Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / Haziran 997 Matematik Soruları Ve Çözümleri.,,, k olduğuna göre, k kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm,,, k k k k 7. [( ) ( )] [ (9 ) ( )] işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 9 E) 6 Çözüm [( ) ( )] [ (9 ) ( )] [.( )] [.(9 )] 6 [.] [.] (² ³).(² ³).( ) (9 8).(9 8) 6 7. Bir a doğal sayısının ile bölündüğünde bölüm b, kalan ; b sayısı ile bölündüğünde kalan dür. Buna göre, a sayısının ile bölümünden kalan kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) E)
Çözüm a b ve b x (bölmenin tanımı) a.(x ) x (a sayısının ile bölümünden kalanın olduğu görülür.). x liraya alınan bir mal % 6 karla x, liraya satılmıştır. Bu satıştan kaç lira kar edilmiştir? A) 6, B) 6, C) 7, D) 7, E) 8, Çözüm Alış fiyatı x 6x. Kar miktarı x.% 6 Satış fiyatı x, 6x. Alış fiyatı Kar miktarı Satış fiyatı x x, 6x. 8x x, x, 7x., x, 6x. 6 Kar miktarı x.% 6., 6,. Bir deponun 7 si mazot doludur. Bu depoda bütün mazotun ü kullanıldığında, geriye ton mazot kalmıştır. Buna göre, deponun tamamı kaç ton mazot alır? A) B) C) 9 D) E) 7
Çözüm Depo x litre olsun. x Depoda bulunan mazot litre 7 x x Kullanılan mazot. litre 7 7 x x x Kalan mazot litre x 7. x 9 litre 7 7 7 6. Bir usta günde çift ayakkabı, bir kalfa ise günde çift ayakkabı yapmaktadır. Đkisi birlikte, 8 çift ayakkabıyı kaç günde yaparlar? A) B) C) D) E) Çözüm 6 I. Yol Usta, günde, çift ayakkabı yaparsa Kalfa, günde, çift ayakkabı yaparsa (gün katsayıları eşitlendi) günde, çift ayakkabı yapar. günde, 6 çift ayakkabı yapar. Đkisi birlikte günde 6 ayakkabı yapar. günde 6 ayakkabı yapıldığına göre, A günde 8 ayakkabı yaparlar. A.6 8. A bulunur.
II. Yol Usta günde çift ayakkabı yaparsa günde x çift ayakkabı yapar x olur. Kalfa günde çift ayakkabı yaparsa günde y çift ayakkabı yapar y 6 Đkisi birlikte günde ayakkabı yapar. günde ikisi birlikte z günde ikisi birlikte 6 ayakkabı yaparsa 8 ayakkabı yapar 6 z. 8. z günde yaparlar. 7. Kırtasiyeciden silgi, kalem, defter alan bir kimse, toplam,6, TL ödemiştir. Bir kalemin fiyatı bir silginin fiyatının katı, bir defterin fiyatı da bir kalemin fiyatının katı olduğuna göre, bir silginin fiyatı kaç TL dir? A), B), C), D) 6, E) 7, Çözüm 7 s k d,6, Silgi fiyatı x olsun. Kalem fiyatı x Defter fiyatı.x 8x.x.x.8x,6, x,6, x, olur.
8. Puan Öğrenci Sayısı Yukarıdaki tablo bir sınıftaki öğrencilerin matematik sınavında aldığı puanların dağılımını göstermektedir. Buna göre, sınıfın bu sınavdaki puanların ortalaması kaçtır? 9 A) B) C) 6 D) 7 9 7 E) 8 Çözüm 8 Ortalama alınan toplam puan öğrenci sayısı..... 8 7 8 9. katının fazlası, kendisinin karesinden büyük olan en büyük tamsayı aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) 6 E) 7 Çözüm 9 Sayı x olsun. x > x² x² x < (x ).(x ) < x ve x x (, ) olur. Buradan en büyük tamsayının olduğu görülür.
. Şekildeki A ve B kentleri arasındaki uzaklık km dir. A dan hızı saatte km olan bir yaya, B den hızı saatte km olan bir bisikletli aynı anda, bir birine doğru yola çıkıyor. Yaya kaç km yol yürüdüğünde bisikletli ile karşılaşır? A) B) 9 C) 8 D) E) Çözüm Hız problemlerinde araçlar birbirine doğru hareket ediyorlarsa, hızları toplanır. x (v yaya v bisiklet ).t ( ).t t olur. x yaya v yaya.t x yaya. km.. m sayı tabanını göstermek üzere, ( ) m.( ) m ( ) m olduğuna göre, m kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) E) Çözüm ( ) m.( ) m ( ) m (.m².m¹.m ).(.m ).m³.m².m¹.m (m² m ). m³ m m³ 9m² m m.(m² 9m ) m.(m ).(m ) m, m, m
. 8 kişilik bir gruptaki öğrenciler Đngilizce ve Fransızca dilinden en az birini bilmektedir. Đngilizce bilenlerin sayısı, Fransızca bilenlerin katıdır. Buna göre, sadece Fransızca bilenlerin sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) C) D) E) Çözüm Đngilizce bilenler x [8 (x y)] Fransızca bilenler y [8 (x y)] s( I ).s( F ) olduğuna göre, x [8 (x y)].[y [8 (x y)]] 8 y.[8 x] x 6 y Öğrenciler en az bir dili bildiğine göre, x 6 > x > x için,. 6 y bulunur.. a a 6a a a 6a : a a ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) a D) a E) a Çözüm a a 6a a a 6a : a a a.( a² a.( a a) ( a ).( a ). ) a.( a² 6) ( a² a).( a ) a.( a ).( a ) a.( a a.( a ) )
. a < b olmak üzere, a b a b b a ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) ab B) ab C) a D) b a E) b a Çözüm a x ve b y olsun. a < b a < b x < y a b a b b a x x y xy x² y².( ) xy.( ) y y x xy ( x y)² x y x < y x y x y olur. x ve y değerlerini yerine yazarsak, x y a b bulunur.. P(x ) x² x olduğuna göre, P(x ) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) x² x B) x² x C) x² x D) x² x E) x² x Çözüm x y olsun. x y P(y) (y )² (y ) olur. y yerine x yazalım. P(x ) ((x ) )² ((x ) ) P(x ) (x )² (x ) P(x ) x² x
( x )( x ) 6. x < eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) (, ) B) (, ) (, ) C) (, ) (, ) D) (, ) E) [, ] Çözüm 6 x² daima pozitiftir. x² x² x x ve x x² (x ).(x ) x ve x ( x )( x ) x < Çözüm kümesi (, ) (, )
7. x² x denkleminin kökleri x ve x dir. Buna göre, x x toplamı kaçtır? A) B) C) 9 D) E) Çözüm 7 x x ( x ) ( x) ( x ).( x ) ( x x ) x x x. x ( x x ) ( x x ) x. x x² x denkleminin, Kökler toplamı : x x -( ) Kökler çarpımı : x. x olduğuna göre, x x. Not : Đkinci Derece Denkleminin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Bağıntılar ax² bx c denkleminin kökleri x ve x ise kökler toplamı : x x b a kökler çarpımı : x x. c a
8. log (log (log ( x ))) olduğuna göre, x kaçtır? A) 6 B) C) D) E) Çözüm 8 log (log (log ( x ))) log (log ( x )) ¹ log (log ( x )) log ( x ) ¹ log ( x ) (x ) ¹ x x 9. z i ve u i karmaşık sayılar olduğuna göre, zu. 6 i değeri aşağıdakilerden hangisidir? i A) B) C) D) i E) Çözüm 9 z i z nin eşleniği, z i u i u nun eşleniği, u i zu. 6 i ( i).( i) 6 i 6i i² 6 i 6i 6 i.(i 6) 6 i Not : Karmaşık Sayının Eşleniği z a bi karmaşık sayısı için z a bi sayısına z nin eşleniği denir.
. (x² y²) n açılımında x y lü terimin katsayısı kaçtır? A) 8 B) C) D) D) 8 Çözüm (x² y²) n ifadesinin açılımındaki (r ) inci terimi yani n (x²) n-r.(y²) r terimini göz önüne alalım. r x.y lü terim sorulduğuna göre, n x n-r. r.y r r n r.x n-r.y r n r ve r r ve n r x.y n ün katsayısı. r r!.² ( )!.!... 6. elde edilir. Not : Binom Formülü a ve b karmaşık sayılar ne n N olmak üzere n n n n n n n ( a b). a. a. b. a. b n n r r...... a. b..... r n. b n n açılımına Binom formülü (Binom Açılımı) denir. Binom açılımında a b yazılırsa n ( ) Not : n n n n n..... bulunur. n I ) n ( a b) açıldığında baştan (r ) inci terim n. a r n r. b r dir. II ) n ( a b) açılımında n tane terim vardır. n III ) r n olduğundan n r terimlerin katsayıları eşittir. n ( a b) açılımındaki baştan ve sondan eşit uzaklıktaki
. A torbasında beyaz, kırmızı, B torbasında beyaz, kırmızı top vardır. Aynı anda her iki torbadan birer top alınıyor ve öteki torbaya (A torbasından alınan B ye, B torbasından alınan A ya) atılıyor. Bu işlemin sonucunda torbalardaki kırmızı ve beyaz top sayılarının başlangıçtakiyle aynı olma olasılığı kaçtır? 8 A) 9 9 B) 9 C) 9 D) 9 E) 9 Çözüm A dan Beyaz B den Beyaz çekilmeli. 7 7 9 A dan Kırmızı B den Kırmızı çekilmeli. 7 7 8 9 Kırmızı ve Beyaz top sayılarının başlangıçtakiyle aynı olma olasılığı 9 8 9 9. < x < y olmak üzere, n x y n ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) y x y B) y y x C) y x y D) x y E) y x Çözüm n x y n x x ( ) ( ) x x ( ) ² ( ) ³..... y y y y x ( ) x x ( ) ² ( ) ³..... y y y x ( ) y y y x
n Not : r k k r r²..... r n- r n r (r, r ). ABC bir ikizkenar üçgen AB AC m(abc) θ m(bac) α Yukarıdaki şekilde tanθ olduğuna göre, tanα nın değeri kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm A noktasından BC kenarına dik (yükseklik) çizelim. tanθ olduğuna göre, AH ve BH AHB dik üçgeninde pisagor teoremini uygulanırsa, AB ² ² ² AB bulunur. Đkizkenar üçgende tabana ait yükseklik aynı zamanda açıortay olduğuna göre, tan α tanα tan( α α ) α α tan tan α α tan.tan. 8 9 9. 8
Not : tan( a b) tana tanb tana.tanb Not : tan a tana tan ² a π. <x < π olmak üzere, π cos x tan.sinx denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir? π A) 6 B) 9π C) 8π D) 7π E) π Çözüm π cosx tan. sinx cosx π sin.sinx π cos π π cosx.cos - sin.sinx π cos cosx.cos π sin π.sinx.cos π π cos(x ) x π 6 π x 6 π x π π π 6 6 Not : cos(a B) cosa.cosb sina.sinb
.. x a a olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm. x a a ). (... x a ax. x ax ax ax ax ax x x x ax olduğuna göre, a. a bulunur. 6. determinantının değeri kaçtır? A) B) 8 C) 7 D) 9 E)
Çözüm 6. satırın ( ) katını,. satıra ekleyelim. determinantı elde edilir ve bu determinantı. sütuna göre açalım..( ). determinantını. sütuna göre açalım. ( ).[.( ). ] ( ).[.(.( ) ( ).( ))] ( ).[.( 8 )] ( ).( ) Not : Bir determinantın herhangi bir satırı (veya sütunu) bir sayı ile çarpılıp diğer bir satıra (veya sütuna) karşılıklı olarak eklenirse determinantın değeri değişmez.
7. A [, 6, ] B [,, ] C [,, ] vektörleri veriliyor. A ve B vektörlerine dik olan ve X. C koşulunu sağlayan X vektörü aşağıdakilerden hangisidir? A) [,, ] B) [,, ] C) [,, ] D) [,, ] E) [,, ] Çözüm 7 A ve B vektörlerine dik olan vektör, X [a, b, c] olsun. A. X ve B. X olmalıdır. A. X [, 6, ].[a, b, c] a 6b c B. X [,, ].[a, b, c] a b c X. C olduğuna göre, [a, b, c].[,, ] a b c Bu denklemlerden ikincisini ( ) ile çarpıp. denklem ile toplanırsa, b olur.. ve. denklemlerde b yazılırsa, a ve c olur. X [a, b, c] [,, ] bulunur.
8. BC 6 cm CD 6 cm DD cm Şekildeki dikdörtgenler prizmasının boyutları 6 cm, 6 cm ve cm dir. Bu prizmanın [AC ] ve [BD ] cisim köşegenleri arasındaki dar açının kosünüsü kaçtır? A) B) C) 9 D) 9 E) 9 Çözüm 8 A (,, ) ve C (6, 6, ) AC ' [6, 6, ] [6, 6, ] ' AC vektörünün uzunluğu : AC' ( 6 )² (6 )² ( )² 9 B (6,, ) ve D (, 6, ) BD ' [ 6, 6, ] [ 6, 6, ] BD ' vektörünün uzunluğu : BD' ( 6)² (6 )² ( )² 9 AC '. BD ' AC'. BD'.cosα [6, 6, ].[ 6, 6, ] 9.9. cosα 6.( 6) 6.6. 9.9.cosα cosα 9
Not : Vektörlerin skaler (iç) çarpımı Öklid iç çarpımı denilen bu iç çarpım A (x, y ), B (x, y ) vektörleri için A. B x.x y.y biçiminde tanımlanır. Sonuç bir skaler (sayı) çıktığından bu çarpıma skaler çarpım da denir. Not : Đç (skaler) Çarpım Sıfırdan farklı A (x, y ), B (x, y ) vektörleri arasındaki açı θ ise A. B.cosθ gerçel sayısına A ve B vektörlerinin iç (skaler) çarpımı denir ve A. B ya da < A, B > biçiminde gösterilir. A. B A. B.cosθ 9. EC CD m(afe) α Yukarıdaki şekilde ABC bir eşkenar üçgen olduğuna göre, m(afe) α kaç derecedir? A) B) C) D) 9 E) 9
Çözüm 9 ABC bir eşkenar üçgen olduğuna göre, s(a) s(b) s(c) 6 ECD ikizkenar üçgen olduğuna göre, s(e) s(d) [s(e) s(d) 6] AFE üçgeninde, s(a) s(f) s(e) 8 6 α 8 α 9 Not : Bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.. ABC bir üçgen m(bac) AB BC 6 AC x Yukarıdaki verilenlere göre, AC x kaç cm dir? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Çözüm ABC üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa, ( 6 )² ² x²..x.cos x² x (x ).(x 9) x
Not : Kosinüs teoremi Bir ABC üçgeninde, a² b² c².b.c.cos(a) b² a² c².a.c.cos(b) c² b² a².a.b.cos(c). m(ahc) 9 m(blc) 9 AL LC 8 cm LB 6 cm Yukarıdaki verilenlere göre, AH oranı kaçtır? HL A) B) C) D) 6 E) 8
Çözüm AHC dik üçgeninde, AL LC 8 ise Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün uzunluğunun yarısına eşit olduğuna göre, HL 8 olur. BLC üçgeninde, BC ² BL ² LC ² (pisagor) BC ² 6² 8² ² BC CLB CHA CL CH CB LB CA HA 8 8 6 AH AH 6.6 8 AH HL 8 8 6. ABCD bir dikdörtgen EAB bir eşkenar üçgen BC x cm Yukarıdaki şekilde ABCD dikdörtgenin alanı 7 olduğuna göre, BC x kaç cm dir? A) B) 6 C) 8 D) E)
Çözüm Eşkenar üçgenin açıları 6 yazılırsa, ADE ve BCE üçgenlerinin açıları 6 9 olur. AB DC a olsun. Bir dar açının ölçüsü olan dik üçgende, karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüsün yarısına, 6 karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüsün DE EC a katına eşit olduğuna göre, BC a x Alan (ABCD) 7 olduğuna göre, x.a 7 a.a 7 a² 7 a² 6 a 6 x a 6
. ABCD bir ikizkenar yamuk m(acb) 9 AD DC BC AB cm AC x cm Yukarıdaki verilere göre, AC x kaç cm dir? A) B) C) D) E) 6 Çözüm m(dac) m(dca) a olsun. m(cab) a olur. (iç ters açı) m(dab) m(cba) a olur. (ikizkenar yamuğun taban açıları eşittir.) ABC dik üçgeninde, a a 9 8 a bulunur. ABC ( 6 9) üçgeninde, AB BC x Not : Dik üçgen özellikleri Bir dar açının ölçüsü olan dik üçgende, karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüsün yarısına, 6 karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüsün katına eşittir.
. Şekildeki ABCDEF düzgün altıgenindeki taralı alan 7 düzgün altıgenin bir kenarının uzunluğu kaç cm dir? cm² olduğuna göre, A) B) C) D) E) Çözüm ABCDEF düzgün altıgeninin bir kenarı a olsun. ABCDEF düzgün altıgen 6 tane eş eşkenar üçgenden oluşmaktadır. a² Eşkenar üçgenin alanı a² Đki kenarı ve bu kenarların arasındaki açısı bilinen üçgenin alanı.a.a.sin6 Taralı alan alan(abcdef) alan(abf) olduğuna göre, a² Taralı alan 6. a² a². 7 a². a Not : Düzgün altıgenin bir dış açısı 6 6 olduğuna göre, bir iç açısı 8 6 olur. 6
Not : Đki kenarı ve aradaki açısı verilen üçgenin alanı Alan (ABC).b.c.sin(A) Alan (ABC).a.c.sin(B) Alan (ABC).a.b.sin(C). ABCD bir teğetler dörtgeni O çemberin merkezi m(dab) Yukarıdaki şekilde OA 8 olduğuna göre, çemberin yarıçapı kaç cm dir? A) B) C) D) E) 7 Çözüm AO uzunluğu s(a) açısının açıortayıdır. AB çembere teğet olduğuna göre, O merkezinden teğete çizilen dikme r olsun. r yarıçap AOH üçgeni, 6 9 üçgeni olduğuna göre, AO 8 AH r OH ( )..
Not : Dik üçgen özellikleri Bir dar açının ölçüsü olan dik üçgende, karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüsün yarısına, 6 karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüsün katına eşittir. Not : [OP] açıortaydır. 6. Şekildeki [AC ışını, O merkezli çembere C noktasında teğet olduğuna göre, m(acb) α kaç derecedir? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Çözüm 6 Çemberin merkezinden C noktasına çizilen OC, teğete diktir. O halde, s(o) 9 8 s(o) 8 olur. OC OB olduğuna göre, COB üçgeni ikizkenardır. Bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşit olduğuna göre, s(b) s(c) 8 s(b) s(c) 9 α 9 9 9 bulunur. Not : Yarıçap teğete değme noktasında diktir. 7. Şekildeki O merkezli iki çember, ABCD karesinin iç teğet ve çevrel çemberidir. Çevrel çemberin alanının iç teğet çemberin alanına oranı kaçtır? A) B) C) D) E)
Çözüm 7 AO açıortaydır. s(a) 9 AOH üçgeni, ikizkenar üçgen olur. R² r² r² R r çevrel çemberin alanı iç teğet çemberin alanı π. R² π. r² π.( r)² π. r² Not : [OP] açıortaydır. 8. O çemberin merkezi m(aoc) 9 OB cm OE cm DE x cm Yukarıdaki verilere göre, DE x kaç cm dir? A) 7 B) 7 C) D) E)
Çözüm 8 EOB üçgeninde EB ( BE ² ² ²) Yarıçapı OB EC olur. O noktasından, F noktasına çizilen uzunluk OF Çemberde kuvvet bağıntısına göre, 7 EC. EF DE. EB.7 x. x Not : Çemberde kuvvet bağıntıları P noktası çemberin içinde ve biri çemberi A ve B noktalarında, diğeri C ve D noktalarında kesen, iki kesen çizilirse, PA. PB PC. PD olur. 9. y 9 x bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) C) D) E)
Çözüm 9 y 9 x y 9 y olur. (y için x olur.) y y 9 x (x için y olur. y için x 9 bulunur.) y < 9 y x (x için y olur. y için x 9 bulunur.). Yukarıdaki grafiği verilen f (x) fonksiyonu [, ] de bire bir ve örtendir. Buna göre, f () f () f ( f ()) ifadesinin değeri kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm f () f () f ( f ()) ( ) f ()
. f : R {} R {} f (x) ax x b veriliyor. f (x) fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre, (a, b) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, 6) D) (6, 6) E) (9, 6) Çözüm Tanım kümesi : R {} olduğuna göre, f (x) fonksiyonunun paydası x için sıfır olduğu anlaşılır. Buna göre, x b. b b 6 olur. f : R {} R {} f : R {} R {} olduğuna göre, f ( x) bx olur. x a f ( x) fonksiyonunda, paydası x için sıfır olacağına göre, x a. a a 9 olur. (a, b) sıralı ikilisi (9, 6) bulunur. Not : Ters Fonksiyon I ) f (x) ax b f ( x ) x b a I ) f (x) ax b cx d ( x dx b f ) cx a
. x y doğrusunun A(, ) noktasına göre simetriği olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x y B) x y C) x y 7 D) y x E) y x Çözüm I. Yol x y doğrusunun A(, ) noktasına göre simetriği olacağına göre, A noktası orta noktadır. ac bd a c 6 a 6 c b d b d (a, b) (6 c, d) x y doğrusu (a, b) noktasını sağlayacağından, a b.(6 c).( d) c d x y
II. Yol x y doğrusunun A(, ) noktasına göre simetriği olan doğrunun denklemi, ax by c olsun. Paralel doğruların eğimi eşit olduğundan, (x y ) // (ax by c ) olduğu için a ve b olur. x y c x y doğrusunun A(, ) noktasına göre simetriği olacağına göre, x y doğrusunun A(,) noktasına uzaklığı ile x y c doğrusunun A(, ) noktasına uzaklığı eşittir. O halde, x y doğrusunun A(, ) noktasına uzaklığı.. ² ( )² 7 x y c doğrusunun A(, ) noktasına uzaklığı.. c 7 c ² ( )² 7 c 7 (7 c) 7 c x y c x y bulunur.
III. Yol x y doğrusunun A(, ) noktasına göre simetriği olan doğrunun denklemi, ax by c olsun. x y doğrusu üzerindeki her noktanın A noktasına göre simetrikleri ax by c doğrusu üzerindedir. x y doğrusu üzerinde bir B noktası seçelim. x için y B(, ) A noktası orta nokta olduğuna göre B nin A noktasına göre simetriği, C(6, ) olur. ax by c doğrusunun denklemi : x y c biçimindedir. C(6, ) noktası bu denklemi sağlar..6.( ) c c x y elde edilir.
Not : Bir noktanın bir doğruya uzaklığı P( x, y ) noktasının ax by c doğrusuna uzaklığı, PH d ax by a² b² c dir.. y ax² 8x a eğrisi x eksenine teğet olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) C) D) E) 8 Çözüm y eğrisinin x eksenine teğet olması için, ax² 8x a denkleminin çakışık iki kökünün olması gerekir. Bunun için, olmalıdır. ( 8)².a.( a ) a² a 8 (a ).(a ) a a a a
. Şekildeki [OC] çaplı çember D( 6, ) noktasından geçtiğine göre, çemberin yarıçapı kaç birimdir? 7 A) B) C) D) E) Çözüm Çemberin yarıçapı r olsun. r² ² (6 r)² (pisagor) r² 9 6 r r² r r
. Yukarıdaki şekilde, denklemi y x² x m olan fonksiyonun grafiği verilmiştir. OL OK olduğuna göre, m kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm OL OK olduğuna göre, OK a olsun. OL a K noktası : (a, ) olsun. K(a, ) y f(a) a² a m L noktası : (a, ) L(a, ) y f(a) (a)².a m a² a m (a)².a m a² a 6a² a a² a a (a, ) için f(a) olduğundan, f() ². m m m 6. sinx lim 6 cosx x π değeri kaçtır? A) B) C) D) E)
Çözüm 6 sinx lim 6 cosx x π π sin lim 6 π 6 π cos 6 x / 7. Şekildeki grafik, aşağıdaki fonksiyonların hangisine ait olabilir? A) x y B) x x y C) x x y D) x x y E) x x y x Çözüm 7 Yatay asimtot, lim f(x) x Düşey asimtotu, x y için x > olduğundan, x y olur. x 8. f : R R f (x) x³ 6x² kx veriliyor. f (x) fonksiyonu (, ) aralığında artan olduğuna göre, k için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) k 7 B) k C) k < D) k < E) k >
Çözüm 8 f nin R (, ) aralığında artan olması için x R de f '( x) > olmalıdır. f '( x) x² x k ifadesinin daima pozitif olması için, a > ve < olmalıdır. a > < ²..k < < k k > dy 9. y yx x olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisine eşittir? dx A) y x B) y x C) x x D) x y E) x y Çözüm 9 y yx x dy x'e göre türev(y sabit) y dx y'ye göre türev(x sabit) y x y x Not : Kapalı fonksiyonun türevi F(x, y) bağıntısından en az bir y f(x) fonksiyonu tanımlanabiliyorsa, bu bağıntıya y nin x e göre bir kapalı fonksiyonu denir. y F' x F' y x'e göre türev(y sabit) y'ye göre türev(x sabit)
. Bir dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin [AD] kenarının tümü ile [AB] kenarının yarısına şekildeki gibi duvar örülmüş, kenarlarının geriye kalan kısmına bir sıra tel çekilmiştir. Kullanılan telin uzunluğu m olduğuna göre, bahçenin alanı en fazla kaç m olabilir? A), B), C), D), E), Çözüm AB DC a, BC AD b olsun. a a b a b b a Alan (ABCD) a.b a.( a) a 6a² A (a) A (a) a a ve b 6 bulunur. Alan (ABCD) a.b..6, olur.. x dx x integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) ( x ) c 9 D) ( x ) c B) ( x ) c E) ( x ) c 9 C) ( x ) c
Çözüm x dx x x³ t dönüşümü yapalım. x² dx dt x² dx dt olur. dt. t dt. t dt. t t. dt t.( ) c. t c. t 9 ³ c 9 x³ t olduğundan,. ( x ³ )³ c olur. 9. x y eğrisi, x doğrusu ve x ekseni ile sınırlı bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç br tür? π A) 7π B) 9π C) D) 7π E) π Çözüm. π V π ( x²) ² dx. 9 x π x dx V.( 9 π ).( ) V 9 7π
Not : Dönel cisimlerin hacmi (x ekseni etrafında dönme) y f(x) eğrisi ile x a, x b, y doğrularının belirttiği şekildeki taralı bölgenin x ekseni etrafında 6 döndürülmesi ile oluşacak dönel cismin hacmi, b H π. a b y² dx ya da H π. a [ f ( x)] dx olur.
. ( x) x dx integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) π Çözüm I. Yol B) π 8 C) 6π D) 6 E) ( x x) dx [, ] aralığında, y x² (y² x² ²) çember yayının altındaki alanın y x doğrusu altındaki alandan farkını ifade etmektedir. O halde integralin değeri, yarıçapı birim olan çemberin alanının 8 katına eşittir. (x ekseniyle y x doğrusu arasındaki açı olduğu görülür.) ( x) π x dx.π.² 8 8
II. Yol ( x) x dx x² dx x dx x² dx x sint değişken değiştirmesi yapılırsa dx cost dt olur. x için t x için t π x² dx ( π sin ² ) π t cost dt cos ² cost.cost dt π t cost dt π π cos t cos ² t dt dt.( sin tt) π π 8 x dx x².( )² ( x) x dx x² dx x dx π π 8 8 Not : sin²x cos²x cos²x sin²x cosx cos²x cos²x cos x
Adnan ÇAPRAZ adnancapraz@yahoo.com AMASYA