Hacimler ve Çift Katlı İntegraller

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Kapalı bir Hacimler ve Çift Katlı İntegraller R [a,b] [c,d] {(x,y) R 2 a x b, c y d} dikdörtgeninde tanımlı iki değişkenli bir f fonksiyonunu göz önüne alalım ve önce f(x,y) varsayalım. f nin grafiği, denklemi z f(x,y) olan bir yüzeydir. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II / 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 2/ 32 Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Hacimler ve Çift Katlı İntegraller S, R nin üstünde ve f nin grafiğinin altında kalan katı cisim, başka bir deyişle, S {(x,y,z) R 3 z f(x,y), (x,y) R} olsun. S nin hacmini bulmayı amaçlıyoruz. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 3/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 4/ 32

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Ardışık İntegraller ğer f(x,y) ise R dikdörtgeninin üstünde ve z f(x,y) yüzeyinin altında kalan katı cismin V hacmi V f(x,y)da R Bu bölümde çift katlı bir integralin iki tane tek katlı integralin hesaplamasıyla bulunabilen bir ardışık integral olarak nasıl ifade edilebileceğini göreceğiz. olur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 5/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 6/ 32 Ardışık İntegraller Ardışık İntegraller f nin R [a,b] [c,d] dikdörtgeninde sürekli, iki değişkenli bir fonksiyon olduğunu varsayalım. d c f(x,y)dy gösterimini, x sabit tutulurken, f(x,y) nin y c den y d ye kadar y ye göre integrali anlamında kullanırız. Şimdi d f(x,y)dy, x in değerine bağlı bir fonksiyondur, bu nedenle c x in bir fonksiyonunu tanımlar: d A(x) f(x,y)dy c Bu işleme, y ye göre kısmi integral adı verilir. (Kısmi türev almaya benzerliğine dikkat ediniz.) Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 7/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 8/ 32

Ardışık İntegraller Ardışık İntegraller A fonksiyonunun x a dan x b ye kadar x e göre integralini alırsak elde ederiz. b A(x)dx b d a a c f(x,y)dy dx () enklem () in sağ yanındaki integral ardışık integral olarak adlandırılır. Genellikle köşeli parantezler yazılmaz. Böylece b d a c f(x,y)dydx b a d c f(x,y)dy dx (2) ifadesi önce y ye göre c den d ye ve daha sonra x e göre a dan b ye integralin alınması anlamına gelir. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 9/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II / 32 Ardışık İntegraller : Ardışık integralleri hesaplayınız. Benzer şekilde, d b c a f(x,y)dxdy d c b a f(x,y)dx dy (3) ardışık integrali, önce x e göre(y yi sabit tutarak) a dan b ye integral alacağımız ve daha sonra da bulunan y nin fonksiyonunun y ye göre y c den y d ye kadar integralini alacağımız anlamına gelir. enklem (2) ve (3) ün her ikisinde de içeriden dışarıya doğru hesapladığımıza dikkat ediniz. Çözüm : 3 (a) 2 (a) x i sabit varsayarak 2 x 2 y dydx x 2 y dy x 2y2 2 ] y2 2 (b) y 3 x 2 y dxdy ( ( ) 2 x 2 2 ) x 2 2 3 2 2 2 x2 elde ederiz. Böylece bir önceki tartışmadaki A fonksiyonu, bu örnekte A(x) 3 2 x2 olmaktadır. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II / 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 2/ 32

(b) Burada önce x e göre integral alırız: Şimdi x in bu fonksiyonunun dan 3 e integralini alırız. 3 2 x 2 y dydx 3 3 [ 2 ] x 2 y dy dx 3 2 x2 dx x3 2 ] 3 27 2 2 3 x 2 y dxdy 2 2 [ 3 ] 2 x 2 y dx dy 9ydy 9 y2 2 ] 2 27 2 [ ] x 3 x3 3 y dy x te önce x e göre ya da önce y ye göre integral alsakta aynı yanıtı bulduk. Genel olarak denklem 2 ve 3 deki ardışık integraller eşit olurlar; başka bir deyişle integral alma sırası önemsizdir. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 3/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 4/ 32 Fubini Teoremi Teorem : ğer f, R {(x,y) a x b,c y d} dikdörtgeninde sürekli ise olur. R f(x,y)da b d a c f(x,y) dydx d b c a f(x,y) dxdy (4) aha genel olarak f, R de sınırlı ve yalnızca sonlu sayıda düzgün eğri üzerinde süreksiz ise ve ardışık integraller varsa eşitlik yine doğrudur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 5/ 32 : R {(x,y) x 2, y 2} olmak üzere (x 3y 2 )da integralini hesaplayınız. R Çözüm : Fubini Teoremi R (x 3y 2 ) da 2 2 2 2 (x 3y 2 ) dydx [xy y 3] y2 y dx ] 2 (x 7)dx x2 2 7x 2 verir. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 6/ 32

Çözüm 2: Yine Fubini Teoremi ni uygulayarak, ama bu kez önce x e göre integral alarak : R [,2] [,π] olmak üzere integralini hesaplayınız. R ysin(xy)da (x 3y 2 )da R elde ederiz. 2 2 2 2 [ x 2 (x 3y 2 ) dxdy 2 3xy2 ] x2 x dy (2 6y 2 )dy 2y 2y 3] 2 2 Çözüm : R Önce x e göre integral alırsak y sin(xy)da π 2 π π y sin(xy) dxdy [ cos(xy) ] x2 x dy ( cos2y +cosy)dy ] π 2 sin2y +siny elde ederiz. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 7/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 8/ 32 Çözüm 2: İntegral sırasını terse çevirirsek R y sin(xy)da 2 π elde ederiz bu integrali hesaplamak için u y du dy y sin(xy)dydx dv sin(xy)dy v cos(xy) x alarak kısmi integral alma yöntemini kullanırız ve böylece π elde ederiz. ysin(xy)dy ycos(xy) ] yπ + π cos(xy)dy x y x πcosπx x πcosπx x + ] yπ [sin(xy) x 2 y + sinπx x 2 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 9/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 2/ 32

Şimdi u /x ve dv πcosπx dx alırsak du dx/x 2,v sinπx olur ve kısmi integral alma yöntemi ile ilk terimin integralini alarak ( πcosπx ) dx sinπx sinπx x x x 2 dx ( elde ederiz. Bu nedenle πcosπx + sinπx ) x x 2 dx sinπx x ve 2 π y sin(xy)dydx [ sinπx ] 2 x : x 2 +2y 2 +z 6 eliptik paraboloidi, x 2 ve y 2 düzlemleri ve üç koordinat düzlemi ile sınırlanmış S katı cisminin hacmini bulunuz. Çözüm : Önce, S nin z 6 x 2 2y 2 yüzeyi altında ve R [,2] [,2] karesinin üstünde kalan katı cisim olduğunu gözlemleriz. sin2π 2 +sinπ olur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 2/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 22/ 32 NOT Şimdi Fubini teoremini kullanarak çift katlı integrali hesaplayabilecek durumdayız: V (6 x 2 2y 2 )da R 2 2 2 2 [ 6x ] x2 3 x3 2y 2 x dy x (6 x 2 2y 2 ) dxdy ( ) [ 88 88 3 4y2 dy 3 y 4 ] 2 3 y3 48 f(x,y) nin yalnızca x in bir fonksiyonu ile yalnızca y nin bir fonksiyonu olarak çarpanlara ayrılabilmesi özel durumunda, f nin çift katlı integrali daha basit bir şekilde yazılabilir. aha açık bir deyişle,f(x,y) g(x)h(y) ve R [a,b] [c,d] olmak üzere dir. R g(x)h(y)da b a d g(x)dx c h(y)dy elde ederiz. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 23/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 24/ 32

teki f(x,y) sinxcosy fonksiyonu R de pozitiftir, bu nedenle integral şekildeki R nin üstünde ve f nin grafiğinin altında kalan katı cismin hacmini temsil eder. : R [,π/2] [,π/2] ise, π/2 sinx cosy da sinx dx R ( cosx ] π/2 ) π/2 ( siny cosy dy ] π/2 ) olur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 25/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 26/ 32 Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller : ln2ln5 e 2x y dxdy ln2ln5 ln5 ( e 2x 2 e 2x e y dxdy e 2x dx ] ln5 ln2 e y dy ) ( e y] ) ln2 ( 25 2 ) ( 2 2 +) 2 2 6 olur. Tek katlı integraller için üzerinde integral aldığımız bölge her zaman bir aralıktır. Ancak çift katlı integraller için bir fonksiyonun, yalnızca dikdörtgenler değil, örneğin Şekil deki gibi daha genel bölgeler üzerinde integralini almak istiyoruz. Şekil : Şekil 2: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 27/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 28/ 32

Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller Bir düzlemsel bölgesi, iki sürekli fonksiyonun grafiği arasında, başka bir deyişle g ve g 2, [a,b] de sürekli olmak üzere {(x,y) a x b, g (x) y g 2 (x)} ise I. tip olarak adlandırılır. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 29/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 3/ 32 Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 3/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 32/ 32

Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller f fonksiyonu {(x,y) a x b, g (x) y g 2 (x)} şeklinde I. tip bölgesinde sürekli ise f(x,y)da b g 2 (x) a g (x) f(x,y) dydx (5) h ve h 2 sürekli olmak üzere {(x,y) c y d, h (y) x h 2 (y)} (6) şeklindeki II. tip düzlemsel bölgeleri de göz önüne alırız. olur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 33/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 34/ 32 Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 35/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 36/ 32

Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller, enklem 6 de verilen II. tip bir bölge olmak üzere olur. f(x,y)da d h 2 (y) c h (y) f(x,y) dxdy (7) :, y 2x 2 ve y +x 2 parabolleri tarafından sınırlanan bölge olmak üzere (x + 2y)dA integralini hesaplayınız. Çözüm : Paraboller 2x 2 +x 2, başka bir deyişle, x 2 iken kesişir, bu nedenle x ± olur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 37/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 38/ 32 Şekil 3 de çizilen bölgesinin I. tip bölge olduğuna ancak II. tip bölge olmadığına dikkat eder ve yazabiliriz. {(x,y) x, 2x 2 y +x 2 } Şekil 3: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 39/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 4/ 32

NOT Alt sınır y 2x 2 ve üst sınır y +x 2 olduğundan +x 2 (x + 2y)dA (x + 2y) dydx 2x 2 [xy + y 2] y+x 2 y2x 2 dx [ x( + x 2 ) + ( + x 2 ) 2 x(2x 2 ) (2x 2 ) 2] dx ( 3x 4 x 3 + 2x 2 + x + )dx teki gibi bir çift katlı integral hesaplanırken, bir şekil çizmek gereklidir. Çoğu zaman Şekil 3 deki gibi bir düşey ok çizmek yararlı olur. Bu durumda, içteki integralin sınırları şekilden aşağıdaki gibi bulunabilir: Ok, alt sınır y g (x) de başlar, bu integralin alt sınırını verir, ve ok üst sınır y g 2 (x) de biter, bu da integralin üst sınırını verir. II. tip bölgelerde ok, yatay olarak sol sınırdan sağ sınıra çizilir. 3 x5 5 x 4 3 4 + 2x 3 + x ] 2 2 + x 32 5 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 4/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 42/ 32 : z x 2 +y 2 paraboloidinin altında ve xy-düzlemindeki y 2x doğrusu ve y x 2 parabolü ile sınırlı bölgesinin üstünde kalan katı cismin hacmini bulunuz. Çözüm : Şekil 4 dan nin I. tip bölge ve olduğunu görürüz. {(x,y) x 2, x 2 y 2x} Bu nedenle, z x 2 +y 2 nin altında ve nin üstünde kalan hacim V (x 2 +y 2 )da 2 (x 2 y + y3 3 ] y2x yx 2 2 2x (x 2 +y 2 ) dydx x 2 ) dx 2 (x 2 (2x)+ (2x)3 3 x 2 x 2 (x2 ) 3 3 ) dx Şekil 4: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 43/ 32 2 ] 2 ( x6 3 x4 + )dx 4x3 x7 3 2 x5 5 + 7x4 26 6 35 olur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 44/ 32

Çözüm 2: Şekil 5 dan nin II. tip bir bölge olarak da yazılabileceğini görüyoruz: {(x,y) y 4, 2 y x y} Bu nedenle, V için başka bir ifade de V (x 2 +y 2 )da 4 ( x 3 3 +y2 x ] x y x 2 y 4 y (x 2 +y 2 ) dxdy 2 y ) 4 dy ( y 3/2 3 +y5/2 y3 24 y3 2 ) dy 2 5 y5/2 + 2 7 y7/2 3 ] 4 96 y4 26 35 olur. Şekil 5: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 45/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 46/ 32 Şekil 6 hacmi hesaplanan katı cismi göstermektedir. Cisim, xy-düzleminin üstünde z x 2 +y 2 paraboloidinin altında ve y 2x düzlemi ile y x 2 parabolik silindiri arasındadır. :, y x ve y 2 2x+6 ile sınırlı bölge olmak üzere xyda integralini hesaplayınız. Çözüm : bölgesi Şekilde gösterilmiştir. Şekil 6: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 47/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 48/ 32

yine hem I. hem de II. tipdir, ancak nin I. tip olarak betimlenmesi daha karmaşıktır çünkü sınırın alt kenarı iki parçadan oluşmuştur. Bu nedenle yi II. tip bir bölge olarak ifade etmeyi yeğleriz: {(x,y) 2 y 4, 2 y2 3 x y +} Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 49/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 5/ 32 Bu nedenle (7) xyda 4 2 y+ 2 y2 3 xy dxdy 4 2 [ ] x 2 xy+ 2 y dy x 2 y2 3 yi I. tip bir bölge olarak ifade etseydik 2 4 2 y [(y +) 2 ( 2 ] y2 3) 2 dy xyda 2x+6 3 2x+6 5 xy dydx+ 2x+6 x xy dydx verir. 2 2 4 2 ) ( y5 4 +4y3 +2y 2 8y dy ] 4 [ y6 24 +y4 +2 y3 3 4y2 36 2 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 5/ 32 elde ederdik. Ancak bu, diğer yönteme göre daha fazla iş gerektirirdi. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 52/ 32

Şekil 7 x, z koordinat düzlemleri, x 2y düşey düzlemi ve x+2y +z 2 düzlemi ile sınırlanan T düzgün dörtyüzlüsünü göstermektedir. : x+2y +z 2, x 2y, x ve z düzlemleri ile sınırlı düzgün dörtyüzlünün hacmini hesaplayınız. Çözüm : Böyle bir soruda, biri üç boyutlu katı cismin ve diğeri cismin üzerinde bulunduğu bölgesinin şekli olmak üzere iki şekil çizmek uygun olur. Şekil 7: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 53/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 54/ 32 x+2y +z 2 düzlemi (denklemi z olan) xy-düzlemini x+2y 2 doğrusu boyunca kestiği için, T nin, xy-düzleminde x 2y, x+2y 2 ve x doğruları ile sınırlı bölgesinin üstünde kaldığını görürüz. x+2y+z 2 düzlemi z 2 x 2y olarak yazılabilir, bu nedenle istenen hacim, z 2 x 2y fonksiyonunun grafiği altında ve {(x,y) x, x/2 y x/2} bölgesinin üstünde kalır. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 55/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 56/ 32

Böylece V (2 x 2y)dA x/2 x/2 (2 x 2y)dydx : x sin(y 2 ) dydx integralini hesaplayınız. [ 2y xy y 2 ] y x/2 dx yx/2 [ ( 2 x x x ) ( x ) 2 x 2 ] x+ 2 2 2 + x2 dx 4 ] (x 2 2x+)dx x3 3 x2 +x 3 olur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 57/ 32 Çözüm: ğer integrali verdiği gibi hesaplamaya çalışırsak, sin(y 2 )dy integralini hesaplama sorunu ile karşılaşırız. Ancak sin(y 2 )dy bilinen bir fonksiyon olmadığından, bunun, sonlu sayıda işlemle yapılması olanaksızdır. Bu nedenle integral alma sırasını değiştirmeliyiz. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 58/ 32 Bu bölgesi Şekil 8 de çizilmiştir. Bu, verilen ardışık integrali önce çift katlı bir integral olarak ifade ederek yapılır. (5) ü tersine kullanarak, olmak üzere {(x,y) x, x y } x sin(y 2 ) dydx sin(y 2 ) da elde ederiz. Şekil 8: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 59/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 6/ 32

x sin(y 2 ) dydx y sin(y 2 ) da sin(y 2 ) dxdy [ ] xy xsin(y 2 ) dy x Şekil 9 dan nin Şekil 9: {(x,y) y, x y} şeklinde de betimlenebildiğini görürüz. Bu da, (7) i kullanarak çift katlı integrali, tek sırada bir ardışık integral olarak ifade edebilmemize olanak verir: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 6/ 32 ysin(y 2 ) dy ] 2 cos(y2 ) 2 ( cos) Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 62/ 32 Çift Katlı integrallerin Özellikleri Çift Katlı integrallerin Özellikleri Aşağıda integrallerin tümünün var olduğunu varsayıyoruz. [ ] f(x,y)+g(x,y) da f(x,y)da+ g(x,y)da (8) cf(x,y)da c f(x, y)da (9) ğer deki her (x,y) için f(x,y) g(x,y) ise, f(x,y)da g(x, y)da olur. () Şekil : ğer ve 2 sınırları dışında üst üste gelmiyor ve 2 ise (bkz. Şekil ), o zaman f(x,y)da f(x,y)da+ f(x,y)da olur. () 2 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 63/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 64/ 32

Çift Katlı integrallerin Özellikleri Özellik, I. tip ya da II. tip bölgelerin birleşimi olarak ifade edilebilen bölgeler üzerindeki integrallerin hesaplanmasında kullanılabilir. Bu, Şekil de açıklanmaktadır. Çift Katlı integrallerin Özellikleri İntegralin aşağıdaki özelliği, bir bölgesi üzerinde f(x,y) sabit fonksiyonunun integralini alırsak, nin alanını elde edeceğimizi söyler: da A() (2) ğer deki her (x,y) için m f(x,y) M ise ma() f(x,y) da MA() olur. (3) Şekil : Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 65/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 66/ 32 Kutupsal Koordinatlarda Çift Katlı İntegraller Şekil 2 de gösterilen R bölgelerinden biri üzerinde integralini hesaplamak istediğimizi varsayalım. R f(x,y) da Kutupsal Koordinatlarda Çift Katlı İntegraller Her iki durumda da, R bölgesinin Kartezyen koordinatlar kullanılarak tanımlanması oldukça karmaşıktır, ancak R bölgesi kutupsal koordinatlar kullanılarak kolayca tanımlanabilir. Şekil 2: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 67/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 68/ 32

Kutupsal Koordinatlarda Çift Katlı İntegraller Şekil 2 deki bölgeler, Şekil 3 de gösterilen R {(r,θ) a r b, α θ β} kutupsal dikdörtgeninin özel halleridir. Kutupsal Koordinatlarda Çift Katlı İntegraller Çift Katlı İntegralde Kutupsal Koordinatlara Çevirme f fonksiyonu, β α 2π ve a olmak üzere, R {(r,θ) a r b, α θ β} olarak verilen R kutupsal dikdörtgeni üzerinde sürekli ise R β b f(x,y) da f(rcosθ,rsinθ) r dr dθ α a Şekil 3: dır. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 69/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 7/ 32 : R, üst yarı düzlemin x 2 +y 2 ve x 2 +y 2 4 çemberiyle sınırlanan bölgesini göstermek üzere, (3x+4y 2 ) da integralini hesaplayınız. R R {(x,y) y, x 2 +y 2 4} Bu, Şekil 2(b) de gösterilen yarım halka şeklindeki bölgedir ve kutupsal koordinatlarda r 2, θ π olarak verilir. Çözüm : R bölgesini biçiminde gösterebiliriz. R {(x,y) y, x 2 +y 2 4} Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 7/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 72/ 32

olayısıyla formülden, R (3x+4y 2 ) da π 2 π 2 π ( 3rcosθ +4(rsinθ) 2 ) r dr dθ (3r 2 cosθ +4r 3 sin 2 θ) dr dθ ( r 3 cosθ +r 4 sin 2 θ ] r2 r ) dθ π (7cosθ +5sin 2 θ) dθ π ( cosθ +5 ( cos2θ) ) 2 7sinθ + 5 θ 2 5 4 sin2θ ] π dθ 5π 2 olur. π (7cosθ +5sin 2 θ) dθ Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 73/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 74/ 32 olayısıyla cisim, paraboloidin altında ve x 2 +y 2 olarak verilen dairesinin üstünde yer alır [bkz. Şekil 4 ve 2(a)]. bölgesi, kutupsal koordinatlarda r, θ 2π olarak verilir. : z düzlemi ve z x 2 y 2 paraboloidi tarafından sınırlanan cismin hacmini bulunuz. Çözüm : Paraboloid denkleminde z alarak x 2 +y 2 buluruz. Bu, düzlem ile paraboloidin kesişiminin x 2 +y 2 çemberi olduğu anlamına gelir. Şekil 4: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 75/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 76/ 32

x 2 y 2 (rcosθ) 2 (rsinθ) 2 r 2 olduğundan, hacim V ( x 2 y 2 ) da 2π olarak bulunur. dθ 2π ( r 2 ) r dr dθ ( ) (r r 3 ) dr r 2 2π 2 r4 π 4 2 Kutupsal koordinatlar yerine Kartezyen koordinatlar kullanmış olsaydık, V ( x 2 y 2 ) da x 2 elde ederdik. Bu ifadenin hesaplanması x 2 dx x 2 x 2 dx ( x 2 y 2 ) dy dx x 2 ( x 2 ) 3/2 dx integrallerinin bulunmasını içerdiğinden kolay olmayacaktı. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 77/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 78/ 32 Yoğunluk ve Kütle : Şekil 5 her hangi bir (x,y) noktasındaki yoğunluğu ρ(x, y) xy olan üçgen biçimindeki bir tabakayı göstermektedir. bölgesi olarak verilen bu tabakanın toplam kütlesini bulunuz. eğişken yoğunlukta bir tabakanın xy-düzleminde bir bölgesi olduğunu varsayalım. ρ(x, y) bu tabakanın yoğunluğunu belirten sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda tabakanın toplam kütlesi m ρ(x,y) da formülü ile bulunur. Şekil 5: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 79/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 8/ 32

Çözüm : Şekil 5 den m 2 ρ(x,y) da x xy dy dx ] y [x y2 x dx 2 y x 2 [2 ( x) 2 ] dx : Köşeleri (,), (,), (,2) olan üçgen biçiminde bir tabakanın yoğunluk fonksiyonu ρ(x,y) +3x+y dir. Bu tabakanın kütlesini bulunuz. Çözüm : Üçgen Şekil 6 de gösterilmiştir. (Üstteki sınır doğrusunun denkleminin y 2 2x olduğuna dikkat ediniz.) 2 (2x 2 x 3 )dx [ 2x 3 2 3 x4 4 ] 5 24 olur. olayısıyla kütle 5 24 dir. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 8/ 32 Şekil 6: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 82/ 32 Üç Katlı İntegraller f(x, y, z) fonksiyonunun m ρ(x,y) da 2 2x (+3x+y) dy dx B {(x,y,z) a x b,c y d,r z s} dikdörtgenler prizması üzerinde tanımlandığı basit durumu ele alalım. 4 ] y2 2x [y +3xy + y2 dx 2 y ( x 2 ) dx 4 ] [x x3 8 3 3 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 83/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 84/ 32

Üç Katlı İntegraller için Fubini Teoremi B [a,b] [c,d] [r,s] dikdörtgenler prizması üzerinde sürekli olan bir f fonksiyonu için B f(x,y,z)dv s d b r c a f(x,y,z)dxdydz (4) : B {(x,y,z) x, y 2, z 3} dikdörtgenler prizması olmak üzere xyz 2 dv üç katlı integralini hesaplayınız. Çözüm : Altı integral sıralamasından herhangi birini seçebilirz. Önce x, sonra y, en sonunda da z ye göre integral almayı seçersek, B dir. B 3 2 xyz 2 dv xyz 2 dxdydz Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 85/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 86/ 32 B xyz 2 dv 3 2 xyz 2 dxdydz Şimdi f nin sürekli ve bölgenin basit tipte olduğu durumu ele alacağız. Şekil 7: 3 2 [ x 2 yz 2 2 ] x x dydz 3 2 yz 2 2 dydz 3 [ y 2 z 2 4 ] y2 y dz 3 3z 2 4 ] 3 z3 dz 27 4 4 Bir cismin oluşturduğu bölgesine, x ve y nin iki sürekli fonksiyonu arasında kalıyorsa,.tipte bölge denir. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 87/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 88/ 32

Bunu Şekil 7 de gösterildiği gibi bölgesi nin xy-düzlemi üzerine izdüşümü olmak üzere, {(x,y,z) (x,y),u (x,y) z u 2 (x,y)} (5) olarak ifade edebiliriz. cisminin üst sınırının denklemi z u 2 (x,y), alt sınırının ise denklemi z u (x,y) olan yüzeylerden oluştuğuna dikkat ediniz. enklem 5 de verilen. tipte bir bölgesi için u 2 (x,y) f(x,y,z)dv f(x,y,z)dz da (6) olduğu gösterilebilir. u (x,y) Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 89/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 9/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 9/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 92/ 32

f(x,y,z)dv u 2 (x,y) u (x,y) f(x,y,z)dz da Yukarıdaki denklemin sağ yanında içteki integralin anlamı, x ve y nin sabit tutulduğu, dolayısıyla u (x,y) ve u 2 (x,y) nin sabit olarak algılandığı, f(x, y, z) nin integralinin z ye göre alındığıdır. Özel olarak bölgesinin xy-düzlemi üzerine izdüşümü olan bölgesi I. tipte ise {(x,y,z) a x b,g (x) y g 2 (x),u (x,y) z u 2 (x,y)} olur ve enklem 6 f(x,y,z)dv b a g 2 (x) u 2 (x,y) g (x) u (x,y) f(x,y,z)dzdydx (7) biçimini alır. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 93/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 94/ 32 iğer yandan düzlemsel bölgesi II. tipte ise {(x,y,z) c y d,h (y) x h 2 (y),u (x,y) z u 2 (x,y)} olur ve enklem 6 f(x,y,z)dv d c h 2 (y) u 2 (x,y) h (y) u (x,y) f(x,y,z)dzdxdy (8) : bölgesi x, y, z ve x+y +z olarak verilen dört düzlem tarafından sınırlanan düzgün dörtyüzlü olmak üzere, z dv integralini hesaplayınız. biçimini alır. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 95/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 96/ 32

Çözüm : Üç katlı bir integrali oluştururken biri cismi (Şekil 8), diğeri nin xy-düzlemi üzerine izdüşümü (Şekil 9) olan iki şekil çizmek yararlıdır. Şekil 8: Şekil 9: üzgün dörtyüzlünün alt sınırı z düzlemi, üst sınırı x+y +z (ya da z x y) düzlemi olduğundan, Formül 7 de u (x,y) ve u 2 (x,y) x y alırız. x+y+z ve z düzlemlerinin xy-düzlemindeki x+y (ya da y x) doğrusunda kesiştiklerine dikkat ediniz. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 97/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 98/ 32 nin. tipte bir bölge olarak gösterimi, integrali zdv x x y zdzdydx olarak hesaplamamızı olanaklı kılar. olayısıyla nin izdüşümü üçgensel bir bölge olur ve {(x,y,z) x, y x, z x y} (9) elde edilir. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 99/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II / 32

zdv x x y zdzdydx zdv 2 x ( x y) 2 dydx 2 x [ z 2 x 2 ] z x y z dydx ( x y) 2 dydx 2 6 [ ( x y)3 3 ] y x y ( x) 3 dx 6 4 dx [ ( x)4 ] 24 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II / 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 2/ 32 {(x,y,z) (y,z),u (y,z) x u 2 (y,z)} şeklindeki bölgesine 2.tipte bölge denir. Bu kez, bölgesi nin yz-düzlemi üzerine izdüşümüdür (Şekil 2). Arka yüzey x u (y,z), ön yüzey x u 2 (y,z) olduğundan, u 2 (y,z) f(x,y,z)dv f(x,y,z)dx da (2) u (y,z) elde ederiz. Şekil 2: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 3/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 4/ 32

Son olarak, {(x,y,z) (x,z),u (x,z) y u 2 (x,z)} şeklinde verilen bir bölgesine 3.tipte bölge denir. Burada bölgesi nin xz-düzlemi üzerine izdüşümü, y u (x,z) sol, y u 2 (x,z) sağ yüzeydir (Şekil 2). Bu tipteki bir bölge için f(x,y,z)dv elde edilir. u 2 (x,z) u (x,z) f(x,y,z)dy da (2) Şekil 2: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 5/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 6/ 32 : bölgesi y x 2 +z 2 paraboloidi ve y 4 düzlemi tarafından sınırlanan bölge olmak üzere, x 2 +z 2 dv integralini hesaplayınız. enklem 2 ve 2 in her ikisinde de nin I. ya da II. tipte düzlemsel bir bölge olmasına (ve enklem 7 ve 8 e) bağlı olarak iki farklı ifade olabilir. Çözüm : bölgesi Şekil 22 da gösterilmiştir. Şekil 22: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 7/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 8/ 32

ğer yi. tipte bölge olarak düşünürsek, onun, Şekil 23 da gösterilen, xy-düzlemi üzerindeki izdüşümü olan parabolik bölgesini ele almamız gerekir. (y x 2 +z 2 nin z düzlemindeki izi y x 2 parabölüdür.) y x 2 +z 2 den z ± y x 2 elde edildiğinden nin alt sınırı z y x 2 yüzeyi, üst sınırı ise z y x 2 yüzeyidir. olayısıyla, nin. tipte bir bölge olarak ifadesi {(x,y,z) 2 x 2,x 2 y 4, y x 2 z y x 2 } olur ve Şekil 23: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 9/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II / 32 Bu, doğru olmakla birlikte hesaplanması son derece zor bir ifadedir. Bunun yerine yi, 3. tipte bir bölge olarak düşünelim. Bu durumda xz-düzlemi üzerindeki 3 izdüşümü Şekil 24 de gösterilen x 2 +z 2 4 dairesi olur. x 2 +z 2 dv 2 4 y x 2 x 2 +z 2 dzdydx elde ederiz. 2 x 2 y x 2 Şekil 24: Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II / 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 2/ 32

nin sol sınırı y x 2 +z 2 paraboloidi, sağ sınırı y 4 düzlemi olduğundan enklem 2 de, u (x,z) x 2 +z 2 ve u 2 (x,z) 4 alarak x 2 +z 2 dv 3 4 x 2 +z 2 x 2 +z 2 dy da (4 x 2 z 2 ) x 2 +z 2 da 3 şeklinde yazılabilirse de, integrali xz-düzleminde x r cos θ, z r sin θ kutupsal koordinatlarına çevirmek daha kolaydır. Bu bize verir. x 2 +z 2 dv (4 x 2 z 2 ) x 2 +z 2 da 3 2π 2 2π (4 r 2 )rrdrdθ dθ 2 [ 4r 3 2π 3 r5 5 (4r 2 r 4 )dr ] 2 28π 5 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 3/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 4/ 32 Üç Katlı İntegrallerin Uygulamaları Üç Katlı İntegrallerin Uygulamaları nin yalnızca f fonksiyonunun tanım kümesi olduğunu ve f nin grafiğinin dört-boyutlu uzayda olduğunu anımsayınız. f(x, y, z) dv üç katlı integralini çeşitli fiziksel durumlarda, x, y, z ve f(x,y,z) nin fiziksel yorumuna bağlı olarak, çeşitli şekillerde yorumlamak olanaklıdır. deki her nokta için f(x,y,z) olan özel durumla başlayalım. Bu durumda üç katlı integral gerçekten de nin hacmini verir: V() dv (22) Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 5/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 6/ 32

Üç Katlı İntegrallerin Uygulamaları Bunu, örneğin,. tipte bir bölge için Formül 6 da f(x,y,z) alarak görebilirsiniz: u 2 (x,y) dv dz da [u 2 (x,y) u (x,y)]da u (x,y) : x+2y +z 2, x 2y, x ve z düzlemleri tarafından sınırlanan T düzgün dörtyüzlüsünün hacmini bir üç katlı integral kullanarak bulunuz. Çözüm : Bu ifadenin z u (x,y) ve z u 2 (x,y) yüzeyleri arasında kalan bölgenin hacmini verdiğini biliyoruz. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 7/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 8/ 32 T düzgün dörtyüzlüsü ve onun xy-düzlemine izdüşümü Şekil 25 de gösterilmiştir. T nin alt sınırı z düzlemi ve üst sınırı x+2y +z 2 ya da z 2 x 2y düzlemi olduğundan V(T) T x/2 x/2 dv x/2 x/2 2 x 2y (2 x 2y)dydx 3 dzdydx Şekil 25: bulunur. (Hacim hesabı için üç katlı integralleri kullanmanın mutlaka gerekli olmadığına, bunun yalnızca farklı bir hesaplama olanağı sağladığına dikkat ediniz.) Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 9/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 2/ 32

Kütle Çift katlı integral uygulamaları, üç katlı integrallere doğrudan genişletebilir. Örneğin, bir bölgesini kaplayan bir cismin yoğunluğu, herhangi bir (x, y, z) noktasında, birim hacimdeki kütle cinsinden ρ(x, y, z) ise, bu cismin kütlesi m ρ(x,y,z)dv (23) Silindirik ve Küresel Koordinatlarda İntegraller Üç Katlı Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 2/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 22/ 32 Silindirik Koordinatlar Silindirik Koordinatlar f nin sürekli ve bölgesi kutupsal koordinatlarda {(r,θ) α θ β,h (θ) r h 2 (θ)} olarak verilmek üzere, {(x,y,z) (x,y),u (x,y) z u 2 (x,y)} olduğunu varsayalım. enklem 6 dan f(x,y,z)dv β α h 2 (θ) u 2 (rcosθ,rsinθ) h (θ) u (rcosθ,rsinθ) f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ (24) formülünü elde ederiz. Formül 24 üç katlı integralin silindirik koordinatlardaki ifadesidir. Bu formülü kullanmak, bölgesi silindirik koordinatlarla kolayca betimlemeye uygun olduğu ve özellikle f(x,y,z) de x 2 +y 2 ifadesi geçtiği zaman yararlıdır. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 23/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 24/ 32

: 2 4 x 2 2 4 x 2 değerini bulunuz. 2 x 2 +y 2 (x 2 +y 2 )dzdydx integralinin Çözüm : Bu ardışık integral {(x,y,z) 2 x 2, 4 x 2 y 4 x 2, x 2 +y 2 z 2} nin alt yüzeyi z x 2 +y 2 konisi, üst yüzeyi de z 2 düzlemidir. Bu bölgenin silindirik koordinatlardaki ifadesi çok daha basittir: {(r,θ,z) θ 2π, r 2,r z 2} bölgesi üzerinde bir üç katlı integraldir ve nin xy-düzlemi üzerine izdüşümü x 2 +y 2 4 dairesidir. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 25/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 26/ 32 Küresel Koordinatlar olayısıyla 2 4 x 2 2 4 x 2 elde edilir. 2 x 2 +y 2 (x 2 +y 2 )dzdydx 2π 2 2 2π 2π dθ (x 2 +y 2 )dv r 2 r 2 rdzdrdθ r 3 (2 r)dr [ 2 r4 5 r5 ] 2 6π 5, {(ρ,θ,φ) a ρ b,α θ β,c φ d} olarak verilen küresel bir yarık olmak üzere f(x,y,z)dv d β b c α a dir. f(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ 2 sinφ dρdθdφ (25) Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 27/ 32

Küresel Koordinatlar : B bölgesi Bu formülü {(ρ,θ,φ) α θ β,c φ d,g (θ,φ) ρ g 2 (θ,φ)} gibi daha genel küresel bölgeleri de kapsayacak şekilde genişletebiliriz. Bu durumda formül, ρ nun sınırlarının g (θ,φ) ve g 2 (θ,φ)olması dışında (25) ile aynıdır. Küresel koordinatlar genellikle üzerinde integral alınan cismin sınırlarını koni ya da küre gibi yüzeylerin oluşturduğu üç katlı integrallerde kullanılır. B {(x,y,z) x 2 +y 2 +z 2 } birim küresi olmak üzere e (x2 +y 2 +z 2 ) 3/2 dv integralinin değerini bulunuz. B Çözüm : B nin sınırı bir küre olduğu için, küresel koordinatları kullanırız: Ayrıca B {(ρ,θ,φ) ρ, θ 2π, φ π}. x 2 +y 2 +z 2 ρ 2 olduğundan küresel koordinatları kullanmak uygun olur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 29/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 3/ 32 NOT (25) den B π 2π e (x2 +y 2 +z 2 ) 3/2 dv e (ρ2 ) 3/2 ρ 2 sinφdρdθdφ π 2π sin φdφ dθ ρ 2 e ρ3 dρ [ cosφ] π (2π) [ 3 eρ3 ] 4π 3 (e ) teki integrali küresel koordinatları kullanmadan hesaplamak sıkıntılı olurdu. Örneğin kartezyen koordinatlarda ardışık integral olurdu. x 2 x 2 x 2 y 2 (x e 2 +y 2 +z 2 ) 3/2 dzdydx x 2 y 2 bulunur. Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 3/ 32 Öğr.Gör.r.Meltem Altunkaynak MAT Matematik II 32/ 32