Betti Teoremi ile Plaklar ve Dönel Kabuklar için Genelleştirilmiş Sonlu Fark Çözümü *

Transkript

1 İMO Teknk Derg, , Yazı 490 Bett Teorem le Plaklar ve Dönel abklar çn Genelleştrlmş Sonl Fark Çözümü * Naht UMBASA ÖZ Son ıllarda üzernde çok çalışılan ve düzgün br ağ gerektrmeen ağsız öntemler, genelleştrlmş sonl fark öntemnn gelştrlmş şekllerdr. B çalışmada nce elastk plaklar ve dönel kabklara glanablen, Bett teorem kllanılarak elde edlmş, genelleştrlmş br sonl fark çözüm öntem snlmaktadır. Anahtar elmeler: Sonl fark öntem, ağsız öntemler, saısal çözümleme, Bett teorem. ABSTACT A Generalzed Fnte Dfference Method for Plates and otatonal Shells, Usng Bett s Theorem Meshless methods, hch have been etensvel stded n last decades, are essentall mproved forms of the generalzed fnte dfference method. In ths paper a generalzed fnte dfference method for thn elastc plates and rotatonal shells, obtaned b sng Bett s recprocal theorem, s presented. eords: Fnte dfference method, meshless methods, nmercal solton, Bett s theorem.. GİİŞ Saısal çözüm öntemlernden sonl farklar öntem, türevlern elde edlme bçm neden le, düzgün br ağ gerektrr. Son ıllarda aınlanan gelştrlmş sonl fark öntemnde, amaçlanan nokta çevresnde eterl saıda, gelşgüzel erleşmş nokta koordnatları cnsnden üretlen enterpolason fonkson ardımı le türevler ağsız nokta düzen çn de elde edleblmektedr. Çözülmes amaçlanan probleme bağlı olarak denklemlern elde edlmes, kolokason öntem, en küçük kareler öntem, Galerkn öntem vb. öntemlerle apılmaktadır. Son ıllarda ağsız öntemler kons üzernde çok saıda çalışma ve aın apılmıştır. Not: B azı - Yaın rl na günü laşmıştır. - 3 Aralık 07 gününe kadar tartışmaa açıktır. - DOI: /tekderg İstanbl Teknk Ünverstes, İnşaat Müh. Bölümü, İstanbl Emekl - kmbasarn@t.ed.tr

2 Bett Teorem le Plaklar ve Dönel abklar çn Genelleştrlmş Sonl Fark Çözümü Orksz vd. [] de, ağsız sonl fark öntemnn adımları verlerek formülason çn glanan değşk öntemlerle lgl kanaklar belrtlmştr. Herta vd [] de ağsız öntemlern sabt ağ öntemlerne üstünlüğü, hang tür problemlerde üstün oldkları açıklanmış, ağsız öntemler k grba arılarak, brncde daha çok kolokason ve nokta entegrason öntem kllanılırken knc grpta daha çok Galerkn öntemnn glandığı belrtlmştr. Gavete ve Gavete [3] te, genelleştrlmş sonl fark öntemne ağsız öntem de dendğ belrtlerek genelleştrlmş sonl fark öntem açıklanmıştır. Idelson [4] te ağlı ve ağsız öntemlern üstünlük ve eksklkler belrtlp hang drmda kllanılmaları gerektğ ncelenmş, standart br kşsel blgsaarda, artan blnmeen saısı le hesaplama zamanları kıaslanmıştır. Beltsko [5] te, bazı problemlerde sonl eleman, sonl hacm gb öntemlern etersz kaldıkları belrtlerek ağsız öntemlern esasında blnan ağırlık fonkson, dğer adı le pencere fonkson anlatılmış, öntemler sürekszlk ve ttarlılık açısından rdelenmştr. L ve G [6] da, ağsız öntemlern sornları belrtldkten sonra, bnların gderlmesne önelk olarak nokta entegrason olarak adlandırdıkları öntem anlatılmış, k saısal örnekte kıaslamalar apılmıştır. Bstamente vd. [7] de k botl lneer elastste problemler çn, elaststenn özel çözümler brleştrlerek elde edlen aklaşık erdeğştrme fades ağsız öntem çn glanmış, her br denklem çn bölge belrleen şekl parametresnn genş br bölgedek değerler çn br aklaşım verdğ belrtlmştr. G [8] de, ağsız öntemlern kategorler anlatılmış, öntemler akınsama, aklaşıklık ve etknlk açısından karşılaştırılmıştır. Ülkemzde de b konda aınlar vardır. Pekeds ve Yıldız [9] da, ağsız öntemler hakkında blg verlmş sonl eleman öntem le karşılaştırılmış, ağsız öntemler formülason esası ve çözüm öntem açılarından sınıflandırılmıştır. Yne Pekeds ve Yıldız [0] da, ağsız Galerkn öntem lneer elastk dol kestl çbklara glanarak etkn ve güvenlr br öntem oldğ fade edlmştr. Erdaı [] Yüksek Lsans teznde Petrov-Galerkn öntemn glamış, ankastre çbk ve delkl sonsz plak çözümlernde, entegral ve etk tanım parametrelernn çözüme etksn araştırmıştır. Çakıroğl [] Brnc Mekank ongres nde sndğ br çalışmada, kama plağı ve k botl akım problemler çn değşken katsaılı knc mertebe kısm türevl dferansel denklemlern çözümünü ncelemştr. Söz kons bldrde ortogonal ve k doğrltda farklı br sonl fark ağı çn kama rjtlğ her aralıkta farklı olan br kama plağı çn Bett teorem ardımı le br sonl fark operatörü elde edlmştr. mbasar [3], XII Ulsal Mekank kongresnde sndğ çalışmasında, an öntem glaarak ortogonal olmaan br ağ çn br sonl fark operatörü elde etmştr.. YÖNTEM Çözüm öntemnde Bett karşıtlık teorem kllanılmaktadır. Blndğ gb b teorem, doğrsal elastk br ssteme etken k ükleme drmnda brncnn knce at erdeğştrmelerde aptığı şn kncnn brnce at erdeğştrmelerde aptığı şe eşt oldğn fade eder. B amaçla kllanılacak k ükleme drmndan br lgl blnmeenn seçlen br sekzgen alan çnde sınırlanmış, dğer bölgelerde sıfır olan etklerdr. İknc ükleme drm blnen dış ükler ve aranan erdeğştrmelerdr. Yöntemn açıklanması çn önce basık kabğa at bağıntılar özetle verlecektr. abk kest zorlarının 830

3 Naht UMBASA 83 v N v N v N 3 D M 4 D M 5 D M 6 D Q 7 D Q 8 fadelernde f ve f o fonksonn ve e göre türevlern, N N N,, mambran kvvetler, M M M,, eğlme ve brlma momentlern, Q Q, kesme kvvetlern,,v ve,,,z doğrltlarında erdeğştrmeler, nn Laplace türevn göstermektedr. ve D, sırası le, brm genşlkl kabğn zama ve eğlme rjtlklerdr. est zorlarının karıdak fadeler, denge denklemlernde erne konarak, brada arıntısı verlmekszn, aşağıdak dört bağıntı elde edlr. p h v 9 p h v v 0 p h v z

4 Bett Teorem le Plaklar ve Dönel abklar çn Genelleştrlmş Sonl Fark Çözümü 0 Çözüm alanı çndek her noktada, akın çevresndek sekz nokta le brlkte medana getrdkler sekzgende, aranan fonksonn,v, vb. aılışının, b dokz noktadak değerler cnsnden f, f f f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 3 şeklnde fade edlebleceğ kabl edlmştr Şekl. B, ağsız öntem dem le, dokz noktalı br ıldız tanımına karşı gelr. Dğer andan, erdeğştrme ve ç kvvet değşmler sadece b sekzgen çnde kalan brm erdeğştrmelern tanımlanması, entegral şlemlern kolalaştırması açısından önemldr.,v ve çn Şekl de verlen sekzgen pramt bçml brm erdeğştrme b koşl sağlar. 4 3 v v 5 7 v 4 v 5 6 v v 7 v 6 v 9 Şekl. Dokz nokta çn erdeğştrmeler s s b b Şekl. Sekzgen pramt şeklnde brm erdeğştrme 83

5 Naht UMBASA Alışılmış plak denklemnde türevler dördüncü mertebeden oldğndan glanamaan b öntem, Marks tan ber blnen, smültane k knc mertebe denklemle glanablr drma gelmektedr. Denge denklemlernde bağıntısı, kabk eğrlkler le lgl termler br ana bırakılırsa, le brlkte düşünüldüğünde plak denklemne karşı gelr. Şekl dek brm ükseklkl sekzgen pramt brm erdeğştrme çn kllanıldığında herbr üçgende düzlemn denklemne gereksnm olacaktır. Örneğn nc üçgen çn b denklemn, nc kenarın eksenler kestğ noktalar,, lere bağlı olarak z 4 oldğ kolaca görülür. B nedenle önce her noktaa karşı gelen sekzgen çn kenarların, eksenlern kestğ, noktaları hesaplanıp brktrlr. Ykarıdak 4 fadesnn brm erdeğştrmes çn oldğn düşünelm. Bett teoremnde kllanılacak ük çn 5 fadesnn türevler alınarak 9- denklemlernde erne kondğnda aılı ük olarak sadece z doğrltsnda 6 düzgün aılı ükü blnr. ve nn b sekzgen çnde sabt kaldığı kabl edlecektr. B türevler -3 te erne kondğnda N, N, N 7 mambran kvvetlernn olştğ görülür. Üçgenden üçgene değşen, fakat her üçgen çnde sabt olan b kvvetlern üçgen kenarlarında, s ve co o kenara at normaln doğrlt kosnüsler olmak üzere doğrltsnda co s 8 ve doğrltsnda 833

6 Bett Teorem le Plaklar ve Dönel abklar çn Genelleştrlmş Sonl Fark Çözümü s co 9 çzgsel ükü blnr. Benzer şlemler brm v erdeğştrmes çn glanarak z doğrltsnda 0 düzgün aılı ükü ve doğrltsnda s co ve doğrltsnda co s çzgsel ükler elde edlr. B ükler sekz üçgenn herbrnde elde edlp Bett teorem gereğ elde edlmes amaçlanan ve v erdeğştrmeler le çarpılarak entegre edlecektr. Üçüncü doğrltda hesap daha önce belrtldğ gb k kademeldr. Önce denklem göz önüne alınırsa, fade kama rjtlğ brm olan ve ükü etksnde br kama plağının dferansel denklemdr. Brada da ük ntelğnde olan nın brm şddetnde sekzgen pramt bçmnde oldğ düşünülecektr. Yne her br üçgen bölümünde ükün fades br düzlem denklem gbdr. Doğrsal olan b fadenn knc türevler sıfır oldğndan aılı ük oktr. Bna karşılık, çökmenn brnc türevler sıfır değldr, kama rjtlğ brm oldğndan b türevlere eşt kesme kvvetler ve üçgen kenarları üzernde bnların bleşkes olan çzgsel z düzgün aılı ükler olşr: z co. s 3 b ükler aranan le çarpılarak entegre edlecektr. B brm nn,,z doğrltlarına karşı gelen düzgün aılı ükler 9, 0 ve denklemlernden ve e göre türevn -/ ve e göre türevn -/ oldğ hatırlanarak z 4 834

7 Naht UMBASA z 5 zz 6 p oldğ görülür. denklemndek z çn de benzer şlem glanır. D Elde edlen çzgsel ve aılı üklerden, zz dışında tümü sabt değerdedr. Gerekl olan entegrason şlem saısal entegrason öntem le apılablrse de brada daha etkn ve doğr değer vereceğ düşünülen br öntem glanmıştır. Çzgsel üklern entegral, bütün noktalar çn geçerl olan 3 enterpolason fonksonnn br katının, koordnatları blnen k nokta arasında entegral anlamındadır. B fonksonn katsaıları çevre noktaların koordnatlarına bağlı oldğndan noktadan notaa değşr. B nedenle, kapalı br fade olarak elde edlmes amaçlanan b entegral 3 fadesnn her br term çn arı arı hesaplanarak lgl nokta çn olan katsaı le çarpılarak toplanmalıdır. Sözkons,,,,... termlernn entegral alınarak br alt programa konmştr. Üzernde entegral alınan kenarın başlangıç ve son nokta koordnatları b, b, s, s e Şekl bağlı olan b entegral fadelernn, enterpolason fadesnn dördüncü term çn olanı örnek olarak verlrse, el lgl kenarın znlğ ve o b b s s en / 3 olmak üzere 4 el o şeklndedr. Çzgsel üklern dışında, alana aılı ükler de elde edlmştr. B üklern, 3 le tanımlanan erdeğştrme le çarpımının entegral de nokta koordnatlarına bağlı br kapalı fade olarak elde edleblr. Her nokta grb çn erel koordnatlar sekzgenn ç noktası başlangıç seçlerek hesaplanmış ve enterpolason fonkson b koordnatlar cnsnden elde edlmştr. Yaılı üke at hacm entegral b erel koordnatlar cnsnden sekz üçgenn her br çn hesaplanıp toplanır. Örneğn enterpolason fonksonnn brnc sabt term ve dördüncü term çn b entegraller, ç nokta koordnatları a= b, b= s, c= b, d= s olmak üzere al a d b c / k al / 3 k 4 al a a b b / 30 şeklndedr. Sözü edlen entegraller MathLab vea Mathematca gb ardımcı programlarla hesaplanablr. Brada knc program kllanılmıştır. 835

8 Bett Teorem le Plaklar ve Dönel abklar çn Genelleştrlmş Sonl Fark Çözümü Bett teoremnde brnc ükleme drm olarak alınan her brm erdeğştrmede hesaplanan b ş, karşı gelen dış ükün b brm erdeğştrme üzernde aptığı şe eşttr. Her noktada, sözkoms olan erdeğştrmelern herbr çn, karıda belrtlen şlemlerle Bett teorem glanarak, klask sonl fark öntemnde oldğ gb, blnmeen saısı kadar denklem elde edlerek çözülür. 3. SINI OŞULLAI B çözüm öntemnde, doğal sınır koşlları,, v, ve nın var vea sıfır olş le fade edlr. lask sonl fark öntemnde sınır koşlları, gerekl türev fadeler erne sonl fark fadeler konarak gerçekleştrlr. Brada, ç noktalar çn açıklanan öntem, sınırda sıfır olmaan erdeğştrmeler çn de glanarak gerçekleştrlecektr. B nedenle ç noktalarda sekzgen pramt çn elde edlmş olan entegral fadeler sınırda üçgen pramt çn elde edlmştr. Bast mesnet dışında br sınır söz kons oldğnda, karıda sözü edlen sekzgen pramt erne, sınırdak erdeğştrme temsl eden üçgen pramt kllanılmalıdır. Sınır koşlları çn b bçmde tanımlanan erdeğştrmelere at alan entegraller arıca hesaplanıp br alt programa erleştrlmştr. 4. ÖNELE Yöntemn etknlğn belrtmek üzere, noktaların br karesel ağ olştrmadığı dört örnek, üçgen plak, daresel plak, slndrk kabk ve küresel kabk örnekler le akınsamaı görmek üzere bast mesnetl kare plak çözümler apılmıştır. Örnek. Üçgen plak Grkmann [4] da kapalı çözüm fades verlen bast mesnetl eşkenar üçgen plakta, çökmenn ve eğlme momentlernn en büük oldğ noktalarda değerler hesaplanarak kanakta verlen değerlerle karşılaştırılmıştır. Şekl 3. Üçgen plakta nokta dağılımı 836

9 Naht UMBASA Tablo. Üçgen plak çn karşılaştırma Büüklük [4] Blnan Hata % D/pa M /pa M /pa Düzgün aılı p üküne marz, bast mesnetl eşkenar üçgen plağın en büük çökme değer ağırlık merkeznde, en büük M ve M değerler k arı noktada hesaplanmıştır. B noktaların apssler ağırlık merkeznden -0.06a ve 0.9a mesafededr. Tablo de, brada hesaplanan değerler [4] te verlenlerle karşılaştırılmıştır. Az saıda nokta le elde edlen soncn eterl oldğ söleneblr. B örnekte Şekl 3 te görülen 0 ç nokta çn şlemler olabldğnce arıntılı olarak verlmee çalışılacaktır. Sonl fark denklemlernn azılması amaçlanan noktaa en akın sekz nokta seçlerek Şekl dek gb dokz noktalı br bölge olştrlr. Başlangıçları söz kons nokta olan erel koordnat eksenlernde fade edlen enterpolason fonkson dokz noktanın koordnatları le azılarak elde edlen dokz denkleme at katsaılar matrsnn ters hesaplanır. Sekzgen olştran her br üçgende, enterpolason fonksonnn her br term çn, dış kenar koordnatlarına bağlı alan entegral ve üçgen kenar ç koordnatlarına bağlı çzgsel entegraller hesaplanıp br dze erleştrlr. Üçgen pramt bçmnde seçlen brm er değştrme çn her br üçgende b çökme olştran dış ük enterpolason fonkson le fade edlen çökme le çarpılacaktır. Plak problemnde knc mertebe k kama plağı dferansel denklem söz kons oldğndan düzlem üzelern eğmler le orantılı olan kesme kvvetler olşr. Üçgenn her br kenarının doğrltsna bağlı Sn ve Cos değerler cnsnden b kesme kvvet Cos/ k +Sn/ k olarak elde edlr. k ve k üçgen dış kenarının erel koordnat eksenlern kestğ değerlerdr. B kesme kvvetnn çökme fadesnn termler le çarpımının entegrel önceden hesaplanmış entegraller ardımı le elde edlr. Her br term çn sekz üçgen üzernde hesaplan entegraller toplanarak dokz elemanlı br dze erleştrlr. B dz, sözü edlen ters matrsle çarpılarak sekzgenn her br noktasındak çökme le lgl entegral blnmş olr; b sonl fark denklemnn sol tarafıdır. Sağ taraf çn de benzer çlemler apılır. denklemnde Δ çn de sağ taraf şlem glanmakla brlkte aranan blnmeen olması neden le er denklemn soldr. Örnek. Daresel plak Şekl 4 te görülen daresel plakta da noktalar karesel br ağ olştrmamaktadır. B plağın çözümü çn sınır koşl olarak, =0, =0 doğal sınır koşlları alınacaktır. B sınır koşlları bast mesnet koşllarından farklı sonçlar verr. Plak ortasında çökme 3pa 4 /64D ve eğlme momentler +νpa /8 değern alırlar. ν =0.0 çn apılan çözümde elde edlen sonçlar Tablo de verlmştr. 837

10 Bett Teorem le Plaklar ve Dönel abklar çn Genelleştrlmş Sonl Fark Çözümü Şekl 4. Daresel plakta nokta dağılımı Tablo. Daresel plak çn karşılaştırma Büüklük Teork Blnan Hata % D/pa M /pa M /pa Örnek 3. are plak Nokta düzennn etksn görmek üzere kare br plak önce 7 7 düzgün karesel ağla çözülmüş, sonra nokta saısı an kalmak üzere Şekl 5 te verlen gelşgüzel br nokta dağılımı çn çözülerek sonçlar karşılaştırılmıştır. Plak orta noktasında botsz çökme ve eğlme moment değerler Tablo3 te karşılaştırılmıştır. Düzenl nokta dağılımının gerçeğe daha akın sonç verdğ görülmektedr. Tablo 3. are plak çn karşılaştırma Büüklük Teork Düzenl nokta Hata % Düzensz Hata % D/pa M /pa M /pa

11 Naht UMBASA Şekl 5. are plakta düzensz nokta dağılımı Örnek 3. Slndrk kabk Şekl 6 da şeması verlen slndrk kabk alt ve üst çembernde bast mesnetl ve brm değerde ç basınç taşımaktadır. Modellemede arıçap 0.0m ükseklk 4.0 m alınmıştır. Şeklde görülen oldkça sade nokta dağılımı le elde edlen erdeğştrmeler daha sık noktalı br ağla 48 3 apılan sonl eleman çözüm sonçları le karşılaştırılmış Şekl 6. Slndrk kabkta nokta dağılışı 839

12 Bett Teorem le Plaklar ve Dönel abklar çn Genelleştrlmş Sonl Fark Çözümü Tablo 4. Slndrk kabkta karşılaştırma Değer Sonl eleman Blnan Hata Brnc halka Eh/pa İknc halka Eh/pa Üçüncü halka Eh/pa Örnek 4. üresel kabk Şekl 7 de şeması verlen arım küre kabk alt çembernde bast mesnetl ve brm değerde ç basınç taşımaktadır. Modellemede arıçap 0.0m kalınlık 0.0m alınmıştır. alınlık/arıçap oranı /00, kabk nce oldğndan mesnet etkler hızla sönecek ve tepe noktasında mambran etkler elde edlmes gerekecektr. B değerler, Nφ=Nθ=pa/, =pa -ν/eh olarak blnmektedr 5. Şekl 7. üresel kabkta nokta dağılımı görünüş ve planı Tablo 5. üresel kabkta karşılaştırma Değer Teork ν=0. Blnan Hata % Tepede Eh/pa Tepede Nφ/pa Tepede Nθ/pa SONUÇLA Gelştrlmş sonl fark öntem çn, kanak aınlarda glanan öntemden farklı olarak, Bett teoremnden ararlanan br algortma glanmıştır. B algortma kartezen koordnatlarda tanımlanmış nce plak ve levhalar çn oldğ gb, koordnatları asal eğrlkler doğrltsnda tanımlanmış nce kabklar çn de glanablr. Snlan örnekler öntemn aklaşımının eterl oldğn göstermektedr. 840

13 Naht UMBASA Yerdeğştrme parametreler olarak b çalışmada glanan, v, ve erne, v, erdeğştrmeler le, α ve β dönmeler seçlerek, öntemn kalın plak ve kabklara da glanması çalışmanın br ler aşaması olarak düşünülmektedr. Semboller a D h M,, M N,, N p, p,, p z,,,,v,,,z, : ν : Açıklık, arıçap : Plak, kabk rjtlğ : Plak, kabk kalınlığı : abk zama rjtlğ : Eğlme momentler : abk mambran kvvetler :,,z doğrltsnda ükler : Brm erdeğştrmeden üçgenlerde olşan düzgün aılı ükler : abk eğrlk arıçapları :,,z,doğrltlarında erdeğştürmeler : oordnatlar : Üçgen dış kenarlarının koordnat eksenlern kesm noktaları : Posson oranı : nn Laplace türev anaklar [] Orksz J., Jaorska I., Magera J., Mlesk S., Pazdanosk M. Meshless Fnte Dfference Method State of the Art. th World Congress on Comptatonal Mechancs WCCM XI Jl 0-5, 04, Barcelona, Span [] Herta A., Beltschko T., Fernnandez-Mendez, S., abczk, T. Meshfree Methods. Encclopeda of Comptatonal Mechancs. Edted b Ern Sten, enée de Borst and Thomas J.. Hghes. John Wle & Sons, Ltd. 004 [3] Gavete, L., Gavete, M.L., Bento J.J., Improvements of generalzed fnte dfference method and comparson th other meshless method, Appled Mathematcal Modellng , 003. [4] Idelsohn, S., On ate, E., To mesh or not to mesh. That s the eston. Compt. Methods Appl. Mech. Engrg. 95, , 006 [5] Beltschko T., rongaz Y.., Organ, D., Flemng, M., rsl, P. Meshless Methods An Overve and ecent Developments, Compt. Methods Appl. Mech. Engrg. 39, 3-47,

14 Bett Teorem le Plaklar ve Dönel abklar çn Genelleştrlmş Sonl Fark Çözümü [6] L, G.., G, Y. T., A pont nterpolaton method for to-dmensonal solds, Int. J. Nmer. Meth. Engng; 50:937-95, 00 [7] Bstamante, C.A. Poer, H., Floreza W.F., Hang, C.Y., The global appromate partclar solton meshless method for to-dmensonal lnear elastct problems. Internatonal Jornal of Compter Mathematcs, 90, , 03. [8] G, Y. T.,Meshfree Methods and Ther Comparsons, Internatonal Jornal of Comptatonal Methods,, 4, , 005 [9] Pekeds, M., Yıldız, H., Ağsız Yöntemler ve Sınıflandırılması, Pamkkale Ünverstes Mühendslk Blmler Dergs 6, -9, 00 [0] Pekeds, M., Yıldız, H., Eksenel Yüklü Ankastre Çbğn Davranışının Eleman Bağımsız Galerkn Yöntemle Çözülmes Pamkkale Ünverstes Mühendslk Blmler Dergs 5, , 009 [] Erdaı, D. C. Meshless Local Petrov-Galerkn Method For Plane Elastct Problems A Thess Sbmtted To The Gradate School of Natral and Appled Scences of Mddle East Techncal Unverst, Febrar 04. [] Çakıroğl, A. Yapı sstemler çn genel br arık sstem hesap öntem. Brnc Ulsal Mekank ongres, 979. [3] mbasar, N. Dk kenarlı olmaan dörtgen alanda Bett teorem le elde edlmş br sonl fark öntem. XII Ulsal Mekank ongres, ona, , Ell 00. [4] Grkmann,. Tameroğl, S.S, Yüzesel Taşııcı Sstemler C., İ.T.Ü. ütüphanes, Matbaa Teknsenler Basımev, İstanbl 964. [5] esknel, F.,mbasar, N. Sürekl Temeller ve Dönel abklar. İ.T.Ü. Mühendslk Mmarlık Fakültes, Matbaa Teknsenler oll. Şt., 976 [6] Marks, H. De Theore elastscher Geebe nd hre anendng af de Berechnng begesamer Platten nter besonderer Berückschtgng der traegerloser Plzdecken. J.Sprnger,