Kreler Toplmlrı ve Belee Kreler Ortlmlrı Vrys lz Tlolrı Bu derste degel tsrımlı modellerde etler ve etleşmler ç resel toplmlrı yzılmsıd, serestl dereceler elrlemesde ve elee reler ortlmlrı ulumsıd yrdımcı olc zı url ve yötemler üzerde durulctır. Kurllr, Desg d lyss of Expermets (Motgomery (005)) le Fudmetl Cocepts the Desg of Expermets (Hs (973)) tplrıd tercüme edlmştr. Kreler Toplmlrı Đç Kurllr. Ht termde terr syısıı elrte ds dışıdler prtez çe lıır. Öreğ etel modelde term ( ) çmde yzılır.. Br termde r ds prtez çdeyse, u ds elrttğ ete le prtez dışıd eteler rsıd etleşm yotur. 3. Modelde her r term ç dsler clı, csız ve os olr üç ümeye yrılır: ) termde prtez dışıd dsler clı, ) prtezde dsler csız, c) termde ulumy dsler os olr smledrlr. Öreğ etel deey tsrımıd, ( β termde ve dsler clı ve os, ( β )( ) termde clı ve le dsler csızdır. 4. Her term ç serestl dereces; csız dslere rşılı gele eteler düzey syılrı ve clı dslere rşılı gele eteler düzey syılrıı r esğ ol syılrı çrpımlrıdır. Öreğ, ( β ) term le lgl serestl dereces syısı ( )( ), ( β )( ) term le lgl serestl dereces syısı ( ) dr. 5. Br ete y d etleşm le lgl reler toplmı ç hesplm formülü elde etmede l olr serestl dereces çılır. Öreğ, etel deey tsrımıd KT le lgl B çılım ( )( ) = + olm üzere, syısı Y... ve dğer termlere = = Y Y =... ) Y =.. rşılı getrlmes (dt edlrse; serestl derecesde gele termde hg hrfler vrs, o hrflere rşılı gele dsler üzerde lgl ortlmlrı reler toplmı lımt ve çrp olr, o hrfler dışıd hrfler le hrf çrpımı yzılmtdır) sorsıd, rşılı gele değerler serestl dereces çılımıd yerlere yzılr
= ( ) B + =........ Y. Y.. Y.. + Y... = = = = = = KT Y Y Y Y elde edlr. KT ç serestl dereces ve olup, dır. Y... Y =.. = (.....) =..... = = KT Y Y Y Y Belee Kreler Ortlmlrı (B) Đç Kurllr. Br ete rsgele seçml olduğud u etee vrys leşe rşılı gels, özel seçml olduğud seçle düzey etler reler toplmıı düzey syısıı r esğe (serestl derecese) ölümü rşılı gels. Br etleşm termde e z r rsgele ete vrs u etleşm term rsgele olr teledrlr ve edse vrys leşe rşılı getrlr. t eteler r etleşme, eteler düzey omsyolrıı reler toplmıı serestl derecese ölümü rşılı getrlr. Ht terme σ rşılı getrlr. Öreğ etel modelde, =,,..., Y= µ + + β + ( β) +, =,,..., =,,..., olm üzere eteler: st etl olduğud, = β β = ( β) ( β) = = = σ ( )( ) ( ) rsgele etl olduğud, σ β σ β ( β) σ β = σ ( )
r st r rsgele olduğud, = ltler oluşturulur. β σ β ( β) σ β = σ ( ). şğıd tlo hzırlır. * Tlou stırlrı elee değer uluc reler ortlmlrıı (model termler) ve sütulrı modelde dsler temsl etmetedr. Modelde µ term dışıdler stır şlrı ve dsler sütulrı üstüe yzılır. * ütulrı elrleye her ds üzere, şğıd görüldüğü g, ds le lgl düzey syılrı ve ds temsl ettğ ete rsgele () y d st () olduğu d yzılır. * Br term stırı: csız dsler sütulrı, clı dsler sütulrı rsgele et durumud, st et durumud 0 ve os dsler sütulrı düzey syılrı yzılır. Öreğ etel st etl modelde tlo, 0 β 0 ( β ) 0 0 ( ) rsgele etl modelde tlo, β ( β ) ( )
rm etl modelde tlo, dır. 0 β ( β ) 0 ( ) 3. Br term le lgl Belee Kreler Ortlmsıı hesplm ç öce u termde yer l clı dsler sütulrı ptılır. Öreğ terml st etl modelde E( ) değer ulm stedğmzde tlo, β 0 ( β ) 0 ( ) E( B ) değer ulm stedğmzde tlo, β ( β ) ( ) hle gelmetedr. Br term le lgl Belee Kreler Ortlmsıı hesplm ç ptmd sor tlod, u termde dsler çere stırlrd syılrı çrpımı le.kurl d lt fdeler çrpılıp toplır. Öreğ terml st etl modelde, ve ( ) β = = = = σ σ E( ) = + 0 + = + ( )( )
= E( ) = + σ dır. Öre Đ Etel sgele Etl Modelde Belee Kreler Ortlmlrıı elde edelm. =,,..., Y= µ + + β + ( β) +, =,,..., =,,..., olm üzere, B tlosu β ( β ) ( ) dır. E( ) ı hesplmsıd sütuu ptılmış tlo, β ( β ) ( ) olup, ds so stırd d uluduğud E( ) = σ + σ + σ = σ + σ + σ dır. Bezer şelde, E( B ) β β = σ + σ + σ β β elde edlelr. E( B ) ı hesplmsıd, sütulrı ptılmış tlo, β ( β ) ( ) olup, le dsler s de çere stırlr göz öüe lır,
E( B ) = σ β + σ elde edlr. yrıc, her modelde olduğu g E( ) ( ˆ Ht = Eσ ) = σ dır. Öre Üç Etel Krm Etl (s st r rsgele etl) Modelde Belee Kreler Ortlmlrıı elde edelm. =,,..., =,,..., Y = µ + + β + γ + ( β) + ( γ) + ( βγ) + ( βγ) +, l l =,,..., c l=,,..., olm üzere, B tlosu c l 0 c β 0 c γ ( β ) 0 0 c ( γ ) 0 ( βγ ) 0 ( βγ ) 0 0 ( ) l olup, E( ) ı hesplmsıd sütuu ptılmış tlo, c l c β 0 c γ ( β ) 0 c ( γ ) ( βγ ) 0 ( βγ ) 0 ( ) l dır. ds uluduğu stırlr göz öüe lır,
uluur. Bezer şelde, olur. E( ) c = = + σ + σ γ β = E( ) = c + σ + σ βγ B E( C ) hesplmsıd sütuu ptılmış tlo, l 0 β 0 γ ( β ) 0 0 ( γ ) 0 ( βγ ) 0 ( βγ ) 0 0 ( ) l olm üzere, ds uluduğu stırlr göz öüe lır, E( ) = σ + σ γ uluur. B E( B ) ı hesplmsıd, sütulrı ptılmış tlo, c c β c l γ ( β ) c ( γ ) ( βγ ) ( βγ ) ( ) l olm üzere, le dsler s de çere stırlr göz öüe lır,
( β) = = E( B ) = c + σ + σ βγ ( )( ) elde edlr. E( C ) hesplmsıd, sütulrı ptılmış tlo, l β 0 γ ( β ) 0 ( γ ) ( βγ ) 0 ( βγ ) 0 ( ) l olm üzere, le dsler s de çere stırlr göz öüe lır, E( C ) = σ + σ γ elde edlr. Bezer şelde, E( BC ) = σ + σ βγ uluur. E( BC ) hesplmsıd,, sütulrı ptılmış tlo, β γ dır.,, dsler üçüü de çere stırlr göz öüe lır, E( BC ) = σ + σ βγ elde edlr. yrıc, E( ) ( ˆ Ht = Eσ ) = σ dır. l ( β ) ( γ ) ( βγ ) ( βγ ) ( ) l
Öre 3 Dört Etel Krm Etl (s st s rsgele etl) Modelde Belee Kreler Ortlmlrıı elde edelm. + + + + + + + + Y = µ + β + γ δl ( β) ( γ) ( δ) ( βγ ) ( βδ) ( γδ) l l l l + + + + + ( βγ) ( βδ) ( γδ) ( βγδ) + ( βγδ) lm l l l =,,..., =,,..., =,,..., c l=,,..., d m=,,..., olm üzere, B tlosu c d l m 0 c d β 0 c d γ d δ l c ( β ) 0 0 c d ( γ ) 0 d ( δ ) l 0 c ( βγ ) 0 d ( βδ ) l 0 c ( γδ ) l ( βγ ) 0 0 d ( βδ ) l 0 0 c ( γδ ) l 0 ( βγδ ) l 0 ( βγδ ) l 0 0 ( l ) m dır. E( ) ı hesplmsıd sütuu ptılmış tlo,
c d l m c d β 0 c d γ d δ l c ( β ) 0 c d ( γ ) d ( δ ) l c ( βγ ) 0 d ( βδ ) l 0 c ( γδ ) l ( βγ ) 0 d ( βδ ) l 0 c ( γδ ) l ( βγδ ) l 0 ( βγδ ) l 0 ( l ) m olup, ds uluduğu stırlr göz öüe lır, = E( KT ) = cd + dσ + cσ + σ + σ γ δ γδ elde edlr.
E( BC ) ı hesplmsıd, sütulrı ptılmış tlo, c d l m 0 d β d γ d δ l ( β ) 0 d ( γ ) 0 d ( δ ) l 0 ( βγ ) d ( βδ ) l ( γδ ) l ( βγ ) 0 d ( βδ ) l 0 ( γδ ) l 0 ( βγδ ) l ( βγδ ) l 0 ( l ) m dır., dsler s de çere stırlr göz öüe lır, σ + σ + σ uluur. E( ) = βγ βγδ BC
Öre: Đ etel degel r deey tsrımıd, ete özel seçlmş düzeyler,,..., ve düzey etler,,...,, B ete özel seçlmş düzeyler B, B,..., B ve düzey etler β, β,..., β, ete düzeyler ort etler ( β) olm üzere, gözlemler lt model, =,,..., Y = µ + + β ( ),,,...,, (0, ) + β + BND σ = =,,..., olsu. Đ etel st etl etleşml deeylerde geellle şğıd üç hpotez le lglelr. Brcs, ete düzey etler eştlğ hpotez, H0 : = =... = = 0 H : 0 vey 0 vey... vey 0 cs, B ete düzey etler eştlğ hpotez, H0 : β= β=... = β = 0 H : β 0 vey β 0 vey... vey β 0 üçücüsü, le B ete ort düzey etler sıfır olmsı hpotezdr. =,,..., H0 : ( β) = 0, =,,..., =,,..., H : ( β) 0, =,,..., Vrys lz Tlosu: Değşelğ Kyğı (ource of Vrto) ete B ete erestl dereces (Degrees of Freedom) - Kreler Toplmı (um of qures) KT KT B Kreler Ortlmlrı (Me qures) KT = B KTB = ( ) Belee Kreler Ortlmlrı (Expected Me qures) σ σ = + β = + F değer F F B = Ht = B Ht B etleşm (-)(-) KT B B = KTB ( )( ) σ + = = ( β) ( )( ) F B = B Ht Ht (-) KT Ht Ht KTHt = ( ) σ Geel - N KT Geel
ıfır hpotez ltıd, F = Ht = ( Y.. Y... ) / ( ) = Y Y. = = = ( ) ( ) / ( ) F, ( ) F B = B Ht = ( Y.. Y... ) / ( ) = Y Y. = = = ( ) ( ) / ( ) F, ( ) F ( Y. Y.. Y.. + Y... ) /(( )( ) ) B = = B= = F ( )( ), ( ) Ht ( Y Y. ) /( ( ) ) = = = dır.
Öre: Y = µ + + β +, =,, =,,3, =,,...,, BND(0, σ ) g r modelde, Y = β+ gösterm ltıd µ β β= β β 3
ve tsrım mtrs, dır. N 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 6 I 3 I3 = 6 I 3 I3 = 3 I 3 I3 = 3 I 3 I 3 = 3 I 3 I3 µ µ Y= 3 I 3 I3 β + = + β β β β 3 β 3 * = ( I P ) I 3 3 3 I * µ Y= +, = β β * * 3 µ µ β β β 3 β 3 3 3 3 ( 3 ) ( 3 ) * * ge( ) = ge, ge ge( )
P = P + P, P Y = P Y + P * Y = P + P * Y 3 * 3 6 P * =? 3 P Y = P Y + P Y * 3 ˆ ˆ ˆ P Y = Y ' Y= Y = = = P Y P Y Y P Y Y Y Y 6 P * Y =? ' 3 = = ' 6 = ' 6 6 6 6 =... * = ( I P 3 ) I 3 3 I = I I3 I ( 3 )( 3 ) I 3 I3 ( + ) ( + + + ) = I I3 I ( ) (33 ) ( ) I 3 I3 + + + = ( I ) ( I3 33 ) ( I ) I 3 I3 + + = ( I ) 3 ( I3 33 ) =[ B] + 3 = ( I ) + I3 3 3 B= ( ) B= 0 * * * ( ) = ( ) + ( B), ( ) ( B) P = P + P B P Y= P Y+ P Y, P Y P Y B B * = + B P Y P Y P Y + + + + + 3 3 = ( I ), = ( I ) + + + + ( ) 33 P = = I + + + + + 3 3 3 3 3 3 B= ( I ), B = ( I ) B + + + + ( 3 33 ) P = BB = I
Y= P Y+ ( I P ) Y= P Y+ P Y+ P Y+ ( I P ) Y 6 B ( I P ) Y= P Y+ P Y+ ( I P ) Y 6 6 B B ( I P ) Y = P Y + P Y + ( I P ) Y 3 3 ( Y Y... ) ( Y.. Y... ) ( Y.. Y... ) = = = = = KT KT KTB 3 Y Y.. Y.. Y... = = = KT = 9 + 6 + ( + ) KT= KT + KT + KT B H : =, (, / µβ,, β, β ) = P Y H 0 3 : 3 PY σ (, / µβ,, β, β ) / / r( ) F= = ˆ ( I P ) Y / ( N r( )) H : β = β = β, ( β, β, β / µ,, ) = P Y 0 3 3 H : β β veyβ β vey β β 3 3 B 3 PB Y σ ( β, β, β / µ,, ) / 3 / r( B) F= = ˆ ( I P ) Y / ( N r( )) yı hpotezler ç, H H : = = 0 0 : 0 vey 0 H H 0 0 0 0 0 0 0 : β= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 : β 0 0 0 0 0 0
H : β = β = β = 0 0 3 H : β 0 veyβ 0 veyβ 0 3 H H 0 0 0 0 0 0 0 : 0 0 0 0 0 β= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 : 0 0 0 0 0 β 0 0 0 0 0 0 0 göstermler ltıd olup, H 0 ltıd, ( Hβˆ )' H( ' ) H ' ( H ˆ β) r F= W( Y) =. Y ' I P Y q ( ) ( ) ( Hβˆ )' H( ' ) H ' ( ˆ Hβ) r W( Y) =. ~ F Y ' I P Y q ( q, r ) dır. Bu hpotezler le lgl test şlem sl r ver üzerde yürütmeye çlışlım. clc;cler ll;close ll =[oes(8,) ro(eye(),oes(9,)) ro(oes(,),ro(eye(3),oes(3,)))] et=[5 0 0 0 0]'; Y=*et+rd(8,)*0. N=sze(,); dsply EKK etekk=pv()*y etekk=pv('*)*'*y etekk=pv('*)*'*y+(eye(6)-pv('*)*('*))*oes(6,) lmd=[ 0 0 0]' LPF=lmd'*etEKK LPF=lmd'*etEKK % Đzdüşüm mtrsler =ro(eye()-oes(,)*pv(oes(,)), ro(oes(3,), oes(3,))); B=ro(oes(,), ro(eye(3)-oes(3,)*pv(oes(3,)), oes(3,))); P=*pv();PB=B*pv(B);P=*pv(); P=(eye(N)-/N*oes(N,N))*pv((eye(N)-/N*oes(N,N))); dsply Ho:lf=lf H=[0-0 0 0] h=[0] q=r(h); KT=(Y-*etEKK)'*(Y-*etEKK) E=Y'*(eye(N)-P)*Y
=KT/(N-r()) Fdeger=(Y'*P*Y/r())/ W=(((H*etEKK-h)'*pv(H*pv('*)*H')*(H*etEKK-h))/q)/ F_tlodeger=fv(.95,q,sze(,)-r()) dsply Ho:et=et=et3 H=[0 0 0-0 0 0 0 0 -] h=[0 0] q=r(h); KT=(Y-*etEKK)'*(Y-*etEKK) E=Y'*(eye(N)-P)*Y =KT/(N-r()) Fdeger=(Y'*P*Y/r())/ W=(((H*etEKK-h)'*pv(H*pv('*)*H')*(H*etEKK-h))/q)/ F_tlodeger=fv(.95,q,sze(,)-r()) dsply VryslzTlosu dsply [değşmyğı er.dr.] [Y'*P*Y r(p); Y'*PB*Y r(pb); Y'*(eye(N)-P)*Y r((eye(n)-p)); Y'*P*Y r(p)] = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Y = 6.059 5.9356 6.0380 4.899 4.9980 4.995 5.0000 4.968 5.095 5.86 6.048 6.0896 5.073 5.0578 5.0040 5.0677 5.0569 4.9744 EKK etekk =.946.4475.467.644 0.636 0.6576 etekk =.946.4475.467.644 0.636 0.6576 etekk =.78.693.6489.0789.087. Lmd = 0 0 0 LPFthm = 5.9865 LPFthm = 5.9865 Ho:lf=lf H = [0-0 0 0] h = [ 0] KT = 0.0873 E = 0.0873 Fdeger = 0.76 W = 0.76 F_tlodeger = 4.600
Ho:et=et=et3 H = 0 0 0-0 0 0 0 0 - h = 0 0 FdegerB = 307.774 W = 307.774 F_tlodeger = 3.7389 VryslzTlosu Değşm Kyğı er.der. 0.007 3.8380 0.0873 4 3.970 7