Yıldız Teknik Üniversiesi İkisa Bölümü Ekonomeri II Ders Noları Ders Kiabı: J.M. Wooldridge, Inroducory Economerics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Zaman Serisi Modelleri: Birim Kök Tesleri, Eşbüünleşme, Haa Düzelme Modelleri Birim Kök Tesleri Bir sokasik sürecin birim kök içerip içermediğini nasıl anlarız? Haırlarsak aşağıdaki AR(1) sürecinde y y 1 e, 1 Rho parameresi geçmiş değerlere olan bağımlılığın derecesini belirliyordu: Corr( y, y h ) h İki AR(1) Süreci ve Korelogramı Yüksek Kalıcılığı Olan AR(1) Süreçlerine Örnekler 1
Random Walk AR(1) modelinde 0, 1 olduğunda random walk süreci elde edilir. y y 1 e, e whie noise Sürüklenme eriminin sıfır olmadığı durumda ise random walk wih drif süreci elde edilir: y y 1 e Bu iki sürecin özelliklerini daha önce öğrenmişik. Bu süreçler durağan değildi. Ancak birinci farkları alındığında durağan hale geliyordu. I(1) vs I(0) Birinci farkı alındığında durağan hale gelen, yani I(0) olan, zaman serilerine I(1) seriler adı verilir. Random walk sürecinin, I(1), birinci farkı alınırsa bir I(0) seri olan w.n. süreci elde edilir: y y y e e 1, whie noise Benzer şekilde bir random walk wih drif sürecinin birinci farkı I(0) bir seridir: y y y e 1 Bu serilere fark-durağan (difference saionary) seriler adı da verilir. Trend-durağan seriler Bir rend-durağan seri rendden arındırıldığında durağan hale gelir y 0 1 e 60 40 Random Walk Sürecinin Üç Farklı Realizasyonu x() = x(-1) + e() Fark-durağan bir seriyle rend-durağan bir seriyi birbirinden ayırmak kolay değildir. Çünkü sürüklenme erimli bir random walk süreci deerminisik rend izleyen bir seriye benzer özellikler göserir. Regresyonda durağan olmayan serileri kullanmamız mümkün olmadığından uygun dönüşürmeler kullanılarak durağanlaşırılmaları gerekir. Birim kök esleri bu amaçla gelişirilmişir 20 0-20 -40-60 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 2
Random Walk wih Drif Sürecinin Üç Farklı Realizasyonu x() = 0.5 + x(-1) + e() 120 100 80 60 40 20 0 70 60 50 40 30 20 10 0 Random Walk wih Drif vs Deerminisic Trend Random Walk wih Drif Deerminisic Trend -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Birim Kök Tesleri Bu eslerde başlangıç nokamız yine AR(1) modelidir: y y e 1 Burada e() bir maringale-fark dizisidir: e() sıfır beklenili iid bir seri ve y0 başlangıç değerinden bağımsızdır. Sıfır ve karşı hipoezlerimiz şöyledir: Birim Kök Tesleri Aslında sıfır ve alernaif hipoezlerimiz şu şekilde de ifade edilebilir: H0 : I(1) vs H1: I(0) Tesi yapmak için denklemde her iki arafan y(-1) çıkarılırsa elde edilir. Sıfır ve alernaif hipoezler şöyle olur: 3
Birim Kök Tesleri DF Dağılımı Ancak bu hipoez -esi ile sınanamaz. Çünkü null hipoezi alında -oranının dağılımı -dağılımı değildir. Bu dağılıma Dickey-Fuller (DF) dağılımı adı verilir. Bu dağılım -dağılımına göre daha sola çarpıkır. Birim kök hipoezini es emek için -oranını hesaplayıp DF dağılımından uygun değerlere bakabiliriz. DF Birim Kök Tesi DF Birim Kök Tesi Karar kuralı: -oranı ilgili anlamlılık düzeyindeki kriik değerden daha küçükse birim kök hipoezi reddedilir (Sol kuyruk esi) Birçok ekonomeri pake programı bu kriik değerleri vermeke ya da p-değerlerini hesaplamakadır. P-değeri yeerince küçükse serinin durağan olmadığını söyleyen hipoez alernaif lehine reddedilir. Tes Regresyonunda Zaman Trendinin olmadığı durumda Kriik Değerler 4
DF Birim Kök Tesi: Örnek 3-aylık hazine bonosu faiz oranlarında birim kök var mı? (inqr.gd ) Genişleilmiş Dickey-Fuller (ADF) Tesi (Augmened Dickey-Fuller) Modelimizde daha karmaşık dinamiklere izin verilmesi mümkündür. Amaç kalınıların ookorelasyonsuz hale geirilmesidir. Bu amaçla modele bağımlı değişkenin gecikmeli değerleri eklenebilir (genişleilebilir). Örneğin Genel olarak Bu regresyonda y(-1) kasayısının -oranı hesaplanarak DF kriik değerleriyle karşılaşırılır. ADF Birim Kök Tesi: Örnek Enflasyon serisinde birim kök var mı? (phillips.gd) Zaman Trendli ADF Birim Kök Tesi Açık bir zaman rendi akip eden serilere ADF birim kök esi yapılmak iseniyorsa es regresyonuna rendin eklenmesi gerekir: Boş hipoez alında seri RW wih drif süreci akip eder, yani I(1) bir seridir. Alernaif hipoez alında seri rend çevresinde durağandır (rend-durağan süreç) 5
Zaman Trendli ADF Birim Kök Tesi Zaman rendi eklendiğinde ADF esinin kriik değerleri değişir: ADF Birim Kök Tesi: Örnek 1987 sabi fiyalarıyla GSYİH serisi durağan mı? 10.8 10.6 10.4 10.2 10.0 9.8 9.6 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 LNRGDP ADF Birim Kök Tesi: Örnek Null Hypohesis: LNRGDP has a uni roo Exogenous: Consan, Linear Trend Lag Lengh: 0 (Auomaic based on SIC, MAXLAG=11) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic -2.707791 0.2362 Tes criical values: 1% level -4.065702 5% level -3.461686 10% level -3.157121 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Sahe Regresyon (Spurious Regression) Kesi-veri ile regresyon analizinde y ve x arasında sahe ilişki ya da sahe regresyon problemi bu değişkenler üçüncü bir değişken aracılığıyla ilişkili olduklarında karşımıza çıkıyordu. y ve x ilişkili görünseler de üçüncü değişkenin ekisi arındırıldığında (konrol edildiğinde) aralarındaki ilişki kayboluyordu. Zaman serileriyle regresyon analizinde de benzer bir problem karşımıza çıkmakadır. y ve x azalan ya da aran bir zaman rendine sahiplerse ikisi arasında anlamlı bir ilişki bulunabilir. Aslında ilişkili olan serilerin akip eiği zaman rendidir. 6
Sahe Regresyon (Spurious Regression) Eğer seriler zayıf-bağımlı ve rend çevresinde durağanlarsa bu problem regresyona rend değişkeni eklenerek çözülebilir. Ancak seriler rend-durağan değil de fark-durağan ise regresyona rend eklemek problemi çözmez. Basi regresyon modelinde birbirinden bağımsız I(1) seriler kullanılırsa -isaisikleri anlamlı sonuçlar verebilir. R2 yüksek çıkabilir. Aslında iki seri arasında hiçbir ilişki yokur. Ancak regresyon sonuçları bunu yansımaz. Sahe Regresyon (Spurious Regression) Her iki seri bağımsız I(1) olsun Basi regresyon modelini düşünelim Bu modelde eğim kasayısının %5 düzeyinde anlamlılığını es emek isediğimizde bu işlemi çok sayıda ekrarlasak bunların %95 inde boş hipoezi kabul ememiz gerekir. Ancak yapılan simülasyon deneylerinde -isaisiğinin nominal düzeyden çok daha yüksek red sıklığına sahip olduğu bulunmuşur. Buna spurious regression problemi denir. Sahe Regresyon (Spurious Regression) Sahe regresyon: y ve x hiçbir şekilde ilişkili olmadığı halde isaisiği anlamlı ve R2 yüksek Problemin kaynağında H0 alında y serisinin random walk süreci akip emesi ve -rasyosunun asimpoik -dağılımına sahip olmaması bulunmakadır. Benzer şekilde böyle bir regresyonda R2 populasyon değerine yakınsamaz. Yakınsadığı değer aslında rassal bir sayıdır. Bu rassal sayının büyük bir değer alma olasılığı oldukça yüksekir. Sahe regresyonda R2 nin yüksek çıkma sebebi budur. Sahe Regresyon (Spurious Regression) Bu problemin praik önemi oldukça açıkır. Uygulamada ekonomik değişkenlerin seviyeleriyle kuracağımız regresyonlarda oldukça dikkali olmamız gerekir. Çünkü birçok ekonomik zaman serisi I(1) olma eğilimindedir. Bu nedenle sahe regresyon kurma ehlikesi mevcuur. Peki hangi durumda I(1) bir değişkeninin yine herbiri I(1) olan açıklayıcı değişkenler üzerine regresyonu bize doğru bilgiyi verir? 7
Eşbüünleşme (Coinegraion) I(1) değişkenler uzun dönem ilişkisini yansıacak şekilde ilişkiliyse, ya da eşbüünleşik ise, sahe regresyon problemi oradan kalkar. Yine basi regresyon modelini düşünelim. Hem y hem de x I(1) değişkenler olsun. Eğer bunların bir doğrusal kombinasyonu I(0) ise yani durağansa bu iki seri eşbüünleşik serilerdir (coinegraed). Eğer böyle bir sıfır olmayan bea kasayısı varsa buna eşbüünleşme kasayısı denir. Eşbüünleşme (Coinegraion) Eşbüünleşme modellerinde serilerin uzun dönem ilişkisinden sapmaları mümkündür. Ancak bunlar kısa dönemli durumlardır ve ilişkinin yapısına bağlı olarak uzun dönem dengesine belli bir hızda ulaşılır. Örnek: Law of One Price P1 = a + b P2 Örnek: Mulak PPP 40 35 30 25 20 örnek Eşbüünleşme (Coinegraion) İki serinin koenegre olup olmadığını nasıl anlarız? Engle-Granger eşbüünleşme esi adımları: İkisadi modele uygun olarak OLS regresyonunu kur ve eşbüünleşme kasayısını ahmin e 15 10 5 0-5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Bu regresyondan elde edilen kalınılara ADF birim kök esi uygula. H0: kalınılar birim kök içeriyor (seriler koenegre değil) Hipoezi reddedilirse, yani kalınılar durağansa bu iki seri koenegredir. 8
Eşbüünleşme (Coinegraion) Dikka edilirse H0 alında sahe regresyon kurulmakadır. Tesi yaparken aşağıdaki kriik değerleri kullanmak gerekir. Eşbüünleşme (Coinegraion) Eğer serilerde açık bir zaman rendi varsa modele eklenebilir: Bu durumda uygun kriik değerler aşağıdaki abloda verilmişir (Wooldridge, s.589): Eşbüünleşme: Örnek Doğurganlık oranı (gfr) ile vergi eşvikleri (pe) koenegre mi? Model 6: OLS, using observaions 1915-1984 (T = 70) Dependen variable: d_uha coefficien sd. error -raio p-value ------------------------------------------------------- cons -0.183045 0.671431-0.2726 0.7860 uha_1-0.118669 0.0489389-2.425 0.0180 ** d_uha_1 0.244979 0.116958 2.095 0.0400 ** %10 c=-3.5 No coinegraion Eşbüünleşme: Örnek 3 aylık ve 6 aylık faiz oranları koenegre mi? r3: 3-aylık hazine bonosu faiz oranı r6: 6-aylık hazine bonosu faiz oranı Arbiraj nedeniyle bu iki faiz oranı arasındaki fark, ya da spread, fazla açılmayacakır Uzun dönem ilişkisi Olarak yazılabilir. Bu ilişkiden sapmalar arbiraj nedeniyle kısa dönemli olacakır. 9
Eşbüünleşme: Örnek 3 aylık ve 6 aylık faiz oranları koenegre mi? 18 r3 r6 16 Eşbüünleşme: Örnek 3 aylık ve 6 aylık faiz oranları koenegre mi? Bu iki seri I(1) serilerdir. 14 12 10 8 6 4 2 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 Yukarıdaki ilişkinin sahe olmadığından emin olmak isiyorsak koenegrasyon esi yapmamız gerekir. Engle-Granger koenegrasyon esi modelin OLS ile ahmini ve kalınılara ADF esi yapılmasına dayanır. Ancak kriik değerler ADF kriik değerlerinden farklıdır. (Tablolar daha önce verilmişi) Eşbüünleşme: Örnek 3 aylık ve 6 aylık faiz oranları koenegre mi? OLS regresyonu Tes regresyonu OLS, using observaions 1951:2-1980:4 (T = 119) Dependen variable: d_uha coefficien sd. error -raio p-value ----------------------------------------------------------- cons -3.45587e-05 0.0229010-0.001509 0.9988 uha_1-0.812633 0.160728-5.056 1.67e-06 *** d_uha_1 0.0513596 0.149446 0.3437 0.7317 d_uha_2 0.205066 0.132861 1.543 0.1255 d_uha_3 0.125392 0.119041 1.053 0.2944 d_uha_4 0.178414 0.0937341 1.903 0.0595 * Haa Düzelme Modelleri (Error Correcion Models) İki ya da daha fazla seri arasında uzun dönem koenegrasyon ilişkisi varsa bu ilişkiyi yansıan dinamik modeller gelişirilebilir. Örneğin koenegre olmayan I(1) seriler kullanılarak 1.farklarla şu model ahmin edilebilir. Tüm değişkenlerin I(0) olduğuna dikka ediniz. Bu aslında daha önce gördüğümüz FDL modelidir. Paramereler FDL modellerinde olduğu gibi yorumlanabilir. 10
Haa Düzelme Modelleri (Error Correcion Models) Eğer seriler koenegre ise yani aşağıdaki gibi bir koenegrasyon ilişkisi mevcusa Haa Düzelme Modelleri (Error Correcion Models) EC modelleri y ile x arasındaki ilişkinin kısa-dönem dinamiklerini incelememize olanak anır. Basilik amacıyla aşağıdaki modeli düşünelim Önceki slayaki modele bu erimin gecikmeleri eklenebilir: Bu modele Haa Düzelme Modeli (ECM) denir. Burada Haa düzelme erimidir (error correcion erm) Negaif olması nedeniyle ilişkiden sapmaları dengeye geirmekedir. ECM OLS yönemiyle kolaylıkla ahmin edilebilir. Ancak önce koenegrasyon ilişkisinin ahmin edilmesi gerekir. Haa Düzelme Modelleri (ECM) İki değişkenli EC modelleri genel olarak aşağıdaki gibi yazılabilir: p y 10 1e 1 1 iy i 1 ixi i1 p q i1 x 20 2e1 2iy i 2ix i i1 q i1 error error Eğer bu kasayılar birlike anlamlıysa x, y nin Granger-nedenidir. F-esiyle sınanabilir Speed of adjusmen parameer Uzun dönem dengesine ulaşma hızı. Bunlardan En az biri isaisik bakımından anlamlı olacakır. Haa Düzelme Modelleri (ECM): Örnek Wagner hipoezinin bir versiyonu reel hüküme harcamaları (G) ile kişi başına reel gelir (Y/N) arasında uzun dönemli poziif bir ilişki olduğunu söylemekedir: ln( G) 0 1 ln( Y / N) Yani yukarıdaki modelde değişkenler arasında bir koenegrasyon ilişkisi olmalı ve eğim kasayısı poziif olmalıdır. Birim kök esleri sonucunda her iki değişkenin I(1) olduğu sonucuna varılmışır. 11
Haa Düzelme Modelleri (ECM): Örnek Engle-Granger es regresyonu aşağıdaki gibi ahmin edilmişir: ln( G) 17.27 2.86 ln( Y / N) Kalınıların ADF es isaisiği -3.5817 olarak bulunmuşur. %5 düzeyinde anlamlıdır. Yani serilerin koenegre olmadığını söyleyen Ho reddedilmişir. Kasayı poziif bulunmuşur. Bu bulgular Wagner Hipoezi ile uyumludur. ˆ Haa Düzelme Modelleri (ECM): Örnek Wagner Kanunu Tahmin edilen koenegrasyon ilişkisi: e 1 lng 1 17.27 2.86ln / ln G 0.0641 0.1879e ln Y N 1 Haa düzelme modeli: Gecikmeli değerler anlamsız olduğundan Modelden çıkarılmışır. 1 Y / N 0.0246 0.0538e 1 ECM kasayı ahminleri isaisik bakımından anlamlı bulunmuşur. Ancak birinci denklemde negaif işareli ve İkincisine göre daha büyük bir ekiye sahipir. Haa Düzelme Modelleri (ECM): Örnek Bekleni Hipoezi hy6(): 3-aylık elde uma geirisi: (-1) zamanında 6- aylık bir hazine bonosu alır ve zamanında (yani üç ay sonra) 3-aylık bono olarak saarsak elde edeceğimiz geiri hy3(-1): (-1) zamanında 3-aylık hazine bonosu alırsak elde edeceğimiz geiri hy3(-1): bu geiri (-1) zamanında biliniyor hy6(): bu geiri ise (-1) zamanında bilinmiyor çünkü dönemindeki 3-aylık hazine bonosu fiyaı bilinmiyor Bekleni hipoezine göre bu iki yaırım sraejisinin geirisi aynı olmalıdır. (arbiraj nedeniyle) Haa Düzelme Modelleri (ECM): Örnek Bekleni Hipoezi Yani üm bilgi kümesine koşullu olarak aşağıdaki bekleni geçerlidir Bu hipoez aşağıdaki model çerçevesinde es edilebilir: hy6() ve hy3(-1) koenegre mi? Eğim kasayısı=1?? 12
Haa Düzelme Modelleri (ECM): Örnek Bekleni Hipoezi Engle-Granger esi bu iki serinin koenegre olduğuna işare emekedir. Öyleyse aşağıdaki gibi bir ECM kurulabilir: Tahmin sonuçları: 13