ZAMANLA DEĞİŞEN HIZDA HAREKET EDEN YÜKE MARUZ KİRİŞ/KÖPRÜ NÜN DİNAMİK TEPKİSİ B. Gültekin SINIR, M. Erkan TURAN ve S. Emine KOCABAŞ Celal Bayar Üniversitesi Mühenislik Fakültesi İnşaat Mühenisliği Bölümü, Manisa ÖZET Hareketli kütle altınaki sistemlerin titreşim analizi, kullanım alanının yaygın olması sebebiyle üzerine çok çalışılan bir konuur. Bahseilen sistemlere emiryolu yapılarına, köprü yapılarına ve fabrikalara vinç sistemlerine rastlanılır. Bu çalışmaa sabit hızlı ve ivmeli hareketli aracın yükü ikkate alınarak matematik moel üşünülmüştür. Problemin matematik moeli hem tek bir hareketli yük için hem e iki tane hareketli yük için ele eilmiştir. Hareket enklemlerinin çözümleri sonlu farklar metou ile yapılmıştır. Buraa sonlu farklar metounun kullanılmasının amacı tamamen nümerik bir metot olması ve ileri çalışmalara karşılaşabilecek lineer olmayan enklemlerin çözümüne kullanılabilir olmasıır. Sayısal sonuçlara ulaşmak için sonlu farklar yöntemiyle ele eilen eplasman eşitliği enklemi, problem verileri ve sınır şartları MAPLE 1 programı ortamına girilmiş ve buraan gelen sayısal sonuçlar Grapher programına aktarılarak zaman-yer eğiştirme grafikleri çizilmiştir. Bu grafikler sayesine hız ve ivme eğişimlerinin hareket üzerineki etkisi incelenilmiştir. Anahtar Kelimeler: Köprü, Titreşim, Hareketli Kütle, Sonlu Farklar, Değişken hız. DYNAMIC RESPONSE OF A BEAM/BRİDGE SUBJECTED TO LOADS MOVING WITH VARIABLE SPEEDS ABSTRACT The subject of vibration analysis of the beam uner moving loa/mass effect is wiely stuie. This system is use as a brige structure, plant structure an etc. In this stuy, two cases are consiere. Firstly, the concentrate loa, move with time-varying velocity, seconly the vehicle (with wheelbase equal to ), moving also with time-varying velocity. The mathematical moel of equation of motions is erive. The solutions of the equation of motion are obtaine using finite ifferences metho. The finite ifferences metho is a numerical solution technique an it can be use avance stuies. MAPLE 1 software is use to obtain numerical result an Grapher software is use to illustrate numerical results in a graphic form. The graphics are in time history form. The effects of variation of time an acceleration are observe in the graphics. Keywors: Brige, Vibration, Moving Mass, Finite Differences, Variable Velocity.
1. GİRİŞ Hareketli kütle altınaki sistemlerin titreşim analizi kullanım alanının yaygın olması sebebiyle üzerine çok çalışılan bir konuur. Bu sistemlere emiryolu yapılarına, köprü yapılarına ve fabrikalara vinç sistemlerine rastlayabiliriz. Michaltos un yaptığı çalışmaa tek açıklıklı bir kirişin üzerineki hareketli ve eğişken hızlı rasgele yüklerin etkisi incelenmiştir. Buraa üç örnek olay ikkate alınmıştır. İlk olarak nokta yük, ikinci olarak bir araç, son olarak a hafif sönümleme etkisi. Uygulama Euler-Bernoulli nin kiriş teorisine ayalıır.[1] Hareketli kütle altınaki kiriş/köprü inamiği konusuna yapılan birçok çalışma varır. Bu çalışmalara genellikle araçlaran gelen yüklerin farklı moellenmesi, yapı zemin etkileşimi ve çeşitli çözüm teknikleri üzerine yoğunlaşılmıştır. [,3,4,5,6] Hareketli yük altınaki köprü/kiriş moellemelerine çeşitli sönüm moelleri kullanılmıştır. Sabit mesnette oluşan önmeyi önlemek için mesnete konulmuş klasik olmayan sönüm moeli ile ilgili çeşitli çalışmalar yapılmıştır. [7] TMD tipi sönümleyici moelin köprülere kullanımı a çok yaygın bir çalışma konusuur. Birçok farklı TMD moelleri kullanılmıştır. Bazı çalışmalara farklı konumlaraki TMD moelleri karşılaştırmalı olarak analiz eilmiştir.[8,9] Bu çalışmaa sabit-sabit mesnetlenmiş bir kiriş üzerinen ivmeli hızla geçen bir kütlenin atalet kuvvetleri ikkate alınmaan sisteme etki etmesi urumu ile ivmeli hareket een aks boyunaki bir aracın etkisi incelenmiştir. İvmeli hareket een araçtan kirişe etki een kuvvetler hesaplanmıştır. Euler-Bernoulli kiriş moeli ikkate alınmıştır. İç ve ış sönüm parametreleri ihmal eilmiştir. Farklı iki urum için ele eilen hareket enklemleri sonlu farklar metou ile analiz eilmiştir. Bu problemlere sonlu farklar kullanımı ilk efa yapılmaktaır. Ele eilen nümerik sonuçlar grafiklerle gösterilmiştir.. HAREKET DENKLEMİ İki farklı urum için hareket enklemleri çıkarılacaktır: tekil yük ve iki yük olması urumları. Bu iki farklı urum için hareket enkleme saece eşitliğin sağ tarafınaki terimler eğişecektir. Eşitliğin sol tarafı temel Euler-Bernoulli kirişine ait hareket enklemiir. Her iki urum için sınır şartları aşağıaki gibiir.1. İvmeli Hareket Een Tekil Yük Olması Durumu w(,t)=(l,t)=w''(,t)=w''(l,t)= (1) Şekil 1. İvmeli hareketli tek kütle olması urumu[1]
Şekil 1 e görülen basit olarak mesnetlenmiş çelik köprü kirişin uzunluğu L, birim boyunun kütlesi m, eğilme rijitliği EI ir. Kiriş üzerinen geçen hareketli kütlenin ağırlığı P=Mg ve hızı v ir. Kütlenin herhangi bir t anınaki kirişin sol ucunan mesafesi olan α=s(t) ir. t, kütlenin kirişe giri anan itibaren ölçülmeye başlanır. Buna göre hareket enklemi; ıv EIw ( x, t) + mw&& ( x, t ) = Mgδ ( x α ) () Buraa, w üşey eplasmanı, g yerçekimi ivmesini,t zamanı, δ ( x α ) irac elta fonksiyonunu ifae etmekteir. İvmeli hareket een kütlenin konumu s,aşağıaki ivme, hız ve konum formülleri kullanarak hesaplanabilir. && s = γ = sabit (3) s& = v = v +γ t (4) 1 s = vt + γ t (5) Buraa γ hareketli kütlenin ivmesini, v=v(t) kütlenin hızını, v kütlenin t= anınaki hızını göstermekteir... İvmeli Hareket Een Araç Problemi Şekil. Hareketli aracın şematik gösterimi[1] Şekil eki aracın özellikleri; aks sayısı, kütlesi M; akslar arası mesafenin uzunluğu, aracın ağırlık merkezinin köprünün üst yüzeyinen olan uzaklığı h ir. Hareketli kuvvet F=M γ ve ivme, γ olarak ifae eilmiştir. İlk (ön) aksın kirişe t = anına giriği farz eilir ve bu bir araç için v= emektir.aracın ağırlığı P=Mg iki aksı arasına eşit olarak bölünmüştür. Böylece köprü kirişine etkiyen P 1 ve P kuvvetleri aşağıaki gibi ifae eilebilir; Mg Mγ h P1 =, Mg Mγ h P = +, γ > (6)
Mg Mγ h Mg Mγ h P1 = +, P =, γ < (7) Diğer taraftan ikinci (arka) tekerin köprüye giriği t anına, ön teker lik bir mesafe kaar ilerlemiştir. Bu mesafe; ifaesi ile hesaplanır. Buraa; = V t + γ t / (8) t = 1/ γ ( V + V + 4 γ ), γ > (9) t = 1/ γ ( V V + 4 γ ), γ < (1) t=t anına, arka teker V hızıyla köprüye giriyor olacaktır. V = V + γ t, V = V γ t, γ > (11) γ < (1) Ön teker, t zamanına köprünün girişinen itibaren α1 uzaklığı noktasına ulaşacaktır; α = +, 1 Vt γ t / γ > (13) α =, 1 Vt γ t / γ < (14) Arka teker, t t zamanına köprünün girişinen itibaren α uzaklığı noktasına ulaşacaktır; γ ( t t ) α = ( V + γ t)( t t) +, γ > (15) γ ( t t ) α = ( V γ t)( t t), γ < (16) Böylece hareket enklemi; olur. EIw + mw&& = Pδ ( x α ) + Pδ( x α ) (17) ıv 1 1.3. Hareket Denklemlerinin Boyutsuzlaştırılması Denklem sisteminin çözümüne kolaylık açısınan ve çözüm yöntemine uygunluğu sebebiyle, enklem parametrelerinin boyutsuzlaştırılması uygun görülmüştür. Aşağıa, enklem parametrelerine ve bunların boyutsuzlaştırılmasına ilişkin bilgiler verilmiştir [14].
x w t E. I h m,,,,, x = w= t = h = = V = V L (18) L L L m L L EI Öncelikle birinci noktasal yük problemineki ifae boyutsuzlaştırmak için Denklem eki boyutlu ifaelerin yerine Denklem 18 aki boyutsuz ifaeler yazılırsa Denklem 19 ele eilir. 4 w w M + = ( ) 4 g x x t m δ α (19) Hareketli araç problemineki ifaeyi boyutsuzlaştırmak için Denklem 18 eki boyutsuz ifaeler Denklem 17 e yerine yazılır ve gerekli üzenlemeler yapılırsa w w M h h ( ) ( ) 4 x t m 4 γ γ + = g δ x α1 + g+ δ x α () ele eilir. 3.Hareket Denklemlerinin Sonlu Farklar Metou ile Hesaplanması Sonlu farklar metou iferansiyel enklemlerin birbirinen, sonlu farklı uzaklıklara ayrılmış sonlu noktalara ayrıklaştırılması ile ortaya çıkan yaklaşık cebirsel enklemlere önüştürülüp çözülmesiir [13] Yukara tanımlanan boyutsuz enklemleri sonlu farklar ile çözmek için aşağıaki açılımları kullanırız [13]. y y 4y + 6y 4y + y x n n n n n ıv i+ i+ 1 i i 1 i = 4 n+ 1 n n 1 yi yi + yi y = (1.a ve b.) t Bu açılımlarla birlikte x=xi ve t=tn terimlerini e kullanırız. Köprü kirişi üzerine hareket een noktasal yük problemini ifae een Denklem 19 un yukarıaki açılımlar kullanılarak ele eilen sonlu farklar açılımı Denklem e verilmiştir. n+ 1 n n+ 1 t n n n n n M yi = yi yi 4 ( yi 4yi 1 6yi 4 yi 1 yi ) t g ( i. x v. n. t) x m δ + + + + + () ele eilir. Aynı şekile köprü kirişi üzerine hareket een iki akslı bir araç problemini ifae een Denklem nin yukarıaki açılımlar kullanılarak ele eilen sonlu farklar açılımı Denklem 3 te verilmiştir. n+ 1 n n+ 1 t n n n n n yi = yi yi y 4 6 4 1...... 4 i yi + yi yi + yi + t P i x v n t + t P i x v n t x (3) ( + + 1 1 ) δ ( ) δ ( ) Aynı açılımlar sınır şartlarına uygulanırsa;
n n n n y = y N = y = n n 1 y1 yn+ 1 = yn 1 (4) ele eilir 4. NÜMERİK SONUÇLAR Yapılan çözümlemelere köprü kirişinin açıklığı L=4 m, kullanılan malzemenin elastisite moülü E=.11 8 kn/m, kiriş kesitinin atalet momenti I=.84 m 4, birim boyunun kütlesi m=15 kn olarak alınmıştır Köprü üzerinen geçen kütlenin(aracın) kütlesi M=6 kn, aks aralığı =8 m, ağırlık merkezinin köprü yüzeyinen yüksekliği h=1.5m olarak alınmıştır. Kütlenin(aracın), boyutsuz hızı V=..5.8 1 ve boyutsuz ivmesi γ =.1.4 eğerleri alınarak yapılan çözümlerin sonuçları grafik olarak aşağıa verilmiştir [1]. İvmeli hareket için ele eilen bütün sonuçlara ivme pozitif olarak alınmıştır. 4.1. Tekil Yük Olması Durumu Şekil 3. Farklı ivme eğerleri için zaman eplasman grafiği a.) v =. b.) v =.5 Farklı ivme eğerleri için v hızına tek yük olması urumuna sistemin nasıl avranığı Şekil 3 ve 4 e görülmekteir. Özellikle ivmenin sıfır oluğu urum için aracın köprüyü terk ettiği zaman çok net görülmekteir. İvme ve hız arttıkça araç köprüyü çok hızlı geçmekte bua grafiklere çok açık gözlenmekteir. İvme arttıkça (v =.5 hariç) genlik büyümekteir. Ancak araç köprüyü geçtikten sonra evam een salınımın ( hiç sönüm terim olmaığı için beklenen sonuç) genliği en büyük ivme eğeri.4 için yine en büyüktür. Ancak v =.8 e urum farklıır. Bunları açıklamak için belki analitik başka yöntemlerle problemin çözülmesi gerekebilir. Hareketli kütle köprüen geçerken oluşturuğu genliğin frekansı köprünün oğal frekansı ve/veya katlarına yakın geliği zaman buna benzer urumlarla karşılaşılabileceği yorumunu yapabiliriz. Bir başka eyişle hareketli kütleen kaynaklanan zorlama sistemin oğal frekansını uyarmış olabilir. Bu a ancak köprüyü geçme süresinin sistemin periyouna yakın olması ile mümkün olabilir.
Şekil 4. Farklı ivme eğerleri için zaman eplasman grafiği a.) v =.8 b.) v =1. Benzeri grafikler ivmeyi sabit tutarak farklı hız eğerlerini kullanarak Şekil 5 te görülmekteir. Şekil 5. Farklı hız eğerleri için zaman eplasman grafiği a.) γ=. b.) γ=.1
4. Hareketli Araç Olması Durumu Şekil 6. Farklı ivme eğerleri için zaman eplasman grafiği a.) v =. b.) v =.5 Şekil 7.Farklı ivme eğerleri için zaman eplasman grafiği a.) v =.8 b.) v =1. Hareketli araç problemine e tek bir hareketli problemine benzer sonuçlar varır. Şekil 6 ve 7 e hızlar sabit tutulup farklı ivme eğerleri için zaman-eplasman grafikleri çizilmiştir. Bu grafiklere e görülüğü üzere büyük hızlara büyük eplasmanlar olmaktaır. Önceki uruman farklı olarak bura araç geçtikten sonra ortaya çıkan en büyük genlik en büyük hızlar için ortaya çıkmaktaır.
Benzeri sonuçlar Şekil 8 e ivme eğerini sabit tutup bu ivme eğerine farklı hızlar için verilen zaman-eplasman grafikleri verilmiştir. Bu grafiklere e görülüğü üzere büyük hızlarla büyük eplasmanlar olmaktaır. Aracın köprü büyük hızlara kısa süree köprüyü terk ettiği grafiklere net izlenmekteir. Buraa ivmenin hızı arttırmak ışına probleme farklı pek etkisi olmamaktaır. Tek kütle hareketi ile araç hareketini karşılaştırığımıza tek kütlenin hareketine aha büyük genlikler oluğu görülmekteir. İvmesiz harekette hız. için iki grafiği karşılaştırığımıza tek kütle geçişine köprünün oğal frekansınan kaynaklanan harekatın aha belirgin oluğu izlenmekteir. Şekil 8. Farklı hız eğerleri için zaman eplasman grafiği a.) γ=. b.) γ=.1 5. SONUÇLAR Bu çalışmaa ivmeli hareket een tek kütle ve araç problemleri ela alınmıştır. Bu ivmeli hareketin köprü/kiriş üzerineki etkileri incelenmiştir. Köprü Euler-Bernoulli kirişi olarak iealize eilmiştir. Sisteme hiç bir sönüm yoktur. Mesnetler sabit-sabit olarak üzenlenmiştir. Ele eilen hareket enklemi sonlu farklar nümerik metotla çözülmüştür. Ele eilen grafikler zaman-eplasman şekline verilmiştir. Sonuç olarak büyük hızlara büyük genliklerin oluğu gözlenmiştir. İvmenin hızı arttırmaktan başka sistem üzerine büyük bir etkisi gözlenmemiştir. Hareketli tek kütle ile hareketli araç problemi karşılaştırılığına hareketli tek kütlee aha büyük genliklerin oluştuğu gözlenmiştir. Bazı hızlar sonucuna kütle köprüyü terk ettikten sonra evam een genliklere iğerlerinen aha büyük sonuçlar ele eiliği gözlenmiştir. Bu konu analitik yöntemlerle analiz eilerek karşılaştırmalı olarak ilere incelenmeliir. Ancak bizim yorumumuz kütlenin köprü üzerine kalığı sürenin sistemin oğal periyouna ve katlarına yakın oluğu urumlara aha büyük genliklerin ortaya çıktığı şeklineir. İlerki çalışma konuları olarak farklı yük kombinasyonları araştırılabilir. Ayrıca hafif eğrili veya kaameli kirişler ile nonlineer moellerin analizleri yapılabilir.
KAYNAKÇA [1] G. T. Michaltos Journal of Soun an Vibration 58(), 359-37. Dynamic Behaviour of a single span beam subjecte to loas moving with variable spees. [] Seong-Min Kim 4 Engineering Structures 6, 95-15. Vibration an Stability of axial loae beams on elastic founation uner moving harmonic loas. [3] H. Xia, N. Zhang; W.W. Guo 6 Journal of Soun an Vibration 97 81-8. Analysis of resonance mechanism an conitions of train-brige system. [4] Torbjörn Ekevi, Martin X. D. Li an Nils-Erik Wilberg 1 Computers an Structures 79 693-77. Aaptive FEA of wave propagation inuce by high-spee trains. [5] B. Bioni, G. Muscolino an A. Sofi 5 Computers an Structures 83 71-81. A substructure approach for the ynamic analysis of train-track-brige system. [6] Yean-Seng Wu an Yeong-Bin Yang 4 Soil Dynamics an Earthquake Engineering 4 949-96. A semi-analytical approach for analyzing groun vibrations cause by trains moving over elevate briges. [7] G. Oliveto. Complex Moal Analysis Of A Flexural Vibrating Beam With Viscous En Conitions Journal Of Soun An Vibration "1997, (3), 37-345 [8] J.F. Wang, C.C. Lin, B.L. Chen Vibration suppression for high-spee railway briges using tune mass ampers International Journal of Solis an Structures 4 (3) 465 491 [9] JO Byung-Wan, TAE Ghi-Ho, LEE Du-Wha, Structural vibration of tune mass amperinstalle three-span steel box brige, International Journal of Pressure Vessels an Piping 78 (1) 667 675 [1] A. Greco, A. Santini, Dynamic response of a flexural non-classically ampe continuous beam uner moving loaings Computers an Structures 8 () 1945 1953 [11] Prof. Dr. Mustafa İNAN 1967 İTÜ Vakfı. Cisimlerin Mukavemeti [1] Den Hartog, J.P., 1956. Mechanical Vibrations, fourth e. McGraw-Hill, New York. [13] B. G. Sınır, 1996, Dalgakıran altına oluşan gözenekli ortaman akışın sonlu farklarla analizi, Yüksek Lisans Tezi, CBÜ, Manisa [14] B. G. Sınır, 4, The Mathematical Moeling of Vibrations in Marine Pipeline, Doktora Tezi, DEÜ, İzmir