Bankacılar Dergisi, Sayı 6, 7 Geriye Dönük Teslerin Karşılaşırmalı Analizi: Döviz Kuru Üzerine Bir Uygulama Ailla Çifer * - Dr. Alper Özün ** - Sai Yılmazer *** Bu çalışmada, riske maruz değer modellerinin öngörü performanslarının espiine yönelik olarak kullanılan alernaif geriye dönük esler incelenmişir...-5..7 arihleri arasındaki günlük ABD doları/türk lirası döviz kurları için; Riskmerics, normal dağılımlı GARCH, çarpık dağılımlı GARCH, Genelleşirilmiş Pareo Dağılımı, Filreli Genelleşirilmiş Pareo Dağılımı ve Filreli Beklenen Kuyruk Kaybı yönemleriyle riske maruz değer öngörüsünde bulunulmuş; söz konusu modellerin öngörü performansları ise aşım sayısı, RMSE, Kupiec esi (Kupiec, 995), Lopez esi (Lopez, 999a, 999b), Chrisoffersen Tesi (Chrisoffersen, 998), Berkowiz esi (Berkowiz, ), Hansen SPA esi (Hansen, 5a, 5b), İleriye Dönük Aşım Sayısı ve RMSE geriye dönük esleri ile karşılaşırılmışır. Diğer arafan, geriye dönük eslerin performansları için ise Ericsson (99) esi, Diebold ve Mariano (995) esi, Harvey, Leybourne ve Newbold (997) esi, Clark ve Mcracken () esi amamlayıcı esler olarak kullanılmışır. Tes sonuçlarına göre Kupiec, Lopez, Chrisoffersen ve Berkowiz esleri aynı modeli seçmesine rağmen Hansen SPA, İleriye Dönük Aşım Sayısı ve RMSE eslerinin farklı modelleri seçmekedir. Bu bulgular, RMD model performanslarının Basel düzenlemelerinde önerilen aşım sayısı kadar diğer geriye yönelik eslerle de analiz edilmesi gerekiğini gösermekedir. Anahar Kelimeler: Geriye dönük esler, riske maruz değer modelleri, döviz kurları. Moivasyon ve Lieraür Taraması Finansal zaman serileri kullanılarak risk ve geirilerin ahminine yönelik olarak modellerin öngörü performansları, modellerin güvenilirliği açısından önem aşımakadır. Riske maruz değer hesaplamalarında ve öngörülerinde bulunurken alınan en büyük risklerden biri de model riskidir. Daha açık bir ifadeyle, kullanılan riske maruz değer modelinin, piyasa ve porföy karakerini yansıımama riski, porföy ve risk yöneicileri açısından üzerinde en çok durulması gereken unsurlardan biridir. Kullanılan modelin ölçüğü ve neicede hesaplanan sermaye mikarının düzenleyici sermaye (regulaory capial) ahsisinde belirlenen aralıklarda gerçekleşip gerçekleşmediğine yönelik performans esleri bu nokada önem kazanmakadır. Modelin öngörü performansının espii geriye dönük esler aracılığıyla yapılmakadır. Burada vurgulanması gereken unsur, geriye dönük eslerin de esasen birer meodoloji olmaları nedeniyle, bunların da model riski içerebileceğidir. Bu eslerin ekinliği ise amamlayıcı esler olarak adlandırılan meodlarla incelenmekedir. Riske maruz değer öngörüsü konusunda yukarıda akarılan değerlendirmeler çerçevesinde, piyasa riski yöneiminde aşağıda yer verilen sürecin izlenmesi model riskinin minimize edilmesine yardımcı olacakır. * Marmara Üniversiesi, Ekonomeri A.B.D., Dokora Öğrencisi, aillacifer@ekonomeri.org ** Türkiye İş Bankası A.Ş., Risk Yöneimi Müdürlüğü, Müfeiş, alper.ozun@isbank.com.r *** TBank A.Ş., Risk Yöneimi Merkezi, Yekili, sai.yilmazer@bank.com.r Yazarlar, çalışmaya ilişkin görüş ve önerileri için Bankacılar Dergisi sayın hakemine eşekkür ederler. 5
Ailla Çifer - Dr. Alper Özün - Sai Yılmazer i) Riske maruz değer modelinin öngörü performansı için geriye dönük esler yapılması, ii) iii) Geriye dönük eslerin performansının ölçümüne yönelik amamlayıcı eslerin yapılması, Tes sonuçları neicesinde öngörü performansı en iyi olan modelin/modellerin seçilerek, bu doğruluda ekonomik sermaye ahsisinde bulunulması sureiyle sermayenin ekin kullanımı. Bankacılık Düzenleme ve Deneleme Kurumu arafından 3..6 arih ve 6335 sayılı Resmi Gazee de yayınlanarak yürülüğe giren Risk Ölçüm Modelleri İle Piyasa Riskinin Hesaplanmasına ve Risk Ölçüm Modellerinin Değerlendirilmesine İlişkin Tebliğ kapsamında, bankalar, kullandıkları risk ölçüm modellerinin doğruluğunu ve performansını ölçmek amacıyla, risk unsurlarında meydana gelebilecek değişmelerden dolayı geçmiş 5 işgünü içerisinde porföy değerlerinde gerçekleşen komisyonlar ve faiz gelirleri hariç olmak üzere günlük kazanç ve kayıplarını, risk ölçüm modelleri ile ahmin eikleri günlük riske maruz değer rakamlarıyla karşılaşırmak sureiyle sapma sayısını espi emek zorundadırlar. Geriye dönük es amacıyla riske maruz değer hesaplanırken, bir günlük elde uma süresi dikkae alınır şeklindeki. madde. fıkra paralelinde, düzenleyici oorie sapma sayısı bazlı geriye yönelik esin zorunluluğunu oraya koymakadır. Ancak, çalışmanın genel bulgularında da görüleceği üzere, yalnız sapma sayısı bazlı geriye yönelik es model riskini arırarak finansal kurumlarda yanlış modelin seçilmesine neden olabilmekedir. Sapma sayısı bazlı geriye yönelik es sapma büyüklüğünü göz ardı emeke, sapma sayısına göre modellerin karşılaşırması ise yanlış model seçimine neden olabilmekedir. Bir model ek bir sapma sayısına sahip olabilir ancak sapma büyüklüğü diğer modellere göre çok yüksek olabilir. Bu durumda sapma sayısına göre belirlenen model kriz durumunda oluşabilecek aşırı oynaklığı espi edememekedir. Yapılan bu çalışmada günlük ABD doları/türk lirası döviz kuru verileri kullanılarak alernaif riske maruz değer modelleri ile risk öngörülerinde bulunulmuş, daha sonra farklı geriye dönük esler aracılığıyla bu modellerin öngörü performansları karşılaşırılmışır. Ayrıca, amamlayıcı esler aracılığıyla geriye dönük eslerin performansları konusunda bir değerlendirmeye varılmışır. Çalışmanın ampirik sonuçları, risk öngörüsünün, riske maruz değere göre değişiği gibi kullanılan geriye dönük eslere bağlı olarak performanslarının farklılaşığını oraya koymakadır. Yazarların bilgisi dahilinde bu çalışmanın Türkiye finansal verileri kullanılarak muhelif geriye dönük es yönemlerinin karşılaşırmasını yapan ilk Türkçe çalışma olduğu değerlendirilmekedir. Geriye dönük esler, genel olarak riske maruz değer modellerinin öngörü performansında bir veya bir kaçı ile yapılmışır. Yabancı finans ve ekonomi piyasalarında ise genel olarak incelendiğinde, geriye dönük eslere yönelik akademik çalışmaların son iki-üç yıl içerisinde yaygınlık kazanıldığı görülmekedir. Bu konuda öncü çalışmalardan bir anesi Tarihsel Simülasyonda Gizli Tehlikeler başlıklı makaledir Prisker (5). Çalışma, alernaif geriye dönük esler uygulanmadan kullanılan söz konusu meodun sakıncalarına değinmesi açısından önem aşımakadır. 6
Bankacılar Dergisi Aragones v.d. (4) ise geriye dönük esler üzerine hazırladıkları çalışmada, eslerin kaniaif unsurların yanı sıra, kaliaif uzman görüşleri ile deseklenmesi gerekiğini savunmakadırlar. Özellikle porföyün yapısı, yaırımcının risk algılaması ve risk işahı gibi konuların da geriye dönük es seçiminde önemi vurgulanmakadır. Benzer şekilde Campbell (5) geriye dönük es süreçlerine isaisiksel olarak yaklaşmanın yanı sıra risk yöneimi perspekifinden bakmanın gereğini vurgulamışır. Berkowiz ve O Brien () icari bankalarda riske maruz değer modellerinin uygun seçimine ilişkin çalışmalarında, bankalar için model seçimindeki riskin, piyasa riskine yakın derecede özellik arzeiğini ve bu riskin seçilen geriye dönük esler aracılığıyla konrol alında uulabileceğini vurgulamakadırlar. Yasal risk raporlamalarında geriye dönük eslerin seçimine ilişkin Kerkhof ve Berrand (4) arafından yapılan ampirik çalışma alernaif geriye dönük esler hakkında deaylı bilgi içermekedir. Doğrudan geriye dönük eslerin performansını konu almasa dahi, riske maruz değer modellerinin öngörü performanslarını karşılaşırmak üzere aynı çalışma içerisinde farklı geriye dönük eslerin kullanılması da son dönemlerde lieraürde yaygın bir uygulama olarak karşımıza çıkmakadır. Bu kapsamda, Angelidis ve Degiannakis (7) beklenen kuyruk kaybı ile riske maruz değer hesaplanmasında, Giovanni vd. () ürev ürünlere yönelik riske maruz değerin Filreli arihsel simülasyon yönemiyle öngörüsünde, farklı geriye dönük meodolojiler kullanmanın önemini vurgulamakadırlar. Geriye dönük esleri esas olarak kullanılan riske maruz değer modellerinin geçerliliğinin onaylanması (model validaion) sürecinde değerlendirmek gerekmekedir. Riske maruz değer modellerinin geçerliliğinin onaylanması, gerek yasal olarak (Basel II düzenlemeleri) gerekse içsel olarak geriye dönük esler aracılığıyla yerine geirilmekedir. Dowd (7) söz konusu bu süreçe geriye dönük eslere ilişkin model riskine vurgu yapmakadır. Ülkemiz uygulamasında genel olarak değerlendirildiğinde, kullanılan riske maruz değer modelinin performansı, yasal düzenlemeler paralelinde, aşım sayısı ile ölçülmekedir. Gerçekleşen risk değerinin ölçülen riske maruz değer sınırları dışına aşması olarak anımlanacak aşım sayısının yanı sıra isaisiksel dağılımları ve bağımlılıkları dikkae alan gelişmiş geriye dönük eslerin kullanımı ekonomik sermayenin ekin kullanımına kakıda bulunacakır. Makalede yer alan geriye dönük eslere yönelik lieraür ve algorimalara meodoloji bölümünde yer verilmişir.. Veri ve Meodoloji.. Veri Çalışmada, 6//-5//7 arasındaki günlük 8 USD/YTL döviz kuru verisi kullanılmışır (n=8). USD/YTL kur verisi www.cmb.gov.r web siesinden alınmışır. Seri logarimik fark olarak oluşurulmuş olup, Grafik de negaif değişimleri Grafik de göserilmişir. Çif kuyruk ile çalışan GARCH modelleri ve Riskmerics poziif ve negaif değişimlerin simerik olduğunu varsaydığından negaif değişimler üzerinden aşırı uç değer eoremi uygulanmışır. Logarimik fark serinin emel isaisik özellikleri ve birim kök esi sonuçları Tablo de verilmişir. Birim kök Augmened Dickey-Fuller esine göre belirlenmişir. ADF birim 7
Ailla Çifer - Dr. Alper Özün - Sai Yılmazer kök esi sonucuna göre USD/YTL döviz kuru değişimi logarimik fark serilerinin düzeyde durağan(i ()) olduğu espi edilmişir. Seçilen örneklemde USD/YTL döviz kuru serisinin basıklık ve çarpıklık değerleri normal dağılıma yakındır. Normallik esi ve asimoik esi(büyük örneklem normallik esi) sonuçlarına göre de USD/YTL döviz kuru serisi normal dağılıma sahipir. Tablo. Temel İsaisik Özellikleri ve Birim Kök Tesi USD/YTL Kur USD/YTL Kur Oralama 9,8974e-6 Maksimum.47744 Sandar Sapma,848 Asimoik Tesi 83.84 [.]** Basıklık 3.4959 Normallik Tesi 64.6 [.]** Çarpıklık.898 ADF Tesi -34.3 Minimum -.775.5 Grafik. USD/YTL Döviz Kuru Logarimik Fark Serisi..5 43 64 85 6 7 48 69 9 3 53 74 95 36 337 358 379 4 4 44 463 484 55 56 547 568 589 -.5 -. -.5 Grafik. USD/YTL Döviz Kuru Negaif Değişimler 4 6 8 4 6 8 4 6 8 3 3 34 36 38 4 4 44 46 48 5 5 54 56 58 -, -,4 -,6 -,8 -, -, -,4 -,6 8
Bankacılar Dergisi.. Meodoloji Çalışmada kullanılan meoları üç ana başlık alında oplanabilir. Bunlar, i) Riske Maruz Değer Modelleri, ii) Geriye Dönük Tesler, iii) Tamamlayıcı Tesler. Bu bölümde, kullanılan üm meodolojiler yukarıda ifade edilen ana başlıklar alında incelenecekir.... Riske Maruz Değer Modelleri Riske maruz değer, zaman aralığında ve belirli bir güven aralığında finansal bir varlığın veya poröyün piyasa fiyaındaki değişimdir. P porföyünün zaman süresinde piyasa değerindeki fark π olasılıkla aşağıdaki eşilikle ölçülebilir (Dowd, 5). [ P RMD] = α P () Porföy değerindeki değişimin fonksiyon dağılımı F ( P ) ye karşılık geldiği için riske maruz değeri (RMD), F - (π) şeklinde anımlamak mkündür. F -, dağılım fonksiyonunun ersi olup öngörülen RMD, F fonksiyonunun dağılımına bağlıdır. günlük risk, RMD ((- π)%) riske maruz değer ölçümüne karşılık gelmekedir. T zamanı için risk ise TD- RMD ((- π)%) ye denkir. Farklı geiri dağılımı varsayımı alında alernaif yönemlerle riske maruz değer öngörüsünde bulunmak mümkündür. Bu çalışmada kullanılan yönemlere ilişkin meodolojik açıklamalar aşağıda yer almakadır.... RiskMerics TM JP Morgan arafından oluşurularak 994 yılında web sieleri üzerinden ücresiz olarak paylaşılan RiskMerics TM meodolojisi, riske maruz değerin (RMD) aşağıda yer verilen formül aracılığıyla hesaplanmasını öngörmekedir. RMD = * () PD * z α h Formülde, PD, riski hesaplanan finansal varlığın zamanındaki piyasa değerini; z α, RMD öngörüsünün yapıldığı güven seviyesinin normal dağılım kesiini, h, finansal varlık için zamanındaki şarlı varyansı, ise RMD öngörüsünün kapsadığı zaman dilimini ifade emekedir. Şarlı varyansı hesaplamak için Riskmerics Üssel Ağırlıklandırılmış Harekeli Oralama (EWMA-Exponenially Weighed Moving Average) algorimasını kullanmakadır. Şarlı varyans, 3 numaralı formül yardımıyla hesaplanabilir. h = λh + ( λσ ) (3) Formülde σ, zamana göre değişkenlik göseren şarlı varyansı ifade emekedir. λ (lambda) ise ile arasında sabi bir indirgeme sayısıdır. λ, öngörülen varyansın geçmiş 9
Ailla Çifer - Dr. Alper Özün - Sai Yılmazer geirilere duyarlılığını yansımakadır. Düşük bir λ değeri, varyans hesaplamasında bir önceki güne ai geiriye büyük bir değer aanmasını sağlar. Riskmerics in sandar uygulamasında λ,.94 olarak aanmakadır. EWMA formülasyonu, varlıkların günlük geirilerinin orancasının sıfıra eşi olduğu hipoezini kabul emekedir.... Normal Dağılımlı GARCH (p,q) Modeli GARCH (Genelleşirilmiş ARCH) modeli, Engle (98) arafından oluşurulan ARCH modelinin şarlı varyans ahmininde kullanımını öngören Bollerslev (986) arafından oluşurulmuşur. GARCH modeli, sonsuz ARCH sürecinin ve paramereler üzerinde doğrusal olmayan kısıların olduğu varsayımları alında oluşurulmuşur. Bu nedenle, öncelikle ARCH modelinin açıklanmasında fayda görülmekedir. ARCH modeli, bağımlı değişkenin varyansını, bu değişkenin geçmiş değerlerinin bir fonksiyonu olarak kabul emekedir. Bu bakış açısıyla, ARCH modeli, 6 numaralı eşilike yer verilen saik doğrusal bir ilişki için haa erimini ( ε i ), finansal ifadeyle geirilerdeki beklenmeyen değişimi, 4 numaralı denklemde belirilen şekilde sabi varyanslı ve normal dağılımlı rassal değişken olarak dikkae almakadır. yi = α + βχ + ε (4) i i E (5) ( ε i ) = E ( ε i ) = σ ε Yukarıdaki varsayımları kullanarak Engle (98), ARCH modelini zaman değişken varyansı dikkae alarak aşağıdaki eşilik aracılığıyla oluşurmuşur. q σ = ω + α ε = ω + α( L) ε (6) i= i i 6 numaralı eşilike, σ i, ε nin zamana göre değişkenlik göseren şarlı varyansını i- fade emekedir. ARCH modeli, olması şarını aşımasını zorunlu kılmakadır. α i nın sıfırdan büyük olması α i ile α nin oplamının Bu varsayımsal kısılamanın aşılması amacıyla, eknik bir ifadeyle, negaif varyansın öngörülmesinin sağlanması amacıyla, Bollerslev (986) Genelleşirilmiş ARCH (GARCH) modelini kurmuşur. GARCH modeli, 7 numaralı denklemde görüleceği şekliyle doğrusal varyans ve şarlı varyansın geçmiş değerinin ekisini dikkae almakadır. n n ε + β = = σ = α + α σ (7) k σ değişkenin geçmiş dönem varyansı ifade emekedir. Normal dağılımlı GARCH (,) modelinin en belirgin varsayımı, varyansın normal dağılıma sahip olduğudur. Normal dağılım varsayımında basıklık ve çarpıklık sırasıyla ve 3 değerlerine sahipir. 8 numaralı eşilik, normal dağılıma sahip varyansın öngörüsüne ilişkin log-olabilirlik fonksiyonunu gösermekedir (Peers, ). 3
Bankacılar Dergisi L T = T [ In( ) + In( σ + z ] ) T = π (8)...3. Çarpık Suden- Dağılımlı GARCH (p,q) Modeli Fernandez ve Seel (998) riske maruz değer öngörüsünde çarpık dağılımlı GARCH modelini kullanmışır. Bu yönem, hem asimerik dağılımı hem de kalın kuyruk özelliklerini yansıması açısından önem aşımakadır. Γ (.) nin gama fonksiyonu olarak adlandırıldığı modeli, aşağıdaki formülle anımlamak mümkündür(peers, ). η + η lskewed s = T InΓ( ) InΓ( ).5In[ π ( η ) ] + In( ) + In( s) ξ + ξ T ( sε + m) I.5 Inσ + ( + η) In + ξ (9) = η...4. Genelleşirilmiş Pareo Dağılımı Genelleşirilmiş Pareo Dağılımı kullanılarak, yukarıdaki paramerik modellerde yer verilen önceden anımlı ξ ve β için, F = P[ X u y/ X u] = GPD ( y) () u ξβ, olacakır. Negaif değerler için (kayıplar) x = u+y eşiliği varsayımıyla kuyruk kesirimi F( x) ( N / n)(( ( X u)/ ) u ξ = + ξ β () eşiliğiyle elde edilir. Formülde, n oplam örneklem seini, N u ise u üzerindeki aşım sayısını göserir. Tanımlı q> F(u) dağılımı için günlük riske maruz değer, RMD (q%); u RMD = u + ( β / ξ) (( n / N )( q)) ξ () denklemi aracılığıyla hesaplanır....5. Filreli Genelleşirilmiş Pareo Dağılımı numaralı eşilike, u erimi sabi veya değişken eşik şeklinde aanarak, sabi eşikli GPD veya değişken eşikli GPD e elde edilebilir. Bu çalışmada, örneklem seinde değişken eşik oluşurulurken verilik bir eşik üzerinden u değeri elde edilmişir.. gözlem. gözlemle,. gözlem. gözlemle eşik oluşuracak şekilde düzenlemede bulunulmuşur. Türkiye piyasalarındaki yüksek volailie ve serbes kur rejimi nedeniyle değişken eşikli modelin, döviz kuru geirilerindeki uç değişimleri yakalamada daha başarılı olması beklenmekedir. 3
Ailla Çifer - Dr. Alper Özün - Sai Yılmazer...6. Filreli Beklenen Kuyruk Kaybı Arzner v.d. (999) arafından gelişirilen beklenen kuyruk kaybı yöneminde, geirinin beklenen değeri, riske maruz değer uarı aşıldığı zaman ölçülmekedir. Beklenen kuyruk kaybı aşağıdaki eşilik aracılığıyla oluşurulur (Gilli ve Kellezi, ). ESp = E X / x> RMD p (3) Denklemin sağındaki ikinci erim, RMD p eşiği üzerindeki F RMDp (y) aşım dağılımının oralamasıdır. GPD için ξ < paramereli oralama aşım fonksiyonunun aşağıdaki şekilde ifade edilebileceği dikkae alındığında, eu ( ) = E( X u/ x> u) = ( σ + ξu)/( ξ); (4) σ + ξu > beklenen kuyruk kaybı; BKK = RMD + (( σ + ξ)( RMD u)) /( ξ) (5) p p p = RMD ( ξ ) + (( σ ξu) / ξ (6) p olacakır. Eğer X, GPD ise; üm r < /ξ amsayıları için (r), r inci ilk momen mevcuur. 3... Geriye Dönük Tesler Riske maruz değer analizlerinde en önemli aşamalardan biri, ölçülen risk büyüklüklerinin geriye dönük esler aracılığıyla incelenmesi ve bu konuda aşım meydana gelmiş ise bu sapmaların nedenleri, aşımların yüksek volailienin gözlemlendiği dönemlere denk gelip gelmediği ve sapmaların sayısıdır. Eğer aşımlar yüksek volailienin gözlemlendiği döneme denk geliyorsa, riske maruz değer ölçüm yönemleri gözden geçirilmeli ve uygunlukları incelenmelidir. Geriye dönük esler, yasal sermaye yeerliliği hesaplanmasının yanı sıra ekonomik sermayenin hesaplanmasında da büyük önem aşımakadır. Aşım sayısı daha önceden yasal olarak belirlenmiş sayıyı aşan bankaların daha yüksek yasal sermaye uması ihiyacı oraya çıkacakır. Bu çalışmada kullanılan geriye dönük eslerin meodolojilerine aşağıda yer verilmişir.... Aşım Sayısı ve RMSE Aşım sayısı ve haa karelerinin oralamasının karekökü (RMSE) simerik haa isaisikleridir. Bu yönemler, öngörülen değer ile gerçekleşen değer arasındaki farkın işareine ve büyüklüğüne bakmadan karşılaşırılma yapmakadır. Aşım sayısı, RiskMerics (994) meodolojisinin bir parçası olarak bilinmekedir. Yönem, gerçekleşen kayıp/geiri ile ölçülen riskin basi bir karşılaşırmasını içermeke, belirlenen güven aralığına çıkan bir aşım varsa modelin öngörüsünün zayıf olduğu sonucuna ulaşılmakadır. Haa karelerinin oralamasının karekökü (RMSE) ise 7 no.lu formülde açıklanmışır.
Bankacılar Dergisi RMSE = h T+ h ( ˆ σ f, x σr, ) (7) = T+ Formülde, f= T+T, T+,...,T+h şeklindeki gözlemlenen ve öngörülen volailie sırasıyla ˆ σ f, x ve σ r, ; analiz arihi, h ise öngörü sayısına karşılık gelmekedir. Modellerin karşılaşırmasında en düşük RMSE ye sahip modelin en başarışı olduğu sonucuna varılmakadır.... Kupiec Tesi (995) Kupiec (995) esinde, Ki-kare dağılımına sahip olan olabilirlik oranı (likelihood raio) (LR) hesaplanmasına 8 numaralı eşilike yer verilmişir (Kupiec, 995). x T x x T x { log[ f ( f ) ] log[ ( ]} LR = α α) (8) f ile, önce- Eşilike, RMD(x) değerini aşan gözlemlerin oplam gözlemlere (T) oranı den anımlı RMD değeri ise α ile göserilmişir (Tang ve Shieh, 6)....3. Chrisoffersen Tesi (998) Chrisoffersen (998) esi, aşım oranının hesaplanmasınından çok, aşımın oraya çıkma olasılığı üzerinde yoğunlaşmakadır. Tes, öngörünün, geçmişen bağımsız bir şekilde belirli bir olasılıkla aşımına yönelik olarak kullanılmakadır (Berkowiz, ). Pr( r v p Chrisoffersen esi, esas iibariyle, < ) = hipoezinin geçerliliğini irdelenmekedir α p = Pr( y ( α)) (Sarma v.d. ). < VaR H : p α = α eşiliğini, ; H p α : α hipoezini { ( y ( α )} es emek amacıyla kurduğumuzu; ayrıca, < VaR nin α α n α n L( p ) = ( p ) ( p ) benzeri bir binom olasılık dağılımına sahip olduğunu varsayalım. Varsayımlarda VaR, riske maruz değeri ifade emekedir. Bu bakış açısıyla, yukarıdaki T T n = eşiliklerde, = ( y > R VaR ( α)) n = ve = ( y < R VaR ( α)) olacağı varsayımlarından harekele n n L( α) = ( α ) α eşiliğine ulaşılacakır (Saloğlu, 3). Chrisoffersen esi için Likelihood oranı (LR) hesaplaması 9 numaralı formülde göserilmişir. d LR = In( L( α)) / L( p)) χ()...4. Lopez Tesi (999a,999b) ^ Lopez (999a, 999b) riske maruz değer ahmini için geriye dönük es sürecini üç a- şamada oluşurmuşur (Campbell, 5). İlk aşamada, kayıp ve kazanç verisi için uygun dağılım ile isaisik modeli oluşurulur. Daha sonra, elde edilen modelden, arihsel kayıp ile kazanç kullanılarak ilgili RMD ve RMD (α) oluşurularak oralama kayıp değerine ( Lˆ i ) ulaşılır. Üçüncü aşamada ise yukarıda akarılan süreç defalarca, örneğin. defa, ekrar (9) 33
Ailla Çifer - Dr. Alper Özün - Sai Yılmazer i=. edilir ve oralama kayıp dağılımı ahminine ( [ ] L ˆ i i= ) ulaşılır. Simüle edilmiş oralama kayıpların dağılımı, sandar es hipoezi çerçevesinde, riske maruz değer öngörüsünün uygunluğuna yönelik karar için zemin oluşurur. Lopez (999a, 999b), gözlemlenen riske maruz değer ile öngörü arasındaki farkı, başka bir ifadeyle aşımı ölçen fonksiyonu, L i (x,,+, RMD ( ) ), no.lu denklemle ifade emekedir. X,+ günlük kayıp/kazanç farkını emsil ederken RMD ( ) seçilen güven aralığında riske maruz değere göre risk seviyesini emsil emekedir. ( + ( x, RMD ( α ) ) )... eger...... x, + > RMD ( α ) (... eger... x, + RMD ( α ) + () Lopez kuyruk kaybı oplamı, T es/gözlem sayısı olmak üzere, no.lu denklemle ifade edilir. T Lˆ = L( RMD( α ), x, + ) () T...5. Berkowiz Tesi () Berkowiz () esi, Dowd () arafından basi bir şekilde aşağıda açıklanmışır. Tes bir küme kayıp/kazanç gösergesinin, x, oluşurulmasıyla başlar. Her göserge, ahmin edilen ilgili olasılık yoğunluk fonksiyonu üzerindeki yüzde ile, p, eşleşirilir. Eşleşirişmenin ardından bu seriler birbirinden bağımsız ve eşlenik olarak, U (,), modelin geçerli olduğu emel sıfır hipoezi alında dağıılmalıdır. Modelin yeerliliğine kara vermek için, p nin öngörüldüğü gibi ekip olup olmadı es edilir. Bununla birlike, esi doğrudan gerçekleşirmek yerine Berkowiz (), veriyi sıfırın alında sandar normal dağılıma kavuşurmak için ilave bir dönüşüm (z = Φ (p)) önermişir. Z nin normal dağılıp dağılmadığının es edilmesi için no.lu eşilik olabilirlilik oranı için ise 3. no.lu eşilik ahmin edilmelidir (Berkowiz, ). Z µ = p( µ ) + ε () Z P = µ =, σ = (3) Formülde σ, ε nin sandar dağılımıdır....6. Hansen SPA Tesi (Hansen(5), Hansen ve Lunde(5)) Haa eriminin,µ, sıfıra eşi veya sıfırdan küçük olduğunu ifade eden H hipoezinin esi için Whie () arafından RC esi (realiy check) gelişirilmişir. Tes isaisiği aşağıdaki gibidir: / / T max( n d,..., n ) (4) n d m 34
Bankacılar Dergisi n Eşilike asimoik kabul edilen dağılımı n / d N (, Ω) yakınsamasına göre belir- lenmekedir. Eşilike d n = d (oralama relaif performans vekörü) ve / Ω a var( n ( d µ )) (asimoik kovaryans mariksi) olmak üzere Ω, Ω nın uygun belirleyicisidir. RC esi µ k = eşiliğini varsayan asimoik kabul edilen dağılıma göre belirlenmekedir. µ k = E( d k, ) k modelinin beklenen aşırı performansıdır(de Jong(997), Hansen (5)). Verilen bu eorik çerçevede Hansen (5) RC esinin ilgisiz alernaif modeller kullanılarak kullanılamaz hale geirileceğini gösermişir. Burada ilgisiz alernaif model olarak adlandırılan, en iyi karşılaşırılabilir modele göre zayıf olan bir modeldir. Modeller ne kadar çok ilgisiz olursa, RC esinin performansı o derece zayıflaılacakır. Örneğin, Hansen ve Lunde (5) ARCH (,) modeline zayıf bir modelin ilave edilmesi RC esinin gücünü amamen oradan kaldırmakadır. Bu problemi çözmek için Hansen (5) SPA esini gelişirmişir. Hansen (5) sıfır hipoezinin doğru olduğu zaman en az bir ahminin haa eriminin sıfıra eşi olacağını gösermişir. SPA esindeki kriik değerin 5 numaralı denklemde sağladığını varsaydığımızda, Hansen (5) arafından gelişirilen es isaisiği 6 numaralı denklemle ifade edilir. q~ ( α ) max( q( α ),) (5) ~ / c q ( α ) inf q P((max N( n ˆ µ, Ωˆ ) q) α (6) { { m } } T n değerinin eşilike bulunan değerden büyük olması durumunda sıfır hipoezi reddedilecek ve en az bir modelin en iyi karşılaşırma modelinden (benchmark) daha üsün performans göserdiği sonucuna varılacakır....7. İleriye Dönük Aşım Sayısı ve RMSE Haa karelerinin oralamasının karekökü (RMSE), öngörüde ölçeğe dayalı bir karşılaşırma algorimasıdır. Tes değeri, bir değişkenin h-adım öe ahmininden, E(y +h ), gözlemlenen y +h değerinden sapmasına karşılık gelmekedir. E(y +h ) nin RMSE si aşağıdaki fonksiyonun karesine denk gelmekedir. m T + h + h (7) = T+ h /( T T h+ ) ( E( y ) y ) Fonksiyonda, T +h örneklem esinin başlangıcını, T ise sonunu ifade emekedir. İleriye dönük aşım sayısı, yukarıda akarılan aynı manıkla hesaplanmakla birlike, RMSE farklı sayıdaki isisnalar ile ekrar edilmekedir. İleriye dönük aşım sayısı, kuyruk kayıplarını direk olarak kavrayabildiği için RMSE ye göre daha hassas bir öngörü performansı ölçüm yönemidir...3. Tamamlayıcı Tesler Bir modelin diğer modellere göre daha düşük haa karelerinin oralaması (MSE) veya haa karelerinin oralamasının karekökü (RMSE) değeri alması o modelin diğer modellerden 35
Ailla Çifer - Dr. Alper Özün - Sai Yılmazer daha iyi olduğunu gösermeyebilir. Bunun en önemli nedeni, MSE veya RMSE değerinin isaisiksel olarak sıfırdan farksız olması olabilir(harris ve Sollis, 3). Bu durumda modellerden elde edilen MSE veya RMSE nin isaisiksel olarak anlamlılığının es edilmesi gerekmekedir. Çalışmamızda MSE nin isaisiksel olarak farklılığını es eden Ericsson(99), Diebold ve Mariano (995), Harvey v.d. (997) ve Clark ve Mcracken () amamlayıcı esleri kullanılmışır...3.. Ericsson Tesi (99) Ericsson arafından oluşurulan öngörü-farkı amamlayıcı esi aşağıda yer verilen şarlı ekin regresyon manığıyla paraleldir(clark ve McCracken, ). eˆ = λ( eˆ eˆ ) + η (8), +, +, + + Tes isaisiği, genel olarak OLS emelli regresyon kasayısına benzemeke olup hesaplanmasına ilişkin formül aşağıda yer almakadır(ericsson, 99). P a ER = [ a a a ] /, T.5, T, T, T (9) formülde a ˆ ˆ ˆ, T P = e, ( e, e, ) + + +, a ˆ ˆ, T P = ( e, e, ) + + ve a, T = P e, + olmakadır. Sıfır hipoezi u, ve u,- u, arasındaki kovaryansın sıfıra eşi veya sıfırdan küçük olduğu varsayımı üzerine kuruludur...3.. Diebold ve Mariano Tesi (995) Diebold ve Marino (995) karşılaşırılan örnek model ile seçilmiş modellerin öngörü haalarına dayalı karşılaşırma algoriması gelişirmişir. U esin en önemli avanajı, öngörü haalarının dağılımına yönelik herhangi bir varsayım içermemesidir. ˆ, e + ve ˆ, e + iki ahmin haası olarak anımlanır ve aşağıdaki öngörüde bulunulur. d = eˆ eˆ (3) +, +, + ve P d = MSE d = + MSE MSE öngörüde bulunulan modelde, haaların oralama karesidir. Bu çerçevede, Diebold ve Mariano esi aşağıdaki denklemde anımlanır. DM = P d ( d + d ) (3) 36..3.3. Harvey, Leybourne ve Newbold Tesi (997) Harvey v.d. (997), öngörü eslerini karşılaşıran geleneksel eslerin normal dağılıma sahip olmayan öngörü sapmalarında(mse, RMSE) aşırı büyüklüğe sahip olabileceğini belirmişir. Harvey v.d. (997), Diebold ve Marino (995) esini baz alarak e ve e - e arasındaki kovaryansın poziif olacağı şekilde aşağıdaki alernaif esi gelişirmişir.
Bankacılar Dergisi n n e e e / = ( ) c HLN = = n var( c ) n ( e e e ) c (3) Formülde c = e ( e e) ve c = n c olmakadır(harvey v.d.,997). Hipoezin kabul edildiği durumda HLN isaisiği asimoik sandar normal dağılıma sahipir...3.4. Clark ve Mcracken () Tesi Clark ve McCracken() HLN esi isaisiğindeki birimlerin esin küçük örneklem özellikleri nedeniyle zı yönde ekilenebileceğini belirmişir. HLN esini gelişirerek sınırlı örneklemde de geçerli olabilen aşağıdaki esi gelişirmişir. n = n n e = n ( e e e ) c CM = n = n MSE (33) HLN esinde olduğu gibi e ve e - e arasındaki kovaryans poziifir. Diğer yandan, CM esi HLN esinde olduğu gibi asimooik sandar normal dağılım özelliğine sahip değildir. CM kriik değerleri Clark ve McCracken() de bulunmakadır. 3. Ampirik Bulgular Geriye yönelik esleri analiz emek amacı ile Riskmerics, normal dağılımlı GARCH, çarpık dağılımlı GARCH, Genelleşirilmiş Pareo Dağılımı, Filreli Genelleşirilmiş Pareo Dağılımı ve Filreli Beklenen Kuyruk Kaybı yönemleriyle riske maruz değer öngörüsünde bulunulmuşur. Modellerin performansları ile geriye dönük esler ve amamlayıcı esler ile karşılaşırılmışır. Analiz sonuçları gerek isaisik gerekse grafiksel olarak akarılmışır. Grafik 3. RMD Modelleri Tes Sonuçları 8 5 9 36 43 5 57 64 7 78 85 9 99 6 3 7 34 4 48 55 6 69 76 83 9 97 4 8 5 3 39 46 53 6 67 74 8 88 95 3 39 36 33 33 337 344 35 358 365 37 379 386 393 4 47 44 4 48 435 44 449 456 463 47 477 484 49 498 55 5 59 56 533 54 547 554 56 568 575 58 589 -,5 -, -,5 -, -,5 Kur(YTL/USD) Garch GPD F ES Risk Merics Garch-Skew F GPD Grafik 3 de Riske Maruz Değer modellerinin karşılaşırması yapılmış olup, Genelleşirilmiş Pareo Dağılımı risk seviyelerini en opimum seviyede belirlemekedir. 37
Ailla Çifer - Dr. Alper Özün - Sai Yılmazer 38 Tablo Geriye Dönük Tes Sonuçları Garch- Riskmerics Garch Skewed GPD FGPD FES Aşım Sayısı 5 3 4 4 RMSE,3736,38967,4556,37486,6674,969 Ileri Dönük 7.7574 4.749.3857 9.3489 3.857.857 Oralama Aşım Sayısı* Ileri Dönük,43,479,435,3878,6898,93975 Oralama RMSE* Kupiec,5,66,67,7755,44, Lopez 39,7745 4,34878 4,539948 46,6893 43,556353 36,998 6 6 Chrisoffersen,4,645,6,38,4694, Berkowiz 488.5 (.) 4743.4 (.) 4747.8 (.) 467.5 (.) 3958.4 (.) 387.5 (.) Hansen SPA,,.55.4.43.89 Tesi** [7.566] [5.4574] [-.575] [-.396] [-6.74] [-5.489] () Olasılık, [] -değeri * 7 gün ** n(örneklem)=59, kayıp fonksiyonu MSE, es isaisiği TesSaScaledMax, B(boosrap parameresi)=, q(bağımlılık)=.5. SPA kriik değerleri %:.36, %5:.746, %:.4679. Tablo de yer alan aşım sayılarını da dikkae alarak RMD Modelleri ese abi uulmuşlardır. En fazla aşım GPD modelinde gerçekleşirken, en az aşım FES modelinde gerçekleşmişir. Kuyruk kayıplarını ve aşımı dikkae alan Kupiec, Lopez, Chrisoffersen ve Berkowiz eslerine göre en opimum es sonuçları FES modelinde gerçekleşmekedir. Hansen SPA ve RMSE es sonuçları, RMD hesaplamalarında geirilerin normal dağıldığını kabul eden Riskmerics modelini ön plana çıkarırken, geirilerin varyansının zaman içerisinde değişimini kabul eden FES modelini en köü es olarak kabul emekedir. Grafik 4 de RMD modelleri ileriye dönük RMSE esine abi umuş olup, 7 günlük periyo dikkae alınarak karşılaşırma yapılmışır. Tes sonuçlarına göre, en az RMSE değerine GPD modeliyle ulaşılmışır. Grafik 5 de ileriye dönük oralama RMSE ve sandar sapma sonuçları göserilmişir. Tes sonuçlarına göre, en az oralama RMSE, GPD modelinde gerçekleşirken. En fazla orama RMSE, FES modelinde gerçekleşmekedir. RMSE sandar sapmalar açısından ise, en az sandar sapma, GPD modelinde gerçeklemekedir. Grafik 6 de aşırı uç değer modelleri karşılaşırılmışır. Sonuçları göre, 7 günlük değerlendirme dikkae alındığında en az aşım sayılarına FES modelinde ulaşılırken, an fazla dalgalanma GPD modelinde gerçekleşmekedir. Grafik 7 de RiskMerics ve GARCH modelleri karşılaşırılmışır. Tes sonuçlarına göre, ileriye dönük aşım sayıları paralellik arz ederken, modeller arasında en az aşım GARCH- Skewed (çarpık GARCH) modelinde gerçekleşmekedir. Grafik 8 de modellerin haa erimleri grafikleri bulunmakadır. Filreli Genelleşirilmiş Pareo Dağılımı ve Filreli Beklenen Kuyruk Kaybı daha oynak ve yüksek haa erimine
Bankacılar Dergisi sahipir. Modellerin haa erimleri(mse veya RMSE) nin isaisiksel olarak anlamlı olup olmadığı amamlayıcı esler ile espi edilebilmekedir. Grafik 4. İleriye Dönük RMSE,44,,43,4, Riskmerics, Garch, Garch-Skew,4,4,39,38,37,36,35 Risk Merics Garch Garch-Skew GPD FGPD FES,8,6,4, GPD, FGPD, ES,34 RMSE RMSE4 RMSE7 RMSE RMSE3 RMSE6 RMSE9 RMSE RMSE5 RMSE8 RMSE3 RMSE34 RMSE37 RMSE4 RMSE43 RMSE46 RMSE49 RMSE5 RMSE55 RMSE58 RMSE6 RMSE64 RMSE67 RMSE7, Grafik 5. İleriye Dönük Oralama RMSE ve Sandar Sapma Oralama RMSE RMSE Sandar Sapma,,8,9,7 Oralama RMSE,8,7,6,5,4,3,,6,5,4,3, Sandar Sampa RMSE,, Risk Merics Garch Garch-Skew GPD FGPD FES 5 Grafik 6. Aşırı Uç Değer Modelleri İleriye Dönük Aşım Sayısı GPD FGPD FES 5 5 Aşım Aşım4 Aşım7 Aşım Aşım3 Aşım6 Aşım9 Aşım Aşım5 Aşım8 Aşım3 Aşım34 Aşım37 Aşım4 Aşım43 Aşım46 Aşım49 Aşım5 Aşım55 Aşım58 Aşım6 Aşım64 Aşım67 Aşım7 39
Ailla Çifer - Dr. Alper Özün - Sai Yılmazer Grafik 7. Riskmerics ve Garch Modelleri İleriye Dönük Aşım Sayısı 35 3 Riskmerics Garch Garch-Skew 5 5 5 Aşım Aşım4 Aşım7 Aşım Aşım3 Aşım6 Aşım9 Aşım Aşım5 Aşım8 Aşım3 Aşım34 Aşım37 Aşım4 Aşım43 Aşım46 Aşım49 Aşım5 Aşım55 Aşım58 Aşım6 Aşım64 Aşım67 Aşım7 Grafik 8. Modellerin Haa Terimi Grafikleri.5..5..5 -.5 -. -.5 4 47 7 93 6 39 6 85 8 3 54 77 3 33 346 369 39 45 438 46 484 57 53 553 576 Risk Merics Garch Garch-Skew GPD FGPD FES MSE/RMSE nin isaisiksel olarak farklı olup olmadığını es emek için Ericsson (99), Diebold ve Mariano (995), Harvey v.d.(997) ve Clark ve Mcracken () amamlayıcı esleri kullanılmışır. CM isaiskleri Clark ve McCracken() kriik değerleri ile, ER, DM ve HLN esleri değerleri f isaisik ablosu ile karşılaşırılmışır. F ablosu gözlem üzeri sonsuza giiğinden örneklem olarak son gün haa karelerinin oralaması(mse) baz alınarak MSE nin kabulune ilişkin hipoez es edilmişir. Karşılaşırma(benchmark) modeli olarak Riskmerics modeli belirlenmişir. ER esi sonucuna göre Filreli Genelleşirilmiş Pareo Dağılımı dışındaki üm modeller isaisiksel olarak anlamlı, DM esi sonucuna göre Garch-Skewed ve Filreli Beklenen Kuyruk Kaybı, HLN esi sonucuna göre Genelleşirilmiş Pareo Dağılımı, CM esi sonucuna göre Filreli Genelleşirilmiş Pareo Dağılımı ve Filreli Beklenen Kuyruk Kaybı modeleleri isaisiksel olarak anlamlıdır. Bu sonuçlar, ER, DM ve CM amamlayıcı eslerine göre Filreli Beklenen Kuyuruk Kaybı nın orak olarak riskmerics modelinden farklı olduğunu gösermekedir. Ancak, amamlayıcı eslerin sonuçlarına arasındaki farklılık, MSE/RMSE nin birden fazla amamlayıcı es ile karşılaşırılması gerekiğini gösermekedir. 4
Bankacılar Dergisi Tablo 3. Geriye Dönük Tes Sonuçları(p değerleri) Garch- Riskmerics Garch Skew GPD FGPD FES ER - -.33464* -.39*.356* -.856 -.498* DM - -.36 -.797* -.4993 -.56445 -.35895* HLN - -.858 -.684.* -.67945 -.9984 CM - -4.97-43.8 8.54-8.98* -.* * %5 güven aralığında isaisiksel olarak anlamlı. CM kriik değerleri Clark ve McCracken() den alınmışır. 4. Sonuç ve Öneriler Risk yöneiminde riske maruz değer modeli seçimi poröy yapısı ve ekonomik koşullara göre farklılıklar göserebilmekedir. Riske maruz değer modellerinin performansları geriye dönük esler aracılığıyla ölçülmekedir. Doğru modelin seçilememesi model riski olarak sürekli karşımıza çıkacakır. Yapılan bu çalışmada, riske maruz değer modellerinin öngörü performanslarının espiine yönelik olarak kullanılan alernaif geriye dönük esler algorimaları inceleme konusu yapılmışır. Çalışma kapsamında yapılan eslerde zaman serisi olarak günlük ABD Doları/Türk Lirası döviz kurları kullanılmışır. Riskmerics, normal dağılımlı GARCH, çarpık dağılımlı GARCH, Genelleşirilmiş Pareo Dağılımı, Filreli Genelleşirilmiş Pareo Dağılımı ve Filreli Beklenen Kuyruk Kaybı meodları kullanılarak hesaplanan riske maruz değer için model performans analizleri için alernaif geriye dönük esler uygulanmışır. Geriye dönük es algorimaları olarak, aşım sayısı, RMSE, Kupiec esi (Kupiec, 995), Lopez esi (Lopez, 999a, 999b), Chrisoffersen Tesi (Chrisoffersen, 998), Berkowiz esi (Berkowiz, ), Hansen SPA esi (Hansen (5) ve Hansen ve Lunde(5), İleriye Dönük Aşım Sayısı ve RMSE geriye dönük esleri kullanılarak her bir riske maruz değer modeli için bir çeşi validasyon çalışması yapılmışır. Buna ilave olarak, söz konusu geriye dönük eslerin performansları ise Ericsson (99) esi, Diebold ve Mariano (995) esi, Harvey, Leybourne ve Newbold (997) esi, Clark ve Mcracken () esi amamlayıcı esleri aracılığıyla yapılmışır. Ampirik bulgular karşılaşırmalı bir büünlük içerisinde değerlendirildiğinde, geriye dönük eslerden Kupiec, Lopez, Chrisoffersen ve Berkowiz esleri aynı riske maruz değer modelinin uygunluğunu onaylarken Hansen SPA, İleriye Dönük Aşım Sayısı ve RMSE esleri farklı riske maruz değer modellerini valide emekedir. Bu ampirik bulgular, risk yöneimi açısından oldukça önemli bir akım hususlara vurgu yapılmsını gerekirmekedir. İlk olarak, seçilen riske maruz değer modelinin model riski aşıyabileceği; bu nedenle geriye dönük esler ve bencmark kullanılarak valide edilmesi gerekmekedir. İkinci olarak, riske maruz değer modellerinin performanslarının Basel düzenlemeleri kapsamında yer verilen basi aşım sayısının yanı sıra, diğer ekonomerik abanlı geriye yönelik eslerle de analiz edilmelidir. Bu analizler, yasal sermaye gereksinimi hesaplamalarının öesinde model riskinin irdelenmesi için önem aşımakadır. Dipno Morgan Guarany Trus Company (994), RiskMerics TM 4
Ailla Çifer - Dr. Alper Özün - Sai Yılmazer Kaynakça ANGELIDIS, T. ve DEGIANNAKIS, S. (7), Backesing VaR Models: An Expeced Shorfall Approach, Universiy of Cree, Deparmen of Economics, Working Papers, No. 7 ARAGONÉS, J.R., BLANCO, C. ve OKS, M. (4), Backesing VaR Models: Quaniaive and Qualiaive Tess, The Risk Desk, IV(). ARTZNER, P., F. DELBAEN, J. M. EBER, ve D. HEATH, (999), Coheren Measures of Risk, Mahemaical Finance, 9 ss. 3 8. BERKOWITZ, J. (), Tesing Densiy Forecass Wih Applicaions o Risk Managemen, Journal of Business and Economic Saisics, 9, ss. 465-474 BERKOWITZ, J. ve O BRIEN (), How Accurae are Value-a-Risk Models a Commercial Banks?, Working Paper, US Federal Reserve Board's Finance & Economic. BOLLERSLEV, T. (986), Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy, Journal of Economerics, 3, ss.37 37. CAMPBELL, S. (5), Sock Marke Volailiy and he Grea Moderaion, FEDS Working Paper 47, Board of Governors of he Federal Reserve Sysem CHRISTOFFERSEN, P. F. (998), Evaluaing Inerval Forecass, Inernaional Economic Review, 39, ss. 84-86. CLARK, T. E. ve McCRACKEN, M.W. (), Tess of equal forecas accuracy and encompassing for nesed models, Journal of Economerics, 5(), ss. 85-. CLARK, T. E. ve McCRACKEN, M.W. (), No-for-publicaion appendix o Tess of equal forecas accuracy and encompassing for nesed models, Manuscrip, Federal Reserve Bank of Kansas Ciy DIE- BOLD, F.X. ve Mariano, R.S. (995), Comparing Predicive Accuracy, Journal of Business and Economic Saisics, 3(3), ss. 53-63. DE JONG, R. (997), Cenral Limi Theorems for Dependen Heerogeneous Random Variables, Economeric Theory, 3, ss. 353-367. DOWD, K. (), An Inroducion o Marke Risk Measuremen, Wiley Press DOWD, K. (5), Backesing Risk Models wihin a Sandard Normaliy Framework, Journal of Risk, 9(), ss. 93-. DOWD, K. (7), A Momen-based Procedure for Evaluaing Risk Forecasing Models, Ediör: Sachell, S. Analyics of Risk Model Validaion, Elsevier, (yayınlanacak) 7. ENGLE R.F. (98), Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy wih Esimae of he Variance of Unied Kingdom Inflaion, Economerica,5, ss.987-7 ERICSSON, N. R. (99), Parameer Consancy, Mean Square Forecas Errors, and Measuring Forecas Performance: An Exposiion, Exensions, and Illusraion, Journal of Policy Modeling, 4(4), ss. 465-95. FERNANDEZ, C. ve STELL, M. (998), On Bayesian Modeling of fa ails and Skewness, Journal of he American Saisical Associaion, 93, ss..359-37 GILLI, K. ve KELLEZI, E. (), Porfolio Opimizaion wih VaR and Expeced Shorfall, Compuaional Mehods in Decision-making, Economics and Finance, (Ed. E.J. Konoghiorghes, B. Rusem ve S. Siokos), Kluwer Applied Opimizaion Series, ss. 67-83. GIOVANNI, B-A. GIANNOPOULOS, K. ve VOSPER, L. (), Backesing Derivaive Porfolios wih Filered Hisorical Simulaion (FHS), European Financial Managemen, 8, ss. 3-58. HANSEN, P. R (5), A Tes for Superior Predicive Abiliy, Journal of Business and Economic Saisics, 3, ss. 365-38. HANSEN, P. R. ve LUNDE, A. (5), A Forecas Comparison of Volailiy Models: Does Anyhing Bea a GARCH(,)?, Journal of Applied Economerics, ss. 873-889. HARRIS, R. ve SOLLIS, R. (3), Applied Time Series Modelling and Forecasing, Wiley Press HARVEY, D. I., LEYBOURNE, S. ve NEWBOLD, P. (997), Tesing he Equaliy of Predicion Mean Squared Errors, Inernaional Journal of Forecasing, 3(3), ss. 8-9. KERKHOF, J. ve BERTRAND, M. (4), Backesing for risk-based regulaory capial, Journal of Banking and Finance 8, ss. 845-865. KUPIEC, P.H. (995), Techniques for Verifying he Accuracy of Risk Measuremen Models, Journal of Derivaives, Winer, ss. 73-84 LOPEZ J.A. (999a), Mehods for Evaluaing Value-a-Risk Models, Federal Reserve Bank of San Francisco Economic Review,, ss. 3-7. LOPEZ, J.A., (999b), Regulaory Evaluaion of Value-a-Risk Models, Journal of Risk,, ss. 37-64. MORGAN GUARANTY TRUST COMPANY (994), RiskMerics TM - Technical Documen, Morgan Guarany Trus Company, Global Research, New York. 4
Bankacılar Dergisi PETERS, J. (), Esimaing and Forecasing Volailiy of Sock Indices Using Asymmeric Garch Models and (Skewed) Suden- Densiies, Mimeo, Ecole d Admin. des Affaires, Unv.of Li`ege, Working Papers PRITSKER, M. (5), Large Invesors: Implicaions for Equilibrium Asse Reurns, Shock Absorpion, and Liquidiy, FED Working Paper 5-36, Board of Governors of he Federal Reserve Sysem. SARMA, M., THOMAS, S. ve SHAH, A. (), Selecion of Value-a-Risk Models, Mimeo. SALTOĞLU, B. (3), A High Frequency Analysis of Financial Risk and Crisis: An Empirical Sudy on Turkish Financial Marke, Yaylım Publishing, Isanbul TANG, T. ve SHIEH, S. J. (6), Long-Memory in Sock Index Fuures Markes: A Value-a-Risk Approach, Physica A, 366, ss. 437-448 WHITE, H. (), A realiy check for daa snooping, Economerica, 68, ss. 97 6. 43