BOYU ANAİZİ- (IMENSIONA ANAYSIS Boyut nlizi deneysel ölçümlerde ğımlı ve ğımsız deney değişkenleri rsındki krmşık ifdeleri elirlemekte kullnıln ir yöntemdir. eneylerde ölçülen tüm fiziksel üyüklükler temel oyutlr insinden ifde edilir. emel oyutlr kütle, uzunluk, zmn, sıklık ve elektrik kımı olup unlr sırsıyl M,,, ve hrfleriyle gösterilir. Örneğin yoğunluk, kütle ve uzunluk insinden şğıdki şekilde ifde edileilir. M M emel mühendislik üyüklüklerinin temel oyutlr insinden ifdesi şğıdki tlod görülmektedir. Fiziksel Büyüklük Semol Boyut Uzunluk Kütle M Zmn t Hız - İvme - Aln S Him Yoğunluk M - Kuvvet F M - Bsınç p M - - iskozite M - - Kinemtik viskozite - Pürüzlülük ε Grdyn, iverjns, Curl,, - Zmn göre türev, t Açı ple opertörü - Yüzey gerilmesi M - erml verim M - - Enerji /, gz - Açısl hız - Himsel dei Q - Kütlesel dei m M - Moment, tork M - Sıklık İş W M - Güç P M -
Örnek. Aşğıdki üyüklüklerden hngileri oyutsuzdur 45 oyutsuz Sin (45 oyutsuz Exp (5 oyutsuz 6.5 oyutsuz og (. oyutsuz Frekns - Aln x Him 5.5 x Him Örnek. Aşğıdki üyüklüklerde k nın oyutu ne olmlıdır? Sin (kx - kx - Cot (kx /R - Örnek. Aşğıdki denklemler için oyut kontrolü ypın. x x t t =+ - +.5 - = p gh M (M ( M M / -/ Örnek 4. Nvier-Stokes denkleminde her terimin ynı oyut ship olduğunu gösterin t ( ( ν p M g ( ( ( (M ( ( t p g ν
Bukinghm Pi eoremi- eoremi Bu teorem ir deneyde ölçülen ğımlı ve ğımsız deney değişkenleri rsınd uygun ifdeler geliştirmeyi sğlr. Örneğin ir gemi model deneyinde ölçülen gemi direni (ğımlı değişken ile model hızı, model oyu, suyun yoğunluğu, suyun viskozitesi gii ğımsız değişkenler rsınd ir ifde ulmk üzere u teoremden yrrlnılilir. Bukinghm teoreminde verilen prolem için elirlenmesi gereken oyutsuz prmetreler rsındki ğıntı şu şekildedir: f (,, nk terimleri oyutsuz prmetreleri göstermektedir. n prolemdeki toplm değişken syısı, k kullnıln temel oyut syısıdır. Bu teorem şğıdki dımlr izlenerek uygulnır:.dım: Prolemdeki ğımlı ve ğımsız değişkenlerin (n ve unlrın oyutlrının elirlenmesi..dım: emel oyut syısının (k elirlenmesi.dım: İlk oyutsuz ornın elirlenmesi için k det ğımsız değişkenin seçilmesi 4.dım:Geriye kln n-k det ğımsız değişken için gerekli oyutsuz,, ornlrın elirlenmesi (C ktsyısını oluşturn oyutsuz ornlr ( n k Örnek 5 : Yty oru içindeki kış Yty ir oru içindeki kışknın irim uzunluk şın sınç kyını (p ineleyelim ve sınç kyı için oyutsuz ir ifde çıkrlım Çözüm: Bsınç kyı oru çpı (, orunun pürüzlülüğü (, kışknın ortlm kış hızı (, ve kışkn vizkositesi ( ve yoğunluğun ( ğlı olktır. Yni teoremi şğıdki dımlrl uygulnktır: p f,,,,. n=6 (toplm değişken syısı eğişkenlerin oyutlrı ştki tlodn şğıdki gii elirleneilir: p ( M M ε M M
. Görüldüğü gii sdee üç det temel oyut (M,, ulunmktdır. Bu durumd k= olktır. Bukinghm Pi teoremine göre (n-k=6- üç det oyutsuz ktsyı elirleneektir., (, ( f f k n. Üç ğımsız değişken seçilmesi gerekmektedir. Bu değişkenlerin olildiğine çeşitli oyutlrı içerenlerden seçilmesi yrrlı olktır. Bu örnekte, ve seçileilir. 4. Bu şm gerekli oyutsuz ornlrın geliştirilmesidir. İlk oyutsuz ornın elirlenmesi; oyutsuz ir orn olduğundn M,, oyutlrının üsleri sıfır olktır. M ( (M ( (M p p M,, üsleri olk şekilde,, ktsyılrı elirleneilir. ( Burdn oyutsuz ir ornı: C p p C ktsyısını oluşturn diğer oyutsuz ktsyılrın elirlenmesi için geriye kln kullnılmmış ğımsız değişkenler kullnılır. İkini oyutsuz ornın elirlenmesi: Pürüzlülük için şğıdki ifde yzılilir M ( (M (( ε
Üçünü oyutsuz ornın elirlenmesi: Yoğunluk için şğıdki ifde yzılilir (M ( (M ( M Burdn Böylee Bu oyutsuz orn Reynolds syısıdır. Bukinghm Pi teoremine göre f, ( p,, olduğun göre p f ε, urdn sınç kyı için gerekli ifdeyi çekeiliriz. ε p f, C C ktsyısı Reynolds ktsyısı ve pürüzlülüğün fonksiyonudur.
Örnek 6 : Suy ırkıln küre çpınd ve yoğunluğu ( S oln mlzemeden ypılmış içi dolu ir küre yoğunluğu ( ve vizkositesi ( oln ir sıvının içine ırkılmkt ve hızıyl ttığı gözlemlenmektedir. Kürenin tış hızı için oyutsuz ir ifde çıkrtın. Çözüm: Kürenin tış hızı kürenin çpın, iml edildiği mlzemenin yoğunluğun, içine ırkıldığı sıvının yoğunluğu ve viskozitesine ve yerçekimi ivmesine ğlı olktır. f teoremi şğıdki dımlrl uygulnktır:, S,,,g. Bğımsız değişken oyutlrı tlodn şğıdki gii elirleneilir: n=6 S M M g M. Görüldüğü gii sdee üç det temel oyut (M,, ulunmktdır. Bu durumd k= olktır. Bukinghm Pi teoremine göre f (, nk f (,. Üç ğımsız değişken seçilmesi gerekmektedir. Bu değişkenlerin olildiğine frklı oyutlrı içerenlerden seçilmesi yrrlı olktır. Bu örnekte,, ve g seçileilir. 4. Gerekli oyutsuz ornlrın geliştirilmesi g ( (M ( ( M M,, üsleri olk şekilde,, elirleneilir. Burdn C
C ktsyısını oluşturn diğer oyutsuz ktsyılrın elirlenmesi için geriye kln kullnılmmış ğımsız değişkenler kullnılır. S g (M (M ( ( M = -, =, = S Geriye kln tek ğımsız değişken viskozite diğerleri insinden ele lınilir. g (M (M ( ( M = -, = -/ = -/ Böylee sıvı içinde tmkt oln içi dolu kürenin hızı şğıdki gii iki oyutsuz ifde insinden formüle edileilir. S f, S f,