Statik ers Notları Sınav Soru ve Çözümleri ĞHN MÜHENİSİK MEKNİĞİ STTİK
MÜHENİSİK MEKNİĞİ STTİK İÇİNEKİER 1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları 2. KUVVET SİSTEMERİ - İki Boutlu Kuvvet Sistemleri - Üç Boutlu Kuvvet Sistemleri 3. ENGE - üzlemde enge - Üç Boutta enge 4. YPIR - üzlem Kafes Sistemler - Çerçeveler ve Makinalar 5. SÜRTÜNME 6. KÜTE MERKEZERİ ve GEOMETRİK MERKEZER
STTİK 4 YPIR
STTİK 4.1 üzlem Kafes Sistemler
Statik Yapılar 4.1. üzlem Kafes Sistemler 1 Kafes sistemler, "alnızca iki kuvvet taşıan elemanlar"ın birbirine bağlanması ile ortaa çıkan apılardır. Bu elemanların, serbestçe dönen ve moment iletmediği farzedilen pimlerle birbirine bağlandığı düşünülür. Eğer elemanların tamamı anı düzlemde er alıorsa o zaman düzlem kafes sistemlerden bahsedilir. Elemanlar, elde edilen apının rijit olabilmesi için, üçgenler oluşturacak şekilde birleştirilirler. Rijit, çökmez. Yük taşıabilir. Rijit değil, çöker. Yük taşıamaz. İki üçgene bölünürse ük taşıabilecek hale gelir. ğır ükleri taşımakta kullanılan apıların kendi ağırlıklarının mümkün olduğu kadar hafif olması istenir. Bu amaçla krenler, köprüler, çatılar vb. apılar kafes sistem tekniği ile tasarlanır. Elemanların bağlantı noktalarından geçen doğru, taşıdığı kuvvetlerin ortak tesir çizgisidir ve bu kuvvetler çekme vea basma önünde olabilirler. Bir eleman herhangi bir erinden haali olarak kesilirse o kesitte elemanın ucundaki kuvveti dengeleecek şekilde bir kuvvet olduğu görülür.
Statik Yapılar 4.1. üzlem Kafes Sistemler 2 Kafes sistemlerin taşıdığı ükler, eğer aılı ük ise elemanları bağlaan pimlere ugulanan tekil üklere indirgenirler. Tekil ükler elemanların uç noktalarının dışında arada bir ere ugulanmaz. Kafes sistemlerin kendi ağırlıkları taşıdıkları üke nazaran, çoğunlukla, ihmal edilir. İhmal edilmediği zaman bir elemanın ağırlığı ikie bölünerek uç noktalarındaki pimlere ugulanır. üğüm Yöntemi Kafes sistemlerin tasarımı apılırken elemanların taşıdığı kuvvetler bulunmalıdır. Bu kuvvetleri bulmak amacı ile takip edilen iki temel aklaşım vardır: - üğüm öntemi, - Kesim öntemi. Kafes sistemin parçalarının birbirine birleştirildiği erlere düğüm denir. Bu düğümlerde elemanların birbirine bir pim vasıtası ile bağlandığı farzedilir. üğüm önteminde bu pimlerin dengesi incelenerek bilinmeenler bulunur. B F B C B G E ΣF = 0 ΣF = 0 pimi B G G G enge kategorisi bir noktada kesişen kuvvetler kategorisi olduğundan Bir düğümün dengesinden en fazla 2 bilinmeen bulunabilir.
Statik Yapılar 4.1. üzlem Kafes Sistemler 3 Kafes sistemin tamamının dengesinden de ilave denklemler elde edilebilir. Mesnet tepkileri bulunabilir.! Bir üçgeni oluşturan çubuklardaki kuvvetlerin kendi aralarında dengede olduğu sölenemez. F F F B G E C B G E C CE = 0 C E Özel düğümler F 3 = 0 F 3 = 0 F 2 = 0 F 1 F 2 F 1 F 2 F 1 P ΣF = 0 F 1 = F 2 ΣF = 0 F 3 = 0 ΣF = 0 F 1 = F 2 ΣF = 0 F 3 = 0 ΣF = 0 F 1 = P ΣF = 0 F 2 = 0
Statik Yapılar 4.1. üzlem Kafes Sistemler 4 F 1 F 2 F 1 F 2 F 3 F 3 P F 1 F 2 F 2 F1 F 2 F1 ΣF = 0 F 1 = F 2 F 3 F 1 = F 2 = F 3 P F 1 = F 2 = P F 4 F 1 = 0 F 1 F 2 ' F 2 = 0 EF = 0 F 3 ' ΣF ' = 0 F 1 = F 2 ΣF = 0 F 3 = F 4 ΣF = 0 ΣF ' = 0 F 1 = 0 F 2 = 0 İki sabit mesnet arasındaki çubuk kuvvet taşımaz. EF = 0
Statik Yapılar 4.1. üzlem Kafes Sistemler 5 Kafes sistemler tasarlanırken bazen ukarıdaki gibi iki tane kablo çapraz olarak takılabilir. Bu durumda kablolardan sadece birisi ük taşır. Eğer hangisinin ük taşıdığı kestirilemiorsa o zaman herhangi birisi ük taşıan eleman olarak alınır. iğerinin ük taşımadığı kabul edilir. Yapılan hesaplamanın sonucunda ük taşıdığı düşünülen kabloda çekme kuvveti bulunursa demekki apılan kabul doğrudur. Basma kuvveti bulunursa, bir kablo basma kuvveti taşıamaacağı için apılan kabulün tersi doğrudur. B B B B B B Bir düğümde çekme olan çubuk kuvveti diğer düğümde de çekmedir. B kuvveti düğümünde çekme ise B düğümünde de çekmedir. B B B B B B Bir düğümde basma olan çubuk kuvveti diğer düğümde de basmadır. B kuvveti düğümünde basma ise B düğümünde de basmadır.
Statik Yapılar 4.1. üzlem Kafes Sistemler 6 Behcet Örnek Problem ĞHN 4/1 Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve üklenmiş olan kafes sistemin her bir çubuğunun taşıdığı kuvveti bulunuz. Bütün üçgenler eşkenardır. Verilenler: 1 = 4 kn Çözüm 2 = 8 kn 3 = 2 kn 2 2 30 o 2 2 2 2 C Tekerlekli mesnette ortaa çıkan tepki kuvveti daima daanma üzeine diktir. 2 C düğümü: C C İstenenler: B =? Çubukların bounu 2 birim alalım. E =? BC =? ΣM = 0 B =? BE =? 4 (1) 8 (2) 2 (3) + C sin30 o (4) = 0 C =? C = 13 kn E =? ' 30 o C BC 30 o C = 13 kn C ΣF = 0 C sin30 o C sin = 0 ΣF ' = 0 C BC cos30 o = 0 30 o BC C = BC cos30 o C = BC cos C = 7.51 kn BC = 15.01 kn
Statik Yapılar 4.1. üzlem Kafes Sistemler 7 Behcet Örnek Problem ĞHN 4/1 Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve üklenmiş olan kafes sistemin her bir çubuğunun taşıdığı kuvveti bulunuz. Bütün üçgenler eşkenardır. Verilenler: 1 = 4 kn 2 = 8 kn 3 = 2 kn düğümü: B E Çözüm (devamı) Bir çubuğun bir düğümünde çekme olan çubuk kuvveti, diğer düğümünde de çekmedir. C kuvveti C düğümünde çekme olarak bulunduğu için C = 7.51 kn düğümünde de çekmedir. E düğümü: ΣF = 0 2 kn C sin B sin 2 = 0 E E BE E = 6.35 kn B düğümü: 8 kn İstenenler: B = 5.2 kn B =? ΣF = 0 E =? C cos + B cos E = 0 BC =? E = 6.35 kn B =? BE =? C =? E =? ΣF = 0 E + BE cos E cos = 0 ΣF = 0 E = 8.66 kn 4 kn BE sin + E sin 4 = 0 BE = 4.04 kn Yön belirtir. Seçilen önde değil, ters öndedir. B B BC = 15.01 kn BE = 4.04 kn B = 5.2 kn ΣF = 0 B + BE cos B cos BC = 0 B = 15.59 kn
Statik Yapılar 4.1. üzlem Kafes Sistemler 8 Behcet Örnek Problem ĞHN 4/2 Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve üklenmiş olan kafes sistemin B ve BE çubuklarının taşıdığı kuvvetleri bulunuz. Bütün iç açılar a vea 120 o dir. Verilenler: FG G düğümü: 120 o 120 o G EG Çözüm E düğümü: BE E BE E EG = E EG EG = sin120 o sin120 o BE = EG = BE = EG = FG İstenenler: B =? EG BE =? B düğümü: B B BE B B B BE = B = BE = B = Bu kafes sistemin tamamı üçgenlerden medana gelmemiştir. Fakat rijit bir apı ortaa çıkmıştır, ük taşıabilmektedir.
Statik Yapılar 4.1. üzlem Kafes Sistemler 9 Behcet Örnek Problem ĞHN 4/3 Şekildeki gibi mesnetlenmiş olan kafes sistemin her bir çubuğunun kütlesi 40 kg olduğuna göre her bir çubuğa gelen ortalama kuvveti hesaplaınız. Verilenler: Çözüm W = mg m = 40 kg = 8 m g = 9.81 m/s 2 İstenenler: B =? E =? BC =? B =? BE =? C =? E =? C Kafes sistem ükleme açısından ve anı zamanda geometrik olarak simetrik olduğu için: E = C B = BC BE = B E düğümü: E = 1133 N W T = C = W T / 2 = 1373 N 1.5W E 30 o 30 o E BE ΣF = 0 W T = 40 (7) (9.81) = 2747 N Kafes sistemin tamamının ağırlığı düğümü: E ve B çubuklarının ağırlıklarının arısını düğümüne etki ettiririz. E cos30 o 1.5 W BE cos30 o = 0 BE = 454 N ΣF = 0 E sin30 o + BE sin30 o E = 0 E = 794 N Çubukların ağırlıklarını, ihmal etmediğimiz zaman, uç noktalarındaki pimlere etki eden iki kuvvete böleriz. Bir çubuğun ağırlığına W dielim. W E B = 1373 N ΣF = 0 W = 392 N W E sin = 0 ΣF = 0 E = 1133 N B E cos = 0 B = 566 N
Statik Yapılar 4.1. üzlem Kafes Sistemler 10 Behcet Örnek Problem ĞHN 4/4 Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve üklenmiş olan kafes sistem, dış taraftaki çubuklardan ve içerideki iki çapraz kablodan oluşmuştur. C ve B kabloları basma taşıamaan elemanlardır. ükü (a) B düğümüne, (b) C düğümüne ugulandığı zaman elemanlarda ortaa çıkan kuvvetleri bulunuz. Verilenler: Çözüm İki tane kablo çapraz olarak takıldığı zaman kablolardan sadece birisi ük taşır. Eğer hangisinin ük taşıdığı kestirilemiorsa o zaman herhangi birisi ük taşıan eleman olarak alınır. iğerinin ük taşımadığı kabul edilir. C nin çekme taşıdığını ve B nin ük taşımadığını kabul edelim. B = 0 (a) ükü B den ugulanıor: B düğümü: C düğümü: düğümü: C BC = B B İstenenler: BC B =? C =? ΣF = 0 B = 0 =? BC =? ΣF = 0 BC = B =? C =? BC = C C 5 3 4 C C C = 4 / 3 C = 5 / 3 C ΣF = 0 = 0 C kuvveti pozitif çıktı. emekki apılan seçim doğrudur. C kablosu ük taşır. B kablosu taşımaz. B = 0
Statik Yapılar 4.1. üzlem Kafes Sistemler 11 Behcet Örnek Problem ĞHN 4/4 Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve üklenmiş olan kafes sistem, dış taraftaki çubuklardan ve içerideki iki çapraz kablodan oluşmuştur. C ve B kabloları basma taşıamaan elemanlardır. ükü (a) B düğümüne, (b) C düğümüne ugulandığı zaman elemanlarda ortaa çıkan kuvvetleri bulunuz. Verilenler: Çözüm (devamı) İki tane kablo çapraz olarak takıldığı zaman kablolardan sadece birisi ük taşır. Eğer hangisinin ük taşıdığı kestirilemiorsa o zaman herhangi birisi ük taşıan eleman olarak alınır. iğerinin ük taşımadığı kabul edilir. C nin çekme taşıdığını ve B nin ük taşımadığını kabul edelim. B = 0 (b) ükü C den ugulanıor: B düğümü: C düğümü: düğümü: B B İstenenler: BC B =? C =? ΣF = 0 B = 0 =? BC =? ΣF = 0 BC = 0 B =? C =? 3 C 5 4 C C C C = 4 / 3 C = 5 / 3 C C ΣF = 0 = 0 C kuvveti pozitif çıktı. emekki apılan seçim doğrudur. C kablosu ük taşır. B kablosu taşımaz. B = 0
Statik Yapılar 4.1. üzlem Kafes Sistemler 12 Kesim Yöntemi Elemanların taşıdığı kuvvetleri bulmak amacı ile aşağıdaki gibi kesim apılarak sadece kafes sistemin bir kısmının dengesi incelenebilir. engesi incelenen kısmın denge kategorisi genel kategori ise üç tane bağımsız denklem vardır. F G B C E F G B GE BE BC ΣF = 0 ΣF = 0 ΣM = 0 Yandaki denklemler erine alternatif denge denklemleri de kullanılabilir. Bilinmeenlerden iki tanesinin tesir çizgisinin kesiştiği bir noktaa göre moment alınarak bir denklemden bir bilinmeen direk olarak bulunabilir. Kesim öntemi ile en fazla 3 bilinmeen bulunabilir. olaısı ile, mecbur kalmadıkça, bir kesimde 3 ten fazla eleman kesmemee dikkat edilir. Eğer bilinmeen saısı 3 ten fazla ise birden fazla kesim apılabilir. F Belirsiz durum ortaa çıkmaması için Kesim çizgisi düğümlerden geçmemelidir.! Mesnet tepkileri kafes sistemin tamamının dengesinden de bulunabilir. Kafes sistemlerin çözümünde sadece düğüm öntemini vea sadece kesim öntemini kullanmak erine iki öntem birlikte de kullanılabilir.
Statik Yapılar 4.1. üzlem Kafes Sistemler 13 Behcet Örnek Problem ĞHN 4/5 Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve üklenmiş olan kafes sistemin BC, BE ve BF elemanlarındaki kuvvetleri bulunuz. Üçgenler eşkenardır. Verilenler: Çözüm BC BE 1 sin EF 1 B ΣM E = 0 ΣM = 0 BF EF BC (sin ) (1) = 0 BC (sin ) BE sin (1) = 0 ΣF = 0 İstenenler: BC = /sin BC = BE = /sin BF sin = 0 BC =? BE =? BF =? BF = /sin
Statik Yapılar 4.1. üzlem Kafes Sistemler 14 Behcet Örnek Problem ĞHN 4/6 Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve üklenmiş olan kafes sistemin GM elemanındaki kuvveti bulunuz. Verilenler: Çözüm 12 m 1 3 GH GM 9 m 6 m 8 3 m 5 MN 3 α K S ΣM S = 0 İstenenler: K = 4 Kafes sistemin tamamının dengesinden bulunur. GM sinα (12) + (12) + (9) + (/2) (6) K (6) = 0 GM = 0 GM =? GM çubuğundaki kuvveti, düğüm öntemi ile bulmamız istensedi altı tane pimin dengesini incelememiz gerekecekti. Burada bir tek denge denklemi ile sonuca gidilmiştir.
Statik Yapılar 4.1. üzlem Kafes Sistemler 15 Behcet Örnek Problem ĞHN 4/7 Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve üklenmiş olan kafes sistemin IJ elemanındaki kuvveti bulunuz. Verilenler: Çözüm 7 Boutlar metre cinsindendir. IJ İstenenler: = 150 kn Kafes sistemin tamamının dengesinden bulunur. ΣM = 0 IJ (7) + 75 (10) + 25 (16) (20) = 0 IJ = 264.29 kn IJ =? IJ çubuğundaki kuvveti, düğüm öntemi ile bulmamız istensedi beş tane pimin dengesini incelememiz gerekecekti. Burada bir tek denge denklemi ile sonuca gidilmiştir.