ÇARPMA VE BÖLMEYİ ANLAMA

ÇARPMA VE BÖLMEYİ ANLAMA Yrd. Doç. Dr. Müge YURTSEVER KILIÇGÜN ÇARPMA İŞLEMİNİ ANLAMA Çarpma işleminin birinci yapısı: Tekrarlı toplama işlemi Çarpma işleminin kesinlikle ilişkilendirilmesi gereken kategorilerden birisi: çarpma işaretinin 'grup' anlamına gelmesidir. Böylece, 2x3 sembolünü yorumlamanın en açık yollarından biri de iki şeyin üç gruba sahip olduğu durumları düşünmektir. Bu durumlar, tekrarlı toplama işlemi olarak adlandırdığımız yapıdır. Üçün iki grubu 3+3 şeklinde de yazılabildiği için, bu duruma basit bir şekilde tekrarlı toplama işlemi denir. 1

Değişme özelliği (çarpma işlemi ve toplama işlemi) 2x3 'iki tane üçlü grup' mu yoksa 'üç tane ikili grup' mudur? Bu sembolleri aşağıdaki şekildeki (a) ya da (b) resimlerinden hangisi ile ilişkilendirebiliriz? Üç nesnenin oluşturduğu ikili grup ve iki nesnenin oluşturduğu üç grubun aynı sonucu verdiğinin açık bir şekilde ortada olmaması, dikkat edilmesi gereken ilk durumdur. Şekildeki iki resmin de aynı sayıyı temsil ettiği hemen dikkatimizi çekmez. Buradaki gerçek, çarpma işleminin bilinen değişme özelliğinin bir örneği olmasıdır. Aslında, buradaki özellik, iki sayı birbiri ile çarpıldığında hangi sayının önce geldiğinin önemli olmadığıdır. Üç çocuktan oluşan iki grubun ve iki çocuktan oluşan üç grubun aynı sayıda çocuk içerdiğini çarpma işleminin değişme özelliğinden dolayı biliyoruz. Değişme özelliğine sahip bir başka işlem ise toplama işlemidir. İki sayı birbiri ile toplandığında hangi sayının ilk önce geldiği önemli değildir. Örneğin, beşe dört eklemek ile dörde beş eklemek aynı sonucu verir. Küçük çocukların beş nesneden oluşan bir grupla dört nesneden oluşan bir grubun birleştirilmesi ile dördün bir grubu ve beşin bir grubunun birleştirilmesinin aynı anlamı taşıdığını görmesi, onların toplama işlemini anlama noktasında gelişim sürecindeki bir aşamaya gösterir. Bu, çok büyük bir aşama gibi görünmeyebilir ama çok önemlidir. Buna ek olarak, sol eldeki dört parmağı ve sağ eldeki beş parmağı yukarı kaldırma ile sol eldeki beş parmağı ve sağ eldeki dört parmağı yukarı kaldırmayı kavrama arasında bir farklılık görünmemektedir. İki durum arasında dönüşüm olmasına rağmen denklik kolaylıkla gösterilmektedir. 2

Sonuç olarak çoğu çocuk 5+4 ve 4+5'i kolaylıkla değiştirebilme yeteneğine sahiptir. Fakat bu özelliği çarpma işlemi için kavramak biraz daha zordur. 'Beş tane ikili grup' ve 'iki tane beşli grup' arasındaki eşitlik açık bir şekilde ortada değildir. Açık bir şekilde konuşmak gerekirse, 'iki kere üç', 'üç kere iki' ve 'üç tane ikili grup' (şekil (b)'de gösterildiği gibi) aynı anlamı taşımaktadır. Benzer şekilde, daha resmi bir dil olan 'ikiyi üç ile çarpmak' aynı zamanda şekil (b)'deki resimde kastedilmiştir: ikinin bir grubu üç kere çoğaltılmıştır. Böylece, bu yorumlamada, 2x3, 3+3'ü temsil ederken, 3x2 da 2+2+2 yi temsil eder. Dikdörtgensel diziler Çarpmanın belli bir gösteriminin verilmesi ve bu kavramla ilgili olan deneyim ağı ile ilişkilendirmeye yeterli derecede dikkat edilmesi, çarpma işleminde değişme özelliğini anlamada yardımcı olacaktır. 3

Dikdörtgensel diziler kavramını vurgulanasının sebeplerinden biri ise bu çarpma işlemi resminin, değişme özelliğini şeffaf hale getirmesidir. Böylece şekildeki 2X3 için dikdörtgensel dizler hem 'üç tane noktanın iki sırası' (sayfanın enine giden) hem de 'iki tane noktanın üç sırası (ya da sütunu)' (sayfanın boyuna giden) olarak ifade edilebilir. Açıkça, bu durumda, iki tane üç ve üç tane iki aynı anlama gelmektedir. Aynı şekilde, 'iki tane noktanın üç sırası' (sayfanın boyuna giden) hem de 'üç tane noktanın iki sırası (ya da sütunu)' olarak ifade edilebilir. Daha sonra, hem 2x3 hem de 3x2 sembolleri, bu şekilleri temsil etmede kullanılabilir. Küçük çocuklar, 2x3=6 gibi çarpma işlemi durumlarını yazmaya başlamadan önce, kendi çevrelerindeki -dış dünya bunun örnekleriyle dolu- dikdörtgensel dizileri tanımlama noktasında ve kendi gözlemlerini bir şekilde uygun yorumlarla kant etme konusunda cesaretlendirilmelidirler. Anasınıfındaki öğrenciler, kendileri de dahil olmak üzere nesneleri genellikle çiftler halinde grupluyorlar ve çok çabuk bir şekilde sayıların pek çok çiftten oluştuğunu düşünüyorlar. Yani, 3'ü 2 çift olarak, 2 yi 3 çift olarak görüyorlar. Çocuğun çiftler halinde sıralaması istendiğinde çiftler halinde saymayı tercih ediyorlar. Sonrasında iki sırayı ayırıyoruz ve her sırada kaç çocuk olduğunu sayıyoruz. Böylece öğrenciler ilk durumda 3 çiftten oluşan 6 çocuk olduğunu, ikinci durumda ise 3'er çocuktan oluşan 2 sıra olduğunu görüyorlar. Bu durum, öğrenciler için çarpma işlemini dikdörtgensel dizilerde görmenin erken bir tecrübesi oluyor. 4

Çarpma işleminde ilişkiler ağı Bir sayı işlemini anlamanın ilişkiler ağının kurulması ile mümkün olduğunu bir kez daha görmekteyiz. Çarpma işlemini anlamak, 'ile çarpmak', 'kere' ve 'pek çok şeyin pek çok grubu' şeklindeki dilleri, nesnelerin tekrarlı gruplan, çarpma işlemi ifadelerinin sembolleri ve dikdörtgensel dizilerin önemli resmi gibi somut durumlarla ilişkilendirmeyi kapsar. Bu resim ile çarpma işlemi ağının önemli bir parçasını oluşturan çocuk, elindeki durum ile ilerdeki matematik tecrübeleri arasındaki bağlantıyı hangi noktada kuracağı konusunda güçlü bir görüntüye sahiptir, iki basamaklı ve üç basamaklı sayıları çarpmak ve yine çarpma işlemini kullanarak dikdörtgenlerin alanını bulmak örnek olarak gösterilebilir. Çarpma işlemi için ilişkiler ağına inşa edilebilecek bir başka önemli resim ise sayı doğrusu üzerinde tekrarlanan adımlardır. Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, çocuklar 2x3 sembolü ile sayı doğrusu boyunca ikinin üç adımı' ya da 'üçün iki adımı' arasında bir ilişki kurmayı öğrenirler. Değişme özelliği sağlam bir şekilde kurulmadan önce bu iki farklı işleyişin bizi aynı noktaya götürmesi oldukça hayret verici bir durumdur. 5

Tekrarlı toplama işleminde içerik Sadece nesnelerin grupları ile uğraşırken değil, aynı zamanda para ile ilgili durumlarda ve çeşidi ölçme durumlarında da sayılarla ilgili işlemlerle karşılaşırız. Bu nedenle, çocukların sayılarla yapılan işlemleri anlama gelişimlerinin önemli bir bölümü; işlemle alakalı semboller, dil arasında kurulan ilişki ve gerçek hayatta da geniş bir yelpazeye sahip olma bu işlemin çeşitli yapılarıdır. Çarpma işlemi fikrini 'pek çok şeyin pek çok grubu' olarak görülebilir. Tekrarlı gruplar olarak düşünülen bu yapı para, uzunluk, ağırlık, kapasite ve zaman gibi diğer durumlar için de genişletilebilir. Çarpma işlemi genellikle iki farklı içerikte aynı anda ortaya çıkar. Bir çarpma işlemi durumunda yer alan iki sayı farklı şeyleri temsil eder. Bu durum, iki sayının genelde aynı şeyleri temsil ettiği toplama ve çıkarma işlemleri ile zıtlık oluşturmaktadır. Bir gruba başka bir grup, bir fiyata başka bir fiyat, bir uzunluğa başka bir uzunluk eklemek gibi. Fakat eğer gruplar, para, uzunluk, mesafe, ağırlık, sıvı hacmi ve kapasitesi ve zaman gibi olası diğer durumları düşünürsek, bu saydığımız örneklerden herhangi iki tanesinden oluşan sayılar çarpma işleminin bazı uygulama ve anlam taşıdığı muhtemel bir gerçek durum oluşturabilir. 6

Örneğin, 6 sayısını para (6 TL) içeriğinde ve 3 sayısını da ağırlık (3 kg) içeriğinde düşünürsek, kilosu 6 TL olan 3 kg somon balığının fiyatını bulurken çarpma işleminin tekrarlı toplama işlemi yapısı ile karşılaşırız. Para ve sıvı hacmi içeriklerini kullanarak litresi 3 TL olan 6 litre sütün fiyatını bulurken de aynı yapı ile karşılaşırız. Zaman ve uzaklık içeriklerini kullanarak saatte 6 km bisiklet sürersek 3 saatte ne kadar yol aldığımızı hesaplayabiliriz. İki farklı içerikten aldığımız sayılan tek işlemde bir araya getirme süreci çarpma işleminin özellikleri arasında en zor olanlarından biri olmakla birlikte öğrenilmesi ve anlaşılması gereken bu kavram çarpma işleminin karmaşıklığını artırmaktadır. Çarpma İşleminin 2. Yapısı: Ölçeklendirme Çarpma işlemi ile bağlantılı olarak düşünülebilecek bir başka yapı bir çarpanla büyütülmüş bir niceliktir. Buna ölçeklendirme yapısı denilir. Bu yapı, 2x3 sembolü ile uyumlu olan ve on yaşındaki bir çocuk tarafından yazılan 'Benim üç kalemim var. Arkadaşım ise benim kalem sayımın iki katına sahiptir. Arkadaşımın kaç kalemi vardır?' probleminde görülmektedir. Sıradan bir bakış açısıyla, okuyucu bu yapının tekrarlı toplama işleminden pek bir farkı olmadığını düşünebilir. Fakat burada 'üç kalemden oluşan iki grup'tan bahsetmediğimize dikkat çekmemiz gerekiyor. Bu hikaye iki gruptan oluşan kalemlerle ilgilidir. Birisi üç kalemden oluşan bir grup, diğeri ise 'iki katı kadar' olan ve 6 kalemden oluşan bir grup olarak tanımlanabilir. Bu hikayede 'iki katı kadar' iki grup arasındaki ilişkiyi ifade etmek için kullanılabilir. Böylece, çarpma işlemi aynı zamanda bir büyütme süreci olarak anlaşılabilir; yani bir niceliği 'bir çok defa büyütmek' gibi. 7

Bu ölçeklendirme yapısı, daha sonraki matematiksel tecrübeler ölçeklendirme fikrini kapsayacağından dolayı, çarpma işlemi için ilişkiler ağının önemli bir parçasıdır. Örneğin, yüzdelik bir artışı hesaplarken ya da harita ve ölçek çizimlerinde ölçek katsayısı ile uğraşırken ölçeklendirme yapısı ile karşılaşılabilir. Çocuklar, ölçek katsayısı olarak 2'nin kullanıldığı ikiye katlama sürecinde çarpma işleminin ölçeklendirme yapısı ile ilgili erken bir tecrübe edinirler. 'İki katı' kelimesi de bu yapı ile ilgilidir: 'Senin bilyelerinin iki katına sahibim'. Bu durum bizi, 'üç kan kadar çok', 'üç katı kadar uzun', 'dört katı kadar fazla', 'on katı kadar ağır' gibi dillerin kullanıldığı diğer ölçek katsayılarına ve çeşitli ölçme içeriklerine götürür. İnsanların çarpma işlemini gözlerinde canlandırmaları çok zor gibi gözükür. Fakat bu, çarpma işleminin günlük hayat tecrübelerimizin bir parçası olmadığı anlamına gelmez. Matematikle ilgilenin ya da ilgilenmeyin günde bir kaç kez çarpma işlemini kullanmanız ihtimal dahilindedir. Bu bilinçli bir şekilde olabilir ya da olmayabilir. Örneğin, iki kişi ev sahibi olarak bir kaç arkadaşınızı yemeğe davet ettiğinizi hayal edin. Yemek zamanına gelince masaya oturma planını düşünün. Yuvarlak yemek masanız etrafındaki iki sandalyenizin üçlü grubunu hayal edebilir misiniz? Masaya oturduğunuzda, bu özel durum için üç ile çarpılması gereken şeylere dikkat edin: çatal bıçak takımları, bardaklar, insanlar. Normal bir günde masanızın altında dört tane ayak varken buğun acaba kaç ayak var? 8

BÖLME İŞLEMİNİ ANLAMA Bölme İşleminin 1. Yapısı: Arasında eşit paylaştırma 6 3 sembolü altıyı üçe eşit bölme fikri ile bağlantılıdır. Böylece altı nesneden oluşan bir set, aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi üç grup halinde düzenlenir. Cevap ise her bir gruptaki nesne sayısıdır. Bu şekildeki bölme işlemi yapılarını eşit paylaştırma yapısı olarak adlandırıyoruz. 'Arasında eşit paylaştırmak' ise bu yapı ile ilgili olan anahtar dildir. 'Paylaşım'ın ancak ve ancak 'arasında eşit paylaşım' olduğu durumların, bölme için bir tecrübe olduğunun altını çizmemiz gerekmektedir. Bölme İşleminin 2. Yapısı: Çarpma işleminin tersi (gruplama) 6 3 için 'Kaç tane üçlük altı yapar?' şeklinde geçerli bir yorum yapılabilir. Bu durumda yukarıdaki şekilde gösterildiği gibi altı nesne üçlü grup şeklinde düzenlenir ve cevap ise grupların sayısıdır. Buna benzer olan bölme durumlarına çarpmanın tersi yapısı diyoruz. Bu yapı, verilen bir büyüklük için elde edilebilecek grup sayısını bulmaya yönelik olduğundan bazen de 'gruplama' olarak adlandırılır. Böylece, bölme işlemi ile ilgili analizlerimizde vurgulamamız gereken ilk şey, öğretmenlerin bölme işleminin sembolünün en az iki ayrı ve farklı anlam taşıdığının açık bir şekilde farkında olmaları gerektiğidir. 9

Paylaşımın fazla vurgulanması Öğretmenlerin, bölme işlemini küçük yaştaki çocuklara tanıtırken genellikle bölme işleminin ilk yapısı olan eşit paylaştırmayı vurgulama eğilimindedirler. Bunun muhtemelen, 'paylaşım'ı çocukların da aşina oldukları günlük bir kavram olarak algılamamızdan ileri gelmektedir. Ancak uzun vadede, bölme işleminin paylaştırma yapısının (1. Yapısı) bölme işleminin 2. Yapısı olan çarpma işleminin tersi yapısına kıyasla daha kısıtlı bir bakışa ve daha az öneme sahiptir. Dikdörtgensel diziler ve bölme işlemi Çocukların çarpma işleminin yanı sıra bölme işlemi ve dikdörtgensel diziler arasında bağlantı kurma noktasında cesaretlendirilmeleri, onlara buraya kadar tartıştığımız bölme işleminin iki yapısı arasında da ilişki kurmaları konusunda yardımcı olacaktır. Örneğin, bir çocuğa altı sayma pulu verdiğimizi ve bunları farklı şekillerde düzenleyerek dikdörtgensel diziler bulmasını istediğimizi düşünelim. Aşağıdaki şekilde gösterilen muhtemel düzenlemelerden biri, 'Sayfanın enine doğru düşünüldüğünde üç sıranın her birinde kaçar tane sayma pulu vardır?' ve 'Sayfanın boyuna doğru düşünüldüğünde kaç tane üçlü sütun vardır? gibi soruları tartışmamıza yol açacaktır. Bu yüzden, 'altıyı üç arasında eşit paylaştırırsak sonuç nedir?' (bölme işleminin 1.yapısı) sorusunu cevaplamak için bu diziye tek yönden bakalım. Cevap, 'Her bir üçlü grup 2 sayma puluna sahiptir' gerçeğinden temin edilir. Diğer yönden bakarsak 'Kaç tane üç altı eder?' (bölme işleminin 2. yapısı) sorusu, 'Üçlü sayma pullarından oluşan 2 sütün vardır' gerçeğinden temin edilir. 10

Bölme işleminin 3. yapısı: Tekrarlı çıkarma işlemi Çarpma işleminin bir yapısı tekrarlı toplama işlemi olduğu için, tekrarlı çıkarma işlemi de bölme için uygun bir yapıdır. Bu yorumlamaya göre 6 3 'altıdan geriye hiç bir şey kalmayacak şekilde 3'ü kaç kez çıkartabilirim?' şeklinde düşünülebilir. Bu, açık bir şekilde, 'altıda kaç tane üç vardır' sorusu ile benzerdir. Bu yapıyı farklı bir yapı şeklinde sunmamamıza rağmen aslında bu yapı bölme işleminin 2. Yapısı olan gruplamanın farklı bir şekilde düşünülmesinden başka bir şey değildir. Benzer sembolleri her iki soruyla ilişkilendirmede çok fazla bir zorlukla karşılaşılmayacağı görülmektedir. Sayı doğrusu resmi bu fikirler arasında bağlantı kurmada yardımcı olacaktır. Yukarıdaki şekilde, 6 3 iki farklı şekilde tecrübe edilmiştir: (a) çarpma işleminin tersi fikrine dayandırılmış bir işleyiş kullanmak, sıfırdan başlamak ve altıya ulaşana dek üçlü adımlarla ilerlemek- bu ise 'Kaç tane üç altı eder?' sorusunu cevaplar; ya da (b) tekrarlı çıkarma fikrini içeren işleyişi kullanmak, altıdan başlayıp sıfıra ulaşana kadar üçlü adımlarla geriye gitmek. Sayı doğrusu üzerindeki bu tecrübelerin ikisi de bölme işlemi için önemli olan ilişkiler ağının gerekli parçalarıdır. Öğretmenlerin, çocuklara bahsi geçen her iki fikri vermeleri önemlidir: altıyı hedefleyerek üçer üçer ilerlemek ve geride hiç bir şey kalmayana dek her defasında altıdan üçü çıkarmak. Bu iki fikir, ilkokul yıllarının sonlarına doğru, çocuklar bölme işlemini içeren hesaplamalar, özellikle zihinsel ve informal, yapmaya başladıklarında en etkili taktikler için temel olacaktır. 11

Bölme işleminin 4. yapısı: Oran Bölmenin daha zor bir yönü, çarpma işleminin ölçeklendirme yapısının tersi olarak ortaya çıkmasıdır. Bu ise bölme işleminin oran yapısıdır. Bu yapıda, 6 3, 'altı, üçten kaç kat daha büyüktür?' anlamında düşünülebilir. Bu, bölme işlemini kullanarak, iki nicelik arasında bir kıyaslama yapmaktır. Örneğin, A bir saatte 6 TL ve B bir saatte 3 TL kazanıyorlarsa, onların kazandıkları miktarı kıyaslamanın iki yolu vardır. Bir taraftan, çıkarma işleminin kıyaslama yapısını kullanarak A'nın B'den 3 TL daha fazla (ya da B'nin A'dan 3 TL daha az) kazandığı sonucuna ulaşabiliriz. Bu şekilde, iki nicelik arasındaki farkı göz önüne alırız. Diğer taraftan ise, bölme işleminin oran yapısını dikkate alarak 6 3=2 olduğu için A, B'nin iki katı kadar kazanır sonucuna ulaşırız. Bölme işlemine uygun olmayan paylaşım tecrübeleri Çocuklar her ne kadar isteksiz de olsalar, 'paylaşım' fikrini anlamaya ve kullanmaya yaklaşık 3 yaşından itibaren oyuncakları paylaşma ve şekerleri paylaşma gibi sosyal içeriklerde başlar. Çocukların bir şeyi sırayla yapma ve paylaşma konusundaki istekleri, öğretmenler ve aileler tarafından bu yaştaki çocukların gelişimi açısından önemli bir kilit sosyal yetenek olarak görülür. Çocuklar büyüdükçe paylaşma konusunda daha fazla tecrübeye sahip olacaklardır. Fakat bu tecrübelerin çoğu onlara 6 3 ü verdiğimizde yapmalarını beklediğimiz süreç gibi değildir. 12

Örneğin Tim'in 6 tane keki vardı ve keklerini 3 arkadaşı ile paylaştı., Bir kız çocuğun 6 kalemi vardı ve arkadaşları 1 tanesini ödünç aldı. Diğer iki arkada: da 1'er tane aldı. Bu kız çocuğunun geriye kaç kalemi kaldı?, Bir erkek çocuğun 6 tane şekeri vardı. Onlardan 1 tanesini yedi ve 2 tanesini arkadaşlarına verdi. Geriye kaç şekeri kaldı?, 6 tane arabam vardı arkadaşımla 3 tanesini paylaştım. ve Bir erkek çocuğun 6 tane, bir başka erkek çocuğun ise 3 tane at kestanesi vardı. At kestanelerini eşit olacak şekilde paylaştılar ve geriye kalanları attılar. ifadeleri farklı anlamlar taşır. Burada anlaşılması gereken eşit paylaşımın olduğudur. Sonuç Ulaştığımız sonuç ise çarpma ve bölme işlemlerini anlamanın karmaşık bir ilişkiler ağı kurmayı kapsadığıdır. Çocuk, semboller, dil- hem formal hem de informal- ve işlemle alakalı özellikle dikdörtgensel diziler, sayı doğrusunda ileri ve geri gitme durumlarını içeren resimler arasında bağlantılar kurmak zorundadır. Dil ve semboller ise, çarpma ve bölme işlemlerinden doğan, şaşırtıcı şekilde çeşitliliğe sahip somut durumlar, içerikler ve bu içeriklerin kombinasyonları ile ilişkilendirilmek zorundadır. 13