tasarım ĐKĐ BOYUTLU PARÇALARIN OPTĐMUM ŞEKĐL TASARIMI * Doç. Dr. Fazıl Önder SÖNMEZ Boğaziçi Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü, Đstanbul Şekil eniilemesinin (optimizasonunun) genel amacı tasarımın gerektirdiği bazı kısıtlamaları sağlamak şartıla bir parçanın en ii şeklini bulmaktır. En ii şekil a belli bir ağırlığı aşmamak kadıla en üksek başarımı sağlaan şekildir, a da belli bir başarımın altında kalmamak şartıla en hafif şekildir. Yani malzemenin en verimli ve etkin kullanımını sağlaan şekildir. Mekanik bir parçanın işlev görebilmesinin birinci şartı üzerine ugulanan üklere kırılmadan ve aşırı esnemeden daanabilmesidir. Dolaısıla eniilemede gae hafifliği asgarie indirmekse başlıca tasarım kısıtlaması parçanın üklere karşı daanımıdır. Taşıtlarda hafiflik başarımı artıran etkenlerden biridir. Hem ivmelenmei kolalaştırır hem de akıt tasarrufu sağlar. Bir parçanın şeklini değiştirmeden sadece malzemesini değiştirerek ağırlığını azaltmak genellikle malietleri artıran bir aklaşımdır. Fakat şekil değişiklikleri saesinde ağırlığı azaltmak anı zamanda malzeme malietlerini de düşürür. Deneme ve anılmaa daanan emek oğun tasarım öntemleri çok uzun ve malietli bir tasarım süreci gerektirdiği gibi büük bir ihtimalle optimum tasarımla neticelenmez. Tasarımın başarısı tasarımcının deneimine ve sezgilerine bağlıdır. Tasarımda böle bir aklaşım otomotiv gibi rekabetçi bir sanainin gereksinimini karşılamaktan çok uzaktır. Yapısal eniileme öntemleri en ii tasarımı bulmada etkin olduğu kadar düşük malietli bir araçtır. Yapısal eniileme üzerine apılmış bir çok çalışma bulunmaktadır (Song ve Baldwin; Chapman ve Jakiela; Riche ve Haftka; Sandgren ve Jensen; Luchi, Pogglialini ve Persiani; Haftka ve Grandhi; Yang, ve Botkin; Shim ve Manoochehri). Fakat, ugulanabilir, güvenilir ve genel bir şekil eniileme öntemi henüz ortaa konulabilmiş değildir. Her ne kadar saısal eniileme aklaşımının tasarımcılara sağlaacağı imkan büük olsa da şekil eniilemesinin bazı güçlükleri vardır. Yapısal bir optimizason problemi erel olarak bir çok minimum şekiller içerir. Yokuş aşağı ilerleen, ani her döngüde daha ii bir değer bulan algoritmalar bu erel minimumların birisine takılırlar. Fakat mesele, global optimum, ani en düşük hacmi olan şekli bulmaktır. Bundan dolaı global optimizason algoritmalarının kullanılması gereklidir. PROBLEMĐN ĐFADESĐ Şekil 1'deki gibi kalınlığı ve dış sınırlarıla tanımlanabilen iki boutlu bir parça düşünün. Düzlem içi statik ükler parçanın üzerine herhangi bir önden ugulanmaktadır. Geçerli bir tasarımın gereği olarak parça, üzerine ugulanan kuvvetlere karşı daanabilmelidir. Yani, gerilmeler akma noktasının altında olmalıdır. Arıca parçanın hiçbir noktası parçanın tutturulduğu erlerle
bağlantısını kabetmemelidir. Buna göre azami izin verilen gerilme ve geometrinin bağlantılılığı, parçanın tasarımı üzerindeki kısıtlamalardır. Amacımız, parçanın hacmini (vea ağırlığını) asgarie indirmek, ani kısıtlamaları ihlal etmeden en verimli malzeme kullanımını sağlaan şekli bulmaktır. F 1 F 3 x P 1 Şekil 1. Đki Boutlu Şekil Eniileme Probleminin Temsili. F 2 YÖNTEM Bu çalışmada "tavlama simülasonu" isimli bir algoritma ugulanmıştır. Tavlama simülasonunu ilk olarak Kirkpatrick global bir arama öntemi olarak ortaa komuştur. Bu öntem, ismini bir metalin erime sıcaklığına kadar ısıtılıp avaş avaş soğutulduğu fizikî süreçten alır. Yöntem, billur apı alabilen bir malzemedeki atomların tavlama esnasında bir düzen oluşturmaa önelik davranışlarının modellenmesini esas alır. Sıvı halden soğutularak billurlaştırılan bir malzeme eğer tamamıla düzenli, en düşük enerjie sahip apısını, ani kusursuz billur apısını kazanacaksa son derece avaş soğutulmalı; öle ki her bir sıcaklık seviesinde malzeme denge konumuna ulaşmalıdır. Sıcaklık düşerken atomların dağılımı en düşük enerji seviesine gittikçe aklaşır. Donma noktasına kadar bu süreç devam eder. Bu süreçte iki önemli nokta vardır: Birincisi, malzemenin apısındaki düzenliliğin bir fonksionu olan enerjinin giderek azalması ve kusursuz billur apıa tekabül eden global optimum değere ulaşmasıdır. Diğeri, atomların rasgele hareketlerle bu apıı kazanmalarıdır. Fakat, eğer soğuma hızlısa malzeme dengee ulaşmak için zaman bulamaz, ve daha az düzenli, üksek enerjie sahip bir apıa kavuşur. Bu fizikî ola ile eniileme süreci arasında bir benzerlik vardır. Problemin farklı suretleri atomların farklı düzenlerine, bir suretin malieti ise fizikî sistemin enerjisine tekabül eder. En ii netice de en düşük enerji seviesine karşılık gelir. Nasıl atomlar rasgele hareketlerle mükemmel bir billur apıa ulaşırlar, global optimum rasgele oluşturulan suretler arasında aramala varılır. Tavlama simülasonu öntemi bu iki farklı süreç arasında benzerlik kurarak atomların tavlama sırasında davranışını modelleen Metropolis algoritmasını eniileme problemlerine ugular. Bu öntemde ilk önce rasgele bir nokta seçilir ve durma ölçütü sağlanana kadar sistematik olarak güncelleştirilir. Her bir döngüde eni bir nokta rasgele olarak geçerli noktanın civarında oluşturulur. Eğer eni oluşturulan noktanın malieti geçerli olanınkine nazaran daha düşük ise bu eni nokta kabul edilir ve eski noktanın erine geçer. Eğer eni maliet geçerli olanınkinden daha fazla ise bu noktanın kabul edilebilirlilik olasılığı hesaplanır. Yani, daha üksek malietli bir noktanın kabul edilme ihtimali vardır. Bunun olasılığı sıcaklık parametresine bağlıdır. Bu parametree sıcaklık denilmesinin sebebi fizikî tavlama sürecindeki sıcaklığa benzer bir rol onamasıdır. Sıcaklık parametresi düştükçe daha üksek malietleri kabul etme ihtimali azalır. Benzer şekilde atomlar üksek sıcaklıklarda daha üksek enerji sevielerine karşılık gelen dağılımlar oluşturabilirken, düşük sıcaklıklarda ancak daha düşük enerjili apıları oluşturmak
üzere hareket edebilirler. Sıcaklık parametresi belli bir saıdaki deneme için sabit tutulur, sonra değeri düşürülür. Yerel bir minimuma takılmaması için, bu parametredeki düşüş hızı avaş tutulur. Eniileme sürecinin başlarında (ani sıcaklık parametresinin üksek değerlerinde) algoritmanın daha kötü tasarımları kabul etme olasılığı üksektir, fakat sonradan sıcaklık düştükçe, bu olasılık da düşer, sonunda daha üksek malietli tasarımlar neredese hiç kabul edilmez. Bu çalışmanın konusu olan şekil eniileme probleminde ise, oluşturulan farklı şekiller atomların farklı düzenlerine, bir şeklin hacmi (vea ağırlığı), ani maliet fonksionu enerjie ve en ii şekil ise kusursuz billur apıa karşılık gelir. Eniileme algoritması olarak da Ali, Törn ve Viitanen tarafından ortaa konulan tavlama simülasonunun eni bir uarlaması kullanılmıştır. Maliet Fonksionu Bir eniileme öntemini ugulamak için herhangi bir şeklin elverişliliğinin ölçütü olan bir maliet fonksionu belirlemek gereklidir. Çalışmada ele alınan problemler için bu ölçüt parçanın ağırlığıdır. Fakat, tavlama simülasonu algoritması herhangi bir kaıt altında olmaan eniileme problemleri için geliştirildiğinden, kısıtlama ihlalleri malieti artıracak şekilde maliet fonksionuna katılmıştır. Maliet fonksionu şöle formüle edilmiştir. f = V V ilk + c S 1 2, S 1 0 = ( ) S 1 şaet şaet S > S (1) burada V ilk ilk denenen şeklin hacmidir, c bir ağırlık katsaısıdır ve ugun bir değer olarak 0.7 seçilmiştir. Eğer azami izin verilen gerilme kısıtlaması ihlal edilirse, ani imum eşdeğer gerilme,, akma noktasından, S, fazlasa maliet fonksionunun değeri artar. Algoritma malieti azaltmaa çalışacağından, kısıtlama ihlallerinden de kaçacaktır. Eğer bağlantılılık kısıtlaması ihlal edilirse, böle bir şekil hiçbir durumda kabul edilmez ve maliet fonksionunun değerini hesaplamaa gerek kalmaz. Rasgele Şekil Oluşturma Yöntemi Tavlama simülasonu her bir döngüde rasgele şekillerin oluşturulmasını gerektirir. Đki boutlu bir apı kalınlığı ve sınırları ile tanımlanır. Bundan dolaı şekli oluşturmak için belli saıda anahtar noktası seçilerek bir eğri udurma öntemile parçanın sınırı çizilebilir. Bu anahtar noktalarının x ve koordinatları rasgele bir önde rasgele bir mesafele değiştirildiğinde rasgele bir şekil elde edilmiş olur. Hareket etmesine izin verilen anahtar noktalarının koordinatları bölece eniileme değişkenleri işlevini görür. Şekil 2 bu şekil oluşturma işlemini temsilî olarak göstermektedir. F 1 S Şekil 2. Rasgele Şekil Oluşturma Yönteminin F Temsili 3 x P 1 F 2
SONUÇLAR ve DEĞERLENDĐRMELER Bu çalışmada ele aldığımız problemlerden birisi bir ucundan tutturulup diğer ucuna eksenel doğrultuda kuvvet ugulanan bir plakanın (Şekil 3) optimum tasarımıdır. Plakanın uzunluğu 100 mm ve tutturulduğu kenarın genişliği 50 mm'dir. Malzemenin akma noktası 300 MPa olarak alınmıştır. Simetriden dolaı plakanın sadece üst kısmı incelenmiştir. Şekil 4 parçanın ilk denenen ve eniileme süreci sonucu bulunan en ii şekli göstermektir. 50 mm 3000 N 100 mm Şekil 3. Merkezden Eksenel Yüklenmiş Plakanın Optimum Tasarımı Problemi Şekil 4. Merkezden Eksenel Yüklenmiş Plakanın Đlk Deneme ve En Đi Şekli Şekil 5 ise üst kısmından tutturulup, alta arım daire şeklindeki kısmına ük ugulanan plakanın ilk denenen ve en ii şeklini vermektedir. Sonuçta en ii şekil bir kanca olarak çıkmıştır. Şekil 5. Optimum Kanca Tasarımı Problemi
Şekil 6 soldan tutturulup sağdan eksantrik olarak üklenen bir levhanın ilk denenen ve en ii şeklini göstermektedir. Şekil 6. Eksantrik Yük Ugulanan Bir Levhanın Eniileme Problemi Şekil 7 ise üst tarafından tutturulup alt tarafındaki bir delikten ük ugulanan bir levhanın ilk denenen ve en ii şeklini göstermektedir. Yükleme ve geometri simetrik olduğundan parçanın sadece sağ arısı incelenmiştir. Pim bağlantısının en ii şekli görüldüğü gibi günümüzdeki kullanımından farklıdır. Şekil 7. Pim Bağlantısının Optimum Şekil Problemi
Ele alınan bu eniileme problemlerinde ilk denenen şekil rasgele seçilmiştir. Sadece tutturulan ve ük ugulanan sınırlar sabit tutulmuş, kalan sınırların değişimine izin verilmiştir. Bulunan şeklin global olarak en ii şekil olduğunu güvence altına almak gaesile ilk deneme için rasgele birkaç farklı şekil seçilmiş, daha ii bir şekle hiçbiri akınsamamıştır. SONUÇ Bu çalışmada iki boutlu apıların tavlama simülasonuna daanan bir eniileme öntemi sunulmuştur. Bu öntem birkaç optimum tasarım problemi üzerinde denenmiş ve global optimum tasarımlar başarıla bulunmuştur. KAYNAKÇA 1. Ali, M.M., Törn, A., Viitanen, S., "A Direct Search Variant of the Simulated Annealing Algorithm for Optimization Involving Continuous Variables. Computers & Operations Research, 29:87-102, 2002. 2. Chapman, C. D., Jakiela, M. J., "Genetic Algorithm Based Structural Topolog Design with Compliance and Topolog Simplification Consideration," J. of Mechanical Design, 118: 89-98, 1996. 3. Haftka R.T., Grandhi R.V., "Structural Shape Optimization," Computer Methods in Appl. Mech. and Engng., 57:91-106, 1986. 4. Kirkpatrick, S., Gelatt, C.D., Vecchi, M.P. "Optimization b Simulated Annealing", Science, 220: 671-680, 1983. 5. Luchi, M.L., Pogglialini, A., ve Persiani, F. An interactive optimization procedure applied to the design of gas turbine discs. Computers & Structures, 11: 629-637, 1980. 6. Riche, R. L., Haftka, R. T.,"Optimization of Laminate Stacking Sequence for Buckling Load Maximization b Genetic Algorithm," AIAA Journal, 31(5): 951-956, 1993. 7. Sandgren, E., Jensen, E., "Automotive Structural Design Emploing a Genetic Optimization Algorithm," AIAA Journal, 30: 920772-920776, 1992. 8. Shim, P.Y., Manoochehri, S., "Generating optimal configurations in structural design using simulated annealing", International Journal for Num. Methods in Engineering, 40: 1053-1069, 1997. 9. Song X., Baldwin, J.D., "A Novel Node-based Structural Shape Optimization Algorithm", Computers and Structures, 70: 569-581, 1999. 10. Yang, R. J., Botkin, M. E., "Three Dimensional Shape Optimization with Substructuring," AIAA Journal, 29(2): 486-488, 1991.