KANAT PROFİLİ ETRAFINDAKİ SIKIŞTIRILAMAZ AKIŞ Uçağı havada tutan kanadın oluşturduğu taşıma kuvvetidir. Taşıma kuvvetinin hesaplanması, hangi parametrelere bağlı olarak değiştiğinin belirlenmesi önemlidir. Bunun için başlangıçta, kanadın aerodinamik performansını etkileyen eleman olan kanat profili ile ilgili bilgiler verileektir. Daha sonra kanat profili etrafındaki akış için teorik metotlar açıklanaaktır. Viskoz olmayan akış için çözüm yapılaağı için, gerçek ile uygun olmasa da, sürükleme kuvveti olmayaaktır. Sürükleme kuvveti hesabı daha sonraki bölümlerde yapılaaktır. Bu bölümde, temel olarak kanat profili üzerindeki basınç dağılımı nedeniyle oluşan profil özellikleri olan taşıma kuvveti ve momentlerin teorik olarak hesaplanması hakkında bilgi verileektir. 8
KANAT PROFİLİ Kanat profili kanadın, uçağa bağlı eksen takımında x-z düzlemine göre, kesitidir. (Yatay ve düşey kuyruk, pervane için de kullanılır. Firar kenarı Cambered Kamburluklu y Symmetrial Simetrik Kanat Kanat profili Laminar Flow Laminer akış x z Hüum kenarı Kanada dik xz düzlemine paralel düzlem Reflexed Refleksiyon Superritial Süperkritik 83
Kanat profilinin tarihsel gelişimi. Hüum kenarı Kalınlık Kamburluk eğrisi Kanat profili Veter Firar kenarı Teorik hesaplamalara geçmeden öne deneysel olarak elde edilmiş sonuçlar grafik olarak verileektir. 84
TAŞIMA VE SÜRÜKLEME KUVVETLERİ Lmax Stall, maksimum taşıma y x d a L tasima egimi d α α için pozitif taşıma pozitif taşıma Stall nedeniyle taşıma kaybı Göreeli hız α L Stall açısı: 6 Viskoz olmayan akışta teorik olarak belirli bir profil için taşıma eğimi ve sıfır taşıma açısı bulunaaktır. Lmax ın hesabı, viskoz akış problemi olduğu için bu yöntemle elde edilemez. Taşıma katsayısı, L Negatif stall negatif taşıma Sıfır taşıma açısı Hüum açısı, α, [ ] 85
y x Göreeli hız Sürükleme kuvvetinin kaynağı viskoz kuvvetler ve akım ayrılması nedeniyle basınç dağılımıdır. Daha sonraki bölümlerde hesaplanaaktır. Sürükleme katsayısı, D Stall açısına doğru Sürüklemede ani artış Küçük hüum açısında minimum sürükleme Hüum açısı, α, [ ] 86
DÜŞÜK HIZLI AKIŞ KANAT PROFİLİ TEORİK ÇÖZÜMÜ GİRDAP AKIŞI: r yarıçaplı dairesel akım çizgisi için sirkülasyon: Γ-V θ (r V θ V r V θ ψ Γ r Γ ln r Γ φ θ Γ: girdap akışının güü 87
GİRDAP CADDESİ: - Γ güüne sahip dik girdap filamanı O Γ O Sonsuz sayıda girdap akışı yanyana yerleştirildiği durumda girdap filamanı oluşturur. Girdap akış çözümü bu girdap filamanının bir noktasındaki çözümüdür. Tüm filaman boyuna birbirinin aynı çözümler olaaktır. Girdap saat ibreleri yönünde ( + Γ 88
- z y x Girdap addesine y ekseninden bakıldığında aşağıdaki gibi görüneektir. s Girdap Caddesi girdap filamanlarının yanyana dizilmesinden oluşmaktadır. s: girdap addesi üzerinden boyuna başlangıç noktasına göre mesafedir. 89
s P(x,z r θ dv s mesafesi boyuna birim uzunluk için girdap addesinin güü γ (s a ds b ds eleman uzunluğu için sonsuz uzunluktaki parçanın güü γds Akış içinde yer alan bir P(x,y noktası seçilen elemandan r kadar uzaklıktadır. Girdap addesi elemanının bu noktada oluşturduğu hız: Girdap akışı için hız denklemi: V θ Γ r dv γds r Hızın yönü r ye dik olaaktır. P noktasındaki hız bu denklemin a noktasından b noktasına kadar girdap elemanları için vektörel toplamı ile bulunur. Bu nedenle bazı durumlarda hız potansiyeli ile çözüm daha uygundur. Girdap akışı için hız potansiyeli denklemi: Γ φ θ dφ γds θ 9
P noktası için, a dan b ye girdap addesi için hız potansiyeli: φ x, y b ( (Sayısal panel metodunda kullanışlıdır. veya a θγds V x, y b a γ ds r ( (Klasik ine kanat profili teoremi için kullanışlıdır. Girdap addesinin sirkülasyonu, girdap akışında olduğu gibi, elemanların güünün toplamına eşittir. b Γ γds a 9
u v v u dn ds uzunluğunda ve dn kalınlığında bir dilim için alt ve üst yüzeylere teğet hızlar u ve u, yan yüzeylere teğet hızlar ise v ve v olsun. ds Kapalı eğri için sirkülasyon tanımı: Γ V.ds Γ ( vdn uds vdn + uds ( u u ds + ( v v Aynı zamanda ds elamanı için γds u u ds + ( v v dn ( Γ γds dn Alt ve üst yüzeyin girdap addesine yaklaştığı durumda: γ ds u u ds γ u ( ( u dn Girdap addesi üzerindeki yerel teğet hız değişimi lokal girdap addesi şiddetine eşittir. 9
Şu ana kadar girdap addesi hakkında bilgiler aktarıldı. Girdap addesi kanat profili etrafındaki düşük hızlı akış analizinde kullanılaaktır: V hızına sahip hava akışı içinde yer alan bir kanadın alt ve üst yüzeylerini γ(s şiddetine sahip girdap addesi ile değiştirilsin. s γ (s V Kanat profili için sirkülayon: Γ γds (integral tüm yüzey için Sonuçta Kutta-Joukovski teoremi: L ρ VΓ Kanat profilinin çok ine olduğu durumda: 93
KUTTA ŞARTI Dairesel silindir etrafındaki taşıma kuvveti oluşturan akışta, farklı Γ değerleri için, sonsuz sayıda potansiyel akış çözümü mevuttu. Aynı durum kanat profili etrafındaki akış için de geçerlidir. Aynı hüum açısına sahip kanat profilleri için değişik Γ değerlerinde oluşan değişik akım tipleri. Bir kanat profili için çözüm yaparken belirli hüum açısı için Γ şiddetinin sabitlenmesi gerekeektir. Bunun için Kutta şartı kullanılaaktır. 94
Kanat profilinin firar kenarı çeşitli şekillerde olabilir: a v a v v v Sonlu açıya sahip firar kenarı: Hızın iki değere sahip olması olanaksızdır. Bunun için a noktası durma noktasıdır. Sivri uçlu firar kenarı: Kanat alt ve üst yüzeyinden gelen akış hızları sonlu değere sahiptir. v v a noktası için Bernoulli denklemi kullanılarak hızlar arasındaki eşitlik bulunur p a + v ρ v p + v a ρv 95
Kutta şartı:. Belirli bir hüum açısında kanat profili için, profil etrafındaki girdap şiddeti öyledir ki akış firar kenarını düzgün olarak terk eder.. Firar kenarı sonlu açıya sahipse, firar kenarı durma noktasıdır. 3. Firar kenarı sivri uçlu ise, alt ve üst yüzeyi terkeden akış hızları sonlu değere sahiptir. Eşit şiddetli ve aynı yöndedirler. γ ( u u olarak bulunmuştu. γ ( FK γ ( a u u γ ( FK 96
İNCE KANAT PROFİLİ TEORİSİ Kanat profillerinde genelde, kamburluk ve kalınlık vetere göre daha küçüktür. İne kanat profili teoreminde bu özellikten faydalanılır. Bunun yanında hüum açısı da çok küçük olarak kabul edilir. Hava hızı veter doğrultusuna neredeyse paraleldir. İne kanat profili teorisinde temel düşüne, profil etrafındaki akış modellenirken serbest akımda veter boyuna veya kamburluk eğrisi boyuna sürekli girdap ilave edilmesidir. Girdapların şiddetini belirleyen parametreler: Kamburluk eğrisi akım çizgisi olarak düşünülürse bu eğriye dik doğrultudaki hız sıfırdır. Kutta-Joukowsky şartı: akış profil firar kenarını yumuşak bir şekilde terk eder. Firar kenarında girdap şiddeti sıfırdır. (γ( 97
Kanat profilinin taşıma kuvveti Kutta-Joukowsky teoremi kullanılarak elde edilir: L ρ VΓ Kanat profili çevresindeki sirkülasyon, yayılı olarak yerleştirilmiş girdap şiddetlerinin integrali ile bulunur. Girdapların kamburluk eğrisi üzerine yerleştirildiği durum: w : kamburluk eğrisine dik hız w w(s 98
İne profillerde girdapları veter çizgisi üzerine kaydırabiliriz. Bu durumda girdap güü araştırılırsa kamburluk eğrisinin hala akım çizgisi olduğu görülür. Akış içinde yer alan bir noktadaki hız, uniform akış hızı ile girdap nedeniyle oluşan hızın toplamı olaaktır. Kamburluk eğrisi akım çizgisi ise, bu eğri boyuna normal doğrultudaki hız sıfır olaaktır. Eğri üzerindeki bir nokta için hız denklemi: V n, + w ( s V, n in bulunması gerekir. 99
Kamburluk eğrisi üzerinde eğimi dz/dx olan herhangi bir nokta için dik hız ifadesi şekilden söyle yazılabilir:, V sin α + tan V n dz dx İne kanat profili ve çok küçük hüum açısı için α ve tan - (-dz/dx küçük değerlere sahiptir: sinθ tanθ θ Bunun yanında: V, n V ( α dz dx w ( s w( x [rad]
w(x için girdap şiddetine bağlı denklem elde etmek için: r ds dv γ olarak verilmişti. ( ( ξ ξ ξ γ x d dw x d x w ( ( ( ξ ξ ξ γ
(, + s w V n ( ( ( x d dx dz V ξ ξ ξ γ α (, dx dz V V n α ( ( dx dz V x d α ξ ξ ξ γ İne profil teorisinin temel denklemi: Kamburluk eğrisinin bir akım çizgisi olduğunu söyler SİMETRİK KANAT PROFİLİ (DÜZ LEVHA DURUMU dx dz ξ ξ ξ γ α d x V (
Bu integralin çözümü zordur. Değişken dönüşümü yapılır: ξ ( osθ d ξ sinθ dθ γ ( θ sinθ dθ V α x x ( osθ θ aros( osθ osθ Yukarıdaki integral denklemin çözümü aşağıdaki gibi elde edilir: γ ( θ αv + osθ sinθ Bu sonuç integralde sağdaki terimde yerine koyulursa denklemi sağladığı ve bir çözüm olduğu gösterilebilir. 3
Firar kenarında: γ ( Kutta şartını sağlar. Sirkülasyon ve Taşıma Kuvveti Γ γ ( ξ dξ γ ( θ γ ( θ sinθ dθ αv + osθ sinθ Kutta-Joukowski teoremi kullanılırsa: Γ αv L ρ αρ V VΓ l L q S L ρ V ( l α d l dα Deneyle uyumlu sonuç: hüum açısı ile doğru orantılı. 4
Aerodinamik Moment M HK ξdl ρ V ξγ ( ξ dξ q α Moment Katsayısı m, hk M q HK S m, hk l α α m, hk l 4 Basınç merkezi m, / 4 Aerodinamik merkez Tüm hüum açıları için geçerlidir. 5
KAMBURLUKLU KANAT PROFİLİ Simetrik kanat profili için uygulanan düşüne benzer şekilde oluşturulur. Yapılan kabuller: Profilin kalınlığı vardır ve vetere göre küçüktür. Hüum açısı küçüktür. dz dx V ( α dz dx γ ξ dξ ( x ξ Değişken dönüşümü ile: ξ ( osθ d ξ sinθ dθ x x ( osθ θ aros( V ( α dz dx γ ( θ sinθ osθ osθ dθ 6
Çözüm yapılırsa (Kutta-Joukowsky şartı ile: (γ( γ( γ ( θ + osθ + V A sinθ n A n sin( nθ Simetrik kanat profili çözümü A n katsayılarına sahip Fourier sinüs serisi Bu katsayıların değerleri kamburluk eğrisinin akım çizgisi olması şartıyla bulunur. Bunun için elde edilen sonuç başlangıç denkleminin içine yerleştirilirse: α dz dx A ( + osθ osθ osθ dθ + An sin nθ sin n osθ osθ θ dθ 7
. integralin çözümü için: osnθ sin nθ dθ osθ osθ sinθ. integralin çözümü için: sin nθ sinθ osθ osθ dθ osnθ Sonuçta: n A An osnθ α dz dx veya dz dx ( α + n A A n osnθ x ( os θ değişken dönüşümü hatırlanırsa A α dz dx dθ A n dz os( nθ dθ dx A n kamburluk eğrisinin şekline (dz/dx bağlı olarak değişir. A ise bunun yanında hüum açısı ile değişir. Taşıma ve yunuslama momenti hesabında ilk iki terim kullanılır 8
Sirkülasyon ve Taşıma Kuvveti Γ γ ( ξ dξ γ ( θ sinθ dθ Girdap addesinin oluşturduğu toplam sirkülasyon. γ ( θ + osθ + V A sinθ n A n sin( nθ olarak bulunmuştu. Ayrıa standart integral tablosu kullanılırsa ( + osθ dθ ve / n sin nθ sinθ dθ n Γ V + A A 9
Birim genişlik için taşıma kuvveti: L ρ V Γ ρ V A + A l L q S L ρ V ( Taşıma eğrisinin eğimi: Sıfır Taşıma Hüum Açısı l ( A + A d l dα İne kanat profili teorisinde taşıma eğrisinin eğimi, herhangi bir profil için, dir. l dl ( α α dα L l dz ( α α L α L (osθ dx dθ Simetrik kanat profili için: α L
Aerodinamik Moment M HK ξdl ρ V ξγ ( ξ dξ m, hk M q HK S m, hk A + A A l ( A + A l + ( A 4 4 m, hk A m, / 4 ( A A 4 Aerodinamik merkez Basınç merkezi Tüm hüum açıları için geçerlidir. x p M L HK m, hk l xp + ( A A 4 l