Basitleştirilmiş Kalman Filtresi ile Titreşimli Ortamda Sıvı Seviyesinin Ölçülmesi M. Ozan AKI Yrd.Doç Dr. Erdem UÇAR ABSTRACT: Bu çalışmada, sıvıların seviye ölçümünde dalgalanmalardan aynalı meydana gelen ölçme gürültüsünün alman filtresi ile öngörülebilir değerlere dönüştürülmesi amaçlanmıştır. Böylece, çalantılı ortamdan alınan gürültülü seviye verilerinin alman filtresi yardımıyla ullanılabilir ve stabilizasyonu yüse değerlere dönüştürmesi üzerine bir uygulama gerçeleştirilmiştir. Özellile hareetli ara ya da deniz taşıtlarında bulunan çeşitli sıvı tanları (yaıt, su, yağ, v.b.) hareet sırasında sıvı üzerine uygulanan uvvetler neticesinde dalgalanır ve çalantılara neden olur. Bu çalantılar, tan çeperlerine ve tabanına ani ve büyü uvvet darbeleri meydana getirir. Tan boyutlarına bağlı olara sıvının belirli seviyelerinde dalgalanma rezonansa girebilir. Bu durumda, çalalanma masimum düzeye ulaşır. Bu dalgalanmalar bazı durumlarda ço ciddi zararlar verebilir. Bu oşullara altında, tantai sıvının seviyesini ölçen sistemler çalışmayı sürdürme durumundadır. Anca, dalgalanmadan dolayı transdüserlerin üzerine etiyen uvvetler ölçüm değerlerinde ani sapmalara neden olurlar. Bu çalışmada, çalantılı ortamdan alınan gürültülü verilerin alman filtresi yardımıyla ullanılabilir ve stabilizasyonu yüse değerlere dönüştürmesi üzerine bir uygulama gerçeleştirilmiştir. Key words: liquid level measurement, alman filter, simplified alman filter, sloshing liquid, level monitor, liquid level monitor, sloshing liquid level. 1. Giriş Günlü hayatımızın birço alanında çeşitli sıvıları depolama için depo, yada diğer adıyla tanlar ullanırız. Burada bahsettiğimiz sıvı, içme yada ullanma amacıyla depolama istediğimiz su olabileceği gibi, alorifer azanı için fuel-oil, mazot yada öylerden toplanara depolanmış süt olabilir. Bu sıvı ayrıca bir yağ fabriasındai yağ dolu azanlar veya bir imalathanede asit dolu bir depo olabilir. Bu liste dahada uzatılabilir [7, 8]. Depolanan sıvı her ne olursa olsun, bunun mitarını her zaman bilme isteriz. Ne adar suyumuz aldı, fuel-oil bu ışı atlatmaya yetece mi?, ne adar süt toplanmış, bu benzin bizi daha ne adar götürür gibi sorular süreli alımızdadır. Günlü hayattai basit ölçümler çoğu zaman gözle görsel olara yapılır anca mitarın önemli olduğu yada mitarın süreli değiştiği dinami bir sistemde yada insansız bir sistemde bu mitarları ölçme için çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. Bir depodai sıvının mitarı genellile taban düzleminden sıvının yüzeyine olan uzunlu ölçüsü olara ölçülür. Eğer gereliyse bu yüseli bilgisi daha sonra olayca litre yada hacim birimine dönüştürülebilir. Ölçüm sisteminden herhangi seviye bilgisi elde etmenin birço yöntemi bulunmatadır. Şamandıralı ölçme sistemi en basit seviye transdüseridir. Bu yöntemde, sıvının yüzeyinde yüzebilen bir hacim vardır ve bu şamandıranın pozisyonu genellile açısal transdüserler yada doğrusal değişenli pozisyon algılayıcıları (LVDT) ile ölçülür. İçinde sıvı bulunan bir ap, abın iç çeperlerine ve tabanına bir basınç uygular. Bu basınç, sıvının ap içerisindei yüseliği ile doğru orantılıdır. Burada hareetle sıvı tanına monte edilen bir basınç transdüseri ile P = ρ gh+ atm (1) denleminden basınç ile seviye arasındai doğrusal ilişiden yararlanılabilir. Eğer metal, yani ileten bir sıvı tanına sahipse, bu tanı dev bir apasite olara düşünebiliriz ve bu tanın içerisine daldırılan bir ileten çubu ile tan yüzeyi arasında bir apasite oluşur. Bu apasite, dieletri madde olan sıvının seviyesi ile orantılı olara değişir. Böylece ölçülen apasite değerinden seviye haında çıarımlar elde edebiliriz. Diğer bir yöntem, sıvı yüzeyine sabit bir notadan gönderilen ultrasoni ses dalgalarının yansıma zamanını ölçmetir. Böylece sıvının yüzeyi referans notasına göre tespit edilebilir [1]. Bunların dışında daha az yaygın olan diğer başa yöntemlerde ullanılmatadır. Anca hangi yöntem ullanılıyor olursa olsun, sıvı yüzeyinde meydana gelen doğal veya uygulanan herhangi uvvet neticesinde meydana gelen dalgalanma ve çalalanmalar ölçüm değerlerini olumsuz etileyen gürültülere neden olurlar. Yerüre üzerine onumlandırılmış olan çoğu tanta bu etiler yoğun olmamasına arşın hareet halindei taşıtlarda bulunan sıvı tanlarında bu eti büyü ölçüde ölçüm değerlerini etilemetedir. Özellile ara ve deniz araçlarında bulunan çeşitli sıvı tanlarındai seviyenin ölçülmesinde aşılaşılan en büyü problemlerden biri, hareetten dolayı sıvıda meydana gelen dalgalanma ve çalantılardır. Eğer ölçme işlemi bir basınç sensörü ile yapılıyor ise, burada e olara sistemin eylemsizliğinden dolayı e gürültüler meydana gelecetir. Gerçe ölçüm değerinin çevresinde ani değişimler gösteren bu çalantı gürültüsünü sönümlemenin çeşitli yöntemleri bulunmatadır. Bu çalışmanın oda notası ise tam buradadır. Gürültülü bir seviye ölçümünden elde edilen verilerden anlamlı bir seviye bilgisi etmenin yöntemleri üzerinde bir çalışma yapılmıştır. Çalışma sonucunda gerçe ortamda modellenen bir su tanında yapay olara elde edilen dalgalanmalar ölçülere bu ölçüm değerlerinden alman filtresi ile öngörülebilir seviye bilgisi elde edilmeye çalışılmıştır [3].
2. Uygulama Modeli Uygulamada ullanılaca model te boyutlu olup, girdi olara sadece transdüserden alınan seviye bilgisi ullanılmatadır. Şeil 1Ölçme Sisteminin Blo Diagramı Bu seviye bilgisi, miroontrolör tabanlı bir arabirim artı üzerinden bilgisayar ile ounmatadır. Seviye transdüseri olara şamandıranın ucuna bağlanmış açısal bir potansiyometre ullanılmıştır. Resim 1 Arabirim artının görünümü Bu düzenlemenin yapısı basit olmala beraber çıış doğrusal olmayıp derinli; h= H L sinθ (2) Denlemi ile ifade edilir [1]. Burada h sıvı seviyesinin tabandan olan yüseliği, H tabandan açısal pozisyonlu transdüserein onumuna olan yüseli, L ise, açısal transdüser ile şamandıra arasındai olun uzunluğudur. Resim 2 Şamandıra olunun potansiyometreye bağlantısı Açısal transdüser, arabirim artı üzerindei analog-sayısal dönüştürücüye bağlanmıştır. Böylece elde edilen açı bilgisi sayısal değere dönüştürülere işlemeye hazır hale getirilmiştir. Arabirim artının diğer bir fonsiyonu ise transdüserden aldığı bu bilgiyi bilgisayara iletmetir. Bunun için ise basitçe RS232 haberleşme arabirimi ullanılmatadır. Arabirim artı, ayarlanan periyotlarda ölçüm yapara bu ölçüm değerlerini istendiğinde bilgisayara göndermele görevlidir. Böylece ham seviye bilgisini bilgisayara ulaştırmış oldu. 3. Kalman Filtresi Kalman filtresi, gürültülü ölçümlerden olasılılı tahmin (stochastic estimation) çıarımında bulunabilen ünlü ve yaygın bir ullanım alanına sahip matematisel bir araçtır. Rudolpf E. Kalman tarafından 19 yılında yayınlanmıştır. Kalman filtresinin en önemli özelliği, modellenen sistemin geçmiş, şimdii ve gelecetei durumlarını öngörebilir olmasıdır [3] 4. Ayrı-Zamanlı Kalman Filtresi Sayısal işaret işlemede yaygın bir şeilde ullanılan ayrı (discrete) alman fitresi, terarlamalı (recursive) işlemler yapan bir dizi matematisel denlemleri içerir. [3]. Öngörülen durum değişeni n boyutlu bir vetör n x R olma üzere durum denlemi x = Ax + Bu + w ve 1 1 1 n z R olma üzere ölçüm çıışı z = Hx + v (4) olara ifade edilir. Burada u ölçüm girişi, w proses gürültüsü ve v ölçme gürültüsünü temsil eder. indisi, zaman aralılarını göstermetedir. [3] 5. Geliştirilmiş Ayrı Zamanlı Kalman Filtresi Geliştirilmiş ayrı-zamanlı alman filtresi temelde ii denlem grubundan meydana gelmetedir. Zaman güncelleme denlemleri, geçmiş ölçümlerden elde edilen azanç ile yeni bir değer esitiriminde bulunur. Ölçüm güncelleme olara adlandırılabilece iinci denlem taımında ise, yeni gelen ölçüm değeriyle atsayılarda düzentme yapılır. Zaman Güncelleme (tahmin) denlemleri xˆ = f( xˆ, u,0) 1 1 P = AP A + WQ W T T 1 1 Ölçme güncelleme (düzeltme) denlemleri K = PH ( HPH + VRV ) T T T 1 xˆ xˆ = + K ( z hx ( ˆ,0)) P = ( I KH ) P Şelinde ifade edilir. (3) (5) (6) (7) (8) (9) Denlem (3) te durum zamanla değişmediğinden A = 1, herhangi ontrol girişi uygulanmayacağından u = 0,
Dalgalanma gürültüleri doğrudan ölçümle beraber geldiğinden H = 1 abul edilirse yeni denlem; x = x + w 1 Olacatır. denlem (3) ten ölçüm denlemi ise; z = x + v Olur. Böylece zaman güncelleme denlemleri; xˆ = xˆ 1 P = P + Q 1 Ve ölçüm güncelleme denlemleri ise; K = P ( P + R) K 1 P = P + R xˆ xˆ = + K ( z xˆ ) P = (1 K ) P (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) Bu denlemlerde Q proses, R ölçüm varyansı ve P ise tahmin hata ovaryansıdır. Geliştirilmiş ayrı zamanlı alman filtresi denlemlerinde, filtrenin davranış biçimini belirleyen ii parametre vardır. Proses varyansı Q, prosestei değişimlere aya uydurabilme yeteneği olara tanımlanabilir. Q değeri üçü alındığında sistem çalışmasını ararlılığa zorlar ve filtrelenmiş bileşen orjinal bileşenin hareet dinamiğinde meydana gelen değişilileri iyi taip edemez ve sapmalar gösterir anca buna arşın üst düzeyde stabilizasyon sağlar. Q değeri büyü alındığında ise orjinal hareettei değişimler yaından taip edilir anca stabilizayon performansı düşer. Optimum bir düzgünleştirme için Q değeri 0 ile 1 arasında tanımlanmalıdır [5]. Gerçete Q parametresi başlangıç değeri için 0 abul edilebilir anca sıfır olmayan ço üçü bir değerin verilmesi, filtrenin adaptasyonunda esneli sağlar [3]. Ölçüm varyanı R parametresi ise, ölçüm değerinin ağırlığını, yada diğer bir deyişle güvenirliğini belirler. R değeri üçü alındığında, ölçüm değerlerinin güvenilir olduğu abul edilir ve anlı ölçüm değerlerinin tahmin üzerindei ağırlığı artar. Dolayısıyla ölçüm değerinde meydana gelene anlı değişmeler yada gürültüler tahmin çıışına olayca yansır. Küçü R değerinde tahmin, ölçüm değerlerindei değişimlere daha çabu tepi verir [3],[5]. Diğer yandan büyü değerlili bir R parametresi ise, ölçüm değerlerinin güvenirliğinin düşü olduğunu ifade eder ve anlı ölçüm değerlerinin, tahmin üzerindei ağırlığı azalır. Bundan dolayı sistemin anlı değişimlere verdiği tepi yavaşlar. Anca sistemin stabilizasyonu yüselir ve daha ararlı çalışır [3],[5]. 6. Deneysel Uygulama Öncelile uygulama için bir bilgisayar yazılımı geliştirilmiştir. Bu yazılım, sahadan aldığı ham seviye bilgisini belirlenen zaman aralılarında aydedere her bir ölçüm için alman filtre çıışını hesaplar ve hem ham seviye hemde alman filtre çıışını grafisel olara erana çizer. Resim 3 Uygulama yazılımının eran görüntüsü Sıvı tanı olara 32 cm uzunluğunda, 21 cm genişliğinde ve 14 cm yüseliğinde didörtgen şele sahip PVC bir su tanı üzerinde gerçelenmiştir. Bu su tanı ölçülerine göre minimum seviye 1 cm ve masimum seviye 12 cm olara ele alındığında, f n 1 nπg nπhs = tanh 2π l l (17) Denlemine göre en düşü ve en yüse dalgalanma freansları 0.4885 Hz ve 1.42 Hz olmatadır [6]. Dolayısıyla 0.704 ile 2.047 saniye zaman aralığında meydana gelen değişimler dalgalanma osilasyonları olacağından bu osilasyonlar absorbe edilmelidir. Resim 4 Sıvı tanı ve arabirim artının genel görünümü Kalman filtresinin Q ve R parametrelerinin çeşitli değerleri için deneysel olara basama fonsiyonuna verdiği cevap ve oturma zamanı Tablo 1 de verilmiştir. Tablo 1 Çeşitli Q ve R parametreleri için alman filtresinin basama fonsiyonuna tepi zamanları # Q R T (sn) 1 0.0001 0.01 6.2 2 0.001 0.01 2.2 3 0.01 0.01 0.6 4 0.1 0.01 0.01 5 0.0001 0.0001 0.8 6 0.0001 0.001 1.8 7 0.0001 0.1 17.3 8 0.0001 1 49.1
Osilasyon freansının dışında, Q ve R parametrelerinin değeri belirleniren diat edilmesi gereen bir diğer husus, olası en yüse doldurma ve boşaltma debilerini göz önünde bulundurma olmalıdır. Zira tantai seviyenin değişim hızı, doldurma yada boşaltma debisini aşamaz. Anca bu çalışmadai deneyde, sıvı tanı stati olup herhangi doldurma/boşaltma meanizmasına sahip değildir. Bu nedenle sadece dalgalanmanın etisi incelenere çeşitli Q ve R parametreleri için değerler alınmıştır. Doldurma ve boşaltma durumları ile ilgili çalışma yapılmamıştır. 1 0 20 Şeil 5 Q=0.001 ve R=0.1 1 0 20 Şeil 2 Q=0.0001 ve R=0.001 20 0 20 Şeil 6 Q=0.001 ve R=0.3 1 0 20 Şeil 3 Q=0.0001 ve R=0.01 0 20 Şeil 7 Q=0.1 ve R=0.3 1 20 0 20 Şeil 4 Q=0.0001 ve R=0.1 0 20 Şeil 8 Q=0.00001 ve R=0.05
1 1 1 0 20 Şeil 9 Q=0.0001 ve R= 0.05 0 20 Şeil 10 Q=0.0001 ve R=0.5 0 20 Şeil 11 Q=0.0005 ve R=0.01 0 20 Şeil 12 Q=0.0005 ve R=0.01 Şeillerdei grafilerde süreli çizgiler ölçüm değerlerini temsil ederen esili çizgiler alman filtresinin çıış değerini göstermetedir. Grafiler incelendiğinde Q değerinin minimum ve R değerinin masimum olduğu Şeil 10 da, filtre çıışının stabilizasyonunun en düzgün olduğu durum gözlenmetedir. 7. Sonuçlar ve Tartışma Bu çalışma sonucunda, alman filtresinin, dalgalı ve çalantılı ortamlardai seviye ölçümü için olduça uygun ve ullanılabilir bir matematisel araç olduğu gözlemlenmiştir. Özellile hareetli araçlar tarafından taşınan sıvı tanlarındai seviye ölçümlerinde stabilitesi yüse sonuçlar elde edilebildiği gözlemlenmiştir. Te boyutlu matris vetörüne indirgendiğinde olduça basit denlem formları elde edilebildiğinden, özellile mirodenetleyici uygulamalarında ullanma mümündür. Ölçüm sistemine özgü matematisel model ya da durum denlemleri ullanılmadığından uygulama bağımsızdır ve taşınabilir özelliğe sahiptir. Diğer bir deyişle, seviye ölçümü için optimize edilmiş bir alman filtresi herhangi boyut ve hacimdei farlı tanlarda benzer davranış gösterecetir. Bu çalışmada he ne adar Q ve R parametrelerine deneysel olara sabit değerler atansa da, bu onudai çalışmanın bir sonrai adımı, tan boyutlarına bağlı olara bir denlem oluşturulara uygulamaya yöneli en uygun parametreleri belirleme çalışması yapılabilir. Sıvının vizozitesi, ya da yoğunluğu denlem sistemine dahil edilebilir. Daha ileri bir çalışma ise, Q ve R parametrelerinin sistem durumuna göre dinami olara değiştirilmesi olabilir. Böylece geretiği durumda tepi zamanı ısa, hızlı bir ouma yada geretiği zamanda stabilitesi yüse, ararlı değerler ounabilir. Örneğin, bir gemi durgun sularda gideren R değeri düşürülere tanlardai sıvı seviyesinin değişimi daha hızlı bir şeilde gözlenebilir. Anca fırtınalı bir bölgede tanlardai sıvı süreli osilasyon yapacağından R değeri yüseltilere seviye stabilizasyonu sağlanabilir. Bu çalışmada 32 cm uzunluğunda, 21 cm genişliğinde ve 14 cm yüseliğinde didörtgen şele sahip PVC bir su tanı ullanılmıştır. Benzer şeilde, bu çalışmanın gerçe uygulamada bir sıvı taşıyan tanere veya gemi tanlarındai ölçüm sistemlerine uyarlanabileceği düşünülebilir. Örneğin deniz araçlarında yaıt tanı göstergesi yada dengeleme tanlarınındai seviye ölçümü yada ara taşıtlarından tanerler için seviye ölçümünde ullanılabilir bir model olacağı düşünülmetedir. 8. Kaynaça [1] Parr E. A. Endüstriyel Kontrol El Kitabı, Transdüserler, MEB Yayınları, 1997. [2] Kuo B. C. Otomati Kontrol Sistemleri, Literatür 2005. [3] Welch G. ve Bishop G., An Introduction to the Kalman Filter University of North Carolina, 2006 [4] http://www.cs.unc.edu/~welch/alman/ [5] Güllü M. K., Yaman E., Ertür S. Bulanı Denetleç Uyumlaması Kullanılan Kalman Filtresi İle Görüntü Stabilizasyonu, Kocaeli Üniversitesi, İzmit. [6] T. Nasar, S. A. Sannasiraj, V. Sundar. Experimental Study of Sloshing Dynamics in a Barge Carrying Tan. Indian Institute of Technology Madras, India, 2007.
[7] S. Mitra, K.P. Sinhamahapatra. Slosh Dynamics of Liquid Filled Containers with Submerged Components using pressure-based finite element method. Department of Aerospace Engineering, IIT Kharagpur, West Bengal. [8] W. Rumold. Modelling and Simulation of Vehicles Carrying Liquid Cargo. Institute B of Mechanics, University of Stuttgart, Germany 2000.