MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ DİNAMİK MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ

DİNAMİK MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ İÇİNDEKİLER. GİRİŞ - Konu, Hız ve İve - Newon Kanunları. MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ - Doğrusal Hareke - Düzlede Eğrisel Hareke - Bağıl Hareke (Öelenen Eksenlerde) - Birbirine Bağlı Maddesel Nokaların Harekei 3. MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ - Kuvve, Küle ve İve - İş ve Enerji - İpuls ve Moenu

DİNAMİK MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ 3 KİNETİK

DİNAMİK MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ İpuls ve Moenu

Dinaik Lineer ipuls ve lineer oenu v G ΣF G = v v v G v G Yörünge Maddesel Nokaların Kineiği 3.3. İpuls ve Moenu ΣF = a ΣF = v d( v ) = sb. ΣF = d G = v d G ΣF = d Lineer oenu ΣF = G d G ΣF = G = d ΣF d = d G Lineer ipuls ΔG = G G G + ΣF d = G Lineer ipuls-oenu denklei v + ΣF d = v F F = f() v + ΣF d = v F d F- grafiğinin alında kalan alan, herhangi bir kuvvein lineer ipulsu ΣF d G = v G = v

Dinaik Lineer oenuun korunuu Maddesel Nokaların Kineiği 3.3. İpuls ve Moenu Moenu korunur. ΣF d = ΔG = G G = G = G v = v G (sabi) v = v ΣF v = v İki addesel nokadan oluşan bir sise için ΣF = ΣF d = v = v ΣF d = G = G Sisein oenuu korunur. ΣF A B GA + G B = G A + G B A v A + B v B = A v A + B v B Alan << ΣF d = A v A + B v B = A v A + B v B A v A + B v B = A v A + B v B

Dinaik Behce Örnek Proble DAĞHAN 3/5 Maddesel Nokaların Kineiği Yaa olan - düzlei içinde hareke eden.4 kg lık addesel noka = anında şekilde göserilen hıza sahipir. -önündeki F = + 3 /4 kuvvei addesel nokaa = iken ugulanaa başlanışır. nin birii sanie iken F nin birii newondur. Maddesel nokanın, F ugulandıkan 4 sanie sonraki hızının şiddei v i ve hız vekörünün -ekseninin poziif arafı ile saa önüne ers önde apığı açı θ ı bulunuz. 3.3. İpuls ve Moenu 3 Çözü =.4 kg = v = 5 /s F = + 3 /4, s F, N F = F = ΣF ΣF = İsenenler: = 4 s anında v = v =? θ = θ =? v + ΣF d = v v + ΣF d = v v = v v = v (4/5) = 4 /s (sabi) v = 4 /s -doğrulusunda { oenu korunur v = v + v v = v = 8.6 /s v + ΣF d = v v + ( + 3 /4) d = v v = v (3/5) = 3 /s 4.4 ( 3) + ( + 3 /4 = (.4) v v = 7 /s F v 3 5 4 F F v θ v v v cosθ = v θ = 6.3 o Üsen görünüş

Dinaik Behce Örnek Proble DAĞHAN 3/6 Maddesel Nokaların Kineiği. kg küleli buz hokei opunun, hoke sopası ile vuruladan önceki hızı /s dir. Çarpışadan sonra op, şekilde göserilen önde 8 /s lik bir hız ile hareke eekedir. Eğer sopa ile op, birbirine.4 s süre ile eas eiş ise eas esnasında sopanın opa uguladığı F kuvveinin oralaa şiddeini hesaplaınız. Arıca F nin -ekseninin poziif arafı ile apığı β açısını bulunuz. 3.3. İpuls ve Moenu 4 Çözü =. kg = v = /s =.4 s v = 8 /s θ = o İsenenler: F =? (sabi) ' v ' + ΣF ' d = v ' o β v β v v ' + F ' d = v ' F ' = F Δ =.4 s Üsen görünüş ( v cosβ) + F Δ = [v cos( o β)] β ' F v ' + ΣF ' d = v ' v ' + ΣF ' d = v ' '-doğrulusunda v ' = v ' { oenu korunur. v sinβ = v sin( o β) sinβ = 8 (sin o cosβ sinβcos o ) anβ = 8 (sin o anβcos o ) β = o. ( cos o ) + F (.4) =. (8) cos( o o ) F = 48 N

Dinaik Behce Örnek Proble DAĞHAN 3/7 Maddesel Nokaların Kineiği Duraka olan kg lık bloğa ugulanan P kuvvei şekilde göserildiği gibi zaanla doğrusal olarak değişekedir. Blok ile aa olan üze arasındaki saik ve kineik sürüne kasaıları sırası ile.6 ve.4 ise bloğun = 4 s anındaki hızını bulunuz. 3.3. İpuls ve Moenu 5 = kg μ s =.6 μ k =.4 v = İsenenler: =? = 4 s anında v =? W μ k N N N = g P > μ s N olunca hareke başlar. P μ s N = 58.9 N Hareke başladıkan sonraki sürüne kuvvei: μ k N = 39. N W = g v + ΣF d = v + (N W) Δ = v Çözü 4 = 58.9 =.35 s F, N 58.9 39. ΣF, N 6.76 4 P ΣF = Moenu korunur. μ k N, s Moenuun değişee başladığı an 9.6 ΣF = 4 ΣF, s + 58.9 ΣF d = ( 39.) (4.35) ΣF d = 66. N s v + ΣF d = v v + ΣF d = v 66. = v v = 6.6 /s

Dinaik Behce Örnek Proble DAĞHAN 3/8 Maddesel Nokaların Kineiği Bir enis ouncusu elindeki rake ile enis opuna, op kendi örüngesinde ükseleke iken, vuruor. Topun çarpışadan heen önceki hızının şiddei v = 5 /s ve heen sonraki ise v = /s dir ve önleri şekildeki gibidir. 6 g küleli op, rake ile.5 s süre ile eas eiş ise rakein opa uguladığı kuvvein oralaa şiddei R i bulunuz. Arıca R nin aa doğrulu ile apığı açı β ı bulunuz. 3.3. İpuls ve Moenu 6 Çözü = 6 g Δ =.5 s v = 5 /s v = /s W = g R β W v v o o v + ΣF d = v (v sin o ) + (R W) Δ = (v sin o ).6 (5) sin o + [R.6 (9.8)] (.5) =.6 () sin o v + ΣF d = v R = 6.5 N İsenenler: R =? β =? ( v cos o ) + R Δ = (v cos o ).6 ( 5) cos o + R (.5) =.6 () cos o R = 4.5 N R = R + R R = 43 N R anβ = R β = 8.7 o

Dinaik Açısal ipuls ve açısal oenu θ θ r G = v Yörünge Maddesel Nokaların Kineiği 3.3. İpuls ve Moenu 7 Lineer oenuun bir nokaa göre oenine açısal oenu denir. H O = r v vekörel çarpı Açısal oenu r H O = r v sinθ d = r sinθ d O H O = v d H O H O = v d H O O ΣM O ΣF r Yörünge v ΣM O = r ΣF ΣF = a = v H O = r v + r v ΣM O = r v = v v + r v = v // v ΣMO = HO

Dinaik d H O ΣM O = H O = d ΣM O d = d H O Açısal ipuls ΔH O = H O H O H O + ΣM O d = H O Açısal ipuls-oenu denklei d d Maddesel Nokaların Kineiği 3.3. İpuls ve Moenu 8 ΣM O ΣF v O H O = v d H O = v d v Yörünge Hareke düzlede eğrisel hareke ise H O + ΣM O d = H O H Oz + ΣM Oz d = H Oz H O + ΣM O d = H O v d + ΣM O d = v d Açısal oenuun korunuu ΣM O d = H = H O O Düzlede eğrisel hareke apan iki addesel nokadan oluşan bir sise için Hareke düzlede eğrisel hareke ise A B H O = H O v d = v d v d = v d A v A d A + B v B d B = A v A d A + B v B d B

Dinaik Behce Örnek Proble DAĞHAN 3/9 Maddesel Nokaların Kineiği Külesi. kg olan bir addesel noka şekilde göserilen örünge üzerinde hareke eekedir ve A ve B konularında şekilde göserilen hızlara sahipir. Maddesel nokanın A dan B e kadar giesi için gerekli olan süre.5 sanie ise bu esnada addesel nokaa eki eden bileşke kuvve P nin O a göre oeninin oralaa değerini hesaplaınız. 3.3. İpuls ve Moenu 9 Çözü =. kg Δ =.5 s v = v A = 4 /s v = v B = 6 /s r = r A = 9 r = r B = 8 r A = r 3 o v 6 o A P = ΣF B v d r B = r Yörünge v d + ΣM O d = v d d İsenenler: H O = v d O ΣM O H O = v d v d + (ΣM O ) or Δ = v d (ΣM O ) or =? (sabi) d = r sin3 o d = r sin6 o (Σ M O ) or = 3. N

Dinaik Behce Örnek Proble DAĞHAN 3/ Maddesel Nokaların Kineiği İlk hızsız olarak harekee başlaan şekildeki sise, ipe ugulanan N luk T kuvveinin ekisi ile saniede 5 rev/in lik bir açısal hıza ulaşışır. i bulunuz. Sürünei ve 3 kg lık dör kürenin küleleri dışındaki büün küleleri ihal ediniz. 3.3. İpuls ve Moenu Çözü = 3 kg N = v = d = d = R = 4 r = T = N N = 5 rev/in v W N ω r O T ΣM O R O v R W H O = v d v v d + ΣM O d = v d v d + ΣM O d = v d T (r) Δ = 4 ( v R) İsenenler: W v W v = R ω ω = N (π/3) (.) = 4 (3) (.4) (5) (π/3) (.4) Δ = =? Karşılıklı ağırlıkların O nokasına göre oenleri daia birbirini göürür. = 5.8 s

Dinaik Behce Örnek Proble DAĞHAN 3/ Maddesel Nokaların Kineiği Külesi olan bir addesel noka ihal edilebilir sürüne ile aa bir üze üzerinde hareke eekedir. Maddesel noka şekilde görüldüğü gibi bir ucu O a akılış olan hafif bir aa bağlıdır. A konuundaki hızı v A = 4 /s olan addesel nokanın B konuundan geçerkenki hızı v B i bulunuz. 3.3. İpuls ve Moenu μ = v = v A = 4 /s r = r A = 35 r = r B = 3 H O = v d O H O = v d 54 o d d r = r A r = r B F a Çözü F a 65 o F a v B B 54o v A v A v d + ΣM O d = v d v d + ΣMO d = v d İsenenler: v = v B =? Üsen görünüş Açısal oenu v d = v d korunur. d = r sin54 o v d = r sin65 = v B = 5.4 /s o

Dinaik Behce Örnek Proble DAĞHAN 3/ Maddesel Nokaların Kineiği Dünanın bir udusuna eki eden çeki kuvveinin, dünanın erkezi O a göre oeni okur. Asal eksenleri şekildeki gibi olan belirli bir elipik örünge için bir udunun 39 k ükseklikeki P nokasındaki hızının şiddei 33 88 k/h ise udunun A ve B nokalarındaki hızlarının şiddelerini bulunuz. Dünanın arıçapı 637 k dir. 3.3. İpuls ve Moenu v P = 33 88 k/h v = v P v B B W' C Çözü İsenenler: v = v A =? v = v B =? v A A W' H O O W' H O v d + ΣM O d = v d v d + ΣM O d = v d Açısal oenu v d = v d korunur. v P P v P d P = v A d A d P = OP d P = 637 + 39 = 676 k d A = OA d A = (3 5) 676 = 79 k v P d P = v B d B d B = OC = 7 k v A = 96 k/h v B = 9 545 k/h

Dinaik Direk erkezi çarpışa Maddesel Nokaların Kineiği 3.3. İpuls ve Moenu 3 v A > v B G A = A v A A G B = B v B B { Çarpışadan heen önce, Çarpışa esnasında, iki addesel nokadan oluşan sisee eki eden dış kuvvelerin verdiği ipuls ihal edilerek: Çarpışa doğrulusu v A = v B = v G = ( A + B ) v A B { Çarpışa esnasında aksiu deforason Sisein oenuu korunur. G = G G A + G B = G A + G B G A + G B = G A + G B v A < v B A v A + B v B = A v A + B v B G A = A v A A G B = B v B B { Çarpışadan heen sonra, Üsen görünüş

{ { { Dinaik Çarpışa kasaısı Maddesel Nokaların Kineiği 3.3. İpuls ve Moenu 4 negaif araf v A > v B F d A A v A = v = v B F v A < v B F r B B poziif araf = = Deforaon periodu Resorason periodu { { A v A + F d d = A v B v B + F d d = B v A v + F r d = A v A B v + F r d = B v B A B A için: F r d v v A e = = v A v F d d v B v A e = v A v B Çarpışa kasaısı, e e = Kineik enerji kabı ok e = Kineik enerji kabı aksiu Ta elasik Ca ile ca B için: F r d v B v e = = v v B F d d çarpışa kasaısı uzaklaşa bağıl hızı e = aklaşa bağıl hızı Çelik ile çelik Kurşun ile kurşun Ta plasik Bağıl çarpışa hızı

Dinaik Eğik erkezi çarpışa v A = v A cosθ A v A = v A sinθ A Çarpışa doğrulusu Maddesel Nokaların Kineiği 3.3. İpuls ve Moenu 5 uzaklaşa bağıl hızı v B v A e = = v A = v A cosθ A aklaşa bağıl hızı v A v B v A = v A sinθ A v B = v B cosθ B v B = v B cosθ B v B = v B sinθ B θ A v A A v A θ A v B = v B sinθ B Çarpışadan sonra birlike hareke ederler ise: θ B v B B v B θ B Sisein oenuu korunur. A v A + B v B = ( A + B ) v Üsen görünüş A v A + B v B = ( A + B ) v F Çarpışa doğrulusu Çarpışadan sonra arı arı hareke ederler ise: Sisein oenuu korunur. A B F Üsen görünüş A v A + B v B = A v A + B v B A v A + B v B = A v A + B v B Her bir addesel nokanın oenuu çarpışa doğrulusuna dik doğruluda korunur. v A = v A v B = v B

Dinaik Behce Örnek Proble DAĞHAN 3/3 Maddesel Nokaların Kineiği Şekildeki arabalar birbirine dik doğruluda hareke ederken buzlu bir olun kavşağında çarpışışlardır. A arabasının külesi kg ve B arabasının külesi 6 kg dır. Arabalar çarpışıkan sonra şekilde göserilen önde birlike v hızı ile hareke eişlerdir. Eğer A arabasının çarpışa esnasındaki hızı 5 k/h ise B arabasının çarpışadan heen önceki hızını hesaplaınız. 3.3. İpuls ve Moenu 6 A = kg B = 6 kg 3 o v A = v B = v = v Çözü v A = 5 k/h v A = v B = v = v v B B A Sisein oenuu korunur. v A = v A Üsen görünüş Sisein oenuu korunur. A v A + B v B = ( A + B ) v A v A + B v B = ( A + B ) v (5) = (+ 6) v cos3 o İsenenler: v B = v B =? A v A + B v B = ( A + B ) v A v A + B v B = ( A + B ) v 6 v B = (+ 6) v sin3 o 6 v B (+ 6) v sin3 o = v B =.7 k/h (5) (+ 6) v cos3 o

Dinaik Behce Örnek Proble DAĞHAN 3/4 Maddesel Nokaların Kineiği İki özdeş hoke opu v A ve v B hızı ile hareke ederlerken şekildeki gibi çarpışışlardır. Çarpışa kasaısı e =.75 ise her bir opun çarpışadan sonraki hızının önünü ve şiddeini bulunuz. Arıca sisein kineik enerjisindeki kabın orijinal enerjie oranı n i hesaplaınız. 3.3. İpuls ve Moenu 7 Çözü A = B = v A = v A = 6 /s v B = v B = /s e =.75 θ A = 9 o v A v A = v A θ A A θ A θ B B 6 o θ B Üsen görünüş v B v B = v B Çarpışa doğrulusu uzaklaşa bağıl hızı e = aklaşa bağıl hızı v A + v B sinθ B.75 = 6 + sin6 o A = B = Sisein oenuu korunur. A v A + B v B = A v A + B v B v A + v B = v A + v B 6 sin6 o = v A + v B sinθ B 3 İsenenler: v A =? v B =? θ A =? θ B =? n =? Her bir addesel nokanın oenuu çarpışa doğrulusuna dik doğruluda korunur. v A = v A = θ A = 9 o v B = v B cos6 o = v B cosθ B T = v A + v B T = v A + v B, ve 3 çözülerek: v A = 6.83 /s v B = 6.5 /s θ B = 39.8 o T T n = T n =.345 n = % 34.5

Dinaik Behce Örnek Proble DAĞHAN 3/5 Maddesel Nokaların Kineiği A küresi, B küresi ile şekildeki gibi çarpışışır. Çarpışa kasaısı e =.5 ise çarpışadan heen sonra her bir kürenin hızının - ve -bileşenlerini bulunuz. Hareke - düzleinde sınırlandırılışır. 3.3. İpuls ve Moenu 8 A = kg B = kg v A = v A = 3 /s v B = v B = /s e =.5 θ A = 45 o θ B = 3 o İsenenler: v A =? v A =? v B =? v B =? θ A A v A = v A B v B = v B Üsen görünüş θ B o Çarpışa doğrulusu Sisein oenuu korunur. A v An + B v Bn = A v An + B v Bn Çözü Her bir addesel nokanın oenuu çarpışa doğrulusuna dik doğruluda korunur. v A = v A v B = v B n uzaklaşa bağıl hızı e = aklaşa bağıl hızı v Bn v An.5 = 3 cos45 o + cos3 o (3 cos45 o ) + ( cos3 o ) = v An + v Bn v An =. /s v Bn = 5.5 /s v A v An v Bn v B o v A = (. cos o +. sin o ) v A =.67 /s v A =. sin o +. cos o v A =.65 /s v B = 5.5 cos o + 6 sin o v B = 6.99 /s n 3 sin45 o = v A v A =. /s sin3 o = v B v B = 6 /s v B = 5.5 sin o 6 cos o v B = 3.84 /s

Dinaik Behce Örnek Proble DAĞHAN 3/6 Maddesel Nokaların Kineiği 3 kg lık A bloğu, şekilde göserilen 6 o lik pozisondan ilk hızsız olarak serbes bırakılış ve ardından kg lık B arabasına çarpışır. Eğer çarpışa kasaısı e =.7 ise B arabasının, C nokasından sonra ulaşabileceği aksiu uzaklık s i bulunuz. Sürüneleri ihal ediniz. 3.3. İpuls ve Moenu 9 Çözü A = 3 kg B = kg v B = e =.7 R =.8 R =.4 h A R v = 6 o A R v A = 4. /s v B = A B Çarpışa doğrulusu Sisein oenuu korunur. A v A + B v B = A v A + B v B 3 (4.) + = 3 v A + v B uzaklaşa bağıl hızı v v e = B v A v B v B = 5.355 /s A.7 = = aklaşa bağıl hızı v A v B 4. v İsenenler: s =? Enerji korunur: gh = v h = R R cos6 o v = 4. /s R 3 o v = R B 3 o h v = 5.355 /s s B Enerji korunur: v = gh h = R R cos3 o + s sin3 o s =.8