Dğrusal Olmayan Devreler Sistemler ve Kas Neslihan Serap Şengör da n:07 tel n:0 85 360 sengrn@itu.edu.tr Özan Karabaca da n:7 tel n:0 85 3506 zan97@yah.cm
Dğrusal Olmayan Devreler Sistemler ve Kas 6 Şubat 0-9 Mart 0 Neslihan Serap Şengör 7 hafta Ödev % 0 Yarıyıliçi Sınavı 5 Nisan 0 % 0 9 Şubat 0 Nisan 0-0 Mayıs 0 Özan Karabaca 6 hafta Ödev % 0 Yarıyılsnu Sınavı % 40
Yararlanılan Kaynalar H.K.Khalil Nnlinear Systems 3 rd Editin Pearsn Educatin 000. Y.A. Kuznetsv Elements f Applied Bifurcatin Thery Springer 004. J. Gucenheimer P. Hlmes Nnlinear Oscillatins Dynamical Systems and Bifurcatin f Vectr Fields Springer-Verlag 983. S. Wiggens Intrductin t Applied Nnlinear Dynamical Systems and Chas Springer 003. S.H. Strgatz Nnlinear Dynamics and Chas Addisn-Wesley Pub. Cmp. 000. E. Ott Chas in Dynamical Systems Cambridge University Press 993. P.G. Drazin Nnlinear Systems Cambridge University Press 993.
Yararlanılaca Araç XPP/XPPAUT Dinami sistemleri çözme durum prtreleri dallanma diyagramlarını elde etme için ullanılabilece bir araç B. Ermentrut Simulating Analyzing and Animating Dynamical systems siam00. http://www.math.pitt.edu/~bard/pp/whatis.html
Xppaut Çalıştırma İçin Gereenler Xppaut pp ve aut isimli ii parçadan luşur. Birbirleri arasında daima geçiş yapabilirsiniz. aut dallanma diyagramını hesaplama için ullanılır. http://www.math.pitt.edu/~bard/pp/pp.html adresinden indirilebilir. ppaut_yülediğiniz_dizin\ppaut\windws\ppall dizini altında pp.bat dsyası mevcuttur. Bu dsya içerisine uygulama ile ilgili adreslerin dğru yazılması geremetedir. Örneğin benim mainemde ppaut aşağıda lan adresde yülüdür. G:\4_mart_008_new_data\Dtra. Dlayısıyla G:\4_mart_008_new_data\Dtra\ppaut\windws\ppall adresinde lan pp.bat dsyasının içeriği aşağıdai şeildedir. set BROWSERC:\Prgram Files\Internet Eplrer\ieplre.ee Set A. Yiğit XPPHELPG:\4_mart_008_new_data\Dtra\ppaut\windws\ppall\help\pphelp.h tml set DISPLAY7.0.0.:0.0 set HOMEG:\4_mart_008_new_data\Dtra\ppaut\windws\ppall G:\4_mart_008_new_data\Dtra\ppaut\windws\ppall\ppaut % % %3 pause
Xppaut çalıştığında nasıl bir eran açılır? A. Yiğit
Örnelerle Dallanma Diyagramı Oluşturma A. Yiğit
Neden dğrusal lmayan devreler sistemler ve as? Virtually all physical systems are nnlinear in nature. M. Vidyasagar O zaman neden hep lineer devreler ve sistemler ile ilgilenildi?... nt t prduce the mst cmprehensive descriptive mdel but t prduce the simplest pssible mdel that incrprates the majr features f the phenmenn f interest. Hward Emmns
Hatırlatma Lineer sistemi hatırlıyalım... Başa nasıl ifade ediyruz? durum değişeni & t y t A t C t Bu t Du t t il şul çıış değişeni giriş değişeni Bu değişenlere ilişin başa neyi belirtmemiz gere...... y... u... Bu sistemin çözümü... t e A tt t t t e A tτ Bu τ dτ
Ayrı zamanda lineer sistemi hatırlıyalım... ˆ Du C y Bu A Bu sistemin çözümü... n N n Bu A A 0 Hatırlatma n n N n Bu A A 0 0
Bir özel hal: & t A t Otnm sistem Hatırlatma Çözümü bir daha yazarsa özdeğerler t e S c e... e λ tt λ tt λn tt S c S n c n özvetörler Çözüm özvetörler ve özdeğerler ile nasıl değişir?
Özvetörleri aynı özdeğerleri farlı ii sistem Hatırlatma A 0 5 A 5 4 λ λ i i λ 3 λ 3 i i S 0.86 0.99 0.365 i S 0.86 0.99 0.365 i S 0.86 0.99 0.365 i S 0.86 0.99 0.365 i Hangisi daha hızlı sıfıra yalaşıyr? A sistemi A sistemi
Özdeğerleri aynı özvetörleri farlı ii sistem Hatırlatma B B sistemi 0. 5 0.3 S S B 0. 5 0.3 0.95 0.005 0.408i 0.95 0.005 0.408i λ 0.5 λ 0.5 S S.35i.35i 0.005 0.408i 0.95 0.005 Hızlarında bir farlılı var mı? B sistemi 0.408i 0.95 λ 0.5.35i λ 0.5.35i B sistemi B sistemi
Hatırlatma Bu durumda lineer sistemin çözümleri neler labilir? Tüm bu durum prtrelerinde rta bir şey var ne? S. Hayin Neural Netwrs- A Cmprehensive Fundatin nd Editin Prentice Hall 999 New Jersey.
Otnm lineer sistem için başa ne diyebiliriz? & t A t Özel bir çözüm: denge ntası 0 A e 0 e Denge ntasının Lyapunv anlamında ararlılığı Tanım: Lyapunv anlamında ararlılı & t f t ε Hatırlatma sistemine ilişin bir denge ntası d lsun. Verilen herhangi bir için bir bulunabiliyrsa; öylei > 0 δ ε > 0 0 < δ ε d t d < ε t> 0 d ntası Lyapunv anlamında ararlıdır. Ve Lyapunv anlamında ararlılığı lineer sistemde anlama için...
Bazı Dğrusal Olmayan Sistemler Saraç ml& θ mg sinθ l & θ Θ l yerçeimi sürtünme mg Durum uzayı gösterimi θ ˆ & θ ˆ durum değişenleri & & g l sin m
Önce ne yapacağız? sin 0 0 m l g denge ntaları π -π π -π Bu denge ntalarının hepsi anlamlı mı? Denge ntalarının civarındai davranışı inceleme istese ne yapmamız gereir? 00 civarında 0 m l g & & Bu sistemin ararlılığını incelemeyi biliyruz...
π0 civarında 0 m l g & & Bu sistemin de ararlılığını incelemeyi biliyruz... Sürtünmenin etisini ihmal etse... ± 0 0 l g & & Bu sistemin ararlılığına basa... 00 ın civarı π0 civarı H.K.Khalil Nnlinear Systems 3 rd Editin Pearsn Educatin 000.
Tünel Diyd Devresi [ ] [ ] E Ri v L i i v h C v L C L L C C & & [ ] [ ] µ γ β α h & &
Denge ntaları... [ ] [ ] µ γ β α 0 0 h µ h µ γ γ h
Ntasyna ilişin hatırlatma : Öyle i : Her : Vardır! : Sadece bir tane vardır Dinami Sistem Dinami sistem: T X φ t φ t : X X a φ 0 I a φ ts φ t φ s TR süreli zaman T zaman TZ ayrı zaman XR n X durum uzayı XC n
Hatırlatma: Metri Uzay X z y d X R X X d.. : y y d 0 y d y d y z d z d y d Çember R r X { } r d X r B < { } r d X r B ~ { } r d X r S Süreli Dönüşüm ~ d Y Y d X X Y X T : ~ 0 0 ε δ ε < > > T T d d T da sürelidir YaınsamaTam UzayBüzülme...
Lineer Vetör Uzayı V Hatırlatma cebri işlem α β lma üzerev de ii ve aşağıdai gibi tanımlanmış lsun y z V ve F. Vetör tplama VT y V y V VT y V y y VT y z V y z y z VT3!0 V V 0 VT4 V! - V 0
Hatırlatma Saler ile çarpma SÇ α. V V α F α α. α α SÇ F y V y.. y SÇ α β F V α β. α. β. SÇ3 α β α β αβ F V.. SÇ4 V.
Nrm Hatırlatma V vetör uzayı lma üzere aşağıdai dört özelliği sağlayan fnsiyn : nrmdur. V R 0 0 0 α α y y