7) µ dır. Görüldüğü gibi, dağıtı probleii optial çözüü Q R atrislerie bağlıdır. u souç, dağıtı probleii, Q R atrislerii özellikleriyle iceleebileceğii gösterektedir. urada, Q optial çözüü R de optiallik koşuluu rektedir. Ayrıca; λ c duyarlılık katsayısı ise ikile (dual) probleii çözüüe karşılık gelektedir.
Sayfa o: S. ŞAFAK KAYAKAR azaraa.s., Jarvis J.J., Sherali H.D., (99): iear Prograig ad etork Flos, Caada, Joh Wiley ad Sos Ic. ulut H., (98): ir Ağ Akışı Probleii Geelleştiriliş ers atrislerle İceleesi, İzir, Doçetlik ezi. ulut H., (99): Algebraic Characterizatios of the Sigular Value Decopositios i the rasportatio Proble, J. ath. Aal. Appl., 54, 3-. ulut H., (99): Further Results o the Spectral Decopositio of a Icidece atri, J.ath. Aal. Appl., 58, 466-475. ulut H., ulut S.A., (993): Spectral Decopositios ad Geeralized Irses i a Circularizatio etork Flo Proble, J.ath. Aal. Appl., 74, 39-4. Carre., (979): Graph ad etorks, e York, Oford Uirsity Press. Ford.R., Fulkerso D.R., (96): Flos i etorks, e Jersey, Priceto Uirsity Press. Hu. C., (97): Iteger Prograig ad etork Flos, odo, Addiso-Wesley. arlo W.H., (978): atheatics for Operatios Research, e York, Joh Wiley ad Sos Ic. Pyle.D., (97): he Geeralized Irse i iear Prograig asic Structure, SIA J. Appl. ath.,, pp.335-355. Sioard., (966): iear Prograig, e Jersey, Pretice Hall.