0.1 Katı Cismin Üç Boyutlu Hareketinin Kinetiği

F = m rg = ma G Şekil 1: Şekil 2: 0.1 Katı Cismin Üç Boyutlu Hareketinin Kinetiği UYARI :Düzlemsel hareketin kinetiğinin iyi çalışılması önemlidir.. Zira, aynı kavramlar ve bağıntıların benzerleri ile karşılaşırız. 0.1.1 Açısal Momentum Maddesel sistem rijid olsun veya olmasın NEWTON un hareket denklemlerinin genelleştirilmiş ifadesi Bölüm 4 de: ve F = Ġ şeklinde elde etmiştik. Bu sonuçlar aynen katı cismin üç boyutlu hareketine de uygulanır. Katı cismin üç boyutlu hareketinde Açısal Momentum kolayca yazılamaz çünkü açısal momentin düzlemsel harekette görülmeyen bileşenleri ortaya çıkar. Şekil 1 de ω, katı cismin XYZ e göre açısal vektörü, aynı zamanda xyz in de açısal hız vektörüdür. H G = ρ i m i v i ifadesini 4. bölümde mutlak hareket momenti olarak elde 1

etmiştik. v i hızı m i noktasının XYZ e göre uygulanan hızı idi (mutlak hız). Katı cisimde hızlar alanını v i için yazarsak v i = v G + w ρ i Burada, ω ρ i ise m i noktasının G kütle merkezine göre bağıl hızı idi. yerine yazarsak; H G = ρ i m i (v G + ω ρ i ) H G = ρ i m i v G + [ρ i m i (ω ρ i )] H G = v G ρ i m i + [ρ i m i (w ρ i ) (1)] NOT: ρ i m i = mρ G idi eksenler G den geçiyor, ρ G = 0 olur. Toplamı integral formunda yazarsak, G etrafında dönen katı cismin G ye göre hareket momenti: H G = ρ (ω ρ)dm Bu bağıntıyı şekil 2 deki gibi sabit bir O noktasında yazalım. +. bölümde H O = r i m i v i bağıntısı elde edilmişti. v i hızı O ekseni etrafında dönen katı cismin hızı olup v i = w r i dir. r i r ve m i dm ile temsil edilerek integral formunda H O = r (ω r)dm (2) elde edilir. Şekil 1 ve 2 den r i ve ρ i, xyz eksenlerinde yazılır (xi + yj + zk gibi). Dolayısı ile H G ve H O görünüm olarak aynıdır. H G ve H O yu temsilen H sembolünü kullanarak: H = [(xi + yj + zk) (w x i + w y j + w z k) (xi + yj + zk)]dm H = [(y 2 + z 2 )w x xyw y xzw z ]dmi + [ yxw x + (z 2 + x 2 )w y yzw z ]dmj + [ zxw x zyw y + (x 2 + y 2 )w z ]dmk elde edilir. Atalet momentleri tanımları ile I xx = (y 2 + z 2 )dm, I xy = xydm 2

I yy = H ifadesini yeniden yazarsak: elde edilir. Böylece ve (z 2 + x 2 )dm, I xz = xzdm I zz = (x 2 + y 2 )dm, I yz = yzdm (3) H = (I xx w x I xy w y I xz w z )i +( I yx w x + I yy w y I yz w z )j +( I zx w x I zy w y + I zz w z )k (4) H = H x i + H y j + H z k H x = I xx w x I xy w y I xz w z H y = I yx w x + I yy w y I yz w z H z = I zx w x I zy w y + I zz w z bulunur. Not: İntegraller alınırken; w x,w y ve w z integralin dışına alındı. Çünkü ω nin koordinatları cismin üzerinde alınan integrallerde değişmez. olur. ve dışarı çıkar. Not: (4) Denklemi, kütle merkezi G veya herhangi bir O noktası etrafında dönen katı cismin hareket momentinin genel ifadesidir. Her iki halde de xyz eksen takımı G veya O ya tespit edilmiştir. Bu sabitleme, (4) de yer alan atalet momenti integrallerini, atalet çarpanlarını zamana göre değişmez yapar. Eğer, xyz eksen takımı katı cisme göre dönseydi bu integraller zamana bağlı olacaklardı. İstenmeyen zorluklar ortaya çıkacaktı. Not: Önemli bir hal, katı cismin bir simetri ekseninin etrafında dönmesinde ortaya çıkar. Bu durumda katı cismin dönme eksenine göre açısal konumu atalet integrallerini etkilemez. Koordinat eksenlerinden birini katı cismin simetri ekseni ile çakışık seçmek ve bu ekse etrafında döndürmek kolaylık sağlar. Not: Katı cismin sabit XYZ eksenine göre açısal hızı Ω ve katı cismin xyz ye göre bağıl dönmesindeki açısal hız vektörü ω ise ; katı cismin dönme ekseni doğrultusundaki açısal momentinin bileşeni açısal momentuma ilave olarak ortaya çıkar. (5) Denklemindeki atalet momentlerinin ve atalet çarpanlarının I xx I xy I xz I yx I yy I yz I zx I zy I zz (5) 3

şeklinde düzenlenmesine ATALET MATRİSİ veya ATALET TANSÖRÜ denir. Eksenlerin katı cisme göre doğrultularının değiştirilmesi sonunda atalet momentlerinin ve atalet çarpanlarının değerleri değişir. İspat edilir ki, bir orijin için x,y,z eksenlerinin öyle bir tek yönlendirilmesi (orientation) vardır ki Atalet çarpanları 0 olur ve I xx,i yy,i zz atalet momentleri değişmez. Böylece Atalet matrisi I xx 0 0 0 I yy 0 0 0 I zz şeklini alır. Böyle bir matrise köşegen matris denir.// Atalet matrisinin bir köşegen matris olduğu eksen takımı xyz e asal atalet eksenleri ve I xx,i yy,i zz atalet momentlerine de asal atalet momentleri denir. Eğer seçilen koordinat eksenleri asal atalet eksenleri iseler (5) deki hareket momenti (kütle merkezine veya sabit bir noktaya göre) H = I xx w x i + I yy w y j + I zz w z k (6) şeklini alır. Not: Rijid cismin asal atalet eksenlerini, H hareket momentinin (6) daki gibi olacek şekilde seçebiliriz. Not: Cismin asal atalet eksenlerinin birbirinin etrafında döndüğü veya I xx = I yy = I zz olduğu hali hariç tutarsak; H ile w vektörlerimim doğrultuları farklıdır. Not: Katı cismin momentum özellikleri kütle merkezine uygulanan toplam hareket miktarı G = mv G = m v vektörü ve katı cismin G etrafında dönmesinin ifadesi olan H G ile şekildeki (şekil 3) gibi temsil edilir. Not:H G serbest vektör özelliğindedir. Kolaylık ve anlaşma gereği G ye tatbik edilmiş olarak alırız. Not:mv G = m v vektörü sistemin R = F vektörünün rolünü oynar. H G =Kütle merkezine göre toplam moment rolünü oynar. Statikteki moment alanı bağıntısı: ifadesine benzer olarak M Q = M G + QG R H Q = H G + QG mv G elde edilir. Hareket momenti alanı adını alır. Q noktasının orijin olma zorunluluğu yokturç Katı cismin herhangi bir O noktası veya katı cismi genişletilmiş olarak düşünülerek uzayın herhangi bir noktası olabilir. 4

Şekil 3: Şekil 4: 0.2 Kinetik Enerji Rijid olsun veya olmasın, maddesel cisimler sistemi için 4/3 de kinetik enerji T = (1/2)mv G 2 + (1/2)m i ρ i 2 idi. (1/2)mv G 2 : Sistemin öteleme kinetik enerjisi (1/2)mi ρ 2 : m i nin G kütle merkezine göre enerjisi (1/2)mv G 2 değişik formda (1/2)mv G 2 = (1/2)mṙ G.ṙ G = (1/2)G.v G yazılır. G cismin lineer momentidir(g = mṙ G ) Katı cisim için (1/2)m i ρ 2 i terimi, kütle merkezinin G nin etrafında katı cismin dönmesinden orataya çıkan kinetik enerjidir. ρ i = ω ρ i idi (Katı cisimde). Yerine yazılırsa: (1/2)mi ρ i 2 = (1/2)m i (ω ρ i ).(ω ρ i ) Not: P Q.R = P.Q R de ω P;ρ i Q;(ω ρ i ) R dersek (1/2)mi ρ i 2 = (1/2)ω( ρ i ) m i (ω ρ i ) = (1/2)ω.H G 5

Sonuç: v G kütle merkezi hızı ile hareket eden ve dönme vektörü ω olan katı cismin kinetik enerjisi T = (1/2)v G.G + (1/2)ω.H G (I) elde edilir. Daha önce (5) denklemi ile verdiğimiz H açısal momentumu G kütle merkezi için yazıp burada kulanırsak: T = (1/2)mv G 2 +(1/2)ω[(I xx w x I xy w y I xz w z )i+( I yx w x +I yy w y I yz w z )j +( I zx w x I zy w y + I zz w z )k] ω = w x i + w y j + w z k olmak üzere T = (1/2)mv 2 G + (1/2)(I xx wx 2 + I yy wy 2 + I zz wz) 2 (I xy w x w y + I xz w x w z + I yz w y w z ) (II) Eğer, asal atalet eksenleri kullanılırsa atalet çarpanları 0 olur. T = (1/2)mv G 2 + (1/2)(I xx w 2 x + I yy w 2 y + I zz w 2 z) (III) Not: Eğer cisim bir O noktası etrafında dönğyorsa veya bir anlık bile olsa hızı sıfır bir O noktası varsa ( ki bu durumda G nin öteleme hızıv G sıfırdır). veya (I) den T = (1/2)m i ṙ i.ṙ i = (1/2)m i ṙ 2 i T = (1/2)ω.H O (IV ) elde edilir. Not:H O,O ya göre hareket momentidir. ve yer vektörü de ρ i yerine r i dir. Bu O dan itibaren m i kütlesinin yer vektörüdür. Örnek Problem 7/6: şekildeki bükülü A ve B levhası m=70kg/m 2 kütlesine sahiptir.levha z ekseni etrafında w=30rad/s açısal hız ile dönmektedir. a)levhanon H açısal momentumunu O noktasına göre elde ediniz. b) Levhanın T kinetik enerjisini bulunuz. Levhanın kalınlığını ve dönme ekseninin kütlesini ihmal ediniz. Çözüm 7/6: Atalet momentleri ve atalet çarpanları kütle merkezinden geçen eksenlere paralel eksenlere göre ve I = Ī + md2 6

Şekil 5: Şekil 6: olarak verildi. A ve B levhalarının kütleleri bulunur. I xy = Īxy + mdxdy I xz = Īxz + mdxdz I yz = Īyz + mdydz m A = (0.1)(0.125)(0.7) = 0.875kg m B = (0.075)(0.150)(70) = 0.788kg H O = (I xx w x I xy w y I xz w z )i +( I yx w x + I yy w y I yz w z )j +( I zx w x I zy w y + I zz w z )k ve kinetik enerji T = (1/2)ω.H O kullanarak, A kısmı(levhası): I xx = Īxx +md 2 I xx = (0.875/12)[(0.1) 2 +(0.125) 2 ]+0.875[0.05 2 +0.0625 2 ] 7

I xx = 0.00747kgm 2 I yy = (1/3)ml 2 I yy = (0.875/3)0.100 2 = 0.00292kgm 2 I zz = (1/3)ml 2 I zz = (0.875/3)0.125 2 = 0.00456kgm 2 I xy = xydm; I xz = xzdm I xy = 0, I xz = 0 B kısmı: I yz = Īyz + mdydz I yz = 0 + 0.875(0.0625)(0.05) I yz = 0.00273kgm 2 I xx = Īxx + md 2 I xx = (0.788/12)(0.15) 2 + 0.788[0.125 2 + 0.075 2 ] I xx = 0.01821kgm 2 I yy = Īyy+md 2 I yy = (0.788/12)[(0.075) 2 +(0.150) 2 ]+0.788[0.0375 2 +0.075 2 ] I yy = 0.00738kgm 2 I zz = Īzz + md 2 I zz = (0.788/12)(0.075) 2 + 0.788[0.125 2 + 0.0375 2 ] I zz = 0.01378kgm 2 I xy = Īxy + mdxdy I xy = 0 + 0.788(0.0375)(0.125) I xy = 0.00369kgm 2 I xz = Īxz + mdxdz I xz = 0 + 0.788(0.0375)(0.075) I xz = 0.00221kgm 2 I yz = Īyz + mdydz I yz = 0 + 0.788(0.125)(0.075) I yz = 0.00738kgm 2 ilgili terimleri toplayarak iki parçalı cismin atalet terimleri I xx = 0.0257kgm 2 ; I xy = 0.00369kgm 2 I yy = 0.01030kgm 2 ; I xz = 0.0022kgm 2 I zz = 0.01834kgm 2 ; I yz = 0.01012kgm 2 elde edilir. a-) ω = wk = 30k w x = 0; w y = 0; w z = 30 H O = 30( 0.00221i 0.01012j + 0.01834k)N.m.s b-) T = (1/2)ω.H O T = (1/2)(30k)(30)( 0.00221i 0.01012j + 0.01834k) T = 8.25J 8

0.3 Moment ve Enerji Denklemleri a- Momentum Denklemleri: Maddesel nokta sistemleri bölümünde, genel lineer momentum ve açısal momentum denklemleri F = Ġ M = Ḣ şeklinde elde edildi. Mad. nok. sistemlerinde moment denklemi M G = ḢG ve M O = ḢO idi. Burada ikisini temsilen M = Ḣ alındı. Ḣ türevi mutlak eksenlerde idi. Eğer H xyz hareketli eksenlerde yazılmış ise hareketli eksen takımının sabit eksen takımına göre açısal dönme vektörü Ω ise H = H x i + H y j + H z k ve Ω = Ω x i + Ω y j + Ω z k alınarak M = dh xyz dt ( ) dhxyz = + Ω H XY Z dt xyz yazılır. M = ( Ḣ x i + Ḣyj + Ḣzk) + Ω H elde edilir. parantez içerisi, ḢXY Z türevinin, H xyz vektörünün xyz deki koordinatlerının değişimini ve vektörel çarpım ise H nin bileşenlerinin doğrultularındaki değişimi temsil eder. Açık olarak (koordinatlar cinsinden) M = ( Ḣ x H y Ω z + H z Ω y )i +(Ḣy H z Ω x + H x Ω z )j +(Ḣz H x Ω y + H y Ω x )k yazılır. Bu bağıntı bir O noktasına göre veya kğtle merkezi G ye göre yazılan momentin genel ifadesidir. Ω lar dönen referans sistemlerinin açısal hız bileşenleridir. H bileşenleri ise katı cisim için daha önce ifade edilen (5) denklemi ile H x = I xx w x I xy w y I xz w z H y = I yx w x + I yy w y I yz w z H z = I zx w x I zy w y + I zz w z (A) (A ) şeklinde verildi. Burada ω lar katı cismin açısal dönme koordinatlarıdır(kütle merkezine veya bir O noktasına göre). Not: (A) denklemini, hareketli eksen takımının katı cisme tespit edildiği 9

halde yazarsak; ki bu durumda, xyz eksen takımında yazılan ATALET MO- MENTLERİ ve ATALET ÇARPANLARI zamana göre invaryant(değişmez) olurlar. Ve Ω = ω olur. Böylece katı cisme değişmez olarak bağlı xyz eksen takımı için (A) denkleminin izdüşümleri Ω = ω alınarak Mx = (Ḣx H y w z + H z w y ) My = (Ḣy H z w x + H x w z ) Mz = (Ḣz H x w y + H y w x ) şeklini alır. xyz, katı cisme bağlı. Genel moment denklemi sabit bir O noktasından veya G kütle merkezinden geçen eksenlere göre geçerlidir. Not: Eğer katı cismin bir O noktasından veya G kütle merkezinden geçen ve katı cisme tespit edilen eksen takımı (xyz), ASAL atalet eksenleri ile çakışık ise I xy,i xz,i yz atalet çarpanları SIFIR olur ve (A ) denklem setinden yazılır. Bunları (B) de yazarsak (B) H x = I xx w x H y = I yy w y H z = I zz w z Ḣ x = I xx ẇ x Ḣ y = I yy ẇ y Ḣ z = I zz ẇ z } Mx = (I xx ẇ x (I yy w y )w z + (I zz w z )w y ) = (I xx ẇ x (I yy I zz )w y w z My = (I yy ẇ y (I zz w z )w x + (I xx w x )w z ) = (I yy ẇ y (I zz I xx )w z w x Mz = (I zz ẇ z (I xx w x )w y + (I yy w y )w x ) = (I zz ẇ z (I xx I yy )w y w z (C) Bu denklemler EULER denklemleri olarak bilinir. Katı cisim hareketinde önemlidir. b- Enerji Denklemleri: Katı cisme etkiyen tüm dış kuvvetlerin oluşturduğu kuvvet sistemini katı cismin G kütle merkezine indirgeyebiliriz. F = R ve MG vektörlerini G kütle merkezine uygulamak yeterlidir. TOPLAM DIŞ KUVVETİN VE TOPLAM MOMENTİN İŞİ: Genel iş tanımı geçerlidir. İş: I = F.v G ve I θ = M G.ω biliniyor. v G =v=katı cismin öteleme hızı, w=katı cismin açısal hızı Bu ifadelerden sonlu yerdeğiştirmedeki 1 konumundan 2 konumuna gidilmesi için t 1 < t < t 2 zaman aralığında yazarsak I 12 = t2 t 1 I 12 = t2 t 1 F.vG dt = t2 t 1 Ġ.v G dt dg 2 2 dt.v Gdt = v G.dG = v G.d(mv G ) 1 1 10

Şekil 7: Toplam dış kuvvetin işi: I 12 = 2 Toplam moment işi:i θ = M G.ω I θ12 = yazılır. w=sabit için: 1 t2 I θ12 = I θ12 = (1/2)d(mv G 2 ) = (1/2)mv G 2 2 t 1 MG.ωdt = t2 t 1 2 1 t2 t 1 1 ḢG.ωdt dh 2 G dt.ωdt = ω.dh G 1 d(ω.h G 2 ) = (1/2)ω.H G 2 Sonuç olarak, bu iki sonuç öteleme kinetik enerjisindeki değişimin ve dönme kinetik enerjisinin değişimini ifade eder. t 1 < t < t 2 zaman aralığında toplam kinetik enerji T = t2 t 1 F.vG dt + t2 t 1 MG.ωdt = I 12 + I θ12 Genel bir maddesel nokta sisteminde U 1 2 = T + V g + V e idi. Katı cismin düzlemsel hareketi için de kullandığımız bu bağıntı katı cismin üç boyutlu hareketi içinde geçerlidir. 0.4 Parallel Düzlem Hareketi Bir katı cismin tüm noktaları, sabit bir düzleme paralel olan düzlemler içerisinde kalıyorsa (cismin hareketi esnasında) katı cismin bu hareketi düzlemsel harekettir. Düzlemsel hareket yapan katı cismin içerisindeki ve sabit düzleme dik olan her doğrultu hareket boyunca kendisine paralel kalır. 11

Şekil 8: Kütle merkezi G yi hareketli eksenin merkezi olarak alalım. Katı cismin açısal hız vektörü (ve aynı zamanda xyz eksen takımının) nün bileşenleri w x = w y = 0, w z 0 dır. Böylece (5) denklemindeki açısal momentum bileşenleri H x = I xz w z H y = I yz w z H z = I zz w z şeklini alırlar. Böylece (B) denklemlerindeki moment ifadeleri Mx = I xz w z + I yz wz 2 My = I yz z I xz wz Mz = I zz w 2 w z (D) Not: Bu bağıntının üçüncüsü yani M z = I zz w z bileşeni katı cismin genel düzlemsel hareketinde elde ettiğimiz M G = Īα denklemine eşittir. (D) denklem seti, kütle merkezini orijin alan bir eksen takımında veya katı cismin dönme ekseni üzerindeki sabit bir noktayı orijin alan eksen takımında geçerlidir. Şüphesiz F x = mā x, F y = mā y, F z = mā z denklemleri geçerlidir. (D) denklemi, dönen şaftlarda (millerde) ve yuvarlanan cisimlerde dinamik dengesizliğin etkisinin incelenmesinde yararlıdır. 12

Şekil 9: Şekil 10: Örnek Problem 7/7: Kütleleri m 1 olan iki dairesel disk eğrileri çeyrek daire olan eğri bir çubuk ile kaynak yapılarak birbirlerine bağlanmıştır. Bağlantı çubuğunun kütlesi m 2 dir. Sistemin toplam kütlesi m = m 1 +m 2 dir. Diskler, disk merkezinin v=sbt hızı ile yatay bir düzlemde kaymadan yuvarlanıyor. Eğri bağlantı çubuğunun yatay konumu için her disk altındaki sürtünme kuvvetini hesaplayınız. Çözüm: Mx = ( I xz w z + I yz wz) 2 My = ( I yz w z I xz wz) 2 Mz = I zz w z Düzlemsel hareket denklemleri kullanılacak. Sistemin tüm parçalarının hareketi yatay düzleme paralel olduğu için sistemin hareketi düzlemsel harekettir. (D) denklemini uygulayabiliriz. I yz = 0 ve w z = 0 dır. y eksenine göre moment denklemi I xz nin hesabını gerektirir. Eğri çubuğun geometrisinden ρ çubuğun birim kütlesi olmak üzere I xz = xzdm = π 2 0 (D) π 2 (rsinθ)( r +rcosθ)ρrdθ + ( rsinθ)( r rcosθ)ρrdθ 0 13

Şekil 11: integrallerinin hesabından I xz = ρr 3 /2 ρr 3 /2 = ρr 3 m 2 = 2(πr/2)ρ yazılır ve ρ = m 2 konularak πr I xz = m 2 πr r3 = m 2 π r2 bulunur. D nin ikinci denkleminden w z = v/r ve ẇ = 0 konularak My = I xz wz 2 F A r + F B r = ( m 2 π r2 ) v2 r 2 yazılır. Ayrıca, v = v = sbt ā x = 0 F A + F B = m 2v 2 πr F = 0 FA F B = 0 F A = F B olur. Böylece, F A = F B = m 2v 2 bulunur. 2πr Not: Verilen konumda I yz = 0, w z = 0, x eksenine göre moment (D) den N A r + N B r = M x = 0 N A = N B = mg 2 Örnek Problem 7/8 (2005 sorusu): Şekildeki AB şaftına 10 0 lik açıyla eğik olarak monte edilmiş dişlinin kütlesi 10 kg dir. Kendi ekseni etrafında w = 30rad/s sabit açısal hızla dönen şaftın kütlesi ihmal ediliyor. Dişlinin kendi simetri eksenleri olan xyz ye göre atalet momentleri I zz = 0.1kgm 2 ve I xx = I yy = 0.05kgm 2 dir. (G xyz ye göre atalet çarpanları sıfır) şekildeki konumda A ve B deki reaksiyon bileşenlerini bulunuz. (Not: Z yönünde bileşen yoktur. Reaksiyon kuvvetleri hem statik hem de dinamik yüklerin toplamı için hesaplanacak) 14

Şekil 12: Şekil 13: Şekil 14: 15

İlk adım: xyz in merkezi G dişli kütle merkezi ile çakışık G sabit bir noktadır. Eksenler Ω = w olduğu halde sabitlendi. İkinci adım: Şekil (c) de görüldüğü gibi ω (diskin açısal hız vektörü) büyüklükce sabit ve daima AB şaftı doğrultusunda XYZ den herhangi bir x,y,z konumu için ω, x,y,z cinsinden ω = ( 30sin10 0 j + 30cos10 0 k)rad/s (1) w x = 0, w y = 30sin10 0, w z = 30cos10 0 bulunur. ω XYZ deki gözlemciye göre sabit olduğundan ẇ XY Z = 0 olur. Böylece Ω = w dan ω XY Z = 0 elde edilir. Buradan ẇ z = ẇ y = ẇ x = 0 yazılır. G sabit nokta: (a x ) G = (a y ) G = (a z ) G = 0 Üçüncü adım: Mx = (I xx ẇ x (I yy w y )w z + (I zz w z )w y ) = (I xx ẇ x (I yy I zz )w y w z My = (I yy ẇ y (I zz w z )w x + (I xx w x )w z ) = I yy ẇ y (I zz I xx )w z w x Mz = (I zz ẇ z (I xx w x )w y + (I yy w y )w x ) = I zz ẇ z (I xx I yy )w y w z M x = I x ẇ x (I yy I zz )w y w z G ye göre: 0.2A y + 0.25B y = 0 (0.05 1)( 30sin10 0 )(30cos10 0 ) 0.2A y + 0.25B y = 7.70 (2) My = I yy ẇ y (I zz I xx )w z w x M y = 0 A x (0.2)cos10 0 B x (0.25)cos10 0 = 0 A x = 1.25B x (3) Mz = I zz ẇ z (I xx I yy )w y w z M z = 0 A x (0.2)sin10 0 B x (0.25)sin10 0 = 0 A x = 1.25B x Newton hareket denklemleri Fx = m(a G ) x A x + B x = 0 (4) Fy = m(a G ) y A Y + B Y 98.1 = 0 (5) Fz = m(a G ) z 0 = 0 (2) (5) denkleminin çözümünden A X = B X = 0 A Y = 71.6N 16

B Y = 26.4N Vektörel Çözüm: x,y,z{ dönen dişliye tespit edildiğinden bu MO = (Ḣ problem (A) O ) xyz + ω H O ile çözülebilir. M G = (Ḣ G ) xyz + ω H G xyz eksenlerinde w nın ve H G nin bileşenlerini hesaplamalıyız. H x = I x w x = 0 H y = I y w y = 0.05( 30sin30 0 ) = 0.260kgm 2 /s H z = I z w z = 0.1(30cos10 0 ) = 2.95kgm 2 /s H = ( 0.260j+2.95k)kgm 2 /s bulunur. xyz ile dişli aynı açısal hızla döndüklerinden, bu dönen eksendeki gözlemciye göre H G açısal momentumu sabit kalır. böylece Ḣ G = 0 olur ve (A) nın ikinci denklemi M G = ω H G olarak yazılır. (B) r A F A + r B F B = ω H G ( 0.2sin10 0 j + 0.2cos10 0 k) (A x i + A y cos10 0 j + A y sin10 0 k) +(0.25sin10 0 j 0.25cos10 0 k) (B x i + B y cos10 0 j + B y sin10 0 k) = ( 30sin30 0 mbfj + 30cos10 0 k) ( 0.260j + 2.95k) (7) Bu (7) denklemini açmak yorucudur. (B) denklemini X,Y,Z eksenleri boyunca yazmak daha kolaydır. I, J, K; X,Y,Z nin birim vektörleri olmak kaydıyla (B) de yazılırsa ω = (30K)rad/s H G = H y (cos10 0 J sin10 0 K) + H z (sin10 0 J + cos10 0 K) 0.2K (A X I + A Y J) + ( 0.25K) (B X I + B Y J) = 30K ( 0.260cos10 0 J sin10 0 K) + 2.95(sin10 0 J + cos10 0 K) (8) (7) veya (8) in açılımından 0.2A Y + 0.25B Y = 7.70 A X = 1.25B X denklemleri elde edilir. Bu denklemler (2) ve (3) ile aynı. Yine F = ma G den (4) ve (5) skaler denklemleri elde edilir ve çözülürse aynı sonuçları verir. 17

Şekil 15: Örnek Problem 7/9: Şekildeki çubuğun birim boyunun kütlesi ρ olup z ekseni etrafında w sabit açısal hızı ile döndürülmektedir. Çubuğun ağırlığını ihmal ederek, A noktasına gelen momenti elde ediniz. Çözüm: w x = 0, w y = 0, w z = w A noktasına göre açısal momentum (4) denkleminden H = (I xx w x I xy w y I xz w z )i +( I yx w x + I yy w y I yz w z )j +( I zx w x I zy w y + I zz w z )k H x = I xz w z ; H y = I yz w z ; H z = I zz w z yazılır. atalet momentleri sabit. A ya gelen moment (B) Mx = (Ḣx H y w z + H z w y ) My = (Ḣy H z w x + H x w z ) Mz = (Ḣz H x w y + H y w x ) M x = 0 H y w + 0 = H y w M y = 0 0 + H x w z = H x w z M z = 0 0 + 0 = 0 (A ) H x = I xx w x I xy w y I xz w z H y = I yx w x + I yy w y I yz w z H z = I zx w x I zy w y + I zz w z bulunanlar yerlerine yazılırsa (Ḣ x = 0, Ḣ y = 0, Ḣ z = 0) H x = I x w x H y = I y w y H z = I z w z (a) M x = ( I yx w z )w z = I yx w 2 z; M y = ( I yz w z )w z ; M z = 0 I xz = Īxz + mdxdz I yz = Īyz + mdydz ; I xy = xydm I xz = xzdm Burada kütle merkezine göre simetrik olmalarından dolayı Ī xz = Īyz = 0 yazılır 18

Şekil 16: I xz = Īxz + mdxdz I yz = Īyz + mdydz (1) I xz = 0 + (ρb)(b/2).0 = 0 (2) I xz = 0 + (ρb)b.0 = 0 (3) I xz = 0 + (ρb)b(b/2) = ρ b3 2 (4) I xz = 0 + (ρb)(b + b 2 )b = 3 2 ρb3 (1) I yz = 0 + (ρb)(b/2).0 = 0 (2) I yz = 0 + (ρb)b(b/2) = ρ b3 2 (3) I yz = 0 + (ρb)b(b/2) = ρ b3 2 (4) I yz = 0 + (ρb)b.b = ρb 3 Bulunanlar toplanarak sistemin çarpım atalet momenti I xz = ρ b3 2 + 3 2 ρb3 = 2ρb 3, I yz = ρ b3 2 + ρb3 2 + ρb3 = 3ρb 3 olarak elde edilir. (a) denklemlerinde (w z = w) kullanılarak yerlerine yazılırsa M x = ( I yx w z )w z = I yx wz 2 } M = Mx M y = ( I yz w z )w 2 + My 2 = 13ρb 3 w 2 z Örnek Problem 7/10: A ve B yatakları ile desteklenen bir şafta kaynaklanmış iki yarım dairesel diskin herbirinin kütlesi 1.2 kg dir. Sistem sabit N=1200 derece/dakika açısal hızı ile dönüyor. Yatakların şafta tatbik ettikleri reaksiyonları (bağ kuvvetlerini) hesaplayınız. Statik dengeye ait kuvvetler ihmal edilecektir. Çözüm: r yarım diskin kütle merkezi 19

Şekil 17: Şekil 18: r = 4r 3π = 4(0.1) 3π = 0.042m w = πn 30 = 125.66rad/s (A ) H x = I xz w z ; H y = I yz w z ; H z = I zz w z G noktasına gelen momentler için (B) denklemlerinde (Ḣ x = 0, Ḣ y = 0, Ḣ z = 0) konularak Mx = (Ḣx H y w z + H z w y ) My = (Ḣy H z w x + H x w z ) Mz = (Ḣz H x w y + H y w x ) M x = H y w = I yz w 2 z M y == H x w z = I xz w 2 z M z == 0 yazılır. I yz = Īyz + mdydz ifadesinden C ve D diskleri için C : Īyz = ȳ zdm = 0 I yz = 0 + m(0)( 2b) = 0 D : Īyz = ȳ zdm = 0 I yz = 0 + m(0)( 2b) = 0 20

sistem için I yz = 0 bulunur. I xz = Īxz + mdxdz C : Īxz = x zdm = 0 I xz = 0 + m( r)( 2b) = 2mb r D : Īxz = 0 I xz = 0 + m( r)(2b) = 2mb r Sistem için I xz = 2mb r + 2mb r = 4mb r I xz = 4(1.2)(0.08)(0.042) = 0.0163kgm 2 bulunur. Bu durumda M x = I yz w 2 z = 0w 2 z = 0 My = I xz w 2 z = ( 0.0163)(125.66) 2 = 257.38Nm F x = mā x = m(0) = 0 A x + B x = 0 (1) M y = A y b + B x b 257.38 = (A x B x )(0.08) (2) (1) v3 (2) den A x = 1608.6N B x = 1608.6N bulunur. Mx = B y b A y b A y B y = 0 Fy = māy A y = 0 B y = 0 Örnek Problem 7/11 8 kg lik AB çubuğu A noktasından mafsallanmıştır. B noktasında ise bir kablo ile dengelenmiştir. CD çubuğu verilen yönde w = 5rad/s sabit açısal hızı ile dönmekte. Kablodaki gerilme kuvvetini ve A mafsalındaki tepki (reaksiyon) kuvvetini bulunuz. Çözüm: ω = 5cos40 0 j + 5sin40 0 k w x = 0, w y = 3.83, w z = 3.21 ẇ x = ẇ y = ẇ z = 0 (B) Mx = (Ḣx H y w z + H z w y ) My = (Ḣy H z w x + H x w z ) Mz = (Ḣz H x w y + H y w x ) Mx = Ḣx H y w y + H z w y (1) (A ) H x = I xx w x I xy w y I xz w z H y = I yx w x + I yy w y I yz w z H z = I zx w x I zy w y + I zz w z 21

Şekil 19: Şekil 20: 22

Böylece H koordinatları I xy = I yz = I xz = 0 I xx = 1 3 ml2 = 10.67kgm 2 I yy = 0 I zz = 1 3 ml2 = 10.67kgm 2 H x = 0 0 = 0 H y = 0 + I yy w y 0 = I yy w y H z = 0 0 + I zz w z elde edilir (1) M x = 0 (I yy w y )w z + (I xx w z ]w y M x = (I zz I yy )w y w z mg(1)(sin40 0 ) + T (2)cos40 0 = (10.67 0)(3.83)(3.21) T = 118.51N Bulunur. Newtonun hareket denklemleri Fn = mā n A y + T = mrw 2 A y = 118.51 8(1)(sin40 0 )5 2 A y = 10.05N Ft = ma t A x = mrẇ A x = 0 Fb = mā b = 0 A z mg = 0 A z = 78.48N 23