BÖÜ 6 İNEER PROGRAAA 6. GİRİŞ Hedef foksyou ve kısıtlyıılrı, tsrı değşkeler leer fortıd verle optzsyo proleler eer Progrl prole olrk dldırılır. Her e kdr çoğu ühedslk optzsyo proleler leer oly dekleler vsıtsıyl tılslr d, plstk ve lt lz g proleler leer olrk tılır. Ayrı, zı leer oly optzsyo proleler, leer progrl prolelere döüştürülerek çözü ypılır. Çoğulukl, fs, ekoo llrıd uygullrı ols le yukrıd verle edelerde dolyı ühedslk lıd kullı lı ulktdır. eer progrl (P) prole geel foru k şeklde verlelr: Sklr ford:... ),...,, ( 0 0 0,.. f ) ( T f s t K K K K (6.) trs forud: (6.) 0 0, Bu fdedek trs vektörler şğıd çık r şeklde verlştr. (6.3),,, 6-
P prole geel özellkler:. Hedef foksyou u ypılk optzsyo prole tpdedr.. Bütü kısıtlyıı foksyolrı eştlk kısıtlyıı tpdedr. 3. Bütü tsrı değşkeler poztftr. 4. 0 ollıdır. Bu şrt sğldığı durud kısıtlyıı - le çrpılır. Bu fort uyy leer optzsyo proleler şğıdk döüşü etotlrı yrdııyl P prolee çevrlrler. 6. STANDART İNEER PROGRAAA PROBEİNİN TANII Stdrt r leer progrl prole Eştlk kısıtlyıılı ve egtf oly tsrı değşkeler le r hedef foksyou ze edles olrk tılır. Ak pek çok leer progrl prole u stdrt tı uysı rğe tkp ede ölüde verle yötelerle stdrt fort döüştürülelr. 6.. eer Kısıtlyıılr Stdrt P prolelerde ylız eştlk kısıtlyıılrı uluduğud eştszlk kısıtlyıılrı egtf oly slk ve surplus değşkeler yrdııyl eştlk kısıtlyıılrı çevrlr. Eğer eştlksz kısıtlyıılrı tpde se egtf oly 0 slk değşke yrdııyl şğıdk g eştlk kısıtlyısıı çevrlr: s... s (6.4) Bu kısıtlı optzsyo prolelerde kullıl s slk değşke ezerdr. Ord s kullı see lve s 0 kısıtlyııd kçıktı. P prolelerde s kullıı prole oleer ypğıd sdee s kullılıp lve r kısıtlyıı prolee ekler. Bezer olrk eğer eştlksz kısıtlyıısı tpde se egtf oly r s >0 surplus değşke kısıtlyııd çıkrtılır. Y:... s (6.5) Slk ve surplus değşkeler P prolelere lve r yük getrrler çük u değşkelerde tsrı değşkeler g değerler test edleek leyeler olrk prolee lve edlr. 6-
6.. Sıırsız değşkeler Stdrt P prolelerde değşkeler 0 olk zoruddır. Bu rçok fzksel oly ç geçerl ol kısıtlyııdır. Öreğ; oyut, ğırlık, l g değşkeler poztf değer lk zoruddırlr fkt zı durulrd değşkeler poztflğ ve egtflğ üzerde herhg r sıırl olylr. Bu durud, değşke k egtf oly değşke frkı olrk yzıllr. Şöyle k, eğer şretde sıır oly r değşke se (6.6) olrk verlelr. Burd >0 ve - >0 dır. Bu fde optzsyo proledek tü foksyolr yzılır ve ye r fort elde edlr. Örek 6.: Aşğıd verle optzsyo prole stdrt P foru çevrz. f( ) 5 3 3 6 0, herhg r sıırl yok 6.3 P PROBEERİNİN ÖNEİ BAZI ÖZEİKERİ P proleler zı teel özellkler şğıd verlştr. P prole hedef foksyou ve kısıtlyıılrı leer olduğud fesle l kovekstr, dolyısıyl eğer r optu çözü elde edlyors u yı zd glol optudur. Eğer r çözü vrs u fesle lı sıırıd uluur. 6.3. P prolelerdek zı öel tılr P prolelerde kullıl zı öel tılr şğıd verlştr. 6.3.. TEPE VEYA UÇ NOKTA (VERTEX OR EXTREE POİNT): Koveks settek r oktdır ve u okt settek dğer k oktyı rleştre doğru üzerde uluz. Öreğ r çeer üzerdek oktlr vey r polgou uç oktlrı tepe verteks okt olrk dldırılır. 6-3
6.3.. FEASİBE ÇÖZÜ: Br P prolede şğıdk kısıtlyıılrı sğly herhg r çözü fesle çözü olrk dldırılır. 0 (6.7) Br P prole fesle çözüler r koveks set oluşturur ve u koveks set ekstre oktlrı teel fesle çözüdür. 6.3..3 TEE ÇÖZÜ (BASIC SOUTION): (-) kdr değşke değer sıfır trk elde edle çözüdür. Burd değşke syısı ve se kısıtlyıı foksyo syısıı gösterektedr. Sıfır t değşkelere teel oly değşkeler (os vrles), dğer değşkelere se teel değşke olrk dldırılır. Teel çözü syısı:! ( )!! (6.8) 6.3..4 ESAS (BASİS): Sıfır eştleeye değşkeler toplı der. 6.3..5 TEE FEASİBE ÇÖZÜ: Teel çözülerde elde edle souçlrd değşkeler egtf ol koşuluu sğly çözülere der. Örek 6.: Aşğıdk optzsyo prole tü teel çözüler ulup teel fesle çözüler elrleyz.. Z 4 5 4 6, 0 6-4
6.4 SIPEX ETODU Sple etodu P proleler çözüüde e fzl kullıl etottur. Teel pres; teel fesle çözüler hedef foksyou u ypk şeklde trktır. eer progrl d optu çözü ç şğıd elrtle k teore kullılır. Teore : Br leer progrl prole fesle çözüler, teel fesle çözüe krşılık gele ekstre oktlrı r koveks set oluşturur. Teore : Eğer P prole r fesle çözüe vrs u prole teel fesle çözüü de vrdır. Sple etodu geçede u etodu kullk ç gerekl zı lgler verleektr. 6.4. Col For (Kook (doğl) ç: Aşğıdk fort shp dekle tkıı kook ç olrk dldırılır:,,,,,,,,, (6.9) Bu deklede de e kdr ol değşkeler deklelerde ylız r kez uluur. Y sdee. deklede sdee. deklede uluktdır. trs fortıd kook dekle şğıdk g verlr: I ( ) ( ) Q( ) (6.0) I ( ) : ( ) -oyutlu r trs [,,, ] T K ( ) [ oyutlu vektör,, K, ] T - oyutlu vektör Q : ( ) le [,,, ] T K rsıdk değşkeler ktsyılrıı çere trs 6-5
6.4. Sple tlosu: Sple etodud kook çdek dekle tkıı r tlod verlr. Bu tlod kıstlyıı foksyolrı yısır hedef foksyou d çerr. Bu tlou geel göster: teel RHS 0 0 0 0 0 0,,,,,,,,, Örek 6.3: Aşğıdk optzsyo prole kook çde spleks tlosud gösterz. f 400 600 6 8 4 4 4, 0 6.4.3 Pvot Adıı: Sple etodud, teel fesle çözüler rsıd sstetk olrk r yprk optu değer uluur. Br teel fesle çözüde şlılrk hedef foksyou değer zlt dğer teel fesle çözüler rır. Bu se evut teel değşkeler teel oly değşkelerle değştrlerek elde edlr. Bu pvot dı le ypılır ve ye r kook dekle tkıı elde edlerek teel çözüler elde edlr. Örek 6.4: Aşğıd verle optzsyo proledek 3 ve 4teel değşkeler lrk prole kook ford yzıız ve ve 4 değştrerek ye r kook for elde edz. f 4 5 6-6
4 4, 0 6.4.4 Sple etoduu teel dılrı Sple etodud r teel çözüde şlır ve vrdk verteks oktlr hreket edlr. Bu hrekette feslty koruur ve hedef foksyou değer zltılır.bu se teel r değşke teel oly r değşke le değştrlerek elde edlr. Sple etodu k teel dıı vrdır:. Teel değşkelere çevrleek teel oly değşkeler seç. Teel sette teel oly değşke olk değşke seç Sple etoduu yukrıd verle teel dılrı dyrk şğıdk dılr tkp edlr:. Optzsyo prole stdrt P prole hle döüştürülür.. Sple etodu optu çözüü ulk ç r şlgıç teel fesle çözüüe gerektrr. Sple tlosu teel ve teel oly değşkeler elrteek şeklde hzırlır. Kısıtlyıı foksyolrıd sdee r kez ulu değşkeler teel değşkeler olrk seçlr. Eğer ütü kısıtlyıılr tpde seler slk değşkeler teel değşkeler olrk tır ve r şlgıç fesle çözü elde edlr. Dğer değşkeler teel oly değşkeler olrk Sple tlosu yerleştrlr. Eğer kısıtlyıılr çde vey eştlk kısıtlyıılrı seler su değşkeler kullıllıdır. 3. optu çözüde sple tlosuu hedef foksyou çere stırıd teel oly değşkelere krşılık gele değerler egtf ollıdır. Eğer u değerler poztf se optu çözü elde edlş deektr. 4. eğer hedef foksyo stırıd teel oly değşkelere krşılık gele değerler egtf se pvot şle şltılır k u şlede teel değşkelerde r teel oly değşkele yer değştrlr. Buu ç. hg teel oly değşke seçleeğ, hedef foksyo stırıdk teel oly değşkelere krşılık gele değerlerde utlk değere e üyük ol değşke seçlr. 6-7
. Hg teel değşke pvot şlede seçleeğ se; seçle teel oly değşke ktsyılrıd (pvot sütüu) poztf değere shp ollr e sğ sütüdek değerlere ölüür ve elde edle orlrd hgs küçük se u krşılık gele teel değşke pvot şlede seçlr. Eğer pvot sütuudk ktsyılrı heps egtf se,prole sıırsız r proledr ve dolyısıyl hedef foksyou eks sosuz kdr ze edlr deektr y optu çözü yoktur. Prtk uygullrd u duru düzgü r şeklde kısıtly prolelerde orty çıkr. Dolyısıyl prole forülsyou gözde geçrleldr. 5. Pvot stır ve sütü seçldkte sor pvot şle ypılk teel oly değşke uluduğu sütudk ktsyılr, pvot stırıdk ve dğer stırdk değerler 0 olk şeklde elsyo şle ypılır. 6. Elde edle değerlere göre yede r Sple tlosu oluşturulur 7. Yukrıd verle şleler hedef foksyo stırıdk, teel oly değşkelere krşılık gele ktsyılr egtf oly değere shp oluy kdr dev edlr. Eğer hedef foksyo stırıd teel oly değşkelere krşılık gele ktsyılrd e z r sıfır se optzsyo prole rde fzl optu çözüü vr deektr. Örek 6.5: Aşğıd verle P prole çözüüz f 4 3 4 4, 0 6.5 BAŞANGIÇ TEE FEASİBE ÇÖZÜ (SUNİ DEĞİŞKENER) Pek çok tsrı prolede kısıtlyıı foksyolr tpde ululr. P prolede u tp kısıtlyıı foksyolr stdrt P prole hle getrelek ç surplus değşkeler ekleektedr. Surplus değşkeler ekleese rğe 6-8
eğer r teel çözü yoks ve P prole tpde vey eştlk kısıtlyıısı şeklde se, çözü elde edelek ç egtf oly değşkeler ekler k ulr su değşkeler der. Bu değşkeler teel değşke olrk kul edlr ve teel çözülere ulşılır. Buul rlkte su değşkeler optu çözüde ululıdır. Bu tür proleler çözüüde şğıd elrtle k şlı Sple etodu (Two phses Sple ethod) kullılır: Aş I: Sple lgortsı kullılrk P proleler r fesle çözüüü olup oldığı rştırılır. Eğer fesle çözü vrs teel fesle çözü elde edlr. Aş II: Sple lgortsı kullılrk prole sıırlı olup oldığı (ouded) elrler. Eğer sıırlı çözü vrs optu ol teel fesle çözü elde edlr. Optu çözüde su değşkeler ele etek ç su r hedef foksyou tılır. Bu foksyo su değşkeler toplı olrk fde edlr ve teel oly değşkeler çereek şeklde şğıdk g tılır: w j j j (6.) 6.5. Aş I Adılrı:. Slk ve surplus değşkeler kullılrk P prole stdrt P prolee çevrlr.. > tpdek kısıtlyıılr ve eştlk kısıtlyıılrı ç su değşkeler ve su değşkeler toplıd oluş su hedef foksyo (w) tılır. w sdee teel oly değşkelerde oluşk şeklde döüşü ypılır. 3. Sple tlosu oluşturulur ve e so stır su hedef foksyouu çerr. 4. E so stırdk e küçük (egtf) değer rır. Bu sütuu göstere değer teel değşke olktır. 5. RHS dek orlr uluur ve e küçük değere shp ol teel değşkeler r öek ddede ulu değşkele yer değştreektr. 6. Pvot şleler ypılır. 7. Eğer so stırdk egtf değer vrs Adı 4 e gdlr yoks Adı 8 e gdlr. 6-9
8. Eğer so stırdk değerler heps egtf oly değerlere shp ve w sıfır eşt se Aş I tlıştır. Eğer so stırdk değerler heps egtf oly değerlere shp fkt w sıfırd frklı se prole fesledır. 6.6 AŞAA II NİN ADIARI Aş I de elde edle so stır hedef foksou le değştrlr ve şğıd verle dılr gerçekleştrlr:. Aş I dek dı 4 le yı. Aş I dek dı 5 le yı 3. Aş I dek dı 6 le yı 4. Eğer so stırd egtf oly değerler vrs dı e ks hlde so tlo optu çözüü çerektedr. Sple etodu şğıdk souçlr vryı grt ettğde P proleler çözüüde oldukç güçlü r yötedr: Örek 6.6: Eğer prole fesle se sple etodu uu elrtr Eğer prole sıırsız se (uouded) sple etodu uu elrtr Eğer prole r çözüü vrs u glol optudur. Eğer rde fzl çözü vrs sple etodu u şret eder. Aşğıd verle P prole çözüüz z y y 3y y y 3y 6 y 0 6-0