HULÂSAT EL-HİSÂB Hulâsat el-hisâb, Bahâuddin Muhammed b. Huseyn b. Abdissamed el-hârisî el-âmilî el-cubbâ'i el-hemedânî (953-1031/1547-16)'nin X./XVII. asırdan itibaren İslam dünyasında hisab, cebir ve misaha sahasında ders kitabı olarak okutulan meşhur eseridir. Eser daha çok yazarına nispet edilerek el-risâle el-bahâiyye veya kısaca el-bahâiyye olarak bilinir. Bu eserle İbn el-havvâm (öl. 74/134)'ın el-fevâid el-bahâiyye fi el-kavâid el-hisâbiyye adlı eseri birbirine karıştırılmaktadır. Çünkü İbn el-havvâm'ın eseri de el-risâle el- Bahâiyye olarak bilinmektedir. Hulâsat el-hisâb, İslam matematiğinin X/XVII. asırda hisab el-hindi, misaha ve cebir sahasında ulaştığı seviyenin orta düzeyde bir dökümüdür. Amilî eserinde geometrik ispat (el-burhân bi'lhutût) kullanmamış, bunun yerine zikrettiği kaideler için sayısal (analitik) örnekler ve çözümlerini vermiştir. Ayrıca eserde hisâb el-hevâî (hisâb elzihnî)'den bahsedilmemiş, sadece hisâb el-hindî üzerinde durulmuştur. Amili Hulâsat el-hisâb'ta bazı konulara yer verilmediğini ve bunların "Büyük Kitabımız" şeklinde atıf yaptığı diğer bir eserinde ele alındığını, bu konuların orada bulunacağını söylemektedir. Eserin diğer bir önemli özelliği, pedagojik gaye ile yazıldığından muhtasar ve müfid tarzda ve düzgün bir dille kaleme alınmış olmasıdır. Bu özelliği onun anlaşılmasını zorlaştırmış, ancak ezberlenmesini kolaylaştırmıştır. İfadelerinin veciz olması dolayısıyla üzerine bir çok şerh yazılmıştır. Eser Osmanlı Devleti'nde özellikle Anadolu, Balkanlar, Suriye ve Irak bölgesinde ders kitabı olarak okutulmuştur. Ayrıca İran, Türkistan, Hindistan ve Mısır bölgelerinde de yakın zamanlara kadar ders kitabı olarak okutulmaktaydı. Bahâiyye'ye kadar ve daha sonra onunla beraber Osmanlılarda matematik ders kitabı olarak, Sirâcüddîn Muhammed el-secâvendî (öl. 600/104)'nin el-tecnis fi el-hisâb'ı, Nizâmuddîn el-hasan el- Nisâbûrî (öl. 73/133'de sağ)'nin el-şemsiyye fî el-hisâb'ı, İbn el-havvâm (öl. 74/134)'ın el-fevâid el-bahâiyye fi el-kavâid el-hisâbiyye adlı eseri ile buna
Kemâleddin el-fârisî (718/1319)'nin şerhi olan Esâs el-kavâid fî Usûl el-fevâid okutulmuş olmalıdır. Ayrıca İbn el-hâim (öl. 815/141)'in eserleri ve özellikle el-mukni' fi İlm el-cebr ve el-mukabele, Nüzhet el-hussâb fi İlm el-hisâb, el-lum'a fi el-hisâb ve el-ma'ûne fi Hisâb el-hevâi, İbn el-bennâ (öl. 71/131)'nin Telhîs A'mal el-hisâb'ı ve bunun İbn el-mecdî (850/1447) tarafından Hâvi el-lubab fi Şerh Telhîs A'mâl el-hisâb adıyla yapılan şerhi, Ali el-kalasâdî (öl. 891/1486)'nin Keşf el-cilbâb an Kanûn el-hisâb'ı, İbn el- Yâsemîn (600/103)'in el-yâsemîniyye fi İlm el-cebr ve el-mukâbele'si ders kitabı olarak okunmuştur. İstanbul'un fethinden sonra Ali Kuşçu'nun İstanbul'a gelmesi ile onun yazdığı Risâle der İlm-i Hisâb ve el-muhammediyye fi el-hisâb Osmanlı medreselerinde orta seviyede (iktisad) ders kitabı olarak rağbet görmeye başlamıştır. İleri seviyede (istiksa) ise Gıyâseddin Cemşîd el- Kâşî'nin Miftâh el-hisâb (el-hussâb)'ı okutulmuştur. Ancak Muhammediyye dil, düzen vb. açılardan pedagojik formlara fazla uygun değildir. Dolayısıyla el- Âmilî'nin eseri XVII. yüzyılın başlarından itibaren Muhammediyye'nin yerini alarak Osmanlı medreselerinde orta seviyeli temel matematik ders kitabı olarak okutulmaya başlanmıştır. Matematik sahasında daha üst seviye için ise yine bu eserin olan Ömer el-çullî, Ramazan Efendi ve Abdurrahim el- Mar'aşî şerhleri mutalaa edilmiştir. İzgi'nin tespitlerine göre bu eser daha sonra modern tarzda kurulan Osmanlı Mühendishanelerinde de okutulmuştur. Eserin Şerhleri: Türkiye kütüphaneleri'nde Hulasat el-hisab'ın yüze yakın nüshası vardır. Bunun yanında şerhlerin, haşiyelerin, taliklerin, vb. eserlerin ana metni de ihtiva ettiği düşünülürse eserin yaygınlığı konusunda bir fikir edinilebilir. Osmanlı ülkesinde olduğu gibi bu esere diğer Osmanlı dışı, İran vb bölgelerde bulunan matematikçiler bir çok şerh, haşiye vb kaleme almışlardır. Osmanlı matematiğinde kaleme alınan şerhlerin en önemlileri şöyle sıralanabilir: Ömer b. Ahmed el-mâi el-çullî (öl. 10/1613), eserin
güç yerlerine şerhler yazmıştır. Talikât alâ el-mevâdi el-müşkile ve Tenbihat ala Rumuz el-mebahis el-mudile min el-risâle el-bahâiyye adını taşıyan bu şerh Bahâiyye'den sonra okutulurdu. Salih Zeki'nin incelemesine göre şerh fazla bir ehemmiyete haiz değidir. Ramazan b. Ebi Hüreyre el-cezeri (öl. 1076/1665'te sağ)'nin Hall el-hulasa li Ehl el-riyasa, telifi 1076/1665'te tamamlanmıştır. Müellif nüshası, Laleli, nr. 135/3, yaprak 6b-133a'dadır. Şerhin ellinin üzerinde nüshası zamanımıza gelmiştir. Bu eser de Osmanlı medreselerinde rağbet gören eserlerdendir. Salih Zeki'ye göre Bahaiyye şerhleri içinde önemli bir yere sahiptir. Abdurrahim b. Ebi Bekr b. Süleyman el-mar'aşi (öl. 1149/1736)'nin Şerh Hulasat el-hisab'ı. Müellifi tarafından bir buçuk yılda hazırlanarak Sultan IV. Mehmed'e sunulmuştur. Osmanlı medreselerinde okutulan Bahâiyye şerhlerindendir. Salih Zeki'ye göre Mar'aşi'nin bu eseri Osmanlı matematiği çerçevesinde Bahaiyye şerhleri içinde en vakıfane yazılan şerhtir. Bu şerhlerin yanında Cevâd b. Saîd b. Cevâd el- Bağdadi el-kasimi (öl. 1065/1655), Hasan b. Muhammed el-kürdi (XI./XVII. asır), Kasiri-zade Muhammed Emin b. Muhammed b. Abdulhayy b. İbrahim el-üsküdari (öl. 1151/1738), Mevc-zade Hoca Abdurrahim Efendi el-bursevi (öl. 1160/1747), el-seyyid Hüseyin b. Ali, Abdullatif b. Cafer b. Zekra (öl. 1178/1764), Mahmud Hamdi b. Ahmed el- Şehrezuri el-osmani, Fahrizade Ebu Muhammed Abdullah b. Fahruddin b. Yahya el-huseyni el-mevsili (öl. 1188/1774), Musa b. Receb el-basri (1150'de sağ)'nin şerhleri zikredilebilir. Nureddin b. Abdullah el-vaiz (1113/1701'de sağ) Hulâsat el-hisab'ın üçüncü babı olan dört orantılı sayı konusu üzerine bir şerh kaleme almıştır. Ayrıca Muhammed b. Muhammed el-bursevi el-mevlevi (öl. 114/171) Me'âlim el-simâha fi Sâhat el-misâha adıyla, Muhammed Selim Hoca (öl. 1138/175) ise 1133 tarihinde Risâlet el- Hendese (Müellif nüshası, Topkapı Sarayı, Revan Köşkü, nr. 171/, 30b-40a) ismiyle Hulasat el-hisab'ın VI. babındaki geometri kaidelerinin ispatlarını vermek üzere birer şerh kaleme almışlardır. Göğsügür Lutfullah b. Muhamed
el-erzurumî el-hanefî (öl. 10/1788) ise İhtisaru Kısmın min Hulâsat el-hisâb adıyla eseri 1171 tarihinde ihtisar edilmiştir (Şehid Ali, nr. 81/18, yaprak 130b-133b). Aga Bozork ise Osmanlı dışında Hulâsat el-hisâb'a İran ve İrak bölgelerinde kırka yakın şerh yazıldığını belirtmektedir. Eserin Tercümeleri: Kuyucaklı-zâde Muhammed Atıf b. Abdurrahman b. Veliyyüddin (öl. 163/1847) tarafından 14/186 tarihinde Sultan II. Mahmûd'un isteği üzerine Türkçe'ye Nihâyet el-elbâb fi Tercemeti Hulâsat el- Hisâb çevrilmiştir (Mütercim nüshası: Kandilli rasathanesi, nr. 17/). Cebir bölümü el-verdiyye fi el-cebr ve el-mukâbele adı ile Muhammed (XII/XVIII. asrın sonları) adlı biri tarafından nazm halinde Türkçe'ye tercüme edilmiştir. Salih b. el-hacc Muhammed (100/1786'da sağ) Tercümet Kısmin min Hulasat el-hisâb (Milli Ktp., nr. A. 95/1) adıyla eserin bazı yerlerini Türkçe'ye tercüme etmiştir. Ayrıca, eserin meçhul bir müellif tarafından yapılmış Türkçe bir tercümesi daha vardır (Amasya, nr. 1790/1-, iki defter halinde, 0+8 yaprak, İstinsahı m. XX. asırda). H. F. Nesselmann tarafından Almanca tercümesi ile beraber Berlin'de 1843'de neşr edilmiş, daha sonra A. Marre tarafından 1846'da Paris'te Fransızca'ya tercüme edilmiştir. Eserin Baskıları: Hulasat el-hisab h. 168/185 ve 195/1878'de İstanbul'da Matbaa-i Amire'de 47 sahife halinde basılmıştır. Yine İstanbul'da tarihsiz 5 sahife halinde bir taş baskısı vardır. Ayrıca Kalküta 17/181 ve 145/189, Gülistan-Keşmir 185/1848, Kahire 199/188 ve 1311/1893, Tahran 175/1858-1859 ve 176/1859-1860 tarihli baskıları vardır. Eserin Muhtevası: Eser dibace, bir mukaddime, on bab ve bir hatime üzere tertib edilmiştir. Amilî, dibacede eserinin mutekaddimin'in kitablarının ve muteehhirin'in risâlerininin özeti olduğunu belirtmekte ve eserin adını Hulasat el-hisab olarak vermektedir. Ona göre hisab ilminin insanlar arasında
önemli bir yeri vardır, ispatları sağlamdır, bir çok ilim ona muhtaçtır, muamelat hesabları onun üzerine kuruludur. Mukaddime'de hisab ilminin tarifini ve sayının tanımını vermekte, ayrıca bir sayısının tanımını ele almaktadır. Ona göre sayı bire ve birden oluşan niceliklere denir. Bu tanımda bir de sayı olarak alınır. Ancak Amilî'ye göre eğer sayının tanımı "her iki tarafında bulunan sayıların yarısı" olarak alınırsa "bir" sayı kabul edilmez. Ancak kesir işin içine katılırsa bir de iki tarafındaki sayıların yarısı olarak tespit edilebilir. Fakat Amilî tercihini birin sayı olmadığı yönünde kullanır. Ona göre gerçekte, sayılar birden teşekkül etse de bir sayı değildir, tıpkı cisimler cevherden teşekkül etmesine rağmen cevherin cisim olmaması gibi. Amili'nin bu cümleleri Bahâiyye'nin şarihleri tarafından çeşitli matematik anlayışları açısından ele alınmış ve konu ile ilgili olarak İslam matematik tarihi içindeki görüşler delilleri ile birlikte verilmeye çalışılmıştır. Daha sonra sayının mutlak ve tam veya mahreci bir olan rasyonel çeşidinin tanımı verilmiştir; ona göre mutlak sayı dokuz kesir cinsinden ifade edilebilirse veya tam sayı kökü varsa muntak (rasyonel), değilse irrasyoneldir (esamm). Muntak sayı eğer parçaları kendisine eşitse mükemmel, fazla ise artık, eksik ise eksik sayıdır. Amilî klasik geleneği takip ederek sayının asıllarını birler onlar ve yüzler olarak alır, furu'u ise sonsuzdur. Amili, "Hind Filozofları rakamlar için dokuz harf (rakam) koymuştur" der ve bu rakamların şekillerini verir. Birinci babta Tam sayıların hisabını ele alan Amilî bu bab içinde birinci fasılda toplama (cem') ve bir toplama türü olan iki kat almayı (tad'îf) inceler. Aynı başlık altında altın kaide denilen ve İslam matematiğinde mizân el-aded diye isimlendirilen mod 9 kuralını verir. İkinci fasıl ikiye bölme (tansîf), üçüncü fasıl çıkarma (tefrîk), dördüncü fasıl çarpma (darb) ve bu başlık içinde hisab el-hevâi'den alınma çeşitli pratik çarpma kuralları verilir, ayrıca şebeke yolu ile çarpma tanıtılır. Beşinci fasıl bölme, altıncı fasıl kare kökün
tespiti anlatılır; bu fasılda tam kare kök bulma förmülü yanında yaklaşık kare b kök bulma förmülünü de verir: N = a+, N = a + b. a + 1 İkinci babta rasyonel sayıların hisabını inceleyen Amilî, konuyu üç mukaddime ve altı fasıl altında inceler. Birinci mukaddimede kesirlerde temâsul (teşabuh), tedahul (tehaluf), tevafuk, tebayun, ikinci mukaddimede temel dokuz kesir verilir. Amili'nin kesir sitemi 1 1, 1 1 3,... 9, 10 şekklinde olan dokuz kesre dayanır. Diğer kesirler bu dokuz kesir cinsinden ifade edilmeye çalışılır, edilemezse bu kesirlerin yaklaşık değeri tespit edilir ve bunlara irrasyonel kesir (esamm) adı verilir. Dolayısıyla Amili'de Kaşi'den sonra gelmesine rağmen ondalık kesirler yoktur. Üçüncü mukaddimede tecnis (tam sayıyı kesir yapmak) ve ref'i (kesri tam sayı yapmak) incelenir. Birinci fasılda kesirlerin toplanması ve iki katının alınması, ikinci fasılda kesirlerin ikiye bölünmesi ve çıkartılması, üçüncü fasılda kesirlerin çarpımı, dördüncü fasılda kesirlerin bölünmesi, beşinci fasılda kesirlerin kare kökünün alınması, altıncı fasılda kesirlerin bir mahreçten (payda) diğer bir paydaya dönüştürülmesi konularını ele alır. Üçüncü bab İslam matematiğinde bilinmeyenin tespiti için kullanılan dört orantılı sayı (el-a'dâd el-erbaat el-mütenâsibe) ile bilinmeyenin tespiti, dördüncü bab bilinmeyenin çift yanlış hisabı ile tespiti, beşinci bab bilinmeyenin tahlil ve te'âküs yöntemi ile tespitini ele alır. Altıncı bab misaha ile ilgilidir. el-amili bu konuyu bir mukaddime ve üç fasılda ele alır. Mukaddimede misahanın tanımını zikrettikten sonra doğru, yüzey ve cisim ile ilgili tanımları verir; ayrıca temel geometrik şekilleri ve cisimleri tanımlar. Birinci fasılda kenarları doğru olan yüzeylerin alanlarını,
ikinci fasılda daire ve daire ile ilgili diğer şekillerin alanlarını, üçüncü fasılda cisimlerin hacimlerini hesaplamayı ele alır. Yedinci babta kanal yapımında, yüksekliklerin tespitinde, nehirlerin genişliği ve kuyuların derinliğinin bilinmesinde yer ölçümünü üç fasılda ele alır. Birinci fasılda kanal yapımı için yer ölçümü, ikinci babta yüksekliklerin ölçümü, üçüncü fasıl nehirlerin genişliği ve kuyuların derinliğinin ölçülmesi ve bu ölçüm işinde kullanılan aletler ve teknikleri incelenir. Sekizinci babta cebir ve mukabele ile bilinmeyenin tespiti iki fasılda ele alınır. Birinci fasılda cebrin dayandığı temel öncüller verilir, bu başlık içinde cebirsel nicelikler, ve bu nicelikler arasında temel dört işlem gösterilir. İkinci fasılda Harizmi'nin belirlediği üçü müfredat (yalın, basit) ve üçü mukterenat (katışık) olmak üzere altı cebir denklemi ele alınır. Ancak Amilî'nin eserinde o dönemdeki İslam matematiğinde artık yaygın olan cebirsel sembol ve notasyon sistemi kullanılmamaktadır. Dokuzuncu babta Amilî bir muhasibin hesab esnasında bilmesi gereken on iki matematik kaide verir. Bu kaidelerden 1-5. ve 8. kaide dizilerin çeşitli türleriyle, 6-7., 9. kaide kare köklerle, 10-1. kaide cebirsel terimlerin çarpım ve bölümü ile ilgilidir. Bu kaideler modern matematik yazımı ile şu şekilde gösterilebilir: ( n+ 1). n Birinci kaide nn + ( n 1) +... + 3 + + 1 =, n Ν. n +1 İkinci kaide: 1+ 3+ 5+... + ( n ) + n = ( ), n N, n = k + 1. Üçüncü kaide: + 4 + 6 +... + ( n ) + n= n n.( + 1 ), n N, n = k. ( ) Dördüncü kaide: ( 1 3 n + 1 + + +... + n ) =.( 1+ + 3+... + n ), n N. 3
Beşinci kaide: ( 1 3 + 3 + 3 3 +... + n 3 ) = ( 1+ + 3+... + n), n N. Altıncı kaide: m. n = m. n, mn, N. m m Yedinci kaide: n = n, mn, N. Sekizinci kaide: 1+ + 4+... + n+ n+... = m, m N nm. = q N Dokuzuncu kaide: q q asal m m = q = ( ), qmn,, Q + n n. Onuncu kaide: ( mn. ). m = m, m, n N n. Onbirinci kaide: ( m n ) = ( m+ n).( m n), m, n N. Onikinci kaide: m n. = 1, mn, N. n m tamsayi. Onuncu babta Amilî kitabında verdiği bilinmeyenin tespitinde kullanılan kaideleri öğrencilerin zihinlerine yerleştirmeleri için bazı örnekler çözmektedir. Dokuz örneğin ele alındığı bu babta problemlerden birincisi, ikincisi ve üçüncüsü cebir ve çift yanlış hesabı, dördüncüsü dört orantılı sayı, beşincisi dört orantılı sayı, cebir ve çift yanlış hesabı, altıncısı ise cebirle çözülür, ancak denklemin belirsiz (seyyâl) olduğu belirtilir. Yedinci problem dört orantılı sayı, sekizinci problem cebir ve dört orantılı sayı, dokuzuncu problem cebir ile çözülür. Amilî'nin eserinin hatimesi Hulâsat el-hisâb'ın en ilginç bölümüdür. Bu bölümde Amilî kendi dönemine kadar Filozofların (Hukemâ') bir çok çözümsüz problemle karşılaştıklarını, çok çeşitli yollar denemelerine rağmen bu problemleri çözemediklerini belirtir. Ancak alimler bu çözümsüz problemleri muhasibleri uyarmak ve yetenekleri onların çözümlerini keşfetmeye teşvik için eserlerinde kaydetmişlerdir. Amilî, kendi eserine "örnek" olarak bunlardan yedisini verdiğini belirtmektedir.
Amilî'nin bu eseri Almanca ve Fransızca'ya çevrildikten sonra matematikçiler bu problemeleri yeniden ele almışlardır. Ancak son dönemlerde İbn el- Havvâm'ın el-fevâid el-bahâiyyye fi el-kavâid el-hisâbiyye'si üzerinde yapılan çalışmalar bu problemlerin kaynağının İbn el-havvâm'ın eserinin olduğunu göstermiştir. İbn el-havvâm'ın eserinin nüshalarının yaygınlığı yanısıra, Kemâleddin el-fârisî'nin Esâs el-kavâid fi el-usûl el-fevâid ve Yahya b. Ahmed el-kaşi'nin İdâh el-mekâsid fi el-ferâid el-fevâid adlı şerhleri ve bu şerhlerin nüshalarının yaygınlığı Amili'nin bu çözümsüz problemlerinin kaynağını açık olarak göstermektedir. Amilî'nin verdiği yedi problem belirsiz denklem sınıfına girmektedir. Bu tür problemlerde istenilen bir denklem veya denklem sistemi için rasyonel bir çözüm bulmaktır. Amili'nin verdiği yedi çözümsüz problem şu şekildedir: 1. x+y=10 x+ x. y+ y = a, a varsayılan bir sayı. Bu denklem İbn el-havvâm'ın dördüncü problemine karşılık gelmektedir. İmâduddin el-kâşî, İbn el-havvâm'ın eserinin şerhinde bu problemi kıyas yöntemi ile çözmeyi denemiştir. Ancak problem 8 7 6 5 4 3 x + x 18x 38x + ( 71+ ax ) + ( 180 + ax ) + ( 90 0ax ) 0ax+ a= 0 şeklinde sekizinci dereceden bir denklemi çözmeyi gerektirir.. x + 10 = y x 10 = z Bu denklem İbn el-havvâm'ın on sekizinci denklemine karşılık gelmektedir. Bu tür denklemler "uyumlu sayılar" teorisi altında incelenebilir. Denklemin tam sayı bir çözümü olmadığını ilk defa el-hâzin göstermiştir. Daha sonra
Avrupa'da A. Gennochi adlı matematikçi denklemin rasyonel bir çözümü olmadığını ispatlamıştır. 3. x = 10 y y = 5 x Bu denklem İbn el-havvâm'ın on yedinci problemine karşılık gelmektedir. 4 Denklem x 0x + x + 95 = 0 şeklinde dördüncü dereceden bir denklem haline getirilir. Bu denklemin de rasyonel bir çözümü yoktur. 3 3 3 4. x + y = z Bu denklem İbn el-havvâm'ın yirmi dördüncü problemine karşılık gelmektedir. Bu problem Pierre de Fermat (öl. 1665)'nın n n n x + y = z, x, y, z Z, n> şeklindeki meşhur denkleminin n=3 özel halidir. İslam matematiğinde başta el-hazin ve el-hucendî olmak üzere bu denklemin n=, n=3 ve n=3 olma durumlarıyla ilgilenmişlerdir. Özellikle el- Hazin, Phytagoras üçlüleri konusunu incelerken bu denklemin üssünü ikiden 3 3 3 üçe çıkartarak x + y = z 'ün imkansızlığını ispatladığını düşünmüş; ayrıca el- Hucendî'nin aynı konuda verdiği geometrik ispatın yanlış olduğunu göstermeye çalışmıştır. 5. x + y =10 x y + = x y x Bu denklem İbn el-havvâm'ın yirmi dördüncü problemine karşılık 3 gelmektedir. Denklem x 8x 0x + 100 = 0 şeklinde üçüncü dereceden bir denklem haline getirilerek çözülebilir. Ancak denklemin diskriminantı negatif olacağından rasyonel bir çözümü mevcut değildir.
6. x y y x = ve x + y + z = u Bu denklem İbn el-havvâm'ın sekizinci problemine karşılık gelmektedir. Bu tür denklemlerde denklemin eşit olduğu kare bir sayı bulmak esastır. Daha önce Diophantus ve Ebu Kamil bu tip denklemlerle uğraşmışlardır. İbn el- Havvâm ise bu tarz denklemlere dokuz örnek vermektedir. Bu denklemin de rasyonel bir çözümü yoktur. 7. x + ( x+ ) = y x ( x+ ) = z Bu denklem İbn el-havvâm'ın on dokuzuncu problemine karşılık gelmektedir. Problem Amilî'nin ikinci denklemindeki gibi uyumlu sayılar teorisi içinde ele alınabilir. Ebu Kamil daha önce bu denklemin benzeri bir denklemi çözmüştür. Ebu Kamil'in yöntemi bu probleme uygulanırsa denklemin X=-, -17/16 ve 34/15 şeklinde üç çözümü olduğu görülür. A. Marre ve A. Gennnochi'nin bulduğu bu çözümler arasında parametrik bir uyum vardır. Kaynaklar: Cevad İzgi, Osmanlı Medreselerinde Riyâzî ve Tabîî Bilimlerin Eğitimi, İstanbul Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü, İstanbul 1994, s. 183-01; aynı müellif, "Osmanlı Medreselerinde Aritmetik ve Cebir Eğitimi ve Okutulan Kitaplar", Osmanlı Bilimi Araştırmaları, İstanbul 1995, s. 19-158; Carl Brockelmann, Geschichte der Arabischen Litteratur, c. II, Leiden 1949, s. 546-547, Supplementband, c.ii, Leiden 1938, s. 959-596, Türkiye Diyanet Vakfı İslam Ansiklopedisi, c. III, İstanbul 1991, s. 60-61; Salih Zeki; Asâr-ı Bâkiye, c. II, İstanbul 139, s. 95-96; Kadri Hafız Tukan; Turâs el-arab el-ilmî fî el-
Riyâdiyyât ve el-felek, Beyrut 1963, s. 474-48; Celâl Şevkî, el-'amâl el-riyâdiyye li-bahâuddîn el-amilî, Beyrut 1981, s.13-14, 16-1, 31-168; Kemâluddîn el- Fârisî, Esâs el-kavâid fi Usûl el-fevâid, tahkik: Mustafa el-mevaldî, Kahire 1994, s. 5-7, 606; Yahya b. Ahmed el-kaşi, İdâh el-mekâsid fi el-ferâid el-fevâid, Süleymaniye, Laleli, nr. 745, yaprak 197b; Katip Çelebi, Keşf el-zunûn 'an Esâmî el-kutub ve el-funûn, c. I, neşreden: Şerefttin Yaltkaya-Kilisli Rifat Bilge, İstanbul 1941, s. 70, Bağdadlı İsmail Paşa, Hediyyet el-arifin Esmâ el-müellifîn ve Asâr el-musannifîn, neşreden: İbnülemin Mahmud Kemal-Avni Aktunç, İstanbul 1955, c.ii, s. 73; İsmail Hakkı Uzunçarşılı, Osmanlı Devletinin İlmiyye Teşkilatı, III. baskı, Ankara 1988, s. 0 ve aynı sahifedeki numaralı dipnot; Aga Bozork, el-zeria ila Tesânif el-şia, İkinci baskı, c. XIII, s. 7-34 (nr. 810-845); M. Seyfeddin Özege, Eski Harflerle Basılmış Türkçe Eserler Kataloğu, c. II, 608; Y. İ. Serkis, Mu'cem el-matbû'ât el-arabiyye ve el-mu'arrebe, Kahire 1346, s. 163; İhsan Fazlıoğlu, "İbn el-havvâm, Eserleri ve El-Fevâid el-bahâiyye fi el-kavâid el-hisâbiyye'deki Çözümsüz Problemler Bahsi", Osmanlı Bilimi Araştırmaları, İstanbul 1995, s. 69-18; aynı yazar, İbn el-havvâm ve Eseri el- Fevâid el-bahâiyye fi el-kavâid el-hisâbiyye -Tenkitli Metin ve Tarihi Değerlendirme-, İstanbul Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü yayınlanmamış Yüksek Lisans Tezi, İstanbul 1993, s. 53-6, 68-70, 0-07, 15-155(Tenkitli metin).