7 GİİŞ 7 BİİNCİ METEBEDEN LİNEE DENKLEM SİSTEMLEİ Yüksk mrbd lr dfrasl dklm çözümüü zor olması d l dklm mrbd lr dfrasl dklm ssm, burada da lr br problm döüşürülrk blgsaar oramıda çözüm araır Örk: Mkak br kül a ssm gl dklm m,γ,k sab olmak üzr m k F() k mrbd dfrasl dklm karşılık glr Bu dklm karşılık gl mrbd dfrasl dklm buluuz =, = döüşümü apılır Burada v m k F () olur,, vrl dklmd rlr azılarak buluur v aşağıdak mrbd dfrasl dklm sağlar k F() m m m ( ) Bzr maık F(,,,, ) şkldk mrbd br dfrasl dklm a br mrbd dfrasl dklmlr ssm döüşürmk çd kullaılır,,, dğşklr =, =, =, = (-) şkld aımlaırsa; ( ) bular F(,,,, ) dklmd dkka alıırsa F(,,,, ) buluur E gl durumda mrbd lr dklmlr l ssm DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN -
a ( ) a ( ) g ( ) a ( ) a ( ) g ( ) a ( ) a ( ) g ( ) şkld vrlblr Va kapalı formda ( ) A( ) ( ) g( ) g()= s homoj ssmdr Ssm k olarak ( )=, ( ),, ( ) başlagıç koşulları da vrlrs başlagıç dğr problm oluşur +p() +q()= k mrbd dfrasl dklmlr = v = döüşümü kullaılarak mrbd dfrasl dklm ssm şkld azılırlar q( ) p( ) l a a a a l =A ssm oluşurulur Örk: ) + += mrbd homoj lr dfrasl dklm karşı gl mrbd dfrasl dklm ssm buluuz Bulduğuuz mrbd dfrasl dklm ssm =A formuda azıız Çözüm: = v = döüşümü kullaılarsa v v l rlr koursa buluur Dolaısıla v aşağıdak mrbd dfrasl dklm sağlar DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 6
DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 7 =A 7 MATİSLE Yüksk mrbd lr dfrasl dklmlr, Br mrbd lr dklmlr ssm drgdğd mars kavramı v özllklr doğal olarak oraa çıkmakadır Br mars A(m) şkld m m a a a a a a A şkld gösrlr A mars saırı j süuuda bulua lmaı a j l gösrlr a j lr rl olablğ gb komplks d olablr A mars saır v süularıı r dğşrlmsl ld dl mars A ı rapozs dr v A T l gösrlr Arıa a j l a j komplks şlğ alaşılmakadır A a A mars şlğ dr (Eşlk mars saı rl s kds saal s rs şarls şr) Arıa A * =A T dr Burada A * a A ı ş(adjo)dr örk A= 8 s A T, A v A * ı gösrz A T = 8, A = 8 A * =A T = 8
7 Marslr Özllklr: Eşlk : A(m) v B(m) k mars ş olması ç karşılıklı lmalar brbr ş olmalıdır Toplam: A(m) v B(m) k mars oplamı karşılıklı lmalarıı brbrlrl oplamıdır A+B=C Toplamada dğşm v brlşm özllklr vardır A+B=B+A, A+(B+C)=(A+B)+C Sıfır mars : büü lmaları ola marsr = Skalrl Çarpım: A(m) mars üm lmalarıı o skalrl çarpımıdır Çarpım: k mars çarpılablms ç br mars süu saısı k mars saır saısıa ş olmalıdır A(m)*B()=C(m) dır Çarpma şlmd dğşm özllğ okur () (AB) T =B T A T (AB) - =B - A - (A - ) - = A (A T ) T = A (A+B) T = A T +B T A = A T s Smrk mars A T = -A s rs smrk/amrk mars(köşglr dır) A * = A T =A s hrma mars A * = A T =-A s rs hrma marsr Br mars z köşg üzrdk lmaları oplamıa şr Tr(A) l gösrlr Tr(A)= a +a ++a dır Trs smrk mars z dır Trazpoz z kds şr DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 8
Vkörlr Çarpımı Mars çarpımlarıı özl hal olarak l alıablr Eğr A v B marslr () v() saır v süu marslr s v bulara T v vkörlr dlrs; T = İk vkörü çarpımı l lgl dğr br çarpımda skalr çarpım va ç çarpım dır Bu çarpım; dır (,)= va (,)= T (şlk) şklddr (,)=(,), (,)=(,), (,+z)=(,)+(,z), (,)= (,) (, ) T Örk:, T =(-)+(-)()+(+)()= + (,)= (+)+-(-)+(+)()= +7 T = +- +(+) = + (,)= ()(-)+(-)(-)+(+)(-)= 7 (, ) (,)= T DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 9
7LİNEE DENKLEM SİSTEMLEİ a +a +a ++ a =k a +a ++a =k blml dklmd oluşa ()ssm brsl lr dklm ssm dr Bu ssm bas olarak A=K şkld vrlblr Burada A() mars v K vkörü vrllr, s araadır Eğr A=K ssmd K= s bu ssm homoj ssm K s bu ssm homoj olmaa ssm dr Eğr A mars osgülr s(da ) A=K ssm k çözümü buluur =A - *K A mars sgülr s (da= ) a çözüm okur va varsa k dğldr A mars sgülr olduğuda rs okur dolaısıla ukarıdak gb br çözümü okur A= homoj ssm sıfırda farklı sosuz saıda çözüm sahpr A=K ssm çözümü A K a a a a K a a K Gşllmş mars lmar saır şlmlr ugulaarak A mars üçg mars (köşg alıdak lmalar ola mars) hal grlr v gşllmş mars aralaılarak blmlr ( =) buluur Blmlr ssm çözümüdür DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN -
DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - Elmar saır şlmlr İk saırı rlr dğşrmk Br saırı skalr saı l çarpmak Skalrl çarpılmış br saırı dğr br saırla oplamak da s A mars lmar saır şlmlr l I(brm mars) döüşürülblr A mars I mars döüşürülmsd kullaıla lmar saır şlmlr I mars ugulaırsa A - mars (rs mars) ld dlr ( gşllmş mars l blrlr) Örk A= mars rs lmar saır şlmlr ardımıla buluuz I A + v - + saır şlmlr l + / - + v- + -* + 7 6 8 7 7 [ I I A - ]
Mars Foksolar: Baz vkörlr v marslr,lmaları dğşk bağlı foksolarda oluşaak şkld aımlaablr Bu durumda br vkör l mars ( ) a ( ), A( ) ( ) a ( ) ( ) a ( ) a ( ) formuda azılır Bu şkld aımlamış br A() mars üm lmaları br = okasıda va aralığıda sürkl s A() sürkl dr Bzr şkld A() hr lmaı dfrasllblr s A() dfrasllblr dr v da d dr da d j s A()= A os ()= os A ( ) d şkld aımlaır A() gral s; s os s s / s b b ( ) d a A a ( ) d b a A () v A ( ) d? v / a j Aalz brçok kuralı mars foksoua gşllblr Bular aşağıdadır d d da ( CA) C C sab d d d da ( A B) d db d d d da ( AB ) B d Örklr db A d + + + = +6 + + = + + - = + + + = dklm ssm çözüüz DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN -
DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 6 K A saırla saırı r dğşrlm 6 AK (-) +, (-/) + v (-) + saır şlmlr ugular v daha sora saırı l çarparsak(* ) 7 8 K A ld dlr Daha sora da sırasıla ( + ), ( /) v (- + ) saır şlmlr l K A ld dlr - =- 6 6, v 6 7 lmar şlmlrl 6 7 66 =-66, =7, =6, = buluur 6 7 66 gl Bu forma Gauss Jorda Elmasou dr
DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - ÖDEV ) A*=K ç - + = + + =- + = ssm gl çözümüü buluuz ) A*=K şkld H A K 7 a) ssm çözülblms ç H=? (H=/) b) gl çözümü hsaplaıız ) A*= homog 8 7 6 dklm ssm çözüüz çözüm: ( =, =, =-(9 +7 ), =-((6/) + ) ) A*=K ssm gl çözümüü hsaplaıız A= 6 K= 7 X= 7 6 (- + ) v ( + ) saır şlmlr ugularsak
DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - burada ( - ) v ( /) l / v + l / 7/ olur Blm saısı()=, lmzd grçk var ola dklm saısı(u)= o hald rak(r)= dr (rak= lmzd grçk var ola dklm saısıdır) (-r) a kf paramr sçlblr Bu durumda br blm kf olarak sçblrz + =7/ =-/ Özl çözüm ç (A*=K ı çözümü) + =7/ =-/ d = sçrsk =7/- olur X= özl + homoj = / 7/ / 7/ Vrl ssm A*= (homoj olsa) + = = olurdu homoj çözüm ç ( homoj ) =,, sdğmz gb sçblrz = sçrsk =- olur homoj =
DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 6 Ödvlr çözümlr ) A K= A*=K saırı saırla r dğşrlm 8 olamaz D(A)= ÇÖZÜM YOKTU ) A*=K ssm H A K 7 8 H / ) ( / H / / / H (/) = = -/ = H- H-= H=/
DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 7 H=/ r koursa / / / / / / = rag(r)= -r= kf paramr sçlblr = = sçlm + + + = + -/ = =- =(-)/=/- +((-)/)+= +-= =+ gl = olur gl = özl + homoj homoj çözüm ç:(a*= ssm) = = sçlm + + + = + -/ = =- =- hom oj +-+= -= = ) A*= homog 8 7 6 dklm ssm çözüüz
DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 8 çözüm: 8 7 6 7 9 8 7 6 = rag(r)= -r= kf paramr sçlblr = = sçlm -6 +7 +8 = - -9-7 = =-(9 +7 ) =-(6/ + ) olur gl = 7 9 6 7 LİNEE BAĞIMSIZLIK, Br Mars Özdğrlr v Özvkörlr (), (),, (k) vkörlr ç,,, k larda br sıfırda farklı olmak üzr () + (), + k k = s lr bağımlıdır = = = k = s lr bağımsızdır (), (), (k) vkörlr bağımsız olması ç grkl v rl koşul d() olmalıdır örk : () =,, () () vkörlr lr bağımlı olup olmadığıı araşırıız lr bağımlı s aralarıdak lr bağııı buluuz d( j )= (), (), () lr bağımlıdır () + () + () =
DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 9 l apıla şlmlrl(- + VE + ) mvu dklm saısı=, blm saısı= rak=-, blm kf olarak sçlblr burada kf olarak sçlrk dğrlr blrlr =- sçlrs + - = - = l =, =- () - () - () = buluur ÖNEK : =s, =os foksolarıı lr bağımsız olduğuu gösr ( lr lr bağımsız olması durumuda Wrosk drmaı sıfırda farklıdır) w= = s os os s =-(s) -(os )=- öls vrl foksolar lr bağımsızdır ***Hr mars ç aahar: k k dklm akımıı kur da farklı çözüm varsa lr bağımlıdır
DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - Br Mars Özdğrlr v Özvkörlr d(a- l karakrsk dklm köklr (özdğrlr) hsaplaır v hrbr kök ç bulua sıfırda farklı çözümlr s özvkörlr dr Örk: A mars özdğrlr v bu özdğrlr karşı gl özvkörlr buluuz Özdğrlr = --= = =- (farklı rl kök) = özdğr ç =- = = =- ç özdğr = = = Örk: A mars özdğrlr v bu özdğrlr karşı gl özvkörlr buluuz
DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - Özdğrlr = -7+6= = =6 (farklı rl kök) = özdğr ç =- = s = olur = = kf sab olduğuda = sçlrs = = =6 özdğr ç 6 6 = = s = = = =
7 Lr v Sab Kasaılı Dfrasl Dklm Ssm Marslr Yardımı İl Çözümü d d d d a +a +a ++ a +f () a +a +a ++ a +f () d d a +a ++a + f () şkldk br ssm, sab kasaılı lr v homoj olmaa br ssmdr Bu ssmd f ()= f ()= =f ()= s s ssm homoj ssm adıı alır Homoj olmaa lr ssm gl çözümüü bulmak ç, ö homoj ssm çözülür sora da homoj olmaa ssm br özl çözümü araır v bular oplaır Bu ssm marslr ardımıla d a d d a d d a d a a a a f( ) a f( ) a f ( ) Ssm kapalı formu d d A+f() olur Ssm Homoj s, ukarıdak fad şkl alır d d A= DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN -
Homoj Ssm Çözümü İç d(a- l karakrsk dklm köklr (özdğrlr) hsaplaır v hrbr kök ç bulua sıfırda farklı çözümlr s özvkörlr dr özvkörlr buluarak homoj çözüm ld dlr Ödv: A mars karşı gl özdğr v özvkörlr buluuz Hrma Ssmlr Marslr öml br al sııfı kd ş va Hrma marslrdr Bu marslr A * =A a a koşuluu sağlarlar j a j Hrma marslr br al sııfı da smrk rl marslrdr A T =A şarı sağlaır Hrma marslr öz dğrlr v öz vkörlr aşağıdak koşulları sağlarlar ) Tüm öz dğrlr rldr ) Öz dğrlr kalılıkları dahl, özdğr karşı a lr bağımsız özvkör karşı glr ) Eğr () v () öz vkörlr farklı öz dğrlr karşı gl öz vkörlr s ( (), () )= sağlaır Böl ğr öz dğrlr bas s(kalılığı br ola) olara karşı gl öz vkörlr orogoal (dk) vkörlr ümls oluşurur (hr öz vkör br dğr dk) ) m kalılıkak br öz dğr karşı gl öz vkörlrd m a orogoal özvkör sçlblr Eğr A mars rl v smrk br mars s özdğrlr rl v bu öz dğrlr karşı gl öz vkörlr d rl dğrl foksolardır Torm 7 Eğr () v () öz vkörlr =A() homoj ssm çözümlr s v kf v sablr ç () + () kombasou da br çözümdür ssm k çözümü () ( ), () ( ) dr orm 7 d = () + () DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN -
mrbd =A() homoj ssm a çözümü (), (),, () olsu v X() mars süuları(koloları), () (), () (),, () () vkörlr olsu X( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) olsu Bu X() drmaıa (), (),, () çözümlr Wrosko dr v W (), (),, () =d(x) l gösrlr (), (),, () çözümlr lr bağımsız olması ç grk v r koşul W (), (),, () olmasıdır Torm 7 Eğr (), (),, () vkör foksoları =A() homoj ssm a a hr okada lr bağımsız çözümlr s, bu akdrd homoj ssm hr =() çözümü (), (),, () lr lr kombasou olarak k ürlü blrlr ()= () ()+ () ()++ () () Torm 7 Eğr (), (),, () aralığı üzrd =A() homoj dklm çözümlr slr bu akdrd bu aralıka W (), (),, () a özdş olarak sıfırdır a da hçbr rd sıfır dğldr No: =A() homoj dklm kf br (), (),, () çözümlr ümls aralığıı hr okasıda lr bağımsız s bu aralıka (), (),, () çözümlr ümls ml üml dr DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN -
Torm 7 (), (), () olsu Arıa (), (),, () lr okası aralığıa a kf br oka olmak üzr () ( )= (),, () ( )= () başlagıç koşullarıı sağlaa =A() homoj ssm çözümlr olsu Burada (), (),, () lr =A() homoj ssm çözümlr ml ümls oluşurur d(a- l karakrsk dklm köklr (özdğrlr) hsaplaır v hrbr kök ç bulua sıfırda farklı çözümlr s özvkörlr dr özvkörlr buluarak homoj çözüm ld dlr FAKLI İKİ EEL KÖK VA İSE (r,r=, ) KATLI KÖK VA İSE gl = + (r=r=r=λ) gl = + ( + ) KÖKLE KOMPLEKS İSE (r=(+), r=(-)) (-) = α (osβ-sβ) (+) = α (osβ+sβ) gl = (-) + (+) DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN -
DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 6 7 SABİT KATSAYILI HOMOJEN LİNEE DENKLEM SİSTEMLEİNİN ÇÖZÜMÜ 8 dfrasl dklm ssm gl çözümüü buluuz Çözüm: =A d(a-i)= oluşurularak özdğrlr: 8 d =(-)(-)(--)--(--)-8+-+8(-)=- - ++= =-, =-, = ( farklı rl kök) =- ç 8 8/ / / 7/ / 7/ / 7/ / 7/ 7 7 =7 sçrsk ~ = = 7
DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 7 =- 8 + + = - = = =- = -/ = sçrsk ~ = = = ç 8 - + + = + = =- = = sçrsk ~ = = Farklı rl kök olması durumuda gl = + + d Y gl = 7 + +
Hrma Olmaa Ssmlr Eğr A mars hrma dğls, =A ssm çözümlr bulmak daha karmaşıkır A ı rl mars olduğu kabul dlrs, Amars özdğrlr ç üç durum oluşur ) Aı üm öz dğrlr rl v farklıdır Ssm gl çözümü gl = + ++ dr ) Aı bazı özdğrlr komplks şlklr l buluur ) Aı bazı özdğrlr kalı buluur 76 Komplks Özdğrlr =A homoj ssm l alısı A mars rl dğrl olsu Bu durumda d(a- karakrsk dklm kasaıları rl olaağıda, karakrsk dklm köklr ola özdğrlr br kısmı komplks şlklr l buluablr Örk olarak A ı özdğrlr(köklr )komplks s gl özvkörlrd komplks şlkldr ( =a+b, =a-b ) a, b rl ( λ =+, λ =- ) bulara karşı Dolaısıla l alıa dfrasl dklm gl çözümü () ()= () ()= )= =(a+b) v λ =+ olduğu dkka alıarak () () rl v saal kısımlara arılırsa () ()= ( aos bs ) ( as bos) olur Kısaa ukarıdak şlk rl kısmıa u() v saal kısma v() drs (u() v v() rl dğrl foksolar) () ()= u()+ v() şkld ld dlr Örk olarak A ı k özdğr ( λ =+, λ =- ) v dğr üm özdğrlr rl v farklı s, gl çözüm gl = u()+ v()+ DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 8
= dfrasl dklm ssm gl çözümüü buluuz Çözüm:, =A d(a-i)= oluşurularak özdğrlr: = ++/= =-/+, =-/- komplks kök =-/+ ç özvkörlr - =- = l = = =-/- ç öz vkörlr + = =- = = No: Komplks kök durumuda br kök ç çözüm apmak rldr,,k kökü çözümü ç sad lk komplks kök ç bulua çözümdk saal kısımlar şar dğşrr Gl çözüm: şklddr gl = (-) + (+) gl = (-/+) + (-/-) (-/+) = -/ (os+s) (-/-) = -/ (os-s) gl = -/ (os+s)+ -/ (os-s) DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 9
DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 6 gl = -/ (os+s)+ -/ (os-s)+ -/ (os+s)- -/ (os-s) = -/ ( + )os+( - )s+ -/ ( - )os-( + )s ( + )=C ( - )=C DESEK gl = -/ C os+c s+ -/ C os-c s = / / os s s os VEYA (-/+) = -/ (os+s) () ()= -/ (os+s) () () rl v saal kısımlara arılırsa = ) ( ) ( os s s os / / v u u() v v() buluduğuda () () şlğ bulmada da gl çözüm buluur Burada l alıa dfrasl dklm gl çözümü gl = u()+ v()= / / os s s os dfrasl dklm ssm gl çözümüü buluuz Çözüm: =A d(a-i)= oluşurularak özdğrlr: d =(-)(-)(-)+=(-)( -+)=
DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 6 =, =-, =+ = ç = =-/ ~ = = =- ç öz vkörlr = s ~ = = =+ ç öz vkörlr ~ = = No: Komplks kök durumuda br kök ç çözüm apmak rldr,,k kökü çözümü ç sad lk komplks kök ç bulua çözümdk saal kısımlar şar dğşrr Gl çözüm: gl = + (-) + (+) şklddr gl = + (-) + (+)
(-) = (os - s) (+) = (os + s) d (+ - ç) (-) = (os- s) (+) = (os + s) (-) (-) + () (+) = (- - + ) ( =-) = (- (os-s)- (os+s)) = ( - )os-( + )s ( - )=, -( + )= l gösrrsk = ( os+ s) (-) + (+) = (os-s)+ (os+s) = ( + )os+( - )s) ( - )=, -( + )= l gösrdğmzd = - os+ s) gl = + (-) + (+) gl = + os s + s os VEYA DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 6
=+ ç özvkörlr olsa (+) va = ~ = (os + s) l rl v saal kısımlara arılırsa () ()= os s + s =u()+v() os (u(),v() buluduğuda () () şlğ bulumada da gl çözüm buluur) gl çözüm:,, kf sablr olmak üzr gl = λ + u()+ v() gl = + os s + s os 77 KATLI KÖK DUUMU r=λ özdğr, Amars kalılığı k ola br özdğr olsu v bu özdğr karşı gl bra özvkörü olsu Bu durumda ssm çözümü () ()= λ () şklddr V vkörü dklm sağlar Ssm k çözümü (A-λI) = () () ()= λ + λ () DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 6
şkld araır () dklmdk () dklm sağlar, s (A-λI) = () d buluur kısaa kalı kök durumuda bulua lk çözüm, şlğ sağ arafıa azılarak k kök dğr ç çözüm ld dlr Gl çözüm dr gl = () () + () ()= + ( + ) r=λ özdğr kalılığıı üç olması durumu I durum r=λ üç kalı özdğr, v lr bağımsız özvkörlr karşı gls Bu durumda lr bağımsız çözümlr şklddr () ()= λ () ()= () ()= λ λ IIdurum r=λ üç kalı özdğr karşı br a lr bağımsız özvkörü karşı gldğ varsaılsı Bu durumda lk çözüm l, k çözüm () ()= λ () () ()= λ + λ (6) l v üçüü çözüm s () ()= λ + λ + λ (7)! l buluur (7) dklmdk () dklm, () dklm sağlar v s (A-λI) (8) DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 6
dklmd blrlr (8) dklm çözümü gör buluablr vkörlr gllşrlmş özvkörlr dr v IIIdurum r=λ üç kalı özdğr karşı k a lr bağımsız v özvkörlr karşı glorsa, l alıa dklm ssm k çözümü şklddr Üçüü çözüm s () ()= λ () ()= λ () ()= λ + λ Burada = () () + () () sçlrs (A-λI) (9) dklm çözülblr v öl sçlblr k (9) dklmd çözülblr Burada () (), () () v () () çözümlr r=λ özdğr karşı gl lr bağımsız çözümlr olurlar Örk : = dfrasl dklm ssm gl çözümüü buluuz, Çözüm: =A d(a-i)= oluşurularak özdğrlr: ( ) ( ) =(-)(-)+= -+=(-) = =, = kalı kök = ç =- = = DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 6
kalı kök durumuda bulua çözüm şlğ sağ arafıa azılarak k kök dğr ç çözüm ld dlr - - = = = Gl Çözüm kalı kök olması durumuda ( = =) gl = + ( + ) d gl = + ( + ) 78 TEMEL MATİSLE 8 gl = 7 dfrasl dklm ssm gl çözümü + + d ( ) 7 şkld buluur Bu mars ardımı l =A() homoj dklm gl çözümü = () şkld azılablr Burada br vkördür v blşlr,,, sablrdr Eğr =A() dklm ssm l brlk, ( )= DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 66
başlagıç koşulu da vrlrs, l alıa problm br başlagıç dğr problm olur Burada vrl br başlagıç vkörüdür Amaçımız başlagıç koşuluu sağlaa vkörüü bulmakır vkörü, ( ) dklm sağlamalıdır dğr ada ( ) kl olmaa mars olduğuda rs vardır Böl ( ) buluur vkörü = () d r koarak başlagıç dğr problm çözümü şkld buluur ( ) ( ) Örk d d d d Gl çözümü buluuz Başlagıç dğr problm çözüüz Y (, ) Kasaılar mars: Karakrsk dklm A 6 9 6 9 ( ) kalı kök ç öz vkör V l gösrlrs ç özvkör,l V = k öz vkör ç (V ) -+= va =+ = sçlrs DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 67
V k k va =k sçlrs; V k k k çözümü k kaıolduğuda hmal dlblr k lr bağımsız çözüm Y v Y Y Başlagıç dğrlr göz öü alıarak Y (, ) (= azılarak) Y(),,l başlagıç dğr problm çözümü; gl = V + (V + V ) l Y Örk : 9, () başlagıç dğr problm çözüüz, DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 68
( ) 9 ( ) ( ) λ =λ =- kalı kök λ =- kalı kök ç özvkör = = 9, k sçlrs = = k k, çözümü k kaıolduğuda hmal dlblr k = = gl = + ( + ) gl = - + ( + )- Başlagıç koşuları dkka alıarak = l () =, =- buluur gl = - -( + )- DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 69
79 HOMOJEN OLMAYAN LİNEE SİSTEMLE Paramrlr Dğşm Modu d d A+f() dfrasl dklm ssmd =A homoj ssm karşı gl () ml mars buluduğu farz dls Homoj ssm çözümü h = () şkld olduğuda r u() azılarak = () u() şkld çözüm araır, u(), () u ()=f() koşulu sağlaaağıda u () lr v bularda gral alıarak u () lr blrlr V = () u() rlr koarak gl çözüm ld dlr d d d d os s ssm çözüüz d(a-i)= oluşurularak özdğrlr = --= = =- (farklı rl kök) = =- = = DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 7
=- ç = = = homoj = + - = + - =- + - paramrlr dğşm modu kullaılarak = u +u - =-u +u - azılarak () u ()=f() oluşurulursa u u os u u s l u os s u (os s ) u (os s ) os u (os s ) u =/ os+k u =-/ - (os+s)+k ld dlr u v u karşılıkları = u +u - =-u +u - rlr azılarak gl çözüm buluur =-/(os+s) +K +/os+k - =-/(os+s) +K +/os+k - DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 7
DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 7 Köşglşrm(Dagoallşrm) Modu d d A+f() formudak ssm çözümü araır Bu şlm ç A mars özdğrlr karşılık gl özvkörlr buluur Koloları bu özvkörlrd oluşa T mars oluşurulur, bu T döüşüm mars l T = T =T olaak şkld br bağımlı dğşk aımlaır Bu fad =A+f() d r koursa T =AT+f() olur Bu dklm hr k arafı T - çarpılarak =(T - AT)+ T - f()=d+h() dklm ssm ld dlr Bu şlkdk D mars Aı özdğrlr köşgd buludura br marsr AT T D () ssm a (), () dklmlr br ssmdr Kısaa () ssm skalr formda ) ( ) ( h k k k k k=,,,
şkld azılablr Buradak h k () lr f (),f () lr bll br lr kombasou şklddr dklmlr k=,,, ç brr br mrbd lr dklm olduklarıda, br mrbd dfrasl dklmlr çözümlr araması kğ l çözümlr buluur k lar sab olmak üzr k k k k ( ) hk ( s) ds k k=,,, o ld dl k () lr dka alıarak () ssm T döüşüm mars l çarpılarak (=T d) () sağ arafıdak grall k rmd () ssm özl çözümü, k d s =A homoj dklm ssm gl çözümü buluur Örk: = kullaarak buluuz dfrasl dklm ssm gl çözümüü köşglşrm modu Çözüm: =A ( ) ( ) d(a-i)= oluşurularak özdğrlr: =(-)(--)-= +-6= =-, = farklı rl kök =- =- = = = ç = = = DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 7
DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 7 Özvkörlr çr mars T l gösrrsk T= =T =A+f() d r koursa T =A+f() olur Bu dklm hr k arafı T - çarpılarak =(T - AT)+ T - f()=d+ T - f() D= T - hsabı T - = =D+ T - f() oluşurulursa = = + graso çarpaı ardımıla = + = + = = buluur Burada = = + + Bu ssm hr k arafı T döüşüm mars l çarpılırsa gl çözüm(=t)
DİFEANSİYEL DENKLEMLE UFUK ÖZEMAN - 7 =T= = va =