BÖLÜM GAUSS KANUNU.1. ELEKTRİK AKISI Elektik akısı, bi yüzeyden geçen elektik alan çizgileinin sayısının bi ölçüsüdü. Kapalı yüzey içinde net bi yük bulunduğunda, yüzeyden geçen alan çizgileinin net sayısı bu net yükle oantılıdı. Çizgi sayısı yükü çeveleyen yüzeyin şeklinden bağımsızdı. A E Şekil.1. Alana dik A yüzölçümlü bi düzlemden geçen düzgün bi elektik alanının alan çizgilei. Biim yüzeyden geçen elektik alan çizgileinin sayısı, elektik alanının büyüklüğü ile oantılı olduğundan, Şekil.1 deki A yüzölçümünden geçen alan çizgileinin sayısı EA ile oantılıdı. Elektik alan şiddeti E ile alana dik A yüzölçümünün çapımına Φ elektik akısı deni. Φ EA (.1) E ve A nın biimlei SI ya göe alındığında, elektik akısının biimi N.m /C olu. A Acosθ Şekil.. Alanla θ açısı yapan bi A yüzölçümünden geçen düzgün elektik alan çizgilei
Göz önüne alınan yüzey alana dik değilse, yüzeyden geçen alan çizgileinin sayısı (akı) daha azdı. Şekilde A yüzölçümünden geçen alan çizgileinin sayısı, alana dik A izdüşüm yüzölçümünden geçenleinkine eşitti. A ve A yüzeyleinden geçen akıla aynı olduğundan istenilen akı için Φ EAcosθ bulunu. Şekil.3 teki gibi daha genel bi duumda, yüzeyin çok sayıda A yüzölçümlü küçük yüzey elemanlaına bölündüğünü düşünelim. Bu duumda, doğultusu yüzeye dik i. yüzey elemanının yüzölçümü A i olmak üzee bu küçük yüzey elemanından geçen Φ i elektik akısı A i θ E i Şekil.3. A i yüzölçümlü küçük bi yüzey elemanı. Φ i E i. A i E i A i cosθ ile veili. Yüzeyden geçen toplam akıyı, bütün elemanlaın katkısını toplayaak buluuz. O halde elektik akısının genel tanımı şöyledi: Φ lim A i E. A i i yüzey E.dA Genelde Φ nin değei, hem elektik alanının desenine hem de alınan yüzeye bağlıdı. Kapalı bi yüzeyden (Kapalı yüzey, uzayı iç ve dış bölgelee ayıan yüzey olaak tanımlanı. Öneğin, küe kapalı bi yüzey oluştuu.) geçen net Φ C akısı
Φ C E.dA E da n şeklinde ifade edili. Buada E n, elektik alanının yüzeye dik bileşenlei olup, C alt indisi kapalı bi yüzeyi göstemektedi. Önek: Şekildeki gibi kapalı bi üçgensel kutunun yatay bi E 7,8.1 4 N/C luk bi elektik alanında bulunduğunu düşünelim. a) Düşey dikdötgen yüzeyden, b) eğik yüzeyden, c) kutunun tüm yüzeyinden geçen elektik akısını hesaplayınız. 3 cm 1 cm a) A 1,1.,3,3 m Φ 1 EAcosθ 7,8.1 4.,3.cos18-34 N.m /C b) A,.,3,6 m Φ EAcosθ 7,8.1 4.,6.cos6 34 N.m /C c) Kena yüzeyle ve tabanın nomaliyle E elektik alanı dik olduğundan bu yüzeyleden geçen akı sıfıdı. O halde toplam akı Φ -34 34 olu.
.. GAUSS KANUNU Gauss yüzeyi da E Şekil.4. Bi nokta yükünü saan yaıçaplı küesel bi yüzey. Şekildeki gibi yaıçaplı bi küenin mekezinde bulunan bi pozitif nokta yükün, bu küe yüzeyinde he yede oluştuduğu elektik alanının büyüklüğü E k/ olu. Alan çizgilei ise, çap doğultusunda dışaı doğudu ve bu nedenle yüzeye he noktada dikti. Yani, E he noktada A i yüzölçümlü yüzey elemanını temsil eden A i vektöüne paaleldi. Bu nedenle, E. A i E n A i E A i olu. Gauss yüzeyinden geçen net akı, E yüzey üzeinde sabit ve k / değeine sahip olduğu için Φ C E nda EdA E da olu. Küesel bi gauss yüzeyinde da 4π olduğundan gauss yüzeyinden geçen net akı Φ C k (4π ) 4πk olu. Sonuç den bağımsız olduğu için küesel bi gauss yüzeyinden geçen net akı, yüzey içindeki yüküyle net oantılıdı. Hehangi kapalı bi yüzeyden geçen net akı, yüzeyin şeklinden bağımsızdı. O halde bi nokta yükünü saan hehangi bi kapalı yüzeyden geçen net akı / dı.
Rasgele biçimli kapalı bi yüzey dışında bulunan bi nokta yük duumunda, yüzeye gien ve çıkan elektik alan çizgileinin sayılaı eşitti. Bundan dolayı, yük samayan kapalı bi yüzeyden geçen net elektik akı sıfıdı. Şekil.5. Kapalı bi yüzey dışında bulunan bi nokta yük. Bi çok nokta yük veya süekli yük dağılımı duumunda, bi çok yükün elektik alanı, yüklein elektik alanlaının toplamıdı (üst üste binme ilkesi). Yani, E A ( E1 E.d E3 ).da olu. Buada E, yüzeyin hehangi bi noktadaki toplam elektik alanı, E 1, E, E 3 ise he bi yükün o noktadaki elektik alanlaıdı. Sonuç olaak, Gauss yasasına göe hehangi bi kapalı yüzeyden geçen net akı Φ C E.dA iç ile veili. Buada iç, gauss yüzeyi içindeki net yük, E gauss yüzeyinin (hem iç hem de dış yükleden ilei gelen) hehangi bi noktasındaki elektik alanıdı. Gauss yüzeyi he zaman yük dağılımıyla aynı simetiden olacak biçimde seçilmelidi.
Önek: Biim uzunluk başına yük yoğunluğu sabit (λ sabit) olan düzgün yüklü, sonsuz uzunlukta, çizgisel pozitif bi yükten uzaklığındaki elektik alanını bulunuz. Silindiin yan yüzeyinde he noktada E nin büyüklüğü sabit olup yüzeye dikti. Gauss silindiinin taban yüzeylei elektik alanına paalel olduğundan bu yüzeyleden geçen akı sıfıdı. Gauss yüzeyinin içinde kalan yük λl di. E da Gauss yüzeyi λ boyca yük yoğunluğu, l ise silindiin uzunluğudu. Φ C E.dA EdA E da iç λl Silindiin yan yüzeyinin alanı A πl olduğundan E(πl) λl E k λ.3. ELEKTROSTATİK DENGEDEKİ İLETKENLER Bakı gibi iyi bi elektiksel iletken, atomlaa bağlı olmayan ve madde içinde sebestçe dolaşabilen elektonlaa sahipti. İletken içinde net bi yük haeketi olmadığından, iletken elektostatik dengededi. Elektostatik dengedeki aşağıdaki özelliklee sahipti: 1. İletken içinde he yede elektik alanı sıfıdı.. Yalıtılmış bi iletkendeki hehangi bi yük fazlalığı, iletkenin tamamen yüzeyinde bulunu. 3. Yüklü bi iletkenin hemen dışındaki elektik alanı iletkenin yüzeyine dik olup σ/ büyüklüğündedi. Buada σ, elektik alanı hesaplanan noktadaki yüzeyce yük yoğunludu. 4. Düzgün biçimli olmayan bi iletkende, yüzeyce eğilik yaıçapının en küçük olduğu sivi uçlada, yükle toplanma eğilimi göstei.
Önek: Uzun doğusal bi metal çubuğun yaıçapı 5 cm ve boyca yük yoğunluğu 3 nc/m di. Çubuk ekseninden a) 3 cm, b) 1 cm, c) 1 cm uzunluklada elektik alanını bulunuz. E da iç λ k a) 3 cm E 5 cm b) 1 cm c) 1 cm -9 9 3.1 E.9.1 54 N/C,1-9 9 3.1 E.9.1 54 N/C 1
Poblemle 1. Bi elektik alanı, a ve b sabit olmak üzee, E azi bxk ile veiliyo. Şekilde gösteilen üçgen yüzeyden geçen elektik akısını bulunuz. y yh xω x Φ E.dA E zda y yh ω Φ bxydx daydx xω x ω bh x dx ω 3 bh x ω 3 ω h y h y x ω x ω Φ 1 bhω 3
. Küesel simetik bi yük dağılımı, a sabit olmak üzee ρ a/ yük yoğunluğuna sahipti. Elektik alanını nin fonksiyonu olaak bulunuz. ρ Φ E.d A iç da iç ρdv a 4π d da 4π 4π a iç πa iç Φ E.d A E.4π πa E a sabit
3. R yaıçaplı, ρ düzgün yük yoğunluklu uzun silindiik bi yük dağılımı için, <R olmak üzee, ekenden uzaklıkta elektik alanını bulunuz. Φ E.d A iç ρ R L iç ρdv ρπ L iç Φ E.d A E.πL ρπ L E ρ