taşinmaz DEĞERLEME- DE İSTATİKSEL ANALİZ

3 İstatst Serler ve Freas Tabloları TAŞINMAZ GELİŞTİRME TEZSİZ YÜKSEK LİSANS PROGRAMI taşinmaz DEĞERLEME- DE İSTATİKSEL ANALİZ Doç. Dr. Mehmet Al CENGİZ

Üte: 3 İSTATİSTİK SERİLERİ ve FREKANS TABLOLARI Doç. Dr. Mehmet Al CENGİZ İçdeler 3.. ORTALAMALAR... 3 3... Duyarlı Ortalamalar... 3 3... Geometr Ortalama... 6 3..3. Harmo Ortalama... 7 3..4. Karel Ortalama... 8 3..5. Tartılı Ağırlılı Ortalama... 9 3..6. Duyarlı Olmaya Ortalamalar...0 3..7. ECEL VE SPSS TE ORTALAMA HESABI...7 3.. ÖRNEK PROBLEMLER...0

3 İstatst Serler ve Freas Tabloları 3.. ORTALAMALAR İstatstte brço termde oluşa br sayıyı temsl ve fadeye yeterl ola te br raama ortalama der. Ortalama ayı zamada ser özelller de belrler. Gözlemler hag ota etrafıda toplamış olduğuu göstermes geretğde ortalama adı verlmetedr. Br mahallede ortalama gelr düzey br araştırmaya göre yılda 5000, dğere göre se 5000 çımıştır. İ souçta ayı ş ve yerde bulumuştur. Burada hle ortalama elmesdr. Çüü hag ortalama olduğu belrtlmemştr. Eğer büyü br sayıya ulaşma styorsaız arel ortalama, üçü br sayıya ulaşma ç harmo ortalama ullaılablr. Buu ç hag ortalamaı ullaıldığı ve araştırmaı mler apsadığı sorulmalıdır. Sayı yığılarıı olayca alaşılması ç sayı yığılarıı e fazla yığıldığı bölgey tarf ede tp değerler verlmes gerer. Bu değerler dağılışı merez gösterdler ç merez eğlm ölçüler olara da blr. İstatstte br sery temsl etmeye yaraya te br raama ortalama der. Ortalamalar, duyarlı aalt ortalamalar ve duyarlı olmaya aalt olmaya ortalamalar şelde gruba ayrılmatadır. 3... Duyarlı Ortalamalar Duyarlı ortalamalar, ser bütü termler hesaba atıldığı ortalamadır. Duyarlı ortalamalar, artmet ortalama, geometr ortalama, harmo ve arel ortalamaları çerr. Duyarlı Ortalamalar Bast Serlerde Sııflamış Serlerde Gruplamış Serlerde r r Or Or r Or r r f f r fm f Şel 3.. Duyarlı ortalamalara lş geel Burada r ye - le arasıda değerler verlere sosuz ortalama buluablr. r- olması durumuda ortalamaı m olmasıa, r olması durumuda se max olacağı spatlaablr. Ya r arttıça ortalama büyümete, r azaldıça se üçülmetedr. 3... Artmet Ortalama Mea Artmet ortalama deeler aldıları değerler toplaıp dee sayısıa bölümesyle elde edle değerdr. Tablo 3.. de r alıdığıda artmet ortalama formüller elde edlr. Bast serler artmet ortalaması, termler toplamıı term sayısıa bölümese eşttr. Br gözlem değerler, dğer freasları göstere sütuda oluşa sııflamış serler artmet ortalaması hesaplaıre gözlem değerler le freaslar çarpımlarıı toplamı freaslar toplamıa bölümetedr. Gruplamış serlerde artmet ortalama hesabıı yapılablmes ç öcelle sııf orta otalarıı m buluması geremetedr. Sııf orta otalarıı hesaba atılmasıda gruba dahl brmler tamamıı sııf orta otasıda toplamış olduğu varsayımıda hareet edlmetedr. Artmet Ortalamalar Bast Serlerde Sııflamış Serlerde Gruplamış Serlerde f f fm f 3

taşinmaz DEĞERLEME- DE İSTATİKSEL ANALİZ 3 Öre 0 pömo zatürre hastası ç hastalı süreler gü aşağıda şelde bulumuştur. : { 6,7,8,8,0,,,,8,0,0,0,,,4,4,,7,0,} N0 N 0 0 0, Öre Aşağıda sııflamış ser artmet ortalamasıı buluuz? Notlar : 40 60 70 80 00 Freasf : 5 4 5 4 f f 5 40 4 60 5 70 4 80 5 4 5 4 00 30 65 0,5 Öre Aşağıda gruplamış olara verle ser artmet ortalamasıı buluuz? Sııf sıırları Sılı freas f Sııf Değer m f*m.45 -.95.7 3,4.95 -,45 8, 39,6,45,95 4,7 64,8,95 3,45 9 3, 60,8 3,45 3,95 8 3,7 66,6 3,95 4,45 9 4, 37,8 4,45 4,95 6 4,7 8, 4,95 5,45 4 5, 0,8 00 TOPLAM 3 f m fm fm f f f f f Soru Aşağıda hastaları hastaede alış süreler verlmştr. Bua göre ortalama hastaede alış süres buluuz? m 3 3, 0 0 Kalış Süres Gü Freas f Sııf Orta Notası m f m -5 4 3 6-0 0 8 80-5 7 3 6-0 8 8 44-5 0 3 30 6-30 4 8 3-35 3 33 99 Toplam 56 898 fm f 898 6.036 56 4

5 İstatst Serler ve Freas Tabloları 3 3... Artmet Ortalamaı Özelller. Artmet ortalamaı term sayısı le çarpımı ser toplamıa eşttr. N N. Termler artmet ortalamada cebrsel sapmalarıı toplamı sıfırdır. 3. Termler artmet ortalamada sapmalarıı areler toplamı mmumdur. So eştlte olacağıda aşağıda souç elde edlr. > a Br ser bütü termlere ayı sayıyı elerse çıarırsa artmet ortalama elee çıarıla sayı adar arta azalır. 4. Br ser bütü termler ayı sayıyla çarptığımızda böldüğümüzde artmet ortalama çarptığımız böldüğümüz sayıyla oratılı olara büyür üçülür. 5. Artmet ortalama ço duyarlı br ortalamadır. Çüü ser bütü termler artmet ortalamayı etler. Özellle de aşırı uç değerlerde ço etler ve dolayısıyla temsl olma özellğ aybeder. 6. İ ser bütü termler arşılılı olara toplaara çıartılara elde edle ser artmet ortalaması bu serler artmet ortalamalarıı toplamıa farıa eşttr. Y Y Y Y Y Y Y Y 3... Artmet Ortalamaı Fayda ve Saıcaları Artmet ortalama avram olara basttr, hesaplaılması olay olduğu gb cebrsel şlemlere de elverşldr. Bu baımda e ço ullaıla ortalamadır. Artmet ortalama dağılımda termlerde herhag brde meydaa gele ıymet değşlğde etler; bu özell artmet ortalama ç br üstülü olduğu adar, saıcalıdır ayı zamada. Dağılımda term sayısıı az olması durumuda olağaüstü üçü veya büyü termler artmet ortalamaı değer etler ve smgeleyc olmasıı egeller. Dğer tarafta dağılımı alt ve/veya üst sıırıı belrsz olması durumuda artmet ortalamayı hesaplama olaasızdır; belrsz ola sıırlar ç yapılaca estrmler, ortalamaı es değer hesaplaılmasıa olaa vermeyecetr. Bu baımda sözü edle durumda dağılım termler ormal büyülüğüü belrlemesde artmet ortalama ullaılmamalıdır. 0 0 0 ] [ a a N a a a 0 > a / /

taşinmaz DEĞERLEME- DE İSTATİKSEL ANALİZ 3 3... Geometr Ortalama : {,,, } poztf sayılar ümes geometr ortalaması, sayıları çarpımlarıı c derecede öüdür. Geometr Ortalama GO... Şel 3.. Geometr Ortalama Formüller Geometr Ortalama Bast Serlerde Sııflamış Serlerde Gruplamış Serlerde log GO log GO log GO log f log f f log m f Geometr ortalama, termler logartmalarıı artmet ortalamasıı atlogartmasıa eşttr. Geometr ortalama, termler logartmalarıı artmet ortalamasıı atlogartmasıa eşttr. Geometr ortalama özellle ayı orada artma veya azalma eğlm göstere olaylarla lgl serlere uygulaır Öreğ, üfus. Öre : { 8,, 5, 6 } Geometr Ortalama GO 4 8 5 6 0.95 veya log : 0.903089,.0798,.397940, 0.7785 log GO log.039590 GO0.95 Şel 3.3. Aşağıda sııflamış ser geometr ortalamasıı f log f log 3 0.30030 0.903090 3 0.477 0.9544 4 0.60060 0.60060 5 4 0.698970.795880 Toplam 0 5.557 log GO f log f 0.5557 GO3.35 Öre Aşağıda verle gruplamış ser geometr ortalamasıı buluuz? Sııflar m f log m f log m -3 de az 3 0.30030 0.903090 3-5 de az 4 3 0.60060.80680 5-7 de az 6 4 0.7785 03.604 0 5.8874 6

3 İstatst Serler ve Freas Tabloları f log m log GO f 0.5887 GO3.8 3... Geometr Ortalamaı Özelller. Geometr ortalama özellle ayı orada artma yada azalma eğlm göstere olaylara lş serlere uygulaır. Öreğ üfus çoğalması, bater üremes gb geometr dzlerde brm zamada artışı bulma ç GO ullaılır.. Smetr olmaya aca logartmaları alıdığıda smetr hale döüşe serlere geometr uygulama uygulaablr. 3. Serde termler arasıda bazı değerler sıfır veya egatfse GO hesaplaamaz. 4. Geometr uygulama aşırı uç değerlerde artmet ortalamaya göre daha az etler. 5. O AO lşs vardır. Bütü ler eştse GOAO olur. Geometr ortalama özellle ayı orada artma veya azalma eğlm göstere olaylara lş serlere uygulaır. Bu olaylar arasıda öcelle üfus belrtleblr. Öte yada, aslıda smetr olmadığı halde logartmaları alıdığıda smetr hale döüşe serlere de geometr ortalamayı uygulama gerer. Not: Başlagıçta A adar brey varsa, bu breyler brm zamada r adar br hızla artıyorsa, brm zama sora sayıları B adar olmuş se B Ar olur. Bu formül bleş faz formülü olara adladırılır. Ortalama artış r burada hesaplaır. B r, burada r çelrse A r B A olur. Öre Br bater ültürü 3 güde 000 de 4000 e çımış se ortalama gülü artış hızır edr? Ya ortalama artış hızı %58.7 dr. Öre Br bölge üfusu 000 yılıda 500.000 ölçülmüştür. Bu bölge yıllı üfus artışı bde 5 se se 005 yılıda bu bölge üfusu aç olur. 5 B A r 500000 0,05 53864 3..3. Harmo Ortalama :{,,, } değerler harmo ortalaması: Harmo Ortalama Harmo ortalama termler tersler artmet ortalamasıı tersdr. Tablo 3.. de r- alıırsa harmo ortalama formüller elde edlr.v 7

taşinmaz DEĞERLEME- DE İSTATİKSEL ANALİZ 3 Şel 3.4. Harmo Ortalama Formüller Geometr Ortalama Bast Serlerde Sııflamış Serlerde Gruplamış Serlerde HO f HO f f HO f m Öre : { 6,8,3,5,4 } ver set harmo ortalaması: Harmo Ortalama 4.65 5 6 8 3 5 4 Öre 6 öğrec 00 TL le farlı eczaelerde aspr alıyorlar. Brc öğrec 9 adet, cs 6 adet, üçücüsü 7 adet, 4 cüsü 8 adet, 5 cs 6 adet ve 6 cısı 8 adet aspr alıyor. 00 Tl le alıablece ortalama aspr sayısı e adardır? Fyatpara/mal olduğuda ve para sabt se harmo ortalama alıır. 7.66, ya 00 TL le ortalama 7.66 aspr alıablr. Öre Aşağıda verle sııflamış ser harmo ortalamasıı buluuz? : 3 4 5 f : 3 4 f/ :.5 0.67 0.5 0.80 HO f f 0 3. 3. 3..3.. Harmo Ortalamaı Özelller. Serde termlerde br sıfır se harmo ortalama sıfır çıar.. Ser termler farlı şaretl olursa harmo ortalamaı soucu alam taşımaz. Mesela verlermz -4, -,,,5 olsu. Bua göre HO5.05 çıar. Bu souç, br ortalama masmum değerde daha büyü br değere sahp olamayacağı ç, ortalama olara abul edlmez. HO 4 5 5.05 5 3. HO GO AO lşs vardır. 4. HO sıırlı hallerde ullaılır. Terse çevrldğde taşıyacağı alama öem verle ora türüde celler ortalamasıı bulma ç ullaılır. Bu cellere öre olara fyatpara/ mal, prodütvteş/eme, vermürü/em alaı, hızuzalı/zama verleblr. 3..4. Karel Ortalama Karel ortalama fzsel uygulamalarda ço sı ullaılır. Tablo 3.. de r alıırsa termler areler artmet ortalamasıı areöüe eşt ola arel ortalama formüller buluur. Karel orta- 8

3 İstatst Serler ve Freas Tabloları lama, egatf değerler de date almatadır. Karel ortalama bazı statstsel şlemler olaylıla yapılmasıa olaa taır. Öreğ stadart sapmaı hesabıda arel ortalamada yararlaırlar. Geometr Ortalama Bast Serlerde Sııflamış Serlerde Gruplamış Serlerde KO KO KO f f fm f Şel 3.5. Karel Ortalama Formüller Öre 3.3. Aşağıda ser arel ortalamasıı buluuz? : 4 5 7 8 6 KO N 40 9.06 5 3..4.. Karel Ortalamaı Özelller Karel ortalama egatf şaretler de date alableceğde HO ve GO ya göre daha üstüdür. KO bazı statstsel şlemler olaylıla uygulamasıı mümü ılar. Öreğ br değşel ölçüsü ola stadart sapmaı hesabıda arel ortalamada yararlaılır. HO GO AO KO lşs vardır. 3..5. Tartılı Ağırlılı Ortalama Ser termler veya sııfları arasıda öem farıı date alma ç her terme veya sııfa öem le oratılı br tartı verlere tartılı ortalama hesaplaır. Bast Serlerde Tartılı Ortalamalar Sııflamış Serlerde Tartılı Ortalamalar Gruplamış Serlerde Tartılı Ortalamalar t t t t HO t t / t t f t f t f HO t t f / t t fm t f t f HO t t f / m log GO t KO t log GO t KO t log GO t KO t t t t log t t f log t f t f t f t f log m t f t fm t f 9

taşinmaz DEĞERLEME- DE İSTATİKSEL ANALİZ 3 Öre Br lde 5 hastaede acle gele hastaları ortalama yaşları aşağıda şelde bulumuştur. Hastae Hasta t Ortalama Yaş 0 5 5 30 3 0 40 4 5 0 5 30 5 Bu lde acle gele hastaları ortalama yaşı edr? Buu ç tartılı ortalama buluur. T c grubu tartısı c grubu değer t 050 TO 5.65 80 t Öre 5 farlı lte ullaıla ortalama serum mtarları aşağıda gbdr. Kller thasta sayısı Serum lt t 3.5 4.5 8 6 3 5 3 5 4 4.5 0 5 6 4 4 Toplam 6 74 Kller geel ortalaması edr? t AO Ağırlılı Ortalama 74/6.8 lt t Soru Br ders fal sıavı ara sıavıa göre 3 ez fazla ağırlıladırılmış se, fal sıavıda 85 ve ara sıavlarda 70 ve 90 almış br öğrec ortalama otuu buluuz? 70 90 3 85 45 t 83 3 5 3..6. Duyarlı Olmaya Ortalamalar Duyarlı ortalamalarda bütü termler veya sııflar date alıır. Hesaplamalarda baze ser bütü termler veya sııfları date alımayablr. Bu durumda duyarlı olmaya ortalamalar ortaya çıar. 3..6.. Medya OrtacaMeda Termler üçüte büyüğe doğru yada büyüte üçüğe doğru sıralamış br serde tam ortaya düşe ve sery eşt ısma böle değere medya ortaca der. Medyaı hesabı bast, sııfladırılmış ve gruplamış serlerde farlıdır. Bast serlerde, termler sayısı te se tam ortada değer, çft se ortada term artmet ortalaması medyaı verr. N/ terme arşılı gele term medyadır. 0

3 İstatst Serler ve Freas Tabloları Öre : { 3,,3,7,6,8,6 } gözlem değerler ortacası edr? Sayılar büyülü sırasıa dzlrse, {, 3, 6, 6, 8, 3, 7 } olur. Ortada ala sayı 6 olduğuda Ortaca6 olur. Öre : {, 9, 8, 3, 7, 9} olsu. Gözlemler büyülü sırasıa dzlrse, : { 3, 7, 8, 9, 9, } olur. Ortada ala değer ortalaması ortacadır: Ortaca 89/ 8.5 Dğer br fade le N/ c değer ortaca değerdr. Gözlem değer çft se souç şöyle buluur. N/ 6/ 3.5, ya 3 cü ve 4 cü gözlemler ortalaması ortacadır. Sııfladırılmış verlerde ortaca hesaplama ç öce medya sııfıı buluması gerer. Buu ç...de az elemel freas... de az F buluur ve bu ullaılara N/ c gözlem düştüğü sııf ortaca sııfı olara taımlaır. Öre Aşağıda sııflamış ola serler meydalarıı buluuz? Şel 3.6. Değşeler özelller A Sers B Sers f f f f 3 3 3 3 5 4 6 9 34 4 9 37 4 3 45 48 5 8 A sersde freas toplamı olup N//6. term medyadır. Kümülatf freas toplamlarıda 6. term 9. term dahl 34 değere sahptr. O halde A sers ç medya 34 olur. B sersde freas toplamı 8 olup N/8/9.5 term medyadır. Aca serde 9.5 term olmadığıda 9 ve 0. termler ortalaması medyaı verecetr. Serde 9. term 4 ve 0. term 37 değere sahptr. Dolayısıyla medya437/30.5 olur. Gruplamış Verlerde Ortaca Hesabı F Medya L C f L: Medya sııfıı alt sıır değer Toplam gözlem sayısı F- Medya sııfıda öce sııfları freas toplamı f Medya sııfıı ed sııf freası C sııf geşlğ Kümülatf freaslarda N/ c term çere sııf medya sııfı abul edlr. Medya değer, medya sııfıı alt sıırıda üçü ve üst sıırıda büyü olamaz.

taşinmaz DEĞERLEME- DE İSTATİKSEL ANALİZ 3 Öre Aşağıda verle gruplamış ser meydaıı buluuz? Sııf sıırları Sılı freas...de Az F f.45 -.95.95 -,45 8 0,45,95 4 44,95 3,45 9 63 3,45 3,95 8 8 3,95 4,45 9 90 4,45 4,95 6 96 4,95 5,45 4 00 00 Sııf Sıırı.95...... 3.45 F 45......50 5......63 Örete N/00/50 c term medyadır. Dolayısıyla medya sııfı.95-3.45 sııfıdır. Bu sııfı alt sıırı L.95, medya sııfıda öce sııfları freas toplamı F-44, toplam freas N00, medya sııfıı ed freası f9 ve sııf geşlğ C0.5 olur. 00 F 44 Medya L C.95 *0.5 3.08 f 9 Öre Aşağıda gruplamış ser meydaıı hesaplayıız? Sııflar 4-7 de az 7-0 da az 0-3 de az f 8 5 8 3 5 Toplam freas N/5/7.5 term medyadır. Medya sııfı 4-7 de az sııfıdır. Bu sııfı alt sıırı L4, geşlğ C3, medya sııfıı freası N8 dr. Medya sııfıda öce sııf serde bulumadığıda buu ümülatf freası F-0 abul edlr. Bua göre medya aşağıda gb buluur. 7.5 0 Medya 4 3 6.8 8 Medyaı Özelller Termler medyada mutla sapmalarıı toplamı mmumdur. Medya M Bast br sıralama le buluması mümü olduğuda, medya br ço durumda prattr. Öreğ br grup öğrec boy uzuluğuu teer teer ölçmeye gere yotur. Öğrecler üçüte büyüğe doğru sıralaıp ortada öğrec ler ölçülere ortaca boy uzuluğu buluablr. Serde açı alt sıırı veya üst sıırı bell olmaya sııfları varlığı halde medya hesabı öem azaır.medya sııfı ser l sııfı olduğuda, sııfı alt sıırı tahmsel olara ele alıır. Dğer ortalamaları ase, gruplamış ser medya hesabıda sııf geşller tamamıı eşt olması geremez. Medya serde aormal termlerde etlemez. Medayaı Kullamaı Saıcaları Ortacaı stadart hatası artmet ortalamada daha büyütür.

3 İstatst Serler ve Freas Tabloları Ortaca üzerde cebrsel şlemler yapılamaz. Farlı alt grupları ortacaları blyorsa bu gruplar brleştğde ortaca edr sorusu hesaplama le buluamaz. Öre 3. 4. I.madde doğru olduğuu br örele gösterz? : 3 5 6 8 3 Bu ser A.O.3 ve Medya6 dır. Artmet ortalama ve medyada mutla sapmalar se aşağıda gb buluur. Medya :4 6 Toplam4 :3 0 7 Toplam3 Görüldüğü gb medyada mutla sapmaları toplamı, artmet ortalamada mutla saplamaları toplamıda üçütür. Bu dğer ortalamalar ç de geçerldr. 3..6.. Mod Tepe Değer Br serde e ço terarlaa terme mod der. E yüse freasa arşılı gele değer Modu verr. Bast serlerde mod hesabı yapılmaz. Çüü bast serlerde e arşılı gele tüm freaslar olduğu ç freas sütuu bulumaz. Sııflamış serlerde modu belrlemes ç freas sütuuda e yüse freas değer vere değer buluur. Br sayı ümes çde e fazla terarlaa değer o üme tepe değer oluşturur. Öre : {,, 6, 3, 7, 3,5, 6,6, 8,9 } sers modu edr? Burada e fazla terarlaa değer 6 olduğu ç Mod 6 olur. Öre Aşağıda sııfladırılmış ser modu edr? : 3 6 7 f : 3 6 4 5 Serde e yüse freas 6 olduğua göre, bua arşı gele değer ya 3 moddur. Gruplamış serde mod hesabı ç aşağıda formül ullaılır. Tepe Deðer L d d d C d Mod sııfı freası br öce sııf freası, d Mod sııfı freası br sora sııf freası, C Mod sııfıı geşlğ L Mod sııfıı alt sıırı Burada buluaca mod yalaşı br değere sahp olur. Gruplamış serlerde mod sııfıı belrleme ç, freas sütuuda e yüse freasa baılır. E yüse freasa sahp sııf mod sııfı abul edlr. Mod değer, mod sııfıı alt sıırıda üçü ve üst sıırıda büyü olamaz. Öre Br taramada 50 adıı aıda gr/lt serum albüm değerler aşağıda gb bulumuştur. 4 4 4 44 44 36 38 4 4 44 4 39 49 40 45 3 34 43 37 39 4 39 48 4 43 33 43 35 3 34 39 35 43 44 47 40 39 4 4 46 37 49 4 39 43 4 47 48 5 5 Bu verlere at sılı tablosu 6 sııf olaca şelde yapılsı. EK.3, EB. 5, sııf aralığı 4 olsu. N50, C4, d7-43, d7-70, L4.5 3

taşinmaz DEĞERLEME- DE İSTATİKSEL ANALİZ 3 Sııf Sıırları Freasf 9.5-33.5 3 33.5-37.5 7 37.5-4.5 4 4.5-45.5 7 Mod Sııfı 45.5-49.5 7 49.5-53.5 Toplam 50 Mod4.57-4*4/[7-47-7] 4.4 Tepe değer mod ullaışlı olablmes ç gözlem sayısıı ço fazla olması gerer. Bazı durumlarda dağılışı brde fazla modu olablr, ço modlu dağılışlar olablr. Modları ayı yüselte olması da geremez. Aca bu modları sııf aralarıı üçü değşlğ le aybolmayaca ayrılıta olması gerer. Bu durumlarda öreğ farlı gruplarda oluştuğu alamı çıar. Baze ser masmum değer olablr. Buu ede celee ütle homoje olmamasıda ler gelr. Öreğ adı ve ereler boy uzulularıı göstere serde masmum ota vardır. Br adıları boy uzuluğu, dğer de ereler boy uzuluğudur. Burada yapılması geree ütley homoje gruplara ayırma ve her grup ç ayrı mod hesaplamatır. Öre Aşağıda gruplamış ser moduu hesaplayıız? Sııflar :-3 3-5 5-7 7-9 9- -4 f : 7 8 8 5 Ser e yüse freası ola 8 hem 5-7 de az hem de 9- de az sııfıa attr. Bu yüzde çft tepel ser sııfları brleştrlr. Sııflar :-5 de az 5-9 da az 9-3 de az f :9 30 3 C4 d30-9 d30-37 L5 d M L o d C 5 4 8 d d 7 Modu Özelller Ortalamalar arasıda mod e temsl olaıdır. Çüü ütlede brmler öeml br ısmıa uyar. Sııflamış serlerde modu tamsayı olması gerçeğ daha y yasıtılmasıı sağlar. Öreğ br bölgede aleler ortalama çocu sayıları hesapladığıda esrl br raam elde edleblr. Oysa ortalama olara mod alıırsa bu değer tam sayı çıacatır. Mod aormal termler ets altıda almaz. Öreğ ço zeg br ş öye taşıdığıı varsayalım. Bu ş gelr düzey te ve ser souda olacağıda modu etlemez. Mod uygulamada farıa varılmada e ço başvurula ortalamalarda brdr. Öreğ udura ve hazır gym eşyası üretmde e ço satıla umaralar ve bedeler date alıır. Buda mod demetr. Adladırma omal ölçel değşelerde mod ullaımı uygudur. Modu Saıcaları Modu güverllğ azdır. Ya örete elde edle mod popülasyo moduda ço farlı olablr. Ortacada olduğu gb mod üzerde de cebrsel şlemler yapılamaz. Baze verler ortalaması, ortacası olduğu halde modu olmayablr. Bütü değerler farlı se mod yotur. 4

3 İstatst Serler ve Freas Tabloları Soru Hastalı edeyle şe gelmeye şçler gelmedler gü sayısıı göstere freas tablosu aşağıda şelde olsu. Sııf Sayısı Gü İşç Sayısı f f* f 0 5 0 5 8 8 3 Mod Sf. 0 0 3 Ortaca Sf. 3 9 7 3 5 4 6 4 38 6 5 5 5 43 7 6 4 4 47 8 7 4 49 9 8 8 50 50 50 Artmet Ortalama50/50 3 Ortaca 3 Ortaca sııfıı değer doğruda ortaca olara alıır. Mod, E yüse sılığa sahp sııf mod sııfı olduğuda bu sııfa at değer doğruda mod değer olara alıır. 3..6.3. Kartller Quartles Küçüte büyüğe doğru sıralamış br sery 4, 0, 00 eşt ısma böle termler vardır. Geel olara atl adı verle bu değerlerde dörde böleler artl çeyreller, oa böleler desl odabrller ve yüze böleler satl yüzdebrller olara adladırılır. Kartller sayısı 3, desller 9 ve satller sayısı 99 dur. Medya. artle, 5. desle ve 50. satle eşttr. Kümeye dört eşt parçaya böle değerler Q, Q, Q3 le gösterelm. Bular brc, c ve üçücü yüzdel olara adladırılır. Burada Q medyadır. Bast serde. artl ya. yüzdel /4 ücü termdr. 3. artl se 3/4 ücü termdr. Eğer Q ve Q3 tam veya buçula btyorsa medyada gb davraılır. Bua arşılı tam veya buçula btmeye sayılar ç buçuta üçü üsurlar atılır, buçuta büyü sayılar se tam sayıya döüştürülür. Öre Aşağıda serler artller hesaplayıız? : 34 46 57 Y : 3 36 49 sers. artl : /45/4.5 term ya Q/6.5 veya -*0.55.5.term, Q5.56.5 3. artl :3/435/44.5 term ya Q34657/5.5 veya 57-46*.055.5 4. Term 46, Q3465.55.5 Y sers. artl : /44/4.5 term 3-*0.5.75 Q.754.75 3. artl : 3/4 34/43.75 term 49-36*0.759.75 Q3369.7545.75 5

taşinmaz DEĞERLEME- DE İSTATİKSEL ANALİZ 3 Öre Aşağıda sııflamış serler artller buluuz? A Sers B Sers f f f f 3 3 3 3 5 4 6 9 34 4 9 37 4 3 45 48 5 8 A sers : /4/43. term brc artldr. Q 3/43/49. term üçücü artldr. Q334 B sers : /48/44.75 term brc artldr. Q4 3/438/44.5 term üçücü artldr. Q348 Gruplamış Serlerde Kartller Hesabı F Q L 4 f 3 F C Q3 L 4 f L: Medya sııfıı alt sıır değer Toplam gözlem sayısı F- Medya sııfıda öce sııfları freas toplamı f Medya sııfıı ed sııf freası C sııf geşlğ Kartl sııfıı belrlemesde ye ümülatf freaslarda ayarlaılır. /4 ücü term çere sııf. artl sııfı, 3N/4 ücü termm çere sııf se 3. artl sııfı abul edlr. /4 ve 3/4 tam sayı olmasa da formüller ye aye ullaılır ve bu durumda artller yalaşı br değere sahp olur. Öre Aşağıda gruplamış ser atller buluuz? Sııflar :0- de az -4 de az 4-6 da az 6-8 de az f :4 3 Toplam f :4 7 8 0 N/40/4.5 c term. artldr. Böylece. artl sııfı 0- de az sııfıdır. LMedya sııfıı alt sıır değer0 Toplam gözlem sayısı0 F- Medya sııfıda öce sııfları freas toplamı0 f Medya sııfıı ed sııf freası4 C sııf geşlğ F 4.5 0 Q L C 0.5 f 4 C 3N/430/47.5 c term 3. artldr. Böylece 3. artl sııfı 4-6 da az sııfıdır. LMedya sııfıı alt sıır değer4 N Toplam gözlem sayısı0 F- Medya sııfıda öce sııfları freas toplamı7 f Medya sııfıı ed sııf freası C sııf geşlğ 6

3 İstatst Serler ve Freas Tabloları 3 F 4 7.5 7 Q3 L C 4 5 f 3..6.4. Ortalama Türüü Seçm Ortalama ıyaslama amacıyla hesapladığıda Artmet Ortalama terch edlr. Çüü Artmet Ortalama bütü termler yada sııflar üzerde hesaplaa e duyarlı ortalamadır. Araştırmaı amacı sery ıyaslamayıp, sery temsl etme se yere göre Mod yada Medya terch edlr. Termler edler yere oraları bz lgledryorsa Geometr Ortalama terch edlr. Termler tersler le lglelyorsa Harmo ortalama ullaılır. Sıfır veya egatf şaretl değerlere sahp serlerde Harmo ve Geometr Ortalama hesaplaamaz. Sııf geşller eşt olamaya gruplamış serlerde Medyaı hesaplaması uygudur. Ser termler arasıda öem farı buluduğuda Tartılı Ortalama uygulaır. Ortalama, ortaca ve mod arasıda aşağıda geel lş vardır. Ortalama Mod 3* Ortalama Ortaca Sıralamalı ölçümlü özelllerde veya bütü değerler elde edlmes uzu zama aldığı bazı durumlarda Medyaı ullaılması uygudur. Öreğ öğreme davraışıı celedğ br araştırmada bazı breyler ço geç öğreeblr, ortalama ç buu beleme gerer, Medya ç buu belemeye gere almaz. Smetr eğr : ModMedyaA. 3..7. ECEL VE SPSS TE ORTALAMA HESABI Öre Br bölgede baları yaşları aşağıda gb bulumuştur. Bu baları ortalama yaşıı duyarlı ve duyarlı olmaya ortalamalara göre Excel ve SPSS te buluuz. 7

taşinmaz DEĞERLEME- DE İSTATİKSEL ANALİZ 3 Excel de dörttebrl omutuu şlev aşağıda gbdr: DÖRTTEBİRLİKA:A6;?? şaret yere aşağıda değerler grlere stee fade buluur. SPSS ÇÖZÜMÜ 8

3 İstatst Serler ve Freas Tabloları 9

taşinmaz DEĞERLEME- DE İSTATİKSEL ANALİZ 3 3.. ÖRNEK PROBLEMLER. Beş ş güüde br baa şubesde toplam 0 hesap açtırılmış se gülü hesap açılma ortalaması açtır? a5 b c 4 d 60 e 700. Br öğrec statst dersde I. arasıav otu 50, II. arasıav otu 60 ve fal otu se 60 dır. Ders geçme otu ç vzeler %0 s, fal se %60 I alıacatır. Bua göre bu öğrec başarı otu açtır? a58 b 60 c 64 d 66 e 70 3. Sııflar :0-5 5-0 0-5 5-0 0-5 5-30 30-35 f : 5 6 0 5 4 Sers medyaı açtır? a5 b 6 c 7 d 8 e 0 4. 0, 3, 5, 8, 45, 50 ver sers medyaı açtır? a5 b 30 c 3 d 6,5 e 8 5., 3, 4, 3,, 3, 5, 6, 7 ver sers modu açtır? a3 b c 4 d 4,5 e 5 6. Br şyerde çalışa 00 şç almış olduları ücretler aralıları aşağıda tabloda verlmştr. İşç Ücretler İşç sayısı 500 5 750 5 000 35 50 5 500 30 TOPLAM 00 İşçler aldıları ücret ortalamasıı mod u edr? a50 b 500 c 000 d 5 e 35 Ceveplar: -c, -a, 3-c, 4-b, 5-a, 6-c 0