Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 04006/:0 MUKAVEMET GİRİŞ - Mekanik Tanımı - Elastisite - İdeal Kavramlar (elastik cisim- homogen- izotrop- hooke asası) İÇ KUVVETLER ve NORMAL KUVVET HALİ - Normal Gerilme - Kama Gerilmesi - Boutlandırma KESİT TESİRLERİ DİYAGRAMLARI (Basit Mukavemet Halleri) - Kesit tesirleri - Yaılı ük, kesme kuvveti, eğilme momenti arasındaki bağıntılar 4 MUKAVEMETİN TEMEL KAVRAMLARI -Tek eksenli Gerilme Hali - İki Eksenli Gerilme Hali -Üç Eksenli Gerilme Hali -Gerilme ve Şekil Değiştirme İlişkisi 5 BURULMA 6 ATALET MOMENTLERİ 7 EĞİLME 8 KESMELİ EĞİLME 9 ELASTİK EĞRİ ve EĞİM -Mohr Metodu (Moment Alan) - Konsol Kiriş Yöntemi 0 NORMAL KUVVET ve EĞİLME EĞİLMELİ BURKULMA ENERJİ YÖNTEMLER -Virtüel İş İlkesi []
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 04006/:0 GİRİŞ Mukavemet; Kuvvetlerin tesiri altında medana gelen şekil değişikliği, kuvvetlerin etkisi kalktıktan sonra kabolan, ani; eski şeklini alan elastik cisimlerin mekaniğidir Teknik alanda kullanılan malzemelerin çeşitli üklere daanması için gerekli hesap esaslarını inceler Bir mühendisin vazifelerinden en mühimi elemanın (malzemenin) bütün kullanma şartlarını göz önüne alarak apı ve makine elemanlarının boutlarını hesaplamak olduğuna göre; bu boutları hesaplarken iki şartı göz önünde tutmak zorundadır a) Mukavim olma şartı Yani elemanın boutlarını o şekilde tain edecektir ki, eleman kendisine tesir eden dış kuvvetlere mukavemet etsin O halde bu şart elemanın kesitinin et kalınlığının fazla olmasına sebep olur b) Ekonomi şartı Yani elemanın ucuza mal edilmesidir Bu şartta elemanın et kalınlığının daha az olmasıla daha az malzeme kullanılır Mühendis bu iki zıt şartın en ugun çözümünü arar Mukavemet bilgisi matematikten ve malzeme bilgisinden çok ararlanır Denelere önem verir Bazı kabuller neticesinde bulunan formüllrin dene sonuçlarına ugun olup olmadığına bakılır Sonuç olarak; Mukavemet cisimlerin (malzemenin) kesitlerinde medana gelen iç kuvvetlerin elastik cisimlerin kesitlerinde nasıl dağıldıklarını, birim kesit alanına düşen kuvveti, ani gerilmei, elastik cisimlerin kuvvetler etkisi altında nasıl ve ne kadar şekil değiştirdiklerini (deformasonlarını uzama, kısalma, sehim, eğilme, burulma, burkulma) miktarını araştırır DIŞ KUVVET Bir cisme diğer cisimler tarafından apılan etkie dış kuvvet denir a) Doğrudan doğrua belli olanlar; (Kendi ağırlığı, üzerine üklenmiş ağırlıklar, diğer kuvvetler) b) İrtibatlardan gelenler (mesnet tepkileri) Cisimlerin diğer cisimlere bağlanmasından medana gelen Döşemenin kirişe Kirişin kolona Kolonun temele Temelin zemine Balkonun döşemee
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 04006/:0 İÇ KUVVET Bir cismin iki parçasının birbirine aptığı etkie de iç kuvvet denir Dış kuvvetlerin tesiri altındaki bir cisim şu zorlamalarla karşı karşıa kalmaktadır Normal kuvvet (çekme, basınç) Kesme kuvveti Eğilme momenti 4 Burulma momenti Burkulma momenti 5 Döndürme momenti [] Mekaniğin çeşitli önlerden sınıflandırılması mümkündür Eğer uğraştığı cismin fizik halini göz önüne alarak bir sınıflandırma aparsak, mekanik üç ana guruba arılır: Katı cisimlerin mekaniği; Sıvıların mekaniği; Gazların mekaniği Mekaniğin bu üç dalı da mühendisliğin çeşitli kollarında arı arı önem taşır Katı cisimler, dış üklerin etkisi ile az vea çok şekillerini degiştirirler Teknik problemlerin pek çoğunda bu şekil değiştirmeler küçüktür Şekil değiştirmelerin tamamen ihmal edilebileceği pek çok problem vardır Bu nedenle ideal bir cisim olan rijit cisim tanımlanır: Rijit cisim, dış üklerin etkisi ile herhangi iki noktası arasındaki uzaklığı değişmeen cisimdir Bu ideal cismi konu alan mekaniğe rijit cisimler mekaniği adı verilir Katı cisimler kuvvetlerin etkimesi sonucunda şekillerini değiştirdikten sonra rijitleşmiş kabul edilir ve bunlara rijit cisimler mekaniğinin öntemleri anen ugulanır Bu kabul, katı cisim mekaniğinin daandığı ilkelerden bir tanesidir ve rijitleme adını alır Katı cisimlerin ükler altında şekil değiştirmesi, kullanılan konstrüksion malzemesinin cinsine bağlı olarak çeşitli özellikler gösterir Yumuşak çeliğin, fontun, betonun, kilin anı ük altındaki şekil değiştirmeleri farklıdır Bir çok durumlarda ükler kaldırıldıgı zaman cisim ilk haline geri döner Malzemenin bu davranışına elastiklik adı verilir Yükler kaldırıldıktan sonra cisim ilk haline dönmez ve şekil değiştirmiş olarak kalırsa bu davranışa da plastiklik denir Malzemenin pek çoğunda ükün bir sınırına kadar elastik davranış görülmektedir Plastik davranış gösteren ve göstermeen malzemeler vardır Çeşitli malzemenin özelliklerini
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 4 04006/:0 kapsaacak çok geniş bir mekanik geliştirmek imkânsız olduğundan bir ideal malzeme tanımlaıp onun mekaniğini kurmaktan başka çare oktur Elastik cisimler, elastoplastik- cisimler, viskoelastik cisimler, vb bu tip ideal cisimlerdir İşte bu ideal cisimlerin mekaniği, bu arada malzemenin pek çoğunun ortak özelliğini ansıtan elastik daimlerin mekaniği bunların içinde mühendis için en önemli bölümdür Bu kitabın konusunu da esas itibarile elastik cisimler teşkil edecektir Elastoplastik cisimlere de az miktarda er verilecektir Elastik cisimlerin mekaniğini konu alan bilim dalına elastisite teorisi denir Yalnız elastisite teorisinde inceleme olu değişiktir Orada problem, matematik açısından göz önüne alınır, denklemler kurulur ve çözüm olu aranır Bu teori pratik mühendislik hesapları için elverişli değildir Ancak, bir andan teoriden, bir andan denelerden elde edilen sonuçlara daanılarak varılan basit kabuller, pratik problemlerin çözümü için bizim inceleeceğimiz bir bilim dalı ortaa çıkarmıştır Her ne kadar buna mukavemet adı verilmekte ise de, cisimlerin mukavemetini başka oldan inceleen maleme bilgisi ile karıştırılabileceği için bu ad anlıştır Mukavemet erine katı cisimlerin teknik mekaniği vea elastomekanige giriş gibi bir ad verilmesi belki daha ugun olacaktır Katı cisimlerin teknik mekaniğinde incelenen problemlerden biri cismin dış ükler altındaki davranışıdır Dış üklerin etkisi ile cismin içinde iç kuvvetler medana gelir Bir konstrüksionda bu iç kuvvetlerin malzemenin daanma sınırını aşmaması gereklidir Bu da mühendisin vereceği ugun boutlarla sağlanır, işte bu dersin başlıca amacı, boutlandırmaı sağlamak üzere iç kuvvetlerin hesabıdır [] Mukavemet ve ilgili diğer bilim dalları Mukavemet ukarda anlatılan ödevini apabilmek için diğer birçok bilim dallarından fadalanmak zorundadır; bu arada rijit cisimler mekaniği başta gelir Fakat mukavemetin uğraştığı malzemenin, dış ük altındaki davranışı göz önünde tutularak, rijit cisim mekaniğinin, alnız ortamın özelliği ile ilgili olmaan teoremlerinden fadalanmak gerekeceğine dikkat etmelidir Bunlar arasında denge şartları başta gelir Mukavemet, denel esaslara daanan bir bilim dalıdır, incelediği cismin gerçek özelliklerini tanımak, bilmek zorundadır; bu sebeple malzeme deneme bilgisinden elde edilen sonuçlardan fadalanır Malzeme özellikleri arasında şekil değiştirme ile ilgili olan ve mekanik özellikler adını alanlar, mukavemet için ön plânda gelir Kısaca sölemek gerekirse, şekil değiştirme ve kuvvet mekanizmasıla uğraşan malzeme mekaniği vea modern adı ile reoloji ilgili bilim dalları arasında önemli er tutar 4
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 5 04006/:0 Mukavemeti, konusu itibarile, şekil değiştiren cisimler mekaniğine sokmuştuk Yalnız bir mekanik dalında, konu işlenirken, kullanılan metodun kesinlik derecesi farklı olabilir; böle bir durum, konuları anı olan, cisimlerin mukavemeti ile elastisite teorisinde vardır Pratik amacı dolaısıla, sırf konuu sadeleştirmek için, mukavemet bahsinde birçok kolalaştırıcı varsaımlar apılır, bundan ötürü varılan sonuçlar aklaşıktır Elastisite teorisi anı probleme daha kesin bir analiz metodu ugular; dolaısıla elde edilen çözüm diğerinden daha kesin olur Birçok halde, eter aklaşıklık elde ettiği için, sonuca daha hızla varan elemanter mukavemet metodları, mühendisler tarafından elastisite teorisine tercih edilir Fakat kesin teori, sonuçları kontrol bakımından, hiç bir zaman gözden uzakta tutulamaz, arıca eter aklaşıklığın sağlanamadığı hallerde, elastisite teorisine baş vurmaktan başka çare de oktur Mukavemetin fadalandığı dallardan biri denel elastisitedir Karışık birçok problemin çözümü, model ardımı ve ölçü metodlarıla bulunur [4] Mukavemetin kısımları Her mekanik dalında olduğu gibi burada da konuu iki büük parçaa aırmak kabildir Birine elasto-statik adı verilir ve denge problemlerini kapsar Diğeri ise apı elemanlarının ivmeli hareketlerinden doğan atalet kuvvetlerinin etkisini araştırır ve elastokinetik adını alır, Bu son kısım, özellikle makine mühendisliğini ilgilendiren problemlerle uğraşır Tarihçe Mukavemetin, çok gerilere gitmeen tarihine ait burada kısa bir bilgi ile etinmek istioruz Kirişlerin ilk eğilme problemi ile Galilei (654 7) uğraşmıştır, fakat o, kirişte çekme ve basınç gibi iki bölgenin bulunduğunu fark etmemiştir Kuvvet ve şekil değiştirme arasındaki ilk matematik bağıntı Robert Hooke (65 70) tarafından kuruldu Eğilmee çalışan kirişte iki çeşit normal gerilme bulacağını ilk fark edenler arasında Mariotte (680) ve Leibnİtz (684) den bahsetmek gerekir Bernoulli 694 de eğrilik ile moment arasındaki orantılılığı, ileri sürdü Anı bilgin kiriş kesitlerinin eğilmede düzlem kalması gibi önemli hipotezi 705 de ortaa attı Leonhard Euler (707 78) elastik eğri ve ona daanan elastik stabilite problemlerini 744 de çözdü Kiriş teorisini geliştiren ve çeşitli mühendislik problemlerinin çözüm metodlarını ortaa koan Navier (785 86) dir 5
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 6 04006/:0 Mukavemet ve Elastisite teorisinin gelişmesi için büük çabalar sarfeden diğer isimleri şöle sıralamak kabildir: Poisson (78 840), Cauch (789 857), de Saint-Venant (797 886), C Mawell (8 879), Kirechh off (88 907), Wöhler (89 94), Betti (8 89), O Mohr (85 98), A Castigliano (847 95) ve Engesser (848 89) [4] 6
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 7 04006/:0 MEKANİK: a) Katı cisimlerin mekaniği Akışkanlar mekaniği b) Rijit cisimler mekaniği Şekil değiştiren cisimler mekaniği c) Sürekli ortamlar mekaniği Parçacıklı (Kuantum) mekaniği d) Newton (vektörel) mekaniği Analitik (Lagrange) mekaniği İstatistik mekanik [] Cisimlerin mukavemeti esas itibarile, şekil değiştiren cisimlerin mekaniğidir; alnız güdülen amaç boutlandırma adı verilen belirli tip mühendislik problemlerini çözmek olduğu için, daha çok tatbikî mekanik kategorisine girer Mühendis, tasarlaacağı her çeşit apı elemanına bout verirken, gözönüne alacağı en önemli noktalardan biri de, bunların dış etkenlere daanmasını sağlamaktır İşte cisimlerin mukavemeti ve bazen de mukavemet adı verilen bu bilim dalı bununla ilgili esas ve metotları hazırlar Mühendis, tasarlaacağı her çeşit apı elemanına bout verirken, göz önünde bulundurmak zorunda olduğu önemli noktalardan biri de, bunların dış etkilere karşı daanmasını sağlamaktır İşte, cisimlerin mukavemeti ve bazen de sadece mukavemet adı ile anılan bilim dalı, bu olda gerekli esas ve metotları hazırlar Boutlandırma, daima birbirine zıt olan, şu iki şartı uuşturmağa çalışır Emniet şartı İktisat şartı Yapı, hiçbir zaman etkien dış kuvvetlere tam daanacak şekilde boutlandırılmaz, bunların geçici de olsa, muhtemel artışlarını ve apının emnieti ile ilgili diğer faktörleri de hesaba katmak gerekir; bütün bu noktalar, boutların arttırılmasını, diğer bir deimle apının ağır ve rijit olmasını icap ettirir -emniet düşüncesi- İktisat şartına gelince, lüzumsuz malzeme ve işçilik sarfından kaçınarak, apı elemanlarına eter bout vermei öngörür Bu iki esas şart anında, apıa ugun form vermek te hiçbir zaman ihmal edilmemelidir Eser doğru olduğu kadar güzel de olmalıdır; terim eğer erinde ise, bu üçüncü şarta da Estetik şart denilebilir 7
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 8 04006/:0 Mukavemet, her teknik problemde bütün şartları gerçekleştirecek optimum bir çözüm arar [4] Elastisite: Sürekli ortamlar mekaniği içinde katı cisimlerle ilgilenen mekaniktir Mukavemet olur Matematiksel kesinliği vardır Bir çok kabuller apılan aklaşık bir mekaniktir Ugulamalı a da teknik mekanikte denir [] Mukavemeti elde etmek için apılan basitleştirme ve ideal kavramlar: Ortamın apısı için kabul edilen ideal kavramlar Mukavemette kullanılan ideal kavramlar arasında tam elastik cisim ve tam plastik cisim sınırda olan iki cismi gösterir[] Şekil [] Elastik Cisim: Bir cisme dış ükleri uguladığımızda cisim şekil değiştirme apacaktır Dış ükler kalktığında cisim ci şekline dönüorsa buna elastik cisim denir Tam elastik özellik, cisimde şekil değişmenin dış etki ile birlikte geri dönmesi demektir Bunun zıddına, tam plastik cisim de de, dış tesirler ortadan kalktığı halde de aptıkları şekil değiştirme olduğu gibi kalır Yapıda kullanılan cisimler genel olarak, bu iki ideal durumun arasında bulunur; ani dış etkiler geri dönerken, şekil değiştirmelerin bir kısmı geri döner bir kısmı kalır Buna elastoplastik cisim denir Elastoplastik Cisim: Dış ükler kalktığında cisim ne son şeklinde kalıorsa ne de ilk şekline dönüorsa cisme elastoplastik cisim denir 8
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 9 04006/:0 Homogen: Eğer ele aldığımız cismin özellikleri her noktası için anı ise buna homogen cisim denir İzotrop: Eğer cismin özellikleri cismin içindeki doğrultua bağlı değilse buna izotrop cisim denir Mukavemet için önemli kavramlardan biri de, dış etkilerle şekil değiştirmeler arasıdaki bağıntı, şekil değiştirme kanunudur İlk basit kanun Robert Hooke tarafından verilmiştir Hooke Yasası: Kuvvet ne kadarsa uzama o kadardır Böle cisimlere hooke asasına uan cisimler denir Buna göre kuvvetle şekil değiştirme arasında lineer bir bağıntı olduğu kabul edilmektedir Şekil değiştirme kanunu lineer olan cisimlere kısaca Hooke Cismi adı verilir Şekil değiştirmenin kinematiğinde apılan basitleştirmeler ve ideal kavramlar: a) Rijitleştirme İlkesi: Denge denklemleri cismi şekli değiştirdikten sonra rijit hale geldiği kabul edilerek ugulanılır b) Aırma İlkesi: Cismin dış etkilere ugunluğunu anlamak için, bir düzlemle herhangi bir erinden kuramsal olarak kesilir Düzlemin aırdığı kısımlardan sadece bir parçasına denge denklemleri ugulanır Cismi iki parçaa aırıp, bir tarafı atarak kalan kısmın incelenmesine aırma prensibi adı verilir Denge denklemleri cismin bütünü için geçerli ise, her parçası içinde geçerlidir c) Eşdeğerlik İlkesi: Statikçe eşdeğer olan mukavemetçe eşdeğer olmaabilir Statik önden eşdeğer olan kuvvetler, şekil değiştirme önünden de eşdeğer değillerdir Örnek: İki arı ükleme statik önden eşit olduğu halde biri kirişte şekil değiştirme doğurur Diğerinde ise hiçbir şekil değişikliği olmaz Şekil??? Örnek: Rijit cisim mekaniğinde kuvvet, kaan bir vektör saıldığı halde, şekil değiştiren cisim mekaniğinde kuvvetin kamasına izin verilmez Şekil??? Bu kuvvetler çubuğu uzatmaa zorladığı halde, kuvvetler kadırılacak olursa, ani Şekil??? 9
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 0 04006/:0 Böle olursa şekil değiştirme tamamen ters bir hal alır Çubuk kısalır Saint Venant İleride görülecek mukavemetçe eşdeğerlilik d) Birinci Mertebe Teorisi: Rijitleştirme ilkesinin tersine mukavemette bağ kuvvetleri hesaplanırken cismin ilk hali ani ükleme apılmadan önceki durumu rijit olarak kabul edilir Yani statikte kullanılan bağ kuvvetleri bulma işlemleri anen ugulanacaktır Bir çok halde, cismin şekil değiştirmiş durumu ile ilk durumu arasındaki fark çok küçüktür Bu nedenle denge denklemleri azılırken gerekli boutlar şekil değiştirmemiş durum üzerinden alınır M a P a B L a B P L P a B L Şekil??? e) Süperpozison (lineer toplama) İlkesi: Bir elastik sistemin iki arı üklemesini gözönüne alalım Her iki üklemenin birden apıldığı durumda Şekil??? Anı A noktası f kadar er değiştirsin Eğer sistemin bu üç üklemesi arasında F f f 0
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 04006/:0 gibi bir bağıntı varsa, burada süperpozison kanunu geçerliktedir denir Süperpozison kanunun geçerli olması için, şekil ve erdeğiştirmelerin küçük ve cismin Hokke kanununa ugun bir şekil değiştirme apması gerekmektedir Mukavemetin amacı mühendislik apılarına dış ükler altında ugun bout vermektir
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 04006/:0 BÖLÜM İÇ KUVVETLER ve NORMAL KUVVET HALİ DIŞ KUVVET Cisme diğer cisimlerin apmış olduğu etki olarak tanımlanabilir Bu etkiler iki kısma arılabilir: a)doğrudan doğrua belli dış kuvvetler b) Bağ kuvvetleri (Reaksion, mesnet kuvvetleri) Birinci sınıftaki kuvvetler, bilinen verilmiş kuvvetlerdir İkincisi ise cisimlerin arasındaki bağdan doğar Bağın şekli ve denge fikri esas rolü onar İç kuvvet ise bir cismin çeşitli parçaları arasındaki etki ve tepkiden ibarettir Mukavvette bir cismin tüm durumu hakkında fikir edinebilmek için, cismi parçalara aırmak ve her parçaı sanki diğerinden bağımsız, arı bir cisim olarak düşünmek gerekir İç kuvvet, cismin parçalarını belirten aırma üzei ve kesit kavramından arı olarak düşünülemez [] Şekil??? Cisim dengededir Haali olarak keselim Sistem dengede olduğundan I ve II dengededir Kestiğimiz erde dengei sağlaabilmek için diğer kısma bir takım kuvvetler etkimelidir Bunların toplamına iç kuvvet denir Bir cisme diğer bir cisim tarafından apılan tesire dış kuvvet denir P gerilme Lim P F P 0 F i büük olarak çizelim
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 04006/:0 Sigma τ To P gerilme vektörünün kesitin normali üzerindeki bileşeni () harfile gösterilir ve normal gerilme denir P gerilme vektörünün kesit içindeki ve kesitin normaline dik bileşenine de kama gerilmesi denir ve τ (to) ile gösterilir Kesite andan bakalım: Şekil??? Kesit içinde birim alana gelen kuvvete gerilme denir τ ve nın İşaretlerinin Bulunması: () Normal gerilme kesitin normali önündese pozitif () ters önündese (-) negatif olur (τ) Kama gerilmesi kesitin normali saat ibresinin tersi önünde 90 atırıldığında kama gerilmesi ile anı önde geliorsa () ters önde geliorsa (-) olur Çubuk: Katı cisimlerin teknik mekaniğinde inceleme olu, cismin geometrisine akından bağlı olmaktadır Boutları bakımından özel olan cisimler için tamamen farklı bir inceleme olu izlenmektedir Bu tür özel cisimlerden biri çubuklar, öteki plâk ve kabuklardır Çubuklar, iki boutu üçüncü boutunun anında küçük olan cisimlerdir Bu küçüklük oranı genel olarak bir mertebe küçük olma şeklinde sölenebilir, ani /0 dur Çubukların iki öğesi vardır: ) Çubuk ekseni Bu genel olarak bir uza eğrisidir ) Çubuğun enine kesiti Kısaca kesit de denilen enine kesit kapalı bir alan parçasıdır[] Kesitin ağırlık merkezi çubuk eksenile üst üste düşer ve kesit düzlemi eksen eğrisine diktir (Şekil) Her en kesitinin ağırlık merkezinin geometrik erinden geçen eğrie çubuk ekseni denir
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 4 04006/:0 Çubuk eksenine dik olan düzlemlerle kesildiğinde medana gelen kesite dik kesiti denir[] Teknikte çubuklar, eksen eğrisinin şekline ve çubuklara gelen kuvvetlere göre çeşitli adlar almaktadır (Şek l-a) Eksenin şekline göre: Doğru eksenli çubuklar, etkien kuvvete göre kiriş, mil, şaft, kolon vb adlar alır Eğri eksenli çubuklar, kemer, halka gibi adlar alırlar En kesitinin durumuna göre: Sabit eksenli çubuklar Değişken kesitli çubuklar [] Şekil [] Bir boutu diğer iki boutu anında çok büük olan elemanlara çubuk denir Çubukların boutu boutu anında küçük olduğu için eksenlerile gösterilebilir Bir çubuğun belli olabilmesi için ekseninden başka en kesitinin ve bounun bilinmesi gerekir Çubuğun ekseni en kesitlerin ağırlık merkezinin üzerinde bulunduğu bir eğridir En kesit eksene dik kesit olarak tanımlanır Birden fazla çubuğun birbirine bağlanması ile medana gelen çubuklara çubuk sistemi denir Eğer bir sistemde çubuklar rijit bağlı ise bunlara, çerçeve adı verilmektedir Mafsalla bağlandığı kabul edilen ve ükleri bu bağ noktalarına etkien çubuk sistemlerine kafes sistemler denir Bunlar dışında olan çubuk sistemleri de vardır 4
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 5 04006/:0 Çubuğun kesiti çeşitli geometrik biçimlerde olabilir Bu biçime göre dikdörtgen, daire, halka vb kesitli çubuk adı verilir Çubuk kesiti çubuk ekseni bounca sabit vea değişken olur değişken kesitli çubuklarda da kesit değişimi ani vea sürekli olabilir Plak ve kabuklar, iki boutu üçüncüsünün anında büük olan cisimlerdir Bina döşemeleri, kubbeler, hazneler, kazanlar bu tip cisimlere birer örnektir Boutları önünden bu iki özel tipe umaan çubuklar için genel çözüm öntemlerinden ararlanmaktan başka çare oktur[] Çubuğa etkien dış ükler çubukta iç kuvvetler medana getirir Bu kuvvetleri görünür hale getirmek için çubuk haali iki parçaa arılır Her zaman kullanacağımız bu temel ilkee aırma ilkesi adı verilir [] Kuvvetlerin etkisinde bulunan bir çubuk gözönüne alalım Çubuğu bir kesit bounca ikie aıralım Parçalardan bir tanesi, kendisine etkien dış kuvvetlerin etkisi altında dengede olmaacaktır Öteki parçadan o parçaa gelen iç kuvvetleri de hesaba katarsak denge sağlanır Bu iç kuvvetler bütün kesit üzei üzerine aılmıştır Değerleri de genellikle kesit içinde noktadan noktaa değişiktir Bir noktadaki değeri bir limit işlemile tanımlanır: A alanına gelen kuvvet P ise P lim 0 A A p 5
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 6 04006/:0 Değerine gerilme denir Gerilmenin boutu K/L olduğuna göre kg/cm vea kg/mm gibi birimlerle ölçülür Kısaca gerilme birim alana gelen iç kuvvettir[] Düzlemsel Yükler İç Kuvvetlerin Hesabı Kesim Yöntemi Doğru eksenli bir çubuğa etkien bütün dış kuvvetlerin anı düzlemde bulunduğunu kabul edelim Kuvvetlerin düzlemini z düzlemi olarak alıoruz Çubuğun statikçe belirli şekilde mesnetlendiği kabul edildiğine göre bağ kuvvetleri statikçe bilinen ollarla hesaplanır ve bunlarda anı düzlemde bulunur İç kuvvetlerin hesabı önünden bağ kuvvetleri ile doğrudan doğrua belirli öteki dış kuvvetleri aırt etmee gerek oktur Biz daima bağ kuvvetlerinin hesaplanmış olduğunu kabul edecek ve dış kuvvetler önünden dengede olan bir çubuktan hareket edeceğiz Ondan sonra iç kuvvetlerin bulunmasını istediğimiz kesitten çubuğu iki parçaa aırırız Soldaki vea sağdaki parçaı bir serbest cisim olarak göz önüne alırız Kesitteki iç kuvvetler de hesaba katılmak şartıla göz önüne alınan parça dengede olmalıdır Düzlemde bulunan kuvvetler için üç denge şartı bize N, T, M bilinmeenlerini hesaplamak olanağını sağlar Çubuğu eteri kadar çok kesitten aırarak bütün çubuk bounca iç kuvvetler hesaplanır Bu, kesim öntemidir Kesim önteminin pratik ugulaması için önce iç kuvvetlerin işaretli olanlarını eniden gözden geçirelim Pozitif önleri düzlemsel hale indirgersek durum elde edilir İç kuvvetleri hesaplarken göz önüne alınan çubuk parçasına bilinmeen iç kuvvetleri pozitif önleri ile komalıdır Bölece hesap sonucunda pozitif çıkan büüklüklerin pozitif, negatif çıkanların negatif olduğu anlaşılmış olur Çubukta iç kuvvetler eksen bounca bütün noktalarda hesaplanır Sonra bunların grafikleri çizilir Bu grafikler çubuk üzerindeki her noktada N, T, M değerlerini (işaretli olarak) gösterir ve normal kuvvet diagramı, kesme kuvveti diagramı ve eğilme momenti diagramı adını alır Diagramların çizimi için çubuğu kaç noktada kesmek gerektiği akla gelen bir sorudur Çubuğa etkien tekil ükler; aılı üklerin başlangıç, bitim ve aılma kanununun değiştiği noktalar çubukta bölgeler aırır Her bölgede bir kesim apmak, iç kuvvetleri z koordinatının fonksionları olarak hesaplamak ve sonra o bölge içinde z i değiştirmek suretile kesim 6
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 7 04006/:0 saısını minimumda tutmak mümkün olur Tekil üklerin etkidiği noktalarda iç kuvvetlerde süreksizlikler olduğundan kesimi tam o noktalarda apmamalıdır Hesabın apılışı ve diagramların çizilişi örnek problemlerden izlenebilir Hesabın apılış adımlarını bir daha özetleelim: Bağ kuvvetleri hesaplanır Yükün değişmesine göre çubukta bölgeler arılır Her bir bölgede bir kesim apılır Çubuğun bir parçası göz önüne alınır Kesitteki üzee iç kuvvetler pozitif önlerde konur ve z nin fonksionu olarak hesaplanır z e bölge içinde değerler vererek iç kuvvet diagramları çizilir 7
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 8 04006/:0 NORMAL KUVVET Bir çubuk alnızca ekseni doğrultusundaki dış kuvvetlerin ani çekme a da basınç kuvvetlerinin etkisindese kesitlerde medana gelen iç kuvvete Normal Kuvvet, problemede normal kuvvet hali denir Normal kuvvetin işareti: Kesit aldığımızda parça sol tarafta kalıorsa ani ben parçaa sağdan bakıorsam Normal kuvvet sağa doğru ani normalin önünde olur () tersi (-) olur Normal kuvvet halinde gerilme: N F Gerilme N Normal Kuvvet F Alan Normal gerilme Şekil??? Bölece normal kuvvet halinde gerilme, normal kuvvetin kesit alanına bölünmesi ile elde edilmektedir Bu formülde N pozitif ise gerilmeler pozitif ani çekme, N negatif ise gerilmeler negatif ani basınç olarak çıkar Örnek a)çubuktaki nornal kuvveti? b) Çubuktaki gerilmei bulunuz? N?? N? ΣF0 50-N0? N50 kg N 50 kg / cm F 0 8
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 9 04006/:0 Örnek Çubuk bounca normal kuvvet diagramını çiziniz en büük normal gerilme çubuğun hangi bölgesinde medana gelir N ı 500 kg (Keserken daima en baş kısmı öneme alacağız) N II -800500-00 N II -00 N 500 F 50 kg ma 0 / 00 50 6 kg / 00 50 kg / P A 600 40 A cm cm π d A 48 mm 4 d mm cm 9
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 0 04006/:0 Örnek: Şekildeki sistem için em 40 N/ mm verilmektedir Bu çubuğun emnietle taşıabileceği ma P ükünü bulunuz? P ma? Çözüm: Σ F 0; A P P 0 A P P P 40 P 0 5kN A 50 P 40 4 kn 00 Yukarıdaki eleman 05 kn daanabildiği için P ma 05 kn olur Boutlandırma Emniet Gerilmesi Yalnız normal kuvvet etkisinde bulunan bir çubuk gözönüne alalım Gerek N, gerekse F çubuk bounca sabit vea değişken olabilir Her durumda da N F Formül bize çubuk üzerinde gerilmenin hesaplanmasına olanak sağlar N ve F nin her ikisininde sabit olduğu hallerde çubuk bounca sabittir; aksi halde çubuk üzerinde çeşitli erlerde çeşitli değerler alır Malzemeler en genel olarak iki farklı grupta toplanabilir: Sünek (düktil) malzeme: Bunlara ükün belirli bir sınırında malzemede çok büük şekil değiştirmeler medana gelir Buna akma denir Gevrek (frajil) malzeme: Bu tip malzemede akma olmaz Belirli bir gerilmesinde malzeme birdenbire kırılır Her iki hali bir araa toplaarak malzemeler için bir m sınır gerilmesi olduğunu söleebiliriz 0
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 04006/:0 Ancak bir konstrüksionda gerilmelerin m sınır gerilmesine kadar çıkması istenmez Bu nedenle m sınır gerilmesi, emniet katsaısı denilen, birden büük bir n katsaısına bölünür Bölece elde edilen gerilmee emniet gerilmesi denir Malzemelerin eteri kadar emnietli çalıştırılmaları aşağıdaki sebeblerden doğmaktadır Dış kuvvetler ekseria tam olarak belli değildir Taşııcı elemanın her erinde anı özellik bulunmaabilir İç kuvvetlerin hesabında apılan kabullerden dolaı sonuçlar aklaşıktır 4 İmalatlarda bir takım hatalar ortaa çıkabilir 5 Zamanla elemanın kesitinde zaıflama olabilir 6 elemanlar uzun zaman çalışması neticesinde değişiklik olmaktadır m Mukaese gerilmesi m n çelik 400 kg/cm n 5 alıoruz Prat ikte üç tip boutlandırma problemi söz konusu olur: Problem : Kesit taini orulmakta dolaısıla sınır gerilmelerinde Çubuktaki N bellidir; malzemenin ne olacağına karar verilmiştir, dolaısıla em de bilinmektedir Çubuğa verilecek kesitin değeri aranmaktadır N F N F, em Bu bize gerekli kesit alanını verir Problem : Gerilme kontrolü em sigma emniet Çubuktaki N ve F her erde bellidir; çubuk malzemesi de bellidir, dolaısıla em bilinmektedir Çubukta medana gelen gerilmenin em in altında olup olmadığının kontrolü istenmektedir N F, em Problem : Dış ükün hesabı (Normal kuvvet) F ve bilinmektedir Çubuğun ne kadar ük taşıacağı aranmaktadır Normal kuvvet em diagramı bilinmeen ük cinsinden çizilir Gerilmenin en fazla olduğu erdeki değer, em ile karşılaştırılarak taşınacak üke geçilir N em F
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 04006/:0 Örnek: Şekildeki çubuğun kesiti sabit ve malzemesinin emniet gerilmesi 400 kg/cm olduğuna göre gerekli kesit alanını bulunuz? N 6 t N -4 t N 4 t 6000 F 400 4 cm Örnek: Şekildeki sistemde AB çubuğu kesiti şekilde verilen borudan apılmıştır em 400 kg/cm olduğuna göre kesitin eterli olup olmadığını kontrol ediniz? ΣF 0
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 04006/:0 ΣF -5 S AB sin 0 0-5 -/ S AB S AB 50t R Büük çap r Küçük çap Kesitin alanı ( R r F π 4 π ( 0 8 ) F 8 7cm 4 F < em ) N 5000 770 kg / cm 87 770 < 400 (değildir taşıamaz) Örnek: Şekildeki çubuğun taşıabileceği P ükünü hesaplaınız? em 00 kg/cm N P (I Bölgedeki gerilme)
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 4 04006/:0 N F P 44 7 P N P (II Bölgedeki gerilme) N P F 00 P 00 7 em P 700 kg P 7 En büüğünü em e eşitlemeliiz Şekil Değiştirme Hooke Yasası Sabit normal kuvvet etkisinde bulunan bir çubuk gözönüne alalım[] Kuvvetin etkisi ile çubuğun bou bir miktar uzar Yeni bou L olsun Uzama miktarı L L -L dir Bu miktar çubuğun bou arttığı için, uzamaı daha ii karakterize etmek üzere birim boun uzaması vea uzama oranı die bir ε (Epsilon) büüklüğünü tanımlıoruz l l ε l l l ε l L εl l l l l ε > 0 çubuk uzar ε < 0 çubuk kısalır L L N EF Uzama miktarı ε, iki uzunluğun oranı olmak bakımından, boutsuz bir büüklüktür Çubuktaki normal kuvvet çekme erine basınç olursa çubukta uzama erie bo kısalması olacağından ε negatif olur Bölece kısalmaa negatif bo uzaması gözüle bakabiliriz O halde ε Epsilon (boutsuz saı) birim saılmaz 4
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 5 04006/:0 N P L Uzamadan sonraki bou L L -L (L boundaki bir çubuğun uzaması) N F Hooke asası: Uzama ile kuvvet arasındaki ilk bağıntı Hooke tarafından ifade edilmiştir (680 ılında) Hooke, uzama ile kuvvetin orantılı olduğunu şu cümle ile sölemiştir; Kuvvet ne kadarsa uzama o kadardır Hooke kanunu, birim alana gelen kuvvet, ani gerilme ile birim boun uzaması arasında bir orantılılık vardır şeklinde orumlaacağız ve aşağıdaki gibi azacağız: ε E Buna Hooke kanunu denir ε E denir ε nun a oranı sabittir E ile gösterilir Bu (E) saısına elastisite modülü ε boutsuz bir büüklük olduğuna göre E gerilme boutunda olacaktır E çoğunlukla kg/cm ile ölçülmektedir Artık normal kuvvet halinde ε ile N arasındaki bağıntı azılabilir: ε N EF Burada N ve F nin çubuk bounca değişken olabileceği unutulmamalıdır EF çarpımına uzama rijitliği denir Bu değer büüdükçe uzama azalır; rijitlik olunca ε 0 ani, cisim tam rijit olur ε ε E E Çubuk boundaki uzamaı hesaplamak için ε N EF formülünden ararlanırız Birim boun uzaması ε olduğuna göre dz boundaki kısmın uzaması ε dz olur Toplam boun uzaması ise bir integralle bulunur: δ ε dz N dz EF 0 0 Özel olarak N ve F sabit ise bu formül basitleşir ve 5
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 6 04006/:0 N l δ EF haline gelir Çubuğun bounda bir uzama olurken eninde de bir daralma medana gelir Genişlikte a kadar daralma olmuş ise enine daralma oranı, uzama oranına benzer olarak a ε a Bu; Buradaki ε şeklinde tanımlanır Bodaki uzama ile enine daralma arasında bir bağıntı vardır sabit υ ε ν (nü) e Poisson oranı denir Poisson oranıda malzemee bağlı bir katsaıdır Basınç etkisindeki bir cisimde hacmin artmıacağı düşüncesi ile Poisson oranının 0 < ν < 05 olması gerektiği çıkar Örnek Çubuğun apıldığı malzemenin elastisite modülü E 0 6 kg/cm dir Toplam uzamaı bulunuz? 400060 400000 400050 L 6 6 6 00 00 500 L 004 0060 00 L 0096 cm İç basınç etkisindeki ince halkalar (Kazanlar) İçeriden düzgün bir p (kg/m) aılı ükü etkisinde bulunan bir halka gözönüne alalım Böle bir halkanın kesitinde alnız normal kuvvet medana gelir Bu normal kuvveti hesaplamak için halkaı bir çap bounca iki parçaa aıralım Düşe denge denklemi 6
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 7 04006/:0 π p R sinϕ ϕ N d 0 N p R olarak elde edilir PR N N RP P İç basınç R Yarıçap Halkanın kesit alanı F ise gerilme N R P F F t Yan kesit alanı ε N EF R P t E 0 verir İntegrason apılırsa RP F Normal kuvvet etkisi ile halkanın birim boundaki uzama ε R P t E Birim bodaki uzama RP t P R R E t Yarı çaptaki değişme Bütün bodaki uzama ise, πrε olduğundan PR L π R ε π E t Çevredeki toplam boca uzama metresinin daanacağı kadarı olup metre ise ile çarpacağız) Örnek: Bir barajın dip savağında boru çapı 0 cm dir Barajda su üksekliği 80 m olduğuna göre borudaki iç basınç P 8 kg/cm olduğuna göre kullanılacak boru et kalınlığı ne kadar olmalıdır? Boruda R P em t 80 m su derinliğinde basınç P 8 kg/cm olduğuna göre 860 t 000 t 860 48cm 000 0 t 48 mm 7
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 8 04006/:0 Ugulama Şekildeki çubuktaki normal kuvvet dağılımını çiz ve en büük gerilmei bulunuz Toplam bo değişimini bulunuz? F 0 cm E 0 6 kg/cm -4 N 0 N 4-4 4 N 0 N 0-4 4 N 0 N - L L L L N L L EF N L EF N L EF 400000 00000 L 0 6 6 00 00 N F 4000 400 kg / cm 0 Problem AB rijit çubuğa ve nolu dairesel kesitli çubuklarla şekildeki gibi asılmıştır nolu çubuk çelik olup çapı 0 mm dir numaralı çubuk bakır olup çapı 5 mm dir P ükü ne kadar uzama etkimelidir ki şekil değiştirmeden sonra 8
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 9 04006/:0 AB çubuğu ata kalsın b) Çubuklardaki gerilmei bulunuz? d çelik 0 mm d bakır 5 mm ( em ) çelik 400 kg/cm ( em) ) 00 kg/cm bakır 6 E ç 0 kg/cm E b 0 6 kg/cm ve numaralı çubukların kesitlerinin eterli olup olmadığını kontrol ediniz (P ton) Problem Şekildeki koninin özgül ağırlığı γ, elastisite modülü E dir Kendi ağırlığı etkisile uzama miktarını bulunuz? Bilgi: L h 0 N d EF Problem 4 Kesit alanları 0 ve 40 cm olan çubuk ankastre olarak mesnetlenmiştir Her iki parçadaki gerilmeleri bulunuz? 9
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 0 04006/:0 R A R B 45t N- R A 0 N R A N45- R A 0 N R B -45 ve bölgedeki bo değişimlerini azıp sıfıra eşitlemeliiz (Çünkü ankastre çubuk uzamaz) L0 N L L EF N L EF R 0 50 R A0 B L 0 E 0 E40 40 RA - 5 RB 0 8 R A - R B 0 R A R B 45 9 R A 45 R A 5 t N F 5000 500kg / cm 0 40000 000kg / cm 40 0
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 04006/:0 Normal Kuvvet Altında Hiperstatik Problemler Hiperstatik problemler alnız denge denklemlerile çözülemeen denklemlerdir Bu tür problemlerde denge denklemleri ine geçerlidir İlave denklemler ise şekil değiştirmelerin geometrik denklemlerden elde edilir Şekil değiştirmelerin küçük olduğu ine apılan kabuller arasındadır Örnek: Üç çubuk şekildeki gibi bir D noktasında birleşip simetrik bir sistem medana getirmiştir Çubuk rijitlikleri verilmiştir P ükünden doğan çubuk kuvvetlerini hesaplaınız? ΣF 0 S Cos α S P 0 () δ S h E F Cosα S h δ E F δ Cosα δ S h E F Cosα S h Cosα E F () () ve () den S P - S Cos α S h E F Cosα ( P S Cosα ) h Cosα E F S h E F (P - S Cos α) h Cos α E F S h E F h S E F Cos α P h Cos α E F S (E F E F Cos α) P Cos α E F
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 04006/:0 EF S ( Cos α ) P Cos E F α S S EF EF Problem 6 P ( Cos α ) PCos α EF Cos α E F rijit levhanın arasında adet anı boda çubuk atelee ısmarlanmıştır Ancak çubuklar erine takılırken ortadakinin kadar kısa olduğu ortaa çıkmıştır Buna rağmen çubuk çekilerek erine takılmıştır Çubuklard a medana gelen kuvvetleri hesapla? Problem 7 Şekildeki rijit çubuk ve nolu çelik çubuklarla asılmıştır em 600 kg/cm olduğuna göre çubuk kesitlerini tain ediniz? Örnek: A C üzeindeki normal kuvvet, τ kama gerilmesini bulunuz? Gerilme durumunu Mohr dairesinde çiziniz? Örnek: Şekildeki cismin eğik üzeindeki gerilerli bulunuz ve Mohr dairesinde çiziniz?
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 04006/:0
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 4 04006/:0 SICAKLIK GERİLMELERİ Bir sistemin t 0 sıcaklığında bulunduğu bir ortamda t sıcaklığına değişen bir sıcaklık değişmesi durumunda medana gelen şekil değiştirme ε T α( T T0 ) E L T α( T T0 )L α Sıcaklık genleşme katsaısı E α( T T 0 ) ÖRNEK: E AB 00 6 N/mm E BC 60 6 N/mm Şekildeki çubuk rijit bir plak ile mesnete rijit bir şekilde bağlanmıştır Her bir çubuktaki gerilmeleri bulunuz? Çözüm: 0 FC FA 6 0 FCFA6 FC FA 6kN 4,8FCFA6 FA04 N FC4966 N AB L L ( ) ( ) BC uzama kıısalm F AB 5 F 0 BC 6 6 0 0 6 0 4 04 A 57N / mm FC4,8FA 4966 4 C 4N / mm 4
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 5 04006/:0 ÖRNEK: emn çelik 60N / mm emn al 80N / mm E al 00 6 N/mm E ç 80 6 N/mm Emnietle taşınacak P ükünü bulunuz? ÇÖZÜM: a ç a ç 6 a 4 ç 6 6 00 80 ç 8670 a ç 867060 ç 98 N/mm >80 bu çözüm ugun değil 80 8670 a a 96 N/mm <60 ugundur ΣM a 0 80966-P8 0 P 06 N ÖRNEK: t 0 mm levhanın kalınlığı E 0 5 Levhanın toplam uzamasını bulunuz? 5
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 6 04006/:0 Çözüm: 5 a a 500 0 P d E da 500 P d 500 0 δ δ E ( ) δ d L da t E ( 500 ) 0 5 0 P L ln E ( 500 ) 500 0 da 500 500 5 0 L 7, mm [( 500 500) ] 7,mm ÖRNEK: Şekildeki kompozit çubuğun sıcaklığı 9 o C e düşürüldüğünde elemanlardaki gerilmeleri bulunuz? E ç 0680 6 E b 040 6 α ç 70-6 α b 7640-6 Çözüm: T ç b α T T α L T T T [ L ( 0 )] ç [ ( 0 )] b T,70-6 0,597,640-6 0,59 T 4,580-6 m 6
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 7 04006/:0 PÇ 50 Pb 500 T 6 6 0680 600 040 900 50 500 4,580 P P 6 6 6 0680 600 040 900 700 700 ç, b 0, 7 600 900 7
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 8 04006/:0 İÇ KUVVETLER VE KESİT TESİRLERİNİN HESABI İç kuvvetlerle ilgili olarak kesit tesirlerinin hesabında R bütün dış tesirleri dengeleen herhangi bir erdeki kuvvet i temsil ettiğini düşünelim (Hatta R i ağırlık merkezine taşımak daha fadalı olur) R nin eksenlere düşen bileşenlerini kullandığımızda; R Bütün dış kuvvetleri dengeleen herhangi bir erdeki kuvvet M b Momentin (M) z ekseni üzerindeki bileşeni N ( Normal kuvvet) P T, T Kesme Kuvveti ( ve nin bileşenleri) V, V M b Burulma momenti T M, M Eğilme momenti (Momentin ve bileşenleri) M, M Kesit Tesirlerinin Hesabı a) Dış ükler ve çubuk anı bir düzlemin içindese b) Kısıtlama ok ani düzlemin dışında da olabilir a) Dış ükler ve çubuk anı bir düzlemin içindese Düzlemsel hal: Bütün kuvvetler (z) düzleminin içinde olsun N, T, M İşaretlerin İncelenmesi Seçilen eksen takımına göre sağ kesitte iç kuvvetler eksenlerin önünde ise () ters önünde ise (-) alınacaktır 8
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 9 04006/:0 Sol kesitte ise eksenlerin ters önünde olan iç kuvvetleri () anı önde olan iç kuvvetleri (-) almak gerekir Kesit tesirlerin hesabında iki hal söz konusudur a) Dış ükler ve çubuk anı bir düzlemin içindese (Düzlemsel hal) b) Kısıtlama ok, ani dış ükler ve çubuk belirli bir düzlemin dışında da olabilir (Uzasal hal) Kesit Tesirlerinin hesabı için izlenecek ollar: Kesim Yöntemi a) Verilen sistemin bağ kuvvetleri hesaplanır b) Yükün değişmesine göre çubukta bölgeler arılır Her bir bölgede bir kesim apılır Çubuğun göz önüne alınan parçası üzerine kesit tesirleri () işaretle erleştirilir c) Her bir parçada denge denklemleri azılarak kesit tesirlerinin değerleri (z) koordinatının fonksionu olarak bulunur d) Kesit tesirlerinde (z) koordinatına değerler vererek kesit tesirleri bir diagram üzerinde işaretlenir Örnek: Şekildeki AB çubuğunda normal kuvvet, kesme kuvveti ve eğilme momenti diagramını çiziniz? 9
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 40 04006/:0 Denge denklemleri kullanılarak çubuğun bağ kuvveleri: A 60 kg A 60 kg B 70 kg olarak bulunur Çubukta üç bölge vardır I Bölgede sol paçanın denge denkleminden; N 60 0 -T 60 0 M 60 z 0 dır Denklemler çözülürse N - 60 kg T 60 kg M 60z kgm bulunur 40
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 4 04006/:0 Bu değerlerin z ile değişimini gösteren diagramlar altta çizilmiştir II Bölge için iç kuvvetler; N 60 0 -T 60-50 0 M 60 z 50 ( z 050 ) 0 dır Buradan N - 60 kg T 0 kg M 0 z 5 kgm bulunur z 050 m için M 0 kgm z m için M 5 kgm bulunur III Bölge için bu bölgee ait iç kuvvetler; - N 0 T 70 0 - M 70 (50 z ) 0 denklemler çözülerek; N 0 T - 70 kg M -70 z 05 kgm elde edilir z 50 m için M 0 elde edilir Örnek Şekildeki konsol kirişin Eğilme momenti, Kesme kuvveti, Normal kuvvet Diagramlarını çiziniz? 4
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 4 04006/:0 ΣF 0 N 0 ΣM 0 ΣF 00 T 50 00z M 0 (z 00 için) T 00 kg M -0 kgm T 00 kg M 5 50 00z 0 (z 050 için) M -5 kgm Sağ parçaı aldığımız için sol kesit göze alınır N 0, T 00(-z) T 00(-z) S 00(-z) z M 00(-z)( z ) 0 M -00(-z) M 5 kgm z 050 ise T 00 kg dır 4
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 4 04006/:0 Örnek: Şekilde verilen moment ve kesme kuvveti diagramından ararlanarak kesme kuvveti ile moment arasındaki bağıntıı gösteriniz? C Kesitinde M C 07 tm dm d T Tg α d 0 m dm 07 tm 07 07t T5 0 4
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 44 04006/:0 BASİT KİRİŞTE YAYILI YÜKTEN OLUŞAN KESİT TESİRLERİ a) Mesnet Reaksionları, 0 ) / ( 0, 0 0, 0 0, l q A l q B B l l l q M B l q A A A b) Kesit Tesirleri (M, N, T) L de MNT değerinin bulunması Σ 0, N 0 0, 0 L M, 0 4 M q l A 8 8 4 8 4 l q M l q q l M l q l q l M 44
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 45 04006/:0 ÜÇGEN YÜKLEME ALTINDA BASİT KİRİŞTE KESİT TESİRLERİ a) Mesnet Reaksionları 6 0 0,, 0 0, 0 0, 0 0, l q A l l q l A M l q B l B l l q M B l q A A B A b) Kesit Tesirleri (M, N, T) 0 6 / 0 ) ( / 0, 0 0, l q l q T T l q A N ( ) ( )( ) 0 0 M l q A M ( ) l q ql M 6 6 45
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 46 04006/:0 c) Ma Momentin Bulunması T q l q q l 6 l l Kesme kuvvetinin sıfır olduğu erde moment ma değere ulaşacağından T ifadesinde l parantez içindeki değerde l olursa T sıfırdır Burdan çekilirse l 0577l bulunur M ma M ma q l 6 l l q l l l q l q l 00649l 9 5,6 l q l q l 6 8 KONSOL KİRİŞTE YAYILI YÜKTEN OLUŞAN KESİT TESİRLERİ a) Mesnet reaksionları 0, A 0 0, A - ql 0, A ql L M A 0, ql( ) M A 0 q L M A b) Kesit Tesirleri 0, N 0 0, T-q 0, T q 46
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 47 04006/:0 M A 0, q( ) M 0 q M L ql q L T M için, 8 L için T ql( ), M q L 9 M, N, T Diagramı ÜÇGEN YÜK ALTINDA KONSOL KİRİŞTE OLUŞAN KESİT TESİRLERİ a) Mesnet reaksionları 0, A 0 0, ql A 0, 47
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 48 04006/:0 ql A M A 0, q L M A q L L M A 0 b) Kesit Tesirleri 0, N 0 0 A, q L q ( )( ) L T q( ) T 0 q L q T L q L q( ) M 0 A ( ) M, q L q L q M ( ) 6L 0 ÖRNEK Şekildeki ükleme durumu verilen kirişin M, N, T diagramlarını çiziniz? a) Mesnet reaksionlarının bulunması 0, A 0 48
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 49 04006/:0 0, A 4 4,5 E 0, A 46 ton M A 0,5 4 6 4,5 9 0E E 69 6 9 ton, 0 b) Kesit Tesirleri (M, N, T) 0, N c 0 0, -4 T c 0 T c 4 ton M A 0, 4 M c 0 M c 4 tm Bu değerleri kiriş üzerinde işaretlersek, A B arasında kesit tesirleri 0, N 0 0, 4,6 X T 0 T -X 4,6 0< X < m X M A 0, 4,6 X - X ( ) M 0 -M X 4,6 X 0< X < m 49
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 50 04006/:0 M X 4,6X Burada X re değerler vermek suretile 0 ile metre arasındaki T ve M kesit tesirleri bulunur B C arasındaki kesit tesirleri 0, N 0 0, 4,6 T 0 T,6 ton önü değişecek <X <5 m M A 0, 4,6X (X,5) M 0 M (X,5) 4,6X M X 4,5 4,6X M -,6X 4,5 <X <5 M,6X 4,5 X e m ile 5 m arasında değerler verilerek T ve M kesit tesirleri bulunur C D arasında kesit tesirleri 0, N 0 0, 4,6 T 0 T -,4 ton 5<X <7 m M A 0, 4,6X (X,5) 4 4(X 5) M 0 4,6X X 4,5 4 4X 0 M 0 -,4X 8,5 - M 0 M,4 X 8,5 5< X <7 m 50
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 5 04006/:0 X e 5 m ile 7 m arasında değerler verilerek T ve M kesit tesirleri bulunur D E arasında kesit tesirleri 0, N 4 0 0 X, 4,6 4 - X - 4,6 7 - X T 4 -,4 - q X 4 q 7 ( X 7) 4 ( - ) 4 ( ) 4 7 ( - ) 4 7 T 4 0 T 4 0 7<X 4 <0 m M 0, 4,6 X 4 4 4 4 4 ( X,5 ) 4 4 ( X 5) ( X 7) ( X 7) M 0 4 4,6 X X 4 4,5 4 4 X 4 0 4 4 6 ( X 7) M 0 4,4 X 8,5 4 4 6 ( X 7) M 0 4 M 4,4 X 4 4 6 ( X 7) 8, 5 5
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 5 04006/:0 M 4 ( X 4 7),4 X 4 8, 5 6 7<X 4 <0 m X 4 de değerler vermek suretile T 4 ve M 4 kesit tesirleri bulunur ÖRNEK Şekilde çıkmalı basit kirişin B, C, D, E ve F kesitlerindeki kesit tesirlerini bulunuz ve M, N, T diagramlarını çiziniz? Mesnet reaksionlarının bulunması 0, B 0 0, (,5) B,5 (,5 ) G 0 5
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 5 04006/:0 M B 0, (,5) 0,5,50,75 (,5 ),0 4,5 7,5 G 0-0,75,5,06,5-7,5G 0 G 96 6 7,5,46 ton B,46 7,54 ton B nin solunda: 0, NB 0 0,5 TB, M B 0, -,5 0,5 MB 0 ( ) 0 T B -,5 ton M B -0,75 tm B nin sağında: 0, -,5 7,54 T B 0 T B 6,04 ton M B -0,75 tm C noktasında: 0, -,5 7,54 T C 0 T C,04 ton M C 0,,5 7,54,5 0,75 M C 0 M C 6,06 tm D nin solunda: 0,,5 7,54,5 TD 0 T D,54 ton M D 0,,5,5 7,54,5,5 M D 0 M D 9, tm D nin sağında D 0,,5 7,54,5 T T D -0,45 ton M D 9, tm D 0 5
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 54 04006/:0 E nin solunda: 0,,5 7,54,5 TE 0 T E -0,46 ton M E 0,,55 7,544,5,75,5,5,5 M E 0 M E 8,4 tm E nin sağında: 0,,5 7,54,5 TE 0 T E -,46 ton M E 8,4 tm F nin solunda: M F 0, F nin sağında:,56,5 7,546 5,5,54,5 M 0 M F,4 tm T F -,46 ton F 54
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 55 04006/:0 M F,4 5,4 tm T F -,46 ton M, N, T diagramlşarının çizimi: Momentin sıfır olduğu erin bulunması X X 0 0 0,65 X 6,04 X 0 0,75 X 0 0 0,65 ± 6,04 X X 0,75 0 X 0 0 0 0 0,4 0 ( 0,65) 4 ( 0,4) 0,444m Yaılı ük, Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti Arasındaki Bağıntılar Yaılı ük, kesme kuvveti ve eğilme momenti arasında türev bağıntıları vardır Bu bağıntıları elde etmek için düşe aılı ükle üklü bir çubuk gözönüne alalım 55
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 56 04006/:0 Çubuktan çıkarılan bir dz parçası şekilde daha büük gösterilmiştir Bu parçanın iki anında da iç kuvvetler vardır; bunlar şekilde işaretlenmiş ve dz kadar ilerleme sonucu iç kuvvetlerdeki ve aılı ükteki artımlar gösterilmiştir Çubuk parçasının dengede olduğunu ifade edelim: Düşe izdüşüm denklemi: T (T dt) (q dz) 0 dz e bölerek buradan dt dz q Elde edilir Moment denklemi dz -M (M dm) T dz (q dz) 0 dz e bölerek dm dz T q dz T den sonra gelen terim T nin anında ihmal edilir ve dm T dz elde edilir Bu iki önemli bağıntıdan ikincisi eğilme momentinin türevinin kesme kuvvetini verdiğini, birincisi ise kesme kuvvetinin türevinin aılı ükün negatif işaretlisini verdiğini ifade etmektedir[] 56
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 57 04006/:0 Çubuk üzerinde tek bir moment varsa; moment saat ibresinin önünde ise grafiğe ekleriz Moment saat ibresinin ters önünde ise çıkaracağız Eğer çubuk üzerinde tek bir kuvvet varsa tek ük aşağıa doğrusa kesme kuvvetine o kadar aşağıa iner Yukarı doğrusa eklenir Aşağı doğrusa çıkarılır Önemli Noktalar N ve T () olunca ukarıa M () olunca aşağıa azılır Diagramlar daima başından çizilmee başlanır Çubuk üzerinde tek bir moment varsa; moment saat ibresinin önünde ise grafiğe ekleriz Moment saat ibresinin ters önündese çıkaracağız 4 Eğer çubuk üzerinde tek bir kuvvet varsa; tek ük aşağı doğrusa kesme kuvveti de o kadar aşağı doğru iner: Yukarı doğrusa eklenir 5 Kesme kuvvetinin sıfır olduğu noktada moment ma a da min olur 6 T, düz (-) olunca M, eğik (\) olur T (\) eğik ise M parabol olur Örnek : Diagramları bildiğimizi kabul edelim 57
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 58 04006/:0 Not: T düz (-) olunca M (\) eğik olur T (\) ise M parabol olur Kesme kuvvetinin sıfır olduğu noktada moment ma a da min olur Örnek: Şekildeki çubuğun T ve M diagramlarını çiz Bağ kuvvetlerini hesapla II bölgede T -6-4 Momentte başlangıçta sabit mesnet var Moment sıfır olur I Bölgede T sabit olduğundan M doğrusal olacak II Bölgede parabol olacak M (- ) 0 58
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 59 04006/:0 M d z T 0 Ekstremum Ödev : T ve M diagramlarını çiz Ugulama M ve T, N? Önce bağlar bulunur 59
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 60 04006/:0 ΣF 0 A 0 ΣF 0 A 65 0 0 A 5 ton ΣM A 0 M A 6, 5 9 0 5 M A 05 ton I Bölge N 0 T 5 0 T 5 M 05 5 z M -05 5 z M 875 II Bölge N 0 5 65 - T 0 T 0 t M 05 65 (z-5) 0 M -05-65 (z-5) M 60
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 6 04006/:0 III Bölge N 0 ΣF 0 T - 0 0 T 0 t M 0 (5-z) 0 M -0 - (5-z) M 0 Örnek : 6
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 6 04006/:0 ΣF 0 A 0 ΣF 0 A B - 0 A B 4 ΣM A 0 A 8 t 4 B 6 0 6 B 6 B 6 t I Bölge N 0 T 0 T - t M z 0 M - z II Bölge 6
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 6 04006/:0 N 0 T -8 T 6 M - z 0 z 0 z için M - 4 tm z 8 için M - 4 tm z erine 5 koarız ( ) Bölece nereden geldiğini buluruz III Bölge N 0, T 0, M - 4 Örnek: Σ F 0 A 4 0 A 4 t Σ F 0 A 6-0 A 0 t Σ M A 0 4 6 M A M A - 44 t 6 8 4 6
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 64 04006/:0 I Bölge Σ F 0 4 N 0 N - 4 T 0 6 0 T 4 t 4 6 M A - M 4 z 6 -T z M 0 z 0 M - 6 z 4 M - 0 64
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 65 04006/:0 II Bölge Σ F 0 N - 4 T 6 0 0 T 4 6 M A - 4 0 Çubuklar Eğri Eksenli Σ Teğet 0 N P Sin ϕ 0 T P Cos ϕ 0 M P R Sin ϕ 0 65
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 66 04006/:0 Örnek: Çerçeveler ve Eğri Eksenli Çubuklar Çerçeveler, ugulamada çoğu zaman doğru eksenli çubukların birbirine rijit bağlanması ile teşkil edilen çerçevelerin de iç kuvvetlerinin hesabı söz konusu olur Bu takdirde her bir doğrusal kısım için bir ilerleme önü seçilir Bu ön her kısımda bir alt taraf belirtir Şek - de her parça için seçilen ilerleme önünün sonucu olarak çubukların altına kesikli çizgiler çizilmiştir İç kuvvetlerin işareti bakımından bunu apmak zorunludur Ondan sonra her bir parça arı bir çubukmuş gibi iç kuvvetler hesaplanır[] Eğri eksenli çubuklar Eğri eksenli düzlemsel çubuklarda iç kuvvetlerin tanımı doğru eksenlilerle anıdır Burada çubuk kesitinin çubuk eksenine dik olacağını unutmamak gerekir 66
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 67 04006/:0 Bu bakımdan çubuk kesitleri bir birine paralel olmaz Fakat iç kuvvetler kesitin normaline göre tanımlanırlar Uzasal Yükler Burulma Momenti [] [] Önce çubuğa etkien basit bir uzasal ük göz önüne alacağız Şekilde gösterilen bu ük çubuğunun ekseninden geçmeen bir çift kuvvet çiftidir Momenti P d olan bu kuvvet çifti, ankastre mesnette ine kendisine eşit zıt önlü bir kuvvet çifti ile dengelenir Kuvvet çiftleri kendi düzlemlerine dik bir vektörle gösterilebileceğinden, gerek etkien kuvvet çiftini, gerek ankastre uçtaki tepki çiftini şekilde birer vektörle gösterdik ve kuvvet çifti vektörünün kuvvet vektörlerinden arılması için üstlerine birer dönüş işareti koduk Şüphesiz çubuğa başka noktalarında da anı tipte kuvvet çiftleri etkiebilir 67
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 68 04006/:0 Çubuğun kesitinde medana gelen iç kuvveti bulmak için ine kesim öntemine başvurulabilir İki parçaa arılan çubuğun bir parçasını göz önüne alıp bu parçanın dengesi için gerekli iç kuvveti koalım Bu bize burulma momentini verir Bu halde kullanılan denge denklemi gerçekte z eksenine göre moment denklemidir, ancak bu denklem z doğrultusunda moment vektörlerinin vektörel izdüşüm dengesi olarak da düşünülebilir Etkien kuvvet çiftlerinin çok olması halinde tutulacak ol da anıdır Örneğin Şek -5 de gtösterilen milde bir A kesitindeki burulma momentini bulmak için, mil A dan kesilerek sol parça göz önüne alınmıştır Moment denge denkleminden M b 00-6000 M b 00 kgm Olarak bulunur Yapılan iş, normal kuvvet halindekine çok benzemektedir Eğer etkien ük kuvvet çifti değil de eksenden geçmeen bir tekil ük ise, bu ük eksene indirgenir Bölece eksene etkien bir tekil kuvvet ile bir kuvvet çifti elde edilir Tekil ük eksene etkidiğinden, daha önce öğrenildiği gibi, kesme kuvvet ve eğilme momenti diagramı çizilir Kuvvet çifti ise, şimdi öğrenildiği gibi, burulma momenti medana getirir Çerçeve ve eğri eksenli çubuklarda da çubuk düzlemine dik etkien kuvvetler burulma momenti medana getirir[] 68
Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 69 04006/:0 KİRİŞ HESAPLARI bh I Atalet momenti hb I bh W 6 hb W 6 M Eğilmee tepki gösteren iç kuvvetlerin momentleri M ma Dış kuvvetlerin oluşturduğu eğilmee tepki gösteren iç kuvvetlerin momentleri Q ma Dış kuvvetlerin oluşturduğu en büük kesme kuvveti (k) S,S Statik momenti M M ma ile kiriş dengededir Kiriş Kesitini Hesaplamada Kullanılan Formüller M ma W em a- Dış üklere göre kesit kontrolü b- Momente göre kesit seçimi M W ma em M ma W < em ( Kesit eterli) Eğilme gerilmesi kontrolü Q S T ma 4 b I τ τ em (kg/cm ) bh S 5 8 cm 6 f f 4 5 q l 84 E I l 700 l Kiriş açıklığı f ma (Kafes kirişlerde) 69