Deey : Ayrık Zamalı İşaretler, Ayrık Zamalı Sistemler, Örekleme Kuramı ve Evrişim Amaç Bu deeyi amacı ayrık zamalı işaret ve sistemleri taıtılması ve örekleme işlemii iki temel özelliği ola örtüşme ve geri-çatma problemlerii icelemesi ve ayrıca evrişim toplamı hesabı ile ayrık zamada sistem yaıtı kousua bir giriş yapmaktır. Giriş Ayrık zamalı işaretler Bir ya da birde fazla değişkee bağlı olarak değişe ve bilgi taşıya işlevlere foksiyolara işaret deir. İşaretler aalog ve sayısal olmak üzere iki sııfa ayrılırlar. Sürekli zamalı ve sürekli gelikli işaretlere hız, ivme, basıç, elektriksel ala vs.. aalog işaretler adı verilir. Bir aalog işaret, t fiziksel bir büyüklüğü göstermek üzere t ile gösterilebilir. Ayrık zamalı ve ayrık gelikli işaretlere ise sayısal işaretler adı verilir. Bir ayrık işaret, tamsayısı ayrık zama öreklerii göstermek üzere, ile gösterilir. Ayrık zamalı bir işaret şöyle ifade edilir:...,,,,.... Burada simgesi dizii = daki öreğii belirtmektedir. MATLAB ortamıda solu-süreli bir dizi, uygu değerli bir vektörle gösterilebilir. Acak, böyle bir vektör örek pozisyou hakkıda herhagi bir bilgi içermemektedir. Buda dolayı, i iki gerçek vektörle ifade etmek gerekir. Bular ayrık değerlerii ve değerlerii içere vektörlerdir. Öreği aşağıdaki gibi bir dizi olsu, { } {,,,,,}.
Bu dizi, = [-, -,,,, ] vektörü ve = [,, -,,, ] vektörü ile ifade edilebilir. Vektörler hem i gerçek değeri, hem de o değeri pozisyou hakkıda bilgi vermektedirler. Gelişigüzel sosuz süreli bir diziyi, bellek yetersizliğide dolayı bilgisayarda göstermek mümkü değildir. Bazı Dizi Örekleri:. Birim darbe dizisi Birim örekli dizi.. Birim basamak dizisi u.4. Birim rampa dizisi r.5 Şekil. Dizi Türleri
4. Altere dizi çift a tek.6 5. Siüsoidal dizi cos.7 Burada ω radya ciside açısal frekası ve θ ise radya ciside faz bilgisii belirtmektedir. Herhagi bir dizi, ayrık zamada geciktirilmiş ve ağırlıkladırılmış birim darbe dizilerii toplamı şeklide düşüülebilir. Bu şöyle ifade edilebilir: k.8 Öreği aşağıda verilmiş ola işaret şekildeki gibi ifade edilebilir. 5.9 Şekil. işareti
Diziler üzeride yapıla işlemler. Toplama: Ayı pozisyodaki örekleri toplamı ile yapılır. {} + {} = { + }. MATLAB de iki dizii ve toplamı + aritmetik operatörü ile gerçekleştirilir. Burada ve i uzuluklarıı eşit olması gerekmektedir. Eğer diziler eşit uzulukta değilse dizilere sıfır eklemek yoluyla uzuluklar eşit hale getirilir.. Çarpma: Dizi elemalarıı birebir çarpımıyla gerçekleşmektedir. {}.{} = {}. MATLAB de bu çarpma işlevi.* operatörü ile gerçekleştirilir. ve uzuluklarıı eşit olması gerekmektedir.. Ölçekleme: Bu işlevde her bir örek değeri bir α skaler değeri ile ölçekleir. α{} = {α}. Bu işlev MATLAB de * operatörü ile gerçekleir. a * {} 4. Kaydırma: Bu işlevde her bir örek k kadar kaydırılarak, kaydırılmış y dizisi elde edilir. y = { - }. Bu işlevi vektörü üzeride herhagi bir etkisi bulumamaktadır. Fakat her elemaa k ekleerek vektörü değiştirilmiştir. 5. Katlama: Bu işlevle her örek = etrafıda dödürülerek y dizisi elde edilmektedir. y = {-}.4 MATLAB de bu işlev örek değerler içi fliplr foksiyou ile gerçekleşir. Örek pozisyoları içi ise -fliplr kullaılmaktadır. Verile bir örek üzeride bu işlevleri etkilerii iceleyelim. 4
5 Örek. 5 5.5 Verile ve dizilerii toplamı ve çarpımı buluuz. Ayrıca üzeride ölçekleme, kaydırma ve dödürme özelliklerii gösteriiz. Çözüm: Şekil. Diziler ve operatörler 5 5 5.5.5.5.5 5 5
Ayrık Sistemler İşaretleri, üzerleride değişiklikler yaparak yei işaretlere döüştüre her türlü yapıya sistem adı verilir. Matematiksel olarak ayrık bir sistem T[.] işlevi ile ifade edilebilir. Bu işlev, girişteki dizisii başka bir dizi ola y e döüştürür. Burada y sistem cevabı olarak adladırılır. y = T[].6 Ayrık sistemler doğrusal ve doğrusal olmaya sistemler olarak sııfladırılabilir. Acak, burada daha çok doğrusal sistemlerle ilgileilecektir. Doğrusal Sistemler Bir ayrık T[.] sistemi, acak ve acak aşağıdaki süperpozisyo ilkesii sağlıyorsa doğrusal bir operatördür: T[a + a] = at[] + at[].7 Burada a ve a sabit ölçekleme katsayılarıdır. Doğrusal, Zamala Değişmeye DZD Sistemler Giriş-çıkış çifti sırasıyla ve y ola bir sistemde, giriş işareti belli bir miktar ötelediğide çıkış işareti de ayı miktarda öteleirse böyle bir sistem doğrusal, zamala değişmeye DZD sistem olarak adladırılır. Böyle bir sistemde doğrusal döüşüm veya öteleme sırasıı öemi yoktur. T[.] y k ile öteleme y- k ile öteleme - T[.] y- Doğrusal zamala-değişmeye bir sistem LTI[.] operatörü ile gösterilir. Birim Darbe Dürtü Yaıtı Bir DZD sistemi girişie birim darbe işlevi uyguladığıda elde edile çıkış DZD sistemi Birim Darbe Yaıtı adıı alır. Bu şu şekilde ifade edilebilir: LTI h 6
Burada h sistemi birim darbe yaıtıdır. Sistemi doğrusal olduğu kabul edilerek giriş bir sabit a sayısı ile ölçeklediğide çıkışı da ayı orada ölçeklediği görülmektedir: a LTI ah Ayı şekilde süperpozisyo ilkesi de geçerlidir: a b LTI ah bh Eğer sistem zamala-değişmeye sistem ise giriş darbe işareti k kadar ötelediğide çıkış işareti de k kadar öteleecektir: LTI h Doğrusallık ve zamala-değişmezlik ilkeleri birleştirilirse aşağıdaki blok diyagramı elde edilir. a i b LTI ah i bh Örekleme Kuramı Sürekli zamalı işaretlerde ayrık zamalı işaretleri elde etmek içi örekleme yaparız. Deeyi bu kısmıda örekleme işlemii iki temel özelliği ola örtüşme ve orijial işareti tekrar elde edilmesi işlemleri iceleecektir.. Örtüşmei icelemesi Sürekli-zamalı işarette ayrık-zamalı işaret elde etmek içi sürekli-zamalı bir işareti öreklemesi gerekmektedir. Eğer örekleme frekası ile işareti maksimum frekası arasıda Nyquist oraı sağlamazsa öreklee işarette örtüşme meydaa gelir ve öreklemiş işarette orijial işaret tekrar geri elde edilemez. f işareti e yüksek frekası olmak üzere Nyquist oraı f N f olmalıdır. Bu durumda örekleme frekası f f olmalıdır. Sürekli-zamalı bir siüs işareti, s N 7
t si ft.8 ile verilir. t işareti f s / Ts örekleme frekası ile örekleirse t t si f / f / tt t f s s s.9 ayrık-zamalı işareti elde edilir. [] deki değeri tamsayı değerlerii göstermektedir. Eğer f ve f i farklı değerleri içi [] işareti çizdirilecek olursa s örtüşme problemi kolaylıkla görülebilir. f s 8kHz ve içi ayrık-zamalı işareti ms zama aralığıda çizdirilmesi istediğie göre, t f s 8 8. olarak elde edilir. Yai.9 ile verile işaret,,..., 8 değerleri içi çizdirilecektir. Örtüşmeyi hem zama hem frekas bölgeleride gözlemleyebiliriz. Zama bölgeside örtüşmeyi icelemek frekas bölgesie göre daha zordur. Örtüşmeyi icelemek içi daha çok frekas bölgesie bakılır. Öreklerle örtüşme açıklamaya çalışılmıştır: Örek. t = + 4cos*π**t + cos*π**t. a Verile t işareti içi Nyquist örekleme hızı edir? b t işaretii t=s ve örekleme frekası fs=5hz içi zama domei ifadesii ayrık olarak çizerek, ayrık işarette yararlaıp frekas spektrumuu çiziiz. c t işaretii Hz ola frekas bileşeii 4Hz alarak fs = 5Hz içi t'yi örekleyiiz ve çiziiz, çizdirdiğiiz öreklemiş işareti temel battaki e yüksek frekas bileşei edir? 8
Çözüm: a. Nyquist örekleme frekası işareti maksimum frekas bileşeii katıdır, bu işarette maksimum frekas bileşei Hz olduğuda Nyquist örekleme frekası 4 Hz dır. b. MATLAB Kodu: N = 5; = : N - ; f = ; f = ; fs = N; %=,,,...N- içi dizisii değerlerii hesaplaması = + cos * pi * * f / fs + cos * pi * * f / fs; subplot,plot,,title' isaretii plot komutuyla cizdirimi' % Frekas Bölgesi Gösterimi f = fft; y = absfftshiftf; f = -N / : N / - ; subplot,stemf, y, title' isaretii frekas alaidaki goruumu 5 isaretii plot komutuyla cizdirimi 4 5 5 5 5 4 45 5 5 isaretii frekas alaidaki goruumu 5-5 - -5 - -5 5 5 5 Şekil.4 işaretii frekas bölgesideki görüümü 9
c. MATLAB Kodu N = 5; = : N - ; f = ; f = 4; fs = N; = + cos * pi * * f / fs + cos * pi * * f / fs; subplot,plot,,title' isaretii plot komutuyla cizdirimi' f = fft; y = absfftshiftf; f = -N / : N / - ; subplot,stemf,y,title işaretii frekas alaıdaki görüümü 5 isaretii plot komutuyla cizdirimi 4 5 5 5 5 4 45 5 isaretii frekas alaidaki goruumu 5 5-5 - -5 - -5 5 5 5 Şekil.5 işaretii zama ve frekas bölgesideki görüümü Örek. t = si*π*f*t sürekli bir siüs işareti içi örekleme frekası fs = 5kHz olsu, a f=.5khz, khz, khz, 4.5kHz değerlerii sırasıyla alırke bu değerlere uygu düşe işaretleri zama bölgesi ifadeleri şöyledir.
Matlab Kodu =:; fs=5; =si*pi*5/fs*; =si*pi*/fs*; =si*pi*/fs*; 4=si*pi*45/fs*; figure; subplot4,,; plot,; title'=si*pi*f/fs* f=5';ais off; subplot4,,; plot,; title'=si*pi*f/fs* f=';ais off; subplot4,,; plot,; title'=si*pi*f/fs* f='; ais off; subplot4,,4; plot,4; title'4=si*pi*f/fs* f=45'; ais off; =si*pi*f/fs* f=5 =si*pi*f/fs* f= =si*pi*f/fs* f= 4=si*pi*f/fs* f=45 Şekil.6,, ve 4 işaretlerii zama bölgesideki görüümü b Yukarıdaki şekilde ilk işaret ile so işaret ede ayı frekasa sahip gibi görümektedir? Not: Örekleme teoremide, 5kHz lik örekleme frekası içi gösterilebilecek maksimum frekas bileşei.5 khz dir. Buda dolayı, 4.5 khz lik işaret ile khz lik işaretler de örekledikte sora örtüşme meydaa gelir. c Ayı frekas değerleri içi işaretlerde örtüşme olup olmadığıı şekil üzeride gösteriiz.
Matlab Kodu =:; N=; Fs=5; f = -N / : N / - ; =si*pi*5/fs*; y = absfftshiftfft; subplot,stemf,y,title'fo = 5, fs = 5' =si*pi*/fs*; y = absfftshiftfft; subplot,stemf,y,title'fo =, fs = 5' =si*pi*/fs*; y = absfftshiftfft; subplot,stemf,y,title'fo =, fs = 5' 4=si*pi*45/Fs*; y4 = absfftshiftfft4; subplot4,stemf,y4,title'fo = 5, fs = 5' 6 fo = 5, fs = 5 5 fo =, fs = 5 4 4-5 5-5 5 6 fo =, fs = 5 5 fo = 5, fs = 5 4 4-5 5-5 5 Şekil.7 İşaretlerdeki örtüşmei icelemesi İşareti Örekleride Tekrar Geri Elde Edilmesi Sayısal işaret işlemede, sayısal öreklerde aalog işareti tekrar elde edilmesi öemli bir işlemdir. Aalog bir t işaretie ilişki sayısal örekler,,, t olarak verilmektedir. Acak bu örekleri t ürete aalog işareti e olduğu hakkıda bir bilgi mevcut değildir. Bua göre bu örekleri üretebilecek birçok aalog işaret mevcuttur diyebiliriz. Aalog t işaretii elde edilmesi, yapıla varsayımlara ve kullaıla tekrar elde edilme geri-
çatma yötemlerie bağlıdır. Yukarıda verile bu örek değerleri, bir polioma veya bir siüs işaretie eşleebilir veya doğrusal iterpolasyo aradeğerleme kullaarak bu örek değerlerii ürete aalog t işareti yeide elde edilebilir. Örek.4 Siüs İşaretie Eşleme Varsayalım ki yukarıda verile örek değerleri aşağıdaki gibi siüsoidal formda verile bir işarette üretilmiş olsu: t Acos wt. Elimizde bilgi olarak,, ve değerleri mevcuttur. Bu bilgiler,.6 ile taımlaa aalog t işaretideki A, w ve yi taımlamak içi yeterli midir? Bu değerlerle ilişkili deklemler oluşturulabilir mi? Eğer oluşturulabilirse bu deklemleri daima çözümü mevcut mudur? Eğer çözüm her zama mümkü değilse buu sayısal öreklerle gösteriiz. Çözüm: Verile bilgilere göre oluşturulabilecek deklemler; Acos Acos w Acos wcos Asi wsi Acos w Acos wcos Asi wsi.. deki ve toplaırsa w k, k,,... olarak elde edilir. Bezer şekilde de çıkartılırsa; 4 Asi wsi.4 ifadesi elde edilir. ve 4 ü ayrı ayrı karesi alııp elde edile souçlar toplaırsa; 5 5 A cos si wsi.5 elde edilir. si w her durumda e eşit olacağıda dolayı A 5 Bu bilgi de yerie koduğuda 6. 568 olarak elde edilir. olarak elde edilir. Acak dikkat edilirse w i değeri k ya bağlı olarak değişmektedir. Yai k ı çift değerleri içi, tek değerleri içi de örekleri sağlamaktadır. Souçta k ya göre bir değişim mevcuttur. Acak her zama bu şekilde souca ulaşmak mümkü olmayabilir. Öreği öreğii yerie veya daha başka örek değerleri verilmiş olsaydı çözüme ulaşmak zorlaşırdı ve birde fazla çözüm mümkü olabilirdi.
Evrişim Giriş Doğrusallık koşuluu sağlaya her ayrık L[.] işlemi üstdüşüm süperpozisyo özelliğii toplamsallık ve çarpımsallı sağlamak zorudadır. L a a a L a L.6 Herhagi bir rastgele dizi, ölçeklemiş ve gecikmiş birim darbe dizilerii ağırlıklı toplamı şeklide oluşturulabilir; k.7.6 ve.7 kullaılarak, bir doğrusal sistemi girişie rastgele bir dizisi uyguladığıda, bu sistemi çıkışı y L L L.8 k k y ile ifade edilebilir. Burada L yaıtı, k zamaıdaki birim öreğe bağlı olarak zamaıdaki doğrusal sistemi yaıtı olarak açıklaabilir. L darbe yaıtı olarak adladırılır ve h, ile gösterilir. Böylece sistemi çıkışı birim k y h,.9 şeklide ifade edilir. Bu ifade zamala değişe bir birim darbe yaıtı h, gerektirmektedir, acak bu pratikte kolaylıkla ulaşılabiliecek bir durum değildir. Bu yüzde DSP de zamala değişmeye sistemler geiş bir kullaım alaıa sahiptirler. Doğrusal Zamala Değişmeye DZD Sistemler Giriş bölümüde açıkladığı gibi, bir doğrusal sistemi ve y giriş-çıkış çiftii zamadaki öteleme ile değişmemesie doğrusal zamala değişmeye DZD sistem deir. Bir DZD sistem içi L. y k öteleme ile y k öteleme ile L. y matematiksel özellikleri sağlaması gerekir. DZD sistemi işlemii LTI[.] şeklide gösterelim. Yie ve y DZD sistemi giriş-çıkış çifti olsu. Bu durumda zamala değişe birim darbe yaıtı h, zamala değişmeye birim darbe yaıtı h halie gelir..9 daki çıkış işareti 4
k y LTI h. şeklide olur. Bir DZD sistemi birim darbe yaıtı h ile verilir.. daki matematiksel ifade doğrusal evrişim toplamı olarak adladırılır ve y h. h y şeklide gösterilir. Bazı belirli zamalarda sistemi çıkışı. da yararlaılarak h k y. şeklide hesaplaabilir. Dödürülmüş ve ötelemiş birim darbe yaıtı h ve giriş işareti, toplam işlemii değişkei k ı foksiyolarıdır. Ayı zamada ve h dizilerii çarpımları da bir çarpım dizisi oluştururlar. h da elde edile h dizisi, k zama başlagıcıa göre h yı ters çevirerek h dizisii elde edilmesi ve bu dizii kadar ötelemesiyle elde edilir. y çıkışı çarpım dizisii bütü değerleri üzeride bir toplam yardımıyla buluabilir. Evrişim işlemii 4 adım ile özetleyebiliriz:. Ters çevirme: k zama başlagıcıa göre h yı ters çevirerek h elde edilir.. Öteleme: pozitif ise sağa doğru, egatif ise sola doğru h öteleerek h elde edilir.. Çarpma: h çarpım dizisii elde etmek içi ve h dizileri çarpılır. 4. Toplama: zamaıdaki çıkışı elde etmek içi çarpım dizisii bütü değerleri toplaır. Bu adımlar soucuda, aıdaki sistem yaıtı elde edilecektir. Geelde, sistem yaıtıı tüm zamalar içi e olacağı ile ilgileilir. Souç olarak tüm olası zama ötelemeleri içi.-4. arası adımlar tekrar edilmelidir. 5
Örek.5 Aşağıda verile iki dizii evrişimii alalım y h. diger h diger Çözüm: y h y h k ve h dizileri solu dizilerdir solu dizi: solu sayıda değeri sıfırda farklı ola dizi. Bu edele y de solu bir dizi olacaktır. Kolayca görülebilir ki, veya içi y sıfırdır. Sıfırda farklı terimleri ise: y y y y y k k k k h h h h h h h h h h h h k h h h h h h h h Ayrıca evrişim toplamıı hesabıı çizimler yardımıyla da gösterebiliriz., h ve tüm olası değerleri içi ötelemiş h işaretleri Şekil.8 de görülebilmektedir. Souçta elde edile y dizisi ise Şekil.9 da görülebilir. Şekil.8 Örek.5 içi evrişim çizimleri 6
Şekil.9 y h Örek.6 Aşağıda verile iki dizi içi evrişim alı. h,,7,,,4,,,,, 5,,, 4 Çözüm: Şekil. Örek.6 içi evrişim çizimleri 7
Şekil. da dört çizim görmekteyiz. Bularda sol yukarıda orjial dizileri, ve h, diğer çizimlerde ise sırasıyla,, içi ve h dizileri gösterilmektedir. Evrişim toplam hesabıı bu çizimler içi ayrıtılı olarak yapalım. y y y k k k h * 5 * 7 * * 6 h * 7 * * 5 * 4* * 4 h * * 5 7 * * * 5 Bezer hesaplamalar ile y dizisii diğer değerleri de elde edilebilir. Burada y dizisii ilk sıfırda farklı değerii 4 içi, so sıfırda farklı değerii de 4 7 içi elde edildiğie dikkat edilmelidir. Bütü değerleriyle y dizisi y 6,,47,6, 5, 5,4,8,,,8, şeklidedir. Bu örekte de görülebileceği gibi çıkış dizisi y i uzuluğu elema sayısı, ve h dizilerii ikiside de fazladır. i uzuluğu L, h i uzuluğu ise L h olarak kabul edersek, y i uzuluğu Ly L Lh olur. 8
MATLAB Uygulaması. Örek. deki foksiyoları MATLAB kodlarıı yazarak Şekil. te verile souçları doğrulayıız.. Örek. ve. te verile souçları doğrulayıız.. Eğer evrişim kısımda giriş ve darbe yaıtı dizileri sosuz uzuluğa sahip ise MATLAB ile doğruda evrişim toplamı hesabı yapılamaz. MATLAB, cov foksiyou yardımıyla iki solu uzuluktaki dizi içi evrişim toplamıı hesaplayabilmektedir. Bu foksiyo, iki dizii ilk değerlerii sıfır idisli terimler olduğuu kabul eder. Evrişim MATLAB teki gösterilimi ile >>y=cov,h; şeklidedir. Örek.6 daki evrişimi MATLAB yardımıyla alalım. >>=[,,7,,-,4,]; >>h=[,,,-5,,]; >> y=cov,h; y= 6 47 6-5 -5 4 8 - - 8 cov foksiyou herhagi bir zama bilgisi sağlamamasıa ya da kabul etmemesie rağme, y dizisii değerleri doğru olarak elde edilebilmiştir. y dizisii başlagıç ve bitiş oktalarıı zama idislerii belirlemesi içi ;, h ; ve y ; ise b s hb hs yb ys yb b hb ys s hs şeklide bir yötem izleebilir. Bu yötem, Örek.5 ve.6 ile kolayca destekleebilir. 9
Ödev:. Aşağıdaki işaretleri MATLAB kodlarıı oluşturup verile aralık içi çizdiri. a. 4, 5 5. b. cos.4., 5. Burada, sıfır ortalamalı birim varyaslı Gauss rastgele dizisii göstermektedir. c. = {,,, 4, 5, 6, 7, 6, 5, 4,,, } işaretii göz öüe alarak e işaretii elde edi..5 cos... t = + cos*pi*5*t + cos*π**t + si*π**t a Bu aalog işareti t = s aralığıda çizdiri. örekleme frekası, fs, khz alıaca. b Frekas bölgesie geçerek örtüşme olup olmadığıı gözlemleyi, örtüşme varsa frekas bölgeside hagi bileşei örtüşmeyi gösterdiğii söyleyi.. Yukarıdaki soruda örekleme frekasıı fs= Hz alarak ayı işlemleri tekrarlayı. Bulduğuuz şekillere bakarak örtüşme olup olmadığıı söyleyi. Örtüşme varsa hagi bileşei örtüşmeyi gösterdiğii frekas bölgesi şeklie bakarak söyleyi. 4. t = sict aalog işaretii, a fs = 5Hz kullaarak elde edile örmeklemiş işareti spektrumuu çiziiz. Örtüşme olup olmadığıı edeleriyle belirtiiz. b fs = Hz içi a yı tekrarlayıız. 5. Örek.6 da verile ve h dizileri içi, kedi MATLAB koduuzu yazarak,. uyarıca evrişim toplamıı hesaplayı. MATLAB te vektör idislerii de başladığıa dikkat edi. 6. cov foksiyouu kullaarak 4. sorudaki evrişimi alı ve souçlarıızı, kedi koduuzla elde ettiğiiz souçlarla karşılaştırı. Yazdığıız kodu cov foksiyoua göre eksiklik ya da üstülükleri varsa belirti.