Belisiz İntegl... İntegl Alm Yöntemlei... Değişken Değiştime Yöntemi... d c Biçimindeki İnteglle... 9 A B d Biçimindeki integlle... c Kesili Fonksionlın İntegli... 8 Tigonometik Fonksionlın İntegli... Pçlı (Kısmi) İntegl... Riemnn Toplmı Olk Belili İntegl... Belili İntegl... 9 Tek ve Çift Fonksionlın Simetik Alıkt İntegli... 7 İntegl İşeti Altınd Tüev (Leinitz Kulı)... 7 Mutlk Değe İçeen İfdelein İntegli... 7 Düzlemsel Bölgelein Alnlı... 8 Hcim Hesplı... 87 Heket Polemlei... 9 f() d e c g() f()... n n n
KAVRAMSAL ADIM Tes Tüevle Bi fonksionun tüevinin nsıl uluncğını öğendiniz. Anck içok polem tüevi ilinen fonksionun kendisinin ulunmsını geektii. Bi F() fonksionunu, tüevi oln f fonksionundn ulmk istiouz. Böle i F fonksionu vs F e f nin tes tüevi f nin tüm tes tüevleinin kümesine f nin elisiz integli deni. ETKİNLİK BELİRSİZ TANIM F() tüevli i fonksion ve F() ile f() sınd F'() f() ilişkisi vs, f() fonksionun F() fonksionunun tüevi deni. F'() f() ise fd ( ) F ( ) zılı. Bud f()'e integnt, F()'e f() fonksionunun integli, 'e de integl siti deni. f() elli iken F()'i ulm işlemine integl lm işlemi, F() ifdesine f() fonksionunun elisiz integli deni. Aşğıd zı fonksionl ve integllei veilmişti. İntegllein doğu olduğunu gömek için sğ tftki fonksionlın tüevleini lk sold nı stıd ulunn fonksionl kşılştıınız. ÜNİTE İNTGERAL f() sin in F() eşitliğini sğln i tes tüevini (elisiz integlini) ullım. "Hngi fonksionun tüevi sin?" sousunu somlıız. evımız F() cos di. F() & cos olup F() cos ulunu. Fonksion cos ntegl ln sin ln( ) ETKİNLİK A(, ) noktsındn geçen ve (, ) noktsındki eğimi oln eğinin denklemini ullım. Polemde veilen eğinin fonksionu f() olsun. Polemden f'() ve f() eşitlikleini ziliiz. f'() & f() ve f() ise & tü. O hlde f() ulunu. e sin.cos tn e ( ) sin ln(cos) ln( )
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM TEMEL FORMÜLLERİ Difeensiel hespt, tüev lmk için genel kull vdı. Fkt integl hespt, i ifdenin integlini ulmd genel i kul oktu. He integl polemi özel i işlemi geektii. İnteglleme slınd deneme tüünden i işlemdi. İntegl polemleinde, sonuc dh çuk ulşmk mcıl i dizi integl fomüllei hzılnmıştı. Bu fomüllee temel integl fomüllei deni. İntegllemede kollık sğldıklındn u fomülle şğıd veilmişti. 8. 9... du u ln u u ; u< du sec ; u u u u> du tn u u du ln( u u ) u ve c sit sıl ve u, in i fonksionu olmk üzee,. du u. du ln( u u ) ; u> u. un undu ; n n. u du u u u sin. eudu eu. u du u! u!! ln( u u! ).. u udu ;! R \ {, } ln du ln u, u > ise u * ln( u), u< ise BELİRSİZ ÖZELLİKLERİ i. F'() f() fd ( ) F ( ) tnımındn. sin udu cos u _ fd ( ) i' ( F ( ) )' & F'( ) f ( ) ti. 7. cos udu sin u ii. fd ( ) F ( ) eşitliğinin he iki nının difensieli 8. tn udu lncos u lnsec u lınıs, 9. cot udu lnsin u lncosec u d_ f( ) di d(f() ) df() F'()d f()d olup. sec udu ln( sec u tn u) d8 fd ( ) B fd ( ) elde edili.. cosec udu ln( cosec u cot u) iii. df( ) F'( ) d F( ) di.. sec udu tn u iv. ^f ( )" g ( )"... hd fd ( ) " gd ( ) "... di.. cosec udu cot u v.! R, fd ( ) fd ( ) ti.. sec u. tn udu sec u vi. fd ( ) F ( ) ise. cosec u. cot udu cosec u ) fd ( ) F ( ). du u u sin cos ( > ve u < ) u 7. du u ln u u ; u> ) c) f ( d ) F ( ) f ( d ) F ( )
. Aşğıdki işlemlei inceleiniz. ) ) c) ( ) d c m d / d / d d d d UYGULAMA ADIMI m) n) ( )( ) d d ( ) ( d ) d d / d / e e e d d e d e e e ed e d ÜNİTE İNTGERAL d / d d d / d d o) e e ( ) d ( ) d. / p) ( )( ) d ( ( ) ) d d) ( ) d ( ) d d d d ( ) d d ( ) e) d d. 8 ( ) d d d d ) _ i_ id ( ) d UYARI n > olmk ü zee, d d / n n n d / n n n n n n f) ( )( ) d d ( ) ( ) d. Aşğıdki işlemlei inceleiniz. ) ) d d ( ) d 8 sin( tn d ) B' sin( tn ) k) d d d l ln c) d sin d sin d l) ed e / d ed e d) e) d( ln ) ln : d ( ) D d ( ) d ( ) d 7
ÜNİTE UYGULAMA ADIMI. ( ) d in eşiti nedi? 7. f'() 8 X ve f( ) ise, f() kçtı? ( ) d d d d d f'( ) d ( 8 ) d... f ( ) 8... ( ) d in eşiti nedi? di. f() X X f() olu. ( dielim.) f( ) ise f( ) ( ) ( ) ( ) & ulunu. ( ) d / ( ) d kd 7 d d 7. 7 9.. 9. 9 f() olup f().. 8 olu. 8. f.'( d ) ve f( ) olduğun göe, f() kçtı? f.'( ) d eşitliğinde he iki tfın tüevini llım. f.'( ) f p'. f'( ) d integlini ulunuz. df ^ ( ) h f'( d ) olduğundn f'( ) d d( f( ) ) f( ) ulunu..f'()..f'() & f'() & f() ( ) d & f().. f''( ) d integlini ulunuz. ( ) f( ) & f( ).( ) df ^ '( ) h f''( d ) olduğundn f''( ) d d^f'( ) h f'( ) ulunu. & f ( ) ise f( ) olu. ulunu. 8
9. f''() olmk üzee, f() eğisi doğusun T(, ) noktsınd teğet olduğun göe, f() fonksionunu ulunuz. f''() ise ntegli lınıs eşitliğinde he iki nın i Eğinin T(, ) noktsındki teğeti olup teğetin eğimi d f '( ) d d f '( ) l d ^ h d d f'( ) m tü. UYGULAMA ADIMI. f() fonksionunun hehngi i T(, ) noktsındki teğetinin eğimi m ve f( ) olduğun göe, f() kçtı? T(, ) noktsındki teğetin eğimi m ise f'() di. f'( ) d f( ) olup d f( ) f( ) ise f( ) ( ) f() f() f() & di. f() ise f() ulunu. ÜNİTE İNTGERAL O hlde f'( ) tü. f'( ) ( ) ( ) O hlde f'() lınıs geçtiğinden & f'( ) d c md f ( ) O hlde f() olu. olup he iki tfın integli ve eği T(, ) noktsındn ( ) f( ) & ( ).( ) di. ulunu.. f: R R, f() fonksionu için f''() ve f() in T(, ) noktsındki teğetinin eğimi olduğun göe, f() kçtı? f''( ) d df'( ) f'( ) f'() d olup teğetinin eğimi ise f'() tü. f'() f'(). & f'( ) d f( ) di. f nin T(, ) noktsındki tü. ( ) d f( ) & f( ) ve f() eğisi T(, ) noktsındn geçtiğinden f() di. f().(). & di. O hlde f() ise f().. ulunu. 9
ÜNİTE. Aşğıdki integllei hesplınız. ) d d) d ) c) d e) d ed f) d PEKİŞTİRME ADIMI. ^ hd integlinin eşiti nedi?. Aşğıdki integllei hesplınız. ) d d) ( ) d ) d e) ^ hd. d integlinin eşiti nedi? c) d f) ^ d h 9 9. Aşğıdki integllei hesplınız. ) d d c) n d ) c d d) d m. d nd integlinin eşiti nedi?
7. d integlinin eşiti nedi? PEKİŞTİRME ADIMI. d^, n h integlinin eşiti nedi? ÜNİTE İNTGERAL., n 8. ^e, nhd integlinin eşiti nedi?. ^ e, nhd integlinin eşiti nedi? e e 9. ^e cos sin hd integlinin eşiti nedi?. c integlinin eşiti nedi? m d e sin cos, n
ÜNİTE. ( cos ) d integlinin eşiti nedi? PEKİŞTİRME ADIMI m. f ( ) d olmk üzee f fonksionunun gfiğine psisli noktdn çizilen teğetin denklemi, doğusun plel olduğun göe, m kçtı? sin. f'() 7 ve f( ) olduğun göe, f() kçtı? 7. f() eğisinin eel ekstemum noktlındn ii K(, ) noktsıdı. f''() olduğun göe, f( ) kçtı? 9 f ( ). d olduğun göe, f() kçtı? 8. f: R R, f() fonksionund f'() ve f() olduğun göe, f(7) kçtı?
. d integlinin değei nedi? ALIŞTIRMALAR. d integlinin değei nedi? ÜNİTE. ^ hd integlinin değei nedi?. ( cos sin ) d integlinin değei nedi? İNTGERAL. d integlinin değei nedi?. cos cos d integlinin değei nedi?. c d integlinin değei nedi? m. ( ) d integlinin değei nedi?. sin d integlinin değei nedi?. ( ) d integlinin değei nedi?. ( cos ) d integlinin değei nedi? 7. d integlinin değei nedi? 7. ^ hd integlinin değei nedi? 8. integlinin değei nedi? d 8. tn d integlinin değei nedi? 9. d integlinin değei nedi? 9. cot d integlinin değei nedi?. c integlinin değei nedi? cos m d. d integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?
ÜNİTE. e ne c, m d integlinin değei nedi?. e d integlinin değei nedi? ALIŞTIRMALAR. t dt integlinin değei nedi?. ^e e hd integlinin değei nedi?. csin integlinin değei nedi? sin m d. log 9 d integlinin değei nedi?. e d integlinin değei nedi?. log d integlinin değei nedi?. sin( ) d integlinin değei nedi?. ^log log8hd integlinin değei nedi? 7. sin. cos d integlinin değei nedi? t 7. t f dt integlinin değei nedi? t p t 8. d integlinin değei nedi? ( t ) dt 8. integlinin değei nedi? t 9. d integlinin değei nedi? 9. z d dz integlinin değei nedi? z n z. d integlinin değei nedi?. dz z integlinin değei nedi?. t t dt integlinin değei nedi? t. d integlinin değei nedi?
KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK f''( ) f'( ) integlini ulunuz. u f'() değişken değiştimesi plım ve he iki tfın difensielini llım. du d(f'()) du f''()d olu. du E f''( ) d du f'( ) u X u,n u u f'() eine zılk &, n f'( ) ulunu. ALMA YÖNTEMLERİ DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ Bu öntem i ileşke fonksionun difeensielinin ulunmsı ilkesine dnı. Veilen i integlinde, u(t) dönüşümü pılıs d u'(t)dt olu. Bud u(t) süekli i fonksion ve tnımlı olduğu lıkt u'(t) tüevi vdı. u(t) için f() f(u(t)) olup integl, içimini lı. Bu önteme değişken değiştime ve eine kom öntemi deni. Değişken değiştime pılıp integl hesplndıktn son sonuç ilk değişken tüünden zılmlıdı. Bu öntemde önemli oln nei eni değişken olk gösteeceğimizi ilmekti. Dönüşüm ugun pıldığı süece veilen i elisiz integl kolc hesplncktı. ÖRNEK I fd ( ) I fut ( ( )). u'( tdt ) ÜNİTE İNTGERAL n I f ( )@. f'( d ) integlinin değeini ullım. ETKİNLİK d ) integlini hesplınız. ÇÖZÜM u f() değişken değiştime işlemi pılı. Difeensiel lınıs du f'()d olu. O hlde un n f ( )@. f'( d ) undu n ve u f() zılk, n n f ( )@ f ( )@. f'( d ) n ulunu. sin ) d integlini hesplınız. cos UYARI Belisiz integlde değişken değiştime öntemi ugulndıktn son sonucun ilk değişken tüünden zılmsı geeki. ÖRNEK cos c) integlini hesplınız. sin d d, n ÇÖZÜM olduğunu gösteelim. u denili ve iki tfın difensielini lısk du d( ) du du.d & d olu. d du, u n u, n ulunu.
ÜNİTE. I ( ). d integlini hesplınız. t denilise d( ) dt & d dt olu. UYGULAMA ADIMI. I. e d integlini hesplınız. Bud t denilise d( ) dt & d dt olu. t I ( ). d tdt d dt olup t eine zılıs, ( ) ( ) I d elde edili. e d e dt I t edt t e t t zılıs e d e I olk ulunu.. ln I d integlini hesplınız., n t dönüşümü pılıs d d(, n) dt & dt olu., n t I d t dt t, n zılıs,, n, n I d olk ulunu.. d I e integlini hesplınız. Bu integlde p ve pdı e ile çpsk değişken değiştime dh kol olcktı. e e e olup. e I e integlini hesplınız. t e zılıs dt d( e ) & dt e d olu. d e I integlinde e d e t e denilise dt d(e ) & dt e d ve e d dt di. d e dt I d olup e e t n t, e d dt olup t e zılıp e t n t, e I d n e elde edili. e, t e zıldığınd d I n e e, elde edili.
. I esin. sin d integlini hesplınız. t sin dielim. dt d(sin ) & dt sin.cosd & dt sind olu. I esin sin d etdt et ve t sin olduğundn I esin. sin d esin elde edili. UYGULAMA ADIMI 9. I sin. cos d integlini hesplınız. t sin dielim. dt d(sin) & dt cosd t I sin. cos d tdt t sin sin & I sin. cos d Bu integlde t cos dönüşümü pılk d sonuc ulşılili. ÜNİTE İNTGERAL 7. I cos. sin d integlini hesplınız. t cos & dt d(cos) & dt sind & dt sind t olup I cos. sin d tdt cos I cossin d di. ve. I d integlini hesplınız. t dielim. dt d( ) & dt d olu. & d dt dt I d t, n t I, n elde edili. 8. sin I d ecos integlini hesplınız. t cos & dt sind dt dt sin d olu. Ve integl I et Bu integli. önekte çözdüğümüzden I [, n e t ] ve içimini lı. d. I integlini hesplınız. Veilen integl d I içiminde zılıp t dönüşümü ( ) pılıs, d( dt ) dt & d dt ve d olu. dt I d t Bu son integl,. fomülde u t, lınıp I, nt ^ th t cos & I, n e cos elde edili. I, n ^ h olk ulunu. 7
ÜNİTE sin. I d integlini hesplınız. Veilen integli I sin d içiminde ziliiz. t sin dt d(sin d & ) & dt olu. sin I d t dt t / dt t / I ( sin ) ulunu. UYGULAMA ADIMI I integlinde u & du d d I du u du u u u u & I cos I d integlinde & du d di. ( cos )' d olduğundn t cos & dt d di. sin. I d integlini hesplınız. d t & d( ) dt & dt di. d & dt sin I d sin tdt sin tdt cost t I tdt, t cos ( cos ) & I ve olmk üzee, cos I I I d cos c m elde edili. cos olu.. I d integlini hesplınız. t dönüşümü psk. cos I d integlini hesplınız. Önce integli iki pç ılım. cos cos I d d d t & t & d d(t ) & d tdt di. I ( t ). t.. tdt ( t 8t ) dt tdt 8 tdt t t 8 t olup I d cos I d ve I d 8 ( ) ( ) elde edili. 8
sin t. I dt integlini hesplınız. cost u cost & du sintdt & du sintdt sin t du I dt cos t u du u tn u UYGULAMA ADIMI d 9. I integlini hesplınız.., n, n u, n& du d d du I sec u n,, n u u sec (, n) di. ÜNİTE İNTGERAL cos t tn l olu.. dz I z, nz integlini hesplınız. sec 7. I d integlini hesplınız. 9 tn t, nz & dt z dz dz dt I t / dt t z, nz t I, nz olu. u tn & du sec d sec du du I d 9 tn 9 u u u & sin sin ( tn ) di.. I sin d integlini hesplınız. u & du d du & d I sinudu cosu n 8. I d integlini hesplınız. (n N ) n I cos ulunu. t n & dt nn d & dt n n d I n dt d n n t n, nt ^ t h n, n ^ n n h olu.. I sin d integlini hesplınız. u & du d & du d I sin d sin udu cos u cos di. 9
ÜNİTE UYGULAMA ADIMI. I ^tn tn hd integlini hesplınız.. I tn. sec d integlini hesplınız. I ^tn tn hd tn ^tn hd I tn. sec. d tn ( tn ) sec d u tn & du sec d (tn )d u tn & du sec d I u ( u ) du u I tn( tn ) d udu ( u u ) du u u I tn di. tn tn I ulunu.. I sin. cos d integlini hesplınız. I sin. cos d sin. sin. cos. cos d sin. sin.( sin) cos d u sin & du cosd u. u ( u ) du ( u u ) du u 7 I 7 sin sin7 I 7 di.. cos I d cos integlini hesplınız. cos cos cos cos. cos cos cos cos cos cos I d d cos cos cos ( sin) d sin cos I d d d sin sin cos d cot sin \ I cos du u sin I sin d u u sin du cosd I I cot I cot ulunu. sin 7. I e d e integlini hesplınız. I e e. ed ( e). ed d e e e u e X & du e d ve e u ( u ) u u I du du u u / u / / du u du u / du u /. u / u I ( e ) / ( e ) / e di. 8. tn I d integlini hesplınız. u tn & du d tn u ( tn ) I d udu di. 9. sin I d cos integlini hesplınız. u cos & du sin d sin du I d tn u ( cos) u I tn ( cos) ulunu.
UYGULAMA ADIMI. I sin( cos). sin d integlini hesplınız., n. I d integlini hesplınız. u cos & du sin d d I sin( cos) sin d, n u & sin udu du cosu cos(cos ) ulunu. I, n d u du u / du &. u / (, n) / ulunu.. I cos( csin ) d integlini hesplınız. ÜNİTE İNTGERAL u csin & sinu d cosu du olu. cos u. cos udu cosudu ve cos cos u u olduğundn cos udu du cos u du u I. sin u u csin & I csin sin( csin ). I e ( ) d integlini hesplınız. u & du ( ) d & du ( ) d e ( ) d e du I u eudu & eu e ulunu. di.. cot I d, nsin integlini hesplınız. u, nsin & cos du d cot d sin cot I d du nsin u,, n u I, n, n sin ulunu.. I d integlini hesplınız. t & t & t & d tdt I d ( t ). t. tdt t( t t) dt ( t t t) dt t t7 I c t m 7 I ^ h ^ h ^ 7 7 h G di. ( ) d. I integlini hesplınız. u & du ( )d du du ( ) d & ( ) d ( ) d du I u / du u. u / ( ) / olu. 8 7. I ( cos) sin d integlini hesplınız. cos I 8 ^ h B sin d sin d ( cos). sin d I sin d, I ( cos) sin d du I için u & d du & d
ÜNİTE UYGULAMA ADIMI I sin d d sin udu cos u. integlini hesplınız. I ( ) I cos I ( cos) sin d için t & d t dt t cos & dt cos.( sin)d & dt sin d d t t I dt dt ( ) t cos t t c I ^ h sin d t t m dt du ( cos) u t & du tdt & tdt cos8 t du I I dt t u n u, I, n t, n di. cos8 I I I & I cos ulunu. 8. I sinn. sin d integlini hesplınız. (n N ) I sinn. sin d ( sin) n. sin d u sin & du sin.cosd sind un I sinn. sin d un. du n ( sin) n & I n ulunu.. d integlini hesplınız. t & d tdt I d tdt ( t ) dt t t I dt dt t, n t t, n di. 9. I d integlini hesplınız. t & t & t & d tdt t t t I t. tdt ( t ) dt I ( ) ( ) ulunu.. tn I d, n( cos ) integlini hesplınız. u, n( cos ) & du tn d du u I. tn u n cos tn c, m di.
, n, n. I d integlini hesplınız. 8 u, n & du d, n, n I d 8 ulunu.. I d integlini hesplınız. d u 8, n I c, n m 8, n I I I I ^u uhdu u u. l 8, n, n, n, n 8, n, n d d d I d du & du d & d du u u d I sin ( ) I sin ulunu. UYGULAMA ADIMI cos sin. I d integlini hesplınız. cos sin u cos sin & du ( sin cos)d cos sin I d du cos sin u, n u 7. I sec d integlini hesplınız. du u & du d & d ^, n, nh 8. d integlinde e t dönüşümü pılıs hngi integl elde edili? eine zılıs I,n cos sin cos sec udu cos u du u I du cosu t sin u & dt cos udu cos u dt du sin & I u t t sin I., n, n t sin et & d etdt et & t, n ^t thetdt t t dt et ^ h ulunu. di. di. ÜNİTE İNTGERAL d. I integlini hesplınız. ( ) t & d tdt tdt dt I tn t tt ( ) t I tn di. 9. d integlinde u dönüşümü pılıs hngi integl elde edili? u ise du d du d & d udu olu. u u ulunu.. u( u) udu du u u
ÜNİTE. f''( ). f'( ) d integlinin eşiti nedi? PEKİŞTİRME ADIMI. ( ) ^ 7h d integlini hesplınız. [ f ( )] ^ 7 h 7 f''( ). d integlinin eşiti nedi? f'( ). ed integlini hesplınız. e ln f'() e/. d integlini hesplınız. 7. sin( ) d integlini hesplınız. e / cos( ). d integlini hesplınız. 8. cos( ) d integlini hesplınız. sin( )
9. d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. cos d integlini hesplınız. sin ÜNİTE İNTGERAL ( ) l, n sin. d integlini hesplınız.. tn d integlini hesplınız., n, n cos. sin d integlini hesplınız. 7 sin. d integlini hesplınız. n,, n 7 sin, n, n. ( e ). ed integlini hesplınız.. e. sin e d integlini hesplınız. ( e ) cose
ÜNİTE 7. tn. sec d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. d integlini hesplınız. tn sin etn 8. d integlini hesplınız. cos. d integlini hesplınız. ( ) ( ) e tn 9. d integlini hesplınız.. cos (, n) e. d integlini hesplınız. e tn(, n), n e. d integlini hesplınız., n( sin ). tn d integlini hesplınız. sin, n( sin )
. e. d integlinin değei nedi?. 98( 9) d integlinin değei nedi? ALIŞTIRMALAR. d integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi? ÜNİTE İNTGERAL. d integlinin değei nedi?. sin d integlinin değei nedi?. ^ hd integlinin değei nedi?. sin. cos d integlinin değei nedi?. sin d integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?. f ( ). f'( d ) integlinin değei nedi?. e. ed integlinin değei nedi? 7.,n d integlinin değei nedi? sin(,n) 7. d integlinin değei nedi? 8. sin. cos d integlinin değei nedi? 8. etn ed integlinin değei nedi? 9. esin.cosd integlinin değei nedi? 9., n d integlinin değei nedi?. d, n. integlinin değei nedi?. c, n, n m d integlinin değei nedi? 7
ÜNİTE. ctn d integlinin değei nedi?. ( csin ) d integlinin değei nedi? ALIŞTIRMALAR. d, n integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?. sin d integlinin değei nedi?. cot n, ( sin d ) integlinin değei nedi?. tn d integlinin değei nedi? e. d integlinin değei nedi?. tn( sin ) cos d değei nedi?. esin.sind integlinin değei nedi?. ecos sin d integlinin değei nedi? ( c cot ) 7. d integlinin değei nedi? tn (,n). d integlinin değei nedi?, n, n 7. f p d integlinin değei nedi? ctn( sin ). cos 8. d integlinin değei nedi? sin 8. f'( sin ). f( sin ) cos d integlinin değei nedi? 9., n ( cos ) tn d integlinin değei nedi? 9., n ld integlinin değei nedi?. sin.sind integlinin değei nedi?. d integlinin değei nedi?. cos. sin d integlini hesplınız. 8
KAVRAMSAL ADIM I. d BİÇİMİNDEKİ LER c Δ c olmk üzee, u tü integlle, Δ nın işetine göe inceleni.. Duum: Δ < olsun. Bu duumd c (m n) p giidi. O hlde d d d c ( m n) p p m n p l A B ( m n p)( m n p) m n p m n p içiminde sit kesilee ılıs d A B ( m n p)( m n p) m n p d m n p d I I I I integlinde u m n p denilise du md & d m du integlinde v m n p denilise olu. ÜNİTE İNTGERAL olu. Son integle dikkt edildiğinde integnt, ctnjnt'lı i ifdenin tüevine enzemektedi. O hlde dv md & d m dv olup eine zılıs m n u p elde edili. değişken değiştimesi pılıs, ctnjnt'lı i sonuç d c m A du u m B dv v. Duum: Δ olsun. Bu duumd c (m n) giidi. O hlde integl d d I c ( m n) ( m n) d olup u m n denilise du md & d m du olu.. u. m du m u I. m u ETKİNLİK m A B, nu m, nv m A, nm ( n p) m B, nm ( n p) I d 8 u & d du integlini ulunuz. olu. I d d 8 ( ) 9 ulunu. u m n. & I m ( m n) ulunu.. du 9u 9. Duum Δ > olsun. Bu duumd c (m n) p (m n p)(m n p) olup eine zılıs, d d olu. c ( m n p)( m n p) u du. n, u u, n, n di. 9
ÜNİTE d. I integlini hesplınız. 9 9 ifdesinde Δ < olup 9 ( ) tü. O hlde d d I 9 ( ) d d ( ) ; E l u denilise du d & d du olu. d. du du u u l ctn u u ctn & I l olup ulunu. UYGULAMA ADIMI u l denilise du d d I du olup du ctn u u u l zılıs ve d I ctn ; l E ulunu. cos d. I integlini hesplınız. sin sin Önce t sin değişken değiştimesi pılıs dt cosd olu. O hlde integl dt I içimine dönüşü. t t t t ifdesinde Δ 9 7 < olduğundn t t t 7 t l ; t l E zılıs d. I integlini hesplınız. ifdesinde Δ < olduğundn. önekte olduğu gii integntın pdsı iki ke içimine getiili. Bun göe l olduğundn d d I l d R V S l W S W S W T X d R V S W S W S W T X d ; l E dt dt I t R 7 t V ; l E S l W 7 S W 7 S W T X. dt 7 J N t K O K O K 7 O L P 8 dt integlinde denilise 7 ; t l u t l 7 7 E 7 du dt & dt du 7 I 7 8 7 u du 7 olu. ctnu u t l ve t sin 7 u sin l 7 zılıs I ctn; sin l 7 7 E olduğundn elde edili.
. d I integlini hesplınız. X ifdesinde Δ olduğundn ( ) di. Yeine zılıs d d I ( ) di. v denilise dv d olup dv v I v dv v v v zılıs I ulunu. UYGULAMA ADIMI A B ( )( 7) 7 7 için için O hlde den A ( 7) B ( ) ( )( 7) ( )( 7) A( 7) B( ) olu. B & B A & A olu. d A B d d 8 7 7 d d 7, n, n 7 7, n ulunu. ÜNİTE İNTGERAL. e e d e 9 integlini hesplınız. Önce t e değişken değişimi pılıs dt e d dt t t 9 olduğundn integl içimine dönüşü. t t 9 ifdesinde Δ olduğundn t t 9 (t ) di. Yeine zılıs dt dt ( t ) t dt t 9 ( t ) t t e zılıs ed e e e 9 ulunu.. d I 8 7 integlini hesplınız. 8 7 integlinde Δ 8 > olduğundn 8 7 ( )( 7) di. 7. d integlini hesplınız. 7 7 ifdesinde Δ 9 8 > olduğundn 7 ( )( ) di. O hlde A B 7 A( ) B( ) 7 7 A( ) B( ) zılıs. B & B zılıs.a & A d Ad Bd 7 d d., n., n d n, 7 di. ulunu. O hlde,
ÜNİTE. d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. d integlini hesplınız. ( ) 9 ctn( ) ctn l. d integlini hesplınız.. d integlini hesplınız. ctn k ctn kl. d integlini hesplınız.. d integlini hesplınız. ctn( 7), n
KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK II. ^A Bhd c BİÇİMİNDEKİ LER ÜNİTE d ulunu. integlini hesplınız. d d d d f. p d d, n ( ) d f p, n ( ), n ( ). d c m d c m, n ( ) ctn Bu tü integllede de Δ c nin işetine kılk çözüme gidili.. Duum: Δ < olsun. Bu duumd c nin tüevi oln ifdesi pınd oluştuulu. Bunun için sısıl kesin pı A pntezine lını, ile çpılı ölünü, son d ekleni çıkılı. Yni; B A B I d A A d c c B A A d c B A A d c A A B d A d c c A A d, n c B l c olu. Son integl I. gupt incelediğimiz tüdendi. İNTGERAL ETKİNLİK dinteglini hesplınız.. Duum: Δ olsun. Bu duumd kesin pdsı tmkedi. Yni, c (m n) giidi. Bu duumd integnt, A B A B P Q içiminde sit kesilee ılı. c ( m n) m n ( m n). Duum Δ > olsun. Bu duumd c (m n)( p) içiminde çpnlın ılı. Son integnt A B A B P Q c ( m n)( p) m n p içiminde sit kesilee ılk integl lını.
ÜNİTE. I d integlini hesplınız. ( ) ' X olduğundn kesin pınd oluştumlıız. I d d 7 I d d d, n 7 Son integldeki ifdesinde Δ 8 < olduğundn O hlde ( ) di. d d d ( ) c m G UYGULAMA ADIMI Biinci integlde ( )' olduğundn I, n 9 Son integldeki ifdesinde Δ 8 < olduğundn l ; l E d dı. dı. 9 d 9 d 8 R V ; l E S l W S W S W T X 9. d 8 J N K O K O K O L P 8 d ; l E u du denilise u du d ctn u d du olu ctn di. c m Bölece I, n 7. ctn c m ulunu. u l denilise du d & d du 8 du 8. ctn u u u l ise ve. I d integlini hesplınız. I d d 9 ctn ; l olup E 9 I, n ctn ; l E ulunu. d 9 d d
. I d integlini hesplınız. 8 UYGULAMA ADIMI & A. l ÜNİTE 8 ( ) olduğundn A B 8 ( ) ( ) & A & A olu. d d d İNTGERAL A ( ) B ( ) ( )., n, n A( ) B ise A B A olup polinom özdeşliğinden A, B A & B. ulunu., n, n B ulunu. O hlde; d d d ( ) ( ), n ( ) d, n. ulunu.. d integlini hesplınız.. integlini hesplınız. d ( ).( ) olduğundn A B A ( ) B ( ) ( )( ) & A( ) B( ) tü. Budn için A.7 & A, ifdesinde Δ 8 9 > olduğundn ( )( ) di. A B ( )( ) A ( ) B( ) ( )( ) ( )( ) A( ) B( ) ve için 7 B( 7) & B ulunu. Bölece, d c md, n, n, n ( ).( ) & B & B ulunu.
ÜNİTE. d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. d integlini hesplınız. 8, n ( ), n^ 8h ctn k ( d ). integlini hesplınız.. d integlini hesplınız., n^ h, n 8 8 ctn. d integlini hesplınız. 8. d integlini hesplınız., n ctn c m
7. 7 d integlini hesplınız. 9 PEKİŞTİRME ADIMI. d integlini hesplınız. ÜNİTE İNTGERAL 7, n^ 9h ctn 7, n, n 8. d integlini hesplınız. 9 8. integlini hesplınız. d, n^9 8h ctn k 9 8, n, n 9. d integlini hesplınız.. d integlini hesplınız., n ctn k ctn 7
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK I d integlini ulunuz. P deecesi pd deecesinden küçük olduğundn ölme işlemine geek oktu. d pd köklei ve olup pd ( ).( ) şeklinde çpnl ılı. A B ( )( ) ( ) A ( ) B ( ).( ) den ( )A ( )B ve (A B) (A B) özdeşliği elde edili. Polinomlın eşitliğinden (Belisiz ktsıl metodu) A B ve A B denklemlei otk çözüleek A ve B ulunu. Bölece I d d, n, n elde edili. KESİRLİ (RASYONEL) FONKSİYONLARIN İ BASİT KESİRLERE AYIRMA YÖNTEMİ P() ve Q() ie polinom ve Q()! olmk üzee P ( ) Q ( ) içimindeki ifdelee sonel fonksion deni. Bud P ( ) d Q ( ) integlinin nsıl lıncğının kulını veeceğiz. Pın deecesinin pdnın deecesinden üük d eşit olmsı duumu: Bu tü duumld p, pd ölünü, tm kısım ılı. P ( ) K ( ) B ( ) Q ( ) Q ( ) ise P ( ) K ( ) K ( ) d ; B ( ) Ed Q ( ) Bd ( ) d ( ) Q ( ) ti. K ( ) d Q ( ) integlinde K() in deecesi (K() : kln) Q() in deecesinden küçüktü. Bud d üç duum sözkonusu olili. ) Q() ( )(c d)(e f)... içiminde çpnlın ılıos K ( ) M N P... Q ( ) c d e f şeklinde zıp M, N, P... P ( ) sitlei ulunu. Sitle eine zılk integl lını. d Q ( ) integlinin sonucu logitmlıdı. ÖRNEK d integlini hesplınız. A, B ktsılını şğıdki gii iki değişik oldn uliliiz. ÇÖZÜM Pın deecesi pdnın deecesinden küçük olduğundn ölme işlemine geek oktu. I) ( )A ( )B idi: Şimdi pd kökleini u eşitlikte kullnlım. için. ( )A ( )B & A & A için. ( )A ( )B & B & B ( )( ) olduğundn A B zılı. A ( ) B ( ) A( ) B( ) de ise. A( ) & A ise. B & B 7 di. 7 olup 7 d d d, n 7, n di. 8 8
KAVRAMSAL ADIM P ( ) A B II) Q ( ) eşitliğinin iinci tfının pdsını tüevleelim. P( ) P( ) A B di. Q '( ) Q '( ) P ( ) tü. Q'( ). A. ÖRNEK I d ÇÖZÜM integlini hesplınız. Pın deecesi pdnın deecesine eşit olduğundn ölme işlemi pılıs,! " olduğundn ÜNİTE İNTGERAL. B. di. d d c m d d ETKİNLİK d olu. I d integlini ulunuz. A B zılı. ( ).( ) olup A B ( )( ) ( )( ).A ( )B( ). için ( )( )A.B. & A için.a.( )B. & B için 8.A.B.( ) & olup d d I d A ( ) B ( ) A( ) B( ) &. B & B &. A & A di. d d d, n, n di. O hlde I d n,, n ulunu. I, n, n, n elde edili. ) Pd Q() ( ) n içiminde ise K ( ) A B D... Q ( ) ( ) ( ) n zılı. 9
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK 7 I d integlini ulunuz. Pın deecesi üük olduğundn pı pd öleek ulunu. 7 7 I d d 7 d di. Son integl önceki öntemle hesplnk I, n, n elde edili. ETKİNLİK ÖRNEK I integlini hesplınız. d ÇÖZÜM A B ( ) A( ) B( ) (A ) (A B) B eşitliğinden B _ A B ` & A, olu. A O hlde I d c d m d d I d, n l, n I, n ulunu. d integlini hesplınız. c) Kesin pdsınd çpnlın ılmn (Δ < oln) c gii i ifde vs pddki u ifdee kşılık p A B çpnı geli. ÖRNEK I d ( ) integlini hesplınız. ÇÖZÜM A B ( ) zılı. A ( ) B ( ) ( ) den (A B) A eşitliğinden A B _ ` A & B di.
KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK d sin tn t t sin t integlini hesplınız. kolım. dt d ve t O hlde ( d c ) d m d d n, d d, n, n ctn olup I, n ctn ulunu. ÜNİTE İNTGERAL d sin dt t t t TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İ Tigonometik fonksionlın integlini ulmk için genel i kul oktu. Anck elli pıdki tigonometik integlle için şğıdki değişken değiştime işlemi pılı. dt,n t t, n tn di. Bu sonuç şğıdki içimde de zılili. sin tn cos sin sin cos sin sin ( sin ) sin cos cot sin sin ) Q( sin, cos ) d içimindeki integlle: Bud integli lınck fonksion sin ve cos in sonel i fonksionu ise tn t değişken değiştimesi pılı. tn t & ctn t Bi d çısı & ctn t & d dt t sin t t cos t olu. oln dik üçgen çizilise, ve sin sin. sin. cos t t sin.. t t t cos cos. cos sin olduğundn olduğundn t A B t d, n cot sin sin cos d t t t n c t m t olu. elde edili. Bu değele veilen integlde sin ve cos eine zılk t e ğlı sonel i integl elde edili. Bu integl dh önce veilen öntemle hesplndıktn son t tn zılk sonuc ulşılı.
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK d cos tn t olduğundn, integlini hesplınız. kolım. t dt cos, d t t d cos dt t ulunu. Bu sonuç şğıdki içimde de zılili. elde edili. dt t t t c t t mdt, n t, n t t, n t tn, n tn sin tn cos tn sin cos cos sin cos sin 7 8 ccos sin m cos sin sin cos cos cos sin sin tn cos cos d, n tn cos cos olduğundn, ÖRNEK I sin d ÇÖZÜM integlini hesplınız. tn t denilise ctn t & ctn t t d dt ve sin t t t dt t t ve t tn zılıs I ulunu. tn ÖRNEK ÇÖZÜM t dt dt ( t) ( t) t t ) Q( tn ) d içimindeki integlle: Bu integllede tn t değişken değiştimesi pılı. tn t & ctn t d dt olup integl t Qt (). dt t tn I d tn olduğundn eine zılıs içiminde sonel i fonksionun integline dönüşü. integlini hesplınız. tn t & ctn t & d dt t t ( ). tdt I dt t t ( t)( t) Bud t A Bt den ( t)( t ) t t ^ t h ( t) olu. t A At Bt Bt t ( t)( t ) ( t)( t)
KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK cos d integlini hesplınız. cos cos d cos d cos d I cos ( sin ) sin sint t kosk cos d dt ve dt I olu. t tnu kosk, t cos u du cos u du du I tn u cos u cos u A, n tn u cos u, n t t u, nt t, n t t B, n sin sin k,( k, n ) ulunu. t t (A B) t(b ) A eşitliğinden A B B, B, A A tdt t dt ( t )( t ) t f p t dt t dt dt t t t ulunu. t, n t. dt ctn t t, n t, n t ctn t t tn zılıs I, n tn, n tn ctn( tn ), n tn, n sec, n tn, n sec sec, n olu. tn ÜNİTE İNTGERAL ETKİNLİK n n ) Q( sin, cos ) d ( n! Z ) içimindeki integlle: Bu tü integllede tn t değişken değiştiimi pılı. d ^ h integlini hesplınız. tn t & ctnt & d dt t olu. Bi çısı oln dik üçgen çizilise; A sin cos t t t olup veilen integlde eleine zılk t e ğlı sonel i fonksionun integli elde edili. Bu integl hesplndıktn son t tn zılk sonuc ulşılı. t B t
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK sin. cos d integlini hesplınız. sin. cos d sin. cos. cosd sin.( sin ).( cos d) u sin olsun. du cos d ti. ÖRNEK I integlini hesplınız. cos d ÇÖZÜM tn t & ctn t d dt t ve cos değelei eleine zılıs t sin. cos d u ( u ) du u u ( u u ) du sin sin ulunu. I I t dt c m t dt t > c m H t dt t dt t dt t c m ETKİNLİK t u & du dt & dt du I du ctn u u u t tn ctn tn & I c m ulunu. sin. cos d integlini hesplınız. IV. sinm. cosnd BİÇİMİNDEKİ LER: (m, n Z) Bud duum söz konusu olili.. m çift n tek olsun. O zmn n p içiminde zılili. Budn sin m. cos n d sin m. cos p d m p sin. cos. cos d m p sin ( sin ) cos d olu. Bu son integlde sin t denilise cosd dt olu. O hlde, m p m p sin.( sin ) cos d t.( t ) dt olu.
KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK cos d integlini hesplınız. cos cos d ( cos ) d ( ) d ( cos cos ) d d cos d cos d d cos d d cos d 8 8. sin. sin 8 8 sin sin 8 ETKİNLİK ÖRNEK I sin. cos d ÇÖZÜM Veilen integli integlini hesplınız. ulunu. içiminde zlım.. m ve n nin ikisi de negtif olmn çift sıl olsun. Öneğin, m p, n q olsun. olup pntezle çılk elde edilen integlde çift ve tek kuvvetlein ilikte ulunduğu teimlein integli. deki oldn, çift kuvvetlein ulunduğu teimlein integli de ÖRNEK I sin. cos cos d sin.( cos ) cos d sin ^ sin h cos d t sin & dt cos d 8 I t.( t ) dt t ( t t ) dt ( t t t ) dt 9 t 7 t I t ve t sin ise 7 9 7 9 sin sin sin I 7 9 sin m. cos n d sin p. cos q d cos cos p q ( sin ).( cos ) d cos p cos p c m. c m d eşitliği dımı ile hesplnı. ÜNİTE İNTGERAL sin. cos d integlini hesplınız. I sin. cos d ÇÖZÜM integlini hesplınız. I ( sin ).( cos ) d zılıs I cos cos cos c m. c m d c d m cos d d cos d 8 8. sin 8 8 sin ulunu. 8 cos d 8
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK sin d integlini hesplınız. sin d sin.( sin d) ( cos ).( sin d) u cos olsun du sin d sin d ( u ).( du) ti.. m ve n nin he ikisi de tek sı olsun. Bud mutlk değece küçük kuvvetli oln fonksion pçlnı. Geie kln işlemle. deki oldn südüülü. ÖRNEK sin I d cos ÇÖZÜM integlini hesplınız. Veilen integlin sin. cos d olduğu düşünülüse < olduğundn sin fonksionu pçlnı. ( u ) du sin. sin ( cos ) sin d d cos cos ulunu. u u cos cos u cos & du sind olduğundn ( u ).( du) u u du u du u u du u du u u u u u cos zılıs I cos cos sec sec ulunu. ETKİNLİK sin. sin d integlini hesplınız. V. sinm. cosnd, cosm. cosnd BİÇİMİNDEKİ LER Bu integllei hesplmk için sin m. cos n sin( m n) sin( m n) @ cos m. cos n cos( m n) cos( m n) @ sin m. sin n cos( m n) cos( m n) eşitliklei kullnılı. @ ÖRNEK I sin. cos d integlini hesplınız. ÇÖZÜM sin.cos sin( ) sin( ) @ ( sin sin ) olduğundn
KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK cos. cos d integlini hesplınız. cos. cos cos( ) cos( ) @ I ( sin sin ) d sin d sin d. ( cos ). ( cos ) cos cos ulunu. ÜNİTE İNTGERAL fomülü ugulnk cos. cos d cos( ) cos( ) @ d cos d cos d. sin. sin sin sin ulunu. ÖRNEK I sin. sin 8d integlini hesplınız. ÇÖZÜM sin.sin8 cos( ) cos( ) 8 8 @ cos cos( ) @ ( cos cos ) (cos( α) cosα) I sin. sin 8d ( cos cos ) d ( sin sin ) sin sin ulunu. 8 ETKİNLİK cos. cos d integlini hesplınız. ÖRNEK I cos. cos d ÇÖZÜM integlini hesplınız. cos.cos cos( ) cos( ) @ ( cos 7 cos ) olduğundn eine zılıs I cos. cos d ( cos( 7 cos ) d ( sin 7 sin ) 7 sin 7 sin ulunu. 7
ÜNİTE. integlini hesplınız. ( ) d PEKİŞTİRME ADIMI d. n ( n> ) integlini hesplınız. ( ), n n n ( ) d. integlini hesplınız.. zılilio. ( ) ; ( ) E ( ) A B D / özdeşliğinde ( ) ( ) A, B,, D ktsılını ulunuz. ctn c m A, B, D d. integlini hesplınız.. d integlini hesplınız., n, n ( ) 8
7. sin cos d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. sin. cos d integlini hesplınız. ÜNİTE İNTGERAL sin sin sin 8 8. cos. sin d integlini hesplınız. d. integlini hesplınız. sin. cos ( sin sin ) 8 8, n tn cos 9. sin. cos d integlini hesplınız.. sin. cos 7 d integlini hesplınız. sin sin 8 cos cos 8 9
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK sec d sec sec.sec di. integlini hesplınız. sec u, sec d dv seçelim. sec.tnd du, tn v ulunu. sec d sec. tn tn. sec d sec.tn sec ( sec ) d sec. tn ( sec sec ) d sec. tn ( sec sec ) d sec d sec. tn sec d sec d sec d sec tn sec d sec d [sectn,n sec tn ] ulunu. PARÇALI (KISMİ) u ve v in difensielleneilen fonksionu ise u.v fonksionunun difensieli d(u.v) udv vdu olu. He iki tfın integli lınıs d( u. v) udv vdu uv. udv vdu olup ölece udv u. v vdu ulunu. Bu fomüle pçlı integl fomülü deni. He integl pçlı integl fomülü ile hesplnmz. Çpım içimindeki elli şlı tülein u öntemle integli ulunili. Bud önemli oln nee u, nee dv dieceğimizi kestimekti. Bu seçim pılıken şunl dikkt edilmelidi:. dv integlinden v v() fonksionu kolc ulunilmeli,. vdu integlini hesplmk udv integlini hesplmktn dh kol olmlıdı. UYARI Kollık sğlmsı kımındn şğıdkile veileili: P() i polinom olmk üzee;. m P ( ). sin m * cos m d içimindeki integllede ETKİNLİK, n d ( ) integlini hesplınız.. m u P( ), dv* sinm d cos m seçimi pılı. Zlog m _ ] csin m ] [ ccos m`. Pd ( ) içimindeki integllede ] ctn m ] \ c cot m Zlog m _ ] csin m ] u [ ccos m` dv P( ) d seçimi pılı. ] ctn m ] \ c cot m n n n., nd, n n ( n ) '. P ( ). e d e ( P ( ) P( ) P''( )...)
. I nd, integlini hesplınız. Bud u,n, dv d seçimi pılıs du O hlde d, v d v olu. nd, uv. vdu UYGULAMA ADIMI. I ctn d integlini hesplınız. u ctn du d I uv. vdu..ctn.ctn dv d v. d d ÜNİTE İNTGERAL., n. d I. ctn, n( ) ulunu., n d, n. I, n ulunu.. e I d ( ) integlini hesplınız. u e dv d ( ) du ( )e d I uv v. du v.. d integlini hesplınız. e ( e ) d e I e ulunu. u, dv d seçimi pmk ugun olcktı. O hlde du d, v d. olcğındn, n d u. v v. du. d, n, n..., n, n, n. olu., n c, n m. I d integlini hesplınız. sin u du d I d u. v v. du sin dv sin d v cot cot cotd I cot, n sin ulunu.
ÜNİTE. I e.sind integlini hesplınız. u e dv sind du e d v cos I e sin d u. v v. du e cos e cos d J J e cos d integlinde de pçlı integl fomülü ugulnıs p e dt cosd dp e d t sin J p. t tdp e sin e sin d olup ukıd eine zılıs I e cos e sin e \ sin I I e ( sin cos ) e I ( sin cos ) ulunu. UYGULAMA ADIMI e e 8. I c m d integlini hesplınız. I e e d d X J e J d integlinde u e dv d du e v ulunu. dielim. e e J u. v v. du d e I d J e d e e I ; d E e e d e d e I olu. 7., n I d integlini hesplınız. u, n dv d du d v 9 9, I n d u... 9 n 9, d 9 9 9 9, n. 9 9 9 I n 9 9 9 ulunu. 9. I e d integlini hesplınız. Pçlı integl fomülünü dh ht ugulilmek için önce t değişken değişimi plım. d tdt olduğundn t I e d te dt di. u t du dt I uv vdu dv e t dt v e t t t t t te e dt te e I. e e e ( ) ulunu.
. I sin(, n) d integlini hesplınız. Veilen integli sin(,n) I. d du d dp d içiminde zlım. sin(,n) u dv d v cos(, n) sin( ) I.,n d u. v v. du J cos(, n) d cos(,n) J. d cos(, n) cos (, n ) d J integlini de t sin(, n) içiminde zsk cos(,n) p dt d cos(,n) J d pt tdp J sin(, n) sin (, n ) d I I cos(, n) J I cos(, n) sin(, n) sin (, n ) d I I cos(, n) sin(, n) UYGULAMA ADIMI d. I integlini hesplınız. ( ) Veilen integli I ( ) d d d ( ) ( ) J ctn J içiminde zlım. J d ( ) J. d ( ) ugulnıs integlini u dv d ( ) du d v J I d uv vdu ( ) içiminde zıp pçlı integl fomülü d ( ) ctn ( ) d ( ) ctn ( ) ctn ctn ( ) ulunu. ÜNİTE İNTGERAL I sin(, n) cos(, n) @ ulunu. ETKİNLİK sin d integlini hesplınız. sin d integlini hesplınız.
ÜNİTE. cos d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI., n ( ) d integlini hesplınız. sin cos n, ( ) Actn. e d integlini hesplınız. csin. d integlini hesplınız. e ( ) Acsin. e d integlini hesplınız. cos. d integlini hesplınız. sin e e, n tn sin
7.,n d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI..sin d integlini hesplınız. ÜNİTE İNTGERAL, n sin cos 7 8. ( ) e d integlini hesplınız.., n ( ) d integlini hesplınız. e ( ) n, ( ) 9. e d integlini hesplınız.. e cos d integlini hesplınız. e ; E 8 e ( cos sin )
KAVRAMSAL ADIM RİEMANN TOPLAMI OLARAK BELİRLİ f() fonksionu [, ] lığınd süekli olsun., n olmk üzee,,..., n ile [, ] lığını n eşit pç ölelim. f() eğisi,, doğulı ve ekseni sınd kln ln A dı deni ve fd ( ) A zılı. lim An( T)! lim Ü ( T) ise n " n " n f() fd ( ) integli oktu. (n ) (/n)... n n n... n n n n n di. (/n) (/n) ÖRNEK n... (n ) n n n Bi köşesi f() eğisi üzeinde ulunn ve eğinin ltınd kln şekildeki tlı dikdötgenlein lnlı toplmın lt toplm deni ve A n (T) ile gösteili. Yni A n ( T) n f ( ) n f ( )... n f ( n ) n " f ( ) f ( )... f ( n ), n / n f ( k) k dı. Bi köşesi f() eğisi üzeinde ulunn ve eğinin üstüne tşn dikdötgenlein lnlı toplmın üst toplm deni ve Ü n (T) ile gösteili. Yni, Ü n( T) n f ( ) n f ( )... n f ( n) n " f ( ) f ( )... fn ( ), n / n f ( k ) k dı. Alt ve üst toplml Riemnn toplmı deni. d integlini Riemnn toplmı dımıl hesplınız. ÇÖZÜM ( ) A ( T) n n n n... n n n k k ; E n n k "... ( n ),. ( n ) n ( n ) n.( n )( n ). n n n n Ü ( T) n n n n... n n k k.... ( )( ) n nn n k " n, ; E n. n n ve n ( ). n n lim A T lim. n n n n " " * Ü ( ). n n lim T lim. n n n n " " * lim A ( T) lim Ü ( T) A ise n " n n " n olduğundn, d tü.
KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK ÜNİTE eğisi, ekseni ve doğusul sınılnn ölgenin lnını dikdötgenlein lnlı dımıl klşık olk ullım. Eğinin ltınd kln dikdötgenlei ele llım. 9 9 9 8 8 8 İNTGERAL fiekil fiekil fiekil Şekil 'deki üç dikdötgenin toplm lnı; (). (). ()..( ) iimke olu. Şekil 'teki ltı dikdötgenin toplm lnı; (). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ), 87 8 8 iimke olu. Pç sısı Aln hesplm [f() f() f()] ( ) [f() f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) ] Toplm ln,87 7,9 8,8 8,98 8,998 Eğinin üstünde kln dikdötgenlei ele llım. 7 9 8 fiekil fiekil Şekil 'te üç dikdötgenin toplm lnı; (). (). ()..( ) iimke olu. 7
ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM Şekil 'teki ltı dikdötgenin toplm lnı; ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). 9.( ),7 iimke olu. 8 8 Pç sısı Aln hesplm [f() f() f()].( 9) [f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f() ] Toplm ln,7, 9, 9, 9, He iki tlo kıldığınd pç sısı ttıkç lt ve üst dikdötgenlein lnlı toplmının 9 değeine klştığı göülmektedi. Etkinlikteki sısl işlemle şğıdki şekilde genelleştiileili. Alt ve üst dikdötgenlein lnlı toplmını ulmk için; [,] kplı lığı, < < <... < n < n olmk üzee k! ",,,..., n, için [ k, k ] içiminde n tne kplı lt lığ ölünmüştü. Δ k k k, f() n ve t k! [ k, k ] olmk üzee u lnl toplmı / ft ( k)δk k içiminde zılili. Bu toplm Riemnn toplmı deni. n n " (Δ k ) için / ft ( k)δk toplmın elili integl deni k ve lim / n ft ( ) Δ içiminde gösteili. n " k k d k ETKİNLİK,, doğulı ve ekseni ile sınılnn lnı Riemnn toplmı dımıl ulunuz. 8
KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK e, n d Önce,nd in değeini hesplınız. integlini ullım. u, n ve dv d olsun. du d ve v d, nd u. v v. du, n.. d., n d n, e e &, nd n, @ I ( e., ne e) (., n ) ( e. e) (. ) ulunu. olu. BELİRLİ Belili integl mtemtik içinde önemli i ee ship oln kvmldn iidi. Bi eğinin i pçsının uzunluğu, sınıldığı ln, hcim v. hespl elili integl olul kolc pılili. fd ( ) F ( ) ise fd ( ) kd elili integli deni. fd ( ) F ( ) I olduğundn fd ( ) ( F ( ) ) ( F ( ) ) F ( ) F ( ) dı. Bud integlin lt sınıı, e üst sınıı deni. BELİRLİ İN ÖZELLİKLERİ. A sit ise Af( ) d A f( ) d di.. [ f( )! g( ) "...] d f( ) d " g( ) d "... di..,, c R için < c < di. ifdesine f() fonksionunun dn e ÜNİTE İNTGERAL c f( ) d f( ) d f( ) d c ti. ETKİNLİK. fd ( ) dı. 9 d integlini hesplınız.. fd ( ) fd ( ) f tek fonksiondu. ( ) 9 9 Çünkü f( ) f ( ) ( ) O hlde 9 d dı. ti.. < olmk üzee [, ] lığınd f() g() ise f( ) d g( ) d di. UYARI f() i pçlı fonksion ve f nin [, ] lığındki kitik noktlı,,..., n ise integl fd ( ) fd ( ) fd ( )... fd ( ) n içiminde hesplnı. 9
TEK VE ÇİFT FONKSİYONLARIN SİMETRİK ARALIKTA İ IR olmk üzee (, ) içimindeki lıkl simetik lık deni. I. f() çift fonksion ise II. f() tek fonksion ise ÖRNEK ÇÖZÜM dı. integlini hesplınız. f() olduğundn f tek fonksiondu. O hlde ÖRNEK dı. integlinin P tüünden eşiti nedi? ÇÖZÜM fd ( ) fd ( ) fd ( ) fd ( ) tn d tn f ( ) i ç in tn( ) tn f( ) ( ) tn d / d P ise d tn tn tn KAVRAMSAL ADIM çift fonksion olduğundn d tn / d P tn d tn di. İŞARETİ ALTINDA TÜREV (LEİBNİTZ KURALI) v ( ) F ( ) ftdt ( ) ise F'() f[v()] v'() f[u()].u'() ti. u ( ) ÖRNEK sin t F ( ) t dt ise F ' k ÇÖZÜM ÖRNEK nedi? f ( ) e d fonksionunun psisli noktsındki teğetinin eğimi kçtı? ÇÖZÜM psisli noktdki teğetin eğimi f'() di. ÖRNEK F'() ullım. sin sin( ) F'( ) ( )'.( )' ( ) sin sin sin. sin F' k di. f'( ) e ( ).( )' e ( ).( )' e ( ).( ) e ( ).( ) ( ) ( ) f'( ) e e di. f'( ) e e e di. f ( ) sin t dt fonksionunun psisli noktdki teğetinin denklemi nedi? ÇÖZÜM için f( ) sin t dt olu. Çünkü i elili integlde lt ve üst sını nı ise integlin değei sıfıdı. Teğetin eğimi m f'( ) olduğundn önce f'()'i ullım. f'() sin( ).( )' sin( ).( ) ' sin( ) sin f'( ) sin sin sin O hlde teğet denklemi: f( ) m( ( )) (sin).( ) (sin)( ) di. ÜNİTE İNTGERAL 7
. d elili integlini Riemnn Toplmı dımıl hespllım., @ kplı lığını he lt kplı lığın uzunluğu Δ n olck şekilde n eşit pç ölelim. Bu duumd < < <... < n < n olmk üzee, n n ( k ) 7 n Alt toplm / f( k )Δ / c m n n / ( k ) k k n k 7 ( n ). n.( n ) 9( n ).( n ) c m n n n n Ü st toplm f( )Δ n k 7 n / k / k. n / k k k n k 7 n.( n )( n ) 9( n )( n ). n n ulunu. elde edili. 9( n )( n ) 9( n ) n Riemnn Toplmı n n 9( n )( n ) ( )( ) lim 9 n n & d lim n" n n" n & 9 d 9 & d 9 UYGULAMA ADIMI. ( d ) integlinin değeini eği ltınd kln ln dımıl ulunuz. ( d ) d d Dikkt edilecek olus eşitliğin ikinci tfındki iinci integl şğıdki şekilde göüldüğü gii genişliği, üksekliği iim oln dikdötgenin lnı olup değei 8 iimkedi. İkinci integlde integnt simetik lıkt tek fonksion olduğundn değei sıfı olu. Budn, ( d ) 8 8 ulunu.. d integlini hespllım. d ( )' d I. d integlini hespllım. ulunu. ÜNİTE. ( d ) integlinin değeini eği ltınd kln ln dımıl ulunuz. ( d ) d d Geometik olk ukıdki eşitliğin sğındki iinci integl şekildeki dikdötgenin lnı ve ikinci integl ise şekildeki üçgenin lnı olu. Budn,. ( d ). (,) ulunu. d c m' d I ( ) ( ) @ ^ h ulunu. dt. f ( ) içimindeki f fonksionunun gfiğinin t deki teğetinin eğimi kçtı? f'( ). ( )' f'( ) teğetin eğimi f'( ) di..( ) f'( ) ( ) ulunu. 7
ÜNİTE 7. cos d integlini hespllım. Tüevi cos oln fonksion sin olduğundn cos d ( sin )' d d( sin ) UYGULAMA ADIMI. ( sin ) d integlini hesplınız. ( sin ) d; cos I E c cos cos m c m sin I / sin sin ulunu. 8 c m c m 7 di. 8. tn d integlinin değeini ullım. fd ( ) olduğundn 9. ( tn ) d integlini hespllım. tn d dı.. d integlini hesplınız.. / / / 78 /. / 8 78 / 8 d 8 I 8 8 / 8 / ^ ( ) 8 h 8 8 @ 8 ( ) ulunu. ( tn ) d ( tn ) @ d ( tn ) d d d( tn ) d / / tn I I tn tn k k ulunu.. I cos d integlini hesplınız. cos cos eşitliği kullnılıs cos d cos cos d d d / / I I. sin I / / k sin. sin k.( ) ulunu. 8 8 7
d. integlini hesplınız. olduğundn ^ h^ h ^ hd d d ( ) d d / / c ( ) m I / ^ h @ / olu. UYGULAMA ADIMI ( e ). d integlini hesplınız. e u.e denilise du (e e )d ( )e d olu. ( e ) e du e d e u nu I n e,, I, n( e), n, n( e) ulunu. MUTLAK DEĞER İÇEREN İFADELERİN İ f ( ) d integlinin değei ulunuken, f() in (, ) lığındki işeti inceleni. f() in (, ) lığının lt lıklındki işetleine göe integl ugun pçl ılı. He pçnın elili integli ulunu. ÜNİTE sin. e.sind integlini hesplınız. u sin X. e d integlini hesplınız. u & du d & du sin.cosd & du sindu / / sin u u sin e sin d e du e I e I sin / e e c m e e ulunu. u u e d e d e du e I e I ( e e ) ( e ) di. 7. d integlinin değeini ullım. olduğundn d d d ( d ) d I ulunu. I ( ) c m c m ^ h 7
ÜNİTE 8. d integlinin değeini ullım. UYGULAMA ADIMI. ^ hd integlinin değeini ullım. & d d d ( ) d ( ) d c m I c mi ; c. m c. me ; c. m c. me ^ h c m ^8 8h ^ h ^ hd d d d d d d ( ) d ( ) d c m c m I I I ^ h ; c. m c. me ; c. m c. me ulunu. 7 ; ( ) ( ) E 7 7 ulunu. 9. d integlinin değeini ullım. & ve g (, ) ti. (, ) & > olduğundn d ( ) d c m I c. m c. m 9 9 ulunu.. 9 d integlinin değeini ullım. 9 ^ h olduğundn 9 d d / d d / 7
ulunu.. d integlinin değeini ullım. ( ) d ( ) d c mi c mi. > c m H > c m f c m ph.. 9 9 & ( ) &, ulunu. d ( ) d ( ) d ( ) d c m I c m I c mi ( ) ( ) > c m c mh ; c me ; c me 8 9 9 9 9 9 UYGULAMA ADIMI. ^ cos hd integlinin değeini hespllım.!, k için cos >! c, m için cos < olduğundn cos d cos d cos d cos d cos d ^ h sin I ^sin h I sin sin k ; csin sin me ^ h @ ve 9 d I > c m H olduğundn 8 9 ^ cos hd ulunu. 8. f ( ) ^t t hd içiminde tnımlı f() fonksionunun ekstemum noktlı A(, ), B(, ) ise, kçtı? f ( ) ^t t hdt ise f'( ) 9^h ^h' ^ h. ^h' ^ ). ( h f' ^h 7 olu. f() in ekstemum noktlının psislei toplmı f'() denkleminin köklei toplmı olduğundn di. 7 π π π π ÜNİTE 7
ÜNİTE. Şekilde f' fonksionunun gfiği veilmişti. Bun göe, f"( ) d f'( ) integlinin değei kçtı? f"( ) d f'( ) integlinde u f'( ) & du f"( ) d olup UYGULAMA ADIMI Bu son integlin sınılını ullım. Veilen integlde; f' lt sını: e pıln dönüşüm: e t üst sını: e Son integlde; lt sını e e t & t üst sını: e e t & t di. O hlde eni integl t e., ntdt olu. f"( ) du d f'( ) u, nu I u f'( ) &, nu, n f'( ) I, n f'( ), n f'( ) 7. d integlinin değei kçtı? f'( ), n dı. Şekilden f'( ) f'(), f'() olup f"( ) d, n, n, n f'( ) di. d ( ) d ( ) d c m I c mi e., n(, n) d integlinde e t dönüşümü pılıs e şğıdki integlleden hngisi elde edili? t, n t A) e ntdt B) t dt ) e t,, nt d t t e D) e, ntd E) dt, nt e, n(, n) d e integlinde e t & d e t dt olu. e n( n) d n( ne t t,,,, ). e dt e ( ). ; E c m olu. 8. f(), g(), f().g() olduğun göe, f'( ). g( ) d f( ). g'( ) d f(), g(), f().g() f'( ) g( ) d f( ). g'( ) d f( ). g( ) I integlinin değei kçtı? e t, ntdt olu. f().g() f().g(). 7
, n, n 9. integlinin değei kçtı? u, n & u, n d du e & u, ne di. Yni e, n, n d ^ u u h du olu. udu u c u m I udu 7 c m UYGULAMA ADIMI ulunu.. I sin. cos d ^ h integlinin değei kçtı? u sinπ du π.cosπ d du cos d & u & u I sin ( ). cos d u u du. I > c m H c m ÜNİTE. I sin ( cos ) sin d integlinin değei kçtı? u cos & u cos du cos( sin)d du sin d I sin ( cos ) sin d sin u du sin u du olu. cos sin & olduğundn & u cos I I c. sin m I sin cos d ulunu. csin. I d integlinin değei kçtı? u csin & u csin & u du d & u csin csin I d u u du u I ; k E ulunu., n. ( e e ) d integlinin değei kçtı?, n, n, n ^ e e h d ce e m I, n, n, n, n, n, n ce e m ce e m e ^e h c m 8 e e ulunu. 8 8. d cos integlinin değei kçtı? u tn & ctn u / & u d u du u & u sin, cos u u u u 77
ÜNİTE cos cos. k cos olduğundn cos. cos. olu. u d. du cos ( u )( u ) du olu. ( u ) Son integlde u tni dönüşümü pılıs du sec i di u & tn i & i u & tn i & i ve integl. sec idi sec idi I ( tn i) ( sec i) ulunu. e, n. d integlinde e t dönüşümü pılıs hngi, n integl elde edili? e t & d e t dt & e t & t e & e t e & t di. O hlde d sec i i.cos idi cos i. c mdi / i ; sinie c. 8 m k e t, n ^, ne h d t. e dt n t, ^, ne h t t f pedt integli elde edili. t UYGULAMA ADIMI d. integlinde cos dönüşümü pılıs hngi integl elde edili? cosα & cosα & d sinα dα & cos & olup d sin d sin d cos. cos cos. sin integli elde edili. 7. f() fonksionunun ve psisli noktlındki teğetleinin eğim çılı sısıl ve di. Bun göe, d cos ^f'( ) h f"( ) d integlinin değei kçtı? psisli noktsındki teğetinin eğim çısı ise f'( ) tn tü. psisli noktsındki teğetinin eğim çısı ise f'() tn tü. O hlde ^ f'( ) h. ^ f'( ) h ' d olduğundn u f'() & du f"() d ti. ['( )] u du u I f I 9^ h ^ h ^ h ulunu. Z, < ise ] 8. f ( ) [, < ise ], < ise \ fonksionu için fd ( )? f( ) d d ( ) d d I I I [ ( )]. ( ).( ) 8 dı. 78
. d integlini hesplınız. PEKİŞTİRME ADIMI. f() olmk üzee, f ( ) d integlini hesplınız. ÜNİTE. d integlini hesplınız.. f() olmk üzee, f ( ). df ^ ( ) h integlini hesplınız. 8 d. integlini hesplınız. e., nd ^, n h integlini hesplınız.,n 79
ÜNİTE, e n 7. d, n integlini hesplınız. e ^ h PEKİŞTİRME ADIMI d. integlini hesplınız. e e 8. cos d integlini hesplınız.. sin d integlini hesplınız. k 9. sin d integlini hesplınız.. d integlini hesplınız., n 8
KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK polü ile 8 doğusunun sınıldığı ölgenin lnı k iimke ise, "k" sısı kçtı? & ve & 'di. Bdn DÜZLEMSEL BÖLGELERİN ALANLARI. f: [, ] IR fonksionu için [, ] lığınd f() ise f() eğisi ve doğulı ile ekseni sınd kln düzlemsel ölgenin lnı f() A A f( ) d ti. ÜNİTE ( ), ulunu. S ( ) ; E I S ( 9 9 9). [, ] lığınd f() ise f() eğisi ve doğulı ve ekseni sınd kln düzlemsel ölgenin lnı A f( ) d ti. A S 9 8 k & 8k & k ulunu. iimke. f: [, ] IR fonksionu [, ] lığınd işet değiştiios, f() eğisi, ve doğulı ile ekseni tfındn sınılnn düzlemsel ölgelein f() A f() A A lnlı A, A, A ise A A A f( ) d ti. fd ( ) A A A tü. ETKİNLİK polü ile doğusu sınd kln ölgenin lnını ulunuz.. f() ve g() eğilei ile ve doğulının sınıldığı tlı ln A dielim. Tlı ölgede üst ucu g(), lt ucu f() eğilei üzeinde ulunn KL şeidini çizelim. KL şeidi kendine plel olk kdıılıp ölgei tdığınd üst ucu hep g() üzeinde, lt ucu hep f() üzeinde klıos ölgenin lnı A " g( ) f( ), d olu. K L g() f(). f(), g() eğilei ile ve doğulının sınıldığı ln A dielim. Tlı ölge içinde uçlı f(), g() eğilei üzeinde oln ve eksenine plel oln KL şeidini çizelim. Bu şeit kendisine plel olk kdııldığınd sol ucu hep f() eğisi üzeinde, sğ ucu hep g() eğisi üzeinde klıos tlı ln f() K L g() A " g( ) f( ), d di. 8
KAVRAMSAL ADIM ÜNİTE ETKİNLİK ve doğulı ile f() sin g() cos eğilei sınd kln lnı ulunuz. S ( sin cos ) d cos sin @ S f p f p S π ulunu. π g()cos f()sin ÖRNEK Şekilde polünün i pçsı çizilmişti. Tlı ln kç iimkedi? ÇÖZÜM Alnı ulunck ölgede eksenine plel i şeit çizelim. Bu şeit kendisine plel olk kdııldığınd üst ucu hep polü üzeinde, lt ucu d hep ( ekseni) üzeinde olu. O hlde tlı ln 7 A ^ h d c m 9 I ÖRNEK Şekilde veilenlee göe, tlı ln kç iimkedi? ÇÖZÜM iimkedi. e eğisi eksenini için e ' de kese. Tlı lnı iki pç ıısk. Aln c e dm c m ( üçgenin ln ) e I e e e e e iimkedi. ÖRNEK ETKİNLİK ve pollei sınd kln ölgenin lnını ulunuz. Şekilde veilenlee göe, tlı ln kç iimkedi? ÇÖZÜM Tlı lnı şekildeki gii A ve B die ikie ılım. K noktsının odintı olup A öl- gesinin lnı; c m. A iimke (muğun lnı) e e B d, n I, ne, n iimke olup tlı ln A e K(,) B e 9 A B iimkedi. 8
. eğisi ile doğusu sınd kln ölgenin lnı kç iimkedi? UYGULAMA ADIMI. f: IR IR, f() fonksionunun gfiği şekilde veilmişti. S iimke S iimke olduğun göe, S S f() ÜNİTE Tlı ln, ile, doğulı sınd kln ölge olduğundn Aln ( @ d ( ) d c m I iimkedi. I integlinin değei kçtı? Pçlı integl fomülü kullnılıs, u du d f. '( d ) dv f'()d v f() I uv. vdu. f. ( ) I fd ( ).f().f( ) S S I uv. vdu f. ( ) I fd ( ). Şekildeki tlı ln iimke ise kçtı?.f().f() S ( ).( ) S 8 olup I I I 8 olu.. Şekildeki tlı ln kç iimkedi? polünün simeti ekseni doğusu ( ekseni) olduğundn lnl simetikti. için ( ) olduğundn doğunun denklemi, di. O hlde ( ) ( ) @ d ( ) ( ) @ d ( ) d c mi c m & & 8 & di. & & A & B & Tlı ln AAOB ( & ) ^ hd. I f p c iimkedi. m 8