Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde fazla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla veya ayrıca örek verlerde hareketle frekas dağılışlarıı sayısal olarak düzeleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlede kullaıla ser tplere göre hesaplamalarda kullaılacak formüller değşmektedr:
Taımlayıcı İstatstkler Yer Ölçüler )Artmetk ort. 2)Geometrk ort. 3)Harmok ort. 4)Mod 5)Medya 6)Kartller Değşkelk Ölçüler ) Rage (Değşm Aralığı) 2) Ort. Mutlak sapma 3) Varyas 4) Stadart Sapma 5) Değşkelk(Varyasyo) Katsayısı Çarpıklık Ölçüler )Pearso Asmetr Ölçüsü 2)Bowley Asmetr Ölçüsü Basıklık Ölçüler 2
Merkez Eğlm (Yer) Ölçüler Ver set taımlamak üzere kullaıla ve geellkle tüm elemaları dkkate alarak ver set özetlemek ç kullaıla ölçülerdr. Ver setdek tüm elemaları temsl edeblecek merkez oktasıa yakı br değerdr. Merkez eğlm ölçüler olarak da adladırılır. 3
Merkez eğlm ölçüler başlıca k gruba ayrılır:. Ser bütü brmlere tab ola merkez eğlm ölçüler(parametrk merkez eğlm ölçüler):tek br değer değşmesde etkler. Aşırı uçları etksde kalır:a.o,g.o.,h.o.,k.o. 2. Ser bütü brmlere tab olmaya merkez eğlm ölçüler:serdek her br değerde doğruda etklemez: Medya, mod, katller ve ortalama kartller. 4
Merkez Eğlm (Yer) Ölçüler Br veya brde fazla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareketle frekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde kullaıla ser tplere (bast, gruplamış, sııflamış) göre hesaplamalarda kullaılacak formüller değşmektedr. 5
6 Notasyo.. 2 2 2 2 2 2 ) ( 5. ) ( 4. 3. 2. ler toplamı '.,,, gözlem set hacml y b a by a a a a a a a y y y y y y
I.Parametrk Merkez Eğlm Ölçüler ) Artmetk Ortalama Üzerde celeme yapıla ver setdek elemaları toplaıp celee elema sayısıa bölümesyle elde edle yer ölçüsüe artmetk ortalama der. Serdek bütü değerlerde etkler. Halk dlde ortalama fades kullaıldığıda lk akla gele kavram artmetk ortalamadır. Örek: Sıav otlarıı ortalaması, Yaz aylarıda m 2 ye düşe ortalama yağış mktarı 7
Artmetk Ortalamaı Bazı Özellkler Artmetk dz şeklde artış veya azalışı göstere serler ey temsl ede parametrk merkez eğlm ölçüsüdür. Serdek brmler a.o.da sapmalarıı toplamı sıfırdır. ( X X) 0 Serdek brmler a.o.da sapmaları kareler toplamı mmumdur. 2 ( X X) 0 8
Artmetk Ortalama.. 4. Örek gözlemler tümü a gb br sabt le çarpılırsa bu ye ver set artmetk ortalaması da esk ver set artmetk ortalamasıı a le çarpımı kadar değşr. 5. Örek gözlemler tümü a gb br sabt le toplaırsa bu ye ver set artmetk ortalaması da esk ver set artmetk ortalamasıı a le toplamı kadar değşr. 6. Artmetk ortalama tüm verler hesaplama foksyou çde kullaması ede le güçlü br statstktr. 7. Artmetk ortalama verlerdek uç değerlerde etklemes se bu statstğ zayıf yöüü oluşturur. 9
Bast Serler İç Artmetk Ortalama X : örek hacm =,2,3,., Örek: Br fabrkada çalışa 5 edüstr müheds bldğ yabacı dl sayıları aşağıda verlmştr. Bua göre bu mühedsler bldğ yabacı dl sayısıı artmetk ortalamasıı hesaplayıız. 2,0,,2,0 X İ = 0,0,,2,2. = 5 =,2,,5 X 2 0 2 0 5 0
Gruplamış Serler İç Artmetk Ortalama k k X f Grup Frekas(f) f f 5 5 66 3 98 72 4 288 82 5 40 94 7 658 f =20 605 k f f : frekas k: grup sayısı =,2,3,.,k Örek: Br Samsug baysdek LCD televzyoları ekra boyutlarıa göre satış mktarları verlmştr. Frekas dağılımıı artmetk ortalamasıı hesaplayıız. k k X f f 5() 66(3)... 94(7) 3 4 5 7 605 20 80.25
Sııflamış Serler İç Artmetk Ortalama f : frekas k : sııf sayısı =,2,3,.,k k m k f f k f m : sııf orta oktası Sııflamış serlerde her br sııf çdek değerler eler olduğu blmedğde ve yalızca her br sııfı frekas değerler bldğde sııfı temsl etmek üzere sııf orta oktaları hesaplaır. Kullaıla formül gruplamış serler ç kullaıla formüle bezerdr. 2
Örek: Aşağıdak Tabloda 30 gülük süre çde br restoraı kulladığı et mktarıı dağılımı verlmştr. Gülük kullaıla et mktarıı artmetk ortalamasıı hesaplayıız. Sııflar f m m f 30-36 da az 2 33 66 36-42 de az 6 39 234 42-48 de az 0 45 450 48-54 da az 7 5 357 54-60 de az 4 57 228 60-66 de az 63 63 Toplam 30 398 k k m f f 33(2) 39(6)... 63() 398 30 30 46.6 kg. 3
2.Ağırlıklı Artmetk Ortalama.. Gözlemler bell br krtere göre ağırlıkladırılmış se ağırlıklı artmetk ortalama kullaılır. Ağırlıklı artmetk ortalama kullaılırke tüm gözlemler ağırlıkları eşt se artmetk ortalama le ayı soucu verr. İde sayıları hesaplamasıda, yüzdeler ortalamasıda çarpımları ortalamasıı alımasıda kullaılır. 4
Bast serler ç w f 4 3 00 A(4) 4 2 90 B(3) 3 2 00 A(4) 3 3 85 B(3) 3 2 75 C(2) 3 2 50 D() 3 20 F(0) 2 2 60 C(2) Ağırlıklı Artmetk Ortalama w Örek : Br öğrec w kredl, f adet derste otu almıştır. w w w 43 4 4 23... 2 2 2 49 43 4 2... 2 2 54 2.77 5
3. Geometrk Ortalama Br ver setde bulua adet elemaı çarpımıı c derecede köküü alımasıyla elde edle yer ölçüsüdür. G X X 2... X Geometrk ortalamaı formülüe bakıldığıda hesaplama zorluğu olduğuda logartma fades kullaılır. Geellkle bast serler ç kullaışlı olup egatf sayılar ç kullaışlı değldr. Log G log X G at log log X 6
Geometrk Ortalama ı Kullaım Alaları Ortalama oraları, Değşm Oraları, Logartmk dağılış göstere ver setler, ç kullaışlıdır. Örek: fyat deksler, faz formüller. 7
Örek: Br alışverş merkezdek 5 farklı meyve satış fyatı aşağıdak gbdr. Bua göre meyveler satış fyatlarıı geometrk ortalamasıı hesaplayıız. Elma:,5 YTL. Üzüm: 2,5 YTL Erk: YTL Muz : 3 YTL. Armut : 2 YTL. 5 G X X 2... X (.5)(2)(2.5)(3) 5 22.5.86 YTL. log X 0 0.7609 0.3003 0.39794 0.4772 Log G 5.3528 Log G 0.27045 5 G = at log 0.27045 = 0 0.27045.86 YTL. 8
Geometrk Ortalama. 0 olmalıdır. 2. G 3. G 2 G G 4. 2 G 5. Uç değerlerde artmetk ortalama kadar etklemez. 9
4. Harmok Ortalama Br ver setde bulua adet elemaı çarpma şleme göre tersler artmetk ortalamasıı ters alımasıyla elde edle yer ölçüsüdür. Geellkle bast serler ç kullaışlıdır. H... X X X 2 H X... X X X 2 20
Harmok Ortalama ı Kullaım Alaları Belrl fyat tpler, Zama serler, ç kullaışlıdır. NOT: ARİTMETİK ORT. > GEOMETRİK ORT. > HARMONİK ORT. 2
Örek: Br tekstl fabrkasıda çalışa dört kş br patolou ütüleme süreler aşağıda verlmştr. Bua göre bu fabrkada br patolo ortalama kaç dakkada ütüler? İşç : 0 dk. İşç 2: 6 dk. İşç 3: 4 dk. İşç 4 : 5 dk. H 4 5 6 4 0 43 240 H 240 43 5.58 dk. 22
II.Parametrk Olmaya Merkez Eğlm Ölçüler.Mod Br ver setde e çok gözlee ( e çok tekrar ede ) değere veya frekası e fazla ola şas değşke değere mod adı verlr. Ver set modu olmayacağı gb brde fazla da modu olablr. Mod geellkle keskl şas değşkel ç oluşturula gruplamış serlerde artmetk ortalama yere kullaılablr. 23
Bast Serler İç Mod Örek: Br fabrkada çalışa 5 edüstr müheds bldğ yabacı dl sayıları aşağıda verlmştr. Bua göre bu mühedsler bldğ yabacı dl sayısıı moduu hesaplayıız. : 2,0,,2,0,,0 0,0,0,,,2,2. Ver setde e çok tekrar ede elema 0 olduğuda (3 kez ) mod değer 0 dır. Eğer ver set,0,,2,0,,0 şeklde olsaydı ver set k modlu olacaktı. ( 0 ve ) Eğer ver set 2,0,,2,0, şeklde olsaydı ver set moduu olmadığı fade edlecekt. 24
Gruplamış Serler İç Mod Örek: Aşağıdak tabloda br Samsug baysdek LCD televzyoları ekra boyutlarıa göre satış mktarları verlmştr. Frekas dağılımıı artmetk ortalamasıı hesaplayıız. Ekra Satış Aded 5 66 3 72 4 82 5 94 7 Frekas dağılımıa bakıldığıda e fazla satış mktarı 94 ekra LCD televzyoda olduğuda dolayı ( 7 adet ) dağılımı moduu 94 olduğu söyler. Eğer 82 ekra LCD televzyolarıda da 7 adet satılsaydı dağılımı k modu olduğu fade edlrd. ( 82 ve 94 ) 25
Sııflamış Serler İç Mod Sııflamış serlerde mod değer hesaplaırke lk olarak mod sııfı belrler. Mod sııfı frekası e yüksek ola sııftır. Mod sııfı belrledkte sora bu sııf çersde yer ala modu tam değer sııf frekası ve kede komşu ola sııf frekasları dkkate alıarak hesaplaır. 26
Mod = L. mod 2 L Mod = Mod Sııfı Aralığıı Alt Sıırı = 2 Mod Sııfı Frekası - Kedde Br Öcek Sııf Frekası = Mod Sııfı Frekası Kedde Br Sorak Sııf Frekası = Mod Sııfıı Sııf Aralığı 27
Örek: Aşağıdak tabloda 30 gülük süre çde br restoraı kulladığı et mktarıı dağılımı verlmştr. Gülük kullaıla et mktarıı moduu hesaplayıız. Mod sııfı Sııflar f 30-36 da az 2 36-42 de az 6 42-48 de az 0 48-54 da az 7 54-60 de az 4 60-66 de az Toplam 30 Mod Lmod. 2 (0 6) 42.6 45.4 kg. (0 6) (0 7) 28
2. Medya Br ver set büyükte küçüğe veya küçükte büyüğe sıraladığımızda tam orta oktada ver set k eşt parçaya ayıra değere medya adı verlr. Ver setde aşırı uçlu elemalar olduğuda artmetk ortalamaya göre daha güvelrdr. Medya, ver setdek tüm elemalarda etklemez. 29
Bast Serler İç Medya Ver Set Hacm Tek Sayı İse; 2 c gözlem değer medyadır. Ver Set Hacm Çft Sayı İse; 2 ve 2 c gözlem değer artmetk ortalaması medyadır. 30
Örek: İstatstk I ders ala 0 öğrec vze otları aşağıdak gb sıralamıştır. Bua göre vze otları ç medya değer hesaplayıız. 30,42,56,6,68,79,82,88,90,98 /2 ve (/2)+ c elemalar 68 ve 79 olup buları ortalaması 73.5 medya değerdr. Ver Set 30,42,56,6,68,79,82,88,90 şeklde 9 adet verde oluşsaydı (+)/2 c elema ola 68 ver set medyaı olacaktı. 3
Gruplamış Serler İç Medya Gruplamış serlerde medya değer hesaplaırke ver set tam orta oktasıı hag gruba at olduğuu belrlemek ç kümülatf frekas sütuu oluşturulur. Sıra umarası belrledkte sora o sıra umarasıa at grup medya değer olarak fade edlr. 32
Grup Frekas f 5 66 3 4 72 4 8 82 5 3 94 7 20 Örek: Yadak tabloda br Samsug baysdek LCD televzyoları ekra boyutlarıa göre satış mktarları verlmştr. Frekas dağılımıı medyaıı hesaplayıız. /2 ve (/2)+ c gözlem değerlere karşılık gele değerler (0 ve c sıra (3 ü çde)) 82 olduğuda dolayı medya değer 82 dr. Grup Frekas f 5 66 3 4 72 4 8 82 5 3 94 2 5 Frekas dağılımı yadak gb olsaydı (+)/2 c elemaa ( 8 c elemaa ) karşılık gele sayı 72 olduğuda dolayı ver set 33 medyaı 72 olacak d.
Sııflamış Serler İç Medya Sııflamış serlerde medya değer hesaplaırke lk olarak medya sııfı belrler. Medya sııfı kümülatf frekaslar dkkate alıdığıda toplam frekası yarısıı çde buludura sııftır. Medya sııfı belrledkte sora medya sııfıda br öcek sııfı kümülatf frekası ve medya sııfı frekası dkkate alıarak hesaplaır. 34
Medya L f 2 l. med f med f L med : Medya sııfıı alt sıırı f l : Medya sııfıda br öcek sııfı kümülatf frekası f med : Medya sııfıı frekası 35
Örek: Aşağıdak Tabloda 30 gülük süre çde br restoraı kulladığı et mktarıı dağılımı verlmştr. Gülük kullaıla et mktarıı medyaıı hesaplayıız. Medya sııfı Sııflar f f 30-36 da az 2 2 36-42 de az 6 8 42-48 de az 0 8 48-54 da az 7 25 54-60 de az 4 29 60-66 de az 30 Toplam 30 f fl Medya L 2 med. f med 5 8 42.6 46.2 kg. 0 36
3.Kartller Br ver set büyükte küçüğe veya küçükte büyüğe sıraladığımızda dört eşt parçaya ayıra üç değere kartller adı verlr. İlk % 25 lk kısmı çde buludura. Kartl (Q ), % 50 lk kısmı çde buludura 2. Kartl (Q 2 ), % 75 lk kısmı çde buludura 3. Kartl (Q 2 ), olarak adladırılır. %50 lk kısmı çde buludura 2. Kartl (Q 2 ) ayı zamada ver set medyaıdır. %25 %25 %25 Q Q 2 Q 3 %25 37
Bast Serler İç Kartller.Kartl Q Ver Set Hacm Tek Sayı İse; 3.Kartl Q 3 Ver Set Hacm Tek Sayı İse; 4 c gözlem değer, değer, 3 4 c gözlem Ver Set Hacm Çft Sayı İse; 4 ve 4 c gözlem Ver Set Hacm Çft Sayı İse; 3 4 ve 3 4 c gözlem değerler artmetk ortalaması.kartl verr. değerler artmetk ortalaması 3.Kartl verr. 38
Örek: İstatstk I ders ala 0 öğrec vze otları aşağıdak gb sıralamıştır. Bua göre vze otları ç Q ve Q 3 değerler hesaplayıız. 30,42,56,6,68,79,82,88,90,98 /4=2.5 ve (/4)+=3.5 c elemaları 2.5+3.5=6/2=3 cü elema 56 olduğuda Q =56, 3/4=3(0)/4=7.5 ve (3/4)+=7.5+=8.5celemaları artmetk ortalaması 6/2=8c elema 88 olduğuda Q 3 =88 dr 30,42,56,6,68,79,82,88,90 şeklde 9 hacml olsaydı, (+)/4=2.5 cü elema ola 42+56=98/2=49 olduğuda Q =49,.Kartl, (3+)/4 =28/4=7. c elema ola 82 Q 3 =82 olarak fade edlrd. 39
Gruplamış Serler İç Kartller Gruplamış serlerde kartller hesaplaırke ver set lk çeyrek ve so çeyrek kısmıı tam olarak fade etmek amacıyla kümülatf frekas sütüü oluşturulur. Gruplamış serlerde örek hacm tek veya çft olduğua bakılmaksızı /4 cü elema.kartl (Q ), (3)/4 cü elema se 3. Kartl (Q 3 ), olarak fade edlr. 40
Grup Frekas f 5 66 3 4 72 4 8 82 5 3 94 7 20 Grup Frekas f 5 66 3 4 72 4 8 82 5 3 94 2 5 Örek: Yadak tabloda br Samsug baysdek LCD televzyoları ekra boyutlarıa göre satış mktarları verlmştr. Frekas dağılımıı. ve 3 cü Kartller hesaplayıız. /4=20/4=5 değere karşılık gele sıra grup değer 72 olduğuda.kartl; ve 3(20)/4 =60/4=5 değere karşılık gele grup değer 94 olduğuda 3.Kartl olarak fade edlr. Frekas dağılımı yadak gb verlmş olsaydı /4=3.75 değere karşılık Q = 66 ve 3(5)/4 =.25 Q = 66 ve Q = 82 olacak d. 4
Sııflamış Serler İç Kartller Sııflamış serlerde kartller hesaplaırke lk olarak kümülatf frekas sütuu oluşturularak kartl sııfları belrler. Kartl sııfları belrlerke gruplamış serlerde olduğu gb /4 ve (3)/4 cü sıralardak elemaları hag sııflara at seler o sııflar kartl sııfları olur. Kartl sııfları belrledkte sora bu sııflarda br öcek sııfı kümülatf frekası ve mevcut sııf frekası dkkate alıarak kartl değerler hesaplaır. 42
43 f f f L Medya Q Q l Q. 2 2 2 2 f f f L Q Q l Q. 4 3 3 3 3 f f f L Q Q l Q. 4. Kartl 3. Kartl 2. Kartl
Örek: Aşağıdak tabloda 30 gülük süre çde br restoraı kulladığı et mktarıı dağılımı verlmştr. Gülük kullaıla et mktarıı c ve 3 cü kartller hesaplayıız. Q sııfı Q 3 sııfı f fl Q 4 LQ. f Sııflar f f 30-36 da az 2 2 36-42 de az 6 8 42-48 de az 0 8 48-54 da az 7 25 54-60 de az 4 29 60-66 de az 30 Toplam 30 Q 7.5 2 36.6 4.5 kg. 6 3 f fl Q 4 3 LQ. 3 f Q 22.5 8 48.6 5.9 kg. 7 3 44