MATRİS ÖNTEMER 1. GİRİŞ Matrs öntemler; gerçek sürekl apının erne, matrs bçmnde ade edleblen blnen atalet (elemslk) ve elastklk öellklerne sahp sonl büüklüktek apısal elemanlardan olşan matematksel br model kllanılması lkesne daanmaktadır. Matrs öntemler karmaşık apıların gerlme ve erdeğştrme analler anında glamalı elaststedek çalışmalar çn de kllanılmaktadır. Matrs öntemler le dış etklerden medana gelen ç kvvetlernn ve ç erdeğştrmelernn belrlenmesnde; 1. Denge şartlarının (düğüm noktalarının denge denklemler le elemanların denge denklemlernden barettr) 2. Geometrk gnlk şartlarının (her düğüm noktasında brleşen elemanların o noktadak ç erdeğştrmelernn brbrne eşt olmaları şartı le mesnetlerdek geometrk şartlardan medana gelr) 3. Malemee at gerlme (ç kvvet) - şekldeğştrme bağıntılarının (malemenn cnsne bağlı olan gerlme şekldeğştrme bağıntılarına büne denklemler denlmektedr) sağlanması gerekmektedr. Bütün apıların küçük elemanların brleşm le olştğn kabl etmek mümkündür. apıları olştran b küçük elemanlara sonl eleman, sonl elemanların brleştğ noktalara da düğüm noktası denr. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1
1, 2, 3, 4, 5 noktalarına düğüm noktaları, 1, 2, 3, 4 se eleman nmaralarıdır. 1 elemanı 1 ve 2 düğüm noktaları arasında kalan eleman, 2 elemanı 2 ve 3 düğüm noktaları arasında kalan eleman, 3 elemanı 3 ve 4 düğüm noktaları arasında kalan eleman, 4 elemanı 4 ve 5 düğüm noktaları arasında kalan elemandır. Sstem olştran 1, 2, 3, 4 elemanlarının apı çndek posonları düğüm noktalarının apı çnde tanımlanan 1, 2, 3, 4, 5 düğüm noktaları le tanımlanablr. 1, 2, 3, 4, 5 düğüm noktaları mesnet üernde seçlebldğ gb herhang br noktada da seçmek mümkündür. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 B şeklde bütün sstemler sonl elemanlarla modelleneblr. Her elemanın cnda olşan erdeğştrmelere eleman ç erdeğştrmeler, her elemanın cnda olşan ç kvvetlerne de eleman ç kvvetler denr. Eleman çlarındak erdeğştrme ve kvvetlern pot önler koordnat sstemnn pot önü le anıdır. Her düğüm noktasındak erdeğştrmeler serbestlk dereces olarak adlandırılır. m m Eleman ç erdeğştrmeler Eleman ç kvvetler Dülem Çerçeve Elemanı 2
Matrs öntemlerle Sstem Çöümünde İlenen ol: 1. Eleman rtlk matrslernn olştrlması, 2. Sstem rtlk matrs le ük ve erdeğştrme vektörlernn olştrlması, 3. Sınır şartları glanarak ndrgenmş sstem rtlk matrs le ük ve erdeğştrme vektörlernn olştrlması 4. Çöüm 5. Eleman ç kvvetlernn hesabı Sstem rtlk matrsnn; 1. Dagonaldek termler dama pottr. k >0 2. Dagonale göre smetrktr. k =k Rtlk Kavramı: F A A Elastk a Eğm:k F B F B B karıda görülen elastk ada, dış kvvet le erdeğştrme arasındak lşk grak olarak çlrse şekldek gb elde edlr. Dış kvvet le erdeğştrme arasındak b bağıntının eğm elastk aın rtlğ olarak adlandırılır ve k le gösterlr. k a rtlğne göre b bağıntı; F=k. şeklnde aılablr. Eğer =1 alınırsa F=k olr. B, rtlğn brm erdeğştrmeden dolaı medana gelen kvvet oldğ anlamına gelr. 3
Elastk Br a Sstemnn Çöümü 1 1 2 2 1 2 k Her k cndak kvvetler ve erdeğştrmeler üernde gösterlen elastk br a ele alınsın. B a çn kvvet ve erdeğştrme vektörler; 1 2 ; 1 2 şeklnde aılablr. Brada 1 ve 2 aşağıdak gb ade edleblr. k k 1 11 1 12 2 k k 2 21 1 22 2 (1) k de; er, sebebn ern göstermektedr. (1) denklem matrs ormda aılırsa; vea kısaca; 1 k11 k12 1 k k 2 21 22 2 (2) k (3) şeklnde elde edlr. Brada k k k k 11 12 k 21 22 a elemanın rtlk matrs olarak tanımlanmaktadır. Bradan anlaşılacağı üere rtlk matrs, ç kvvetler le ç erdeğştrmeler arasındak bağıntıdır. 4
Br a Elemanın Rtlk Matrs Elemanlarının Elde Edlmes: 1. Drm: 1 2 =0 1 2 k 11 21 11 =k. 1 11 + 21 =0 olmalı (denge şartından) 21 =- 11 21 =-k. 1 2. Drm: 1 =0 2 1 2 k 12 22 22 =k. 2 12 + 22 =0 olmalı (denge şartından) 12 =- 22 12 =-k. 2 İk drm süperposonla brleştrlrse: k k 1 11 12 1 2 k k 2 21 22 1 2 (4) (4) denklem matrs ormda aılırsa; 1 k k1 k k 2 2 vea 1 1 1 1 k 1 1 2 2 (5) vea kısaca k şeklnde aılablr. Brada; k k k 1 1 k k k 1 1 br a elemanın rtlk matrsdr. 5
Dülem Kaes Sstemlern Çöümü: k 5 k 8 k 6 k 7 E,A k 4 k 1 k 2 k 3 F E,A ε ; ζ E ; ε F ζ A F ζ.a F E.ε.A F E.A. F. F k. Brada rtlğ k br dülem kaes elemanın rtlğdr. B, br dülem kaes elemanın k olan br a le temsl edlebldğ anlamına gelmektedr. F F k Bna göre karıdak kaes sstem, alardan olşan br sstem olarak düşünüleblr. 6
k 8 k 5 k 6 k 4 k 7 k 1 k 2 k 3 Ölese, br dülem kaes elemanın rtlk matrs aşağıdak gb düşünüleblr; 1 k11 k12 1 1 k k1 k k k k 2 21 22 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 Bölece; E,A 1 1 1 1 olr. 7
Eleman Eksen Takımında Dülem Kaes Elemanın Rtlk Matrs: Dülem kaes elemanın sadece eksenel kvvete mar oldğ düşünülürse; ; apının tanımlanması çn kllanılan eksen takımı Genel Eksen Takımı ; Elemanın tanımlanması çn kllanılan eksen takımı Eleman Eksen Takımı Kvvet le erdeğştrme arasındak bağıntı aşağıdak gb elde edleblr. B bağıntı kısaca; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 şeklnde aılablr. Brada; : Eleman eksen takımındak kvvet vektörünü, k (1) : Eleman eksen takımındak erdeğştrme vektörünü, k : Eleman eksen takımındak rtlk matrsn, 8
ade etmektedr. Bna göre eleman eksen takımında br dülem kaes elemanın rtlk matrs; şeklndedr. k 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 9
Genel Eksen Takımında Dülem Kaes Elemanın Rtlk Matrs: Genel eksen takımında br dülem kaes elemanda kvvet le erdeğştrme arasındak bağıntı; F KU (2) şeklnde aılablr. Brada; F : Genel eksen takımındak kvvet vektörünü, U : Genel eksen takımındak erdeğştrme vektörünü, K: Genel eksen takımındak rtlk matrsn, ade etmektedr. U Eleman Eksen Takımı U Genel Eksen Takımı 10
U Eleman Eksen Takımı U Genel Eksen Takımı düğüm noktasındak erdeğştrme çn; U.cos U.sn U.sn U.cos Bener şeklde düğüm noktasındak erdeğştrme çn; U.cos U.sn U.sn U.cos B adeler matrs ormda düenlenrse; cos sn 0 0 U sn cos 0 0 U 0 0 cos sn U 0 0 sn cos U vea kısaca; T U (3) şeklnde aılablr. Brada T dönüşüm matrsdr. 11
F Eleman Eksen Takımı F Genel Eksen Takımı F Eleman Eksen Takımı F Genel Eksen Takımı düğüm noktasındak erdeğştrme çn; F.cos F.sn F.sn F.cos Bener şeklde düğüm noktasındak erdeğştrme çn; F.cos F.sn F.sn F.cos 12
B adeler matrs ormda düenlenrse; vea kısaca; cos sn 0 0 F sn cos 0 0 F 0 0 cos sn F 0 0 sn cos F T F (4) şeklnde aılablr. Brada T dönüşüm matrsdr. (3) denklem (1) denklemnde erne aılırsa; k ktu (5) (4) denklem (5) denklemnde erne aılırsa; ktu TF ktu (6) (6) denklemnn her k taraı dönüşüm matrsnn ters, 1 T, le çarpılırsa; 1 1 brm matrs T T F T k T U 1 F T k T U (7) şeklnde elde edlr. (2) denklemnn (7) denklemle karşılaştırılmasından; 1 K T kt (8) şeklnde genel eksen takımında dülem kaes elemanın rtlk matrs elde edlr. 13
Eleman eksen takımındak erdeğştrmeler ardımıla genel eksen takımındak erdeğştrmeler hesaplanırsa; Eleman Eksen Takımı Genel Eksen Takımı U.cos.sn U.sn.cos U.cos.sn U.sn.cos şeklnde elde edlr. B ade matrs ormda aılırsa; U cos sn 0 0 U sn cos 0 0 U 0 0 cos sn U 0 0 sn cos vea kısaca; T U T (9) şeklnde elde edlr. 14
(3) denklemnn her k taraı dönüşüm matrsnn ters, 1 T, le çarpılırsa; 1 T T 1 TU Brm matrs 1 U T (10) şeklnde elde edlr. (9) ve (10) denklemler karşılaştırılırsa; T T T 1 (11) elde edlr. B se, ortagonalte şartıdır. Bölece (8) denklem; T K T kt şeklnde elde edlr. Brada; k : Eleman eksen takımındak rtlk matrsn, K: Genel eksen takımındak rtlk matrsn, ade etmektedr. (12) (12) denklem açık olarak aılıp elde edlrse; K 0 0 cos sn 0 0 cos sn 0 0 sn cos 0 0 0 0 0 0 sn cos 0 0 0 0 cos sn 0 0 cos sn 0 0 0 0 sn cos 0 0 sn cos 0 0 0 0 K 2 2 c cs c cs 2 2 cs s cs s 2 2 c cs c cs 2 2 cs s cs s şeklnde br dülem kaes elemanın genel eksen takımındak rtlk matrs elde edlr. Brada; c=cos, s=sn dır. 15
Dülem Çerçeve Sstemlern Çöümü: P 1 q P 2 Şekldek gb br dülem çerçeve sstemdek br elemanın her br cnda ata ve düşe erdeğştrme le düleme dk eksen etraındak dönme olmak üere toplam üç serbestlk dereces blnmaktadır. m m Çbk ç erdeğştrmeler Çbk ç kvvetler θ θ m m 16
Eleman Eksen Takımında Dülem Çerçeve Elemanın Rtlk Matrs: Eleman eksen takımında dülem çerçeve elemanın rtlk matrsn elde etmek çn, eleman ç erdeğştrmelernn her br arı arı serbest bırakılıp dğerler ttlarak eleman çlarındak kvvetler blnr. Her br drm çn blnan ç kvvetler süperpoe edlerek rtlk matrs elde edlr. 1. 0, = = = = =0 E,A 2. 0, = = = = =0 m 6EI 6EI 2 m 2 m m 12EI 12EI 3 3 3. 0, = = = = =0 m 4EI 2EI θ m θ m m 6EI 6EI θ 2 θ 2 4. 0, = = = = =0 E,A 17
5. 0, = = = = =0 m 6EI 6EI 2 m 2 m m 12EI 12EI 3 3 6. 0, = = = = =0 m m m 2EI 4EI θ m θ 6EI 6EI θ 2 θ 2 Brada ç momentler hesaplanırken; M μ m.θ m.θ m.δ θ θ δ denklemnden adalanılmaktadır. Süperposonla karıdak 6 drm toplanırsa; 12EI 6EI 12EI 6EI θ θ 3 2 3 2 6EI 4EI 6EI 2EI m θ θ 2 2 12EI 6EI 12EI 6EI θ θ 3 2 3 2 6EI 2EI 6EI 4EI m θ θ şeklnde elde edlr. 2 2 18
B denklem matrs ormda aılırsa; vea kısaca; 0 0 0 0 12EI 6EI 12EI 6EI 0 0 3 2 3 2 6EI 4EI 6EI 2EI 0 0 m 2 2 θ 0 0 0 0 m 12EI 6EI 12EI 6EI 0 0 3 2 3 2 θ 6EI 2EI 6EI 4EI 0 0 2 2 şeklnde aılablr. Brada; : Eleman eksen takımındak kvvet vektörünü, k (1) : Eleman eksen takımındak erdeğştrme vektörünü, k : Eleman eksen takımındak rtlk matrsn, ade etmektedr. Bna göre eleman eksen takımında br dülem çerçeve elemanın rtlk matrs; k 0 0 0 0 12EI 6EI 12EI 6EI 0 0 3 2 3 2 6EI 4EI 6EI 2EI 0 0 2 2 0 0 0 0 12EI 6EI 12EI 6EI 0 0 3 2 3 2 6EI 2EI 6EI 4EI 0 0 2 2 şeklndedr. 19
Genel Eksen Takımında Dülem Çerçeve Elemanın Rtlk Matrs: Genel eksen takımında br dülem çerçeve elemanda kvvet le erdeğştrme arasındak bağıntı; F KU (2) şeklnde aılablr. Brada; F : Genel eksen takımındak kvvet vektörünü, U : Genel eksen takımındak erdeğştrme vektörünü, K: Genel eksen takımındak rtlk matrsn, ade etmektedr. = U Eleman Eksen Takımı U Genel Eksen Takımı 20
U Eleman Eksen Takımı = U Genel Eksen Takımı düğüm noktasındak eleman ç erdeğştrmes; U.cos U.sn U.sn U.cos θ θ Bener şeklde düğüm noktasındak eleman ç erdeğştrmes; U.cos U.sn U.sn U.cos θ θ B adeler matrs ormda düenlenrse; vea kısaca; cos sn 0 0 0 0U sn cos 0 0 0 0 U θ 0 0 1 0 0 0 θ 0 0 0 cos sn 0 U 0 0 0 sn cos 0U θ 0 0 0 0 0 1 θ şeklnde aılablr. Brada T dönüşüm matrsdr. T U (3) 21
Bener şeklde; m m m =M F Eleman Eksen Takımı F Genel Eksen Takımı F Eleman Eksen Takımı m =M F Genel Eksen Takımı düğüm noktasındak eleman ç erdeğştrmes; F.cos F.sn F.sn F.cos m M Bener şeklde düğüm noktasındak eleman ç erdeğştrmes; F.cos F.sn F.sn F.cos m M 22
B adeler matrs ormda düenlenrse; vea kısaca; cos sn 0 0 0 0 F sn cos 0 0 0 0 F m 0 0 1 0 0 0 M 0 0 0 cos sn 0 F 0 0 0 sn cos 0 F m 0 0 0 0 0 1 M şeklnde aılablr. Brada T dönüşüm matrsdr. T F (4) (3) denklem (1)denklemnde erne aılırsa; k ktu (5) (4) denklem (5)denklemnde erne aılırsa; ktu TF ktu (6) (6) denklemnn her k taraı dönüşüm matrsnn ters, 1 T, le çarpılırsa; şeklnde elde edlr. 1 1 brm matrs T T F T k T U 1 F T k T U (7) (2) denklemnn (7) denklemle karşılaştırılmasından; 1 K T kt (8) şeklnde genel eksen takımında dülem çerçeve elemanın rtlk matrs elde edlr. 23
Eleman eksen takımındak erdeğştrmeler ardımıla genel eksen takımındak erdeğştrmeler hesaplanırsa; Eleman Eksen Takımı = Genel Eksen Takımı U.cos.sn U.sn.cos θ θ U.cos.sn U.sn.cos θ θ şeklnde elde edlr. B ade matrs ormda aılırsa; vea kısaca; şeklnde elde edlr. U cos sn 0 0 0 0 U sn cos 0 0 0 0 θ 0 0 1 0 0 0 θ U 0 0 0 cos sn 0 U 0 0 0 sn cos 0 θ 0 0 0 0 0 1 θ T U T (9) 24
(3) denklemnn her k taraı dönüşüm matrsnn ters, 1 T, le çarpılırsa; 1 T T 1 TU Brm matrs 1 U T (10) şeklnde elde edlr. (9) ve (10) denklemler karşılaştırılırsa; T T T 1 (11) elde edlr. B se, ortagonalte şartıdır. Bölece (8) denklem; T K T kt şeklnde elde edlr. Brada; k : Eleman eksen takımındak rtlk matrsn, K: Genel eksen takımındak rtlk matrsn, ade etmektedr. (12) (12) denklem açık olarak aılıp elde edlrse; 25
K 0 0 0 0 12EI 6EI 12EI 6EI cos sn 0 0 0 0 0 0 3 2 3 2 cos sn 0 0 0 0 sn cos 0 0 0 0 6EI 4EI 6EI 2EI sn cos 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos sn 0 0 0 0 cos sn 0 0 0 0 0 0 0 0 sn cos 0 0 0 0 sn cos 0 0 0 0 0 0 1 12EI 6EI 12EI 6EI 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 3 2 6EI 2EI 6EI 4EI 0 0 2 2 26
K g a b c a b c b d e b d e c e c e g a b c a b c b d e b d e c e g c e şeklnde br dülem çerçeve elemanın genel eksen takımındak rtlk matrs elde edlr. Brada: 2 12EI 2 12EI a cos sn b 3 cos sn 3 6EI 2 12EI 2 c sn d sn cos 2 3 6EI 4EI e cos 2 2EI g 27